第3讲机械能守恒定律讲义

第3讲机械能守恒定律[学生用书P90]【基础梳理】一、重力势能1．定义：物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积．2．公式：E p＝mgh．3．矢标性：重力势能是标量，正、负表示其大小．4．特点(1)系统性：重力势能是地球和物体共有的．(2)相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关．重力势能的变化是绝对的，与参考平面的选取无关．5．重力做功与重力势能变化的关系重力做正功时，重力势能减小；重力做负功时，重力势能增大；重力做多少正(负)功，重力势能就减小(增大)多少，即W G＝E p1－E p2．二、弹性势能1．定义：物体由于发生弹性形变而具有的能．2．大小：弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量越大，劲度系数越大，弹簧的弹性势能越大．3．弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增大．三、机械能守恒定律1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变．2．表达式(1)守恒观点：E k1＋E p1＝E k2＋E p2(要选零势能参考平面)．(2)转化观点：ΔE k＝－ΔE p(不用选零势能参考平面)．(3)转移观点：ΔE A增＝ΔE B减(不用选零势能参考平面)．3．机械能守恒的条件：只有重力(或弹力)做功或虽有其他外力做功但其他力做功的代数和为零．【自我诊断】判一判(1)克服重力做功，物体的重力势能一定增加．()(2)重力势能的变化与零势能参考面的选取有关．()(3)弹簧弹力做负功时，弹性势能减少．()(4)物体在速度增大时，其机械能可能在减小．()(5)物体所受合外力为零时，机械能一定守恒．()(6)物体除受重力外，还受其他力，但其他力不做功，则物体的机械能一定守恒．()提示：(1)√(2)×(3)×(4)√(5)×(6)√做一做如图所示，质量为m 1、m 2(m 1＜m 2)的两物体通过轻绳绕过光滑的定滑轮，现将m 2由静止释放，m 2落地时的速度为v .选地面为零势能面．(1)释放前系统的机械能E 1＝m 2gh ，m 2落地时系统的机械能E 2＝________________________________________________________________________；则E 1＝E 2.(2)m 2下落到地面的过程，系统动能的增加量ΔE k 增＝____________________，重力势能的减少量ΔE p 减＝__________________；ΔE k 增与ΔE p 减的关系：ΔE k 增＝ΔE p 减．(3)m 2下落到地面的过程，m 1机械能的增加量ΔE 1增＝________________，m 2机械能的减少量ΔE 2减＝m 2gh －12m 2v 2；ΔE 1增与ΔE 2减的关系：________________． 提示：(1)m 1gh ＋12m 1v 2＋12m 2v 2(2)12m 1v 2＋12m 2v 2 m 2gh －m 1gh (3)m 1gh ＋12m 1v 2 ΔE 1增＝ΔE 2减想一想处理连接体的机械能守恒问题时，一般应用哪个公式较方便？ 提示：ΔE k ＝－ΔE p机械能守恒的判断[学生用书P90]【知识提炼】1．利用机械能的定义判断(直接判断)：分析动能和势能的和是否变化．2．用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒．3．用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒．【跟进题组】1．(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )A ．甲图中，物体A 将弹簧压缩的过程中，A 机械能守恒B ．乙图中，A 置于光滑水平面，物体B 沿光滑斜面下滑，物体B 机械能守恒C ．丙图中，不计任何阻力时A 加速下落，B 加速上升过程中，A 、B 组成的系统机械能守恒D ．