逻辑函数卡诺图表示方法
逻辑函数的卡诺图化简
逻辑函数的卡诺图化简默认分类2009-11-21 13:33:47 阅读74 评论0 字号：大中小逻辑函数有四种表示方法，分别是真值表、逻辑函数式、逻辑图和卡诺图。
前三种方法在1.3.4中已经讲过，此处首先介绍逻辑函数的第四种表示方法－卡诺图表示法。
1.5.1 用卡诺图表示逻辑函数1．表示最小项的卡诺图（1）相邻最小项若两个最小项只有一个变量为互反变量，其余变量均相同，则这样的两个最小项为逻辑相邻，并把它们称为相邻最小项，简称相邻项。
例如三变量最小项ABC和AB，其中的C和为互反变量，其余变量AB都相同，故它们是相邻最小项。
显然两个相邻最小项相加可以合并为一项，消去互反变量，如。
（2）最小项的卡诺图将n 变量的2n 个最小项用2n 个小方格表示，并且使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻，这样排列得到的方格图称为n 变量最小项卡诺图，简称为变量卡诺图。
二变量、三变量、四变量的卡诺图如图1-17所示。
图1-17变量卡诺图注意：卡诺图一般画成正方形或矩形，卡诺图中小方格数应为2n 个；变量取值的顺序按照格雷码排列。
几何相邻的三种情况：①相接——紧挨着，如m5和m7、m8和m12等；②相对——任意一行或一列的两头（即循环相邻性，也称滚转相邻性）如m4和m6、m8和m10 、m3和m11等；相重——对折起来位置相重合，如五变量卡诺图中m19和m23、m25和m29等，显然相对属于相重的特例。
2．逻辑函数的卡诺图上面讲的是空白卡诺图，任何逻辑函数都可以填到与之相对应的卡诺图中，称为逻辑函数的卡诺图。
对于确定的逻辑函数的卡诺图和真值表一样都是唯一的。
（1）由真值表填卡诺图由于卡诺图与真值表一一对应，即真值表的某一行对应着卡诺图的某一个小方格。
因此如果真值表中的某一行函数值为“1”，卡诺图中对应的小方格填“1”；如果真值表的某一行函数值为0”，卡诺图中对应的小方格填“0”。
即可以得到逻辑函数的卡诺图。
【例1-18】已知逻辑函数,画出表示该函数的卡诺图解:逻辑函数的真值表如表1-14所示。
逻辑函数的标准形式和卡诺图表示法
逻辑函数的标准形式和卡诺图表⽰法1.最⼩项：定义在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因⼦的乘积项，⽽且这n个变量均以原变量或者反变量的形式在m中出现⼀次，则称m为该组变量的最⼩项。
Y=F(A,B,C) 最⼩项有2的三次⽅8个。
M7=ABC（m下标的定义为后⾯值为1的变量的组合对应的⼗进制数）最⼩项性质： 1）在输⼊变量的任何取值下必有⼀个最⼩项，⽽且仅有⼀个最⼩项的值为1； 2）全体最⼩项之和为1 3）任何俩个最⼩项的乘积为0 4）相邻（俩个最⼩项只有⼀个因⼦不同，并不是指下标数字相邻）俩个最⼩项之和可合并为⼀项并消去⼀对不同的因⼦2.最⼤项：定义在n变量的逻辑函数中，若M为包含n个变量之和，⽽且这n个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现⼀次，则称M为该组变量的最⼤项。
Y=F(A,B,C)最⼤项有8个。
M7=^A+^B+^C(m下标定义为后⾯值为0的变量值的组合对应的⼗进制数)最⼤项的性质： 1）在输⼊变量的任何取值下必有⼀个最⼤项，⽽且仅有⼀个最⼤项为0 2）全体最⼤项之积为0 3）任意俩个最⼤项之和为1 4）相邻俩个最⼤项之乘积等于各相同变量之和 5）m i=^m i3.逻辑函数标准形式（需要利⽤互补律）： 1）最⼩项之和：任⼀逻辑函数都可以⽤唯⼀最⼩项之和的形式表⽰ 2）最⼤项之积：任⼀逻辑函数都可以使⽤唯⼀最⼤项之积的形式表⽰。
最⼤项之积和最⼩项之和之间有个重要关系：Y=ΣM i （最⼩项之和）=πM k（最⼤项之积）(其中k不等于i的其他值)4.卡诺图表⽰法 卡诺图：将n变量的相邻最⼩项在⼏何位置上相邻的排列起来所组成的图形，特点：变量组合值，每⾏和相邻⾏或每列与相邻列之间的变量组合取值中仅有⼀个变量发⽣变化。
卡诺图是上下左右闭合的图形（相邻的意思） 在卡诺图的框架中，在符合最⼩项的地⽅填⼊1其他地⽅填⼊0即可。
或者直接看出积为1（最⼩项定义）的地⽅填⼊1。
卡诺图PPT课件
根据卡诺图的圈定规则，将满足逻辑函数条件的项用圈圈起来。
整理表格
对表格进行整理，使圈定的项更加清晰明了，方便阅读和理解。
CHAPTER 03
卡诺图的使用技巧
识别卡诺图中的圈
总结词
掌握识别卡诺图中圈的方法
详细描述
在卡诺图中，不同的圈表示不同的逻辑函数，通过观察圈的位置和数量，可以快 速判断出对应的逻辑函数。
与布尔代数比较
布尔代数
基于布尔变量的数学分支，通过 布尔表达式表示逻辑函数。
卡诺图
通过图形化方式表示逻辑函数， 直观地展示输入变量的组合与输
