逻辑函数卡诺图化简法 1
知识点3.卡诺图化简法
利用前面介绍的公式法化简逻辑函数，要熟练掌 握逻辑代数的基本公式、常用公式和一些定律，并 且需要有一定的技巧，这对许多人来说有困难。借 助卡诺图化简逻辑函数比较方便，容易掌握。卡诺 图是美国工程师karnaugh在20世纪50年代提出的， 它建立在最小项的基础上，所以首先要了解有关最 小项的内容。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
①从真值表中求标准与或式
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
②从一般表达式利用展开法求标准与或式
[例] 将下列函数化成最小项表达式。
F F( A ,B ,C ) AB AC
[解] F AB( C C ) AC( B B )
ABC ABC AB C ABC
【例3】化简逻辑函数 Y(A, B,C, D) m(0,1,2,3,4,8,12,13,14,15)
化简得：
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
【例4】化简逻辑函数
化简得：
b.四个小方格组成一个大方格、或组成一行（列）、或 处于相邻两行（列）的两端、或处于四角时，所代表的最小 项可以合并，合并后可消去两个变量。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
c.八个小方格组成一个大方格、或组成相邻的两行 （列）、或处于两个边行（列）时，所代表的最小项可以合 并，合并后可消去三个变量。
m6
用卡诺图化简逻辑函数
01
11
10
00
1
ACD
ABC 01 1
11
?
11
1 1 1 ABC
ACD
10
1
F = ACD + ABC + ACD + ABC
11
电子工程学院
卡诺图化简法举例3
化简逻辑函数 F(A,B,C,D)=Σm(2,3,4,6,10,11,12,13,15)
BC
解：
CD AB
00
01
11
10
00
11
ABD 01 1
10
00
11
ABD 01 1
1
ABC 11 1 1 1
ABD
10
11
F = ABC + ABD + ABD + BC
13
电子工程学院
卡诺图化简法举例4
化简逻辑函数 F(A,B,C,D)=Σm(0~3,5~7,8~11,13~15)
圈1：
CD AB
00
01
11
10
B 00 1 1 1 1
圈0：
CD AB
括号内的每一项 都可写可不写
任意项可以写进函数式中，也可以不写进去（因为任意项=1时， 函数值是1还是0都可）
( ) 例： Y1 = ABC + ABC + ABC
逻辑函数的卡诺图化简法
例 已知Y＝AB＋ACD＋ABCD，画卡诺图。
AB＝11
2021/8/13
1 1 1 +1 1 1
1
ABCD=0111
ACD=101
最后将剩 下的填0
15
Y1 AB AB(C C)(D D) ABC D ABCD ABC D ABCD
A因BB此C是N个三变变量量共函有数2的N个最最小小项项吗。？
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4
最小项的定义:对于N个变量，如果P是一个含有N 个因子的乘积项，而且每一个变量都以原变量或者反 变量的形式，作为一个因子在P中出现且仅出现一次， 那么就称P是这N个变量的一个最小项。
表1-17 三变量最小项真值表
2021/8/13
ABC ABC ABC ABC
ABC ABC ABC
m(2,3,4)
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9
1.2 用卡诺图表示逻辑函数
（1）卡诺图及其构成原则
卡诺图是把最小项按照一定规则排列而构成的 方框图。构成卡诺图的原则是：
① N变量的卡诺图有2N个小方块（最小项）；
② 最小项排列规则：几何相邻的必须逻辑相邻。
ABC ABC AC
(A B)C ABC AC
用卡诺图化简下列逻辑函数
用卡诺图法化简下列逻辑函数最简表达式
(1)F(A,B,C,D)=ABD+A'C'D+CD+B'D
(2)F(A,B,C,D)=(AD+B)(B'+C')D+BC+D
(3)F(A,B,C,D)=ABD+A'BD'+AC'D'+BC
表达式如下：
(1)F(A,B,C,D)=ABD+A'C'D+CD+B'D
最简：F=D
(2)F(A,B,C,D)=(AD+B)(B'+C')D+BC+D =(AD+BD)(B'+C')+BC+D
=AB'D+0+AC'D+BC'D+BC+D
最简：F=D+BC
(3)F(A,B,C,D)=ABD+A'BD'+AC'D'+BC' 最简：F=ABD+A'BD'+AC'D'+BC'