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒解析：选CD .甲图中重力和弹簧弹力做功，系统机械能守恒，但弹簧的弹性势能增加，A 的机械能减少，A 错；B 物体下滑，B 对A 的弹力做功，A 的动能增加，B 的机械能减少，B 错；丙图中A 、B 组成的系统只有重力做功，机械能守恒，C 对；丁图中小球受重力和拉力作用，但都不做功，小球动能不变，机械能守恒，D 对．2.木块静止挂在绳子下端，一子弹以水平速度射入木块并留在其中，再与木块一起共同摆到一定高度如图所示，从子弹开始射入到共同上摆到最大高度的过程中，下列说法正确的是( )A ．子弹的机械能守恒B ．木块的机械能守恒C ．子弹和木块总机械能守恒D ．子弹和木块上摆过程中机械能守恒解析：选D .子弹射入木块过程，系统中摩擦力做负功，机械能减少；而共同上摆过程，系统只有重力做功，机械能守恒．综上所述，整个过程机械能减少，减少部分等于克服摩擦力做功产生的热量．单个物体的机械能守恒问题[学生用书P91]【知识提炼】1．机械能守恒定律的表达式2．求解单个物体机械能守恒问题的基本思路 (1)选取研究对象——物体．(2)根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒． (3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程的初、末状态时的机械能．(4)选取方便的机械能守恒定律的方程形式(E k1＋E p1＝E k2＋E p2、ΔE k ＝－ΔE p )进行求解．【典题例析】(2016·高考全国卷Ⅲ)如图，在竖直平面内有由14圆弧AB 和12圆弧BC 组成的光滑固定轨道，两者在最低点B 平滑连接．AB 弧的半径为R ，BC 弧的半径为R 2.一小球在A 点正上方与A 相距R4处由静止开始自由下落，经A 点沿圆弧轨道运动．(1)求小球在B 、A 两点的动能之比；(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C 点．[审题指导] 对小球从开始下落到运动过程中一直只有重力做功，满足机械能守恒条件．利用圆周运动的向心力知识就可判断能否到达C 点．[解析] (1)设小球的质量为m ，小球在A 点的动能为E k A ，由机械能守恒得 E k A ＝mg R4①设小球在B 点的动能为E k B ，同理有 E k B ＝mg 5R4② 由①②式得E k B ∶E k A ＝5∶1.③ (2)若小球能沿轨道运动到C 点，小球在C 点所受轨道的正压力F N 应满足F N ≥0④ 设小球在C 点的速度大小为v C ，由牛顿运动定律和向心加速度公式有F N ＋mg ＝m v 2CR 2⑤由④⑤式得，v C 应满足mg ≤m 2v 2CR⑥ 由机械能守恒有mg R 4＝12m v 2C⑦由⑥⑦式可知，小球恰好可以沿轨道运动到C 点． [答案] (1)5∶1 (2)见解析单个物体的机械能守恒往往会与平抛运动、圆周运动、人造卫星等结合到一起，构成综合性问题．求解这类问题时除了掌握机械能守恒的条件、规律外，还应熟练掌握以下内容：1．平抛运动的特点和规律：平抛运动是初速度沿水平方向只在重力作用下的运动，其水平方向是匀速直线运动，竖直方向是自由落体运动．2．圆周运动的特点和规律：物体做圆周运动时合力充当向心力，物体在竖直面内沿光滑轨道或由绳子系着做圆周运动时，由于重力做功，物体速度大小是变化的，在竖直面内达到圆周最高点的临界条件是弹力等于零．3．卫星进入圆形轨道稳定运行时机械能不变，卫星自由地绕地球做椭圆轨道运动时只有地球引力做功，其机械能守恒，而卫星在人为变轨的过程中，机械能是不守恒的．【迁移题组】迁移1 机械能守恒定律在圆周运动中的应用 1.如图，位于竖直平面内的光滑轨道由四分之一圆弧ab 和抛物线bc 组成，圆弧半径Oa 水平，b 点为抛物线顶点．已知h ＝2 m ，s ＝ 2 m ．取重力加速度大小g ＝10 m/s 2.(1)一小环套在轨道上从a 点由静止滑下，当其在bc 段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，求圆弧轨道的半径；(2)若环从b 点由静止因微小扰动而开始滑下，求环到达c 点时速度的水平分量的大小． 