求解电场强度13种方法(附例题)

求解电场强度方法分类赏析
一．必会的基本方法：
1．运用电场强度定义式求解
例1.质量为m 、电荷量为q 的质点，在静电力作用下以恒定速率v 沿圆弧从A 点运动到B 点,，其速度方向改变的角度为θ（弧度），AB 弧长为s ，求AB 弧中点的场强E 。

【解析】:质点在静电力作用下做匀速圆周运动，则其所需的向心力由位于圆心处的点
电荷产生电场力提供。

由牛顿第二定律可得电场力F = F 向 = m r
v 2。

由几何关系有r = θs ，所以F = m s v θ2，根据电场强度的定义有 E = q F = qs
mv θ2。

方向沿半径方向，指向由场源电荷的电性来决定。

2．运用电场强度与电场差关系和等分法求解
例2（2012安徽卷）．如图1-1所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O 处的电势为0V ，点A 处的电势为6V ，点B 处的电势为3V ，则电场强度的大小为A
A ．200/V m B
．/m
C ． 100/V m D
．/m
（1）在匀强电场中两点间的电势差U = Ed ，d 为两点沿电场强度方向的距离。

在一些非强电场中可以通过取微元或等效的方法来进行求解。

（2若已知匀强电场三点电势，则利用“等分法”找出等势点，画出等势面，确定电场线，再由匀强电场的大小与电势差的关系求解。

3．运用“电场叠加原理”求解
例3(2010海南).如右图2， M 、N 和P 是以MN 为直径的半圈弧上的三点，O 点为半圆弧的圆心，60MOP ∠=︒．电荷量相等、符号相反的两个点电荷分别置于M 、N 两点，这时O 点电场强度的大小为1E ；若将N 点处的点电荷移至P
则O 点的场场强大小变为2E ，1E 与2E 之比为B
A ．1:2
B ．2:1 C
． D
．二．必备的特殊方法：
4．运用平衡转化法求解
例4．
一金属球原来不带电，现沿球的直径的延长线放置
图3
N
图2
一均匀带电的细杆MN ，如图3所示。

金属球上感应电荷产生的电场在球内直径上a 、b 、c 三点的场强大小分别为E a 、E b 、E c ，三者相比（ ）
A ．E a 最大
B ．E b 最大
C ．E c 最大
D ．
E a = E b = E c
【解析】:导体处于静电平衡时，其内部的电场强度处处为零，故在球内任意点，感应电荷所产生的电场强度应与带电细杆MN 在该点产生的电场强度大小相等，方向相反。

均匀带电细杆M N 可看成是由无数点电荷组成的。

a 、b 、c 三点中，c 点到各个点电荷的距离最近，即细杆在c 点产生的场强最大，因此，球上感应电荷产生电场的场强c 点最大。

故正确选项为C 。

点评：求解感应电荷产生的电场在导体内部的场强，转化为求解场电荷在导体内部的场强问题，即E 感 = -E 外 （负号表示方向相反）。

5．运用“对称法”（又称“镜像法”）求解
例5．（2013新课标I ）如图4，一半径为R 的圆盘上均匀分布着电荷量为Q 的电荷，在垂直于圆盘且过圆心c 的轴线上有a 、 b 、d 三个点，a 和b 、b 和c 、 c 和d 间的距离均为R ，在a 点处有一电荷量为q (q>O)的固定点电荷.已知b 点处的场强为零，则d 点处场强的大小为(k 为静电力常量)
A.k
B. k
C. k
D. k
【解析】:点电荷+q 在b 点场强为E 1、薄板在b 点场强为E 2，b 点场强为零是E 1与E 2叠加引起的，且两者在此处产生的电场强度大小相等，方向相反，大小E 1 = E 2 = 2R
kq 。

根据对称性可知，均匀薄板在d 处所形成的电场强度大小也为E 2，方向水平向左；点电荷在d 点场强E 3 = 2)
3(R kq ，方向水平向左。

根据叠加原理可知，d 点场 E d = E 2 + E 3 = 2910R
kq 。

点评：对称法是利用带电体电荷分布具有对称性，或带电体产生的电场具有对称性的特点来求合电场强度的方法。

通常有中心对称、轴对称等。

例7 如图6所示，在一个接地均匀导体球的右侧P
点距球心的距离为d ，球半径为R .。

在P 点放置一个电荷
量为 +q 的点电荷。

试求导体球感应电荷在P 点的电场强
度大小。

析与解：如图6所示，感应电荷在球上分布不均匀，靠近P 一侧较密，关于OP 对称，因此感应电荷的等效分
布点在OP 连线上一点P ′。

设P ′ 距离O 为r ，导体球接地，故球心O 处电势为零。

根据电势叠加原理可知，导体表面感应电荷总电荷量Q 在O 点引起的电势与点电荷q 在O 点引导起的电势之和为零，即d
kq +R kQ = 0，即感应电荷量Q = q d R 。

