2019年高考数学(文科)一轮分层演练 含解析 第8章立体几何 第5讲

[学生用书P254(单独成册)]一、选择题1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，P A⊥平面ABC，则四面体P-ABC中共有直角三角形的个数为()A．4B．3C．2 D．1解析：选A．由P A⊥平面ABC可得△P AC，△P AB是直角三角形，且P A⊥BC．又∠ABC ＝90°，所以△ABC是直角三角形，且BC⊥平面P AB，所以BC⊥PB，即△PBC为直角三角形，故四面体P-ABC中共有4个直角三角形．2．如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：选A．由AC⊥AB，AC⊥BC1，得AC⊥平面ABC1．因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC．所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．3．设a，b，c是空间的三条直线，α，β是空间的两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是()A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βC．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c解析：选B．A的逆命题为：当c⊥α时，若α∥β，则c⊥β．由线面垂直的性质知c⊥β，故A正确；B的逆命题为：当b⊂α时，若α⊥β，则b⊥β，显然错误，故B错误；C的逆命题为：当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若a⊥b，则b⊥c．由三垂线逆定理知b⊥c，故C正确；D的逆命题为：当b⊂α，且c⊄α时，若b∥c，则c∥α．由线面平行判定定理可得c∥α，故D正确．4．已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β．其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选B．命题①，若α∥β，又m⊥α，所以m⊥β，又l⊂β，所以m⊥l，正确；命题②，l与m可能相交，也可能异面，错误；命题③，α与β可能平行，错误；命题④，因为m∥l，又m⊥α，所以α⊥β，正确．5．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P A⊥平面ABC，P A＝8，则P到BC的距离是() A． 5 B．2 5C．3 5 D．4 5解析：选D．如图，取BC的中点D，连接AD，则AD⊥BC．又P A⊥平面ABC，根据三垂线定理，得PD⊥BC．在Rt△ABD中，AB＝5，BD＝3，所以AD＝4．在Rt△P AD中，P A＝8，AD＝4，所以PD＝45．6．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD．将四边形ABCD 沿对角线BD折成四面体A′­BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是()A ．A ′C ⊥BDB ．∠BA ′C ＝90°C ．CA ′与平面A ′BD 所成的角为30° D ．四面体A ′­BCD 的体积为13解析：选B ．若A 成立可得BD ⊥A ′D ，产生矛盾，故A 不正确；由题设知：△BA ′D 为等腰Rt △，CD ⊥平面A ′BD ，得BA ′⊥平面A ′CD ，于是B 正确； 由CA ′与平面A ′BD 所成的角为∠CA ′D ＝45°知C 不正确； V A ′­BCD ＝V C -A ′BD ＝16，D 不正确．故选B ． 二、填空题 7．如图，已知∠BAC ＝90°，PC ⊥平面ABC ，则在△ABC ，△P AC 的边所在的直线中，与PC 垂直的直线有__________________；与AP 垂直的直线有________．解析：因为PC ⊥平面ABC ， 所以PC 垂直于直线AB ，BC ，AC ． 因为AB ⊥AC ，AB ⊥PC ，AC ∩PC ＝C ， 所以AB ⊥平面P AC ， 又因为AP ⊂平面P AC ，所以AB ⊥AP ，与AP 垂直的直线是AB ． 答案：AB ，BC ，AC AB8．如图所示，在四棱锥P -ABCD 中P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD ．(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：连接AC ，BD ，则AC ⊥BD ，因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥BD ．又P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面P AC ，所以BD ⊥PC ．所以当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，即有PC ⊥平面MBD ．而PC ⊂平面PCD ，所以平面MBD ⊥平面PCD ． 答案：DM ⊥PC (或BM ⊥PC ) 9．如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E ．要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为________．解析：设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF ． 