用卡诺图化简逻辑函数

1.4 用卡诺图化简逻辑函数

本次重点内容

1、卡诺图的画法与性质

2、用卡诺图化简函数 教学过程 应用卡诺图化简 一、卡诺图

逻辑函数可以用卡诺图表示。所谓卡诺图，就是逻辑函数的一种图形表示。对n 个变量的卡诺图来说，有2n 个小方格组成，每一小方格代表一个最小项。在卡诺图中，几何位置相邻（包括边缘、四角）的小方格在逻辑上也是相邻的。 二、最小项的定义及基本性质： 1、最小项的定义

在n 个变量的逻辑函数中，如乘积项中包含了全部变量，并且每个变量在该乘积项中或以原变量或以反变量的形式但只出现一次，则该乘积项就定义为该逻辑函数的最小项。通常用m 表示最小项，其下标为最小项的编号。编号的方法是：最小项的原变量取1，反变量取0，则最小项取值为一组二进制数，其对应的十进制数便为该最小项的编号。如最小项C B A 对应的变量取值为000，它对应十进制数为0。因此，最小项C B A 的编号为m 0，如最小项C B A 的编号为m 4，其余最小项的编号以此类推。 2、最小项的基本性质：

（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而其余各种变量取值均使它的值为0。

（2）不同的最小项，使它的值为1的那组变量取值也不同。 （3）对于变量的任一组取值，全体最小项的和为1。

图1.4.1分别为二变量、三变量和四变量卡诺图。在卡诺图的行和列分别标出变量及其状态。变量状态的次序是00，01，11，10，而不是二进制递增的次序00，01，10，11。这样排列是为了使任意两个相邻最小项之间只有一个变量改变（即满足相邻性）。小方格也可用二进制数对应于十进制数编号，如图中的四变量卡诺图，也就是变量的最

小项可用m 0, m １,m ２,……来编号。

1

01

00

01

11

10

01A BC

AB CD B A 00011110

00

01

11

10

m m m m m m

m

m

m m m m 012

3

00112233m m m m m m m m m m m m m m m m 45678910

1112131415

图1.4.1 卡诺图

二、应用卡诺图表示逻辑函数

应用卡诺图化简逻辑函数时，先将逻辑式中的最小项(或逻辑状态表中取值为1的最小项)分别用1填入相应的小方格内，其它的则填0或空着不填。如果逻辑式不是由最小项构成，一般应先化为最小项或将其列出逻辑状态表后填写。 三、应用卡诺图化简逻辑函数 1、一个正确卡诺圈的要求：

（1）画在一个卡诺圈内的1方格数必须是2m 个（m 为大于等于0的整数）。

（2）画在一个卡诺圈内的2m 个1方格必须排列成方阵或矩阵。 （3）一个卡诺圈内的1方格必须是对称相邻的。 2、利用卡诺图化简逻辑函数的步骤：

（1）先找没有相邻项的独立1方格，单独画圈。

（2）其次，找只能按一条路径合并的两个相邻方格，画圈。 （3）再次，找只能按一条路径合并的四个相邻方格，画圈。 （4）再次，找只能按一条路径合并的八个相邻方格，画圈。 （5）依此类推，若还有1方格未被圈，找合适的圈画出。 如： 化简C B A BC A C B A C B A Y +++=1

A

BC 1

0000111101

1110

00

则有：Y1=C C B +A

化简)15,14,13,12,5,4,3,0(2m Y ∑=

AB C B D C A CD B A Y +++=2

3、 具有无关项的逻辑函数的化简 逻辑函数中的无关项：

⎩⎨

⎧的取值不可能出现）一定约束关系，使它们约束项（逻辑变量之间，输出是任意的）任意项（对某些输入项

用“×”（或“d ” ）表示 利用无关项化简原则：

无关项即可看作“1”也可看作“0”。卡诺图中，圈组内的“×”视为“1”， 组外的视为“0”。

例1 为8421BCD 码，当其代表的十进制数≥5时，输出为“1”，求Y 的最简表达式。（用于间断输入是否大于5）

解：先列真值表，再画卡诺图

AB CD 00011110

00

01

11

10

000001

1111

X

X X X X X

写出表达式：Y=D C B +B +A

作业： 用卡诺图化简下列逻辑表达式：

D C BCD C B D B A B A D C B A Y +++++=1

∑=)15,11,7,3,2,1,0(2m Y

A B C D Y A B C D Y 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 × 0 0 1 1 0 1 0 1 1 × 0 1 0 0 0 1 1 0 0 × 0 1 0 1 1 1 1 0 1 × 0 1 1 0 1 1 1 1 0 × 0

1 1 1

1

1

1

1

1

×

卡诺图化简法

卡诺图化简法又称为图形化简法。该方法简单、直观、容易掌握，因而在逻辑设计中得到广泛应用。

一卡诺图的构成

卡诺图是一种平面方格图，每个小方格代表一个最小项，故又称为最小项方格图。

1．结构特点

卡诺图中最小项的排列方案不是唯一的，图2．5(a)、(b)、(c)、(d)分别为2变量、3变量、4变量、5变量卡诺图的一种排列方案。图中，变量的坐标值0表示相应变量的反变量，1表示相应变量的原变量。各小方格依变量顺序取坐标值，所得二进制数对应的十进制数即相应最小项的下标i。

在五变量卡诺图中，为了方便省略了符号“m”，直接标出m的下标i。