湖北省宜昌市高中数学 第一章 常用逻辑用语学案(无答案)新人教A版选修11
高中数学 第一单元 常用逻辑用语章末复习课教学案 新人教B版选修11
第一单元常用逻辑用语学习目标 1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分、必要条件的概念，掌握充分、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、存在性命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定．知识点一全称命题与存在性命题1．全称命题与存在性命题真假的判断方法(1)判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全称命题为假命题，只需举出反例．(2)判断存在性命题为真命题，需要举出正例，而判断存在性命题为假命题时，要有严格的逻辑证明．2．含有一个量词的命题否定的关注点全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．否定时既要改写量词，又要否定结论．知识点二简易逻辑联结词“且、或、非”命题的真假判断可以概括为口诀：“p与綈p”一真一假，“p∨q”一真即真，“p∧q”一假就假．知识点三充分条件、必要条件的判断方法1．直接利用定义判断：即若p⇒q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(条件与结论是相对的)2．利用等价命题的关系判断：p⇒q的等价命题是綈q⇒綈p，即若綈q⇒綈p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．3．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件知识点四四种命题的关系原命题与逆否命题为等价命题，逆命题与否命题为等价命题．类型一命题的关系及真假的判断例1 将下列命题改写成“如果p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题以及它们的真假．(1)垂直于同一平面的两条直线平行；(2)当mn<0时，方程mx2－x＋n＝0有实数根．反思与感悟(1)四种命题的改写步骤①确定原命题的条件和结论．②逆命题：把原命题的条件和结论交换．否命题：把原命题中条件和结论分别否定．逆否命题：把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论．(2)命题真假的判断方法跟踪训练1 下列四个结论：①已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”；②命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”；③命题p的否命题和命题p的逆命题同真同假；④若|C|>0，则C>0.其中正确结论的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4类型二逻辑联结词与量词的综合应用例2 已知p：∃x∈R，mx2＋2≤0.q：∀x∈R，x2－2mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m 的取值范围是( )A．[1，＋∞) B．(－∞，－1]C．(－∞，－2] D．[－1,1]反思与感悟解决此类问题首先理解逻辑联结词的含义，掌握简单命题与含有逻辑联结词的命题的真假关系．其次要善于利用等价关系，如：p真与綈p假等价，p假与綈p真等价，将问题转化，从而谋得最佳解决途径．跟踪训练2 已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x20＋2ax0＋2a≤0.若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．类型三充分条件与必要条件命题角度1 充分条件与必要条件的判断例3 (1)设x∈R，则“x2－3x>0”是“x>4”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件反思与感悟 条件的充要关系的常用判断方法 (1)定义法：直接判断若p 则q ，若q 则p 的真假．(2)等价法：利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ，B ⇒A 与綈A ⇒綈B ，A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．跟踪训练3 使a >b >0成立的一个充分不必要条件是( ) A ．a 2>b 2>0 B ．12log a >12log b >0C ．ln a >ln b >0D ．x a>x b且x >0.5命题角度2 充分条件与必要条件的应用例4 设命题p ：x 2－5x ＋6≤0；命题q ：(x －m )(x －m －2)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．反思与感悟 利用条件的充要性求参数的范围(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p 是綈q 的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p 是q 的必要不充分(充分不必要、充要)条件．跟踪训练4 已知p ：2x 2－9x ＋a <0，q ：2<x <3且綈q 是綈p 的必要条件，求实数a 的取值范围．1．已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)e x>1，则綈p为( )A．∃x≤0，使得(x＋1)e x≤1B．∃x>0，使得(x＋1)e x≤1C．∀x>0，总有(x＋1)e x≤1D．∀x≤0，总有(x＋1)e x≤12．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为______________．4．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是________．5．对任意x∈[－1,2]，x2－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．1．否命题和命题的否定是两个不同的概念(1)否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题．(2)命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．若命题为“如果p，则q”，则该命题的否命题是“如果綈p，则綈q”；命题的否定为“如果p，则綈q”．2．四种命题的三种关系，互否关系，互逆关系，互为逆否关系，只有互为逆否关系的命题是等价命题．3．判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．4．注意常见逻辑联结词的否定一些常见逻辑联结词的否定要记住，如：“都是”的否定“不都是”，“全是”的否定“不全是”，“至少有一个”的否定“一个也没有”，“至多有一个”的否定“至少有两个”．答案精析问题导学 知识点四如果p ，则q 如果q ，则p 如果綈p ，则綈q 如果綈q ，则綈p 题型探究例1 解 (1)将命题写成“如果p ，则q ”的形式为：如果两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．它的逆命题、否命题和逆否命题如下：逆命题：如果两条直线平行，则这两条直线垂直于同一个平面．(假) 否命题：如果两条直线不垂直于同一个平面，则这两条直线不平行．(假) 逆否命题：如果两条直线不平行，则这两条直线不垂直于同一个平面．(真)(2)将命题写成“如果p ，则q ”的形式为：如果mn <0，则方程mx 2－x ＋n ＝0有实数根． 它的逆命题、否命题和逆否命题如下：逆命题：如果方程mx 2－x ＋n ＝0有实数根，则mn <0.(假) 否命题：如果mn ≥0，则方程mx 2－x ＋n ＝0没有实数根．(假)逆否命题：如果方程mx 2－x ＋n ＝0没有实数根，则mn ≥0.(真) 跟踪训练1 B [正确的为①③.]例2 A [因为p ∨q 为假命题，所以p 和q 都是假命题． 由p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0为假， 得∀x ∈R ，mx 2＋2＞0，所以m ≥0.① 由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1＞0为假， 得∃x ∈R ，x 2－2mx ＋1≤0，所以Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤－1或m ≥1.② 由①和②得m ≥1.]跟踪训练2 解 由2x 2＋ax －a 2＝0得(2x －a )(x ＋a )＝0， ∴x ＝a2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1， ∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足x 20＋2ax 0＋2a ≤0”，即函数y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点， ∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2. ∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2. ∴命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2. ∵命题“p 或q ”为假命题， ∴a >2或a <－2.即a 的取值范围为{a |a >2或a <－2}． 例3 (1)B (2)C解析 (1)∵x 2－3x >0⇒/ x >4，x >4⇒x 2－3x >0，故x 2－3x >0是x >4的必要不充分条件． (2)∵a >0且b >0⇔a ＋b >0且ab >0，∴a >0且b >0是a ＋b >0且ab >0的充要条件． 跟踪训练3 C例4 解 方法一 命题p ：x 2－5x ＋6≤0， 解得2≤x ≤3；命题q ：(x －m )(x －m －2)≤0， 解得m ≤x ≤m ＋2，∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴p 是q 的充分不必要条件．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，m ＋2>3或⎩⎪⎨⎪⎧m <2，m ＋2≥3，解得1≤m ≤2.∴实数m 的取值范围是[1,2]． 方法二 命题p ：2≤x ≤3， 命题q ：m ≤x ≤m ＋2， 綈p ：x <2或x >3， 綈q ：x <m 或x >m ＋2，∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴{x |x <m 或x >m ＋x |x <2或x >3}，故⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，m ＋2≥3，解得1≤m ≤2.∴实数m 的取值范围是[1,2]．跟踪训练4 解 ∵綈q 是綈p 的必要条件，∴q 是p 的充分条件， 令f (x )＝2x 2－9x ＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧f ，f，解得a ≤9，∴实数a 的取值范围是(－∞，9]． 当堂训练1．B 2.A 3.若x ，y 不全为零，则xy ≠0 4.②③ 5.(－∞，0]。
人教版高二数学选修11第一章《常用逻辑用语》教案2(有答案)
