机械能守恒教师讲义

机械能及其守恒定律一、考点扫描（一）知识整合1．机械能（1）势能：由物体间的_________和物体间的______________决定的能量叫做势能。

（2）重力势能：①定义：地球上的物体由具有跟它的___________有关的能量叫重力势能，是物体和地球共有的。

表达式E p=________.②重力势能E p=mgh是相对的，式中的h是_______________________；它随选择的_______不同而不同，要说明物体具有多少重力势能，首先要指明参考点(即零点)．而重力势能的变化与零重力势能面的选取_____________。

③重力势能是物体和地球这一系统共同所有，单独一个物体谈不上具有势能．即：如果没有地球，物体谈不上有重力势能．平时说物体具有多少重力势能，是一种习惯上的简称．④重力势能是_____量，它没有方向．但是重力势能有正、负．此处正、负不是表示方向，而是表示比零点的能量状态高还是低．势能大于零表示比零点的能量状态高，势能小于零表示比零点的能量状态低．零点的选择不同虽对势能值表述不同，但对物理过程没有影响．即势能是相对的，势能的变化是绝对的，势能的变化与零点的选择无关．⑤重力做功与重力势能变化的关系：__________________________________________.可以证明，重力做功与路径无关，由物体所受的重力和物体初、末位置所在水平面的高度差决定，即：W G=mg△h．所以重力做的功等于重力势能增量的负值，即W G= -△E p．(3)弹性势能：物体因发生__________而具有的势能叫做弹性势能。

弹性势能的大小与___________________，弹簧的_____________，弹簧的弹性势能越大。

（4）机械能：物体的__________________统称为机械能2．机械能守恒定律：（1）内容：在只有_____________做功的情况下，物体的______________________发生相互转化，但总的机械能保持不变。

（2）表达式：______________________或________________________。

二、高考要点精析（一）重力势能及其变化重力势能的变化量决定于重力做功。

重力做正功，重力势能减少；重力做多少正功，重力势能就减少多少。

反之，重力做多少负功，重力势能就增加多少。

【例1】如图所示，劲度系数为k1的轻质弹簧两端分别与质量为m1，m2的物块1、2拴接，劲度系数为k2的轻质弹簧上端与物块2拴接，下端压在桌面上（不拴接），整个系统处于平衡状态.现施力将物块1缓慢地竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面.在此过程中，物块2的重力势能增加了________，物块1的重力势能增加了________。

解析：只要计算出初末状态两物块的高度变化，就可以算出重力做的功，进而求得势能的变化。

初态：对k 1，压缩量为111k g m x =；对k 2，压缩量为2212)(k g m m x += 末态：对k 1，伸长量为121k g m x ='；对k 2，恰为原长02='x 物块2上升的高度为22122)(k g m m x h +== 所以，物块2增加的重力势能为==∆222gh m E P m 2221)(k m m +g 2 物块1上升的高度为)11()(21212111k k g m m x x x h ++=+'+= 所以，物块2增加的重力势能为==∆111gh m E P m 1（m 1+m 2）（2111k k +）g 2 【答案】m 2221)(k m m +g 2； m 1（m 1+m 2）（2111k k +）g 2 ☆考点精炼 1．在水平地面上铺着n 块砖，每块砖的质量为m ，厚度为h ，如将砖一块一块地叠放起来，至少需做的功为_________。

1．12n （n －1）mgh （二）机械能守恒条件的判断机械能守恒条件是：没有摩擦和介质阻力，物体只发生动能和势能的相互转化；或者说只有重力做功，只有重力势能和动能之间相互转化，没有与其它形式能的转化。

如果只有弹簧的弹力做功，弹簧与物体这一系统，弹性势能与动能之间发生相互转化，不与其它形式的能发生转化，系统满足机械能守恒。

【例2】如图所示的四个选项中，木块均在固定的斜面上运动，其中图A 、B 、C 中的斜面是光滑的，图D 中的斜面是粗糙的，图A 、B 中的力F 为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，图A 、B 、D 中的木块向下运动，图C 中的木块向上运动。

在这四个图所示的运动过程中机械能守恒的是解析：机械能守恒的条件是：只有重力做功，A 、B 除去重力做功外，还有外力F 做功，D 因为斜面粗糙，摩擦力做功，机械能也不守恒， C 中只有重力做功，机械能守恒。

☆考点精炼2．如图物块和斜面都是光滑的，物块从静止沿斜面下滑过程中，物块机械能是否守恒？系统机械能是否守恒？2．解：以物块和斜面系统为研究对象，很明显物块下滑过程中系统不受摩擦和介质阻力，故系统机械能守恒。

物块下滑过程中，斜面向左运动，即斜面的机械能将增大，故物块的机械能一定减少。

（三）机械能守恒定律的应用（1）机械能守恒定律的各种表达形式 ①222121v m h mg mv mgh '+'=+，即k p k p E E E E '+'=+； ②0=∆+∆k P E E ；021=∆+∆E E ；K P E E ∆=∆-【例3】如图所示，半径为R 的光滑半圆上有两个小球B A 、，质量分别为M m 和，M>m ，由细线挂着，今由静止开始自由释放，求小球A 升至最高点C 时B A 、两球的速度？解析：A 球沿半圆弧运动，绳长不变，B A 、两球通过的路程相等，A 上升的高度为R h =；B 球下降的高度为242R R H ππ==；对于系统，由机械能守恒定律得： K P E E ∆=∆- ；2)(212v m M mgR RMg E P +=+-=∆∴π mM mgRRMg v c +-=∴2π 【例4】如图，质量为m1的物体A 经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m 2的物体B 相连，弹簧的劲度系数为k ，A 、B 都处于静止状态。

