3.卡诺图化简法(一)

2.5
逻辑函数的卡诺图化简法
主要要求：
掌握最小项的概念与编号方法，了解其主要性质。 理解卡诺图的意义和构成原则。 掌握用卡诺图表示和化简逻辑函数的方法。 掌握无关项的含义及其在卡诺图化简法中的应用。
一、代数化简法与卡诺图化简法的特点
代数 化简法 卡诺图
优点：对变量个数没有限制。
缺点：需技巧，不易判断结果是否最简。
已 知 真 值 表 画 函 数 卡 诺 图
[例] 已知逻辑函数 Y的 真值表如下，试画 出Y的卡诺图。
A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 Y 1 0 1 0 1 0 1 0
解：(1) 画3变量卡诺图。
(2) 找出真值表中Y=1 对应的最小项，在 卡诺图相应方格中 填1，其余不填。 BC
m0
m2
m4 m6Fra Baidu bibliotek
A
0 1
00 1 0
01 1
11 3
10 1 2
1 4
5
7
1 6
已 知 一 般 表 达 式 画 函 数 卡 诺 图
[例] 已知 Y AD AB(C BD )，试画出Y的卡诺图。 解：(1) 将逻辑式转化为与或式
Y AD AB (C BD ) AD AB C BD AD AB BC D (2) 作变量卡诺图 (3) 根据与或式填图 CD 找出各与项所对应的最小 00 01 11 10 AB 项方格填1，其余不填。 1 1 再找AB 对应方格 先找出与项 AD 对应的方格 00 最后找 BCD 对应方格
01
1 1 1
1 1 1
AD对应最小项为同时 满足A=0,D=1的方格 AB对应最小项 为同时满足 A=1,B=1的方格
11
10
BCD对应最小项为同时满足B=1,C=0,D=1的方格
[练习] 用卡诺图判别函数 Y 和 Z 的关系。
（ 1）
Y AB BC AC
Z AB BC AC
解： ① 画函数 Y 的卡诺图 BC
②画函数 Z 的卡诺图
BC A 0 1 00 01 11 1 10
A
0 1
00
1 1
01
1
11
10
1
1
1
1
③ 结论：Y 和Z 互为反函数。
[练习] 用卡诺图判别函数 Y 和 Z 的关系。
（2） Y ABC D ABC D ABC D
Z D AB BC AC ABC
0 0 0 0 1
0 0 1 1 0
0 1 0 1 0 1 0 1
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
1 0 1 1 1 1
例如
ABC 101 5 m5
m4 4 100 ABC
2.
(1) (2) (3) (4)
最小项的基本性质
对任意一最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而 其余各种变量取值均使其值为0。 不同的最小项，使它的值为1的那组变量取值也不同。 对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。 对于变量的任一组取值，全体最小项的和为1。 2n 1 m0 m1 m 2 m3 m4 m5 m6 m7 B C F mi ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC i 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1
优点：简单、直观，有一定的步骤和方法
易判断结果是否最简。
缺点：适合变量个数较少的情况。 一般用于四变量以下函数的化简。
化简法
二、最小项与卡诺图
（一）最小项的概念与性质
1. 最小项的定义和编号
卡诺图(Karnaugh maps) 是最小项按一定规则排列 成的方格图 。
n个变量有2n种组合，可对应写出2n个乘积项， 这些乘积项均具有下列特点：包含全部变量，且每 个变量在该乘积项中（以原变量或反变量）只出现 一次。这样的乘积项称为这n个变量的最小项，也称 为n变量逻辑函数的最小项。
基 本 步 骤
(1)求得逻辑函数的真值表或标准与或式或与或式。 (2)根据变量数n画出变量卡诺图。 (3)根据真值表或标准与或式或与或式填图。
用卡诺图表示逻辑函数举例
已知 [例] 试画出函数Y=∑m(0,1,12,13,15)的卡诺图 (2) 填图 解： (1) 画出四变量卡诺图 标准 CD 逻辑式中的最 00 01 11 10 与或 AB 小项m0、m1、m12、 0 3 2 式画 1 00 1 m13、m15对应的方 函数 格填1，其余不填。 7 5 6 01 4 卡诺 1 13 1 14 1 15 11 12 图 10 8 9 11 10