选修1-1 第一章《常用逻辑用语》§1.2.2 充要条件【知识要点】●p是q的充分条件同时p又是q的必要条件则称p是q的充要条件．●充要性的证明注意分清充分性及必要性进行证明．【例题精讲】【例1】设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件分析1：由丙乙甲且乙丙，即丙是甲的充分不必要条件．分析2：画图观察之．答：选A．点评：抽象命题之间的逻辑关系通常靠画图观察比较方便【例2】设有非空集合A、B、C，若“a∈A”的充要条件是“a∈B且a∈C”，则“a∈B”是“a∈A”的（）A．充分而不必要条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：选B【例3】ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是（）A．0＜a≤1B．a＜1C．a≤1D．0＜a≤1 或a＜0【例4】设α，β是方程x2－ax＋b＝0的两个实根，试分析a＞2且b＞1是两根α，β均大于1的什么条件?【基础达标】1．不等式的解集为R的充要条件是（）A．B．C．D．2．p是q的充要条件的是（）A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5B．p：a＞2，b＜2，q：a＞bC．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解3．设A、B、C三个集合，为使A(B∪C)，条件A B是（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．x∈R，|x|(1＋x)是正数的充分必要条件是（）A．|x|＜1 B．x＜1C．x＜－1 D．x>－1且x≠05．三个实数a、b、c不全为零的充要条件是（）A．a、b、c都不是零B．a、b、c中至多有一个是零C．a、b、c中只有一个是零D．a、b、c中至少有一个不是零6．p：x－4＝0，q：，则p是q的．7．在平面直角坐标系中，点(x2＋5x，1－x2)在第一象限的充要条件是．1~5：BDADD6．充分不必要条件7．0<x<1【能力提高】8．求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是．9．已知，求证的充要条件是．10．集合，若“a=1”是“”的充分条件，求b的取值范围．§1.3.1 简单的逻辑联结词“或”、“且”、“非”【知识要点】●如果用p，q，r，s……表示命题，则复合命题的形式接触过的有以下三种：p或q 记作p∨q 当且仅当p、q同为假时为假p且q 记作p∧q 当且仅当p、q同为真时为真非p 记作⌝p 与p的真假性相反●常见词语的否定【例题精讲】【例1】命题“方程的解为”，使用逻辑联结词的情况是（）A．没有使用联结词B．使用了联结词“或”C．使用了联结词“非”D．使用了联结词“且”答案：B说明：常见的表示是用“或”还是“非”，要根据实际情况定，比如“x=1，y=2．则x+y=3成立”中的x=1，y=2所用的联结词为且．【例2】分别写出由下列各种命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题：1．p：李明是高中一年级学生q：李明是共青团员2．p：q：是无理数【例3】命题“非空集合A∩B中的元素既是A中的元素也是B中元素”是形式；命题“非空集合A∪B中的元素是A的元素或是B的元素”是形式．分析：x∈A∩B则x∈A且x∈B，填p且q．x∈A∪B则x∈A或x∈B．填p或q．答：填p且q；p或q．【例4】命题①梯形不是平行四边形；②等腰三角形的底角相等；③有两个内角互补的四边形是梯形或圆内接四边形或是平行四边形；④60是5或2的公倍数，其中复合命题有（）A．①③④B．③④C．③D．①③分析：②是简单命题，其余的均为复合命题．选A．【例5】分别指出下列各命题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命题的真假．(1)8或6是30的约数；(2)矩形的对角线垂直平分；(3)方程x2－2x＋3＝0没有实数根．分析：分清形式结构，判断简单命题真假，利用真值表再判断原复合命题真假．解：(1)p或q；p：8是30的约数(假)，q：6是30的约数(真)．“p或q”为真．(2)p且q；p：矩形的对角线互相垂直(假)，q：矩形的对角线互相平分(真)．“p且q”为假．(3)非p；p：x2－2x＋3＝0有实根(假)．非p为真．点评：将简易逻辑知识负载在其它知识之上．【基础达标】1．命题“方程x2－4＝0的解是x＝±2”中，使用的逻辑联结词的情况是（）A．没有使用联结词B．使用了逻辑联结词“或”C．使用了逻辑联结词“且”D．使用了逻辑联结词“非”2．以下判断正确的是（）A．若p是真命题，则“p且q”一定是真命题B．命题“p且q”是真命题，则命题p一定是真命题C．命题“p且q”是假命题时，则命题p一定是假命题D．命题p是假命题时，则命题“p且q”不一定是假命题3．如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，那么（）A．命题p不一定是假命题B．命题q一定是真命题C．命题q不一定是真命题D．命题p与命题q的真值相同4．若p、q是两个简单命题，且“p或q”的否定是真命题，则必有（）A．p真q真B．p假q假C．p真q假D．p假q真5．如果命题“p或q”是真命题，那么（）A．命题p与命题q都是真命题B．命题p与命题q的真值是相同的，即同真同假C．命题p与命题q中只有一个是真命题D．命题p与命题q中至少有一个是真命题6．下列命题中：；（2）集合是的子集；（1）11（3）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等．其中为真命题的序号依次为．7．有下列四个命题：（1）40能被3或5整除；（2）不存在实数x，使x2＋x＋1＜0；（3）对任意实数x，均有x＋1＞x；（4）方程x2－2x＋3＝0有两个不等的实根；其中假命题为_ ．(只填序号)1~5：BBBBD6．①②7．(4)【能力提高】8．分别指出下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题的真假．（1）p：3是无理数，q：3是实数；（2）p：4＞6，q：4＋6≠10．解：(1)p或q：真；p且q：真；非p：假．(2)p或q：假；p且q：假；非p：真．9．已知命题p、q，写出“p或q”、“p且q”、“非p”并判断真假．（1）p：2是偶数，q：2是质数；（2）p：0的倒数还是0，q：0 的相反数还是0．(1)p或q：2是偶数或质数，真命题p且q：2是偶数且是质数，真命题非p：2不是偶数，假命题．(2)p或q：0的倒数还是0或0的相反数还是0，真命题．p且q：0的倒数还是0且0的相反数还是0，假命题．非p：0的倒数不是0，真命题．10．写出命题“5>2且4>6”的否定，并判断其真假，由此分别讨论“p或q”、“p且q”的否定形式．§1.4.1 全称量词与存在量词及其否定【知识要点】●短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示．含有全称量词的命题叫全称命题．●短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示．含有存在量词的命题叫特称命题．●【例题精讲】【例1】下列真命题的个数（）A．0 B．1 C．2 D．3答案：D【例2】下列命题中真命题的个数是（）(1)所有的素数是奇数；(2)∀x∈R，(x－1)2+1≥1；(3)有的无理数的平方是无理数A．0B．1C．2D．3答案：C【例3】下列特称命题中假命题的个数是（）(1)∃x∈R，使2x2+x+1=0；(2)存在两条相交直线垂直于同一个平面；(3)∃x∈R，x2≤0A．0B．1C．2D．3答案：C【例4】下列全称命题的否命题中，假命题的个数是（）(1)所有能被3整除的数能被6整除；(2)所有实数的绝对值是正数；(3)∀x∈Z，x2的个位数不是2A．0 B．1 C．2 D．3答案：B【例5】命题：∃x∈N，x3 ≤x2的否定是．命题：∀x∈R，x2－x+1> 0的否定是_．【例6】命题：“存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分”的否定是．答案：所有四边形的对角线互相垂直或平分．【例7】写出下列命题的否定．（1）所有自然数的平方是正数；（2）任何实数x都是5x－12=0的根；（3）对任意实数x，存在实数y，使x+y>0；（4）有些质数是奇数．解：（1）存在自然数的平方是负数或0；（2）存在实数x，它不是5x－12=0 的根；（3）存在实数x，同时存在实数y，使x+y≤0；（4）任何质数都不是奇数．点评：简单全称命题及特称命题的否定，对于条件的否定仅否定全称量词及存在量词．【基础达标】1．下列命题为真命题的是（）A．所有的质数都是奇数B．有些三角形不是锐角三角形C．实数的平方都是正数D．存在一个三角形，它的内角和小于180°2．下列命题中假命题的个数是（）（1）有的梯形是等腰梯形；（2）有的菱形是正方形；（3）每个正方形都是平行四边形；（4）每个矩形都是正方形．A．0 B．1C．3 D．43．命题“原函数与反函数的图象关于直线y=x对称”的否定是（）A．原函数与反函数的图象关于直线y=－x对称B．原函数不与反函数的图象关于直线y=x对称C．存在一个原函数与反函数的图象不关于直线y=x对称D．存在原函数与反函数的图象关于直线y=x对称4．命题“对任意的x∈R，x3－x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3－x2+1≤0B．存在x∈R，x3－x2+1≤0C．存在x∈R，x3－x2+1>0D．对任意的x∈R，x3－x2+1>05．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则（）A．⌝p：∃x∈R，sin x≥1B．⌝p：∀x∈R，sin x≥1C．⌝p：∃x∈R，sin x>1D．⌝p：∀x∈R，sin x>16．命题“”的否定为．7．命题“”的否定为．1～5：BBCCC【能力提高】8．用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题：（1）能被4整除的整数能被2整除；（2）任何大于2 的偶数可表示为两个素数之和；（3）有些数的平方小于0．9．判断以下命题的真假：(1)∀x∈R，－x2+x－1<0；①真；②真；③真；④假10．指出下列命题是特称命题还是全称命题，并写出其否命题，并判断否命题的真假．（1）直线与x轴都有交点；（2）正方形都是菱形；（3）梯形的对角线相等；（4）存在一个三角形，它的内角和大于180°（1）全称命题：否命题为有些直线与x轴没有交点真命题（2）全称命题：否命题为有些正方形不是菱形假命题（3）全称命题：否命题为有些梯形对角线不相等真命题（4）特称命题：否命题为所有三角形内角和小于或等于180度真命题《常用逻辑用语》全章复习掌握四种命题，充要条件逻辑联结词“且”“或”“非”，全称量词与存在量词及其否定．会判断充要条件，并能证明．【例题精讲】【例1】分别写出命题“若x2＋y2＝0，则x、y全为0”的逆命题、否命题和逆否命题．【例2】“若P＝{x|x|＜1}，则0∈P”的等价命题是．【例3】A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【基础达标】1．命题“若A∪B＝A，则A∩B=B”的否命题是（）A．若A∪B≠A，则A∩B≠BB．若A∩B＝B，则A∪B=AC．若A∩B≠A，则A∪B≠BD．若A∪B＝B，则A∩B＝A2．命题“若a＞b，则ac2＞bc2”(这里a、b、c都是实数)与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．0个3．下列说法：（1）四种命题中真命题的个数一定是偶数．（2）若一个命题的逆命题是真命题，则它的否命题一定是真命题．（3）逆命题与否命题之间是互为逆否的关系．（4）若一个命题的逆否命题是假命题，则它的逆命题与否命题都是假命题．其中正确的有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个4．x∈R，(1－x)(1＋x)是正数的充分必要条件是（）A．－1＜x＜1B．x＜1C．x＜－1D．x＜1 且x≠－15．下列说法正确的是（）A．x≥3是x＞5的充分而不必要条件B．x≠±1 是|x|≠1的充要条件C．若⌝p⇒⌝q，则p是q的充分条件D．一个四边形是矩形的充分条件是：它是平行四边形6．集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＜2}；则“x∈A或x∈B”是“x∈A∩B”的条件．7．命题“非空集A∪B中的元素是A中的元素或B中的元素”是的形式．命题“CA中的元素是I中的元素但不是A中的元素”是的形式．I1．A2．C3．C4．D5．B6．必要非充分条件7．p或q；p且q【能力提高】8．写出“∃x∈R，使得”的否命题．9．写出“∀x> 0，x2+x+2≥0”的否命题．10．用反证法证明：钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半．。
高中数学(新人教A版)必修第一册：第1章章末 集合与常用逻辑用语【精品课件】
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1.已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有
A.2个
√B.4个
C.6个
D.8个
2.命题p：“对任意一个实数x，均有x2≥0”，则 命题 的否定p为( C ) (A)存在x0∈R，使得x02 ≤0 (B)对任意x∈R，均有x2≤0 (C)存在x0∈R，使得 x02 <0 (D)对任意x∈R，均有x2<0
解题技巧： 1.若已知集合是用描述法给出的,则读懂集合的代表元 素及其属性是解题的关键. 2.若已知集合是用列举法给出的,则整体把握元素的共 同特征是解题的关键. 3.对集合中的元素要进行验证,保证集合内的元素不重 复.
【跟踪训练1】 设集合A={x∈Z|0<x<4},B={x|(x4)(x-5)=0},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则集合M中元素 的个数为( )
解：CU B x x 1或x>2 可画数轴如下：
1
12
1
数形结合的思想 x 1 1 2数轴法 x
A B=x 1 x 2 A B=x x>-1
A (CU B) x x 2 A (CU B) x x 1或x 1
点评 (I),画数轴上方的线时，同一集合画同一高度，
不同的集合画不同的高度。
3 2
或
a≥32
解题技巧：
1.若所给集合是有限集,则首先把集合中的元素一一列举 出来,然后结合交集、并集、补集的定义来求解.另外,针对 此类问题,在解答过程中也常常借助Venn图来求解.这样处 理起来比较直观、形象,且解答时不易出错.
