(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《平面向量的概念及其线性运算》理 新人教B版

[第25讲 平面向量的概念及其线性运算]
(时间：35分钟 分值：80分)
基础热身
1．[2013·石家庄模拟] 若四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →
＝0，则该四边形一定是( )
A ．直角梯形
B ．菱形
C ．矩形
D ．正方形
2．如图K25－1，e 1，e 2为互相垂直的单位向量，向量a ，b 如图，则向量a －b 可表示为( )
A ．3e 2－e 1
B ．－2e 1－4e 2
C ．e 1－3e 2
D ．3e 1－e 2
3．[2013·邯郸一模] 在△ABC 所在的平面内有一点P ，如果2PA →＋PC →＝AB →－PB →
，那么△PBC 的面积与△ABC 的面积之比是( )
A.34
B.12
C.13
D.23
4．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝λCA →＋μCB →
，则μλ
的值为( )
A ．1 B.12 C ．2 D.1
3
能力提升
5．在△ABC 中，D 为BC 的中点，已知AB →＝a ，AC →＝b ，则在下列向量中与AD →
同向的向量是( )
A.
a |a|＋
b |b| B.a |a|－b |b| C.a ＋b |a ＋b|
D ．|a|a ＋|b|b 6．[2013·长春模拟] 设OA →＝e 1，OB →
＝e 2，若e 1与e 2不共线，且点P 在线段AB 上，
|AP |∶|PB |＝2，如图K25－2所示，则OP →
＝( )
A.13e 1－23e 2
B.23e 1＋13e 2
C.13e 1＋23e 2
D.23e 1－13e 2
7．[2013·沈阳模拟] 在数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋a (n ∈N *
，a 为常数)，若平面上的三个
不共线的非零向量OA →，OB →，OC →满足OC →＝a 1OA →＋a 2 014OB →
，三点A ，B ，C 共线且该直线不过O 点，则S 2 014等于( )
A ．1 007
B ．1 006
C ．2 010
D ．2 012
8．[2013·长春质检] 已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________．
9．设a ，b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →
＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值是________．
10．在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12
MC →，则MN →
＝________．(用
e 1，e 2表示)
11．[2013·郑州模拟] 已知m >0，n >0，向量a ＝(m ，1)，b ＝(1－n ，1)且a∥b ，则1
m
＋
2
n
的最小值为________．
12．(13分)已知四点A (x ，0)，B (2x ，1)，C (2，x )，D (6，2x )．
(1)求实数x ，使两向量AB →，CD →
共线；
(2)当向量AB →与CD →
共线时，A ，B ，C ，D 四点是否在同一条直线上？
难点突破
13．(12分)已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，对于平面ABC 上任意一点O ，动点P 满足OP →
＝OA →
＋λa ＋λb ，则动点P 的轨迹是什么？其轨迹是否过定点，并说明理由．
课时作业(二十五)
【基础热身】
1．B [解析] 由AB →＋CD →＝0知，AB →＝DC →
，
即AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形． 又(AB →－AD →)·AC →＝0，∴DB →·AC →
＝0，即AC ⊥BD ， 因此四边形ABCD 是菱形，故选B.
2．C [解析] 连接图中向量a 与b 的终点，并指向a 的终点的向量即为a －b ，∴a －b ＝e 1－3e 2.
3．A [解析] 2PA →＋PC →＝AB →－PB →，即2PA →＋PC →＝AB →＋BP →＝AP →，即PC →＝3AP →
，即点P 在边
AC 上且PC ＝34A C ，即△PBC 与△ABC 在BC 边上的高的比是3
4，两三角形具有相同的底，故面
积之比为3
4
.
4．C [解析] CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23
AB →
＝CA →＋23(CB →－CA →
)＝13CA →＋23CB →，
∴λ＝13，μ＝23，∴μ
λ＝2.
【能力提升】
5．C [解析] a ＋b |a ＋b |是a ＋b 的单位向量，a ＋b 与向量AD →
同向．
6．C [解析] ∵ AP →＝2PB →，∴AB →＝AP →＋PB →＝3PB →
， OP →＝OB →＋BP →＝OB →－13AB →
＝OB →－13(OB →－OA →
)＝13e 1＋23
e 2.
7．A [解析] 由题意知，a 1＋a 2 014＝1，又数列{a n }为等差数列，所以S 2 014＝a 1＋a 2 014
2
×
2 014＝1 007，故选A.
8．1 [解析] 因为a －2b 与c 共线，向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，a －2b ＝(3，3)，所以3－3k ＝0，k ＝1.
9．－1 [解析] ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A ，B ，D 三点共线，∴存在实数λ，使AB →
＝λBD →，
即⎩
⎪⎨⎪⎧2＝2λ，p ＝－λ，∴p ＝－1. 10．－23e 1＋512e 2 [解析] ∵NC →＝14AC →＝14e 2，∴CN →
＝－14e 2.
∵BM →＝12
MC →，BM →＋MC →＝BC →＝AC →－AB →
＝e 2－e 1，
∴MC →＝23(e 2－e 1)，∴MN →＝MC →＋CN →＝2
3(e 2－e 1)－14e 2＝－23e 1＋512e 2.
11．3＋2 2 [解析] 由a ＝(m ，1)，b ＝(1－n ，1)且a ∥b 可得m ＝1－n ，即m ＋n ＝1，所以1m ＋2n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1m ＋2n (m ＋n )＝1＋n m ＋2m n ＋2≥3＋22，当且仅当n m ＝2m
n
时取等号．
12．解：(1)AB →＝(x ，1)，CD →
＝(4，x )． ∵AB →∥CD →， ∴x 2
－4＝0，即x ＝±2.
(2)当x ＝±2时，AB →∥CD →
.
当x ＝－2时，BC →＝(6，－3)，AB →
＝(－2，1)， ∴AB →∥BC →
，此时A ，B ，C 三点共线，
从而，当x ＝－2时，A ，B ，C ，D 四点在同一条直线上． 但x ＝2时，A ，B ，C ，D 四点不共线． 【难点突破】
13．解：依题意，由OP →＝OA →
＋λa ＋λb ， 得OP →－OA →
＝λ(a ＋b )， 即AP →＝λ(AB →＋AC →)．
如图，以AB ，AC 角线交于O ，
则AP →＝λAD →，
∴A ，P ，D 三点共线，
即P 点的轨迹是AD 所在的直线，由图可知P 点轨迹必过△ABC 边BC 的中点(或△ABC 的重心)．。