出的对应关系。
总结
卡诺图和布尔代数在表示逻辑函 数方面有相似之处，但卡诺图更 加直观，便于理解和分析多变量
逻辑函数。
CHAPTER 06
卡诺图案例分析
案例一：简单的逻辑函数化简
THANKS
[ 感谢观看 ]
总结
卡诺图相对于真值表更加 直观，便于理解和记忆， 尤其在处理多变量逻辑函 数时优势明显。
与逻辑代数比较
逻辑代数
总结
基于逻辑变量和运算符的数学分支， 通过逻辑表达式表示逻辑函数。
卡诺图相对于逻辑代数更加直观，便 于理解和分析逻辑函数，尤其在处理 多变量逻辑函数时更加方便。
卡诺图
通过图形化方式表示逻辑函数，直观 地展示输入变量的组合与输出的对应 关系。
件描述语言等。
卡诺图在处理多输入变量的复杂 逻辑问题时，可能会变得复杂和
繁琐，导致设计效率降低。
CHAPTER 05
卡诺图与其他方法的比较
与真值表比较
真值表
列出所有输入变量的所有 可能取值及对应的输出值 ，适用于输入变量较少的 情况。
18. 卡诺图化简法
二变量卡诺图
三变量的卡诺图
• 4变量的卡诺图
五变量的卡诺图
用卡诺图表示逻辑函数
1. 将函数表示为最小项之和的形式 mi 。
2. 在卡诺图上与这些最小项对应的位置上添入1 ，其余地方添0。
用卡诺图表示逻辑函数
Y (A, B,C, D) ABCD ABD AB
ABCD (C C)ABD AB[(CD) CD CD CD]
2.8 多输出逻辑函数的化简
例: Y1(A, B,C, D) (1, 4,5, 6, 7,10,11,12,13,14,15)
Y2 (A, B,C, D) (1,3, 4,5, 6, 7,12,14) Y3( A, B,C, D) (3, 7,10,11)
卡诺图化简
Y1( A, B,C, D) B AC ACD Y2 ( A, B,C, D) AD BD
m(1, 4据：具有相邻性的最小项可合并，消去 不同因子。
在卡诺图中，最小项的相邻性可以从图形 中直观地反映出来。
合并最小项的原则：
两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子
四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，消去 两对因子
在输入变量某些取值下，函数值为1或 为0不影响逻辑电路的功能，在这些取 值下为1的最小项称为任意项
逻辑函数中的无关项：约束项和任意项可以写
入函数式，也可不包含在函数式中，因此统称 为无关项。
2.7.2 无关项在化简逻辑函数中的应用
合理地利用无关项，可得更简单的化简结果。
加入（或去掉）无关项，应使化简后的项数最少， 每项因子最少······
CD
AB 00 01 11 10 00 1 0 0 1 01 1 0 0 1 11 1 1 1 1 10 1 1 1 1
用卡诺图化简逻辑函数
1.4 用卡诺图化简逻辑函数本次重点内容1、卡诺图的画法与性质2、用卡诺图化简函数 教学过程 应用卡诺图化简 一、卡诺图逻辑函数可以用卡诺图表示。
所谓卡诺图，就是逻辑函数的一种图形表示。
对n 个变量的卡诺图来说，有2n 个小方格组成，每一小方格代表一个最小项。
在卡诺图中，几何位置相邻（包括边缘、四角）的小方格在逻辑上也是相邻的。
二、最小项的定义及基本性质： 1、最小项的定义在n 个变量的逻辑函数中，如乘积项中包含了全部变量，并且每个变量在该乘积项中或以原变量或以反变量的形式但只出现一次，则该乘积项就定义为该逻辑函数的最小项。
通常用m 表示最小项，其下标为最小项的编号。
编号的方法是：最小项的原变量取1，反变量取0，则最小项取值为一组二进制数，其对应的十进制数便为该最小项的编号。
如最小项C B A 对应的变量取值为000，它对应十进制数为0。
因此，最小项C B A 的编号为m 0，如最小项C B A 的编号为m 4，其余最小项的编号以此类推。
2、最小项的基本性质：（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而其余各种变量取值均使它的值为0。
（2）不同的最小项，使它的值为1的那组变量取值也不同。
（3）对于变量的任一组取值，全体最小项的和为1。
图1.4.1分别为二变量、三变量和四变量卡诺图。
在卡诺图的行和列分别标出变量及其状态。
变量状态的次序是00，01，11，10，而不是二进制递增的次序00，01，10，11。
这样排列是为了使任意两个相邻最小项之间只有一个变量改变（即满足相邻性）。
小方格也可用二进制数对应于十进制数编号，如图中的四变量卡诺图，也就是变量的最小项可用m0, m１,m２,……来编号。