分析： 画出韦恩图，形 象地表示出各数 量关系的联系
方法归纳：解决这一类问题一般借用数形结合，借 助于Venn 图，把抽象的数学语言与直观 的图形结合起来
高中数学_高中数学1.1常用逻辑用语(讲评课)教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计苏霍姆林斯基曾说过：“在心灵深处，总有一种把自己当作发现者、研究者、探索者的固有需要。
”只有通过学生的自身操作或实践才是最有效的。
在本节课上，我采用我校“三段五步”高效教学模式，指导学生自行解决，教师辅助指导的教学方式，明确的责任分工，有助于因材施教，可以弥补一个教师教学难以顾及众多学生差异性的不足，真正体现教师为主导者，学生为主体的科学观点，实现教与学和谐发展。
当遇到学生难以解决的新题型时，教师可加以指导、示范。
而对学生来讲，不论对与错，都有一个思维过程，所以为了突破本节课的重难点，首先让学生课前进行试卷分析，在课堂上教师应善于有意识地引导学生回到考试解决问题的情境中，重建学生思维，进而重建或完善解题思路。
并有效地促使学生进行反思与自我评价。
一、课前准备针对学生：课前下发试卷及试卷讲评学案，学生完成“试卷错题自我分析反思表”，查找自己易错题型，并完成通过努力可以改错的部分。
上课前让学生准备好试卷、双色笔、课堂笔记和练习本，还有学习的激情。
针对教师：应对学生得失分情况进行统计、汇总，确定讲评重点。
将学生分小组，使每组内有好，中，差三个层次学生。
统计解答题的得分，计算各题的平均分，以此衡量全班对此类题的掌握情况。
分析学生对相关知识、及相关方法的掌握情况，对学生错误较为集中或不会者较多的题目进行分析，找出错误根源，制订措施，并设计好针对训练题。
提前搜集学生不同解法，典型错误解法，制作课件，使用实物投影仪。
二、课堂讲评第一步：导入（5分钟）（一）、出示学习目标、学习重难点学习目标：1.查漏补缺，解决学习中存在问题，完善认知结构；加深对本章知识点的理解、深化常见题型的答题技巧。
2.开阔解题思路，提高分析问题、解决问题的能力；激励同学们主动思考、积极探究、培养创新精神。
3.利用小组合作交流等方式，培养同学们的合作精神；通过小组展示要有敢想、敢说、敢于标新立异的思想意识。
学习重点：典型错误出错原因的剖析与纠错，典型题目解题思路探究与解题方法分析练习。
新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1 1集合的概念1 1 2集合的表示教案新人教A版必修第一册
第一章集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念1.1.2集合的表示〖目标〗 1.掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法)；2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．〖重点〗集合的两种表示方法及其运用．〖难点〗对描述法表示集合的理解．知识点一列举法〖填一填〗把集合的所有元素出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法．{ }表示“所有”的含义，不能省略，元素之间用“，”隔开，而不能用“、”；书写时不需要考虑元素的顺序．〖答一答〗1．实数集也可以写成{实数}，那么能写成{实数集}或{全体实数}吗？提示：不能，因为花括号“{}”表示“所有、全部”的意思．2．列举法能表示元素个数很少的有限集，那么可以用列举法表示无限集吗？提示：对于所含元素有规律的无限集也可以用列举法表示，如正自然数集可以用列举法表示为{1,2,3,4,5，…}．3．集合{(1,2)}与{(2,1)}是否为相等集合？提示：不是．知识点二描述法〖填一填〗1．一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征 P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．2．具体方法在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.〖答一答〗3．集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示同一个集合吗？提示：是同一个集合．虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实质上它们均表示大于3的所有实数，故表示同一个集合．类型一 用列举法表示集合〖例1〗 (1)若集合A ＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A 中元素的个数是(B ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(2)用列举法表示下列集合． ①不大于10的非负偶数组成的集合； ②方程x 2＝x 的所有实数解组成的集合； ③直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合；④方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解．〖解析〗 (1)集合A ＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4)．(2)解：①因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．②方程x 2＝x 的解是x ＝0或x ＝1，所以方程的解组成的集合为{0,1}．③将x ＝0代入y ＝2x ＋1，得y ＝1，即交点是(0,1)，故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}．④解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.∴用列举法表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解集为{(0,1)}．用列举法表示集合应注意的三点：(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素； (2)集合中的元素一定要写全，但不能重复；(3)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素. 〖变式训练1〗用列举法表示下列集合： (1)15的正约数组成的集合； (2)所有正整数组成的集合；(3)直线y ＝x 与y ＝2x －1的交点组成的集合． 解：(1){1,3,5,15}．(2)正整数有1,2,3，…，所求集合用列举法表示为{1,2,3，…}．(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝2x －1的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所求集合用列举法表示为{(1,1)}．类型二 用描述法表示集合〖例2〗 用描述法表示下列集合： (1)不等式2x -7<3的解集A ；(2)二次函数y ＝x 2＋1的函数值组成的集合B ； (3)被3除余2的正整数的集合C ；(4)平面直角坐标系内坐标轴上的点组成的集合D .〖分析〗 先确定集合元素的符号，再把元素的共同特征通过提炼加工后写在竖线后面． 〖解〗 (1)解2x －7<3得x <5，所以A ＝{x |x <5}．(2)函数值组成的集合就是y 的取值集合，所以B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }．(3)被3除余2的正整数可以表示为3n ＋2(n ∈N )，所以集合C ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }． (4)平面直角坐标系中坐标轴上的点的共同特征是至少有一个坐标为0， 所以D ＝{(x ，y )|x ·y ＝0，x ∈R ，y ∈R }．(1)用描述法表示集合，应先弄清集合的属性，是数集、点集还是其他的类型.一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序实数对来代表其元素.(2)若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围. 〖变式训练2〗 用描述法表示下列集合： (1)函数y ＝－x 的图象上所有点组成的集合； (2)方程x 2＋22x ＋121＝0的解集；(3)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合；(4)⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，12，35，23，57，…. 解：(1){(x ，y )|y ＝－x ，x ∈R ，y ∈R }． (2){x |x ＝－11}．(3)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成的集合，则数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合可表示为{x ∈R ||x |>3}．(4)先统一形式13，24，35，46，57，…，找出规律，集合表示为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝n n ＋2，n ∈N *. 类型三 两种方法的灵活应用〖例3〗 用适当的方法表示下列集合：(1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8的解组成的集合；(2)1 000以内被3除余2的正整数组成的集合；(3)所有的正方形组成的集合；(4)抛物线y ＝x 2上的所有点组成的集合．〖分析〗 (1)中的元素个数很少，用列举法表示；(2)是有限集，但个数较多，用描述法；(3)(4)是无限集，用描述法表示．〖解〗 (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，故该集合用列举法可表示为{(4，－2)}．(2)设集合的代表元素是x ，则该集合用描述法可表示为{x |x ＝3k ＋2，k ∈N ，且k ≤332}． (3)集合用描述法表示为{x |x 是正方形}或{正方形}． (4)集合用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2}．当集合的元素个数很少(很容易写出全部元素)时，常用列举法表示集合；当集合的元素个数较多(不易写出全部元素)时，常用描述法表示集合.对一些元素有规律的无限集，也可用列举法表示.如正奇数集也可写为{1，3，5，7，9，…}.但值得注意的是，并不是每一个集合都可以用两种方法表示出来.)〖变式训练3〗 用适当的方法表示下列集合： (1)大于2且小于5的有理数组成的集合； (2)24的所有正因数组成的集合；(3)平面直角坐标系内与坐标轴距离相等的点的集合． 解：(1)用描述法表示为{x |2<x <5，且x ∈Q }． (2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}．(3)在平面直角坐标系内，点(x ，y )到x 轴的距离为|y |，到y 轴的距离为|x |，所以该集合用描述法表示为{(x ，y )||y |＝|x |}．1．集合{x ∈N |x <5}的另一种表示方法是( A ) A ．{0,1,2,3,4} B ．{1,2,3,4} C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}〖解 析〗∵x ∈N ，且x <5，∴x 的值为0,1,2,3,4，用列举法表示为{0,1,2,3,4}．2.方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －2y ＝－1的解集是( C )A ．{x ＝1，y ＝1}B ．{1}C ．{(1,1)}D ．{(x ，y )|(1,1)}〖解 析〗方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A ，B ，而D 中的条件是点(1,1)，不含x ，y ，排除D.3.集合{x |x ＝a ，a <36，x ∈N }，用列举法表示为{0,1,2,3,4,5}.〖解 析〗由a <36，可得a <6，即x <6，又x ∈N ，故x 只能取0,1,2,3,4,5. 4.能被2整除的正整数的集合，用描述法可表示为{x |x ＝2n ，n ∈N ＋}． 〖解 析〗正整数中所有的偶数均能被2整除． 5.用适当的方法表示下列集合：(1)已知集合P ＝{x |x ＝2n,0≤n ≤2，且n ∈N }； (2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合； (3)x 2－4的一次因式组成的集合；(4)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解所组成的集合．解：(1)用列举法表示为P ＝{0,2,4}．(2)可用列举法表示为{6,9,12}；也可用描述法表示为{x |x ＝3n,4<x <15，且n ∈N }． (3)用列举法表示为{x ＋2，x －2}．(4)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，故可用列举法表示为{(1,2)}，也可用描述法表示为{(x ，y )|x ＝1，y ＝2}．——本课须掌握的两大问题1．表示集合的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则． (2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合．2．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式．(2)元素具有怎样的属性．当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．第一章 1.1 第2课时A 组·素养自测一、选择题1．用列举法表示集合{x |x 2－3x ＋2＝0}为( C ) A ．{(1,2)} B ．{(2,1)} C ．{1,2}D ．{x 2－3x ＋2＝0}〖解析〗 解方程x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2.用列举法表示为{1,2}． 2．直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合为( B ) A ．{0,1}B ．{(0,1)}C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，0 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0〖解析〗 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，x ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.