解析：(1)设环到b 点时速度为v b ，圆弧轨道半径为r ，小环从a 到b 由机械能守恒有 mgr ＝12m v 2b①环与bc 段轨道间无相互作用力，从b 到c 环做平抛运动 h ＝12gt 2② s ＝v b t③ 联立可得r ＝s 24h④代入数据得r ＝0.25 m .(2)环从b 点由静止下滑至c 点过程中机械能守恒，设到c 点时速度为v c ，则 mgh ＝12m v 2c⑤ 在bc 段两次过程中环沿同一轨迹运动，经过同一点时速度方向相同 设环在c 点时速度与水平方向间的夹角为θ，则环做平抛运动时 tan θ＝v yv b⑥ v y ＝gt⑦联立②③⑥⑦式可得 tan θ＝22⑧ 则环从b 点由静止开始滑到c 点时速度的水平分量v cx 为v cx ＝v c cos θ⑨ 联立⑤⑧⑨三式可得 v cx ＝2310 m/s .答案：(1)0.25 m (2)2310 m/s迁移2 机械能守恒定律在平抛运动中的应用 2．(2016·高考全国卷Ⅰ)如图，一轻弹簧原长为2R ，其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC 的底端A 处，另一端位于直轨道上B 处，弹簧处于自然状态．直轨道与一半径为56R 的光滑圆弧轨道相切于C 点，AC ＝7R ，A 、B 、C 、D 均在同一竖直平面内．质量为m 的小物块P 自C 点由静止开始下滑，最低到达E 点(未画出)．随后P 沿轨道被弹回，最高到达F 点，AF ＝4R .已知P 与直轨道间的动摩擦因数μ＝14，重力加速度大小为g .(取sin 37°＝35，cos37°＝45)(1)求P 第一次运动到B 点时速度的大小； (2)求P 运动到E 点时弹簧的弹性势能；(3)改变物块P 的质量，将P 推至E 点，从静止开始释放．已知P 自圆弧轨道的最高点D 处水平飞出后，恰好通过G 点．G 点在C 点左下方，与C 点水平相距72R 、竖直相距R .求P 运动到D 点时速度的大小和改变后P 的质量．解析：(1)根据题意知，B 、C 之间的距离为 l ＝7R －2R①设P 到达B 点时的速度为v B ，由动能定理得 mgl sin θ－μmgl cos θ＝12m v 2B②式中θ＝37°.联立①②式并由题给条件得 v B ＝2gR .③ (2)设BE ＝x .P 到达E 点时速度为零，设此时弹簧的弹性势能为E p .P 由B 点运动到E 点的过程中，由动能定理有mgx sin θ－μmgx cos θ－E p ＝0－12m v 2B④ E 、F 之间的距离为l 1＝4R －2R ＋x⑤P 到达E 点后反弹，从E 点运动到F 点的过程中，由动能定理有 E p －mgl 1sin θ－μmgl 1cos θ＝0 ⑥ 联立③④⑤⑥式并由题给条件得x ＝R ⑦ E p ＝125mgR .⑧(3)设改变后P 的质量为m 1.D 点与G 点的水平距离x 1和竖直距离y 1分别为x 1＝72R －56R sin θ⑨y 1＝R ＋56R ＋56R cos θ⑩式中，已应用了过C 点的圆轨道半径与竖直方向夹角仍为θ的事实．设P 在D 点的速度为v D ，由D 点运动到G 点的时间为t .由平抛运动公式有y 1＝12gt 2⑪x 1＝v D t⑫ 联立⑨⑩⑪⑫式得v D ＝355gR⑬设P 在C 点速度的大小为v C .在P 由C 点运动到D 点的过程中机械能守恒，有 12m 1v 2C ＝12m 1v 2D ＋m 1g ⎝⎛⎭⎫56R ＋56R cos θ ⑭P 由E 点运动到C 点的过程中，由动能定理有 E p －m 1g (x ＋5R )sin θ－μm 1g (x ＋5R )cos θ＝12m 1v 2C ⑮联立⑦⑧⑬⑭⑮式得m 1＝13m .答案：(1)2gR (2)125mgR (3)355gR 13m多个物体(连接体)的机械能守恒问题[学生用书P92]【知识提炼】1．多个物体组成的系统机械能守恒问题的解题思路(1)首先分析多个物体组成的系统所受的外力是否只有重力或弹簧弹力做功，内力是否造成了机械能与其他形式能的转化，从而判断系统机械能是否守恒．