01 0100011110 01ABCABCDBA0001111000011110m m m mm m m mm mm m01230112233mmmmmmmmmmmmmmmm456789101112131415图1.4.1 卡诺图二、应用卡诺图表示逻辑函数应用卡诺图化简逻辑函数时，先将逻辑式中的最小项(或逻辑状态表中取值为1的最小项)分别用1填入相应的小方格内，其它的则填0或空着不填。
用卡诺图化简逻辑函数合并最小项的规则
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第五节 逻辑函数的化简
[例2.5.17]：用卡诺图将下式化简为最简与-或逻辑
函数式。
Y ABC ABD CD ABC ACD ACD
解： Y CD
AB 00 01 11 10
D
00 1 0 0 1
01 1 0 0 1
11 1 1 1 1
第五节 逻辑函数的化简
A A 1
可在逻辑函数式中的某一项乘 ( A A)，
然后拆成两项分别与其他项合并。
[例2.5.13]：Y BC AC AB
( A A)BC AC AB
ABC ABC AC AB
AB AC
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则可合并为一项并消去一对因子。 2. 若四个最小项相邻且排列成一个矩形组，
则可合并为一项并消去两对因子。 3. 若八个最小项相邻且排列成一个矩形组，
则可合并为一项并消去三对因子。
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第五节 逻辑函数的化简
合并两个相邻最小项的情况：
BC A 00 01 11 10
01 1 0 1
B
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第五节 逻辑函数的化简
卡诺图化简的步骤：
1. 将函数化为最小项之和的形式。
2. 画出表示该逻辑函数的卡诺图。
3. 找出可以合并的最小项。
4. 选取化简后的乘积项。
选取乘积项的原则： 1. 这些乘积项应包含函数式中所有的最小项。 2. 所用的乘积项数目最少。 3. 每个乘积项包含的因子最少。
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逻辑函数的化简方法
一、公式法化简：是利用逻辑代数的基本公式，对函数进行消项、消因子。
常用方法有：①并项法利用公式AB+AB’=A 将两个与项合并为一个，消去其中的一个变量。
②吸收法利用公式A+AB=A 吸收多余的与项。
③消因子法利用公式A+A’B=A+B 消去与项多余的因子④消项法利用公式AB+A’C=AB+A’C+BC 进行配项，以消去更多的与项。
⑤配项法利用公式A+A=A，A+A’=1配项，简化表达式。
二、卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图表示法将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上相邻排列，得到的图形叫做n变量最小项的卡诺图。
逻辑相邻项：仅有一个变量不同其余变量均相同的两个最小项，称为逻辑相邻项。
1.表示最小项的卡诺图将逻辑变量分成两组，分别在两个方向用循环码形式排列出各组变量的所有取值组合，构成一个有2n个方格的图形，每一个方格对应变量的一个取值组合。
具有逻辑相邻性的最小项在位置上也相邻地排列。
用卡诺图表示逻辑函数：方法一：1、把已知逻辑函数式化为最小项之和形式。
2、将函数式中包含的最小项在卡诺图对应的方格中填1，其余方格中填0。
方法二：根据函数式直接填卡诺图。
用卡诺图化简逻辑函数：化简依据：逻辑相邻性的最小项可以合并，并消去因子。
化简规则：能够合并在一起的最小项是2n个。
如何最简：圈数越少越简；圈内的最小项越多越简。
注意：卡诺图中所有的1 都必须圈到，不能合并的1 单独画圈。
说明，一逻辑函数的化简结果可能不唯一。
合并最小项的原则：1）任何两个相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量。
2）任何4个相邻的最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。
3）任何8个相邻最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。
卡诺图化简法的步骤：画出函数的卡诺图;画圈（先圈孤立1格；再圈只有一个方向的最小项（1格）组合）；画圈的原则：合并个数为2n；圈尽可能大（乘积项中含因子数最少）；圈尽可能少（乘积项个数最少）；每个圈中至少有一个最小项仅被圈过一次，以免出现多余项。
用卡诺图表示逻辑函数
L ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD
m( 0,6,10,13,15 )
L CD 00 01 11 10
