苏教版高中数学必修4第一章三角函数测试题(无答案)
高中数学数学必修四第一章三角函数单元测试题--经典
高中数学必修 四第一章三角函数、选择题（60 分）1.将—300o 化为弧度为（ 4 二 3c.D.2•如果点P （sinvcosH2cosv ）位于第三象限，那么角 二所在象限是（C.第三象限 A .第一象限 B.第二象限 3. 下列选项中叙述正确的是A .三角形的内角是第一象限角或第二象限角B .锐角是第一象限的角C .第二象限的角比第一象限的角大D .终边不同的角同一三角函数值不相等 4. 下列函数中为偶函数的是（ ） A . y 二 sin | x | B . y 二 sin 2x D.第四象限C. y - -sin x5已知函数y = As in （• ‘x •「厂B 的一部分图象如右图所示，如果 A. A = 4 C.6函数八Ssgx 石）的单调递减区间（ 5 二D. y 二 sin x 1A. IHA k , k 「： _12 12k ,k (k Z) - 3 6三匕:三（ 12 12D . k 二二k 二兰（k Z ） - 632(k Z) B.k Z) C.已知〉是三角形的一个内角，且sin " cos,则这个三角形（3C .A .锐角三角形B .钝角三角形1 -2sin (二 2)cos (二 2)等于 A . sin2 — cos2 若角:' 的终边落在直线 不等腰的直角三角形 D •等腰直角三角形B. B . cos2 — sin2 y=2x 上，则 sin :2屆C. 5 C . 的值为± (sin2 —cos2): )D. -12sin 2+cos210.函数 2y=cos x-3cosx+2 的最小值是 11.如果:-在第三象限，则 a —必定在 2 A.第一或第二象限 B.第一或第三象限 C.第三或第四象限 D. 第二或第四象12 .已知函数y 二Asin （ x 在同一周期内 ，当x时有最大值2,当x=0时有最小值-2，那么函数的解析3式为B. y =2sin(3x) C. y =2sin(3x ' ) D • y =」sin3x2 2 2二.填空题（20分）三.计算题（70 分）JIcos(— + a )sin (—兀-a )17. (15分)已知角〉终边上一点P (-4, 3),求2的值cos()sin()2 218（20分）.已知函数y=Asin （ w x+ $ ）+b （A>0,| $ |< n ,b 为常数）的一段图象（如图）所示. ①求函数的解析式;3219.已知 tan，求 2 sin hcosv - cos 二 的值。
(典型题)高中数学必修四第一章《三角函数》检测卷(含答案解析)(1)
一、选择题1．若函数()sin 2f x x =与()2cos g x x =都在区间(),a b 上单调递减，则b a -的最大值是（ ） A ．π4B ．π3C ．π2D ．2π32．函数()()sin cos y x =的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积12=(弦⨯矢+矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有弧AB 长为83π，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（ ）(3 1.73≈)A ．6平方米B ．9平方米C ．12平方米D ．15平方米4．己知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π，且图象向右平移12π个单位后得到的函数为偶函数，则下列说法错误的有（ ） A ．()f x 关于点5(,0)12π对称 B ．()f x 关于直线6x π=对称C ．()f x 在,]1212π5π[-单调递增 D ．()f x 在7[,]1212ππ单调递减5．已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数()y f x =的图象向左平移π6个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（ ） A ．关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于点π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．关于直线π12x =对称 D ．关于直线π12x =-对称 6．将函数()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），然后向左平移3π个单位，所得函数记为()g x .若1x ，20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12x x ≠，且()()12g x g x =，则()12g x x +=（ ） A ．12-B ．3-C ．12D ．327．已知函数y =f (x )的部分图象如图所示，则其解析式可能是（ ）A ．()sin 2f x x x =B ．()||sin 2f x x x =C ．()cos 2f x x x =D ．()||cos2f x x x =8．设函数()tan 3f x x π=-，()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数是（ ） A ．4B ．5C ．12D ．139．已知函数()sin cos f x x x =+，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小值为0 B ．()f x 的最大值为2 C ．()()2f x f x π-=D ．1()2f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解 10．已知函数()()()()2sin 0,0,f x x ωϕωϕπ=+>∈的部分图像如图所示，将()y f x =图像上所有点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变），所得图像对应的函数()g x 解析式为（ ）A ．()2sin 46g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()2sin 43g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()2sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()2sin 3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11．已知函数()()()3cos 0g x x ωϕω=+>在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上具有单调性，且满足04g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3g π=，则ω的取值共有（ ） A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个12．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象（如图所示），则下列有关函数()f x 的结论错误的是（ ）A ．图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 B ．最小正周期是π C ．在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3二、填空题13．已知函数273(0)()323(0)x xf x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪-++>⎩，()3sin cos 4g x x x =++，若对任意[3,3]t ∈-，总存在0,2s π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()f t a g s +≤成立，则实数a 的取值范围为__________.14．若函数()()()4sin 0f x x ωϕω=+>对任意的x 都有()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值是___________. 15．已知函数()()2sin 0f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是－2，则ω的最小值等于__________.16．函数3()2sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，以下说法： （1）其中最小正周期为23π； （2）图象关于点(,0)4π对称；（3）由2sin3y x =的图象向右平移34π个单位长度可以得到图象C ； （4）直线4πx =-是其图象的其中一条对称轴． 其中正确命题的序号是__________．17．如图，从气球A 上测得正前方的B ，C 两点的俯角分别为75︒，30，此时气球的高是60m ，则BC 的距离等于__________m .18．给出下列4个命题：①函数2cos 32y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是奇函数；②函数y =sin (2x +3π)的图象关于点(12π，0)成中心对称；③x =8π是函数y =sin (2x +54π)的一条对称轴方程；④存在实数α，使得32sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.把你认为正确命题的序号都填在横线上____.19．函数251612()sin (0)236x x f x x x x ππ-+⎛⎫=--> ⎪⎝⎭的最小值为_______. 20．已知定义在R 上的函数()f x 满足3()2f x f x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，且(2)3f -=，则(2020)f =________.三、解答题21．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）求()f x 的解析式；（2）将()y f x =图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍（纵坐标不变），再将图象上所有点的纵坐标扩大到原来的2倍（横坐标不变），最后向下平移2个单位得到()y g x =图象，求函数()y g x =的解析式及在R 上的对称中心坐标． 22．已知函数()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象与直线2y =的相邻两个交点间的距离为2π，且________.在①函数6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数；②33f π⎛⎫=⎪⎝⎭③x R ∀∈，()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭；这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间. 23．函数()cos()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）写出()f x 的解析式； （2）将函数()f x 的图象向右平移12π个单位后得到函数()g x 的图象，讨论关于x 的方程()3()0f x g x m -⋅-=(11)m -<≤在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的实数解的个数．24．游客乘坐位于长沙贺龙体育场的摩天轮可近观长沙中心城区城市美景，远眺岳麓山，俯瞰橘子洲，饱览湘江风光.据工作人员介绍，该摩天轮直径约100米，摩天轮的最低处P 与地面的距离为20米，设有60个座舱，游客先乘坐直升电梯到入口(人口在摩天轮距地面的最低处)处等待，当座舱到达最低处P 时有序进入座舱，摩天轮逆时针方向匀速运行一周约需20分钟.以摩天轮的圆心为坐标原点，水平线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系.（1）试将游客甲离地面的距离()h t (单位：米)表示为其坐上摩天轮的时间t (单位：分钟)的函数；（2）若游客乙在甲后的5分钟也在点P 处坐上摩天轮，求在乙坐上摩天轮后的多少分钟时甲乙的离地面距离之差首次达到最大.25．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<<）的最大值和最小正周期相同，()f x 的图象过点(3，且在区间10,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()()1g x f x =+在区间()0,b 上只有4个零点，求b 的最大值.26．如图，有一矩形空地ABCD ，240AB BC ==米，现计划种植甲、乙两种蔬菜，已知单位面积种植甲蔬菜的经济价值是种植乙蔬菜经济价值的3倍，但种植甲蔬菜需要有辅助光照．AB 边中点O 处处恰有一可旋转光源满足甲蔬菜生长的需要，该光源照射范围是60EOF ∠=︒，其中E 、F 分别在边BC ，CD 上．（1）若30BOE ∠=︒，求四边形OECF 的面积； （2）求该空地产生最大经济价值时种植甲种蔬菜的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据题意求出(),()f x g x 原点附近的单调递减区间，根据递减区间分析可得max 3π4b =，min π4a =，相减即可. 【详解】 解：由题意函数()sin 2f x x =在π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数()2cos g x x =在()0,π上单调递减， 所以则max 3π4b =，min π4a =，所以b a -的最大值为3πππ442-=. 故选：C. 【点睛】求三角函数单调区间的2种方法:（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.2．A解析：A 【分析】先确定奇偶性，再取特殊值确定函数值可能为负，排除三个选项后得出结论． 【详解】记()()sin cos f x x =，则()()()sin cos()sin cos ()f x x x f x -=-==，为偶函数，排除D ，当23x π=时，21()sin cos sin 032f x π⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，排除B ，C ． 故选：A ． 【点睛】本题考查由解析式先把函数图象，解题方法是排除法，可通过研究函数的性质如奇偶性、单调性等排除一些选项，再由特殊的函数值，函数值的正负，变化趋势等排除一些选项后得出正确结论．3．B解析：B 【分析】根据已知求出矢2=，弦2AD ==. 【详解】由题意可得：823=43AOB ππ∠=，4OA =，在Rt AOD 中，可得：3AOD π∠=，6DAO π∠=，114222OD AO ==⨯=， 可得：矢422=-=，由sin43AD AO π===可得：弦2AD ==所以：弧田面积12=（弦⨯矢+矢221)22)292=+=≈平方米．故选：B 【点睛】方法点睛：有关扇形的计算，一般是利用弧长公式l r α=、扇形面积公式12S lr =及直角三角函数求解.4．A解析：ABD 【分析】由周期可求出ω，再由平移后为偶函数求出ϕ，即得()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，求出512f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断A ；求出6f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断B ；令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈求出单调递增区间可判断C ；由C 选项可判断D. 【详解】()f x 的最小正周期为π，22πωπ∴==，()sin(2)f x x ϕ=+，向右平移12π个单位后得到sin 26y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为偶函数， ,62k k Z ππϕπ∴-=+∈，即2,3k k Z πϕπ=+∈， ||2πϕ<，3ϕπ∴=-，()sin 23f x x π⎛⎫∴=-⎪⎝⎭， 对于A ，55sin 2sin 10121232f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 不关于点5(,0)12π对称，故A 错误； 对于B ，sin 2sin 001663f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对于C ，令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 当0k =时，51212x ππ-≤≤，故()f x 在,]1212π5π[-单调递增，故C 正确； 对于D ，由C 选项可知，()f x 在5[,]1212ππ单调递增，故D 错误.故选：ABD. 【点睛】本题考查正弦型函数的性质，可通过代入验证的方法判断对称轴和对称中心，利用整体换元可求单调区间.5．B解析：B 【分析】由相邻两条对称轴之间的距离为2π，可知22T π=，从而可求出2ω=，再由()y f x =的图像向左平移6π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，可得sin 13πϕ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，从而可求出ϕ的值，然后逐个分析各个选项即可 【详解】因为相邻两条对称轴的距离为2π，故22T π=，T π=，从而2ω=. 设将()f x 的图像向左平移6π单位后，所得图像对应的解析式为()g x ， 则()sin 23g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因()g x 的图像关于y 轴对称，故(0)1g =±，所以sin 13πϕ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，,32k k Z ππϕπ+=+∈，所以,6k k Z πϕπ=+∈， 因||2ϕπ<，所以6π=ϕ. 又()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令2,62x k k Z πππ+=+∈，故对称轴为直线,26k x k Z ππ=+∈，所以C ，D 错误； 令2,6x k k ππ+=∈Z ，故,212k x k Z ππ=-∈，所以对称中心为,0,212k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭，所以A 错误，B 正确. 故选：B 【点睛】此题考查了三角函数的图像变换和三角函数的图像和性质，属于基础题.6．D解析：D 【分析】先利用函数()sin y A ωx φ=+的图像变换规律求得()g x 的解析式，再利用正弦函数的图像的对称性，求得12x x +的值，可得()12g x x +的值. 【详解】将函数()sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），可得sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再向左平移3π个单位，所得函数()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若1x ，20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12x x ≠，则142,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，242,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， ()()12g x g x =，12223322x x πππ+++∴=，126x x π∴+=，则()122sin 2sin 633g x x πππ⎛⎫+=⨯+==⎪⎝⎭.故选：D. 【点睛】本题考查函数()sin y A ωx φ=+的图像变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题.7．B解析：B 【分析】利用函数()0f π=排除两个选项，再由奇偶性排除一个后可得正确选项． 【详解】由图象知()0f π=，经验证只有AB 满足，C 中()cos 2f ππππ==，D 中()f ππ=，排除CD ，A 中函数满足()sin(2)sin 2()f x x x x x f x -=--==为偶函数，B 中函数满足()sin(2)sin 2()f x x x x x f x -=--=-=-为奇函数，而图象关于原点对称，函数为奇函数，排除A ，选B ． 故选：B ． 【点睛】思路点睛：由函数图象选择解析式可从以下方面入手：(1)从图象的左右位置，观察函数的定义域；从图象的上下位置，观察函数的值域； (2)从图象的变化趋势观察函数的单调性； (3)从图象的对称性观察函数的奇偶性； (4)从图象的特殊点，排除不合要求的解析式．.8．A解析：A 【分析】由题意知函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数等价于函数()tan 3f x x π=-与()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象在区间[]2,2ππ-上交点的个数，作出两个函数图象，数形结合即可求解. 【详解】令()()()0h x f x g x =-=可得()()f x g x =，所以函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数等价于 函数()tan 3f x x π=-与()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象在区间[]2,2ππ-上交点的个数. 分别作出()tan 3f x x π=-与()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象，由图知两个函数图象在区间[]2,2ππ-上有4个交点，所以函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数是4， 故选：A 【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法（1）直接法：令()0f x =，如果能求出解，那么有几个不同的解就有几个零点； （2）利用函数的零点存在性定理：利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间[],a b 上是连续不断的曲线，并且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质，（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；（3）图象法：画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数；将函数()f x 拆成两个函数，()h x 和()g x 的形式，根据()()()0f x h x g x =⇔=，则函数()f x 的零点个数就是函数()y h x =和()y g x =的图象交点个数；（4）利用函数的性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到，若所考查的函数是周期函数，则需要求出在一个周期内的零点个数，根据周期性则可以得出函数的零点个数.9．C解析：C 【分析】可得()()2f x f x π+=，得出()f x 是以2π为周期的函数，故只需考虑0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即可.