逻辑函数的卡诺图化简法
m0
m1
m2
m3
m4
m5
m6
m7
A B C ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
000 1
0
0
0
0
0
0
0
001 0
1
0
0
0
0
0
0
010 0
0
1
0
0
0
0
0
011 0
0
0
1
0
0
0
0
100 0
0
0
0
1
0
0
0
101 0
0
0
0
0
1
0
0
110 0
0
0
0
0
0
1
0
111 0
0
0
0
0
0
0
1
最小项的表示：通常用mi表示最小项，m 表示最小项,下标i为 最小项号。
m6 m7
两变量卡诺图
AB 0 1
0 AmB0 AmB1
1 mAB2 AmB3
三变量卡诺图
B
BC A
00
01
11
10
0 AmB0C AmBC1 AmBC3 AmBC2
A 1 AmBC4 AmBC5 AmBC7 AmBC6
卡诺图化简法
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2021/10/10
第6章
1
（2）最小项的表示方法 通常用符号mi来表示最小项。下标i的确定：把最小项中的
原变量记为1，反变量记为0，当变量顺序确定后，可以按顺序 排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数， 就是这个最小项的下标i。
3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为：
m 0A B C 、 m 1A B C 、 m 2A B C 、 m 3A BC m 4A B C 、 m 5A B C 、 m 6AC B 、 m 7ABC
五．逻辑函数的卡诺图化简法
1. “最小项”
（1）最小项定义 如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中
每个变量原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这 个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。
3个变量A、B、C可组成8个最小项：
A B C 、 A B C 、 A B C 、 A B 、 A C B C 、 A B C 、 A C 、 B AB
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第6章
2
（3）最小项的性质
3 变量全部最小项的真值表
A B C m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 000 1 0 0 0 0 0 0 0 001 0 1 0 0 0 0 0 0 010 0 0 1 0 0 0 0 0 011 0 0 0 1 0 0 0 0 100 0 0 0 0 1 0 0 0 101 0 0 0 0 0 1 0 0 110 0 0 0 0 0 0 1 0 111 0 0 0 0 0 0 0 1
卡诺图化简逻辑表达式
简化表达式
将合并后的逻辑表达式进行简化，得到最简 结果。
卡诺图化简逻辑表达式的注意事项
变量取值范围
在绘制卡诺图时，需要注意变量的取值范围，确 保每个最小项都能在卡诺图中表示出来。
最小项的合并
在圈选和合并最小项时，需要注意最小项的合并 条件，确保合并后的逻辑表达式是正确的。
表达式的简化
在简化逻辑表达式时，需要注意化简的规则和方 法，确保得到的结果是最简形式。
性质3
性质4
卡诺图中的覆盖性，即任何一个最小项都 可以被卡诺图中的某个方格覆盖，且只能 被覆盖一次。
卡诺图中的最小覆盖，即卡诺图中覆盖最 小项的方格数最少，且每个最小项只被覆 盖一次。
02
卡诺图化简逻辑表达式的方法
逻辑表达式的卡诺图表示
确定逻辑表达式的最小项
将逻辑表达式转换为最小项的形式，即把逻辑表达式拆分成若干个最小项。
绘制卡诺图
根据最小项的数量，绘制相应的卡诺图。卡诺图的每个格子代表一个最小项， 用相应的最小项的变量表示。
利用卡诺图化简逻辑表达式的步骤
填入最小项
将逻辑表达式的最小项填入卡诺图的相应格 子中。
圈选最小项
根据化简的目标，圈选出具有相同变量的最 小项，以合并这些最小项。
合并最小项
将圈选的最小项进行合并，得到化简后的逻 辑表达式。
实际应用中的卡诺图化简逻辑表达式
卡诺图化简方法
卡诺图化简方法
学生姓名：陈曦指导教师：杜启高
将输出与输入之间的逻辑关系写成与、或、非等运算的组合式，就是逻辑函数式。
一、逻辑函数的卡诺图表示法
将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得到的图形称为n变量最小项的卡诺图。
