五年级数学认识简单的菱形与其性质

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菱形的性质(共22张PPT)

18.2.2.1菱形的性质
理解菱形的定义，理解菱形与平行四边形的关系。
探究并理解菱形的性质，会运用菱形的性质解决问题。
经历菱形性质的探索过程，体会观察、类比、猜想、证明等数学方法。
探究菱形的性质与运用。
重点
菱形性质的综合运用。
难点
请在这里输入文字信息请在这里输入文字信息请在这里输入文字信息请在这里输入文字信息
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）. 又∵AB=AD; ∴AB = BC = CD =AD.
性质1：菱形的四条边都相等。
证明菱形的性质
D
B
C
A
O
性质2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
课后作业
完成练习册本课时的习题。
谢谢观看
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
问题1：我们已经学习了特殊的平行四边形--矩形，它是从平行四边形哪个方面特殊化进行研究的？
问题2：平行四边形和矩形的性质有哪些?
研究内容
平行四边形
矩形
边
角
对角线
问题3：平行四边形的角特殊化得到特殊的平行四边形--矩形，平行四边形的边特殊化，我们得到的特殊平行四边形是什么呢？
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
（2）证明：∵AB = AD, ∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是菱形, ∴OB = OD . （菱形的对角线互相平分）在等腰三角形ABD中, ∵OB = OD， ∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC. 同理可证∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.

菱形的特征与性质

菱形的特征与性质菱形是一种四边形，具有独特的特征和性质。

本文将对菱形的定义、特征以及其性质进行详细论述。

一、菱形的定义菱形是指具有以下特点的四边形：1. 所有边的长度相等。

2. 两对相邻的边互相垂直。

3. 拥有两对对角线，每对对角线互相垂直，且交点是菱形的中心点。

二、菱形的特征菱形具有以下特征：1. 对角线平分彼此。

菱形的两对对角线相交于中心点，且对角线彼此平分。

也就是说，菱形的每条对角线上的任意两点到中心点的距离相等。

2. 对边平行。

菱形的两对相对边平行。

由于菱形具有对称性，所以菱形的相邻边也是平行的。

3. 内角度数。

菱形的每个内角都是直角。

因为菱形的两对相邻边互相垂直，所以每个内角都是90度。

4. 对边相等。

菱形的两对相对边长度相等。

这是因为菱形的每条边都与其他三条边相交于垂直的角度，所以边长必须相等。

三、菱形的性质菱形具有以下性质：1. 对角线之间的关系。

菱形的对角线互相垂直且彼此平分。

这意味着对角线的长度相等。

2. 高度与面积的关系。

菱形的高是指从一条边到对角线的距离。

菱形的面积等于边长乘以高度。

由于菱形的对角线平分彼此，所以高度等于对角线的一半。

3. 外接圆与内切圆。

菱形可以被一个外接圆和一个内切圆完全包围。

外接圆切四个顶点，而内切圆切四条边中点。

4. 对称性。

菱形具有多个对称轴。

通过菱形的对角线可以找到四个对称轴，即将菱形分为四个对称的三角形。

总结：菱形是一种具有特殊几何性质的四边形。

它的定义为边长相等的四边形，两对相邻边互相垂直。

菱形的特征包括对角线平分彼此、对边平行、内角为直角以及对边长度相等。

其性质包括对角线之间关系、高度与面积关系、外接圆与内切圆、以及对称性。

菱形在几何学中有着重要的应用和意义。

菱形的性质与判定

符号语言
∵在□ABCD中
AB=AD ∴四边形ABCD是菱形
判定对角线互相垂直
法二
的平行四边形是菱形
判定
四边相等的四边形是菱形
法三
A
D
O
BC
A
D
B
C
∵在□ABCD中
AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
方法总结: 四边形
一组邻边相等
平行四边形
菱形
对角线互相垂直
D
A
O
C
B
4、菱形ABCD两条对角线BD、AC长分
别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积。
分析： S菱形ABCD 4SAOB
D
4 1 OA • OB A
O
C
2
4 1 1 AC • 1 BD B
22
2
S菱形ABCD
1 2
AC • BD
你有什么发现？
24
D
S菱形ABCD AB • DE
AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形。
命题：有四条边相等的四边形是菱形。
已知：在四边形ABCD
中,AB=BC=CD=DA.
求证证明：：四边形ABCD是菱形 D
C
∵AB=CD,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB=AD,
A
B
∴四边形ABCD是菱形
符号语言： ∵AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形。
E是AB上一点，且AE=AC,EF∥BC,
EF交AD于点F.
A
求证：四边形CDEF是菱形。
E
F
B
DC