AB 00 0 1 1 1
2. 填写卡诺图
01 1 1 1 0 11 1 0 0 1
10 1 1 1 0
用卡诺图表示逻辑函数
1、卡诺图的引出 卡诺图：将n变量的全部最小项都用小方块表示，并使具有 逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，这样, 所得到的图形叫n变量的卡诺图。 逻辑相邻的最小项：如果两个最小项只有一个变量互为反变 量，那么，就称这两个最小项在逻辑上相邻。
如最小项 m6=ABC、与 m7 =ABC 在逻辑上相邻
D
C
2、卡诺图的特点:各小方格对应于各变量不同的组合，而且上下 左右在几何上相邻的方格内只有一个因子有差别，这个重要特 点成为卡诺图化简逻辑函数的主要依据。
3. 已知逻辑函数画卡诺图Fra bibliotek当逻辑函数为最小项表达式时，在卡诺图中找出和表达式中 最小项对应的小方格填上1，其余的小方格填上0（有时也可 用空格表示），就可以得到相应的卡诺图。任何逻辑函数都 等于其卡诺图中为1的方格所对应的最小项之和。
m6 m7
两变量卡诺图
AB 0 1
0 AmB0 AmB1 1 mAB2 AmB3
三变量卡诺图 B
BC A
00
01
11
10
0 AmB0C AmBC1 AmBC3 AmBC2
A 1 AmBC4 AmBC5 AmBC7 AmBC6
四变量卡诺图
C CD AB 00 01 11 10 00 m0 m1 m3 m2 01 m4 m5 m7 m6 A 11 m12 m13 m15 m14 B 10 m8 m9 m11 m10
第五次课 公式化简法及逻辑函数的卡诺图表示法1
5
2.6.1 公式化简法
公式法化简就是利用逻辑代数的一些定理、公式 和运算规则，将逻辑函数进行简化。实现电路的器件 不同，最终要得到的逻辑函数的形式不同，其最简的 定义也不同。
对于要用小规模集成门电路实现的电路，常用的 门为与非门、或非门、与或非门等。由上一节可 知，其最终都可以由与或式、或与式转换而成。 故 最常用的是最简与或式和最简或与式。
数字电子技术基础
阎石主编（第五版） 信息科学与工程学院基础部
常见逻辑函数的几种形式
【 】 内容 回顾
与或式、与非-与非式、与或非式、 或非-或非式
两次取反
与或式
与非-与非式
摩根定理展开
★
摩根定理
展开 与或摩 非式
★
根反 定用
理
★
或非-或非式
1
2.6 逻辑函数的化简方法
一个逻辑函数有多种不同形式的逻辑表达式， 虽然描述的逻辑功能相同，但电路实现的复杂性和成 本是不同的。逻辑表达式越简单，实现的电路越简单 可靠，且低成本。因此在设计电路时必须将逻辑函数 进行简化。 注：随着集成电路的发展，集成芯片的种类越来越多。 逻辑函数是否“最简”已无太大意义。但作为设计思 路，特别对于中小规模集成电路，逻辑函数的简化是 不能忽视的。
22
A + A′B = A + B
23 AB + A B ′ = A 24
A( A + B ) = A
25
AB + A ′ C + BC = AB + A ′ C
8
1. 并项法
利用公式 AB + AB′ = A将两项合并成一 项，并消去互补因子。
3-3 逻辑函数的卡诺图化简法
F A, B, C BC A A BC ABC ABC m2 m6
A BC 0 1 00 0 0 01 0 0 11 0 0 10 1 1
方法二：将逻辑式表示成与或式，与项代表的最小项 在卡诺图中出现在行变量与列变量的交叉位置。在与项中 未出现的变量既以原变量形式出现，也以反变量形式出现。
2345任何n个变量的卡诺图是一块矩形区域该区域被划分为2个小方格每个小方格代表一个最小项所有最小项按一定顺序排列使几何相邻的最小项在逻辑上也相邻
3.5 逻辑函数的卡诺图化简法
3.5.1 最小项与最大项
1. 最小项与最大项的定义 最小项：n个变量的最小项是这n个变量的逻辑乘，每 个变量以原变量或反变量的形式出现且只出现一次。
ABC ABC ABC m7 m6 m0 m 0,6,7
或与标准型：任何一个逻辑式都可以表示成若干个最大项 积的形式。 F A, B, C m 0,6,7
m1 m2 m3 m4 m5 m1 m2 m3 m4 m5 M1M 2 M3M 4 M5 M 1,2,3,4,5
最大项：n个变量的最大项是这n个变量的逻辑和，每 个变量以原变量或反变量的形式出现且只出现一次。
三变量最小项和最大项的表示方法
2. 最小项和最大项的性质 (1) 给定n个变量的一组取值，这n个变量的2n个最小项中只 有一个等于1，2n个最大项中只有一个等于0。
(2) 全部最小项之和恒等于1；全部最大项之积恒等于0。 (4) 若干个最小项的和等于其余最小项和的反。
m2 m6
m18
逻辑函数的卡诺图表示及卡诺图化简法
A
m4
m5
m7
m6
ABC ABC ABC ABC
C (a)
.