【详解】()()sin cos cos sin 222f x x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫+=+++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x ∴是以2π为周期的函数，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin cos sin cos 4f x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，则3,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，41x π⎛⎫+ ⎝∴≤⎪⎭≤根据函数的周期性可得()f x 的最小值为1，故AB 错误，∴1()2f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上无解，故D 错误， ()()sin cos cos sin222f x x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的应用，解题的关键是得出()f x 是以2π为周期的函数，故只需考虑0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即可. 10．B解析：B 【分析】 由32341234T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭可求出T π=，进而可得2ω=，令 ()22122k k Z ππϕπ⨯+=+∈结合()0,ϕπ∈即可求得ϕ的值，再根据三角函数图象的伸缩变换即可求()g x 的解析式. 【详解】 由图知32934123124T ππππ⎛⎫=--== ⎪⎝⎭， 所以T π=，可得2ππω=，解得2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+， 令()22122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，所以()23k k Z πϕπ=+∈，因为()0,ϕπ∈，所以令0k =，可得3πϕ=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将()y f x =图像上所有点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变）， 可得()2sin 43g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选：B11．B解析：B 【分析】根据函数在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上具有单调性，且满足04g π⎛⎫=⎪⎝⎭，()3g π=，可得周期的范围，进而得到关于ω的方程与不等式，结合n *∈N 可求ω的值，从而可得答案. 【详解】因为()g x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上具有单调性，04g π⎛⎫=⎪⎝⎭，()3g π=， 所以()()7,62,4422121,442T T n n T n N πππωπππωπππω*⎧-≤=⎪⎪⎪-≥=⎨⎪⎪---==∈⎪⎩得263ω≤≤，423n ω-=，n *∈N ， 所以242633n -≤≤， 解得15n ≤≤.即1,2,3,4,5n =，可得23ω=，102,3，143，6，经检验均符合题意，所以ω的取值共有5个. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题主要考查余弦函数的几何性质，解题的关键是利用单调区间以及对称点、最值点与周期的关系列出不等式.12．C解析：C 【分析】首先根据题中所给的函数图象，从最值、周期和特殊点着手将解析式确定，之后结合函数的性质对选项逐一分析，得到结果. 【详解】根据图象得到：2A =，311341264T πππ=-=，所以T π=， 所以2ππω=，解得2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+．将点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，得到2sin 23πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()232k k Z ππϕπ+=+∈，得()26k k Z πϕπ=+∈，又2πϕ<，所以6π=ϕ， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 对于A ，20126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，则函数()f x 关于,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故A 正确； 对于B ，函数的周期22T ππ==，故B 正确； 对于C ，当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,662x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，此时函数()f x 为增函数，故C 错误； 对于D ，当0,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin 262x π⎡⎛⎫+∈⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，2sin 26x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭，故()f x 在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 正确．故选：C ． 【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有根据图象确定函数解析式，正弦型函数的相关性质，属于简单题目.二、填空题13．【分析】求出f （t ）和g （s ）的值域根据存在性和恒成立问题转化为求出a 的范围【详解】对于函数f （x ）当x≤0时f （x ）单调递增由﹣3≤t≤0可得f （t ）∈﹣43当x ＞0时f （x ）＝﹣x2+2x+3＝ 解析：(],2-∞【分析】求出f （t ）和g （s ）的值域，根据存在性和恒成立问题，转化为()()()maxmaxf t ag s +≤求出a 的范围．对于函数f （x ），当x ≤0时，f （x ）733x =+单调递增，由﹣3≤t ≤0，可得f （t ）∈[﹣4，3]，当x ＞0时，f （x ）＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，由0＜t ≤3，可得f （t ）∈[0，4]， ∴对任意t ∈[﹣3，3]，f （t ）∈[﹣4，4]，对于函数g （x ）=x +cos x +4＝2sin （x 6π+）+4， ∵s ∈[0，2π]，∴s 6π+∈[6π，23π]， ∴g （s ）∈[5，6]，∴对于s ∈[0，2π]，使得g （s ）∈[5，6]，∵对任意t ∈[﹣3，3]，总存在s ∈[0，2π]，使得f （t ）+a ≤g （s ）成立，故()()()max maxf t ag s +≤∴a +4≤6，解得a ≤2， 故答案为：(],2-∞ 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．14．4或-4【分析】由题意可得故函数的周期为求得；在中令求得从而求得的值【详解】∵函数对任意的都有∴故函数的周期为∴所以∴在中令可得：即∴则故答案为：4或-4【点睛】求三角函数解析式的方法：(1)求A 通解析：4或-4. 【分析】 由题意可得()23f x f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故函数()f x 的周期为23π，求得=3ω；在()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭中，令=0x ，求得sin 0ϕ=，从而求得6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值.∵函数()()()4sin 0f x x ωϕω=+>对任意的x 都有()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ∴()23f x f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故函数()f x 的周期为23π， ∴22=3ππω，所以=3ω. ∴()()4sin 3f x x ϕ=+. 在()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭中，令=0x ，可得：()03f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 即()4sin =4sin πϕϕ+，∴sin =0ϕ. 则=4sin()4cos 462f ππϕϕ⎛⎫+==±⎪⎝⎭. 故答案为： 4或-4. 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.15．【分析】先根据函数在区间上的最小值是确定的取值范围进而可得到或求出的范围得到答案【详解】函数在区间上的最小值是则的取值范围是当时函数有最小值或或的最小值等于故答案为：【点睛】本题主要考查正弦函数的最解析：32【分析】先根据函数在区间[,]34ππ-上的最小值是2-确定x ω的取值范围，进而可得到32ωππ--或342ωππ，求出ω的范围得到答案． 【详解】函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-， 则x ω的取值范围是[,]34ωπωπ-，当22x k πωπ=-+，k Z ∈时，函数有最小值2-，32ωππ∴--，或342ωππ，k Z ∈，∴32ω≥，或6ω，k Z ∈， 0ω>，ω∴的最小值等于32．故答案为：32． 【点睛】本题主要考查正弦函数的最值的应用．考查基础知识的运用能力．三角函数式高考的重要考点，一定要强化复习．16．（1）（2）（4）【分析】根据正弦型函数周期公式正弦型函数对称中心坐标正弦型函数对称轴等知识逐项验证即可求得答案【详解】对于（1）根据正弦型函数周期公式：可得：函数最小正周期为：故（1）正确；对于（解析：（1）（2）（4） 【分析】根据正弦型函数周期公式，正弦型函数对称中心坐标，正弦型函数对称轴等知识，逐项验证，即可求得答案． 【详解】对于（1），根据正弦型函数周期公式：2T ωπ=可得：函数3()2sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭最小正周期为：2233T ππ==，故（1）正确； 对于（2），根据正弦函数sin ()y x x R =∈的图象的对称中心为(0),k π 正弦型函数3()2sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭∴令334,k Z x k ππ=∈-，解得4,3k k Z x ππ=+∈ ∴其对称中心坐标为(,0),34k k Z ππ+∈当0k =时，对称中心坐标为(,0)4π，故（2）正确；对于（3），将2sin3y x =的图象向右平移34π个单位长度 可得：392sin 32sin 344y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭92sin 322sin 344x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴将2sin3y x =的图象向右平移34π个单位长度不能得到图象C ，故（3）错误；对于（4），根据正弦函数sin ()y x x R =∈的图象的对称轴方程为,2x k k Z ππ=+∈，正弦型函数3()2sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴令,2334Z x k k πππ=+∈-，解得51,32k k x Z ππ=+∈ 当2k =-时，512342x πππ=+=--， ∴3()2sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭一条对称轴4πx =-，故（4）正确； 故答案为：（1）（2）（4）．【点睛】本题解题关键是掌握整体法求正弦函数图象的对称中心和对称轴的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．17．【分析】由题意画出图形由两角差的正切求出的正切值然后通过求解两个直角三角形得到和的长度作差后可得答案【详解】由图可知在中在中河流的宽度等于故答案为：【点睛】本题给出实际应用问题求河流在两地的宽度着重解析：1)【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15︒的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC 和DB 的长度，作差后可得答案．【详解】由图可知，15DAB ∠=︒()tan 45tan 30tan15tan 453021tan 45tan 30︒-︒︒=︒-︒==-+︒︒在Rt ADB 中，60AD =(tan15602120DB AD ∴=⋅︒=⨯=-在Rt ADC 中，60,60DAC AD ∠=︒=tan 60DC AD ∴=⋅︒=()()1201201BC DC DB m ∴=-=-=∴河流的宽度BC 等于)1201m故答案为：1) 【点睛】本题给出实际应用问题，求河流在,B C 两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．18．①③【分析】根据三角函数的奇偶性对称中心对称轴和最值对四个命题逐一分析由此确定正确命题的序号【详解】①为奇函数所以①正确②由于所以②错误③由于所以③正确④由于的最大值为所以④错误故答案为：①③【点睛解析：①③ 【分析】根据三角函数的奇偶性、对称中心、对称轴和最值对四个命题逐一分析，由此确定正确命题的序号. 【详解】①，22cos sin 323y x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭为奇函数，所以①正确.②，由于sin 2sin 11232πππ⎛⎫⨯+== ⎪⎝⎭，所以②错误. ③，由于53sin 2sin 1842πππ⎛⎫⨯+==- ⎪⎝⎭，所以③正确.④4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭32<，所以④错误. 故答案为：①③ 【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性、对称性、最值以及诱导公式，属于中档题.19．【分析】可拆分理解构造由对勾函数可得时取得最小值又当时也取到最小值即可求解【详解】令由对勾函数性质可知当时；因为当时所以当时取到最小值所以故答案为：【点睛】本题考查函数最值的求解拆分构造函数是解题关解析：52【分析】可拆分理解，构造251616()5x x g x x x x-+==+-，由对勾函数可得4x =时取得最小值，又当4x =时，12sin 236x ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭也取到最小值，即可求解 【详解】令251616()5x x g x x x x-+==+-，由对勾函数性质可知当4x =时，min ()3g x =；因为121sin 2362x ππ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，当4x =时，121sin 2362x ππ⎛⎫--=-⎪⎝⎭，所以当4x =时，()f x 取到最小值，5(4)2f =，所以min 5()2f x =.故答案为：52【点睛】本题考查函数最值的求解，拆分构造函数是解题关键，属于中档题20．3【分析】由已知可得是函数的一个周期所以再由可求得可得答案【详解】由已知可得则有则是函数的一个周期所以又所以所以故答案为：3【点睛】本题考查了函数的周期性及其应用准确理解周期性的定义是解题的关键属于解析：3 【分析】由已知可得，3是函数()f x 的一个周期，所以(2020)(1)f f =，再由(2)3f -=， 可求得()13f =，可得答案. 【详解】由已知可得，3()2f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则有333(3)++()222f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫+==-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3是函数()f x 的一个周期， 所以(2020)(67331)(1)f f f =⨯+=， 又(2)3f -=，所以()()123f f =-=， 所以(2020)3f =， 故答案为：3. 【点睛】本题考查了函数的周期性及其应用，准确理解周期性的定义是解题的关键,属于中档题.三、解答题21．（1）()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）()4sin 423g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，,2()412k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z ． 【分析】（1）结合图象求出A ，ϕ，代入点的坐标，求出ϕ，从而求出函数()f x 的解析式； （2）通过图象变换，求出函数()g x 的解析式，根据三角函数的性质求出()g x 的对称中心即可． 【详解】（1）由图象知：3532,41234A T πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭， 解得：T π=，故22πωπ==，故()2sin(2)f x x ϕ=+， 将点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭代入解析式得：2sin 03πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，故()223k k ϕππ=+∈Z ， 而2πϕ<，故3πϕ=-，故()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭； （2）将()y f x =图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍， 解析式转化为2sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 再将图象上所有点的纵坐标扩大到原来的2倍（横坐标不变）， 解析式转化为4sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 最后向下平移2个单位得到()y g x =图象， 则()4sin 423y g x x π⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，令()4sin 43h x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令4()3x k k ππ-=∈Z ，解得：()412k x k ππ=+∈Z ， 故()h x 的对称中心是,0()412k k ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z ， 故()g x 的对称中心是,2()412k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z ． 【点睛】方法点睛：已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：（1）五点法，由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ；（2）代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求． 22．（1）()()2sin f x x ϕ=+；（2）答案见解析. 【分析】由已知得周期从而求得ω， 选①：（1）得出()6f x π+，根据偶函数与诱导公式求得ϕ；（2）求出()f x 的增区间，再与[0,]π求交集可得；选②：（1）解方程3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ϕ； （2）同选①选③：（1）由6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭是最大值可得ϕ； （2）同选① 【详解】解：∵()f x 的图象与直线2y =的相邻两个交点间的距离为2π， ∴2T π=，即22ππω=，∴1ω=，∴()()2sin f x x ϕ=+. 方案一：选条件① （1）∵2sin 66f x x ππϕ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数， ∴62k ππϕπ+=+，即3k πϕπ=+，k Z ∈，∵02πϕ<<，∴3πϕ=，∴()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （2）令22232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，得：52266k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，令0k =，得566x ππ-≤≤， ∴函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦（写成开区间也可得分） 方案二：选条件②（1）方法1：∵2sin 33f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴sin 32πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴2k 33ππϕπ+=+或2233k ππϕπ+=+，k Z ∈， ∴2k ϕ=π或23k πϕπ=+，k Z ∈，∵02πϕ<<，∴3πϕ=，∴()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；方法2：∵2sin 33f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴sin 32πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∵02πϕ<<，∴5336πππϕ<+<， ∴233ππϕ+=即3πϕ=，∴()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）同方案一. 方案三：选条件③ ∵x R ∀∈，()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 的最大值， ∴262k ππϕπ+=+，k Z ∈，即23k πϕπ=+，k Z ∈，∵02πϕ<<，∴3πϕ=，∴()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； （2）同方案一. 【点睛】思路点睛：本题考查三角函数的图象与性质，掌握正弦函数的性质是解题关键．()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>，只要把x ωϕ+作为一个整体，用它替换sin y x =中的x 可确定函数的性质如单调性、对称中心、对称轴，最值，也可由()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>中x 的范围求出t x ωϕ=+的范围M ，然后考虑sin y x =在x M ∈时的性质得出结论． 23．（1）()cos(2)6f x x π=+；（2）见解析.【分析】（1）根据图象求出周期，再根据最低点可求ϕ，从而得到函数解析式. （2）求出()g x 的解析式，故方程可化为cos 206m x π⎛⎫---= ⎪⎝⎭，可通过直线y m =-与cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的图象的交点的个数解决方程的解的个数.