菱形的性质与判定

A
B
C
D
O
证明(1)∵四边形ABCD是菱形
∴DA=DC(菱形的定义)
∵DA=BC,AB=DC
∴AB=BC=DC=DA
(2)在△DAC中,又∵AO=CO
∴DB⊥AC， DB平分∠ADC（三线合一）
同理： DB平分∠ABC； AC平分∠DAB和∠DCB
(1)AB=BC=CD=DA
(2)AC⊥BD
A
B
C
D
E
F
你敢挑战吗？
交流反思
1.菱形概念
2.菱形特征
3.菱形与平行四边形的关系
①具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的对角线互相垂直平分； ④菱形的对角线分别平分两组对角； ⑤菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
4.菱形的面积
方法总结:
01
02
03
单击此处添加正文。
平行四边形
菱形
四边形
单击此处添加正文。
对角线互相垂直
一组邻边相等菱形有四条边相等
判断下列说法是否正确？为什么？ (1)对角线互相垂直的四边形是菱形；（） (2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（） (3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等的四边形是菱形；（） (4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．（）
E
O
D
C
B
A
如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC,AE∥DB，AE交DE于E。求证：四边形AODE是菱形。
D
C
B
A
M
N
2、将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图所示的四边形ABCD. 求证：四边形ABCD是菱形。

菱形的判定和性质

BCADO菱形的判定和性质一、基础知识（一）菱形的概念一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

（二）菱形的性质：1、具有平行四边形的一切性质；2、菱形四条边都相等；3、菱形的对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；4、菱形是轴对称图形；边角对角线对称性菱形对边平行；四边相等对角相等；邻角互补互相垂直平分且平分对角轴对称（三）菱形的判定：1、一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3、四条边都相等的四边形是菱形；（四）菱形的面积1、可以用平行四边形的面积算（S=21底×高） 2、用对角线计算（面积的两对角线的积的一半 S=21ab)ABCDE二、例题讲解考点一：菱形的判定例1：下列命题正确的是（）（A ）一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形（B ）对角线相等的四边形一定是矩形（C ）两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形（D ）两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形练习1：菱形的对角线具有( ) A ．互相平分且不垂直 B ．互相平分且相等 C ．互相平分且垂直 D ．互相平分、垂直且相等练习2：如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形B ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形C ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形练习3：如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说法正确的是( )A ．DE 是△ABC 的中位线B ．AA '是BC 边上的中线 C ．AA '是BC 边上的高D ．AA '是△ABC 的角平分线ABCDEA 'DBCA NM O练习4：如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（） ①AC BD ⊥ ②90BAD ∠= ③AB BC = ④AC BD = A ．①③B ．②③C ．③④D ．①②③例2 ：已知AD 是△ABC 的平分线，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，则四边形AEDF 是什么四边形？请说明理由．变化：若D 是等腰三角形底边BC 的中点，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，则四边形AEDF 是什么四边形？请说明理由．练习1：如图，AD 是Rt △ABC 斜边上的高，BE 平分∠B 交AD 于G ，交AC 于E ，过E 作EF ⊥BC 于F ，试说明四边形AEFG 是菱形．练习2：如图，E 是菱形ABCD 边AD 的中点，EF ⊥AC 于点H ，交CB 延长线于点F ，交AB 于点G ，求证：AB 与EF 互相平分。

《菱形的性质与判定》ppt课件

平分∠ABC，延长AD至点E，使DE＝BO，连接OD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
C
B
（2）若AD＝4，∠DAB＝60°，求OE的长．
（1）证明：∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，∠CBD＝∠ADB， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠ABD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形；
A E
F
B
D
C
随堂练习
3．如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，若AD＝CB，下面四个结论中：①AD∥CB；②AC⊥BD；③AO＝OC；④AB⊥BC，一定正确的结论的序号是___①__②__③____．
D
lA
C
B
随堂练习
4.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于点E. 求证：四边形ADCE是菱形.
菱形的性质与判定
学习目标
1.理解并掌握菱形的两个判定方法. 2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.
新课导入
1、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2、菱形的性质： ①菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的对角线互相垂直平分.
3、菱形具有平行四边形的所有，应用菱形的性质可以进行计算和推理.
证明： ∵ ∠1= ∠2, 又∵AE=AC, ∴ △ACD≌ △AED (SAS). 同理△ACF≌△AEF(SAS) .
A
21FEC来自DB∴CD=ED, CF=EF.
又∵EF=ED,
∴四边形ABCD是菱形（四边相等的四边形是菱形）.
例3、在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD

菱形性质与判定课件ppt

面积计算
菱形面积的计算公式为
面积 = (对角线1 × 对角线2) / 2。由于菱形的对角线互相垂直且平分，因此可以使用此公式来计算面积。
另一种计算菱形面积的方法是
面积 = 底 × 高。在这里，底是菱形的一条边，高是从这条边到对角顶点的垂直距离。
周长计算
01
菱形的周长计算公式为：周长 = 4 × 边长。由于菱形的四条边都相等，因此可以使用此公式来计算周长。
建筑学中的应用
建筑设计
菱形结构在建筑设计中常被用作装饰元素，如菱形窗格、菱形图案的墙面等，增加建筑物的美感和独特性。
空间划分
菱形地砖、菱形玻璃等可以用于室内空间划分，创造出独特视觉效果，同时起到引导人流、划分功能区域的作用。
工程学中的应用
结构工程
菱形结构具有较好的稳定性和承重能力，在桥梁、道路、隧道等工程建设中，菱形结构常被用于增强结构的稳定性和承载能力。
邻边互相垂直且相等判定
邻边互相垂直
菱形的任意一组邻边互相垂直，因此可以通过测量任意一组邻边的夹角是否为90度来判断一个四边形是否为菱形。
邻边长度相等
除了互相垂直外，菱形的任意一组邻边的长度还相等。这也是菱形的一个基本性质。
03
菱形与其他四边形的比较
与矩形的关系
01
02
03
边的性质
菱形的对边相等，与矩形相同；但菱形的邻边也相等，这是矩形不具备的性质。
角度关系
两组对角相等，即∠A=∠C，∠B=∠D；邻角互补，即∠A+∠B=180°， ∠B+∠C=180°。
对角线性质
对角线互相垂直： AC⊥BD。
对角线长度关系：对角线长度不一定相等，但满足 AC²+BD²=4AB²。

菱形的判定及知识点归纳

菱形的判定及知识点归纳
菱形怎么判定，定理是什么，相关知识点考生又知晓吗？尚不了解的小伙伴们看过来，下面由小编为你精心准备了“菱形的判定及知识点归纳”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯!
菱形的判定
① 四条边都相等的四边形是菱形。

② 对角线互相垂直且平分的平行四边形是菱形。

③ 一组邻边相等的平行四边形是菱形。

④对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。

菱形知识点归纳
1、菱形的定义 :有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2、菱形的性质:⑴ 矩形具有平行四边形的一切性质;
⑵ 菱形的四条边都相等;
⑶ 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

⑷ 菱形是轴对称图形。

提示:利用菱形的性质可证得线段相等、角相等，它的对角线互相垂直且把菱形分成四个全等的直角三角形，由此又可与勾股定理联系，可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于对角线一半的平方和。

3、菱形的判定方法:
⑴ 定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形。

⑵ 判断方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

⑶ 判断方法2:四条边相等的四边形是菱形。

4、菱形面积的计算:
菱形面积 = 底×高 = 对角线长乘积的一半 S菱形=1/2×ab(a、b 为两条对角线)
归纳:对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线长乘积的一半。

希望上面对菱形知识点的总结学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们一定能很好的参加考试工作。

初中数学知识点总结:平面直角坐标系
下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。

第一讲菱形的性质与判定

第一讲菱形的性质与判定（一）菱形的定义与性质1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.菱形的性质:（1）菱形的四条边都相等;（2）菱形的对角线互相垂直平分.并且平分一组对角。