为了保证图中几何位置相邻地最小项在逻辑上也具有相邻性，这些数码不能按自然二进制数从小到大地顺序排列，而必须按图中的方式排列，以确保相邻的两个最小项仅有一个变量是不同的。
从卡诺图上可以看到，处在任何一行或一列两端的最小项也仅有一个变量不同，所以它们也具有逻辑相邻性。因此，从几何位置上应当将卡诺图看成是上下、左右闭合的图形。
任何一个逻辑函数都能表示为若干最小项之和的形式，自然也可以用卡诺图来表示任意一个逻辑函数。具体做法是：首先将逻辑函数化为最小项之和的形式，然后在卡诺图上标出与之相对应的最小项，在其余位置上标入0，就得到了表示该逻辑函数的卡诺图。也就是说，任何一个逻辑函数都等于卡诺图中填入1的那些最小项之和。
二、用卡诺图化解逻辑函数
化简时依据的基本原理就是具有相邻性的最小项可以合并，并消去不同的因子。由于在卡诺图上几何位置相邻与逻辑上的相邻性是一致的，因而从卡诺图上能直观的找出那些具有相邻性的最小项并将其合并化简。
合并最小项的原则：若两个最小项相邻，则可以合并为一项并消去一对因子。若四个最小项相邻并排列成一个矩形组，则可合并为一项并消去两队因子。若八个最小项相邻并且排列成一个矩形组，则可以合并成一项并消去三对因子。合并后的结果中只剩下公共因子。
逻辑函数的化简方法
一、公式法化简：是利用逻辑代数的基本公式，对函数进行消项、消因子。常用方法有：
①并项法利用公式AB+AB’=A 将两个与项合并为一个，消去其中的一个变量。
②吸收法利用公式A+AB=A 吸收多余的与项。
③消因子法利用公式A+A’B=A+B 消去与项多余的因子
④消项法利用公式AB+A’C=AB+A’C+BC 进行配项，以消去更多的与项。
⑤配项法利用公式A+A=A，A+A’=1配项，简化表达式。
二、卡诺图化简法
逻辑函数的卡诺图表示法
将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上相邻排列，得到的图形叫做n变量最小项的卡诺图。
逻辑相邻项：仅有一个变量不同其余变量均相同的两个最小项，称为逻辑相邻项。
1.表示最小项的卡诺图
将逻辑变量分成两组，分别在两个方向用循环码形式排列出各组变量的所有取值组合，构成一个有2n个方格的图形，每一个方格对应变量的一个取值组合。具有逻辑相邻性的最小项在位置上也相邻地排列。
用卡诺图表示逻辑函数：
方法一：1、把已知逻辑函数式化为最小项之和形式。
2、将函数式中包含的最小项在卡诺图对应的方格中填1，其余方格中填0。
方法二：根据函数式直接填卡诺图。
用卡诺图化简逻辑函数：
化简依据：逻辑相邻性的最小项可以合并，并消去因子。
化简规则：能够合并在一起的最小项是2n个。
如何最简：圈数越少越简；圈内的最小项越多越简。
注意：卡诺图中所有的1 都必须圈到，不能合并的1 单独画圈。
说明，一逻辑函数的化简结果可能不唯一。
合并最小项的原则：
1）任何两个相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量。
（完整版）逻辑函数的卡诺图化简法
（完整版）逻辑函数的卡诺图化简法
第⼗章数字逻辑基础
补充：逻辑函数的卡诺图化简法
1．图形图象法：⽤卡诺图化简逻辑函数，求最简与或表达式的⽅法。卡诺图是
按⼀定规则画出来的⽅框图。
优点：有⽐较明确的步骤可以遵循，结果是否最简，判断起来⽐较容易。缺点：当变量超过六个以上，就没有什么实⽤价值了。公式化简法优点：变量个数不受限制
缺点：结果是否最简有时不易判断。 2．最⼩项
（1）定义：是⼀个包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的
形式出现⼀次。
注意：每项都有包括所有变量，每个乘积它中每个变量出现且仅出项1次。如：Y=F （A ，B ）（2个变量共有4个最⼩项B A B A B A AB ）
Y=F （A ，B ，C ）（3个变量共有8个最⼩项C B A C B A C B A BC A C B A
C B A C AB ABC ）
结论： n 变量共有2n 个最⼩项。三变量最⼩项真值表
（2）最⼩项的性质
①任⼀最⼩项，只有⼀组对应变量取值使其值为1：②任意两个最⼩项的乘种为零；③全体最⼩项之和为1。
（3）最⼩项的编号：把与最⼩项对应的变量取值当成⼆进制数，与之相应的⼗
进制数，就是该最⼩项的编号，⽤m i 表⽰。
3．最⼩项表达式——标准与或式
任何逻辑函数都可以表⽰为最⼩项之和的形式——标准与或式。⽽且这种形式是惟⼀的，即⼀个逻辑函数只有⼀种最⼩项表达式。例1．写出下列函数的标准与或式：Y=F(A,B,C)=AB+BC+CA 解：Y=AB(C +C)+BC(A +A)+CA(B +B)