同理，Q 与q
在球面上任图
4 图6
意点引起的电势叠加之后也为零，即22cos 2r Rr R kQ
+-α=22cos 2d Rd R kq +-α，其
中α为球面上任意一点与O 连线和OP 的夹角，具有任意性。

将Q 代入上式并进行数学变换后得 d 2r 2 – R 4 = (2Rrd 2 – 2R 3d )cos α，由于对于任意α角，该式都成立，因此，r 满足的关
系是r = d
R 2。

根据库仑定律可知感应电荷与电荷q 间的相互作用力F = 2)(r d kqQ -=2222)
(R d kdRq -。

根据电场强度定义可知感应电荷在P 点所产生的电场强度E =
q F =222)
(R d kdRq -。

6．运用“等效法”求解
例6．（2013安徽卷）.如图5所示，xOy 平面是无穷大导体的表面，该导体充满0z <的空间，0z >的空间为真空。

将电荷为q 的点电荷置于z 轴上z=h 处，则在xOy 平面上会产生感应电荷。

空间任意一点处的电场皆是由点电荷q 和导体表面上的感应电荷共同激发的。

已知静电平衡时导体内部场强处处为零，则在z 轴上2h z =
处的场强大小为（k 为静电力常量） A.24q k h B.249q k h C.2329q k h D.2
409q k h 【解析】:求金属板和点电荷产生的合场强，显然用现在的公式直接求解比较困难。

能否用中学所学的知识灵活地迁移而解决呢？当然可以。

由于xOy 平面是无穷大导体的表面，电势为0，而一对等量异号的电荷在其连线的中垂线上电势也为0，因而可以联想成图6中所示的两个等量异号电荷组成的静电场等效替代原电场。

根据电场叠加原理，容易求得2h z =点的场强，22()2
24039()2
q h q q E k k k h h =+=，故选项D 正确。

点评：（1）等效法的实质在效果相同的情况下，利用问题中某些相似或相同效果进行知识迁移的解决问题方法，往往是用较简单的因素代替较复杂的因素。

（2）本题也可以用排除法求解.仅点电荷q 在2h z =处产生的场强就是24q k h ，而合场强一定大于2
4q k h ，符合的选项只有D 正确。

图5 图6
例6如图5（a ）所示，距无限大金属板正前方l 处，有正点电荷q ，金属板接地。

求距金属板d 处a 点的场强E （点电荷q 与a 连线垂直于金属板）。

析与解：a 点场强E 是点电荷q 与带电金属板
产生的场强的矢量和。

画出点电荷与平行金属板间的电场线并分析其的疏密程度及弯曲特征，会发现其形状与等量异种点电荷电场中的电场线分
布相似，金属板位于连线中垂线上，其电势为零，
设想金属板左侧与 +q 对称处放点电荷 -q ，其效果与+q 及金属板间的电场效果相同。

因此，在+q 左侧对称地用 –q 等效替代金属板，如图5（b ）
所示。

所以，a 点电场强度E a = kq [22)
(1)(1d l d l ++-]。

7运用“微元法”求解
例7．（2006•甘肃）.ab 是长为l 的均匀带电细杆，P 1、P 2是位于ab 所在直线上的两点，位置如图7所示．ab 上电荷产生的静电场在P 1处的场强大小为E 1，在P 2处的场强大小为E 2．则以下说法正确的是（ ）
A 两处的电场方向相同，E1＞E2
B 两处的电场方向相反，E1＞E2
C 两处的电场方向相同，E1＜E2
D 两处的电场方向相反，E1＜E2．
．
【解析】: 将均匀带电细杆等分为很多段，每段可看作点电荷，由于细杆均匀带电，我们取a 关于P 1的对称点a′，则a 与a′关于P 1点的电场互相抵消，整个杆对于P 1点的电场，仅仅相对于a′b 部分对于P 1的产生电场．而对于P 2，却是整个杆都对其有作用，所以，P 2点的场强大．设细杆带正电,根据场的叠加，这些点电荷在P 1的合场强方向向左，在P 2的合场强方向向右，且E 1＜E 2．故选D ．
点评：（1）因为只学过点电荷的电场或者匀强电场，而对于杆产生的电场却没有学过，因而需要将杆看成是由若干个点构成，再进行矢量合成．
（2）微元法就是将研究对象分割成许多微小的单位，或从研究对象上选取某一“微元”加以分析，找出每一个微元的性质与规律，然后通过累积求和的方式求出整体的性质与规律。