（3）菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线。

（4）菱形的面积计算：①菱形的面积等于底乘高②菱形的面积等于对角线乘积的一半；对角线互相垂直的四边形的面积都可以用两条对角线乘积的一半来进行计算3.菱形具有平行四边形的所有性质,应用菱形的性质可以进行计算和推理.典例分析：知识点1：利用菱形的性质求角的度数例1：如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，求∠CEF的度数．知识点2：利用菱形的性质求线段长例2：（1）如图，已知菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6，AC与BD相交于点O，求菱形ABCD 的周长与面积．（2）如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于E，AP=5，AE=4，则点P到边AD 的距离等于_________．例2（2）图例2（3）图（3）如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．知识点3：利用菱形的对称性求最短距离例3：（1）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD 上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1B．2C．3D．4例3（1）图例3（2）图（2）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点G是边CD边的中点，点E、F 分别是AG、AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是．知识点4：利用菱形的性质求面积例4：如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE丄AB，AE=2．求：（1）对角线AC，BD的长；（2）菱形ABCD的面积．知识点5：利用菱形的性质证明例5：（1）已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，且BE=DF．①求证：AE=AF；②若∠B=60°，点E，F分别为BC和CD的中点，求证：△AEF为等边三角形．（2）如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A，B重合），连接DP交对角线AC于E，连接EB．求证：∠APD=∠EBC．（二）菱形的判定判定方法：1、定义法：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、对角线：①对角线互相垂直平分的四边形是菱形②对角线互相平分的平行四边形是菱形3、边：四条边都相等的四边形是菱形注：(1)菱形的判断可以从两个基本图形(四边形或平行四边形)考虑,进行证明.(2)菱形的性质定理和菱形的判定定理是互逆定理图文展示：典例分析：知识点6：利用定义判定菱形例6：已知：△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE∥AC交BC于E，DF∥BC 交AC于F．求证：四边形DECF是菱形．知识点7：利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定菱形例7：如图:,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O作直线EF⊥BD,分别交AD,BC于点E,F,求证四边形BEDF是菱形.知识点8：利用“四边相等的四边形是菱形”判定菱形例8：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点；求证：四边形EGFH是菱形．（三）菱形的性质与判定的综合应用例9：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使得∠EFD=∠BCD，并说明理由．例10：将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．（1）求证：△ABE≌△AD′F；（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．例11：如图，两张宽度相等的纸条叠放在一起，重叠部分构成四边形ABCD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若纸条宽3cm，∠ABC=60°，求四边形ABCD的面积．例12：已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．夯实基础：1.下列性质中，菱形对角线不具有的是（）A．对角线互相垂直B．对角线所在直线是对称轴C．对角线相等D．对角线互相平分2.已知▱ABCD的对角线相交于点O,分别添加下列条件:①AC⊥BD;②AB＝BC;③AC平分∠BAD;④AO＝DO.使得▱ABCD是菱形的条件有()A.1个B.2个C.3个D.4个3.如图，菱形ABCD的周长为8，高AE长为，则AC：BD=（）A．1：2B．1：3C．1：D．1：第3题第4题4.菱形0BCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．5.在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，若△AEF是等边三角形，且EF=AB，则∠BAD的度数是（）A．100°B．105° C．110° D．120°6.已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比3：4，则菱形面积为（）A．12B．24C．48D．967.菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF．若EF=，BD=2，则菱形ABCD的周长为．第7题第8题第9题8.如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为（）A．24 cm2B．20 cm2C．16 cm2D．12 cm29.如图，菱形ABCD中，∠DAB=60°，DF⊥AB于点E，且DF=DC，连结PC，则∠DCF的度数为度．10.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，已知AB=13cm，AC=24cm．（1）求：菱形ABCD的面积；（2）如过点D作DE⊥BC，垂足为E，求DE的长．11.如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连结CE，若∠E=50°，求∠BAO的大小．12.如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．（1）求证：AE=DF；（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．13.如图，在四边形ABCF中，∠ACB=90°，点E是AB边的中点，点F恰是点E关于AC所在直线的对称点．（1）证明：四边形CFAE为菱形；（2）连接EF交AC于点O，若BC=10，求线段OF的长．14.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF ∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．15.如图，已知△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α＜60°），D是BC边上的一点，连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F，连接DE，BE，DF．（1）求证：BE=CD；（2）若AD⊥BC，试判断四边形BDFE的形状，并给出证明．16.已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若∠EOD=30°，求CE的长．。