=ABC C B A ABC BC A ABC C AB +++++ =ABC C B A BC A C AB +++ =3567m m m m +++
卡诺图化简逻辑函数
利用卡诺图化简逻辑函数的方法称为卡诺图化简法或图形化简法。化简时依据的基本原理就是具有相邻性的最小项可以合并，并消去不同的因子。由于在卡诺图上几何位置相邻与逻辑上的相邻性是一致的，因而从卡诺图上能直观地找出那些具有相邻性的最小项并将其合并化简。
1.合并最小项的规则
(1)若两个最小项相邻，则可合并为一项并消去一对因子。合并后的结果中只剩下公共因子。
(2)若四个最小项相邻并排列成一个矩形组，则可合并为一项并消去两对因子。合并后的结果中只包含公共因子。
(3)若八个最小项相邻并且排列成一个矩形组，则可合并为一项并消去三对因子。合并后的结果中只包含公共因子。
l下图给出了最小项相邻的几种情况
最小项相邻的几种情况图
(a)(b)两个最小项相邻(c)(d)四个最小项相邻(e)八个最小项相邻
至此，可以归纳出合并最小项的一般规则：如果有个最小项相邻（n=1，2，…）并排列成一个矩形组，则它们可以合并为一项，并消去n对因子。合并后的结果中仅包含这些最小项的公共因子。
2.卡诺图化简法的步骤
用卡诺图化简逻辑函数时可按如下步骤进行：
(1)将函数化为最小项之和的形式。
(2)画出表示该逻辑函数的卡诺图。
(3)找出可以合并的最小项。
(4)选取化简后的乘积项。选取的原则：
n这些乘积项应包含函数式中所有的最小项（应覆盖卡诺图中所以的1）
n所用的乘积项数目最少，即可合并的最小项组成的矩形组数目最少
n每个乘积项包含因子最少，即各可合并的最小项矩形组中应包含尽量多的最小项例1：用卡诺图化简法将式化简为最简与—或函数式
解：首先画出表示函数y的卡诺图，如图
14 逻辑函数的卡诺图化简法
《数字电子技术》
1.4 逻辑函数的卡诺图化简法
二变量卡诺图
三变量卡诺图
《数字电子技术》
1.4 逻辑函数的卡诺图化简法
四变量卡诺图
《数字电子技术》
1.4 逻辑函数的卡诺图化简法
五变量卡诺图
《数字电子技术》
1.4 逻辑函数的卡诺图化简法
（二）卡诺图的特点：
1、卡诺图中的小方格数等于最小项总数，若逻辑 函数的变量数为 n，则小方格数为 2 n 个。 2、卡诺图行列两侧标注的0和1表示使对应方格内最 小项为1的变量取值。同时，这些0和1组成的二进制数 大小就是对应最小项的编号。此外，在卡诺图中，几何 相邻的最小项具有逻辑相邻性，因此，变量的取值不能 按照二进制数的顺序排列，必须按循环码排列。 3、卡诺图是一个上下、左右闭合的图形，即不但 紧挨着的方格是相邻的，而且上下、左右相对应的方 格也是相邻的。
《数字电子技术》
1.4 逻辑函数的卡诺图化简法
（三）用卡诺图表示逻辑函数
1、已知函数式 化成最小项之和形式 卡诺图中对应最小项格填入“1” 得到卡诺图。 例：试用卡诺图表示逻辑函数
Y ABCD AB D ACD AB
AB CD 00 01 1 11 10 1 00 01 11 10
《数字电子技术》
1.4 逻辑函数的卡诺图化简法
③ 圈的个数应尽可能少，因为一个圈对应一个与
§8-6 逻辑函数的化简——卡诺图化简1
一、将下列卡诺图表示的函数，化简为最简“与或”式
答：A
Y=答：B
A
Y+
=
答：1
=
Y
答：B
Y=答：+
=A
Y C
答：C
A
AC
Y+
=
答：C
B
A
D
A
Y+
=答：D
C
B
A
BD
D
A
Y+
+
=答：D
B
A
Y+
=
答：C
B
A
Y+
+
=答：D
B
A
Y+
=答：AD
CD
B
Y+
+
=
答：D B Y += 答：BC C B D C A Y +++= 答：D A AB B A C Y +++=
二、用卡诺图化简下列逻辑函数 1、108753210m m m m m m m m ++++
+++=）（ABCD Y 答：D B D A B A Y ++=
2、C B A ABC BC A Y ++=
答：A C B A ABC B C A B C A C B A C B A C B A ABC C A B A Y =+++++=+++=
3、C B A BC C A Y ++=
答：BC A C B A A BC BCA B C A B C A C B A BC C A Y +=
++++=++=
4、∑=），（）（7,5,21,0m ABC Y 答：C A AC B A ABC Y ++=）（
或 C A AC C B ABC Y ++=）（
5、A AB Y +=
答：B A B A B A AB A AB Y +=++=+=
6、C B C B C A Y ++=
答：C A C B A C B A C B A C AB B C A CB A C B C B C A Y +=+++++=++=
7、BC D B C B Y ++=