【详解】（1）由函数的图象可得()f x 的周期为2236πππ⎛⎫⨯-=⎪⎝⎭，故22πωπ==， 又26312f ππ⎛⎫+ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，故5cos 2+112πϕ⎛⎫⨯=- ⎪⎝⎭， 所以526k πϕππ+=+即2,6k k Z πϕπ=+∈，因为02πϕ<<，故6π=ϕ，所以()cos(2)6f x x π=+. （2）()cos(2)cos 266g x x x ππ=-+=， 故()3()cos(2)3cos 26f xg x m x x m π-⋅-=+--cos 2cossin 2sin3cos 2cos 2666x x x m m x πππ⎛⎫=---=--- ⎪⎝⎭ 故方程在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的实数解的个数即为y m =-与cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象交点的个数，cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示，由图象可得： 当1m -=-31m <-<即1m =或31m -<<时，方程有2个不同的解； 当31m -<-≤31m ≤<时，方程有4个不同的解； 当33m <-≤33m ≤<时，方程有3个不同的解； 【点睛】 方法点睛：（1）平移变换有“左加右减”（水平方向的平移），注意是对自变量x 做加减．（2）与余弦型函数有关的方程的解的个数的讨论，一般可转化为动直线与确定函数的图象的交点个数来讨论.24．（1）()50sin 707050cos ,010210h t t t t πππ⎛⎫=-+=-≥ ⎪⎝⎭；（2）52分钟. 【分析】（1）根据题意分析游客甲绕原点作匀速圆周运动，根据三角函数定义可把他离地面的距离()h t 表示出来；（2）先求出游客乙离地面距离的函数()g t ，则()()h h t g t =-△即为甲乙的离地面距离之差，利用函数求最值. 【详解】（1）法1：据题意，游客甲绕原点按逆时针方向作角速度为22010ππ=弧度/分钟的匀速圆周运动，设经过t 分钟后甲到达Q ，则以OP 为始边，OQ 为终边的角的大小是10t π， 因为圆的半径为50r =米，由三角函数定义知点Q 的纵坐标为50sin 102y t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则其离地面的距离为：()()205050sin 7050cos 010210h t t t t πππ⎛⎫=++-=-≥⎪⎝⎭. 法2：因为摩天轮是作匀速圆周运动，故可设()()()sin 0,0h t A t b A ωϕω=++>>，据题意有12050,2070,A b A A b b ⎧+==⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩又周期20T =，所以10πω=，由在最低点入舱得01022πππϕϕ⋅+=-⇒=-，故得()50sin 707050cos ,010210h t t t t πππ⎛⎫=-+=-≥⎪⎝⎭. （2）由（1）可知游客乙离地面的距离：()()7050cos 57050sin 1010g t t t ππ⎡⎤=--=-⎢⎥⎣⎦，其中时间t 表示游客甲坐上摩天轮的时间，则甲乙的离地面距离之差为：()()50sin cos 1010104h h t g t t t t ππππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△，当()21042t k k ππππ-=+∈Z ，即()15202t k k =+∈Z 时，甲乙离地面距离之差达到最大，所以152t =，即游客乙坐上摩天轮552t -=分钟后，甲乙的离地面距离之差首次达到最大. 【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；(2) 数学模型（解析式）建立后，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题确定自变量的取值范围．25．()2sin 3f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）296【分析】（1）根据条件先求ω，再根据()0f =ϕ，最后再验证ϕ值，确定函数的解析式；（2）根据条件求函数的零点，确定b 的最大值应是第5个零点. 【详解】 （1）函数的最大值是2，∴,函数的周期2T =，即22πωπω=⇒=，()02sin f ϕ==，且0ϕπ<<，3πϕ∴=或23π， 当3πϕ=时，()2sin 3f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，当10,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5,3312x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，满足条件； 当23ϕπ=时，()22sin 3f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，当10,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，223,334x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以函数在区间10,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以舍去， 所以函数()2sin 3f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； （2）()2sin 103g x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，得1sin 32x ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 72,36x k k Z ππππ+=+∈，解得：52,6x k k Z =+∈， 或112,36x k k Z ππππ+=+∈，解得：32,2x k k Z =+∈， 函数()()1g x f x =+在区间()0,b 上只有4个零点，∴这四个零点应是56，32，176，72，那么b 的最大值应是第5个零点，即296， 所以b 的最大值是296. 【点睛】关键点点睛：本题第一问注意求出两个ϕ 后需验证是否满足条件，第二个关键点是，注意()0,b 是开区间，开区间内只有四个零点，则b 的最大值是第5个零点.26．（1）400平方米；（2）200平方米． 【分析】（1）四边形OECF 的面积OBCF BOE S S S =-△；（2）设[0BOE α∠=∈︒，45]︒，过点F 作FM AB ⊥于点M ，利用三角函数的知识可得EOF S △；设单位面积种植乙蔬菜的经济价值为m ，该空地产生的经济价值为y ，可用含α的式子表示出y ；令()cos sin(120)f ααα=⋅︒-，结合三角恒等变换公式和余弦函数的图象与性质求出()f α取得最小值时，α的值，再将其代入EOF S △的表达式中即可得解． 【详解】解：（1）由60EOF ∠=︒，30BOE ∠=︒，可知⊥OF OB ，O 为AB 中点，2AB BC =，OB BC ∴=，∴四边形FOBC 为正方形．在Rt BOE △中，30BOE ∠=︒，20OB =米，BE ∴=，∴四边形OECF 的面积为12020204002OBCF BOE S S -=⨯-⨯=△平方米．（2）设[0BOE α∠=∈︒，45]︒，则120AOF α∠=︒-，过点F 作FM AB ⊥于点M ，在Rt OBE △中，cos OB BOE OE ∠=，20cos cos OB OE BOE α∴==∠，在Rt OMF △中，sin FMAOF OF∠=，20sin sin(120)FM OF AOF α∴==∠︒-．112020·sin sin 6022cos sin(120)EOF S OE OF EOF αα∴=∠=⨯⨯⨯︒=︒-△，设单位面积种植乙蔬菜的经济价值为m ，该空地产生的经济价值为y ，则()3EOF EOF ABCD y mS m S S =+-△△矩形3(2040)cos sin(120)cos sin(120)m m αααα=⨯+⨯-⋅︒-⋅︒-[800]cos sin(120)m αα=+⋅︒-．令21()cos sin(120)sin cos 2f αααααα=⋅︒-=-cos 2111sin 2cos(230)242ααα+=-⨯=+︒+．[0α∈︒，45]︒，230[30α∴+︒∈︒，120]︒，1cos(230)[2α∴+︒∈-．若该空地产生的经济价值y 最大，则()f α应取得最小值，为12-，此时0α=︒，200EOF S ∴====△平方米． 故该空地产生最大经济价值时种植甲种蔬菜的面积为200平方米． 【点睛】本题考查函数的实际应用，还涉及三角恒等变换与三角函数的图象与性质，选择适当的函数模型是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．。
苏教版高一数学必修4第1章三角函数全章测试
三角函数全章测试测试卷（120分钟，满分150分）一、选择题（每题5分，共60分）1．若角α的终边落在直线y=-x 上，则ααααcos cos 1sin 1sin 22-+-的值等于（ ） A ．0 B ．2C ．-2D ．2tg α 2．设θ∈（0，2π），若sin θ＜0且cos2θ＜0，则θ的取值范围是（ ）A ．πθπ23<< B ．4745πθπ<<C ．πθπ223<<D ．πθπ434<<3．函数12cos 32sin -+=x x y 的定义域是（ ）A ．]1211,125[ππππ++k k （k ∈Z ） B ．]3,[πππ+k k （k ∈Z ） C ．]4,12[ππππ+-k k （k ∈Z ）D ．]2,6[ππππ+-k k （k ∈Z ）4．函数)4332(sin 4cos 412ππ≤≤--+=x x x y 的值域是（ ） A ．[0，8] B ．[-3，5] C ．]122,3[--D ．[-4，5]5．已知α，β∈),2(ππ，cos α+sin β＞0，则（ ）A ．α+β＜πB ．23πβα>+ C ．23πβα=+D ．23πβα<+6．已知tan α，tan β是方程04332=++x x 的两根，且α，β∈)2,2(ππ-，则α+β等于（ ）A ．3πB ．3π或π32-C ．3π-或π32D ．π32-7．有四个函数：①x y 2sin =②y=|sinx|③2cot 2tan x x y -=④y=sin|x|，其中周期是π，且在)2,0(π上是增函数的函数个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．函数)2tan tan 1(sin x x x y +=的最小正周期是（ ） A ．π B ．2π C ．2πD ．23π 9．22sin =x 是tanx=1成立的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分条件也非必要条件 10．设︒-︒=6sin 236cos 21a ，︒+︒=13tan 113tan 22b ，240sin 1︒-=c 则（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a11．把函数x x y sin 3cos -=的图象向左平移m 个单位，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）A ．6πB ．3π C ．32πD ．π12．已知函数)32sin(31π-=x y ，)32sin(42π+=x y ，那么函数21y y y +=的振幅A 的值是（ ）A ．5B ．7C ．13D ．13二、填空题（每题4分，共16分）13．函数xx y 2cos 1)4tan(-+=π的最小正周期是_____________。
必修4第一章三角函数基础训练及答案
（数学4必修）第一章 三角函数（）一、选择题1． 设α角属于第二象限，且2cos 2cos αα-=，则2α角属于（ ） A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限2． 给出下列各函数值：①)1000sin(0-；②)2200cos(0-；③)10tan(-；④917tan cos 107sin πππ． 其中符号为负的有（ ） A ． ① B ． ② C ． ③ D ． ④3． 02120sin 等于（ ）A ． 23±B ． 23C ． 23-D ． 21 4． 已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于（ ） A ． 43- B ． 34- C ． 43 D ． 34 5． 若α是第四象限的角，则πα-是（ ） A ． 第一象限的角 B ． 第二象限的角 C ． 第三象限的角 D ． 第四象限的角6． 4tan 3cos 2sin 的值（ ）A ． 小于0B ． 大于0C ． 等于0D ． 不存在二、填空题1． 设θ分别是第二、三、四象限角，则点)cos ,(sin θθP 分别在第___、___、___象限．2． 设MP 和OM 分别是角1817π的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式： ①0<<OM MP ；②0OM MP <<； ③0<<MP OM ；④OM MP <<0， 其中正确的是_____________________________．3． 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系是___________．4． 设扇形的周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ．5． 与02002-终边相同的最小正角是_______________． 三、解答题1． 已知1tan tan αα，是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根，且παπ273<<，求ααsin cos +的值．2． 已知2tan =x ，求xx x x sin cos sin cos -+的值．3． 化简：)sin()360cos()810tan()450tan(1)900tan()540sin(00000x x x x x x --⋅--⋅--4． 已知)1,2(,cos sin ≠≤=+m m m x x 且， 求（1）x x 33cos sin +；（2）x x 44cos sin +的值．数学4（必修）第一章 三角函数（上）参考答案一、选择题1． C 22,(),,(),2422k k k Z k k k Z ππαππαππππ+<<+∈+<<+∈当2,()k n n Z =∈时，2α在第一象限；当21,()k n n Z =+∈时，2α在第三象限； 而cos coscos 0222ααα=-⇒≤，2α∴在第三象限； 2． C 00sin(1000)sin 800-=>；000cos(2200)cos(40)cos 400-=-=>tan(10)tan(310)0π-=-<；77sincos sin 7171010,sin 0,tan 01717109tan tan 99πππππππ-=>< 3． B0sin1202== 4． A 43sin 4sin ,cos ,tan 55cos 3ααααα==-==- 5． Cπααπ-=-+，若α是第四象限的角，则α-是第一象限的角，再逆时针旋转0180 6．A 32,sin 20;3,cos30;4,tan 40;sin 2cos3tan 40222ππππππ<<><<<<<>< 二、填空题1． 四、三、二 当θ是第二象限角时，sin 0,cos 0θθ><；当θ是第三象限角时，sin 0,cos 0θθ<<；当θ是第四象限角时，sin 0,cos 0θθ<>；2． ② 1717sin 0,cos 01818MP OM ππ=>=< 3． 2k αβππ+=+ α与βπ+关于x 轴对称4． 2 21(82)4,440,2,4,22l S r r r r r l rα=-=-+===== 5． 0158 0000020022160158,(21603606)-=-+=⨯三、解答题1. 解：21tan 31,2tan k k αα⋅=-=∴=±，而παπ273<<，则1tan 2,tan k αα+==得tan 1α=，则sin cos 2αα==-，cos sin αα∴+= 2． 解：cos sin 1tan 123cos sin 1tan 12x x x x x x +++===---- 3． 解：原式=000sin(180)1cos tan()tan(90)tan(90)sin()x x x x x x -⋅⋅---- sin 1tan tan ()sin tan tan x x x x x x=⋅⋅-=- 4． 解：由sin cos ,x x m +=得212sin cos ,x x m +=即21sin cos ,2m x x -= （1）233313sin cos (sin cos )(1sin cos )(1)22m m m x x x x x x m --+=+-=-=（2）24244222121sin cos 12sin cos 12()22m m m x x x x --+++=-=-=。
苏教版数学高一必修四 作业 第一章《三角函数》章末检测
(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上) 1．若sin α<0且tan α>0，则α是第________象限角． 答案：三2．若角α的终边经过点P (1，－2)，则tan α的值为________． 解析：tan α＝－21＝－2.答案：－23．(2011·山东高考改编)若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π6的值为________．解析：由3a ＝9得，a ＝2. 所以tan a π6＝tan π3＝ 3.答案： 3 4．tan 300°＋cos 405°sin 405°的值是________．解析：tan 300°＋cos 405°sin 405°＝tan(360°－60°)＋cos (360°＋45°)sin (360°＋45°)＝tan(－60°)＋cos 45°sin 45°＝－tan 60°＋1＝1－ 3. 答案：1－ 35．若α是第三象限角，且tan α＝512，则cos α的值为________．解析：∵tan α＝512，∴sin αcos α＝512，即sin α＝512cos α.又∵cos 2α＋sin 2α＝1， ∴(512cos α)2＋cos 2α＝1∴169144cos 2α＝1，即cos 2α＝144169. 又∵α为第三象限角，∴cos α<0. ∴cos α＝－1213.答案：－12136．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12的值等于________． 解析：由已知得cos(α＋7π12)＝cos[(α＋π12)＋π2]＝－sin(α＋π12)＝－13.答案：－137．若(sin θ＋cos θ)2＝2，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则θ＝________. 解析：由(sin θ＋cos θ)2＝2，∴sin θ cos θ＝12∴sin θ cos θsin 2θ＋cos 2θ＝12即tan θ1＋tan 2 θ＝12，又tan θ＞0， ∴tan θ＝1，又θ∈(0，π2)．∴θ＝π4.答案：π48．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的递增区间是________． 解析：令k π－π2<x 2＋π3<k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－5π3<x <2k π＋π3(k ∈Z)，故所求函数的单调递增区间是(2k π－5π3，2k π＋π3)(k ∈Z)．答案：(2k π－5π3，2k π＋π3)(k ∈Z) 9．(2012·新课标全国卷改编)已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx＋φ)图像的两条相邻的对称轴，则 φ＝________.解析：由题意得周期T ＝2(54π－14π)＝2π，∴2π＝2πω，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，∴f (π4)＝sin(π4＋φ)＝±1，f (5π4)＝sin(5π4＋φ)＝±1. ∵0<φ<π，∴π4<φ＋π4<54π，∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π4.答案：π410．函数y ＝cos 2x －sin x 的最大值是________． 解析：∵y ＝cos 2x －sin x ＝1－sin 2x －sin x ＝－(sin x ＋12)2＋54，又∵－1≤sin x ≤1， ∴当sin x ＝－12时，y max ＝54.答案：5411．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则f (7π12)＝________.解析：由图象可知A ＝2，32T ＝π，从而可知T ＝2πω＝2π3，ω＝3，得f (x )＝2sin(3x ＋φ)， 又由f (π4)＝0可取φ＝－3π4，于是f (x )＝2sin(3x －3π4)，则f (7π12)＝2sin(7π4－3π4)＝0.答案：012．sin 2，cos 1，tan 2的大小顺序是________． 解析：sin 2>0，cos 1>0， tan 2<0.∵cos 1＝sin(π2－1)，sin 2＝sin(π－2)，又0<π2－1<π－2<π2且y ＝sin x 在(0，π2)上是增函数，从而sin(π2－1)<sin(π－2)，即cos 1<sin 2. ∴tan 2<cos 1<sin 2. 答案：tan 2<cos 1<sin 213．在函数①y ＝sin |x |，②y ＝|sin x |，③y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，④y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3中，最小正周期为π的函数为________．解析：y ＝sin |x |不是周期函数，其余三个函数的最小正周期均为π. 答案：②③④14．将函数y ＝cos(x －π3)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数图象的对称轴为________．解析：y ＝cos(x －π3)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得函数y 1＝cos(12x －π3)的图象，再向左平移π6个单位，得函数y 2＝cos[12(x ＋π6)－π3]＝cos(12x －π4)的图象．由x 2－π4＝k π(k ∈Z)，得x ＝2k π＋π2(k ∈Z)即为所求的全部对称轴． 答案：x ＝2k π＋π2(k ∈Z)二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知单位圆上一点P ⎝⎛⎭⎫－32，y ，设以OP 为终边的角为θ(0＜θ＜2π)，求θ的正弦值、余弦值．解：∵P 在单位圆上，∴y 2＋34＝1.∴y ＝±12.当y ＝12时，sin α＝12，cos α＝－32.当y ＝－12时，sin α＝－12，cos α＝－32.16．(本小题满分14分)已知f (x )＝a sin(3π－x )＋b tan(π＋x )＋1(a 、b 为非零常数)．(1)若f (4)＝10，求f (－4)的值； (2)若f ⎝⎛⎭⎫π5＝7，求f ⎝⎛⎭⎫995π的值． 解：∵f (x )＝a sin(2π＋π－x )＋b tan(x ＋π)＋1 ＝a sin x ＋b tan x ＋1，∴f (－x )＝a sin(－x )＋b tan(－x )＋1 ＝－a sin x －b tan x ＋1， ∴f (x )＋f (－x )＝2.(1)∵f (4)＝10， f (4)＋f (－4)＝2， ∴f (－4)＝2－f (4)＝2－10＝－8. (2)∵f (π5)＝7，f (π5)＋f (－π5)＝2，∴f (－π5)＝2－f (π5)＝2－7＝－5.∴f (99π5)＝f (20π－π5)＝a sin(20π－π5)＋b tan(20π－π5)＋1＝a sin(－π5)＋b tan(－π5)＋1＝f (－π5)＝－5.17．(本小题满分14分)已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)． (1)求sin (π－α)＋5cos (2π－α)2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α的值；(2)求sin 2α＋2sin αcos α－cos 2α＋2的值． 