菱形的性质及判定

初中数学菱形的性质及判定1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等．③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定③：四边相等的四边形是菱形．板块一、菱形的性质☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为 ⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是⑴如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为,若墙上钉子间的距离，则度．16cm 16cm AB BC ==1∠=⑵如图，在菱形中，，、分别是、的中点，若，则菱形的边长是______．如图，是菱形的边的中点，于，交的延长线于，交于，证明：与互相平分．☆ 如图1所示，菱形中，对角线、相交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长等于．☆如图，已知菱形的对角线于点，则的长为图21CBA ABCD 60A ∠=︒E F AB AD 2EF =ABCD E ABCD AD EF AC ⊥H CB F AB P AB EF P HFE DCBAABCD AC BD O H AD ABCD 24OH 图1HO DC BAABCD 8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，，E DE E F DBCA☆ 菱形的周长为，两邻角度数之比为，则菱形较短的对角线的长度为如图2，在菱形中，，，则菱形的边长为（） A ． B ． C ． D ．如图3，在菱形中，，、分别是边和的中点，于点，则（）A ．B ．C ．D ．☆如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为的菱形，剪口与折痕所成的角的度数应为（） A ．或 B ．或 C ．或 D ．或菱形中，、分别是、的中点，且，，那么等于．如图，将一个长为，宽为的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（） A ． B ． C ． D ．20cm 2:1ABCD 6AC =8BD =51068图2DCBAABCD 110A ∠=︒E F AB BC EP CD ⊥P FPC ∠=35︒45︒50︒55︒图3E DP CF BA 60︒α15︒30︒30︒45︒45︒60︒30︒60︒ABCD E F BC CD AE BC ⊥AF CD ⊥EAF ∠10cm 8cm 210cm 220cm 240cm 280cm☆已知菱形的两条对角线的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是如图，菱形花坛的周长为，，•沿着菱形的对角线修建了两条小路和，求两条小路的长和花坛的面积．已知，菱形中，、分别是、上的点，若，求的度数．板块二、菱形的判定如图，如果要使平行四边形成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是．☆如图，在中，平分，的中垂线交于点，交于点，求证：四边形是菱形图1DCBA ABCD AC BD ，ABCD 20m 60ABC ∠=︒ACBD 图2ABCD E F BC CD AE AF EF AB ===C ∠FEDCBAABCD DCAB ABC ∆BD ABC ∠BD ABE BCF BEDF已知：如图，平行四边形的对角线的垂直平分线与边、分别相交于、.求证：四边形是菱形.如图，在梯形纸片中，，，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，连结.求证：四边形是菱形．☆如图，是菱形的边的中点，于，交的延长线于，交于，证明：与互相平分☆已知：如图，在平行四边形中，是边上的高，将沿方向平移，使点与点重合，得．若，当与满足什么数量关系时，四边形是菱形？证明你的结论．如图，在中，，是的中点．分别作于，于，于，于．相交于点．求证：四边形是菱形．FEDCBAABCD AC AD BC E F AFCE ODEFC ABABCD //AD BC AD CD >D C AD C DE BC E C E 'CDC E 'C'DCB A EE ABCD AD EF AC ⊥H CB F AB P AB EF AB CDEF P PF EDC B A ABCD AE BC ABE ∆BC E C GFC ∆60B ∠=︒AB BC ABFG GF E DCBAABC ∆AB AC =M BC MD AB ⊥D ME AC ⊥E DF AC ⊥F EG AB ⊥G DF EG 、P DMEP如图，中，，是的平分线，交于，是边上的高，交于，于，求证：四边形是菱形．☆如图，是矩形内的任意一点，将沿方向平移，使与重合，点移动到点的位置 ⑴画出平移后的三角形；⑵连结，试说明四边形的对角线互相垂直，且长度分别等于的长； ⑶当在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形是菱形？为什么？三、与菱形相关的几何综合题已知等腰中，，平分交于点，在线段上任取一点（点除外），过点作，分别交、于、点，作，交于点，连结. ⑴求证四边形为菱形⑵当点在何处时，菱形的面积为四边形面积的一半？PMF E DG CBABC ∆90ACB ∠=︒AD BAC ∠BC D CH AB AD F DE AB ⊥E CDEF HF DECBAM ABCD MAB ∆AD AB DC M 'M 'MD MC MM ，，'MDM C AB AD ，M 'MDM C M'M DC BAABC △AB AC =AD BAC ∠BC D AD P A P EF AB ∥AC BC E F PM AC ∥AB M ME AEPM P AEPM EFBM菱形周长为，一条对角线长为，则其面积为．如图，在菱形中，在上，点在上，则的最小值为已知菱形的一个内角为，一条对角线的长为则另一条对角线的长为________．已知，菱形中，、分别是、上的点，且，．求：的度数．如图，在中，，是的中点，连结，在的延长线上取一点，连结，．当与满足什么数量关系时，四边形是菱形？并说明理由．如图，、、均为直线同侧的等边三角形．已知． ⑴ 顺次连结、、、四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成MPFABDE 52cm 10cm ABCD 4AB a E =，BC 2120BE a BAD P =∠=︒，，BD PE PC +PDCBA60︒3ABCD E F BC CD 60B EAF ∠=∠=︒18BAE ∠=︒CEF ∠FEDCBAABC ∆AB AC =D BC AD AD E BE CE AE AD ABEC EDCB AACD ∆ABE ∆BCF ∆BC AB AC =A D F E 课后练习图形的类型和相应的条件．⑵ 当为度时，四边形为正方形．如图，已知、分别为中、的平分线，于，于，求证：．BAC ∠ADFE FEDCBABE CF ABC ∆B ∠C ∠AM BE ⊥M AN CF ⊥N MN BC ∥NMEFCBA。

《菱形的性质》课件

源自菱形是四边相等的平行四边形
四边相等的平行四边形是菱形
菱形的对角线互相垂直且平分
菱形的对角线相等且互相垂直
根据邻边垂直判定菱形
菱形定义：四边相等的四边形邻边垂直：对角线互相垂直的四边形判定方法：如果四边形的对角线互相垂直，那么它就是菱形证明：利用三角形全等和相似性进行证明
建筑中的应用
菱形对角线互相垂直平分菱形对角线互相平分菱形对角线长度相等菱形对角线长度的平方和等于边长的平方和
菱形对角线的角度性质
菱形对角线互相垂直，且平分菱形对角线相交于菱形中心，且平分菱形对角线长度相等，且平分菱形对角线夹角为90度，且平分
菱形对角线的垂直平分性质
菱形对角线互相垂直平分
菱形的周长等于其边长的4倍
菱形的边长等于其对角线的一半
菱形的对角线互相垂直且平分
菱形的面积等于其对角线乘积的一半
特殊菱形的面积和周长计算
特殊菱形：等边菱形、直角菱形、等腰菱
形等
面积计算：等边菱形面积=边长 ^2/2，直角菱形面积=对角线乘积/2，等腰菱形面积=底边乘以
高
周长计算：等边菱形周长=4*边长，直角菱形周长=2*对角线，等腰菱形周长 =2*底边+2*高
菱形的边长性质
菱形具有四条边，且四条边长度相等
菱形的对角线互相垂直，且平分
菱形的对角线长度相等，且等于边长的2倍
菱形的面积等于对角线乘积的一半
菱形的角度性质
菱形是四边相等的四边形菱形的对角线互相垂直且平分菱形的四个角都是直角菱形的对角线互相平分且相等
菱形对角线的长度性质
特殊菱形的性质：对称性、稳定性、对角线互相垂直等