由已知可以得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h ，又2×2＝h ×22＋（2）2，所以h ＝233，DE ＝33．在Rt △DB 1E 中， B 1E ＝（22）2－（33）2＝66． 由面积相等得66× x 2＋（22）2＝22x ，得x ＝12．即线段B 1F 的长为12． 答案：1210．已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n．其中所有正确的命题是________．(将正确命题的序号都填上)解析：借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面α，β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α、β可能垂直，如图(2)所示，故②不正确；对于③，平面α、β可能垂直，如图(3)所示，故③不正确；对于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因为n∥β，所以过n作平面γ，且γ∩β＝g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为m⊥g，所以m⊥n，故④正确．故①④正确．答案：①④三、解答题11．如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB＝PD＝DA＝2PE，CD＝3PE，F是CE的中点．(1)求证：BF∥平面ADP；(2)已知O是BD的中点，求证：BD⊥平面AOF．证明：(1)如图，取PD的中点为G，连接FG，AG，因为F是CE的中点，所以FG是梯形CDPE的中位线，因为CD＝3PE，所以FG＝2PE，FG∥CD，因为CD ∥AB ，AB ＝2PE ，所以AB ∥FG ，AB ＝FG ，即四边形ABFG 是平行四边形，所以BF ∥AG ，又BF ⊄平面ADP ，AG ⊂平面ADP ，所以BF ∥平面ADP ． (2)延长AO 交CD 于M ，连接BM ，FM ，因为BA ⊥AD ，CD ⊥DA ，AB ＝AD ，O 为BD 的中点， 所以ABMD 是正方形，则BD ⊥AM ，MD ＝2PE ． 所以FM ∥PD ， 因为PD ⊥平面ABCD ，所以FM ⊥平面ABCD ，所以FM ⊥BD ， 因为AM ∩FM ＝M ，所以BD ⊥平面AMF ， 所以BD ⊥平面AOF ．12．(2018·郑州第二次质量检测)如图，高为1的等腰梯形ABCD 中，AM ＝CD ＝13AB ＝1，M 为AB 的三等分点．现将△AMD 沿MD 折起，使平面AMD ⊥平面MBCD ，连接AB ，AC ．(1)在AB 边上是否存在点P ，使AD ∥平面MPC ?(2)当点P 为AB 边的中点时，求点B 到平面MPC 的距离．解：(1)当AP ＝13AB 时，有AD ∥平面MPC ．理由如下：连接BD 交MC 于点N ，连接NP ． 在梯形MBCD 中，DC ∥MB ，DN NB ＝DC MB ＝12， 因为△ADB 中，AP PB ＝12，所以AD ∥PN ．因为AD ⊄平面MPC ，PN ⊂平面MPC ， 所以AD ∥平面MPC ．(2)因为平面AMD ⊥平面MBCD ，平面AMD ∩平面MBCD ＝DM ， 平面AMD 中AM ⊥DM ，所以AM ⊥平面MBCD ． 所以V P -MBC ＝13×S △MBC ×AM 2＝13×12×2×1×12＝16． 在△MPC 中，MP ＝12AB ＝52，MC ＝2，又PC ＝（12）2＋12＝52，所以S △MPC ＝12×2×（52）2－（22）2＝64． 所以点B 到平面MPC 的距离为 d ＝3V P -MBCS △MPC ＝3×1664＝63．1．如图，已知四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，AD ＝2，∠DAB ＝60°，E 为AB 的中点．(1)证明：平面PCD ⊥平面PDE ；(2)若PD ＝3AD ，求点E 到平面PBC 的距离． 解：(1)证明：因为PD ⊥底面ABCD ， 所以PD ⊥AB ，连接DB ，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°， 所以△DAB 为等边三角形，又E 为AB 的中点， 所以AB ⊥DE ，又PD ∩DE ＝D ， 所以AB ⊥平面PDE ，因为CD ∥AB ，所以CD ⊥平面PDE ，因为CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PDE．(2)因为AD＝2，所以PD＝23，在Rt△PDC中，PC＝4，同理PB＝4，易知S△PBC＝15，S△EBC＝3 2，设点E到平面PBC的距离为h，连接EC，由V P-EBC＝V E-PBC得，13S△ABC·PD＝13S△PBC·h，所以h＝15 5．2．如图，E是以AB为直径的半圆上异于A，B的一点，矩形ABCD所在平面垂直于该半圆所在的平面，且AB＝2AD＝2．(1)求证：EA⊥EC；(2)设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F，EF＝1，求三棱锥E-ADF的体积．解析：(1)证明：因为矩形ABCD⊥平面ABE，CB⊂平面ABCD且CB⊥AB，所以CB⊥平面ABE，从而AE⊥BC，①又因为在半圆ABE中，AB为直径，所以∠AEB＝90°，即AE⊥BE，②由①②知AE⊥平面BCE，故有EA⊥EC．(2)因为AB∥CD，所以AB∥平面DCE．又因为平面DCE∩平面ABE＝EF，所以AB∥EF，在等腰梯形ABEF中，EF＝1，AF＝1，∠AFE＝120°，所以S△AEF＝12×EF×AF×sin 120°＝34，V E-ADF＝V D-AEF＝13×S△AEF×AD＝13×34×1＝3 12．。