故该集合为{(0,1)}．3．已知x ∈N ，则方程x 2＋x －2＝0的解集为( C ) A ．{x |x ＝2}B ．{x |x ＝1或x ＝－2}C ．{x |x ＝1}D ．{1，－2}〖解析〗 方程x 2＋x －2＝0的解为x ＝1或x ＝－2.由于x ∈N ，所以x ＝－2舍去．故选C ．4．若A ＝{－1,3}，则可用列举法将集合{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }表示为( D ) A ．{(－1,3)} B ．{－1,3}C ．{(－1,3)，(3，－1)}D ．{(－1,3)，(3,3)，(－1，－1)，(3，－1)}〖解析〗 因为集合{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }是点集或数对构成的集合，其中x ，y 均属于集合A ，所以用列举法可表示为{(－1,3)，(3,3)，(－1，－1)，(3，－1)}．5．下列集合中，不同于另外三个集合的是( B ) A ．{x |x ＝1} B ．{x |x 2＝1} C ．{1}D ．{y |(y －1)2＝0}〖解析〗 因为{x |x ＝1}＝{1}，{x |x 2＝1}＝{－1,1}，{y |(y －1)2＝0}＝{1}，所以B 选项的集合不同于另外三个集合．6．下列说法：①集合{x ∈N |x 3＝x }用列举法可表示为{－1,0,1}；②实数集可以表示为{x |x为所有实数}或{R }；③方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解集为{x ＝1，y ＝2}．其中说法正确的个数为( D )A ．3B ．2C ．1D ．0〖解析〗 由x 3＝x ，得x (x －1)(x ＋1)＝0，解得x ＝0或x ＝1或x ＝－1.因为－1∉N ，故集合{x ∈N |x 3＝x }用列举法可表示为{0,1}，故①不正确．集合表示中的“{}”已包含“所有”“全体”等含义，而“R ”表示所有的实数组成的集合，故实数集正确表示应为{x |x 为实数}或R ，故②不正确．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解是有序实数对，其解集应为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝2，故③不正确． 二、填空题7．已知A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝6，x ∈N ，y ∈N }，用列举法表示A 为__{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}__.〖解析〗 ∵x ＋y ＝6，x ∈N ，y ∈N ， ∴x ＝6－y ∈N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝6，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝0.∴A ＝{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}．8．集合{1，2，3，2，5，…}用描述法表示为〖解析〗 注意到集合中的元素的特征为n ，且n ∈N *，所以用描述法可表示为{x |x ＝n ，n ∈N *}．9．已知集合A ＝{x |2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是__a ≤－2__. 〖解析〗 因为1∉A ，则应有2×1＋a ≤0，所以a ≤－2. 三、解答题10．用列举法表示下列集合： (1)⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫62－x ∈Z ，x ∈Z ；(2){(x ，y )|y ＝3x ，x ∈N 且1≤x <5}．〖解析〗 (1)因为62－x∈Z ，所以|2－x |是6的因数，则|2－x |＝1,2,3,6，即x ＝1,3,4,0，－1,5，－4,8. 所以原集合可用列举法表示为{－4，－1,0,1,3,4,5,8}． (2)因为x ∈N 且1≤x <5，所以x ＝1,2,3,4， 其对应的y 的值分别为3,6,9,12.所以原集合可用列举法表示为{(1,3)，(2,6)，(3,9)，(4,12)}． 11．用描述法表示下列集合． (1){2,4,6,8,10,12}； (2){13，24，35，46，57}；(3)被5除余1的正整数集合；(4)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合；(5)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2x －y ＝2的解组成的集合．〖解析〗 (1){x |x ＝2n ，n ∈N *，n ≤6}． (2){x |x ＝nn ＋2，n ∈N *，n ≤5}． (3){x |x ＝5n ＋1，n ∈N }． (4){(x ，y )|xy <0}．(5)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2x －y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝0. B 组·素养提升一、选择题1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，x ＋2y ＝－1的解集是( C )A ．{x ＝1，y ＝－1}B ．{1}C ．{(1，－1)}D ．{(x ，y )|(1，－1)}〖解析〗 方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A ，B ，而D 的集合表示方法有误，排除D ．2．用列举法可将集合{(x ，y )|x ∈{1,2}，y ∈{1,2}}表示为( D ) A ．{1,2} B ．{(1,2)} C ．{(1,1)，(2,2)}D ．{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}〖解析〗 x ＝1，y ＝1；x ＝1，y ＝2；x ＝2，y ＝1；x ＝2，y ＝2.∴集合{(x ，y )|x ∈{1,2}，y ∈{1,2}}表示为{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，故选D ． 3．(多选题)大于4的所有奇数构成的集合可用描述法表示为( BD ) A ．{x |x ＝2k －1，k ∈N } B ．{x |x ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥2} C ．{x |x ＝2k ＋3，k ∈N } D ．{x |x ＝2k ＋5，k ∈N }〖解析〗 选项A ，C 中，集合内的最小奇数不大于4. 4．(多选题)下列各组中M ，P 表示不同集合的是( ABD ) A ．M ＝{3，－1}，P ＝{(3，－1)} B ．M ＝{(3,1)}，P ＝{(1,3)}C ．M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }，P ＝{x |x ＝t 2＋1，t ∈R } D ．M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，P ＝{(x ，y )|y ＝x 2－1，x ∈R }〖解析〗 选项A 中，M 是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P 是由点(3，－1)构成的集合；选项B 中，(3,1)与(1,3)表示不同的点，故M ≠P ；选项D 中，M 是二次函数y ＝x2－1，x ∈R 的所有因变量组成的集合，而集合P 是二次函数y ＝x 2－1，x ∈R 图象上所有点组成的集合．故选ABD ．二、填空题5．若集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }中只有一个元素，则实数a 的值是__0或1__. 〖解析〗 集合A 中只有一个元素，有两种情况：当a ≠0时，由Δ＝0，解得a ＝1，此时A ＝{－1}，满足题意；当a ＝0时，x ＝－12，此时A ＝{－12}，满足题意．故集合A 中只有一个元素时，a 的值是0或1.6．用列举法写出集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎪⎪⎪33－x ∈Z x ∈Z ＝__{－3，－1,1,3}__.〖解析〗 ∵33－x ∈Z ，x ∈Z ，∴3－x 为3的因数． ∴3－x ＝±1，或3－x ＝±3. ∴33－x ＝±3，或33－x＝±1. ∴－3，－1,1,3满足题意．7．设A ，B 为两个实数集，定义集合A ＋B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，若A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，则集合A ＋B 中元素的个数为__4__.〖解析〗 当x 1＝1时，x 1＋x 2＝1＋2＝3或x 1＋x 2＝1＋3＝4；当x 1＝2时，x 1＋x 2＝2＋2＝4或x 1＋x 2＝2＋3＝5；当x 1＝3时，x 1＋x 2＝3＋2＝5或x 1＋x 2＝3＋3＝6.∴A ＋B ＝{3,4,5,6}，共4个元素．三、解答题8．集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A ．〖解析〗 (1)当k ＝0时，原方程为16－8x ＝0， 所以x ＝2，此时A ＝{2}．(2)当k ≠0时，因为集合A 中只有一个元素， 所以方程kx 2－8x ＋16＝0有两个相等的实根． 则Δ＝64－64k ＝0，即k ＝1. 从而x 1＝x 2＝4，所以集合A ＝{4}，综上所述，实数k 的值为0或1.当k ＝0时，A ＝{2}；当k ＝1时，A ＝{4}． 9．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}． (1)若A 中只有一个元素，求集合A ；(2)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围．〖解析〗 (1)因为集合A 是方程ax 2－3x ＋2＝0的解集，则当a ＝0时，A ＝{23}，符合题意；当a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0应有两个相等的实数根， 则Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98，此时A ＝{43}，符合题意．综上所述，当a ＝0时，A ＝{23}，当a ＝98时，A ＝{43}．(2)由(1)可知，当a ＝0时，A ＝{23}符合题意；当a ≠0时，要使方程ax 2－3x ＋2＝0有实数根， 则Δ＝9－8a ≥0，解得a ≤98且a ≠0.综上所述，若集合A 中至少有一个元素，则a ≤98.。
高中数学第一章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词学案(含解析)新人教A版选修1-1(2021学年)
2017-2０18学年高中数学第一章常用逻辑用语1．3 简单的逻辑联结词学案(含解析)新人教Ａ版选修1－1编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2０18学年高中数学第一章常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词学案(含解析)新人教Ａ版选修1-１)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1。
3 单的逻辑联结词逻辑联结词“且”“或”“非”［提出问题]如图所示，有三种电路图.问题1:甲图中，什么情况下灯亮？提示：开关ｐ闭合且q闭合．问题2:乙图中,什么情况下灯亮?提示：开关p闭合或q闭合.问题3：丙图中，什么情况下灯不亮？提示:开关ｐ不闭合时．[导入新知]符号含义读法p∧ｑ用联结词“且”把命题ｐ和命题ｑ联结起来的一个新命题p且qｐ∨ｑ用联结词“或”把命题p和命题q联结起来的一个新命题p或q綈p对一个命题p全盘否定的一个新命题非p或p的否定1.“且”含义的理解联结词“且”与日常用语中的“并且”“和”“同时"等词语等价，表示的是同时具有的意思.2.“或"含义的理解联结词“或"与日常用语中的“或者”“可能”等词语等价,它有三层含义，如“p或q”表示：要么是p不是q；要么是q不是p;要么是p且ｑ.3.“非"含义的理解联结词“非”与日常用语中的“不是”“否定”“全盘否定”“问题的反面”等词语等价。
含有逻辑联结词的命题的真假判断［提出问题]如“知识点一"中的图，若开关p，q的闭合与断开分别对应命题p、q的真与假，则灯亮与不亮分别对应着p∧q，p∨q，綈p的真与假.问题1：什么情况下,p∧q为真?提示：当p真,q真时.问题2：什么情况下，p∨ｑ为假?提示：当p假,q假时.问题3:什么情况下,綈ｐ为真?提示：当p假时．[导入新知]“p∧q＂“ｐ∨ｑ”“綈p”的真假判断pｑp∨ｑp∧ｑ綈ｐ真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真[化解疑难]命题“p∧q”“p∨q"“綈p”真假的记忆(1）对于“p∧q",简称为“一假则假”，即p,ｑ中只要有一个为假，则“ｐ∧q”为假；(2）对于“ｐ∨q”，简称为“一真则真”,即ｐ，q中只要有一个为真,则“p∨q”为真．用逻辑联结词联结新命题［例1] 分别写出由下列命题构成的“ｐ∨q"“ｐ∧q”“綈p”形式的命题.(1）p:梯形有一组对边平行,q:梯形有一组对边相等;（2）p:－1是方程x２+4ｘ+3＝０的解，q:－3是方程x2＋4x＋３＝0的解.［解] （１)p∧ｑ：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等.綈p：梯形没有一组对边平行．(2)ｐ∧q:－1与-3是方程x２＋4ｘ+3＝0的解．p∨q:-1或－3是方程x2＋4x+３＝0的解.綈p:-1不是方程ｘ2+4ｘ＋３=0的解．[类题通法]用“或”“且”“非"联结两个简单命题时，要正确理解这三个联结词的意义,通常情况下,可以直接使用逻辑联结词联结，有时为了通顺也可以适当添加词语或省略联结词.如甲是运动员兼教练员，就省略了“且”．［活学活用]指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题：（１)方程2x2+1=０没有实数根；(2）12能被3或４整除．解:（1）是“綈p"形式,其中p:方程２x2＋1=0有实根.(2)是“p或q"形式,其中p：12能被3整除;q：12能被4整除。
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词教案 新人教A版选修11
1.3 简单的逻辑联结词
教学过程①一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p q
∨，读作“p或q”.