解：由已知，得－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)． ∴－sin(π－α)＝2cos(－α)． ∴sin α＝－2cos α. ∵cos α≠0，∴tan α＝－2.(1)原式＝sin α＋5cos α－2sin (π2－α)＋sin α＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝tan α＋5－2＋tan α＝－2＋5－2－2＝－34.(2)原式＝sin 2 α＋2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋2tan α－1tan 2α＋1＋2 ＝4＋2×(－2)－14＋1＋2＝95.18．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝a ＋2b sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象过点(0,1)，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最大值为22－1.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12时，求f (x )的最值． 解：(1)由f (0)＝1，∴a ＋2b sin π4＝1即a ＋b ＝1.①又x ＋π4∈[π4，34π]，∴x ＋π4＝π2时，f (x )有最大值．∴a ＋2b ＝22－1.②由①②知a ＝－1，b ＝2， f (x )＝22sin(x ＋π4)－1.(2)可以，因为将图象沿x 轴右移π4个单位再向上平移一个单位得函数f (x )＝22sin x 的图象．19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R(其中A >0，ω>0,0<φ<π2)的周期为π，且图象上一个最低点为M (2π3，－2)．(1)求f (x )的解析式； (2)当x ∈[0，π12]时，求f (x )的最值． 解：(1)由最低点为M (2π3，－2)，得A ＝2.由T ＝π，得ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M (2π3，－2)在图象上，得2sin(4π3＋φ)＝－2，即sin(4π3＋φ)＝－1.所以4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z)．故φ＝2k π－11π6(k ∈Z)．又φ∈(0，π2)，所以φ＝π6.所以f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)因为x ∈[0，π12]，所以2x ＋π6∈[π6，π3]．所以当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值1；当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f (x )取得最大值 3.20．(本小题满分16分)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)的图象的一条对称轴是直线x ＝π8. (1)求φ的值；(2)求函数y ＝f (x )的单调减区间；(3)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．解：(1)因为x ＝π8是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一条对称轴，所以sin(2×π8＋φ)＝±1，所以π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z.因为－π<φ<0，所以φ＝－3π4.(2)由(1)知φ＝－3π4，因此y ＝sin(2x －3π4)，由题意得2k π＋π2≤2x －3π4≤2k π＋3π2，k ∈Z.故k π＋5π8≤x ≤k π＋9π8，k ∈Z.所以函数y ＝sin(2x －3π4)的单调减区间为[k π＋5π8，k π＋9π8]，k ∈Z.(3)由y ＝sin(2x －3π4)知：x 0 π8 3π8 5π8 7π8 π y－22－11－22[]故函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象如图所示．。
苏教版高中数学必修4三角函数单元测试
南京师范大学附属扬子中学三角函数（苏教版必修4）单元测试一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内）1.设a <0,角α的终边经过点P (-3a ,4a ),那么sin α+2cos α的值等于:A.52B.-52C.51D.-51 2.若cos(π+α)=-23,21π<α<2π,则sin(2π-α)等于:A.-23B.23C.21D.±23 3.已知sin α>sin β,那么下列命题成立的是:A.若α,β是第一象限角，则cos α>cos βB.若α,β是第二象限角，则tan α>tan βC.若α、β是第三象限角，则cos α>cos βD.若α、β是第四象限角，则tan α>tan β4.若sin x ＋cos x ＝1，那么sin n x ＋cos nx 的值是:A ．1B ．0C ．－1D ．不能确定 5.函数y=－x ·cos x 的部分图象是：6.函数x x y sin cos 2-=的值域是: A 、[]1,1-B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡45,1C 、[]2,0D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-45,17.已知：函数sin()y A x ωϕ=+，在同一周期内，当12x π=时取最大值4y =；当712x π=时，取最小值4y =-，那么函数的解析式为: A ．4sin(2)3y x π=+ B.4sin(2)3y x π=-+C 4sin(4)3=+y x π.D.4sin(4)3y x π=-+8.在函数y ＝｜tan x ｜，y ＝｜sin(x ＋2π)｜，y ＝｜sin2x ｜，y ＝sin(2x －2π)四个函数中，既是以π为周期的偶函数，又是区间(0，2π)上的增函数个数是:A ．1B ．2C ．3D ．49.定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为: A.21-B.23C.23-D 2110.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3π=x 对称的是:A.)32sin(π-=x y B.)62sin(π-=x y C ．)62sin(π+=x yD ．)62sin(π+=x y11.函数f(x)＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点中心对称,则:A ．φ＝π2B ．φ＝k π＋π2C ．φ＝k πD ．φ＝2k π－π2(k ∈Z)12.2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是θθ22cos sin ,251-则的值等于:A ．1B ．2524-C ．257D ．725-二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
(典型题)高中数学必修四第一章《三角函数》检测(含答案解析)(1)
一、选择题1．若函数()sin 2f x x =与()2cos g x x =都在区间(),a b 上单调递减，则b a -的最大值是（ ） A ．π4B ．π3C ．π2D ．2π32．函数()sin()(0||)2，f x x πωϕωϕ=+><的部分函数图象如图所示，将函数()f x 的图象先向右平移3π个单位长度，然后向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的解析式为（ ）A ．()sin 21g x x =-B ．()sin 21g x x =+C ．()sin(2)13g x x π=--D ．()sin(2)13g x x π=-+3．函数()()sin cos y x =的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图，一个质点在半径为1的圆O 上以点P 为起始点，沿逆时针方向旋转，每2s 转一圈，由该质点到x 轴的距离y 关于时间t 的函数解析式是（ ）A ．2sin()3y t ππ=+ B ．2sin()3y t ππ=- C ．2sin()3y t ππ=-D ．2sin()3y t ππ=+5．将函数sin()y x ϕ=+的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移12π个单位后得到的函数图像关于原点中心对称，则sin 2ϕ=( )A ．12-B ．12C ．3D 36．函数1sin3y x =-的图像与直线3x π=，53x π=及x 轴所围成的图形的面积是（ ） A ．23π B ．πC ．43π D ．53π 7．已知函数sin()0,0,||2y A x b A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的图象上相邻的一个最大值点与对称中心分别为2,39π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,018π⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()f x 的单调增区间为（ ） A ．222,3939k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈ B ．242,3939k k ππππ⎛⎫--⎪⎝⎭，k Z ∈ C ．227,318318k k ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭，k Z ∈ D ．272,318318k k ππππ⎛⎫--⎪⎝⎭，k Z ∈ 8．已知函数()tan()0,02f x x πωϕϕω⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭最小正周期为2π，且()f x 的图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭，则方程()sin 2([0,])3f x x x π⎛⎫=+∈π ⎪⎝⎭所有解的和为（ ）A ．76πB ．56π C ．2πD ．3π 9．函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图，将()y f x =的图象向右平移π6个单位长得到函数y g x 的图象，则()g x 的单调增区间为（ ）A ．()ππ2π,2π63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z B ．()π5π2π,2π36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()πππ,π63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z D ．()π5ππ,π36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 10．已知1sin 34x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则22sin sin 36x x ππ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．1B 151+C ．1916D ．3411．下列函数中，既是偶函数，又在(),0-∞上是增函数的是（ ） A ．()22xxf x -=- B ．()23f x x =-C ．()2ln =-f x xD ．()cos3=f x x x12．已知函数()tan()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+≠< ⎪⎝⎭，点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是其相邻的两个对称中心，且在区间54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则ϕ=（ ） A ．6π B ．6π-C ．3π D ．3π-二、填空题13．若函数()sin (0)4f x x πωωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭取得最值的点到y 轴的最近距离小于6π，且()f x 在711,2020ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，则ω的取值范围为_________. 14．关于1()sin sin f x x x=-，有如下四个结论： ①()f x 是奇函数.②()f x 图像关于y 轴对称. ③2x π=是()f x 的一条对称轴.④()f x 有最大值和最小值. 其中说法正确的序号是________．15．已知函数()()3cos g x x ωϕ=+()0ω>满足04g π⎛⎫=⎪⎝⎭，()3g π=，且最小正周期3T π≥，则符合条件的ω的取值个数为___________.16．圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为 _____ ． 17．如图，某公园要在一块圆心角为3π，半径为20m 的扇形草坪OAB 中修建一个内接矩形文化景观区域CDEF ，若//EF AB ，则文化景观区域面积的最大值为______2m .18．设函数()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的图象关于直线23x π=对称，它的周期为π，则下列说法正确是________（填写序号） ①()f x 的图象过点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭； ②()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减； ③()f x 的一个对称中心是5,012π⎛⎫⎪⎝⎭； ④将()f x 的图象向右平移ϕ个单位长度得到函数2sin 2y x =的图象. 19．若函数f (x )=2sin(ωx +φ)(ω>0，0<φ<π)的图象经过点,26π⎛⎫⎪⎝⎭，且相邻两条对称轴间的距离为2π，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为________. 20．如图，游乐场所的摩天轮匀速旋转，每转一周需要l2min ，其中心O 离地面45米，半径40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请问：当你第六次距离地面65米时，用了________分钟？三、解答题21．已知函数()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象与直线2y =的相邻两个交点间的距离为2π，且________.在①函数6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数；②33f π⎛⎫=⎪⎝⎭；③x R ∀∈，()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭；这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间.22．如图，一个水轮的半径为4米，水轮圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟逆时针转动1圈，当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间.（1）将点P 距离水面的距离z （单位：米，在水面以下，则z 为负数）表示为时间t （单位：秒）的函数；（2）在水轮转动1圈内，有多长时间点P 位于水面上方？ 23．设函数()3sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，且以23π为最小正周期． （1）求函数()f x 的单调递减区间； （2）当,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域． 24．已知向量a ＝(cosωx －sinωx ，sinωx)，b ＝(－cosωx －sinωx,2cosωx)．设函数f(x)＝a b⋅＋λ(x ∈R)的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若y ＝f(x)的图象经过点,04π⎛⎫⎪⎝⎭，求函数f(x)在区间30,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围 25．己知函数()sin 3cos (0, 0 )f x A x x A ωωω=>>，其部分图象如图所示．（1）求A 和ω的值；（2）求函数()y f x =在[]0,π的单调增区间． 26．已知函数()23,4f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭.（1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）的单调递增区间和单调递减区间； （3）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求f （x ）值域.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据题意求出(),()f x g x 原点附近的单调递减区间，根据递减区间分析可得max 3π4b =，min π4a =，相减即可. 【详解】 解：由题意函数()sin 2f x x =在π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数()2cos g x x =在()0,π上单调递减， 所以则max 3π4b =，min π4a =，所以b a -的最大值为3πππ442-=. 故选：C. 【点睛】求三角函数单调区间的2种方法:（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.2．D解析：D 【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论．【详解】根据函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的部分函数图象，1274123πππω⋅=-，2ω∴=． 再根据五点法作图，23πϕπ⨯+=，3πϕ∴=，()sin(2)3f x x π=+．将函数()f x 的图象先向右平移3π个单位长度，可得sin(2)3y x π=-的图象．然后向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的解析式为()sin(2)13g x x π=-+，故选：D 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于准确地根据三角函数的图象求出三角函数sin()y A x ωϕ=+的解析式，一般根据周期求出ω的值，根据最值求出A 的值，根据最值点求出ϕ的值.3．A解析：A 【分析】先确定奇偶性，再取特殊值确定函数值可能为负，排除三个选项后得出结论． 【详解】记()()sin cos f x x =，则()()()sin cos()sin cos ()f x x x f x -=-==，为偶函数，排除D ， 当23x π=时，21()sin cos sin 032f x π⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，排除B ，C ．故选：A ． 【点睛】本题考查由解析式先把函数图象，解题方法是排除法，可通过研究函数的性质如奇偶性、单调性等排除一些选项，再由特殊的函数值，函数值的正负，变化趋势等排除一些选项后得出正确结论．4．A解析：A 【分析】首先根据图象理解t 秒后23POx t ππ∠=+，再根据三角函数的定义求点P 的纵坐标和该质点到x 轴的距离y 关于时间t 的函数解析式. 【详解】由题意可知点P 运动的角速度是22ππ=（弧度/秒） 那么点P 运动t 秒后23POx t ππ∠=+， 又三角函数的定义可知，点P 的纵坐标是2sin 3t ππ⎛⎫+⎪⎝⎭， 因此该质点到x 轴的距离y 关于时间t 的函数解析式是2sin 3y t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解三角函数的定义，并正确表示点23POx t ππ∠=+，即可表示函数的解析式.5．C解析：C 【分析】先根据条件写出图像变换后的函数解析式，然后根据图像关于原点中心对称可知函数为奇函数，由此得到ϕ的表示并计算出sin 2ϕ的结果. 【详解】因为变换平移后得到函数sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由条件可知sin 26y x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭为奇函数，所以6k πϕπ+=，sin 2sin 2sin 33k ππϕπ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选C ． 【点睛】本题考查三角函数的图像变换以及根据函数奇偶性判断参数值，难度一般.正弦型函数()()sin f x A x =+ωϕ为奇函数时,k k Z ϕπ=∈，为偶函数时,2k k Z πϕπ=+∈.6．C解析：C 【分析】作出函数1sin3y x =-的图像，利用割补法，补成长方形，计算面积即可. 【详解】作出函数1sin3y x =-的图象，如图所示，利用割补法，将23π到π部分的图象与x 轴围成的图形补到图中3π到23π处阴影部分，凑成一个长为3π，宽为2的长方形，后面π到53π，同理；∴1sin3y x =-的图象与直线3x π=，53x π=及x 轴所围成的面积为24233ππ⨯=，故选：C. 【点睛】用“五点法”作()sin y A ωx φ=+的简图，主要是通过变量代换，设z x ωϕ=+，由z 取0，2π，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象． 7．A解析：A 【分析】由最大值点和对称中心的坐标可以求出()f x 的解析式，利用三角函数的性质，整体代换得出该复合函数的单调增区间. 【详解】图像上相邻的一个最大值点与对称中心分别为2,39π⎛⎫⎪⎝⎭，,018π⎛⎫⎪⎝⎭， 3A ∴=，0b =且124918T ππ=-，可得23T π=， 23Tπω∴==， 3sin(3)y x ϕ∴=+将2,39π⎛⎫⎪⎝⎭代入可得3sin(3)3y x ϕ=+=， 可得22,32k k Z ππϕπ+=+∈，且2πϕ<， 6πϕ∴=-，可得()3sin(3)6f x x π=-，令6232,22k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，可得222+9393k x k ππππ-≤≤， 故选：A. 【点睛】方法点睛：根据图像求函数()sin()f x A x k ωϕ=++的解析式，根据最高点和对称中心的纵坐标可求出A 和k ，根据横坐标可求出周期T ，进而求出ω.求该函数的单调区间时，用整体代换的思想，借助正弦函数的单调区间，用解不等式的方法求复合函数的单调区间.8．A解析：A 【分析】先根据()f x 的最小正周期计算出ω的值，再根据图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭结合ϕ的范围求解出ϕ的值，再根据条件将方程变形，先确定出tan 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，然后即可求解出方程的根，由此确定出方程所有解的和. 