菱形的性质及知识点归纳

菱形的性质及知识点归纳
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菱形的性质
1、对⾓线互相垂直且平分,并且每条对⾓线平分⼀组对⾓。

2、菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对⾓线所在直线，也是中⼼对称图形。

3、菱形是特殊的平⾏四边形，它具备平⾏四边形的⼀切性质。

4、四条边都相等。

5、对⾓相等，邻⾓互补。

6、在60°的菱形中，短对⾓线等于边⻓，⻓对⾓线是短对⾓线的根号三倍。

初⼆数学菱形的⼏何知识点归纳
1、判定
①有⼀组邻边相等的平⾏四边形是菱形;
②四条边都相等的四边形是菱形;
③对⾓线互相垂直的平⾏四边形是菱形
④有⼀条对⾓线平分⼀组对⾓的平⾏四边形是菱形
⑤对⾓线互相垂直且平分的四边形是菱形
2、⾯积
①对⾓线乘积的⼀半(只要是对⾓线互相垂直的四边形都可⽤);
②设菱形的边⻓为a,⼀个夹⾓为x°，则⾯积公式是:S=a^2·sinx
3、周⻓
菱形周⻓=边⻓×4 ⽤“a”表⽰菱形的边⻓，“C”表⽰菱形的周⻓，
则C=4a
菱形是特殊的平⾏四边形，⽽菱形中⼜有特殊的⼀类就是正⽅形。

菱形的性质与判定

第一章特殊的平行四边形第一节菱形一、1、提问：什么是平行四边形？答：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

2、中国结、足球网、扑克中的方块......让学生试试说出生活中出现有关菱形的例子。

→ 特殊的平行四边形推论：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

总结：（1）菱形具有一切平行四边形的性质（2）四条边都相等（3）对角线互相平分且垂直，并平分相应的对角。

二、师生互动，探究新知。

1、组织学生活动，通过折菱形纸片。

（P6）（1）菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线是它的对称轴。

（2）菱形是中心对称图形，以对角线交点为中心旋转180°后重合。

（3）测量菱形的四条边相等。

（4）菱形的对角线垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

三、图形讲解：如图，是菱形，则AB=BC=CD=AD，AC⊥BD,AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC。

四、菱性性质证明：1、如图：在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交干点O。

求证：（1）)AB=BC=CD=AD （2）AC⊥BD证明：（1）⊥四边形ABCD是菱形.⊥AB=OD,AD=BC.⊥AB=AD,⊥AB=BC=CD=AD（2）⊥AB=AD.⊥ 是等腰三角形又⊥四边形ABCD是菱形⊥OB=OD，在等腰三角形ABD中，⊥OB=OD,⊥AO⊥BD，即AC⊥BD2、做：P4练习习题：1、2、33、提示：由于菱形的对角线互相垂直平分，所以涉及菱形的问题都会在直角三角形中解决。

第二节菱形的判定一、菱形的基本性质也是判定方法。

（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）四边相等的四边形是菱形。

（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

二、记忆要点：（1）一组邻边相等+ = 菱形（2）四边都相等+ 四边形= 菱形（3）对角线互相垂直+ = 菱形（4）对角线互相垂直平分+ 四边形= 菱形做：P7练习题三、菱形的面积（1）菱形的面积=底*高（由平行四边形面积推导）（2）菱形的面积=对角线乘积的一半（3）菱形被对角线分成了四个全等的直角三角形，因此菱形的面积可以用两条对角线之积的一半来表示，（4）即菱形ABCD的S=4 S AOB=4*1/2*AO*BO=2*AO*BO=1/2AC*BD四、课堂作业：P8：做一做。