②规定：当p，q两个命题中有一个命题是真命题时，p q
∨是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p q
∨是假命题.
例如：“22
≤”、“27是7或9的倍数”等命题都是p q
∨的命题.
③例3：判断下列命题的真假：
（1）34
>或34
<；（2）方程2340
x x
--=的判别式大于或等于0；
（3）10或15是5的倍数；（4）集合A是A B
⋂的子集或是A B
⋃的子集；（5）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等.
（学生自练→个别回答→教师点评）
3. 小结：“p q
∧”、“p q
∨”命题的概念及真假
三、巩固练习：
1. 练习：教材P20页练习第1、2题
2. 作业：教材P20页习题第1、2题.。
高中数学 第一章 常用逻辑用语阶段复习课学案 新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学学案
第一课常用逻辑用语[核心速填]1．命题及其关系(1)判断一个语句是否为命题，关键是：①为陈述句；②能判断真假．(2)互为逆否关系的两个命题的真假性相同．(3)四种命题之间的关系如图所示．2．充分条件、必要条件和充要条件(1)定义一般地，若p，则q为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p 可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．(2)特征充分条件与必要条件具有以下两个特征：①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件；②传递性：若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的充分条件．即若p⇒q，q⇒r，则p⇒r.必要条件和充分条件一样具有传递性，但若p是q的充分条件，q是r的必要条件，则p与r的关系不能确定．3．含逻辑联结词的命题的真假判断(1)p∧q：全真才真，一假则假；(2)p∨q：全假才假，一真则真；(3) p：p与p真假性相反．4．全称量词与全称命题，存在量词与特殊命题(1)全称量词与全称命题：短语“所有的”“任意一个”“每一个”“任给”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为∀x∈M，p(x)．(2)存在量词与特称命题：短语“存在一个”“至少有一个”“有些”在逻辑学中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示；特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)．5．含有一个量词的命题的否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，则p：∃x0∈M，p(x0)．(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x)，则p：∀x∈M，p(x)．[体系构建][题型探究]四种命题的关系及其真假判断将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题以及判断它们的真假．(1)当mn＜0时，方程mx2－x＋n＝0有实数根；(2)能被6整除的数既能被2整除，又能被3整除．[解](1)将命题写成“若p，则q”的形式为：若mn＜0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根．它的逆命题、否命题和逆否命题如下：逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则mn＜0.(假)否命题：若mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．(假)逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0.(真)(2)将命题写成“若p，则q”的形式为：若一个数能被6整除，则它能被2整除，且能被3整除，它的逆命题，否命题和逆否命题如下：逆命题：若一个数能被2整除又能被3整除，则它能被6整除．(真)否命题：若一个数不能被6整除，则它不能被2整除或不能被3整除．(真)逆否命题：若一个数不能被2整除或不能被3整除，则它不能被6整除．(真)[规律方法] 1.在原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，原命题与逆否命题，逆命题与否命题是等价命题，它们的真假性相同．2．“p∧q”的否定是“p或q”，“p∨q”的否定是“p且q”．[跟踪训练]1．(1)给出下列三个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题；②“若lg x2＝0，则x＝－1”的逆命题；③若“x≠y或x≠－y，则|x|≠|y|”的逆否命题．其中真命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3B[对于①，否命题是“不全等三角形的面积不相等”，它是假命题；对于②，逆命题是“若x＝－1，则lg x2＝0”，它是真命题；对于③，逆否命题是“若|x|＝|y|，则x＝y 且x＝－y”，它是假命题，故选B.](2)命题：“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是( )【导学号：97792039】A．若a2＋b2＝0，则a＝0且b≠0B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0D[命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是：“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”．故选D.]充分条件、必要条件与充要条件(1)已知△ABC 两内角A ，B 的对边边长分别为a ，b ，则“A ＝B ”是“a cos A ＝b cos B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)已知直线l 1：x ＋ay ＋2＝0和l 2：(a －2)x ＋3y ＋6a ＝0，则l 1∥l 2的充分必要条件是a ＝__________.[解析] (1)由a cos A ＝b cos B ⇒sin 2A ＝sin 2B ， ∴A ＝B 或2A ＋2B ＝π，故选A. (2)由1a －2＝a 3≠26a， 得a ＝－1(舍去)，a ＝3. [答案] (1)A (2)3[规律方法] 充分条件和必要条件的判断充分条件和必要条件的判断，针对具体情况，应采取不同的策略，灵活判断.判断时要注意以下两个方面：1注意分清条件和结论，以免混淆充分性与必要性,从命题的角度判断充分、必要条件时，一定要分清哪个是条件，哪个是结论，并指明条件是结论的哪种条件，否则会混淆二者的关系，造成错误.2注意转化命题判断，培养思维的灵活性,由于原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真同假，因此，对于那些具有否定性的命题，可先转化为它的逆否命题，再进行判断，这种“正难则反”的等价转化思想，应认真领会.2．(1)已知a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是( )A ．λ1＝λ2＝－1B ．λ1＝λ2＝1C ．λ1λ2＝1D ．λ1λ2＝－1C [依题意，A ，B ，C 三点共线⇔AB →＝λAC →⇔λ1a ＋b ＝λa ＋λλ2b ⇔⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝λ，λλ2＝1，故选C.](2)设p ：m ＋n ∉Z ，q ：m ∉Z 或n ∉Z ，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件A [p ：m ＋n ∈Z ，q ：m ∈Z 且n ∈Z ，显然p q ，q ⇒p ，即p ⇒q ，q p ，p是q 的充分不必要条件．]含逻辑联结词的命题(1)短道速滑队组织6名队员(包括赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员)参加冬奥会选拔赛，记“甲得第一名”为p ，“乙得第二名”为q ，“丙得第三名”为r ，若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，(q )∧r 是真命题，则选拔赛的结果为( )A ．甲得第一名、乙得第二名、丙得第三名B ．甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名C ．甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名D ．甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名(2)已知命题p ：不等式ax 2＋ax ＋1>0的解集为R ，则实数a ∈(0,4)，命题q ：“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(q )C ．(p )∧(q )D ．(p )∧q[解析] (1)( q )∧r 是真命题意味着q 为真，q 为假(乙没得第二名)且r 为真(丙得第三名)；p ∨q 是真命题，由于q 为假，只能p 为真(甲得第一名)，这与p ∧q 是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名，故选D.(2)命题p ：a ＝0时，可得1>0恒成立；a ≠0时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，解得0<a <4，综上，可得实数a ∈[0,4)，因此p 是假命题，则p 是真命题；命题q ：由x 2－2x －8>0解得x >4或x <－2.因此“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，是真命题．故(p )∧q 是真命题．故选D.[答案] (1)D (2)D[规律方法] 1.判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解，应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．2．判断命题真假的步骤：[跟踪训练]3．(1)设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真C [函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，故命题p 为假命题；直线x ＝π2不是y＝cos x 的图象的对称轴，命题q 为假命题，故p ∧q 为假，故选C.](2)已知命题p ：m ，n 为直线，α为平面，若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α；命题q ：若a >b ，则ac >bc ，则下列命题为真命题的是( )【导学号：97792040】A ．p 或qB ．p 或qC ．p 且qD ．p 且qB [命题q ：若a >b ，则ac >bc 为假命题，命题p ：m ，n 为直线，α为平面，若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α也为假命题，因此只有p 或q 为真命题．]全称命题与特称命题(1)已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．[e,4]B ．[1,4]C ．(4，＋∞)D ．(－∞，1](2)命题p ：∀x ∈R ，f (x )≥m ，则命题p 的否定p 是________． [思路探究] (1)p ∧q 为真⇔p ，q 都为真．(2)由p 的定义写p . [解析] (1)由p 为真得出a ≥e，由q 为真得出a ≤4，∴e≤a ≤4.(2)全称命题的否定是特称命题，所以“∀x ∈R ，f (x )≥m ”的否定是“∃x 0∈R ，f (x 0)<m ”．[答案] (1)A (2)∃x 0∈R ，f (x 0)<m[规律方法] 全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.要判断一个全称命题为真命题，必须对限定集合M 中的每一个x 验证p (x )成立，一般要运用推理的方法加以证明；要判断一个全称命题为假命题，只需举出一个反例即可.要判断一个特称命题为真命题，只要在限定集合M 中能找到一个x 0使p (x 0)成立即可，否则这一特称命题为假命题.[跟踪训练]4．(1)命题p ：∀x <0，x 2≥2x，则命题p 为( ) A ．∃x 0<0，x 20≥2x 0 B ．∃x 0≥0，x 20<2x 0 C ．∃x 0<0，x 20<2x 0D ．∃x 0≥0，x 20≥2x 0C [p ：∃x 0<0，x 20<2x 0，故选C.](2)在下列四个命题中，真命题的个数是( ) ①∀x ∈R ，x 2＋x ＋3＞0； ②∀x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数；③∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β； ④∃x 0，y 0∈Z ，使3x 0－2y 0＝10.【导学号：97792041】A ．1B ．2C ．3D ．4D [①中，x 2＋x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋114≥114＞0，故①为真命题；②中，∀x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1一定是有理数，故②也为真命题；③中，当α＝π4，β＝－π4时，sin(α＋β)＝0，sin α＋sin β＝0，故③为真命题；④中，当x 0＝4，y 0＝1时，3x 0－2y 0＝10成立，故④为真命题．]。
新教材 人教A版高中数学必修第一册 第一章 集合与常用逻辑用语 习题课件(精选配套习题,含解析)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：方程 x2－5x＋6＝0 的解为 x＝2 或 x＝3，x2－x－2＝0 的解为 x＝2 或 x＝－1，所以集合 M 中含有 3 个元素．
4．设x∈N，且1x∈N，则x的值可能是( B )
A．0
B．1
C．－1
D．0或1
解析：∵－1∉N，∴排除C；0∈N，而 10 无意义，排除A、D， 故选B.
