逻辑函数的卡诺图化简法

逻辑函数的卡诺图化简法
逻辑函数的卡诺图化简法
由前面的学习得知，利用代数法可以使逻辑函数变成较简单的形式。

但要求熟练掌握逻辑代数的基本定律，而且需要一些技巧，特别是经化简后得到的逻辑表达式是否是最简式较难确定。

运用卡诺图法可以较简便的方法得到最简表达式。

但首先需要了解最小项的概念。

一、最小项的定义及其性质
1.最小项的基本概念
由A、B、C三个逻辑变量构成的许多乘积项中有八个
被称为A、B、C的最小项的乘积项，它们的特点是 1. 每项都只有三个因子
2. 每个变量都是它的一个因子
3. 每一变量或以原变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，或以反（非）变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，各出现一次
一般情况下，对ｎ个变量来说，最小项共有2n个，如n＝3 时，最小项有23＝8个
2.最小项的性质
为了分析最小项的性质，以下列出３个变量的所有最
小项的真值表。

由此可见，最小项具有下列性质：
（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1，而在变量取其他各组值时，这个最小项的值都是0。

（2）不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值也不同。

（3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。

（4）对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。

3.最小项的编号
最小项通常用mi表示，下标i即最小项编号，用十进制数表示。

以ABC为例，因为它和011相对应，所以就称ABC 是和变量取值011相对应的最小项，而011相当于十进制中的3，所以把ABC记为m3 按此原则，3个变量的最小项
二、逻辑函数的最小项表达式
利用逻辑代数的基本公式，可以把任一个逻辑函数化成一种典型的表达式，这种典型的表达式是一组最小项之和，称为最小项表达式。

下面举例说明把逻辑表达式展开为最小项表达式的方法。

例如，要将化成最小项表达式,这时可利用的基本运算关系, 将逻辑函数中的每一项都化成包含所有变量A、B、C的项，然后再用最小项下标编号来代表最小项，即
又如，要将化成最小项表达式，可经下列几步：
（1）多次利用摩根定律去掉非号，直至最后得到一个只在单个变量上有非号的表达式；
（2）利用分配律除去括号，直至得到一个与或表达式；
（3）在以上第5个等式中，有一项AB不是最小项（缺少变量C），可用乘此项，正如第6个等式所示。