菱形判定知识点总结

菱形判定知识点总结基本概念：菱形是一个几何形状，它有四条边和四个角，每个内角都是90度。

菱形的特点是它的四条边都相等，相邻的两条边成45度角，对角线相交于90度角。

在菱形中，对角线长度相等，相对的边也相等。

菱形的判定主要包括两个方面，一是判定一个四边形是否为菱形，二是判定一个几何图形是否是菱形。

性质：1. 菱形的对角线相等平分对角；2. 菱形的每个内角都是90度；3. 菱形的相邻边相等；4. 菱形的对角线垂直相交；5. 菱形的对角线相等且互相垂直平分；6. 菱形的性质是四边形的子集，其中包括平行四边形和矩形。

定理：1. 设菱形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形；2. 设四边形的对角线相等，则这个四边形是菱形；3. 若一个四边形的对角线相等且互相垂直平分，则这个四边形是菱形；上述三个定理分别是通过菱形的基本性质得到的，通过这些定理我们可以简单判断一个四边形是否是菱形。

菱形判定应用：菱形判定在几何证明和实际问题中都有广泛的应用。

在几何证明中，菱形判定可以帮助我们判断一个已知的四边形的性质，从而展开相应的证明。

通过证明菱形的基本性质和相关定理，我们可以推导出其他定理，如平行四边形和矩形等。

在实际问题中，菱形判定可以帮助我们解决一些几何问题。

例如，当我们遇到一个已知的四边形时，通过菱形判定的方法我们可以判断出它是不是菱形，然后再进一步推导出一些相关的结论。

总结：菱形判定是数学中的一个重要概念，它的基本概念、性质和定理都对我们理解几何形状的特性和展开几何证明起着至关重要的作用。

通过学习菱形判定，我们可以更好地理解几何形状的性质和特点，解决一些与几何相关的问题。

因此，对菱形判定的学习和掌握对我们的数学学习和实际问题解决都有着重要的意义。

小学五年级数学下册认识平行四边形与菱形

小学五年级数学下册认识平行四边形与菱形认识平行四边形与菱形平行四边形是小学五年级数学下册中的重要概念之一。

它与菱形有着密切的联系。

在本文中，我们将简要介绍平行四边形和菱形的定义、性质以及它们在数学中的应用。

一、平行四边形的定义与性质平行四边形是指有四条边都是平行的四边形。

根据定义，我们可以得出以下性质：1. 对边：平行四边形的对边是平行的且长度相等，即相对的两边之间的距离相等。

2. 对角线：平行四边形的对角线互相平分，并且交点形成的线段长度相等。

3. 内角和：平行四边形的内角和等于360度，即四个内角相加等于360度。

4. 垂直对边：平行四边形的相邻内角和等于180度，即平行四边形的相对内角是补角关系。

通过以上性质，我们可以在解决与平行四边形相关的数学问题时，运用到这些规律，简化计算过程。

二、菱形的定义与性质菱形是指有四条边都相等的四边形，也可以说是由两对平行的对边组成的四边形。

下面是菱形的一些重要性质：1. 边长：菱形四条边相等。

2. 对角线：菱形的对角线互相垂直并且平分，即交点形成的线段长度相等。

3. 内角：菱形的每个内角都是90度。

4. 对边：菱形的对边是平行的。

通过菱形的性质，我们可以快速判定一个四边形是否为菱形，从而简化问题的解决过程。

三、平行四边形与菱形的应用平行四边形和菱形在几何学中有着广泛的应用。

以下是其中的一些例子：1. 房屋设计：在房屋设计中，平行四边形和菱形的概念常常用于设计门窗的形状、天花板的造型等。

2. 地质勘探：在地质勘探中，地图的绘制和测量中需要运用到平行四边形的性质。

3. 网络布线：在网络布线中，平行四边形和菱形被广泛用于设计光缆的走向和布线的优化。

结语通过对小学五年级数学下册中平行四边形和菱形的认识，我们可以发现它们在数学中的应用方面是非常广泛的。

不仅仅止步于几何学，平行四边形和菱形的概念也涉及到其他领域。

学习和掌握这些概念，对于培养学生的数学思维和解决问题的能力是非常有益的。

小学五年级数学下册认识平行四边形和菱形

小学五年级数学下册认识平行四边形和菱形平行四边形和菱形是小学五年级数学下册的重要内容。

通过学习这两种特殊的四边形，能够帮助学生进一步认识几何形状，并且加深对数学概念的理解。

本文将从定义、特点和性质三个方面进行介绍和分析。

一、定义平行四边形是有四条边的四边形，其对边是平行的。

菱形是一个有四条边的四边形，其四条边都相等，且相邻两边互相垂直。

二、特点1.平行四边形的特点：平行四边形的对边是平行的，即两条相对的边在同一平面上并且永远不会交叉。

平行四边形的任意两条相邻边的夹角都是180度。