(3) 利用A+A=A，合并掉相同的最小项。
Y ABC D ABC D ABC D ABC D ABCD Y = m0+m1+m12+m13+m15 1111 1101 1100 0000 0001 =∑m(0,1,12,13,15) m15 m13 m12 m0 m1
（二）逻辑函数的卡诺图表示
例如 ABC+ABC =AB
（二）用卡诺图表示最小项
将n变量的2n个最小项用2n个小方格表示，并且使 相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻，这样排 列得到的方格图称卡诺图。
二 变 量 卡 诺 图
B
A 0
0
1 m 11 m 33
B
A 0
0
1 01 11
B A A A
B
AB
B
AB
m 00
m 22
00
ABC D
CD 00 01
1001 11 10
AB 00 01 11 10
？ AB CD
ABC D
三、逻辑函数的卡诺图表示
在用卡诺图表示逻辑函数时，通常需要先得 到真值表或标准与或式或与或式。
（一）逻辑函数的标准与或式
每一个与项都是最小项的与或逻辑式称为标 准与或式，又称最小项表达式。 任何形式的逻辑式都可以转化为标准与或式， 而且逻辑函数的标准与或式是唯一的。
10
1
1
AB AB
变量取0的代以反变量 取1的代以原变量 BC 三 00 01 11 变 A 量 m m 00 001 11 m 33 0 000 卡 1 m 诺 44 m 55 m 77 图
10 m 22 以循环码排列 以保证相邻性
m 66
四变量卡诺图 CD AB
以循环码排列 以保证相邻性 00 0 01 1 5 11 3 10 2 6 变量取0的代以 反变量；取1的 代以原变量。
00
01 以循环码排列 以保证相邻性 11 10
4
12 8
7
15 11
13
9
14
10
卡诺图：将n变量的2n个最小项用2n个小方格表示，并且使 相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻。 CD AB CD CD CD CD 同一行最 左与最右 方格相邻 卡诺图特点： 循环相邻性 同一列最 上与最下 方格相邻
解： ① 画函数 Y 的卡诺图 CD 00 01 11 10 AB 00 1 ②画函数 Z 的卡诺图 CD 00 01 11 10 AB
00
01
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1
01
11 1 1
11 10
10
1
③ 结论：Y 和Z 互为反函数。
AB ABC D ABC D ABCD ABC D AB ABC D ABC D ABCD ABC D
AB ABC D ABC D ABCD ABC D
AB ABC D ABC D ABCD ABC D
相邻项在 几何位置 上也相邻
如何写出卡诺图方格对应的最小项？ 已知最小项如何找相应小方格？ 原变量取1，反变量取0 例如
三 变 量 最 小 项 表
A 0 0 0 0 1 1 1 1
3. 相邻最小项
利用它便于进行卡诺图化简
两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量 均相同，称为相邻最小项，简称相邻项。
例如
相邻最小项 重要特点:
三变量最小项ABC和ABC
两个相邻最小项相加可合并为一项， 消去互反变量，化简为相同变量相与。
[例] 将逻辑式
Y ABC AB C D 化为标准与或式。
解：(1) 利用摩根定律和分配律把逻辑函数式展开为与或式。 Y ABC AB C D A BC AB (C D ) ABC ABC ABD 普通与或式，非标准与或式
(2) 利用配项法化为标准与或式。 最小项之和的形式 Y ABC ( D D) ABC ( D D) ABD(C C ) ABC D ABC D ABC D ABC D ABCD ABC D
例如
3变量逻辑函数的最小项有23=8个 A B C 最小项 简记符号 输入组合对应 如何编号？ 的十进制数 m0 0 m1 1 如何根据输入变量组 合写出相应最小项？ m2 2 m3 3 m4 4 m5 m6 m7 5 6 7
将输入变 量取值为1 的代以原 变量，取 值为0的代 以反变量， 则得相应 最小项。