【详解】因为()f x 的最小正周期为2π，所以22πωπ==，又因为()f x 的图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭，所以2tan 03πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以2,3k k Z ϕππ+=∈，又因为02πϕ<<，所以3πϕ=且此时1k =，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即tan 2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即tan 2cos 21033x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又因为tan 203x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，sin 203x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 213x π⎛⎫+=± ⎪⎝⎭， 所以tan 2cos 210tan 2=0333x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=⇔+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因为[]0,x π∈，所以72,333x πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 当tan 2=03x π⎛⎫+⎪⎝⎭时，23x ππ+=或223x ππ+=，解得3x π=或56x π=， 所以方程()[]()sin 20,3f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭所有解的和为57366πππ+=. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过分析方程得到tan 2=03x π⎛⎫+⎪⎝⎭，此处需要注意不能直接约去tan 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为需要考虑tan 2=03x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的情况.9．C解析：C 【分析】根据()f x 的图象，可求出()f x 的解析式，进而根据图象平移变换规律，可得到()g x 的解析式，然后求出单调增区间即可. 【详解】由()f x 的图象，可得1A =，311ππ4126T =-，即πT =，则2ππT ω==，所以2ω=，由π16f ⎛⎫=⎪⎝⎭，可得πsin 216ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，所以ππ22π62k ϕ⨯+=+()k ∈Z ，则π2π6k ϕ=+()k ∈Z ， 又π2ϕ<，所以π6ϕ=，故()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.将()f x 的图象向右平移π6个单位长得到函数πππsin 22sin 2666y x x ⎛⎫⎛⎫=-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故函数()πsin 26g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令πππ2π22π262k x k -≤-≤+()k ∈Z ，解得()ππππ63k x k k -≤≤+∈Z ，所以()g x 的单调增区间为()πππ,π63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的图象性质，考查三角函数图象的平移变换，考查三角函数的单调性，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.10．C解析：C 【分析】由诱导公式求得cos 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后再由平方关系和诱导公式计算． 【详解】 由已知1cos cos sin 62334x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 222115sin 1cos 166416x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，21sin sin cos 32664x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以2211519sin sin 3641616x x ππ⎛⎫⎛⎫-+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的求值．解题关键是确定“已知角”和“未知角”的关系，选用适当的公式进行变形求值．本题中首先利用诱导公式得出cos 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后再用诱导公式得出2sin 3x π⎛⎫-⎪⎝⎭，用平方关系得出2sin 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，这样求解比较方便．11．C解析：C 【分析】利用奇偶性的定义判断函数奇偶性，判断AD 错误，结合常见基本初等函数的单调性判断B 错误，C 正确即可. 【详解】选项A 中，()22xxf x -=-，定义域R ，()()()2222xx x x f x f x ---=-=--=-，则()f x 是奇函数，不符合题意；选项D 中，()cos3=f x x x ，定义域R ，()()()cos 3cos3f x x x x x f x -=--=-=-，则()f x 是奇函数，不符合题意；选项B 中，()23f x x =-，定义域R ，()()()2233x x f x f x -=--=-=，则()f x 是偶函数，但二次函数()23f x x =-在在(),0-∞上是减函数，在()0,∞+上是增函数，故不符合题意；选项C 中，()2ln =-f x x ，定义域为(),0-∞()0,+∞，()()2ln 2ln f x x x f x -=--=-=，则()f x 是偶函数.当()0,x ∈+∞时，()2ln f x x =-是减函数，所以由偶函数图象关于y 轴对称可知，()f x 在(),0-∞上是增函数，故符合题意. 故选：C. 【点睛】 方法点睛：定义法判断函数()f x 奇偶性的方法： （1）确定定义域关于原点对称； （2）计算()f x -；（3）判断()f x -与()f x 的关系，若()()f x f x -=，则()f x 是偶函数；若()()f x f x -=-，则()f x 是奇函数；若两者均不成立，则()f x 是非奇非偶函数.12．A解析：A 【分析】由正切函数的图象性质，得出相邻两个对称中心之间的距离为半个周期，可求出T ，然后由T πω=求出ω，然后再代点讨论满足题意的ϕ，即可得出答案. 【详解】由正切函数图象的性质可知相邻两个对称中心的距离为2T ，得72263T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 则由1T πω==得1ω=，即得1ω=±. 由2πϕ<，且在区间54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则可得1ω=-， ∴()()()tan tan f x x x ϕϕ=-+=--. 由2,32k k Z ππϕ-=∈得2,32k k Z ππϕ=-∈，因2πϕ<，可得6π=ϕ或3π-，当3πϕ=-时，()tan +3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由+,232k x k k Z πππππ-<<+∈，得5,66k x k k Z ππππ-<<+∈， 则函数()f x 的单调减区间为5,,66k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，令1k =，由54,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭7,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭⊄，得函数()f x 在54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不是单调递减， 所以3πϕ=-不满足题意；当6π=ϕ时，()tan 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由,262k x k k Z πππππ-<-<+∈，得2,33k x k k Z ππππ-<<+∈， 则函数()f x 的单调减区间为2,,33k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭， 令1k =，由25,3354,63ππππ⎛⎫⊂⎛⎫ ⎪⎝ ⎪⎝⎭⎭，得函数()f x 在54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 所以6π=ϕ满足题意； 综上可得：6π=ϕ满足题意. 故选：A.【点睛】关键点睛：正切型函数的对称中心和单调性的问题，通常采用代入检验法，注意正切函数的对称中心为0,2k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭，. 二、填空题13．【分析】根据题意可得为的一个零点且且上有且只有一个最值点从而可得再由在单调递增可得解不等式组即可求解【详解】依题意为的一个零点且所以在上有且只有一个最值点可得化简得又则所以解得当时可得又所以故答案为解析：65,53⎛⎤⎥⎝⎦【分析】 根据题意可得,04π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的一个零点，且45T π≥，且,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有且只有一个最值点，从而可得665ω<<，再由()f x 在711,2020ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，可得221032210k k ππωπππωπ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解不等式组即可求解. 【详解】依题意,04π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的一个零点且117420205T πππ≥-=， 所以在,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有且只有一个最值点， 可得46446T ππππ-<<+，化简得665ω<<， 又711,2020x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则3,41010x πωπωπω⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以221032210k k ππωπππωπ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得5520203k k ω-+≤≤+，k Z ∈，当0k =时，可得553ω-≤≤，又665ω<<，所以6553ω<≤. 故答案为：65,53⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的性质，解题的关键是根据三角函数的最值得665ω<<，以及函数的单调递增区间可得5520203k k ω-+≤≤+，k Z ∈，考查了分析、计算能力.14．①③【分析】借助于的性质对照四个选项一一验证【详解】的定义域对于①：定义域关于原点对称即是奇函数故①正确；是奇函数图像关于原点对称故②错误；对于③：而所以故③正确；对于④：令则无最小值无最大值故④错解析：①③ 【分析】借助于sin y x =的性质，对照四个选项，一一验证. 【详解】1()sin sin f x x x=-的定义域{}|,x x k k Z π≠∈ 对于①：定义域关于原点对称，()()11()sin sin ()sin sin f x x x f x x x ⎛⎫-=--=-+=- ⎪-⎝⎭，即()f x 是奇函数，故①正确；()f x 是奇函数，图像关于原点对称，故②错误；对于③：11()sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫-=--=-⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭而11()sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫+=+-=- ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭， 所以()()22f x f x ππ-=+，故③正确；对于④：令[)(]sin ,1,00,1t x t =∈-，则1y t t=-(),∈-∞+∞， 无最小值，无最大值，故④错误. 故答案为：①③ 【点睛】这是另一种形式的多项选择，多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．15．5【分析】是零点是极大值点利用三角函数图像与性质可知它们之间相差可得到的一个关系式由可得到另一个范围解出的范围得到符合条件的的取值个数【详解】因为满足且最小正周期所以得所以解得故的取值共有5个故答案解析：5 【分析】4π是零点，π是极大值点，利用三角函数图像与性质，可知它们之间相差42T nT +，可得到,n ω的一个关系式423n ω+=，由3T π≥可得到ω另一个范围，解出n 的范围，得到符合条件的ω的取值个数. 【详解】因为()g x 满足04g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3g π=， 且最小正周期3T π≥，所以()()23214422T n T n T n N ππωπππω⎧=≥⎪⎪⎨+⎪-=+=∈⎪⎩，得06ω<≤，423n ω+=， 所以42063n +<≤，解得04n ≤≤.故ω的取值共有5个. 故答案为：5 【点睛】求三角函数的解析式时，由2Tπω=即可表示出ω；确定ϕ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标0x ，则令00x ωϕ+=或0x ωϕπ+=)，即可求出ϕ，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出ω和ϕ，若对,A ω的符号或对ϕ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.16．【分析】根据扇形的周长求出扇形半径再根据扇形面积公式计算即可【详解】设该扇形的半径为r 根据题意有故答案为【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式弧长公式属于中档题 解析：916【分析】根据扇形的周长求出扇形半径，再根据扇形面积公式计算即可. 【详解】设该扇形的半径为r ，根据题意，有2l r r α=+，322r r ∴=+，34r ∴=，211992221616S r α∴==⨯⨯=扇形．故答案为916． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，弧长公式，属于中档题.17．【分析】取中点连结交于点交于点连结设推导出和从而得出文化景观区域面积利用三角函数的性质解出面积最大值【详解】取中点连结交于点交于点连结设则文化景观区域面积：当即时文化景观区域面积取得最大值为故答案为 解析：()40023-【分析】取DC 中点M ，连结OM ，交EF 于点P ，交CD 于点N ，连结OD ，设DOM ϕ∠=，推导出DC 和CF ，从而得出文化景观区域面积，利用三角函数的性质，解出面积最大值． 【详解】取DC 中点M ，连结OM ，交EF 于点P ，交CD 于点N ，连结OD ，设DOM ϕ∠=，则20sin DN CN ϕ==，40sin DC ϕ∴=，20cos 20cos tan 30PFCF DE PN ON OP ϕϕϕ===-=-=-︒，∴文化景观区域面积：()4020EFCD S sin cos ϕϕϕ=-矩形400sin 2cos 2)ϕϕ=--800sin(2)3πϕ=+-∴当232ππϕ+=，即12πϕ=时，文化景观区域面积取得最大值为2400(2)m -．故答案为：400(2-． 【点睛】本题考查文化景观区域面积的最大值的求法，考查扇形、三角函数恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．③【分析】先根据对称轴及最小正周期求得函数的解析式再结合正弦函数的图象与性质判断点是否在函数图象上求得函数的单调区间及对称中心判断选项由平移变换求得变化后的解析式并对比即可【详解】函数的最小正周期是解析：③ 【分析】先根据对称轴及最小正周期，求得函数()f x 的解析式.再结合正弦函数的图象与性质，判断点是否在函数图象上，求得函数的单调区间及对称中心判断选项，由平移变换求得变化后的解析式并对比即可. 【详解】函数()()2sin 0,0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+>∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期是π，所以22πωπ==，则()()2sin 2f x x ϕ=+，又()()2sin 2f x x ϕ=+图象关于直线23x π=对称， 所以对称轴为2,2x k k Z πϕπ+=+∈，代入可得22,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得5,6k k Z πϕπ=-+∈， 因为0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以当1k =时， 6π=ϕ，则()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于①，当0x =时，()02sin 16f π==，()f x 的图象不过点30,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以①不正确；对于②，()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递减区间为3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 当0k =时，263x ππ≤≤，又因为126ππ<，则()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是减函数，所以②错误；对于③，()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称中心为2,6x k k Z ππ+=∈，解得,122k x k Z ππ=-+∈，当1k =时，512x π=，所以5,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，所以③正确；对于④，将()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平移6π个单位长度，可得2sin 22sin 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以不能得到2sin 2y x =的图象，所以④错误.综上可知，正确的为③. 故答案为: ③. 【点睛】本题考查了三角函数解析式的求法，正弦函数的图像与性质的综合应用，属于中档题. 19．【分析】根据函数f （x ）的图象与性质求出Tω和φ的值写出f （x ）的解析式再求出的值即可【详解】函数f （x ）＝2sin （ωx+φ）图象相邻两条对称轴间的距离为∴从而得ω=又f(x)=2sin(2x+φ【分析】根据函数f （x ）的图象与性质求出T 、ω和φ的值，写出f （x ）的解析式，再求出4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值即可． 【详解】函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）图象相邻两条对称轴间的距离为2π，∴22T π=，从而得ω=222T πππ==， 又f (x )=2sin (2x +φ)的图象经过点,26π⎛⎫⎪⎝⎭，∴2sin 26πϕ⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭=2，即3π+φ＝2π+2k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π，所以φ=6π，故f (x )=2sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴2sin 2446f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，属于中档题．20．【分析】根据题意得到化简得到或得到答案【详解】设时间为根据题意：故故或故或故故答案为：【点睛】本题考查了三角函数的应用意在考查学生的应用能力解析：【分析】 根据题意得到40sin 456562t ππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，化简得到124t k =+或128t k =+，得到答案. 【详解】设时间为t ，0t >，根据题意：40sin 456562t ππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，故1sin 622t ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 故2626t k ππππ-=+或52626t k ππππ-=+，故124t k =+或128t k =+，k Z ∈. 故1234564,8,16,20,28,32t t t t t t ======. 故答案为：32. 【点睛】本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力.三、解答题21．（1）()()2sin f x x ϕ=+；（2）答案见解析. 【分析】由已知得周期从而求得ω， 选①：（1）得出()6f x π+，根据偶函数与诱导公式求得ϕ；（2）求出()f x 的增区间，再与[0,]π求交集可得；选②：（1）解方程3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ϕ； （2）同选① 选③：（1）由6f π⎛⎫⎪⎝⎭是最大值可得ϕ； （2）同选① 【详解】解：∵()f x 的图象与直线2y =的相邻两个交点间的距离为2π， ∴2T π=，即22ππω=，∴1ω=，∴()()2sin f x x ϕ=+. 方案一：选条件① （1）∵2sin 66f x x ππϕ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数， ∴62k ππϕπ+=+，即3k πϕπ=+，k Z ∈，∵02πϕ<<，∴3πϕ=，∴()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （2）令22232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，得：52266k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈， 令0k =，得566x ππ-≤≤， ∴函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦（写成开区间也可得分） 方案二：选条件②（1）方法1：∵2sin 33f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴sin 32πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴2k 33ππϕπ+=+或2233k ππϕπ+=+，k Z ∈， ∴2k ϕ=π或23k πϕπ=+，k Z ∈，∵02πϕ<<，∴3πϕ=，∴()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；方法2：∵2sin 33f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴sin 32πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∵02πϕ<<，∴5336πππϕ<+<， ∴233ππϕ+=即3πϕ=，∴()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）同方案一. 