严格的说，微分法是利用微积分的思想处理物理问题的一种思想方法
图7 （a ） +q d a l 图5
+q - q a （b ）
例8 如图7（a ）所示，一个半径为R 的均匀
带电细圆环，总量为Q 。

求圆环在其轴线上与环
心O 距离为r 处的P 产生的场强。

析与解：圆环上的每一部分电荷在P 点都产
生电场，整个圆环在P 所建立电场的场强等于各
部分电荷所产生场强的叠加。

如图7（b ）在圆环
上取微元Δl ，其所带电荷量Δq = R
Q π2Δl ，在P 点产生的场强： ΔE = 22R r q k +∆=)
(222R r R l kQ +∆π 整个圆环在P 点产生的电场强度为所有微元产生的场强矢量和。

根据对称性原理可，所有微元在P 点产生场强沿垂直于轴线方向的分量相互抵消，所以整个圆环在P 点产生场中各微元产生的场强沿轴线方向分量之和，即
E P = ΣΔE cos θ = Σ2222)(2R r r R r R l kQ +⋅+∆π=322)
(R r kQr + 8．运用“割补法”求解
例8. 如图8所示，用长为L 的金属丝弯成半径为r 的圆弧，但在A 、B 之间留有宽度为d 的间隙，且d 远远小于r ，将电量为Q 的正电荷均为分布于金属丝上，求圆心处的电场强度。

【解析】:假设将这个圆环缺口补上，并且已补缺部分的电荷密度
与原有缺口的环体上的电荷密度一样，这样就形成一个电荷均匀
分布的完整带电环，环上处于同一直径两端的微小部分所带电荷
可视为两个相应点的点电荷，它们在圆心O 处产生的电场叠加后合场强为零。

根据对称性可知，带电小段，由题给条件可视为点电荷，它在圆心O 处的场强E 1，
是可求的。

若题中待求场强为E 2
，则E 1+ E 2＝
0。

设原缺口环所带电荷的线密度为
ρ,Q ρπ＝/(2r-d)，则补上的那一小段金属丝带电量
Q ＇＝d ρ，在
0处的场强E 1＝K Q ＇/r 2
,由E 1+ E 2＝0可得：E 2＝- E 1，负号表示E 2与E 1反向，背向圆心向左。

例9 如图8（a ）所示，将表面均匀带正电的半球，沿线分成两部分，然后将这两部分移开很远的距离，设分开后的球表面仍均匀带电。

试比较A ′点与 A ″点电场强度的大小。

析与解：如图8（b ）所示，球冠上正电荷在A ′点产生的电场强度为E 1、球层面上正电荷在A ″点产生电场强度为E 2。

球冠与球层两部分不规则带电体产生的电场强度，无法用所学公式直接进行计算或比较。

于是，需要通过补偿创造出一个可以运用已知规律进行比较的条件。

r 图8 图7 （b ） （a ） （a ） （b ） （c ） 图8
在球层表面附着一个与原来完全相同的带正电半球体，如图8（c ）所示，显然由叠加原理可知，在A ″点产生电场强度E 3 > E 2。

若将球冠与补偿后的球缺组成一个完整球体，则则均匀带电球体内电场强度处处为零可知，E 1与E 3大小相等，方向相反。

由此可以判断，球冠面电荷在A ′点产生的电场强度为E 1大于球层面电荷在A ″点产生电场强度E 2。

9运用“极值法”求解
例9．如图9所示，两带电量增色为+Q 的点电荷相距2L ，MN 是两电荷连线的中垂线，求MN 上场强的最大值。

【解析】:用极限分析法可知，两电荷间的中点O 处的场强为零，在中垂线MN 处的无穷远处电场也为零，所以MN 上必有场强的最大值。

最常规方法找出所求量的函数表达式，再求极值。

点评：物理学中的极值问题可分为物理型和数学型两类。

物理型主要依据物理概念、定理、定律求解。

数学型则是在根据物理规律列方程后，依靠数学中求极值的知识求解。

本题属于数学型极值法，对数学能力要求较高，求极值时要巧妙采用数学方法才能解得。

10运用“极限法”求解
例10（2012安徽卷）．如图11-1所示，半径为R 的均匀带电圆形平板，单位面积带电量为σ，其轴线上任意一点P （坐标为x ）的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出：221/2
2[1]()x E k R x πσ=-+，方向沿x 轴。

现考虑单位面积带电量为0σ的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r 圆板，在Q 处形成的场强为02E k πσ=。

的圆版，如图11-2所示。

则圆孔轴线上任意一点Q （坐标为x ）的电场强度为
A ．0
221/22()x k r x πσ+ B. 0221/22()r k r x πσ+ C ．02x k r πσ D ．02r k x
πσ 【解析1】:由题中信息可得单位面积带电量为
0σ无限大均匀带电平板，可看成是R →∞的
圆板，在Q 处形成的场强为02E k πσ=。