BC 00 01 11 10
A
00
1
3
2
14
5
7
6
(b)
（3）四变量卡诺图(b) C
m0
m1
m3
m2
ABCD ABCD ABCD ABCD
m4 m5 m7 m6
ABCD ABCD ABCD ABCD
B m12 m13 m 15 m14
ABCD ABCD ABCD ABCD
.
化简依据 2n项相邻，并组成一个矩形组， 2n项可以而合并为
１项，消去n个因子，合并的结果为这些项的公因子。
.
利用卡诺图化简的规则
相邻单元格的个数必须是2n个，并组成矩 形组时才可以合并。
CD 00 01 11 10
AB
00 0 0 0 0
01 0 0 1 0
CD AB 00 01 11 10
A 00 01 11 10 00 0 1 1
11 0 0 0
1 11 0
.
（2）从逻辑表达式到卡诺图 如果表达式为最小项表达式，则可直接填入卡诺图。 例2 用卡诺图表示逻辑函数: FABCA B CAC BABC 解： 写成简化形式： Fm 0m 3m 6m 7 然后填入卡诺图：
.
例3 画出 YA B C D A C D A的C 卡诺图
圈过，即不能漏下取值为1的最小项。 （4）可重复圈。但在新画的包围圈中至少要含有1个
末被圈过的1方格，否则该包围圈是多余的。
.
3．用卡诺图化简逻辑函数的步骤：
（1）画出逻辑函数的卡诺图。 （2）合并相邻的最小项，即根据前述原则圈“１”。 （3）写出化简后的表达式。每一个圈写一个最简与 项，规则是，取值为１的变量用原变量表示，取值为 0的变量用反变量表示，将这些变量相与。然后将所 有与项进行逻辑加，即得最简与—或表达式。
数字逻辑电路- 逻辑函数的卡诺图
第二章 逻辑函数及逻辑门2-1 基本逻辑函数及运算规律 2-2 逻辑函数的真值表 2-3 逻辑函数的卡诺图卡诺图是逻辑函数的另一种表格化表示形式，它不但具有真值表的优点，还可以明确函数的最小项、最大项或任意项，并可一次性获得函数的最简表示式，所以卡诺图在逻辑函数的分析和设计中，得到了广泛的应用。
2-3-l 卡诺图的构成卡诺图是用直角坐标来划分一个逻辑平面，形成棋坪式方格，每个小方格就相当于输入变量的每一种组合。
小格中所填的逻辑值，即为对应输出函数值。
小格的编号就是输入变量按二进制权重的排序。
和真值表不同的是，坐标的划分应使变量在相邻小格间是按循环码排列的，因而便于函数在相邻最小项或最大项之间的吸收合并，能一目了然达到化简的目的。
二变量 卡诺图三变量 卡诺图四变量卡诺图例2-13 试画出函数Y＝f (A，B，C，D)的卡诺图。
Y＝∑m(0，1，2，8，11，13，14，15)+∑d(7，10)解按题中最小项及任意项的序号，分别在四变量卡诺图的对应小格内，填1或-，其余空格则填0，如图2-3所示。
由函数表达式填卡诺图例2-14试画出的卡诺图。
解：本题函数是四变量的积之和表达式，在填卡诺图之前，可先将它配项成最小项之和表达式：Y=∑m(2，5，8，10，12，14，15)同理，若已给函数是最大项之积表达式，则可按最大项序号在卡诺图对应格内填0，其余空格则填1。
若已给函数是和之积表达式，则可将函数配项成最大项之积形式，再按上述原则画卡诺图。
如果已知函数是既有积之和项，又有和之积项的混合形式，视方便可将它化成单一的积之和，或者是和之积形式，再进一步化成标准形式后，便可画成卡诺图。
例2-15 试画出函数Y的卡诺图。
Y＝ПM(1，2，7)ΠD(3，6)解作三变量的卡诺图，如图2-5所示五变量卡诺图Y＝AD+ABC+BCD+ABCD2-3-2用卡诺图化简函数 一、卡诺图化简原理 (1) 圈1法(最小项之和) ● 规则 ● 表达式例2-17 试用卡诺图化简函数Y ＝f (A ，B ，C)＝∑m (0，2，4，7)。
数字逻辑基础卡诺图化简
AB C ABC ABC
Y ( A, B, C ) m3 m6 m7 或： m (3,6,7)
2019/3/18
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例2: 写出三变量函数的最小项表达式。 解 利用摩根定律将函数变换为与或表达 式，然后展开成最小项之和形式。
Y ( A, B, C ) AB AB C AB
2019/3/18 22
m3
BCD
m11
图1-15
2019/3/18
两个最小项合并
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图1-16
2019/3/18
四个最小项合并
24
2019/3/18
图1-17
八个最小项合并
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（2）利用卡诺图化简逻辑函数 A．基本步骤： ① 画出逻辑函数的卡诺图； ② 合并相邻最小项（圈组）； ③ 从圈组写出最简与或表达式。 关键是能否正确圈组 。 B．正确圈组的原则 ① 必须按2、4、8、2N的规律来圈取值为1的相 邻最小项； ② 每个取值为1的相邻最小项至少必须圈一次， 但可以圈多次； ③ 圈的个数要最少（与项就少），并要尽可能 大（消去的变量就越多）。