(2)若系统机械能守恒，则机械能从一个物体转移到另一个物体，ΔE 1＝－ΔE 2，一个物体机械能增加，则一定有另一个物体机械能减少．2．多物体机械能守恒问题的三点注意 (1)正确选取研究对象. (2)合理选取物理过程．(3)正确选取机械能守恒定律常用的表达形式列式求解．【典题例析】(多选)(2015·高考全国卷Ⅱ)如图，滑块a 、b 的质量均为m ，a 套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h ，b 放在地面上．a 、b 通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动．不计摩擦，a 、b 可视为质点，重力加速度大小为g .则( )A ．a 落地前，轻杆对b 一直做正功B ．a 落地时速度大小为2ghC ．a 下落过程中，其加速度大小始终不大于gD ．a 落地前，当a 的机械能最小时，b 对地面的压力大小为mg[审题指导] 首先判断机械能是否守恒，然后把两滑块的速度关系找出来，利用机械能守恒定律求解问题． [解析] 由题意知，系统机械能守恒．设某时刻a 、b 的速度分别为v a 、v b .此时刚性轻杆与竖直杆的夹角为θ，分别将v a 、v b 分解，如图．因为刚性杆不可伸长，所以沿杆的分速度v ∥与v ′∥是相等的，即v a cos θ＝v b sin θ.当a 滑至地面时θ＝90°，此时v b ＝0，由系统机械能守恒得mgh ＝12m v 2a ，解得v a ＝2gh ，选项B 正确．同时由于b 初、末速度均为零，运动过程中其动能先增大后减小，即杆对b 先做正功后做负功，选项A 错误．杆对b 的作用力先是推力后是拉力，对a 则先是阻力后是动力，即a 的加速度在受到杆的向下的拉力作用时大于g ，选项C 错误．b 的动能最大时，杆对a 、b 的作用力为零，此时a 的机械能最小，b 只受重力和支持力，所以b 对地面的压力大小为mg ，选项D 正确．[答案] BD多个物体的机械能守恒问题，往往涉及“轻绳模型”“轻杆模型”以及“轻弹簧模型”． 1．轻绳模型(1)绳上各点及连接物体的端点速度满足线速度相等．(2)对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能守恒． 2．轻杆模型(1)模型构建：轻杆两端(或两处)各固定一个物体，整个系统一起沿斜面运动或绕某点转动，该系统即为机械能守恒中的轻杆模型．(2)轻杆模型的四个特点 ①忽略空气阻力和各种摩擦．②平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等．③杆对物体的作用力并不总是指向杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒． ④对于杆和球组成的系统，没有外力对系统做功，因此系统的总机械能守恒． 3．解答轻杆连接类问题的“两点”注意(1)通过轻杆连接的物体系统，轻杆对两个物体都施加力的作用，物体各自的机械能不守恒，但轻杆只使机械能在物体间转移，并不把机械能转化为其他形式的能．(2)轻杆对与其连接的物体的作用力属于变力，该力对物体做功一般用动能定理求解． 4．解答含弹簧类机械能守恒问题的“四点”注意(1)含弹簧的物体系统在只有弹簧弹力和重力做功时，物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能之间相互转化，物体和弹簧组成的系统机械能守恒，而单个物体和弹簧机械能都不守恒．(2)含弹簧的物体系统机械能守恒问题，符合一般的运动学解题规律，同时还要注意弹簧弹力和弹性势能的特点．(3)弹簧弹力做的功等于弹簧弹性势能的减少量，而弹簧弹力做功与路径无关，只取决于初、末状态弹簧形变量的大小．(4)由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统，当弹簧形变量最大时，弹簧两端连接的物体具有相同的速度；弹簧处于自然长度时，弹簧弹性势能最小(为零)．【迁移题组】迁移1 轻绳模型 1.如图所示，质量都为m ＝1 kg 的A 、B 两金属环用细线相连后，分别套在两互成直角的水平光滑细杆和竖直光滑细杆上．