方案三：选条件③∵x R ∀∈，()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴6f π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的最大值， ∴262k ππϕπ+=+，k Z ∈，即23k πϕπ=+，k Z ∈，∵02πϕ<<，∴3πϕ=，∴()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； （2）同方案一. 【点睛】思路点睛：本题考查三角函数的图象与性质，掌握正弦函数的性质是解题关键．()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>，只要把x ωϕ+作为一个整体，用它替换sin y x =中的x 可确定函数的性质如单调性、对称中心、对称轴，最值，也可由()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>中x 的范围求出t x ωϕ=+的范围M ，然后考虑sin y x =在x M ∈时的性质得出结论．22．（1）()4sin 20306t z t ππ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭；（2）40秒.【分析】（1）以圆心为原点建立平面直角坐标系，根据O 距离水面的高度计算出0P 坐标，再利用三角函数表示出P 点坐标，将P 的纵坐标加2即可得到z 关于t 的函数；（2）根据条件可知0z >，解对应的不等式求解出t 的范围，由此确定出有多长时间点P 位于水面上方. 【详解】（1）建立如图所示平面直角坐标系，由题意可知：()023,2P -，则3tan 3ϕ=，所以6π=ϕ，因为水轮每分钟逆时针转动1圈，所以t 秒可转动的角度为26030tt ππ=，所以P 的坐标为4cos ,4sin 306306t t ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且P 的纵坐标加上2即为P 到水面的距离， 所以()4sin 20306t z t ππ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭； （2）因为[]110,60,,30666t t ππππ⎛⎫⎡⎤∈-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令4sin 20306t ππ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭， 所以1sin 3062t ππ⎛⎫->-⎪⎝⎭，所以763066t ππππ-<-<，所以040t <<， 所以在水轮转动1圈内，有40秒时间点P 位于水面上方 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过建立合适平面直角坐标系结合三角函数定义求解出z 关于t 的函数，其中着重去分析P 点的纵坐标值得注意.23．（1）225,,312312k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）3,2⎡--⎢⎣⎦. 【分析】（1）根据()f x 的最小正周期求解出ω的值，再采用整体替换的方法结合正弦函数的单调递减区间的公式求解出()f x 的单调递减区间；（2）先求解出t x ωϕ=+的范围，然后根据3sin y t =的单调性求解出()f x 的最值，从而()f x 的值域可求. 【详解】 （1）因为2T πω=，所以22323Tππωπ===，所以()3sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令3232,242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，所以225,312312k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以()f x 的单调递减区间为：225,,312312k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； （2）因为()3sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭且,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以令573,444t x πππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦， 又因为3sin y t =在5342ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上单调递减，在37,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， 所以()min 33sin 32f x π==-，此时512x π=，又57sinsin 44ππ==()max53sin 4f x π==，此时3x π=或2π，所以()f x 的值域为：323,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【点睛】思路点睛：求解形如()sin y A ωx φ=+的函数在指定区间上的值域或最值的一般步骤如下：（1）先确定t x ωϕ=+这个整体的范围； （2）分析sin y A t =在（1）中范围下的取值情况；（3）根据取值情况确定出值域或最值，并分析对应的x 的取值.24．(1)65π；(2)1222⎡⎤---⎣⎦, . 【解析】 试题分析：(1)整理函数的解析式可得：56ω=，利用最小正周期公式可得函数的最小正周期为65π ； (2)化简三角函数的解析式()52sin 236f x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，结合函数的定义域可得函数的取值范围是12,22⎡⎤---⎣⎦ .试题(1)因为f(x)＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋2sinωx·cosωx ＋λ＝－cos2ωx ＋sin2ωx ＋λ ＝2sin＋λ.由直线x ＝π是y ＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin ＝±1，所以2ωπ－＝kπ＋ (k ∈Z)，即ω＝＋ (k ∈Z)． 又ω∈，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝.所以f(x)的最小正周期是. (2)由y ＝f(x)的图象过点，得f ＝0， 即λ＝－2sin ＝－2sin ＝－，即λ＝－.故f(x)＝2sin －，由0≤x≤，有－≤x －≤，所以－≤sin ≤1，得－1－≤2sin x －－≤2－.故函数f(x)在上的取值范围为[－1－，2－]．25．（1）1A =，2ω=；（2）0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）根据辅助角公式和两角和的正弦公式化简得()2sin 3f x A x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由函数图象可知()f x 的最大值为2，可求出A ，由图象可知43124T πππ=-=，结合2T πω=，即可求出ω的值；（2）由（1）得2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，利用整体代入法并结合正弦函数的单调性，即可求出()y f x =在[]0,π的单调增区间. 【详解】解：（1）由题可知，()sin 3cos (0,0)f x A x A x A ωωω=+>>即13()2sin 2sin 23f x A x x A x πωωω⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由图象可知，()f x 的最大值为2，则22A =，所以1A =， 由图象可知，43124T πππ=-=，则2T ππω==，所以2ω=； （2）由（1）得2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令222,232k x k k πππ-+π≤+≤+π∈Z ， 解得：5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 又因为[]0,x π∈，所以函数()y f x =在[]0,π的单调增区间为：0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】思路点睛：本题考查由函数()sin y A ωx φ=+的部分图象求解析式，由函数图象的最大值求出A ，由周期2T πω=求出ω，从而可求出函数解析式，再利用整体代入法求正弦型函数的单调性，熟练掌握正弦函数的图象和性质是解题的关键. 26．（1）23π；（2）单调递增区间为22,,34312k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间为225,,312312k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（3）⎡⎣. 【分析】 （1）由公式2T πω=求周期；（2）利用正弦函数的单调性求单调区间； （3）求出34x π+的范围，然后结合正弦函数的性质得值域．【详解】解：（1）由解析式得ω＝3， 则函数的最小周期223T ππω==. （2）由232242k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ，所以2234312k k x ππππ-≤≤+，k ∈Z ， 即函数的单调递增区间为22,34312k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ， 由3232242k x k πππππ+≤+≤+k ∈Z ， 得225312312k k x ππππ+≤≤+，k ∈Z ， 即函数的单调递减区间为225,312312k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . （3）当x ∈[0，2π]时，73,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则当3x +4π＝2π时，函数f （x ）取得最大值，此时f （x 2π=，当3x +342ππ=时，函数f （x ）取得最小值，此时f （x 32π=即f (x )值域为[. 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦型三角函数的性质．对于()sin()f x A x ωϕ=+(0,0)A ω>>，最小正周期为2T πω=，利用正弦函数sin y x =的性质，把x ωϕ+作为一个整体替换sin x 中的x ，可得()f x 的性质．。
苏教版必修4第一章三角函数测试题
第一章三角函数单元测验（一）高一年级数学一、选择题：每小题5分，共40分。
1．下列各式中,值为12的是 （ ）A ．sin15cos15B ．22cos112π- C D ．2tan 22.51tan 22.5-2．若α是锐角，且满足1sin()63πα-=，则cos α的值为 （ ）A ．16B ．16C ．14D ．143．下列四个命题中的假命题是（ ）A ．不存在无穷多个角α和β,使得sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=-B ．存在这样的角α和β,使得cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=+C ．对于任意角α和β,都有cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-D ．不存在这样的角α和β,使得sin()sin cos cos sin αβαβαβ+≠+4．如果3tan()4αβ+=，1tan()42πβ-=，那么tan()4πα+的值为 （ ）A ．1011B ．211C ．25D ．25．已知1tan 21A -=++cot()A π+的值为 （ ）A ．2-B ．2-C ．2D ．2+6．已知1cos()cos()444ππθθ+-=，则44sin cos θθ+的值等于（ ）A ．58B ．56C ．34D ． 327．把sin cos cos sin αβαβ-中的α换成4πα+，β换成4πβ-后，可化简为 （ ）A ．sin()αβ-B ．sin()αβ+C ． cos()αβ-D ．cos()αβ+8．函数12sin cos y x x=++的最大值为（ ）2222二、填空题：每小题5分，共20分。
9．已知4sin()cos cos()sin 5αβααβα---=，且β是第三象限角,则 2sin 22cos ββ- 的值等于 ．10．若锐角α,β满足(1)(1)4αβ=，则αβ+= ．11．计算sin10sin 20cos30cos10sin 20sin 30+-，其值为 ．12．已知函数212cos 2()2tan sin cos 22xf x x x x -=-，那么()12f π的值等于 ． 三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分。
(好题)高中数学必修四第一章《三角函数》测试题(含答案解析)
一、选择题1．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若方程()35f x =的解为1x ，2x （120x x π<<<），则()12sin x x -=（ ） A ．35B ．45-C ．2-D ．3-2．已知函数()cos 2y x ϕ=+()πϕπ-≤<的图象向右平移2π个单位后，与函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象重合，则ϕ的值为（ ）A ．56πB ．56π-C ．6π D ．6π-3．将函数sin()y x ϕ=+的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移12π个单位后得到的函数图像关于原点中心对称，则sin 2ϕ=( )A ．12-B ．12C ．3-D ．324．已知点,024A π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象上，直线6x π=是函数()f x 图象的一条对称轴.若()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调，则ϕ=（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 5．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．假设在水流量稳定的情况下，简车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O 的半径为4米，盛水筒M 从点0P 处开始运动，0OP 与水平面的所成角为30，且每分钟恰好转动1圈，则盛水筒M 距离水面的高度H （单位；m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系式的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知函数()[][]sin cos cos sin f x x x =+，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则（ ）A ．()f x 是奇函数B ．π2π33f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()f x 的一个周期是πD ．()f x 的最小值小于07．将函数()3sin()2f x x =--图象上每一点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的13，再向右平移29π个单位得到函数()g x 的图象，若()g x 在区间,18πθ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，则θ的最小值为（ ）A ．12πB ．6πC ．3π D ．18π 8．函数1cos y x x=+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω，0ϕπ≤≤)的部分图象如图所示，则()f x 的解析式是（ ）A ．()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭10．函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，为了得sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移3π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移3π个单位长度D ．向左平移4π个单位长度 11．已知函数()()()3cos 0g x x ωϕω=+>在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上具有单调性，且满足04g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3g π=，则ω的取值共有（ ） A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个12．若函数)22()sin 23cos sin f x x x x =-的图像为E ，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为2π B ．对任意的x ∈R ，都有()()3f x f x π=-C ．()f x 在7(,)1212ππ上是减函数 D ．由2sin 2y x =的图像向左平移3π个单位长度可以得到图像E 二、填空题13．某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律，因此第n 个月的月平均最高气温()G n 可近似地用函数()()cos G n A n k ωϕ=++来刻画，其中正整数n 表示月份且[]1,12n ∈，例如1n =表示1月份，n 和k 是正整数，0>ω，()0,πϕ∈.统计发现，该地区每年各个月份的月平均最高气温有以下规律：①该地区月平均最高气温最高的7月份与最低的1月份相差30摄氏度； ②1月份该地区月平均最高气温为3摄氏度，随后逐月递增直到7月份达到最高； ③每年相同的月份，该地区月平均最高气温基本相同. 根据已知信息，得到()G n 的表达式是______.14．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()2f x f x π+=，且当[]0,x π∈时，()sin f x x =.若对任意的(],x m ∈-∞，都有()2f x ≤，则实数m 的取值范围是______.15．已知函数()()π5sin 24f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ，对于下列说法：①要得到()5sin 2g x x =的图象，只需将()f x 的图象向左平移4π个单位长度即可；②()y f x =的图象关于直线3π8x =对称：③()y f x =在[]π,π-内的单调递减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④5π8y f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数.则上述说法正确的是________（填入所有正确说法的序号）. 16．函数(x)Asin(x )f ωϕ=+ (0A >，0>ω,0ϕπ<< )的部分图象如图所示，则4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭________.17．函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，以下结论中正确的是______（写出所有正确结论的编号）. ①图象C 关于直线1112π=x 对称； ②图象C 关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内是增函数； ④由3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C . 18．将函数sin y x =图像上所有点向左平移4π个单位，再将横坐标变为原来的1ω倍(0)>ω，纵坐标不变，得到函数()y f x =图像，若函数()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一条对称轴和一个对称中心，则ω的取值范围为_______________．19．已知函数()()()sin 0,πf x x ωϕωϕ=+><的图像如图所示，则ϕ=__________．20．奇函数()f x 对任意实数x 都有(2)()f x f x +=-成立，且01x 时，()21x f x =-，则()2log 11f =______.三、解答题21．在①将函数f (x )图象向右平移12π个单位所得图象关于y 轴对称：②函数6y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是奇函数；③当712x π=时，函数6y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭取得最大值.三个中任选一个，补充在题干中的横线处，然后解答问题.题干：已知函数()2sin()f x x ωϕ=+，其中0,||2πωϕ><，其图象相邻的对称中心之间的距离为2π，___________. （1）求函数y =f (x )的解析式；（2）求函数y =f (x )在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值，并写出取得最小值时x 的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 22．已知函数1()sin 22,23f x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调递减区间； （3）求()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值 23．下图是函数()()sin()0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象.（1）求ϕ的值及()f x 单调递增区间.（2）若()f x 的图象横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，然后再将所得图象向右平移3π个单位，最后向上平移1个单位，得到函数()g x 的图象，若()g x 在[0,](0)b b >上恰有10个零点，求b 的取值范围.24．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象经过点,312π⎛⎫⎪⎝⎭，其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为2π. （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]0,π上的单调增区间.25．设函数()sin(2),(0),()f x x y f x ϕπϕ=+-<<=图像的一条对称轴是直线8x π=.（1）求ϕ；（2）求函数()y f x =的单调递增区间; （3）画出函数()y f x =在区间[]0,π上的图像.26．一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为1cm 的圆）的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点1,0A 同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角（其中0180αβ︒︒<<<）．