2019/3/18
卡诺图化简法
含有无关项的逻辑函数的化简
2
2.4 逻辑函数的卡诺图化简法
公式化简法评价： 优点：变量个数不受限制。 缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简 有时不易判断。
利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。 它克服了公式化简法对最终化简结果难以确定等缺 点。 卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑 函数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数的一 种方法。 卡诺图的基本组成单元是最小项，所以先讨论 2019/3/18 3 一下最小项及最小项表达式。
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逻辑函数的卡诺图
1.最小项的基本概念由A、B、C三个逻辑变量构成的许多乘积项中有八个被称为A、B、C的最小项的乘积项，它们的特点是1. 每项都只有三个因子2. 每个变量都是它的一个因子3. 每一变量或以原变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，或以反（非）变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，各出现一次一般情况下，对ｎ个变量来说，最小项共有2n个，如n＝3时，最小项有23＝8个2.最小项的性质为了分析最小项的性质，以下列出３个变量的所有最小项的真值表。
由此可见，最小项具有下列性质：（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1，而在变量取其他各组值时，这个最小项的值都是0。
（2）不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值也不同。
（3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。
（4）对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。
3.最小项的编号表示，下标i即最小项编号，用十进制数表示。
以ABC为最小项通常用mi例，因为它和011相对应，所以就称ABC是和变量取值011相对应的最小项，而按此原则，3个变量的最小项011相当于十进制中的3，所以把ABC记为m3二、逻辑函数的最小项表达式利用逻辑代数的基本公式，可以把任一个逻辑函数化成一种典型的表达式，这种典型的表达式是一组最小项之和，称为最小项表达式。
下面举例说明把逻辑表达式展开为最小项表达式的方法。
例如，要将化成最小项表达式,这时可利用的基本运算关系,将逻辑函数中的每一项都化成包含所有变量A、B、C的项，然后再用最小项下标编号来代表最小项，即又如，要将化成最小项表达式，可经下列几步：（1）多次利用摩根定律去掉非号，直至最后得到一个只在单个变量上有非号的表达式；（2）利用分配律除去括号，直至得到一个与或表达式；（3）在以上第5个等式中，有一项AB不是最小项（缺少变量C），可用乘此项，正如第6个等式所示。
由此可见，任一个逻辑函数都可化成为唯一的最小项表达式。
三、用卡诺图表示逻辑函数1.卡诺图的引出一个逻辑函数的卡诺图就是将此函数的最小项表达式中的各最小项相应地填入一个特定的方格图内，此方格图称为卡诺图。
逻辑函数的卡诺图
数字逻辑基础 【例】 解 画出函数 Z ( A B)C ( B C )D 的卡诺图。
Z ( A B)C （B C）D ( A B AB )C ( BC B C ) D A BC AB C B C D BCD
式中:
A BC m6 m7 AB C m10 m11 B C D m1 m9 BCD m7 m15
卡诺图
BC A 0 1
00 0 0
01 0 1
11 1 1
10 0 1
1 1
1 1
0
1
1
1
数字逻辑基础
（2）如果给出的是逻辑函数的标准与或式——最小项表达式， 只要 在变量卡诺图上找到函数表达式所包括的全部最小项对应的小方格，并填 上1，其余的小方格填0，即可得函数的卡诺图。
CD 00 AB 00 0 01 11 10 0 0 0
数字逻辑基础
3、最小项编号
对最小项进行编号主要是为了叙述和书写方便， 编号的方法是：
•
把与最小项对应的那一组变量取值组合当成二进制数，与其对应的十进
制数就是该最小项的编号。 • 例如变量A、 B、C的最小项 对应的变量取值组合是 000，相应的十进 ABC 制数是“0”，因此其编号是“0”，记作m0。表中列出了三变量A、B、C的 每个最小项的相应编号。
例如：两变量函数 而
AB
A