细线长L ＝0.4 m ，今将细线拉直后使A 和B 从同一高度上都由静止释放，求从开始运动到使细线与水平方向成θ＝30°角的过程中，细线对A 、B 做的功．(g 取10 m/s 2)．解析：设当两环运动到使细线与水平方向夹角为θ＝30°时，A 和B 的速度分别为v A 、v B ，将v A 、v B 分别沿细线和垂直细线方向分解，如图所示，由分析知，它们在沿细线方向上的分速度v 1和v 2相等．所以有v A sin θ＝v B cos θ①在这一过程中A 下降的高度为L sin θ，因两环组成的系统机械能守恒，则有 mgL sin θ＝12m v 2A ＋12m v 2B②由①②代入数值得：v A ＝ 3 m/s ，v B ＝1 m/s .设细线对A 、B 环做功分别为W A 、W B ，由动能定理得： mgL sin θ＋W A ＝12m v 2A －0③W B ＝12m v 2B－0④由③④代入数值解得：W A ＝－0.5 J ，W B ＝0.5 J . 答案：－0.5 J 0.5 J 迁移2 轻杆模型 2．(2018·济南模拟)半径为R 的光滑圆环竖直放置，环上套有两个质量分别为m 和3m 的小球A 和B .A 、B 之间用一长为2R 的轻杆相连，如图所示．开始时，A 、B 都静止，且A 在圆环的最高点，现将A 、B 释放，试求：(1)B 球到达最低点时的速度大小；(2)B 球到达最低点的过程中，杆对A 球做的功； (3)B 球在圆环右侧区域内能达到的最高点位置．解析：(1)释放后B 到达最低点的过程中A 、B 和杆组成的系统机械能守恒， m A gR ＋m B gR ＝12m A v 2A ＋12m B v 2B ， 又OA ⊥OB ，AB 杆长＝2R ，故OA 、OB 与杆间夹角均为45°，可得v A ＝v B ，解得：v B ＝2gR . (2)对小球A 应用动能定理可得： W 杆A ＋m A gR ＝12m A v 2A ，又v A ＝v B 解得杆对A 球做功W 杆A ＝0.(3)设B 球到达右侧最高点时，OB 与竖直方向之间的夹角为θ，取圆环的圆心O 所在水平面为零势能面，由系统机械能守恒可得：m A gR ＝m B gR cos θ－m A gR sin θ，代入数据可得θ＝30°，所以B 球在圆环右侧区域内达到最高点时，高于圆心O 的高度h B ＝R cos θ＝32R . 答案：(1)2gR (2)0 (3)高于O 点32R 处 迁移3 轻弹簧模型 3.(2016·高考全国卷Ⅱ)轻质弹簧原长为2l ，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m 的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l .现将该弹簧水平放置，一端固定在A 点，另一端与物块P 接触但不连接．AB 是长度为5l 的水平轨道，B 端与半径为l 的光滑半圆轨道BCD 相切，半圆的直径BD 竖直，如图所示．物块P 与AB 间的动摩擦因数μ＝0.5.用外力推动物块P ，将弹簧压缩至长度l ，然后放开，P 开始沿轨道运动．重力加速度大小为g .(1)若P 的质量为m ，求P 到达B 点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB 上的位置与B 点之间的距离；(2)若P 能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P 的质量的取值范围．解析：(1)依题意，当弹簧竖直放置，长度被压缩至l 时，质量为5m 的物体的动能为零，其重力势能转化为弹簧的弹性势能．由机械能守恒定律，弹簧长度为l 时的弹性势能为E p ＝5mgl ①设P 的质量为M ，到达B 点时的速度大小为v B ，由能量守恒定律得 E p ＝12M v 2B＋μMg ·4l②联立①②式，取M ＝m 并代入题给数据得v B ＝6gl③若P 能沿圆轨道运动到D 点，其到达D 点时的向心力不能小于重力，即P 此时的速度大小v 应满足m v2l－mg ≥0 ④设P 滑到D 点时的速度为v D ，由机械能守恒定律得 12m v 2B ＝12m v 2D＋mg ·2l ⑤ 联立③⑤式得v D ＝2gl⑥v D 满足④式要求，故P 能运动到D 点，并从D 点以速度v D 水平射出．