如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A 点，并且在第2秒时均位于第二象限．（1）求α，β的值．（2）两只蚂蚁的爬行速度保持不变，若红蚂蚁从点A 逆时针．．．匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A 顺时针．．．匀速爬行，求当它们从点A 出发后第一次相遇时，红蚂蚁爬过的距离．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】求出函数()f x 在(0,)π上的对称轴，然后由正弦函数性质得1223x x π+=，这样12sin()x x -化为2222sin(2)sin 2cos(2)336x x x πππ⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭，而已知条件为23sin(2)65x π-=，再由正弦函数性质确定226x π-的范围，从而由平方关系求得结论．【详解】函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的对称轴满足：()262x k k Z πππ-=+∈，即()23k x k Z ππ=+∈，令0k =可得函数在区间()0,π上的一条对称轴为3x π=，结合三角函数的对称性可知1223x x π+=，则：1223x x π=-，()122222sin sin 2sin 2cos 2336x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由题意：0πx <<，则112666x πππ-<-<，23sin 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，120x x π<<<，则2226x πππ<-<，由同角三角函数基本关系可知：24cos 265x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦函数的性质，考查平方关系．解题时根据自变量的范围求得此范围内函数的对称轴，从而得出两个变量12,x x 的关系，可化双变量为单变量，再根据函数值及函数性质确定出单变量的范围，从而求得结论．注意其中诱导公式的应用，目的是把求值式与已知条件中的角化为一致．2．A解析：A 【分析】根据三角函数的平移变换得到cos(2)y x ϕπ=+-后，再根据诱导公式变为sin(2)2y x πϕ=+-，然后利用图象重合列式可得结果.【详解】函数()cos 2y x ϕ=+()πϕπ-≤<的图象向右平移2π个单位后,得到cos[2()]cos(2)2y x x πϕϕπ=-+=+-sin(2)2x πϕπ=+-+sin(2)2x πϕ=+-，依题意可得223k ππϕπ-=+()k ∈Z ，所以526k πϕπ=+()k ∈Z 因为πϕπ-≤≤，所以0k =，56πϕ=. 故选：A. 【点睛】关键点点睛；经过平移变换后，利用诱导公式化为同名函数是解题关键，属于中档题.3．C解析：C 【分析】先根据条件写出图像变换后的函数解析式，然后根据图像关于原点中心对称可知函数为奇函数，由此得到ϕ的表示并计算出sin 2ϕ的结果. 【详解】因为变换平移后得到函数sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由条件可知sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为奇函数，所以6k πϕπ+=，sin 2sin 2sin 332k ππϕπ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选C ． 【点睛】本题考查三角函数的图像变换以及根据函数奇偶性判断参数值，难度一般.正弦型函数()()sin f x A x =+ωϕ为奇函数时,k k Z ϕπ=∈，为偶函数时,2k k Z πϕπ=+∈.4．B解析：B 【分析】 先由点,024A π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象上，直线6x π=是函数()f x 图象的一条对称轴,求出ω的范围,再由()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调求出φ.【详解】由题意得:62484T πππ-=≥, 得1248ππω⨯≤,所以ω4≥. 又()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调,所以3662T πππ-=≤,得1226ππω⨯≥,所以ω6≤所以ω=4或5或6.当ω=4时, ()()cos 4f x x ϕ=+,有cos 402424460f k ππϕπϕπϕπ⎧⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⨯+=⎨⎪<<⎪⎪⎩解得3πϕ=.当ω=5时, ()()cos 4f x x ϕ=+,有cos 502424560f k ππϕπϕπϕπ⎧⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⨯+=⎨⎪<<⎪⎪⎩无解.当ω=6时, ()()cos 4f x x ϕ=+,有cos 602424660f k ππϕπϕπϕπ⎧⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⨯+=⎨⎪<<⎪⎪⎩无解.综上: 3πϕ=.故选:B 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；(3)求φ通常利用函数上的点带入即可求解.5．D解析：D 【分析】先根据题意建立坐标系，写出盛水筒M 距离水面的高度H 与时间t 之间的函数关系式，再根据关系式即可判断. 【详解】解：以O 为圆心，过点O 的水平直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系：0306xOP π∠==，OP ∴在()t s 内转过的角为：26030t t ππ=， ∴以x 轴正半轴为始边，以OP 为终边的角为：306t ππ-，P ∴点的纵坐标为：4sin 306t ππ⎛⎫-⎪⎝⎭， H ∴与t 之间的函数关系式为：4sin 2306H t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭， 当sin 1306t ππ⎛⎫-=⎪⎝⎭时，max 426H =+=， 当sin 1306t ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，max 422H =-+=-，对A ，B ，由图像易知max min H H =-，故A ，B 错误； 对C ，max min H H <-，故C 错误； 对D ，max min H H >-，故D 正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解题意，根据题意写出H 与t 之间的函数关系式.6．D解析：D 【分析】利用奇函数的性质判断A ，分别求3f π⎛⎫⎪⎝⎭和23f π⎛⎫⎪⎝⎭判断大小，取特殊值验证的方法判断C ，分区间计算一个周期内的最小值，判断选项D 。
苏教版高中数学必修4第一章 三角函数章末练测卷.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第一章 三角函数章末练测卷建议用时 实际用时满分 实际得分120分钟150分一、填空题（每小题5分，共80分）1. ⎪⎭⎫⎝⎛-π 623sin 的值等于 .2. 下列角中终边与 330°相同的角是 .3. 函数y =||x x sin sin +x x cos cos ||+||x x tan tan 的值域是 .4. 如果αα αα cos 5sin 3cos 2sin +-= - 5，那么tan α的值为 .5. 如果 sin α + cos α =43，那么 sin 3α – cos 3α 的值为 .6. 若 a 为常数，且a ＞1，0≤x ≤2π，则函数f (x )=cos 2x + 2a sin x - 1的最大值为 .7.函数y = sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 2 4π的单调增区间是 .8. 若函数y = f (x )的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍；再将整个图象沿x轴向左平移2π个单位；沿y 轴向下平移1个单位，得到函数y =21sin x 的图象，则函数y =f (x )是 .9. 如图是函数y =2sin(ωx +φ)，＜2π的图象，那么ω=，φ= .10. 如果函数 f (x )是定义在(-3，3)上的奇函数，当0＜x ＜3时，函数 f (x )的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x ＜0的解集是 .(第9题)11.若(cos )cos3f x x =，那么(sin30)f ︒的值为 .12. 若扇形的半径为R ，所对圆心角为α，扇形的周长为定值c ，则这个扇形的最大面积为_ _ _.13. 函数y =2sin(2x +6π)(x ∈[-π,0］)的单调递减区间是 .14. 若 cos(75° + α)=31，其中α为第三象限角，则cos(105° - α)+ sin(α - 105°)= __ _.15. 函数y = lg (sin x ) +216x -的定义域为 .16. 关于函数f (x )= 4 sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π2x (x ∈R )，有下列命题：①函数 y = f (x )的表达式可改写为y = 4cos(2x- π6)； ②函数 y = f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；③函数 y = f (x )的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0 6π，对称； ④函数 y = f (x )的图象关于直线x = - π6 对称.其中正确的是__ _. 二、解答题（共70分） 17. （12分）已知角α是第三象限角， 求：（1）角2α是第几象限的角；（2）角2α终边的位置.18.（16分）(1)已知角α的终边经过点P (4，- 3)，求2sin α + cos α的值；(2)已知角α的终边经过点P (4a ，- 3a )(a ≠0)，求 2sin α + cos α的值；(3)已知角α终边上一点P 到x 轴的距离与到y轴的距离之比为3 : 4，求2sin α + cos α的值.19.（12分）已知tan α，αtan 1是关于x 的方程x 2-kx+k 2-3=0的两实根，且3π＜α＜27π，求cos(3π + α)- sin(π + α)的值.20.（14分）已知0≤x ≤2π，求函数y = cos 2x – 2a cos x 的最大值M (a )与最小值m (a ).21. （16分）已知N (2,2)是函数y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的图象的最高点，N 到相邻最低点的图象曲线与x 轴交于A 、B ，其中B 点的坐标(6,0),求此函数的解析表达式.第一章三角函数章末练测卷答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5．6． 7． 8． 9． 10．11． 12．13. 14. 15. 16.三、解答题17.18.19.20.21.第一章 三角函数章末练测卷答案一、选择题1. 解析：⎪⎭⎫ ⎝⎛-π623sin =216πsin 2π2π623sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+-. 2. -30° 解析：与 330° 终边相同的角为{α|α = 330° + k ∙ 360°，k ∈Z }. 当 k = - 1时，α = - 30°.3. {- 1，3} 解析：将x 分为第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限四种情况分别讨论，可知值域为{- 1，3}.4.- 1623 解析：∵ sin α - 2cos α = - 5(3sin α + 5cos α)，∴ 16sin α = - 23cos α，∴ tan α = -1623. 5. 2312825或-2312825 解析：由已知易得 sin α cos α = -327. ∴ |sin 3 α - cos 3 α| = |(sin α- cos α)(sin 2 α + cos 2α sin α cos α)|=ααcos sin 21- ∙ |1 + sin α cos α| = 1282325. ∴ sin 3α - cos 3α = ±1282325. 6. 12-a 解析：f (x )= 1 - sin 2 x + 2a sin x - 1= - sin 2x + 2a sin x . 令sin x = t ，∴ t ∈[-1，1].∴ f (t )= - t 2 + 2at = -(t - a )2 + a 2，t ∈[-1，1]. ∵a >1,∴ 当t = 1时，函数 f (t )取最大值为2a - 1.7. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++87ππ 83ππk k ，，k ∈Z 解析：∵ y = sin(4π- 2x )= - sin(2x -4π)，∴ 2π+ 2k π ≤ 2x -4π≤23π+ 2k π，∴ 83π+ k π ≤ x ≤87π+ k π. 8. y =12π2sin 21+⎪⎭⎫⎝⎛-x9. 2，6π解析：因为函数图象过（0，1），所以1=2sin φ，所以sin φ=.因为|φ|＜，所以φ=.故函数y=2sin （ωx+）. 又函数图象过点（，0），所以0=2sin （ω•+）.由五点法作图的过程知，ω•+=2π，所以ω=2.综上，φ=，ω=2.10. 1 2π⎪⎭⎫ ⎝⎛--，∪(0，1)∪ 3 2π⎪⎭⎫ ⎝⎛， 解析：由图象可知：0＜x ＜1时，f （x ）＜0；当1＜x ＜3时，f （x ）＞0．再由f （x ）是奇函数，知：当﹣1＜x ＜0时，f （x ）＞0；当﹣3＜x ＜﹣1时，f （x ）＜0． 又∵当﹣3＜x ＜，或＜x ＜3时，cosx ＜0；当＜x ＜时，cos x ＞0. ∴ 当x ∈（，1）∪（0，1）∪（，3）时，f （x ）•cos x ＜0. 11. -112. 162c 解析：设扇形面积为S ，弧长为 .∴ S = 21R = 21(c -2R )· R = -R 2+21cR . c - 2R ＞0， R ＞0，∵∴ 0＜R ＜2c .当 R = 4c 时，S max =162c .13. ［56π-,3π-］ 14.3122- 解析：cos(105°-α)+ sin(α -105°) = - cos(75°+α)- sin(α+75°). ∵ 180°＜α＜270°，∴ 255°＜α+75°＜345°. 又cos(α75°)=31，∴ sin(α75°)= -232. ∴ 原式 =312223231-=+-. 15.[-4，-π)∪(0，π)解析：由已知得∴ x ∈[- 4，- π)∪(0，π).16. ①③解析：① f (x )=4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π2x = 4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛--3π22πx = 4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-6π2x = 4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6π2x .② T =22π= π，最小正周期为π.③ 令2x +3π= k π，当 k = 0时，x =6π-，∴ 函数 f (x )关于点⎪⎭⎫⎝⎛-0 6π，对称. ④ 令2x +3π= k π+2π，当 x = -6π时，k =21-，与 k ∈Z 矛盾.∴ ①③正确. 二、解答题17.解：(1)由2k π + π＜α＜2k π +23π，k ∈Z ，得k π +2π＜2α＜k π +43π，k ∈Z .将整数 k 分奇数和偶数进行讨论，易得角2α为第二象限或第四象限的角.(2)由2k π + π＜α＜2k π +23π，k ∈Z ，得4k π + 2π＜2α＜4k π + 3π，k ∈Z .∴ 2α终边位置可能在第一象限、第二象限或y 轴的非负半轴.18.解：(1)∵ 22y x r += = 5，∴ sin α =53-=r y ，cos α =54=r x ，∴ 2sin α + cos α =525456-=+-.(2)∵ a y x r 522=+=， ∴ 当＞0时，∴ r = 5a ，sin α =5353-=-a a ，cos α =54.∴ 2sin α + cos α =52-； sin x ＞0， 2k π＜x ＜2k π + π， 16 - x 2≥0， -4≤x ≤4. ∴当 a ＜0时，∴ r = -5a ，sin α =5353=--a a ，cos α = -54， ∴ 2sin α + cos α =52. (3)当点P 在第一象限时， sin α =53，cos α =54，2sin α + cos α = 2； 当点P 在第二象限时， sin α =53，cos α =54-，2sin α + cos α =52；当点P 在第三象限时，sin α =53-，cos α =54-，2sin α + cos α = - 2；当点P 在第四象限时，sin α =53-，cos α =54，2sin α + cos α =52-.19.解：由已知得 tan α· αtan 1= k 2- 3=1，∴ k =±2.又 ∵ 3π＜α＜27π，∴ tan α＞0，αtan 1＞0.∴ tan α +αtan 1= k = 2＞0 (k = -2舍去),∴ tan α= 1,∴ sin α = cos α = -22, ∴ cos(3π +α) - sin(π +α) = sin α - cos α = 0.20.解：y = cos 2 x - 2a cos x = (cos x -a )2 - a 2， 令 cos x = t ，∵ 0≤x ≤2π，∴ t ∈[0，1].∴ 原函数可化为f (t ) = (t - a )2 - a 2，t ∈[0，1].①当 a ＜0 时，M (a ) = f (1) = 1 – 2a ，m (a ) = f (0) = 0.②当 0≤a ＜21 时，M (a ) = f (1) = 1 – 2a ，m (a ) = f (a ) = –a 2.③当 21≤a ≤1 时，M (a ) = f (0) = 0，m (a ) = f (a ) = –a 2.④当 a ＞1 时，M (a ) = f (0) = 0，m (a ) = f (1) = 1–2a .21. 解：∵N （2，2）是函数y=Asin(ωx+φ)的图象的一个最高点 ， ∴A=2. ∵N 到相邻最低点的图象曲线与x 轴相交于A 、B ，B 点坐标为（6，0），∴4T=|x B －x N |=4，∴T=16.又∵T=ωπ2,∴ω=T π2=8π.∵x N =2B A x x +，∴x A =2x N －x B =－2，∴A(-2,0)，∴y=2sin 又∵ 图象过点N （2，∴ ∴ ∴。
苏教版高中数学必修4第一章三角函数测试题(无答案).docx
一、选择题（每小题5分，共50分）.1、若角α是第三象限角，则2α是 （ ） A.第二象限角 B.第四象限角 C.第二象限角或第三象限角 D.第二象限角或第四象限角2、9cos()4π= （ ）A ．－22 B.22 C ．－32 D.323、4sin ,(0,)5ααπ=∈，则tan α的值等于 （ ）A ．34B ．43C ．34±D ．43±4、在(0,2)π内，与334π-角终边相同的角是 （ ） A ．4π- B ．4πC ．34π-D ．34π5、函数1()4sin()36f x x π=-的周期是 （ ）A 、πB 、2πC 、4πD 、6π6、若2弧度的圆心角所对的弧长为8πcm,则这个圆的半径长是 （ ） A ．2 cm B ．4 cm C ．4π cm D ． 2π cm7、sin αcos α =14,则cos α+sin α的值等于 （ ） A ．±62 B ．62 C ．-62 D ．328、要得到函数3sin()4y x π=+的图象，只需将3sin y x =的图象 （ ）A ．向左平移8π个单位长度B ．向右平移8π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度9、函数⎪⎭⎫⎝⎛-=x y 23sin π的单调递减区间是 （ ）A ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,1252,122ππππB ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,3114,354ππππ C ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,1211,125ππππ D ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,125,12ππππ已知 10、函数1tan tan y x x=-是 （ ） A.奇函数 B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数 二、填空题（每小题5分，共20分）. 11、sin56π·cos 253π·tan 94π＝ ， 12、函数tan(2)4x π-的定义域是 .13、把函数sin()6y x π=-先向左平移6π个单位长度，然后保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12倍，之后再保持横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍后所得的函数解析式为 .14、函数()4sin(3)6f x x π=-的周期是 ，振幅是 ，频率是 ，相位是 ，初相是 . 三、解答题（共20分）. 15、化简sin(2)sin(5)cos(3)cos(3)cos()cos(10)απαπαππαπααπ++--------.（共10分）．16、已知3cos 5α=，求cos()2sin(4)cos(6)5sin()2πααππαπα-•-•-+的值.（共10分） 17.函数()sin()f x A x ωϕ=+ (A >0，ω>0，|ϕ|<2π)的一段图象过点(0,1)，如图1所示．求函数()f x 的表达式.（共10分）图118、（1）求使函数3sin(2)6y x π=+取得最大值、最小值的自变量的x 的集合，并分别写出最大值、最小值； （2）求使函数3sin(2)6y x π=+)3/0(π<<x 的值域（3）求3sin(2)6y x π=+的单调递减与递增区间.（共20分）。
高中数学第1章三角函数测试1(苏教版必修4)