AB
是最小项 不是最小项
A B
A AB
数字逻辑基础
2、最小项的性质为：
• 每一个最小项对应了一组变量取值，而任意一个最小 项只有对应的那一组变量取值组合使其值为1； • 对于某一种取值，任意两个最小项的积恒为0； • 对于某一种取值，全体最小项之和恒为1； • 若两个最小项中只有一个变量不同，则称这两个最小 项为逻辑相邻项。n变量函数，每个最小项有n个最小项 与之相邻。
卡诺图
卡诺图卡诺图是逻辑函数的图形表示。
利用卡诺图可以简化逻辑函数。
卡诺图的构成卡诺图是最小项按一定规律排列的方格图，每一个最小项占有一个小方格。
因为最小项的数目与变量数有关，设变量数为n，则最小项的数目为。
二个变量的卡诺图见下图所示。
图中第一行表示，第二行表示A；第一列表示，第二列表示B。
这样四个小方格就由四个最小项分别对号占有，行和列的符号相交就以最小项的与逻辑形式记入该方格中。
三变量卡诺图三变量卡诺图由8个最小项m0—m7组成，每个最小项占一个方格；AB组合中左数位代表A变量，右数位代表B变量。
沿横向从一个方格进行到下一个方格时，两个数位只变化一个；原变量与非变量各占4格。
四变量卡诺图∙四变量卡诺图由16个最小项m0—m15组成，每个最小项占一个方格；∙纵向方向因有两个变量CD，增加了8个方格，CD变化规律同AB；∙原变量与非变量各占8格卡诺图的有用组合卡诺图二方格相邻组合几何相邻的两个最小项是逻辑相邻的（两个最小项中只有一个变量不同）；有些方格几何上不相邻，但逻辑上却是相邻的；任何两个最小项可以合并成最小项，且可减少一个变量。
【例3】四方格卡诺图中，有F（A，B，C，D）=∑m(2，3，8，10，12)第一种组合方式：_ _m 8+m12= A C D （几何相邻）_ _m 2+m3= A B C （几何相邻）_ _m 2+m10= B C D （几何不相邻，逻辑相邻）第二种组合方式：_ _m 8+m12= A C D_ _m 2+m3= A B C_ _m 8+m10= A B D （几何不相邻，逻辑相邻）F(A,B,C,D) =∑m(2,3,8,10,12)_ _ _ _ _ _=A C D + A B C + B C D_ _ _ _ _ _=A C D + A B C + A B D两种表达式虽然形式不同，但逻辑上是等价的。
另外，m2、m8重复使用是允许的。
卡诺图四方格相邻组合四方格相邻时，4个最小项可合并成1项，且可消去两个变量。
卡诺图
物电11<11> 吴志峰 11415235卡诺图在数字电子技术中的数字逻辑电路设计的分析、化简中起着一个非常重要的数学工具的作用，通过系统的研究及总结可以让读者更为直观、全面的了解卡诺图并得以充分的利用。
1 卡诺图的定义卡诺图是逻辑函数的一种图形表示。
一个逻辑函数的卡诺图就是将此函数的最小项表达式中的各最小项相应地填入一个方格图内，此方格图称为卡诺图。
卡诺图的构造特点使卡诺图具有一个重要性质：可以从图形上直观地找出相邻最小项。
两个相邻最小项可以合并为一个与项并消去一个变量。
2 用卡诺图表示逻辑函数2.1 最小项的意义N 个变量的最小项是n 个因子的乘积，每个变量都以它的原变量或非变量的形式在乘积项中出现，且仅出现一次。
任何一个逻辑函数经过逻辑代数的基本公式的变换，都能表示成唯一的若各干最小项之和的形式，即最小项表达式2.2 最小项的编号最小项通常用M i 表示，下标i 即最小项编号，用十进制表示。
将最小项中的原变量用1表示，非变量用0 表示，可得到最小项的编号以ABC 为例，因为它和000相对应，所以就称ABC 是和变量取值000相对应的最小项，而000相当于十进制中的0，所以把ABC 记作M 3。
2.3 卡诺图的引出卡诺图是逻辑函数的一种图形表示，是将此函数的最小项表达式中的各最小项相应地填入一个特定的方格内，特定方格的系统组成及内含规律即卡诺图的作图、算法的使用原则。
依据逻辑函数中变量数的不同，卡诺图也有相对应变量数图形，从简到繁依次为一变量卡诺图、二变量卡诺图、三变量卡诺图等。
下面给出常用的四变量卡诺图，其它图形可依此推演。
填入最小项的卡诺图 最小项简化表示法由此可得出卡诺图是可以直接观察相邻项。
也就是说，各小方格对应于各变量不同的组合，而且上下左右在集合上相邻的方格内只有一个因子有差别，这个重要特点成为卡诺图化简逻辑函数的主要依据。
现在以四变量卡诺图为例来说明，为清楚起见，把各最小项填入对应方格内，且用1表示原变量，0表示非变量。
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逻辑函数卡诺图表示方法
从前面可知，代数化简法有其优点，但是代数化简法也不易判断所化简的逻辑函数式是否已经达到最简式。
一、最小项的定义 1.最小项
如果一个具有n 个变量的逻辑函数的“与项”包含全部n 个变量，每个变量以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这种“与项”被称为最小项。