一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A ，另一端连一轻挂钩。

开始时各段绳都处于伸直状态，A 上方的一段绳沿竖直方向。

现在挂钩上升一质量为m 3的物体C 并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。

若将C 换成另一个质量为（m 1＋m 2）的物体D ，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B 刚离地时D 的速度的大小是多少？已知重力加速度为g 。

解析：开始时，A 、B 静止，设弹簧压缩量为x 1，有 kx 1＝m 1g ①挂C 并释放后，C 向下运动，A 向上运动，设B 刚要离地时弹簧伸长量为x 2，有 kx 2＝m 2g ②B 不再上升，表示此时A 和C 的速度为零，C 已降到其最低点。

由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧性势能的增加量为△E ＝m 3g (x 1＋x 2)－m 1g (x 1＋x 2) ③C 换成D 后，当B 刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同，由能量关系得E x x g m x x g m m v m v m m ∆-+-++=++)()()(21)(21211211321213 ④ 由③④式得 )()2(21211231x x g m v m m +=+ ⑤ 由①②⑤式得km m g m m m v )2()(2312211++= ⑥ ☆考点精炼3．如图所示，倾角为θ的光滑斜面上放有两个质量均为m 的小球A 和B ，两球之间用一根长为L 的轻杆相连，下面的小球B 离斜面底端的高度为h 。

两球从静止开始下滑，不计球与地面碰撞时的机械能损失，且地面光滑，求：（1）两球在光滑水平面上运动时的速度大小；（2）此过程中杆对A 球所做的功；（3）分析杆对A 球做功的情况。

3．解析：（1）由于不计摩擦及碰撞时的机械能损失，因此两球组成的系统机械能守恒。

两球在光滑水平面上运动时的速度大小相等，设为v ，根据机械能守恒定律有： 21(2sin )22mg h L mv θ+=⨯解得：v =（2）因两球在光滑水平面上运动时的速度v 比B 从h动能就是杆对B 做正功的结果。

B 增加的动能为：211sin 22kB E mv mgh mgL θ∆=-= 因系统的机械能守恒，所以杆对B 球做的功与杆对A 球做的功的数值应该相等，杆对B 球做正功，对A 做负功。

所以杆对A 球做的功为：1sin 2W mgL θ=-。

（3）当系统在斜面和水平面上运动时，A 、B 的运动状态相同，杆中无作用力，杆对A 不做功；当B 球从斜面进入水平面，而A 球仍在斜面上运动时，A 、B 的运动状态不同，此过程中杆对A 球做功。

4．如图所示，一根长为1m ，可绕O 轴在竖直平面内无摩擦转动的细杆AB ，两端分别固定质量相等的两个球，已知OA =0.6m 。

现由水平位置自由释放，求轻杆转到竖直位置时两球的速度？4．解析：B A 、球在同一杆上具有相同的角速度ω，2:3::==B A B A R R v v ，B A 、组成一个系统，系统重力势能的改变量等于动能的增加量，选取水平位置为零势能面，则：=-mgOB mgOA 222121B A mv mv + B A v v 23= 解得：v A =1.65m/s ，v B =1.1m/s（四）做功与能量转化的对应关系（功能关系）做功的过程是能量转化的过程，功是能量转化的量度。

能量守恒和转化定律是自然界最基本的定律之一。

而在不同形式的能量发生相互转化的过程中，功扮演着重要的角色。

需要强调的是：功是过程量，它和一段位移（一段时间）相对应；而能是一种状态量，它和一个时刻相对应。

两者的单位是相同的（都是J ），但不能说功就是能，也不能说“功变成了能”。

（1）外力做的总功等于物体动能的增量：W 外=ΔE k ，这就是动能定理。

（2）重力做的功等于物体重力势能的增量：W G = -ΔE P 。

（3）重力以外的其他力做的功等于物体机械能的增量：W其它=ΔE ，（W 其它表示除重力以外的其它力做的功）。

（4）一对相互作用的滑动摩擦力做的总功，等于系统增加的内能（摩擦生热）：f d =Q （d 为这两个物体间相对移动的路程）。

【例5】如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上。

其正上方A 位置有一只小球。

小球从静止开始下落，在B 位置接触弹簧的上端，在C 位置小球所受弹力大小等于重力，在D 位置小球速度减小到零。

小球下降阶段下列说法中正确的是A ．在B 位置小球动能最大B ．在C 位置小球动能最大C ．从A →C 位置小球重力势能的减少大于小球动能的增加D ．从A →D 位置小球重力势能的减少等于弹簧弹性势能的增加解析：小球动能的增加用合外力做功来量度，A →C 小球受的合力一直向下，对小球做正功，使动能增加；C →D 小球受的合力一直向上，对小球做负功，使动能减小，所以B 正确。