——能力提升—— 14．若11－＋aa∈A，且集合 A 中只含有一个元素 a，则 a 的值为 ______－__1_±__2___.
解析：由题意，得11－ ＋aa＝a， ∴a2＋2a－1＝0且a≠－1，∴a＝－1± 2.
15．已知数集 A 满足条件：若 a∈A，则1－1 a∈A(a≠1)，如果 a＝2，试求出 A 中的所有元素．
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：根据集合中元素的互异性可知，一定不是等腰三角形．
8．有下列说法：
①集合 N 中最小的数为 1；②若－a∈N，则 a∈N；③若 a∈
N，b∈N，则 a＋b 的最小值为 2；④所有小的正数组成一个集合．
其中正确命题的个数是( A )
A．0
解析：深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会．
10．设直线 y＝2x＋3 上的点集为 P，点(2,7)与点集 P 的关系 为(2,7)___∈__ P(填“∈”或“∉”)．
解析：直线 y＝2x＋3 上的点的横坐标 x 和纵坐标 y 满足关系： y＝2x＋3，即只要具备此关系的点就在直线上．由于当 x＝2 时，y ＝2×2＋3＝7，∴(2,7)∈P.
(2)不能．理由：若－5 为集合 A 中的元素，则 a－3＝－5 或 2a－1＝－5.
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词
p∧q：函数 y＝x2－2x＋2 没有零点且不等式 x2－2x ＋1＞0 恒成立，假命题．
綈 p：函数 y＝x2－2x＋2 有零点，假命题．
归纳升华
判断命题真假的三个步骤
(2)p∧q：函数 y＝|x|是奇函数且是分段函数； p∨q：函数 y＝|x|是奇函数或是分段函数； 綈 p：函数 y＝|x|不是奇函数．
归纳升华 用“或”“且”“非”联结两个简单命题时，要正确 理解这三个联结词的意义，通常情况下，可以直接使用逻 辑联结词联结，有时为了通顺也可以适当添加词语或省略 联结词．
(2)p：函数 y＝|x|是奇函数；q：函数 y＝|x|是分段函 数．
解：(1)p∧q：函数 y＝x2－x＋1 的图象与 x 轴没有交 点且不等式 x2－x＋1＜0 无解；
p∨q：函数 y＝x2－x＋1 的图象与 x 轴没有交点或不 等式 x2－x＋1＜0 无解；
綈 p：函数 y＝x2－x＋1 的图象与 x 轴有交点．
(4)若 p 是真命题，则綈 p 一定是假命题，则 p 和綈 p
不可能都是真命题，则正确． 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．设命题 p：函数 y＝sin 2x 的最小正周期为 π；命 题 q：函数 y＝cos x 的图象关于直线 x＝π2对称，则下列 判断正确的是( )
A．p 为真
2．“p 或 q”就是用联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来，得到的新命题，记作 p∨q．
3．命题的否定：一般地，对一个命题 p 全盘否定， 就得到一个新命题，记作綈 p，读作“非 p”或“p 的否
定”．
4．含有逻辑联结词的命题的真假判断
p q p∨q p∧q 綈 p 真真 真 真 假 真假 真 假 假 假真 真 假 真 假假 假 假 真
高中数学第一章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词课件新人教A版选修11[1]
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(2)是“ p”形式的命题.其中p:方程x2+x+3=0有实数根.
(3)是“p∨q”形式的命题.其中p:菱形是圆的内接四边形,q:菱形是圆的外
切四边形.
第十页，共22页。
题型一
题型二
题型三
题型四
反思 正确理解逻辑联结词“或”“且”“非”是解题的关键,有些命题
B.p∧q为假,p∨q为假, p为假
C.p∧q为假,p∨q为真, p为假
D.p∧q为真,p∨q为真, p为假
解析(jiě xī):p为真,q为假,故“p∧q”为假,“p∨q”为真,“ p”为假,选C.
答案:C
第七页，共22页。
1.理解逻辑联结(liánjié)词“或”的含义
剖析“或”是具有选择性的逻辑联结(liánjié)词,含有三层含义,即“p或q”
1
那么 4
1
,
4
< < 4;
1
如果 q 真,且 p 假,有 a<0 或 a≥4,且 a≤4 , 那么a<0.
1
因此实数 a 的取值范围为(-∞,0)∪ ,4 .
4
第十八页，共22页。
题型一
题型二
题型三
题型四
反思 解决此类问题的方法,一般是先假设p,q分别为真,化简其中的
参数取值范围(fànwéi),然后当它们为假时取其补集,最后确定参数的
取值范围(fànwéi).当p,q中参数的范围(fànwéi)不易求出时,也可以利
用 p与p, q与q不能同真同假的特点,先求 p, q中
参数的取值范围(fànwéi).
湖北省宜昌市高中数学 第一章 常用逻辑用语学案(无答案)新人教A版选修1-1
第一章常用逻辑用语第一步本章总览心中有数第二步分块自学提出疑点§1.1 命题及其关系班级：组别：姓名：组评：师评：【自学目标】通过自学本节内容，理解命题的概念、形式，会判断命题的真假，能根据原命题写出其他三种形式的命题，掌握四种命题间的相互关系。
【自学内容提炼】一、基本知识1. 命题的概念：一般地，在数学中我们把用 表达的， 叫做命题。
其中判断为真的语句叫做 ，判断为假的语句叫做 。
2. 命题的构成形式：数学中，通常把命题表示成“ ”的形式，其中，p 叫做命题的 ，q 叫做命题的 。
3. 四种命题的形式与表示：用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用﹁p 和﹁q分别表示p 、q 的否定，四种命题的形式可以表示为：4. 四种命题的关系与真假原命题若p 则q否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互二．典型例题归纳：（通过自己看书，归纳书上的典型题型，并回答书上的几个探究问题）例1. 判断下列语句是否为命题？是真命题还是假命题？（1）若平面四边形的边都相等，则它是菱形。
（2）6＜3（3）他长的很高。
（4）你是一个好人吗？例2.将下列命题改写成“若p 则q”的形式，再写出其逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假。
（1）偶数能被2整除 （2）对角线相等的四边形是正方形三、提出疑点与解决：【达标训练】1. 课内完成：P4练习，P6练习，P8练习2. 课外完成：P8习题A 组§1.2.1 充分条件与必要条件班级： 组别： 姓名： 组评： 师评：〖自学目标〗：针对具体命题,能说出命题的充分条件、必要条件〖本节重难点〗：对命题条件的充分性与必要性的判断〖自学内容提炼〗： 一．知识链接：１.请判断下列命题的真假：（1）若x y =,则22x y =; （2）若22x y =,则x y =;（3）若1x >,则21x >; （4）若21x >,则1x >2．四种命题之间的关系图：二．自主学习书上基本知识：（一）阅读书上第9页至10页内容，把下列命题改写成“p q ⇒”或“p q ⇒/”的形式：⑴若a b >，则ac bc >；⑵若a b >，则a c b c +>+；（二）．典型例题（通过自己看书，归纳书上的典型题型）（1）看书上第9页至第10页的例题，小组讨论并展示将书上的例题都分析写成“p q ⇒”或“p q ⇒/”的形式，再判断（2）看书10页练习，先独立思考再小组讨论三．本节课拓展：从集合的角度理解充分及必要条件：小充分大必要 说出下列各题中p 是q 的什么条件：（1）命题p ：{}21,A =，命题q ：{}531,,B = （2）命题p ：{}012>-=x |x A ,命题q :{}052>--=x x |x B四．本节课小结，提出疑点与解决： 【达标训练】 课外作业：书上第12页的A 组1、2、3，B 组1§1.2.2 充要条件班级： 组别： 姓名： 组评： 师评：〖自学目标〗：能判断写出简单命题条件的证明，能判断命题条件的充分性及必要性充要性．〖本节重难点〗：对命题条件的充分性与必要性及充要性的判断〖自学内容提炼〗：⑵若b,a都是实数，从①0a b+=；⑤220ab=；④0+>；③0ab>；②0a b+>；a b⑥220+=中选出使b,a都不为0的充分条件是．a b二．自主学习书上基本知识：（一）（阅读教材P11）根据定义，何为p是q的充分条件？_______________何为p是q的必要条件？_______________何为p是q的充要条件？________________有没有既不充分也不必要的条件？从集合的角度怎样理解这几个条件？你能举例说明吗？（二）典型例题（通过自己看书，归纳书上的典型题型）看书上11页例题3，4，理解并组内讨论及展示三．本节课小结，提出疑点与解决：四．达标训练：1．课内完成：书12页练习1、22．课外作业：书12页A组4，B组2§1.3 简单的逻辑联结词班级：组别：姓名：组评：师评：【自学目标】通过自学本节内容，理解三个逻辑联结词的含义；掌握,,∧∨⌝p q p q p 的真假性的判断；正确理解p⌝的意义。
湖北省宜昌市高中数学 第一章 常用逻辑用语教材习题本(无答案)新人教A版选修11
1 第一章：常用逻辑用语1.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断他们的真假：（1） 若a,b 都是偶数，则a+b 是偶数；（2） 若m>0,则方程02=-+m x x 有实数根。
2.下列各题中，p 是q 的什么条件？（1）p: x=1, q: 11-=-x x(2) p: |x-2|3≤, q:51≤≤-x (3) p:x=2 q: x x -=-33(4) p:三角形是等边三角形， q:三角形是等腰三角形；3.判断下列命题的真假，并说明理由；（1）q p ∨， 其中p: π是无理数， q: π是实数；（2）q p ∧， 其中p: π是无理数， q: π是实数；（3）q p ∨， 其中p: 2>3， q: 8+715≠；（4）q p ∧， 其中p: 2>3， q: 8+715≠；4.写出下列命题的否定：（1）23,x x N x >∈∀；（2）所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；（3）01,0200≤+-∈∃x x R x ；（4）存在一个四边形，它的对角线互相垂直。
5.判断下列命题的真假：（1）""""22b a b a >>是的充分条件； （2）""""22b a b a >>是的必要条件；（3）""""22bc ac b a >>是的充分条件； （4）|"|||"""b a b a >>是的充要条件；（5）βαsin sin =是βα=的充分条件； （6）0≠ab 是0≠a 的充分条件。
6.用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题：（1）自然数的平方大于0；（2）圆222r y x =+上任一点P 到圆心O 的距离是r;(3) 存在一对整数00,y x ，使得34200=+y x（4）存在一个无理数，它的立方是有理数。
高中数学 第一章 常用逻辑用语章末分层突破学案 新人教A版选修11
第一章常用逻辑用语[自我校对]①若q，则p②若﹁p，则﹁q③若﹁q，则﹁p④真⑤假⑥相反⑦∃x0∈M，﹁p(x0)⑧∀x∈M，﹁p(x)(1)q”；逆否命题为“若﹁q，则﹁p”.书写四种命题应注意：①分清命题的条件与结论，注意大前提不能当作条件来对待.②要注意条件和结论的否定形式.(2)判断命题真假的方法：①直接判断：先确定命题的条件与结论，再判断条件能否推得结论；②利用四种命题的等价关系：互为逆否的两个命题同真同假；③对于“p或q”“p 且q”“非p”形式的命题，判断方式可分别简记为：一真即真、一假即假、真假相反.写出下述命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假.(1)若a＋b是偶数，则a，b都是偶数；(2)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0.【精彩点拨】先明确原命题的条件p与结论q，把原命题写成“若p，则q”的形式，再去构造其他三种命题，对具有大前提的原命题，在写出其他三种命题时，应保留这个大前提.【规范解答】(1)逆命题：若a，b都是偶数，则a＋b是偶数，为真.否命题：若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数，为真.逆否命题：若a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数，为假.(2)逆命题：若(x－3)(x－7)＝0，则x＝3或x＝7，为真.否命题：若x≠3且x≠7，则(x－3)(x－7)≠0，为真.逆否命题：若(x－3)(x－7)≠0，则x≠3且x≠7，为真.“都”的否定词是“不都”，而不是“都不”，同理，“全”的否定词是“不全”，而不是“全不”.另外，命题中的“或”，在否命题中要改为“且”.[再练一题]1.有下列命题：①“若x＋y＞0，则x＞0且y＞0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3＞0的解集是R”的逆命题；④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题.