设P 落回到轨道AB 所需的时间为t ，由运动学公式得2l ＝12gt 2⑦P 落回到AB 上的位置与B 点之间的距离为s ＝v D t ⑧ 联立⑥⑦⑧式得s ＝22l .⑨(2)为使P 能滑上圆轨道，它到达B 点时的速度不能小于零．由①②式可知5mgl >μMg ·4l ⑩要使P 仍能沿圆轨道滑回，P 在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C .由机械能守恒定律有 12M v 2B≤Mgl ⑪联立①②⑩⑪式得53m ≤M <52m .答案：见解析[学生用书P93]1．(2015·高考天津卷)如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m 的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态．现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L ，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L (未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中( )A ．圆环的机械能守恒B ．弹簧弹性势能变化了3mgLC ．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零D ．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变解析：选B .圆环沿杆下滑的过程中，圆环与弹簧组成的系统动能、弹性势能、重力势能之和守恒，选项A 、D 错误；弹簧长度为2L 时，圆环下落的高度h ＝3L ，根据机械能守恒定律，弹簧的弹性势能增加了ΔE p ＝mgh ＝3mgL ，选项B 正确；圆环释放后，圆环向下先做加速运动，后做减速运动，当速度最大时，合力为零，下滑到最大距离时，具有向上的加速度，合力不为零，选项C 错误．2．(2015·高考四川卷)在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出，不计空气阻力，则落在同一水平地面时的速度大小( )A ．一样大B ．水平抛的最大C ．斜向上抛的最大D ．斜向下抛的最大解析：选A .不计空气阻力的抛体运动，机械能守恒．故以相同的速率向不同的方向抛出落至同一水平地面时，物体速度的大小相等．故只有选项A 正确．3．如图所示，竖直平面内的半圆形光滑轨道，其半径为R ，小球A 、B 质量分别为m A 、m B ，A 和B 之间用一根长为l (l <R )的轻杆相连，从图示位置由静止释放，球和杆只能在同一竖直面内运动，下列说法正确的是( )A ．若m A <mB ，B 在右侧上升的最大高度与A 的起始高度相同 B ．若m A >m B ，B 在右侧上升的最大高度与A 的起始高度相同C ．在A 下滑过程中轻杆对A 做负功，对B 做正功D ．A 在下滑过程中减少的重力势能等于A 与B 增加的动能解析：选C .选轨道最低点为零势能点，根据系统机械能守恒条件可知A 和B 组成的系统机械能守恒，如果B 在右侧上升的最大高度与A 的起始高度相同，则有m A gh －m B gh ＝0，则有m A ＝m B ，故选项A 、B 错误；小球A 下滑、B 上升过程中小球B 机械能增加，则小球A 机械能减少，说明轻杆对A 做负功，对B 做正功，故选项C 正确；A 下滑过程中减少的重力势能等于B 上升过程中增加的重力势能和A 与B 增加的动能之和，故选项D 错误．4.(2018·青岛检测)一半径为R 的半圆形竖直圆柱面，用轻质不可伸长的细绳连接的A 、B 两球悬挂在圆柱面边缘两侧，A 球质量为B 球质量的2倍，现将A 球从圆柱边缘处由静止释放，如图所示．已知A 球始终不离开圆柱内表面，且细绳足够长，若不计一切摩擦，求：(1)A 球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小； (2)A 球沿圆柱内表面运动的最大位移．