对两个变量A 、B 来说，可以构成4个最小项：AB B A B A AB 、、、；对3个变量A 、B 、C 来说，可构成8个最小项：C AB C B A C B A BC A C B A C B A C B A 、、、、、、和
ABC ；同理，对n 个变量来说，可以构成2n 个最小项。
2.最小项的编号
最小项通常用符号m i 表示，i 是最小项的编号，是一个十进制数。
确定i 的方法是：首先将最小项中的变量按顺序A 、B 、C 、D … 排列好，然后将最小项中的原变量用1表示，反变量用0表示，这时最小项表示的二进制数对应的十进制数就是该最小项的编号。
例如，对三变量的最小项来说，ABC 的编号是7符号用m 7表示，C B A 的编号是5符号用m 5表示。
下表为3变量最小项对应表。
3变量全部最小项的真值表
3.最小项表达式
如果一个逻辑函数表达式是由最小项构成的与或式，则这种表达式称为逻辑函数的最小项表达式，也叫标准与或式。
例如：ABCD D ABC D BC A F ++=是一个四变量的最小项表达式。
对一个最小项表达式可以采用简写的方式，例如
()()∑=++=++=7,5,2,,752m m m m ABC C B A C B A C B A F
要写出一个逻辑函数的最小项表达式，可以有多种方法，但最简单的方法是先给出逻辑函数的真值表，将真值表中能使逻辑函数取值为 1的各个最小项相或就可以了。
例：已知三变量逻辑函数：F ＝AB ＋BC ＋AC ，写出F 的最小项表达式。
解：首先画出F 的真值表，将表中能使F 为1的最小项相或可得下式
ABC C AB C B A BC A F +++=()∑=7,6,5,3m
4.最小项的性质：
①任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1，而其余各项的取值均使它的值为0。
②不同的最小项，使它的值为1 的那组变量取值也不同。
③对于变量的任一且取值，任意两个不同的最小项的乘积必为0。
④全部最小项的和必为1。
二、表示最小项的卡诺图
逻辑函数的图形化简法是将逻辑函数用卡诺图来表示，利用卡诺图来化简逻辑函数。
1.相邻最小项
定义：如果两个最小项中只有一个变量为互反变量，其余变量均相同，则这样的两个最小项为逻辑相邻，并把它们称为相邻最小项，简称相邻项。
2.最小项的卡诺图表示
卡诺图的构成：将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序排列，这样构成的图形就是卡诺图。
下图为各不同变量的卡诺图。
图6.33二变量卡诺图
00011110m AB
m AB
1m 03m AB AB
4A
(a)
B
1
3
2
AB
(b)
0m ABC m ABC 1m 3m ABC ABC 265m ABC
74ABC
m m m ABC
ABC
0(a)
(b)
1324
5
7
6
10
01
11
00
BC
A 01
B
C A
图6.34 三变量卡诺图
图6.35 四变量卡诺图
三、真值表与函数式之间的转换 1.真值表到卡诺图方法
例：某逻辑函数的真值表如表6.3所示，用卡诺图表示该逻辑函数。
该函数为三变量，先画出三变量卡诺图，然后根据表6.3将8个最小项L 的取值0或者1填入卡诺图中对应的8个小方格中即可，如图6.36所示。
图6.36 卡诺图
2.从逻辑表达式到卡诺图
(1)如果逻辑表达式为最小项表达式，则只要将函数式中出现的最小项在卡诺图对应的小方格中填入1，没出现的最小项则在卡诺图对应的小方格中填入0。
例1:用卡诺图表示逻辑函数ABC C AB BC A C B A F +++=
解：该函数为三变量，且为最小项表达式，写成简化形式7630m m m m F +++=然后画出三变量卡诺图，将卡诺图中m 0、m 3、m 6、m 7对应的小方格填1，其他小方格填0。
(2)如果逻辑表达式不是最小项表达式，但是“与—或表达式”，可将其先化成最小项表达式，再填入卡诺图。
也可直接填入，直接填入的具体方法是：分别找出每一个与项所包含
m 0ABCD ABCD m 1ABCD m 3m ABCD 2m 567m m ABCD ABCD m ABCD 4ABCD ABCD m m 13ABCD ABCD 1412
m 15m ABCD
ABCD ABCD m ABCD 8
m 10
11
m 9
m ABCD A
B
C
D 01327
6
5
4
131415129
8
11
10
AB CD
000001
01111110
10(a)
(b)
表6.3真值表
1011010A 00BC
100011
1
1
L
的所有小方格，全部填入1。
例2:用卡诺图表示逻辑函数D C B B A G +=
图6.37例1卡诺图 图6.38例2卡诺图
（3）如果逻辑表达式不是“与—或表达式”，可先将其化成“与—或表达式”再填入卡诺图。
C D
A
B
1
11
1
11G
00000000000
001
00
A 1
111
10
F 0
1
BC
01
10。