其中为真命题的是( )【导学号：97792011】A.①②③B.②③④C.①③④D.①④【解析】 ①的逆命题为“若x ＞0且y ＞0，则x ＋y ＞0”为真，故否命题为真； ②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假；③的逆命题为“若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集为R ，则m ≥1”. ∵当m ＝0时，解集不是R ，∴应有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ＜0，即m ＞1.∴③是假命题；④原命题为真，逆否命题也为真. 【答案】 D关于充分条件、必要条件与充要条件的判定，实际上是对命题真假的判定： 若p ⇒q ，且p ⇐/q ，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件； 若p ⇔q ，则p 是q 的充要条件，同时q 是p 的充要条件；若p ⇔/q ，则p 是q 的既不充分也不必要条件，同时q 是p 的既不充分也不必要条件.已知p ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －10≤0，q ：{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}，若﹁p 是﹁q 的必要条件，求实数m 的取值范围.【精彩点拨】 本题主要考查充分条件、必要条件和充要条件的应用.解答本题应先写出﹁p 和﹁q ，然后由﹁q ⇒﹁p ，且﹁p ⇒/﹁q 求得m 的范围.【规范解答】 法一 由题意，得﹁p ：A ＝{x |x <－2或x >10}，﹁q ：B ＝{x |x <1－m 或x >1＋m ，m >0}，∵﹁p 是﹁q 的必要条件， ∴﹁q ⇒﹁p ，﹁p ⇒/﹁q . ∴BA ，画数轴(略)分析知，B A 的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10，解得m ≥9.∴m 的取值范围是{m |m ≥9}.法二 ∵﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，即﹁q ⇒﹁p ， ∴p ⇒q ，即p 是q 的充分不必要条件.而p ：P ＝{x |－2≤x ≤10}，q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}，∴PQ ，即得⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10.解得m ≥9.∴m 的取值范围是{m |m ≥9}.应用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解，注意数形结合思想的应用.[再练一题]2.已知p ：x 2－8x －20＞0，q ：x 2－2x ＋1－a 2＞0，若p 是q 的充分条件，求正实数a 的取值范围.【解】 p ：x 2－8x －20＞0⇔x ＜－2或x ＞10，令A ＝{x |x ＜－2或x ＞10}， ∵a ＞0，∴q ：x ＜1－a 或x ＞1＋a ， 令B ＝{x |x ＜1－a 或x ＞1＋a }， 由题意p ⇒q 且pD ⇐/q ，知AB ，应有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1＋a ＜10，1－a ≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1＋a ≤10，解得0＜a ≤3，1－a ＞－2，∴a 的取值范围为(0,3].在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论，解含参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论.已知命题p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根；命题q ：4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根.若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求m 的取值范围.【精彩点拨】 本题主要考查根据命题真假求参数的取值范围，由p ∨q 一真全真，p ∧q 一假全假得命题的真假情况.【规范解答】 x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根⇔⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4＞0，－m ＜0⇔m ＞2.4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根⇔16(m －2)2－16＜0⇔m 2－4m ＋3＜0⇔1＜m ＜3. ∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 和q 一真一假，∴当p 真q 假时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2，m ≤1或m ≥3，解得m ≥3；当p 假q 真时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1＜m ＜3，解得1＜m ≤2.∴所求m 的取值范围为{m |1＜m ≤2，或m ≥3}.若命题“p ∨q ”“p ∧q ”中含有参数，在求解时，可以先等价转化命题p ，q ，直至求出这两个命题为真时参数的取值范围，再依据“p ∨q ”“p ∧q ”的真假情况分类讨论参数的取值范围.[再练一题]3.已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数.若“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题，求实数a 的取值范围.【解】 p 真：Δ＝a 2－4×4≥0，∴a ≤－4或a ≥4.q 真：－a4≤3，∴a ≥－12.由“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题，得p ，q 两命题一真一假. 当p 真q 假时，a ＜－12；当p 假q 真时，－4＜a ＜4. 综上，a 的取值范围为(－∞，－12)∪(－4,4).转化与化归思想就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法.对任意x ∈[－1,2]，有4x－2x ＋1＋2－a <0恒成立，求实数a 的取值范围.【精彩点拨】 通过换元，可转化为一元二次不等式的恒成立问题，通过分离参数，又可将恒成立问题转化为求最值的问题.【规范解答】 原不等式化为22x－2·2x＋2－a <0，①令t ＝2x ，因为x ∈[－1,2]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4，则不等式①化为t 2－2t ＋2－a <0，即a >t2－2t ＋2.所以原命题等价于∀t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4，a >t 2－2t ＋2恒成立.令y ＝t 2－2t ＋2＝(t －1)2＋1，因为当t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4时，y max ＝10，所以只需a >10即可. 故实数a 的取值范围是(10，＋∞).在本题的解答过程中，用到了两次化归思想，在第一次通过换元，化归为一元二次不等式恒成立时，要特别注意新元的取值范围.[再练一题]4.已知命题p ：“至少存在一个实数x 0∈[1,2]，使不等式x 2＋2ax ＋2－a >0成立”为真，试求参数a 的取值范围.【导学号：97792012】【解】 ﹁p ：∀x ∈[1,2]，x 2＋2ax ＋2－a ≤0，是假命题， 令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则⎩⎪⎨⎪⎧f ，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0.解得a ≤－3. 故命题p 中，a >－3.即参数a 的取值范围为(－3，＋∞).1.设x ＞0，y ∈R ，则“x ＞y ”是“x ＞|y |”的( ) A.充要条件 B.充分条件 C.必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 由x ＞y 推不出x >|y |，由x >|y |能推出x >y ，所以“x >y ”是“x >|y |”的必要条件.【答案】 C2.已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由已知，若直线a，b相交，则平面α，β一定存在公共点，故其一定相交；反之，若平面α与β相交，分别位于这两平面的直线ab未必相交.故为充分条件.【答案】 A3.设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( )A.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0B.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0D.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0【解析】根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”.故选D.【答案】 D4.命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是( )A.∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1B.∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1C.∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1D.∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1【解析】改变原命题中的三个地方即可得其否定，∃改为∀，x0改为x，否定结论，即ln x≠x－1，故选A.【答案】 A5.设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )A.p∨qB.p∧qC.(﹁p)∧(﹁q)D.p∨(﹁q)【解析】法一取a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p是假命题.a，b，c是非零向量，由a∥b知a＝x b，由b∥c知b＝y c，∴a＝xy c，∴a∥c，∴q是真命题.综上知p∨q是真命题，p∧q是假命题.又∵﹁p为真命题，﹁q为假命题，∴(﹁p)∧(﹁q)，p∨(﹁q)都是假命题.法二由于a，b，c都是非零向量，∵a·b＝0，∴a⊥b.∵b·c＝0，∴b⊥c.如图，则可能a∥c，∴a·c≠0，∴命题p是假命题，∴﹁p是真命题.命题q中，a∥b，则a与b 方向相同或相反；b∥c，则b与c方向相同或相反.故a与c方向相同或相反，∴a∥c，即q是真命题，则﹁q是假命题，故p∨q是真命题，p∧q，(﹁p)∧(﹁q)，p∨(﹁q)都是假命题.【答案】 A6.下列叙述中正确的是( )A.若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”B.若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”C.命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”D.l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β【解析】由于“若b2－4ac≤0，则ax2＋bx＋c≥0”是假命题，所以“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件不是“b2－4ac≤0”，A错；∵ab2＞cb2，且b2＞0，∴a＞c.而a＞c时，若b2＝0，则ab2＞cb2不成立，由此知“ab2＞cb2”是“a＞c”的充分不必要条件，B错；“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2＜0”，C错；由l⊥α，l⊥β，可得α∥β，理由是：垂直于同一条直线的两个平面平行，D正确.【答案】 D。
高中数学 第一章 常用逻辑用语章末高效整合课件 新人教A版选修11
• 特别提醒：充要条件的证明既要证明充分性，也要证明必要 性，二者缺一不可．
下列各题中，p 是 q 的什么条件？ (1)在△ABC 中，p：∠A≠30°，q：sin A≠12； (2)p：x＋y≠－2，q：x，y 不都是－1.