解析：(1)设A 球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小为v ，B 球的质量为m ，则根据机械能守恒定律有 2mgR －2mgR ＝12×2m v 2＋12m v 2B由图甲可知，A 球的速度v 与B 球速度v B 的关系为 v B ＝v 1＝v cos 45° 联立解得v ＝22－25gR .(2)当A球的速度为零时，A球沿圆柱内表面运动的位移最大，设为x，如图乙所示，由几何关系可知A球下降的高度h＝x2R4R2－x2根据机械能守恒定律有2mgh－mgx＝0解得x＝3R.答案：(1)22－25gR(2)3R[学生用书P307(单独成册)](建议用时：60分钟)一、单项选择题1．据报道，在北京国家体育场“鸟巢”进行的2015年国际田联世界田径锦标赛女子撑杆跳决赛中，古巴选手席尔瓦以4米90的成绩夺得冠军．如果把撑杆跳全过程分成四个阶段：a→b、b→c、c→d、d→e，如图所示，则对这四个阶段的描述正确的是()A．a→b阶段：人加速助跑，人和杆的机械能不变B．b→c阶段：杆弯曲、人上升，系统动能减少，重力势能和弹性势能增加C．c→d阶段：杆伸直、人上升，人的动能减少量等于重力势能增加量D．d→e阶段：人过横杆后下落，重力所做的功等于人机械能的增加量解析：选B.a→b阶段：人加速助跑，人和杆的机械能增大，选项A错误；b→c阶段：人与杆组成的系统机械能守恒，系统动能减少，重力势能和弹性势能增加，选项B正确；c→d阶段：人与杆组成的系统机械能守恒，杆伸直、人上升，动能减少量与弹性势能的减少量之和等于重力势能的增加量，选项C错误；d→e 阶段：人过横杆后下落，重力所做的功等于人重力势能的减少量，选项D错误．2.(2018·无锡模拟)如图所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平面上，现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法正确的是()A．斜劈对小球的弹力不做功B ．斜劈与小球组成的系统机械能守恒C ．斜劈的机械能守恒D ．小球重力势能减少量等于斜劈动能的增加量解析：选B .不计一切摩擦，小球下滑时，小球和斜劈组成的系统只有小球的重力做功，小球重力势能减少量等于斜劈和小球的动能增加量，系统机械能守恒，B 正确，C 、D 错误；斜劈对小球的弹力与小球位移间夹角大于90°，故弹力做负功，A 错误．3.(2018·兰州模拟)如图所示，可视为质点的小球A 、B 用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R 的光滑圆柱，A 的质量为B 的两倍．当B 位于地面时，A 恰与圆柱轴心等高．将A 由静止释放，B 上升的最大高度是( )A ．2RB ．5R3C .4R3D ．2R 3解析：选C .设A 、B 的质量分别为2m 、m ，当A 落到地面上时，B 恰好运动到与圆柱轴心等高处，以A 、B 整体为研究对象，则A 、B 组成的系统机械能守恒，故有2mgR －mgR ＝12(2m ＋m )v 2，A 落到地面上以后，B仍以速度v 竖直上抛，上升的高度为h ＝v 22g ，解得h ＝13R ，故B 上升的总高度为R ＋h ＝43R ，选项C 正确．4．静止在地面上的物体在竖直向上的恒力作用下上升，在某一高度撤去恒力．不计空气阻力，在整个过程中，物体机械能随时间变化关系正确的是( )解析：选C .以地面为零势能面，以竖直向上为正方向，则对于物体，在撤去外力前，有F －mg ＝ma ，h ＝12at 2，某一时刻的机械能E ＝ΔE ＝F ·h ，联立以上各式得E ＝Fa 2·t 2∝t 2，撤去外力后，物体机械能守恒，故只有C 正确．5.如图所示，将质量为2m 的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m 的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d .现将环从与定滑轮等高的A 处由静止释放，当环沿直杆下滑距离也为d 时(图中B 处)，下列说法正确的是(重力加速度为g )( )。