而挖去的半径为r 的圆板在Q 点形成的场强为
0221/2
2[1]()x E k r x πσ'=-+，则带电圆板剩余部分在Q 点形成的场强为0
221/22()x E E k r x πσ'-=+。

正确选项：A 【解析2】: R →∞的圆板，在Q 处形成的场强为02E k πσ=。

当挖去圆板r →0时，坐标x 处的场强应为02E k πσ=，将r=0代入选项，只有A 符合。

图11-1 图11-2
点评：极限思维法是一种科学的思维方法，在物理学研究中有广泛的应用。

我们可以将该物理量或它的变化过程和现象外推到该区域内的极限情况(或极端值)，使物理问题的本质迅速暴露出来，再根据己知的经验事实很快得出规律性的认识或正确的判断。

11.运用“图像法”求解
例11(2011北京理综).静电场方向平行于x 轴，其电势φ随x 的分布可简化为如图12所示的折线，图中φ0和d 为已知量。

一个带负电的粒子在电场中以x =0为中心，沿x 轴方向做周期性运动。

已知该粒子质量为m 、电量为-q ，其动能与电势能之和为－A （0<A <qφ0）。

忽略重力。

求：（1）粒子所受电场力的大小。

【解析】:（1）由图可知，0与d （或-d ）两点间的电势差为φ0
电场强度的大小 0E d
ϕ= 电场力的大小 0q F qE d ϕ==
点评：物理图线的斜率,其大小为k=纵轴量的变化量/
横轴量的变化量。

但对于不同的具体问题,k
的物理意义并不相同。

描述电荷在电场中受到的电场力F 与电量q 关系的F-q
图像的斜率表示电场强度，同样，电势对电场方向位移图像的斜率也表示场强。

12．运用“类比法”求解
例10 如图9（a ）所示，ab 是半径为 r 的圆的一条直径，该圆处于匀强电场中，电场强度为E 。

在圆周平面内，将一电荷量为 q 的
带正电小球从 a 点以相同的动能抛出，抛出方
向不同时，小球会经过圆周上不同的点。

在这些
点中，到达 c 点时小球的动能最大。

已知 ∠cab
= 30°。

若不计重力和空气阻力，试求：
⑴ 电场的方向与弦ab 间的夹角。

⑵ 若小球在 a 点时初速度方向与电场方向垂直，则小球恰好落在 c 点时的动能为多大。

析与解：⑴ 求解电场强度方向问题看起来
简单但有时是比较复杂而困难的。

本题中，在匀强电场中，仅电场力做功，不计重力，则电势能与动能之和保持不变。

在两个等势面间电势差最大，则动能变化量最大。

因此，小球到达 c 点时小球的动能最大，则ac 间电势最大。

根据重力场类比，可知c 点为其最低点，电场方向与等势面垂直，由“重力”竖直向下可以类比，出电场方向沿oc 方向，与弦ac 夹角为30°。

⑵ 若小球在a 点初速度方向与电场方向垂直，则小球将做类平抛运动，由图9（b ）可知，ad = r cos30°=2
3r 、cd = r (1 + sin30°) = 23r 。

小球在初速度方向上做匀速运动，其初速度v 0 =
t ad 。

在电场方向上做匀加速运动，加速度a = m qE ，cd = 2
1at 2。

从a 到c ，由动能定理有 qE ·cd = E k –2
1m v 02，联立上述方程解得小球落到c 点动能为E k = 8
13qEr 。

图12 （a ） 图8
（b ）
13．综合运用力学规律求解
例13.在水平方向的匀强电场中，有一带电微粒质量为m，电量为q，从A点以初速v0竖直向上射入电场，到达最高点B时的速度大小为2v0，如图13所示。

不计空气阻力。

试求该电场的场强E。

【解析】:带电微粒能达到最高点，隐含微粒的重力不能忽略的条件。

因此，微粒在运动过程中受到竖直向下的重力mg和水平向右的电场力qE。

微粒在水平
方向上做匀加速直线运动，在竖直方向上做竖直上抛运动。

到达最高点
B点时，竖直分速度v y = 0，设所用的时间为t，运用动量定理的分量式：
水平方向上qEt = m(2v0) – 0、
图13
竖直方向上mgt = 0 – (–mv0)，
解得:E =2mg/q。

点评：带电粒子或带电体在复合电场中的运动时，受到电场力与其他力的作用而运动，运动过程复杂，因此解题过程中要综合分析物体的受力状况与初始条件，然后选择相应的物理规律进行求解。