一必修四三角函数单元测试班级_________学号__________姓名__________一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1. 化简0015tan 115tan 1-+等于 （ ） A. 3 B.23 C. 3 D. 1 2. 在ABCD 中，设AB a =,AD b =，AC c =,BD d =,则下列等式中不正确的是（ ）A ．a b c +=B ．a b d -=C ．b a d -=D ．2c d a -=3. 在ABC ∆中，①sin(A+B)+sinC ；②cos(B+C)+cosA ；③2tan 2tan C B A +；④cos sec 22B C A +，其中恒为定值的是（ ） A 、① ② B 、② ③ C 、② ④ D 、③ ④ 4. 已知函数f(x)=sin(x+2π)，g(x)=cos(x －2π)，则下列结论中正确的是（ ） A ．函数y=f(x)·g(x)的最小正周期为2π B ．函数y=f(x)·g(x)的最大值为1C ．将函数y=f(x)的图象向左平移2π单位后得g(x)的图象D ．将函数y=f(x)的图象向右平移2π单位后得g(x)的图象 5. 下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3π=x 对称的是（ ）A ．)32sin(π-=x y B ．)62sin(π-=x y C ．)62sin(π+=x yD ．)62sin(π+=x y6. 函数x x y sin cos 2-=的值域是 （ ）A 、[]1,1-B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡45,1C 、[]2,0D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-45,17. 设0002012tan13cos66,,221tan 13a b c =-==+则有（ ）A ．a b c >> B.a b c << C. b c a << D. a c b << 8. 已知sin 53=α,α是第二象限的角，且tan(βα+)=1,则tan β的值为（ ） A ．－7 B ．7 C ．－43 D ．439. 定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为（ ）A. 21- B 23 C 23- D 2110. 函数1cos sin x y x -=的周期是（ ） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π11. 8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是θθ22cos sin ,251-则的值等于（ ）A ．1B ．2524-C ．257D ．725-12. 使函数f(x)=sin(2x+θ)+)2cos(3θ+x 是奇函数，且在[0，4π]上是减函数的θ的一个值（ ） A ．3π B ．32π C ．34π D ．35π二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
高中数学 第一章 三角函数单元测试(无答案)苏教版必修4(2021年整理)
第一章 三角函数班级 姓名一、选择题(5分×7=35分)：1、化简的值是 （ ） A ． B ． CD ． 2、已知，并且是第二象限的角，那么的值等于 ( ）A. B 。
C. D.3、已知角的终边过点P (4a ，－3a ）（a 〈0）,则2sin ＋cos 的值是 （ )A ．错误!B ．－错误!C ．0D ．与的取值有关4、已知的值（ ）A ．－2B ．2C ．D ．－5的结果是 （ ) A ． B ． C ． D ． 6、下列函数中，在区间上为增函数且以为周期的函数是 （ ）A ．B ．C ．D ． 7、把函数的图象向右平移sin6000.50.5--4sin 5α=αta n α43-34-4334ααααs i n 2c o s 5,t a n 3s i n 5c o s ααααα-=-+那么23162316c os 160︒c o s 160-︒c o s 160±︒c o s160±︒02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，πsin 2xy =s in y x =t a n y x =-c o s 2y x =-sinx y =8π后，再把各点横坐标伸长到原来的2倍，所得到的函数的解析式为( ）A.B. C 。
D. 二、填空题(5分×4=20分）: )8-x 21sin(y π=)8x 21sin(y π+=)8-x 2sin(y π=)4-x 2sin(y π=8．已知，且，则= 。
9．函数的递减区间是 ．10。
已知= . 11、函数的最小值是三、解答题（共45分）：12、（8分）求值13、（12分）已知, 求 (1）； （2）14、（12分)已知函数(A 〉O ， 〉0,〈)的最小正周期是,最小值是-2，且图象经过点（）,求这个函数的解析式.15.求函数，的值域（13分）31cos =α02<<-απ)2cos()23sin()2tan()2sin()cos(απαπαπαππα+--+--2s in (2)6y x π=-(0)x π≤≤33c o s ,,t a n 524πθπθπθ⎛⎫=-<<- ⎪⎝⎭且则])32,6[)(8cos(πππ∈-=x x y 22s i n 120c o s 180t a n 45c o s (330)s i n (210)︒+︒+︒--︒+-︒(0,)θπ∈1s in c o s 2θθ+=θ⋅θcos sins i n c o s θθ-)Asin(yϕω+=ωϕπ32π095，π23s i n 4s i n 1y x x =-+,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦。
苏教版高中数学必修4第一章 三角函数章末练测卷.docx
第一章 三角函数章末练测卷建议用时 实际用时满分 实际得分120分钟150分一、填空题（每小题5分，共80分）1. ⎪⎭⎫⎝⎛-π 623sin 的值等于 .2. 下列角中终边与 330°相同的角是 .3. 函数y =||x x sin sin +x x cos cos ||+||x x tan tan 的值域是 .4. 如果αα αα cos 5sin 3cos 2sin +-= - 5，那么tan α的值为 .5. 如果 sin α + cos α =43，那么 sin 3α – cos 3α 的值为 .6. 若 a 为常数，且a ＞1，0≤x ≤2π，则函数f (x )=cos 2x + 2a sin x - 1的最大值为 .7.函数y = sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 2 4π的单调增区间是 .8. 若函数y = f (x )的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍；再将整个图象沿x轴向左平移2π个单位；沿y 轴向下平移1个单位，得到函数y =21sin x 的图象，则函数y =f (x )是 .9. 如图是函数y =2sin(ωx + φ)，＜2π的图象，那么ω= ，φ= .10. 如果函数 f (x )是定义在(-3，3)上的奇函数，当0＜x ＜3时，函数 f (x )的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x ＜0的解集是 .(第9题)11.若(cos )cos3f x x =，那么(sin30)f ︒的值为 .12. 若扇形的半径为R ，所对圆心角为α，扇形的周长为定值c ，则这个扇形的最大面积为_ _ _.13. 函数y =2sin(2x +6π)(x ∈[-π,0］)的单调递减区间是 .14. 若 cos(75° + α)=31，其中α为第三象限角，则cos(105° - α)+ sin(α - 105°)= __ _. 15. 函数y = lg (sin x ) +216x -的定义域为 .16. 关于函数f (x )= 4 sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π2x (x ∈R )，有下列命题：①函数 y = f (x )的表达式可改写为y = 4cos(2x- π6)；②函数 y = f (x )是以2π为最小正周期的周期函数； ③函数 y = f (x )的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0 6π，对称； ④函数 y = f (x )的图象关于直线x = - π6对称.其中正确的是__ _.二、解答题（共70分） 17. （12分）已知角α是第三象限角， 求：（1）角2α是第几象限的角；（2）角2α终边的位置.18.（16分）(1)已知角α的终边经过点P (4，- 3)，求2sin α + cos α的值；(2)已知角α的终边经过点P (4a ，- 3a )(a ≠0)，求 2sin α + cos α的值； (3)已知角α终边上一点P 到x 轴的距离与到y轴的距离之比为3 : 4，求2sin α + cos α的值.19.（12分）已知tan α，αtan 1是关于x 的方程x 2-kx+k 2-3=0的两实根，且3π＜α＜27π，求cos(3π +α)- sin(π + α)的值. (第10题)20.（14分）已知0≤x ≤2π，求函数y = cos 2x – 2a cos x 的最大值M (a )与最小值m (a ).21. （16分）已知N (2,2)是函数y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的图象的最高点，N 到相邻最低点的图象曲线与x 轴交于A 、B ，其中B 点的坐标(6,0),求此函数的解析表达式.第一章三角函数章末练测卷答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5．6． 7． 8． 9． 10．11． 12．13. 14. 15. 16.三、解答题17.18.19.20.21.第一章 三角函数章末练测卷答案一、选择题1. 解析：⎪⎭⎫ ⎝⎛-π623sin =216πsin 2π2π623sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+-. 2. -30° 解析：与 330° 终边相同的角为{α|α = 330° + k ∙ 360°，k ∈Z }. 当 k = - 1时，α = - 30°.3. {- 1，3} 解析：将x 分为第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限四种情况分别讨论，可知值域为{- 1，3}.4.- 1623 解析：∵ sin α - 2cos α = - 5(3sin α + 5cos α)，∴ 16sin α = - 23cos α，∴ tan α = -1623. 5. 2312825或-2312825 解析：由已知易得 sin α cos α = -327. ∴ |sin 3 α - cos 3 α| = |(sin α- cos α)(sin 2 α + cos 2α sin α cos α)|=ααcos sin 21- ∙ |1 + sin α cos α| = 1282325. ∴ sin 3α - cos 3α = ±1282325. 6. 12-a 解析：f (x )= 1 - sin 2x + 2a sin x - 1= - sin 2x + 2a sin x . 令sin x = t ，∴ t ∈[-1，1].∴ f (t )= - t 2 + 2at = -(t - a )2 + a 2，t ∈[-1，1]. ∵a >1,∴ 当t = 1时，函数 f (t )取最大值为2a - 1.7. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++87ππ 83ππk k ，，k ∈Z 解析：∵ y = sin(4π- 2x )= - sin(2x -4π)，∴ 2π+ 2k π ≤ 2x -4π≤23π+ 2k π，∴ 83π+ k π ≤ x ≤87π+ k π. 8. y =12π2sin 21+⎪⎭⎫⎝⎛-x9. 2，6π解析：因为函数图象过（0，1），所以1=2sin φ，所以sin φ=.因为|φ|＜，所以φ=.故函数y=2sin （ωx+）. 又函数图象过点（，0），所以0=2sin （ω•+）.由五点法作图的过程知，ω•+=2π，所以ω=2.综上，φ=，ω=2.10. 1 2π⎪⎭⎫ ⎝⎛--，∪(0，1)∪ 3 2π⎪⎭⎫ ⎝⎛， 解析：由图象可知：0＜x ＜1时，f （x ）＜0；当1＜x ＜3时，f （x ）＞0．再由f （x ）是奇函数，知：当﹣1＜x ＜0时，f （x ）＞0；当﹣3＜x ＜﹣1时，f （x ）＜0． 又∵当﹣3＜x ＜，或＜x ＜3时，cosx ＜0；当＜x ＜时，cos x ＞0. ∴ 当x ∈（，1）∪（0，1）∪（，3）时，f （x ）•cos x ＜0.11. -112. 162c 解析：设扇形面积为S ，弧长为 .∴ S = 21R = 21(c -2R )· R = -R 2+21cR . c - 2R ＞0， R ＞0，∵∴ 0＜R ＜2c .当 R = 4c 时，S max =162c .13. ［56π-,3π-］ 14.3122- 解析：cos(105°-α)+ sin(α -105°) = - cos(75°+α)- sin(α+75°). ∵ 180°＜α＜270°，∴ 255°＜α+75°＜345°.又cos(α75°)=31，∴ sin(α75°)= -232. ∴ 原式 =312223231-=+-. 15.[-4，-π)∪(0，π)解析：由已知得∴ x ∈[- 4，- π)∪(0，π).16. ①③解析：① f (x )=4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π2x = 4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛--3π22πx = 4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-6π2x = 4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6π2x . ② T =22π= π，最小正周期为π. ③ 令2x +3π= k π，当 k = 0时，x =6π-， ∴ 函数 f (x )关于点⎪⎭⎫⎝⎛-0 6π，对称. ④ 令2x +3π= k π+2π，当 x = -6π时，k =21-，与 k ∈Z 矛盾. ∴ ①③正确.二、解答题17.解：(1)由2k π + π＜α＜2k π +23π，k ∈Z ， 得k π +2π＜2α＜k π +43π，k ∈Z . 将整数 k 分奇数和偶数进行讨论，易得角2α为第二象限或第四象限的角.(2)由2k π + π＜α＜2k π +23π，k ∈Z ， 得4k π + 2π＜2α＜4k π + 3π，k ∈Z .∴ 2α终边位置可能在第一象限、第二象限或y 轴的非负半轴.18.解：(1)∵ 22y x r += = 5，∴ sin α =53-=r y ，cos α =54=r x ，∴ 2sin α + cos α =525456-=+-.(2)∵ a y x r 522=+=， ∴ 当＞0时，∴ r = 5a ，sin α =5353-=-a a ，cos α =54.∴ 2sin α + cos α =52-； sin x ＞0， 2k π＜x ＜2k π + π， 16 - x 2≥0， -4≤x ≤4. ∴当 a ＜0时，∴ r = -5a ，sin α =5353=--a a ，cos α = -54， ∴ 2sin α + cos α =52. (3)当点P 在第一象限时， sin α =53，cos α =54，2sin α + cos α = 2； 当点P 在第二象限时， sin α =53，cos α =54-，2sin α + cos α =52；当点P 在第三象限时，sin α =53-，cos α =54-，2sin α + cos α = - 2；当点P 在第四象限时，sin α =53-，cos α =54，2sin α + cos α =52-.19.解：由已知得 tan α· αtan 1= k 2- 3=1，∴ k =±2.又 ∵ 3π＜α＜27π，∴ tan α＞0，αtan 1＞0.∴ tan α +αtan 1= k = 2＞0 (k = -2舍去),∴ tan α= 1,∴ sin α = cos α = -22, ∴ cos(3π +α) - sin(π +α) = sin α - cos α = 0.20.解：y = cos 2 x - 2a cos x = (cos x -a )2 - a 2， 令 cos x = t ，∵ 0≤x ≤2π，∴ t ∈[0，1].∴ 原函数可化为f (t ) = (t - a )2 - a 2，t ∈[0，1].①当 a ＜0 时，M (a ) = f (1) = 1 – 2a ，m (a ) = f (0) = 0.②当 0≤a ＜21 时，M (a ) = f (1) = 1 – 2a ，m (a ) = f (a ) = –a 2.③当 21≤a ≤1 时，M (a ) = f (0) = 0，m (a ) = f (a ) = –a 2.④当 a ＞1 时，M (a ) = f (0) = 0，m (a ) = f (1) = 1–2a .21. 解：∵N （2，2）是函数y=Asin(ωx+φ)的图象的一个最高点 ， ∴A=2. ∵N 到相邻最低点的图象曲线与x 轴相交于A 、B ，B 点坐标为（6，0）， ∴4T =|x B －x N |=4，∴T=16.又∵T=ωπ2,∴ω=T π2=8π.∵x N =2B A x x +，∴x A =2x N －x B =－2，∴A(-2,0)，∴y=2sin 又∵ 图象过点N （2，∴ ∴ ∴。
苏教版高中数学必修4第一章三角函数同步练习题
高中数学学习资料金戈铁骑整理制作一、选择题1. 若 α是第一象限角，则以下各角中必定为第四象限角的是 ( )(A) 90 -°α (B) 90 +°α (C)360 -°α (D)180 °+α2. 终边与坐标轴重合的角 α的会合是 ()(A){ α|α=k ·360 °， k ∈ Z} (B){ α|α=k ·180 °+90 °， k ∈ Z} (C){ α|α=k ·180 °， k ∈ Z} (D){ α|α=k ·90°， k ∈Z}3. 若角 α、 β的终边对于 y 轴对称，则 α、 β的关系必定是（此中 k ∈ Z ） ( )(A) α+β=π （ B) α-β= 2 (C) α-β=(2 k+1) π (D) α+β=(2 k+1) π4. 若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为()(A)(B)2(C) 3(D)2335. 将分针拨快10 分钟，则分针转过的弧度数是() (A)(B) － (C)(D) －3366* 6. 已知会合 A={ 第一象限角 } ， B={ 锐角 } ， C={ 小于 90°的角 } ，以下四个命题： ① A=B=C ② A C ③ C A ④ A ∩C=B,此中正确的命题个数为 ( )(A)0 个 (B)2 个(C)3 个(D)4 个二 .填空题7. 终边落在 x 轴负半轴的角 α 的会合为，终边在一、三象限的角均分线上的角β的会合是 .8. -23π rad 化为角度应为.129. 圆的半径变成本来的3 倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是本来圆弧所对圆心角的 倍 .*角的终边在 ， 2α角的终边在.10. 若角 α是第三象限角，则2三 .解答题11.试写出全部终边在直线 y 3x 上的角的会合，并指出上述会合中介于-1800 和 1800 之间的角 .12.已知 0°<θ<360 °，且θ角的 7 倍角的终边和θ角终边重合，求θ.13.已知扇形的周长为 20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？*以以下图，圆周上点A 依逆时针方向做匀速圆周运动 .已知 A 点 1 分钟转过 θ(0＜ θ＜ π)角， 2 分钟抵达第14. 三象限， 14 分钟后回到本来的地点，求 θ.yAxO§1.2.1.随意角的三角函数一 .选择题1.函数 y=| sin x |+ cosx + | tan x |的值域是 () sin x | cosx | tan x(A){-1 ， 1} (B){-1 ， 1，3} (C) {-1 ， 3} (D){1 ， 3} 2.已知角 θ的终边上有一点 P （ -4a,3a)（ a ≠0） ,则 2sin θ+cos θ的值是 ( ) (A)2 (B) - 2(C)2或 -2(D) 不确立555 53.设 A 是第三象限角，且 |sin A |= -sinA,则A是 ()222(A) 第一象限角 (B) 第二象限角(C) 第三象限角 (D) 第四象限角4. sin2cos3tan4 的值 ( )(A) 大于 0 (B) 小于 0 (C) 等于 0 (D) 不确立5.在 △ ABC 中,若 cosAcosBcosC<0，则 △ ABC 是 ( )(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C)钝角三角形(D) 锐角或钝角三角形*6.已知 |cos θ|=cos θ, |tan θ|= -tan θ,则 的终边在 ()2(A) 第二、四象限 (B) 第一、三象限 (C) 第一、三象限或 x 轴上 (D) 第二、四象限或 x 轴上二 .填空题7.若 sin θ·cos θ＞ 0, 则 θ是第象限的角 ;8.求值： sin(-23 π)+cos 13 π·tan4π-cos 13π= ;6 7 39.角 θ(0<θ<2π)的正弦线与余弦线的长度相等且符号同样，则θ的值为;*象限角 .10.设 M=sin θ+cos θ, -1<M<1, 则角 θ是第三 .解答题sin330tan(13)11.求函数 y=lg(2cosx+1)+sin x 的定义域。
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一、选择题（每小题5分，共50分）.
1、若角α是第三象限角，则2α
是 （
） A.第二象限角 B.第四象限角
C.第二象限角或第三象限角
D.第二象限角或第四象限角 2、9cos()4π
= （ ） A ．－22 B.22 C ．－32 D.3
2
3、4
sin ,(0,)5ααπ=∈，则t a n α的值等于 （ ） A ．34
B ．43
C ．34±
D ．43
±
4、在(0,2)π内，与334π
-角终边相同的角是 （
） A ．4π- B ．4π C ．34π- D ．34π
5、函数1
()4sin()36f x x π
=-的周期是 （
） A 、π B 、2π C 、4π D 、6π
6、若2弧度的圆心角所对的弧长为8πcm,则这个圆的半径长是 （
）
A ．2 cm
B ．4 cm
C ．4π cm
D ． 2π cm
7、sin αcos α =
14,则cos α+sin α的值等于 （ ） A ．±62 B ．62 C ．-62 D ．32
8、要得到函数3sin()4
y x π
=+的图象，只需将3sin y x =的图象 （ ） A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8
π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4
π个单位长度 9、函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y 23sin π的单调递减区间是 （ ） A ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,1252,122ππππ B ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣
⎡++,3114,354ππππ C ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,1211,125ππππ D ．Z k k k ∈⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-,125,12ππππ已知 10、函数1tan tan y x x
=-是 （ ） A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
二、填空题（每小题5分，共20分）.
11、sin 56π·cos 253π·tan 94
π＝ ， 12、函数tan(2)4x π
-的定义域是 . 13、把函数sin()6y x π=-先向左平移6
π个单位长度，然后保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12
倍，之后再保持横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍后所得的函数解析式为 .
14、函数()4sin(3)6f x x π
=-的周期是 ，振幅是 ，频率是 ，
相位是 ，初相是 .
三、解答题（共20分）.
15、化简
sin(2)sin(5)cos(3)cos(3)cos()cos(10)απαπαππαπααπ++--------.（共10分）
．
16、已知3cos 5α=，求cos()2sin(4)cos(6)5sin()2
πααππαπα-∙-∙-+的值.（共10分）
17.函数()sin()f x A x ωϕ=+ (A >0，ω>0，|ϕ|<2
π)的一段图象过点(0,1)，如图1所示．求函数()f x 的表达式.（共10分）
图1
18、（1）求使函数3sin(2)6
y x π=+取得最大值、最小值的自变量的x 的集合，并分别写出最大值、最小值；
（2）求使函数3sin(2)6
y x π=+)3/0(π<<x 的值域 （3）求3sin(2)6y x π=+的单调递减与递增区间.（共20分）。