答：=+++++=++=D BC BCD D C B CD B D C B D C B BC D B C B Y B+D
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4-9-2102
。项小最的C、B、A量变三为项积 乘个八这称们我�个八共项积乘的件条上以备具
。次一现出仅且�次一现出式形的)C、B 、A(量变原以或)C、B、A(量变反以都量变个每② �子因个一的 它 是 都量变个 每且�子 因个三含 只都项 积乘个每① �项积乘成构则规下以按量 变辑逻个三这由若�量变辑逻个三是C、B、A设 项小最�1�
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1 1 1 1 4-9-2102 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 Y C B A 表值真的Y数函辑逻 91-1表
41
图诺卡的9-1例 41-1图
4-9-2102
。图诺卡的 )51,21,9,7,5,3,0(m∑ =)D、C、B、A(Y数函出画 9-1例
21
4-9-2102
法画的图诺卡量变四 21-1图
邻相
邻相 邻相 不
。邻 相不上线角对 。样一图地界世的 了开展同如�面球 的闭封个一于似类 它�性特的”邻相 环循“现呈并�邻 相右左�邻相下上 �”邻相辑逻“的图 诺卡识认确正
31
图诺卡的8-1例 31-1图
。同不序顺者二意注需。可即�1或0�值的块方小个 一每写填表值真按再�图诺卡出画数个量变据根 图诺卡画表值真从�1� 数函辑逻示表图诺卡用 .3
01 4-9-2102
则原成构其及图诺卡�1� 法画其及图诺卡.2
11
4-9-2102
法画的图诺卡量变三 11-1图
。 列排 � 码环循�序顺的01 邻相 、11、10、00按值取 的量变�邻相辑逻 邻相 须必的邻相何 几 ② �块方小个32有 图诺卡的量变3 ①
。法 画的图诺卡数函�C、B、A�量变三论讨先首 法画其及图诺卡的量变�2�
1
简化的数函辑逻的束约有具 4 .4 .1
法简化图诺卡 .4
数函辑逻示表图诺卡用 .3 图诺卡 .2 式达表项小最及项小最 .1
4-9-2102
法简化图诺卡的数函辑逻 3 .4 . 1
映放 束结
简化其及数函辑逻
2
4-9-2102
�性限局�点优的法简化式公
�么什是准标的简最式达表或与
3
。式达表项小最及项小最下 一论讨先以所�项小最是元单成组本基的图诺卡 。法 方种一的数函辑逻示表是也它时同�法简化解图的数 函辑逻是�图框方的来出画则规定一按是图诺卡 。点缺等定确以难果结简化终最对法简化式公了服克 它。数函辑逻简化地便方而观直以可图诺卡用利
。0入填中块方小的余其�1 入填中块方小的应对在项小最的有所中式达表把 图诺卡画式达表项小最从�2�
51
0填的下 剩将后最
101=DCA 1 1
1110=DCBA
1 1+ 1 1
1
4-9-2102
11�BA
。图诺卡的数函辑逻到得以可就�0填的下剩�1 上填都块方小的应对所�子因公的的项小最些这是就 项积乘该�项小最些那的含包所项积乘个一每把 图诺卡画式达表或�与从�3�
式达表项小最及项小最.1
5
4-9-2102
表值真项小最量变三 71-1表
。项小最个一的量变个N这是P称就么那 �次一现出仅且现出中P在子因个一为作�式形的量变 反者或量变原以都量变个一每且而�项积乘的子因个 N有含个一是P果如�量变个N于对:义定的项小最
6
4-9-2102
。1为恒和之项小最部全量变③ �0为恒积之项小最的同不个两意任② �0为均项小最该�时值组各余其取量变而�1为值的 它使值取量变组一有只�项小最个一意任于对①
4-9-2102
。断判易不时有 简最否是果结�法方的整完套一无尚前目�点缺 。制限受不数个量变�点优 �价评法简化式公
法简化图诺卡的数函辑逻 5. 3. 1
4
。 项 小 最 个 2有 共 量 变 个 NC 此 因 N数 � 吗 项 小 最 的 函 量 变 三 是 BB A �式形种两量变反和量� 变吗 原项 有小 仅最 量的 变数 个函 一量 �变 广三 推是BA
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4-9-2102
CB ) A � A ( � ) C � C ( BA � CB � BA � Y �解
CB A �
CBA � C BA �
。式达表项小最成开展CB+BA=Y将 7-1例
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7
4-9-2102
表号编的项小最量变三
81-1表
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