北师大版七年级下册数学《全等三角形》复习讲义

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全等三角形复习
知识点一：全等三角形的判定
1、全等三角形的判定三：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”．
用数学语言表述：在△ABC和'''
A B C
∆中,
∵
'
B B
BC
C
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=
⎩
∴△ABC≌'''
A B C
∆（ASA）
2、全等三角形的判定四：两个角和其中一个角的对边对应相等的
两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”．
用数学语言表述：在△ABC和'''
A B C
∆中,
∵
'
A A
B
BC
∠=∠
⎧
⎪
∠=
⎨
⎪=
⎩
∴△ABC≌'''
A B C
∆（AAS）
3、直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写为“斜边直角边”或“HL”．
用数学语言表述：
在Rt△ABC和Rt'''
A B C
∆中，
∵
''
BC B C
AB
=
⎧
⎨
=
⎩
∴Rt△ABC≌Rt'''
A B C
∆（HL）
新知讲解
例1、已知：如图，PM＝PN，∠M＝∠N．求证：AM＝BN．
例2、如图，在△ABC中，MN⊥AC，垂足为N，且MN平分∠AMC，△ABM的周长为9cm，AN=2cm，求△ABC 的周长.
练习1、如图，已知ΔABC≌ΔA'B'C'，AD、A'D'分别是ΔABC和ΔA'B'C'的角平
分线．
（1）请证明AD＝A'D'；（2）把上述结论用文字叙述出来；（3）你还能得出其
他类似的结论吗？
A
B
C
A’
B’
C’
A’B’
B’C’
∠B’
B’C’
∠C’
C'
B'
A'
C
B
A
练习2、已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM .
例3、如图，将一等腰直角三角形ABC （AC=BC ）的直角顶点置于直线l 上，且过A 、B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为D 、E ．请你仔细观察后，在图中找出一对全等三角形，并写出说明它们全等的过程．
例4、在△ABC 中，∠ACB ＝90o ，AC ＝BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E.
（1）当直线MN 绕点C 旋转到图（1）的位置时，求证：DE ＝AD ＋BE ； （2）当直线MN 绕点C 旋转到图（2）的位置时，求证：DE ＝AD －BE ；
（3）当直线MN 绕点C 旋转到图（3）的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系.
练习3、已知：如图，AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E ＝∠B ，DE ＝CB ．求证：AD ＝AC ．
A C
D F E
B
l
练习4如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE, 垂足为F，过B 作BD⊥BC交CF的延长线于D，求证：(1)AE=CD；(2)若AC=12cm，求BD的长.
例5、已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．求证：ED⊥AC．
练习5、已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.求证：AB∥DC.
1、阅读下题及一位同学的解答过程：如图4－10，AB和CD相交于点O，且OA＝OB，∠A＝∠C．那么△AOD与△COB全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由．
答：△AOD≌△COB．
证明：在△AOD和△COB中，
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∠
=
∠
=
∠
=
∠
),
(
),
(
),
(
对顶角相等
已知
已知
COB
AOD
OB
OA
C
A
∴△AOD≌△COB（ASA）．
问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？
2、如图：已知AE交BC于点D，∠1=∠2=∠3， AB=AD. 求证：DC=BE.
A
B C
E
D
1
2
3
E
D
C
B
A
F
3、（1）已知：如图，线段AC、BD交于O，∠AOB为钝角，AB＝CD，BF⊥AC于F，DE⊥AC于E，AE＝CF．求证：BO＝DO．
（2）若∠AOB为锐角，其他条件不变，请画出图形并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
4、在一池塘边有A、B两棵树，如图7－4．试设计一种方案，测量A、B两棵树之间的距离．
随堂检测
1、已知：如图，AC与BD交于O点，AB∥DC，AB＝DC．
（1）求证：AC与BD互相平分；
（2）若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，求证：OE＝OF.
2、如图，E在AB上，∠1＝∠2，∠3＝∠4，那么AC等于AD吗？为什么？
3、如图，工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的B点处打开，墙壁厚是35 cm，B点与O 点的铅直距离AB长是20 cm，工人师傅在旁边墙上与AO水平的线上截取OC＝35 cm，画CD⊥OC，使CD＝20 cm，连接OD，然后沿着DO的方向打孔，结果钻头正好从B点处打出，这是什么道理呢？请你说出理由．
4、如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG。

求证：（1）AD=AG，（2）AD与AG的位置关系如何。

5、如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点，
（1）若AD BE CF
==，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论；
（2）若△DEF是等边三角形，问AD BE CF
==成立吗？试证明你的结论．
A
F
G
H
F E
D
C
B
A。