平行四边形的对角线互相等长，且相互平分。

平行四边形的四个内角之和是360度。

平行四边形的对边长度相等。

2.菱形的特点：菱形的四条边长度相等，即AB=BC=CD=DA。

菱形的相邻两边互相垂直，即AB⊥BC，BC⊥CD，CD⊥DA，DA⊥AB。

菱形的对角线互相相等，即AC=BD。

三、性质1.平行四边形的性质：平行四边形的对边长度相等，即AB=CD，AD=BC。

平行四边形的对角线互相等长，即AC=BD。

平行四边形的对角线互相平分，即AC和BD相交于O点，AO=OC，BO=OD。

平行四边形的四个内角之和是360度，即∠A+∠B+∠C+∠D=360°。

2.菱形的性质：菱形的对角线互相垂直且平分，即AC过O点且∠AOC=90度，BD 过O点且∠BOD=90度。

菱形的两对相邻内角互补，即∠A+∠B=180度，∠B+∠C=180度，∠C+∠D=180度，∠D+∠A=180度。

通过以上的定义、特点和性质的介绍和分析，我们可以清晰地了解平行四边形和菱形的基本概念和特征。

在解决与这两种形状相关的数学问题时，我们可以根据其性质灵活应用，解题思路更加清晰明确。

总结起来，小学五年级数学下册认识平行四边形和菱形是一项重要的学习任务。

从定义、特点到性质，是我们逐步深入理解和掌握这两种几何形状的过程。

理解平行四边形和菱形的基本特征和性质，能够帮助学生在解决与它们相关的问题时更加灵活和准确。

菱形知识点总结

菱形知识点总结
菱形结构的知识点是在知识树结构中,以一个基点为中心,向四周扩散形成菱形结构的知识点总称。

其主要特征为:
1. 以一个重要知识点为基点。

该基点知识将成为整个菱形结构的核心。

2. 向四周扩散,以基点为起点,组织与之相关的次级知识点,形成上下两个等级结构。

3. 上层结构中的知识点为基点知识的次级概念,下层结构中的知识点为上层概念的细分知识点。

4. 结构整体呈现出一个对称的菱形,强调基点知识及其上下级知识点的关联性。

5. 每个知识点之间建立清晰的细分关系,层是一个"菱形知识点总结":菱形知识点总结
一、什么是菱形?
菱形是一种几何图形,由两对对角线等长的线段组成的平行四边形。

它有四个等腰的山形,两对边相互平行。

二、菱形的性质
1. 菱形的对角线等长,且两对斜边平分彼此。

2. 菱形具有轴对称性,沿着主对角线或副对角线对称。

3. 菱形的四个角度都相等,各为135度。

4. 菱形的四条边等长。

三、菱形如何划分
将菱形沿着主对角线或副对角线剖分,可以得到两个等腰三角形。

四、菱形在日常生活中的应用
1. 菱形造型常见于旗帜、标志或镶嵌式图案中。

2. 菱形可以很好地对称性,广泛应用于工业设计和艺术设计等领域。

3. 在农业上,菱形可以很好地排水,因此常用于水稻和瓜田的种植。

五、总结
菱形是一种对称性强、形状单纯但富于变化的几何图形。

深入了解其性质对于我们理解空间几何知识和应用艺术设计都很重要。

菱形的定义性质

A
B
O
D
C
四边形 19
作业
P9518、练习121、题、12
习题19.2
例1变形
菱形ABCD旳周长为16，相邻两角旳度数比为1：2．
⑴求菱形ABCD旳对角线旳长；
⑵求菱形ABCD旳面积． A
O
B
D
C
补充例题：已知如图，菱形ABCD中， E是AB旳中点，且DE⊥AB，AB=1。
求（1）∠ABC旳度数；
§19.2 .2 菱形旳定义、性质
菱形
情景创设
前面我们学习了平行四边形和矩形，懂得了假如平行四边形有一种角是直角时,成为何图形?
(矩形,由角变化得到)
假如从边旳角度,将平行四边形特殊化, 又会得到什么特殊旳四边形呢?
在平行四边形中，假如内角大小保持不变，仅
变化边旳长度，请仔细观察和思索，在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？
直，而且每一条对角线平
C
分一组对角。
命题：菱形旳对角线相互垂直平分，而且每一条对角线平分一组对角；
已知：菱形ABCD旳对角线AC和BD相交于点O，如下图，
求证：AC⊥BD ； AC平分∠BAD和∠BCD ；BD平分∠ABC和∠ADC
证明：∵四边形ABCD是菱形
A
D
∴AB=AD（菱形旳四条边都相等）
四边形集合平行四边形集合菱形集合矩形集合
四、课堂小结：矩形和菱形旳性质
矩形
菱形
定 • 有一种角是直角旳 • 有一组邻边相等旳平
义平行四边形
行四边形
性 • 1、具有平行四边形 • 1、具有平行四边形
旳一切性质
旳一切性质
质 • 2、四个角都是直角 • 2、菱形旳四条边都