由此可见，任一个逻辑函数都可化成为唯一的最小项表达式。

三、用卡诺图表示逻辑函数
1.卡诺图的引出
一个逻辑函数的卡诺图就是将此函数的最小项表达式
中的各最小项相应地填入一个特定的方格图内，此方格图
称为卡诺图。

卡诺图是逻辑函数的一种图形表示。

下面从讨论一变量卡诺图开始，逐步过渡到多变量卡
诺图。

大家知道，n个变量的逻辑函数有2n 个最小项，因此
一个变量的逻辑函数有两个最小项。

比如有一个变量Ｄ，其逻辑函数Ｌ的最小项表达式为：
其中Ｄ和是两个最小项，分别记为m1和m0，即
m0=D，m1=D。

这两个最小项可用两个相邻的方格来表示，
如下图所示。

方格上的Ｄ和分别表示原变量和非变量。

为了简明起见，非变量可以不标出，只标出原变量Ｄ。

但是还可以进一步简化，也就是将m0，m1 只用其下标编号来表示。

若变量的个数为两个，则最小项个数为22=4项，函数
的最小项表达式为
由于有４个最小项，可用４个相邻的方格来表示。

这４个方格可以由折叠了的１变量卡诺图展开来获得，如下图所示，变量Ｄ标在图的底下，标的规律符合展开的规律，即中间两格底下为Ｄ，两边的两格底下为。

而变量Ｃ可标在展开后新的两个方格的顶上,以保持左边的第一格仍为m0 项，即维持展开前两方格最小项序号不改变。

由图中可看到一个规律：新的方格内最小项的编号比对应的原方格增加了2n-1
＝22-1＝2。

按照这个规律折叠时，方格1 后面为方格３,方格０后面为方格２，展开后即得图示的２变量卡诺图。

综上所述，可归纳“折叠展开”的法则如下：
①新增加的方格按展开方向应标以新变量。

②新的方格内最小项编号应为展开前对应方格编号加
2n-1。

按照同样的方法，可从折叠的２变量卡诺图展开获得３变量卡诺图。

３变量逻辑函数L(B,C, D)应有８个最小项，
可用８个相邻的方格来表示。

新增加的４个方格按展开方向应标以新增加的变量B（以区别于原来的变量C、D）。

而且，新增加的方格内最小项的编号为展开前对应方格编号加2n-1=23-1=4，这样即可获得３变量卡诺图如下：
同理，可得４变量卡诺图，如下图所示。

在使用时，只要熟悉了卡诺图上各变量的取值情况（即方格外各变量A、B、C、D 等取值的区域），就可直接填入对应的最小项。

将上图中的数码编号与最小项的编号——对应，可以得到下面这种形式的卡诺图。

2.卡诺图的特点
上面所得各种变量的卡诺图，其共同特点是可以直接观察相邻项。

也就是说，各小方格对应于各变量不同的组合，而且上下左右在几何上相邻的方格内只有一个因子有差别，这个重要特点成为卡诺图化简逻辑函数的主要依据。

在卡诺图水平方向的同一行里，最左和最右端的方格也是符合上述相邻规律的，例如，m4和m6 的差别仅在C 和。

同样，垂直方向同一列里最上端和最下端两个方格也是相邻的，这是因为都只有一个因子有差别。

这个特点说明卡诺图呈现
循环邻接的特性。

3.已知逻辑函数画卡诺图
根据逻辑函数的最小项表达式和卡诺图的一般形式，就可以得到相应的卡诺图。

例如，要画出逻辑函数的卡诺图时，可根据４变量卡诺图，对上列逻辑函数最小项表达式中的各项，在卡诺图相应方格内填入１，其余填入０，即可得到如下图所示的Ｌ的卡诺图。

例：画出
的卡诺图
解：
（1）利用摩根定律，可以将上式化简为：（2）因上式中最小项之和为Ｌ，故对Ｌ中的各最小项，在卡诺图相应方格内应填入０，其余填入１，即得下图所示的卡诺图。

四、用卡诺图化简逻辑函数
1.化简的依据
我们知道，卡诺图具有循环邻接的特性，若图中两个
相邻的方格均为1，则这两个相邻最小项的和将消去一个变量。

比如４变量卡诺图中的方格５和方格７，它们的逻辑加是，项消去了变量Ｃ，即消去了相邻方格中不相同的那个因子。

若卡诺图中４个相邻的方格为１，则这４个相邻的最小项的和将消去两个变量，如上述４变量卡诺图中的方格２、３、７、６，它们的逻辑加是
消去了变量Ｂ和Ｄ，即消去相邻４个方格中不相同的那两个因子
，这样反复应用的关系，就可使逻辑表达式得到简化。

这就是利用卡诺图法化简逻辑函数的某本原理。

2.化简的步骤
用卡诺图化简逻辑函数的步骤如下：
（1）将逻辑函数写成最小项表达式。

（2）按最小项表达式填卡诺图，凡式中包含了的最小项，其对应方格填1，其余方格填0。

（3）合并最小项，即将相邻的1方格圈成一组（包围圈），每一组含2n 个方格，对应每个包围圈写成一个新的乘积项。

（4）将所有包围圈对应的乘积项相加。

有时也可以由真值表直接填卡诺图，以上的（1）、（2）两步就合为一步。

画包围圈时应遵循以下原则：
（1）包围圈内的方格数必定是2n个，n 等于
0、1、2、3、…。

（2）相邻方格包括上下底相邻，左右边相邻和四角相邻。

（3）同一方格可以被不同的包围圈重复包围，但新增包围圈中一定要有新的方格，否则该包围圈为多余。

（4）包围圈内的方格数要尽可能多，包围圈的数目要尽可能少。

化简后，一个包围圈对应一个与项（乘积项），包围圈越大，所得乘积项中的变量越少。

实际上，如果做到了使每个包围圈尽可能大
，结果包围圈个数也就会少，使得消失的乘积项个数也越多，就可以获得最简的逻辑函数表达式。

下面通过举列来熟悉用卡诺图化简逻辑函数的方法。

例: 一个逻辑电路的输入是４个逻辑变量
Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ，它的真值表如下，用卡诺图法求化简的
与一或表达式及与非一与非表达式。

解：
（1）由真值表画出卡诺图，如下图所示。

（2）画包围圈合并最小项，得简化的与一或表达式。

（3）求与非一与非表达式。

二次求非然后利用摩根定律得
利用卡诺图表示逻辑函数式时，如果卡诺图中各小方格被１占去了大部分，虽然可用包围１的方法进行化简，但由于要重复利用１项
，往往显得零乱而易出错。

这时采用包围０的方法化简更为简单。

即求出非函数再对求非，其结果相同，下面举例说明。

例：化简下列逻辑函数解：
（1）由Ｌ画出卡诺图，如图所示。

（2）用包围１的方法化简，如下图所示，得
所以有：
（3）用包围０的方法化简，如图所示，
根据图得到：，两边去反后可得：
两种方法得到的结果是相同的。

实际中经常会遇到这样的问题，在真值表内对应于变量的某些取值下，函数的值可以是任意的，或者这些变量的取值根本不会出现，这些变量取值所对应的最小项称为无关项或任意项。

无关项的意义在于，它的值可以取０或取１，具体取什么值，可以根据使函数尽量得到简化而定。