• 这是高考考查的重点，对全称命题和特称命题的考查主要以 考查它们的否定为主，多以客观题为主，全称命题的否定是 特称命题，特称命题的否定是全称命题．
• 特别提醒：对含有一个量词的命题进行否定时，既要改变量 词，也要否定结论．
•
已知命题p：∃x∈R，不等式x2＋2ax＋4≤0是假命题，
命题q：函数f(x)＝－(7－3a)x是减函数，若p∧q为假，p∨q
解析： 由题知：x0＝－2ba为函数 f(x)图象的对称轴方程， 所以 f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数 x，都有 f(x)≥f(x0)， 因此对任意 x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的，故选 C.
答案： C
• 4．给出命题：“已知a，b，c，d是实数，若a≠b且 c≠d，则a ＋c≠b＋d.”对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言， 其中的真命题有( )
• (1)“π是无理数”，及其逆命题；
• (2)“若一个整数的末位是0，则它可以被5整除”及其逆命题 和否命题；
• (3)“若实数a，b不都为0，则a2＋b2≠0”；
• (4)命题“任意x∈(0，＋∞)，有x<4且x2＋5x－24＝0”的否 定．
• [思维点击] 借助原命题与其逆否命题真假性相同这一结论 可以帮助判断有些难以判断的原命题的真假．同样，借助 “否命题与逆命题”的真假性相同只需判断其中一个较易确 定真假的命题，则可得到另一个命题的真假．要注意区别命 题的否定与否命题这两个不同的概念．
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条
1.2 充分条件与必要条件[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P9～P11的内容，回答下列问题．(1)判断教材P9上方的两个命题的真假，并思考：①当x>a2＋b2成立时，一定有x>2ab成立吗？提示：一定有x>2ab成立．②当ab＝0成立时，一定有a＝0成立吗？提示：不一定，也可能b＝0．(2)阅读教材P11“思考”的内容，并思考：①若p成立，一定有q成立吗？提示：一定有q成立．②若q成立，一定有p成立吗？提示：一定有p成立．2．归纳总结，核心必记(1)充分条件与必要条件(2)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．此时，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．[问题思考](1)x>3是x>5的充分条件吗？提示：不是．因为x>3x>5，但x>5⇒x>3，因此x>3是x>5的必要条件．(2)如果p是q的充分条件，则p是唯一的吗？提示：不唯一，如x>3，x>5，x>10等都是x>0的充分条件．(3)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充要条件，则A 与B 的关系怎样？ 提示：A ＝B ．[课前反思](1)充分条件的定义是： ；(2)必要条件的定义是： ；(3)充要条件的定义是： ．[思考] 充分条件、必要条件、充要条件与命题“若p ，则q ”、“若q ，则p ”的真假性有什么关系？名师指津：当命题“若p ，则q ”为真命题时，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；当命题“若q ，则p ”为真命题时，q 是p 的充分条件，p 是q 的必要条件；当上述两个命题都是真命题时，p 是q 的充要条件．讲一讲1．判断下列各题中p 是q 的什么条件． (1)在△ABC 中，p ：A >B ，q ：BC >AC; (2)p ：x >1，q ：x 2>1；(3)p ：(a －2)(a －3)＝0，q ：a ＝3； (4)p ：a <b ，q ：ab<1.[尝试解答] (1)由三角形中大角对大边可知，若A >B ，则BC >AC ；反之，若BC >AC ，则A >B .因此，p 是q 的充要条件．(2)由x >1可以推出x 2>1；由x 2>1，得x <－1，或x >1，不一定有x >1.因此，p 是q 的充分不必要条件．(3)由(a －2)(a －3)＝0可以推出a ＝2或a ＝3，不一定有a ＝3；由a ＝3可以得出(a －2)(a －3)＝0.因此，p 是q 的必要不充分条件．(4)由于a <b ，当b <0时，a b >1; 当b >0时，a b <1，故若a <b ，不一定有a b<1；当a >0，b >0，a b <1时，可以推出a <b ；当a <0，b <0，ab<1时，可以推出a >b .因此p 是q 的既不充分也不必要条件．充分、必要条件的判断方法判断p 是q 的什么条件，其实质是判断“若p ，则q ”及其逆命题“若q ，则p ”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p 是q 的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p 是q 的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p 是q 的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p 是q 的既不充分也不必要条件，同时要注意反证法的运用．练一练1．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件．(1)p ：四边形的对角线相等，q ：四边形是平行四边形； (2)p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，q ：(x －1)(y －2)＝0. 解：(1)∵四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，∴p 是q 的既不充分也不必要条件．(2)∵(x －1)2＋(y －2)2＝0⇒x ＝1且y ＝2⇒(x －1)·(y －2)＝0，而(x －1)(y －2)＝0(x －1)2＋(y －2)2＝0，∴p 是q 的充分不必要条件．[思考] 如何证明“p 是q 的充要条件”？名师指津：证明“p 是q 的充要条件”即证明命题“若p ，则q ”和“若q ，则p ”都是真命题．讲一讲2．证明：a ＋2b ＝0是直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0垂直的充要条件． [尝试解答] (1)(充分性)当b ＝0时，如果a ＋2b ＝0，那么a ＝0，此时直线ax ＋2y ＋3＝0平行于x 轴，直线x ＋by ＋2＝0平行于y 轴，它们互相垂直．当b ≠0时，直线ax ＋2y ＋3＝0的斜率k 1＝－a 2，直线x ＋by ＋2＝0的斜率k 2＝－1b，若a ＋2b ＝0，则k 1·k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ＝－1，两直线垂直．(2)(必要性)如果两条直线互相垂直且斜率都存在，则k 1·k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ＝－1，所以a ＋2b ＝0.若两直线中直线的斜率不存在，且互相垂直，则b ＝0，且a ＝0，所以a ＋2b ＝0.综上，“a ＋2b ＝0”是“直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直”的充要条件．一般地，证明“p 成立的充要条件为q ”时，在证充分性时应以q 为“已知条件”，p 是该步中要证明的“结论”，即q ⇒p ；证明必要性时则是以p 为“已知条件”，q 为该步中要证明的“结论”，即p ⇒q .练一练2．求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. 证明：(充分性)：因为a ＋b ＋c ＝0，所以c ＝－a －b ，代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0中得ax 2＋bx －a －b ＝0， 即(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0.所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1，(必要性)：因为方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1， 所以x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0. 所以有a ×12＋b ×1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0.故关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.已知p ：A ＝{x |p (x )成立}，q ：B ＝{x |q (x )成立}． [思考1] 若p 是q 的充分条件，则A 与B 有什么关系？ 名师指津：A ⊆B ．[思考2] 若p 是q 的充分不必要条件，则A 与B 有什么关系？ 名师指津：AB ．[思考3] 若p 是q 的充要条件，则A 与B 有什么关系？ 名师指津：A ＝B ．[思考4] 若p 是q 的既不充分也不必要条件，则A 与B 有什么关系？ 名师指津：B A ，且A B ．讲一讲3．已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．[尝试解答] p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的必要不充分条件， 所以q 是p 的充分不必要条件， 即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m >－2，1＋m ≤10，解得m ≤3.又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}．根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，可以先把p ，q 等价转化，利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．练一练3．若本讲中“p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解：p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的充分不必要条件，设p 代表的集合为A ，q 代表的集合为B ，所以AB .所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10. 解不等式组得m >9或m ≥9，所以m ≥9， 即实数m 的取值范围是{m |m ≥9}．4．本讲中p 、q 不变，是否存在实数m 使p 是q 的充要条件？ 解：因为p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．若p 是q 的充要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝1－m ，10＝1＋m ，方程组无解．故不存在实数m ，使得p 是q 的充要条件．—————————————[课堂归纳·感悟提升]————————————————1．本节课的重点是充分条件、必要条件、充要条件的判断，难点是充要条件的证明以及利用充分条件、必要条件求解参数的取值范围．2．本节课的易错点是分不清“充分条件”与“必要条件”造成解题失误，见讲1和讲3.3．本节课要重点掌握的规律方法(1)判断充分条件与必要条件的方法，见讲1. (2)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件其中p4．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解，见讲3.课时达标训练（三）[即时达标对点练]题组1 充分、必要条件的判断1．“数列{a n}为等比数列”是“a n＝3n(n∈N*)”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B 当a n＝3n时，{a n}一定为等比数列，但当{a n}为等比数列时，不一定有a n ＝3n，故应为必要不充分条件．2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A 由a＋b＝0可知a，b是相反向量，它们一定平行；但当a∥b时，不一定有a＋b＝0，故应为充分不必要条件．3．“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和2x－2ay＝1平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 当a ＝0时，两直线方程分别为x ＝1和2x ＝1，显然两直线平行；反之，若两直线平行，必有1×(－2a )＝(－2a )×2，解得a ＝0，故应为充要条件．4．“sin A ＝12”是“A ＝π6”的__________条件．解析：由sin A ＝12不一定能推得A ＝π6，例如A ＝5π6等；但由A ＝π6一定可推得sin A＝12，所以“sin A ＝12”是“A ＝π6”的必要不充分条件． 答案：必要不充分 题组2 充要条件的证明5．函数y ＝(2－a )x(a <2且a ≠1)是增函数的充要条件是 ( ) A ．1< a <2 B.32< a <2C ．a <1D ．a <0解析：选C 由指数函数性质得，当y ＝(2－a )x(a <2且a ≠1)是增函数时，2－a >1，解得a <1.故选C.6．求证：一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数的充要条件是b ＝0. 证明：①充分性：如果b ＝0，那么f (x )＝kx ， 因为f (－x )＝k (－x )＝－kx ， 即f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．②必要性：因为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )对任意x 均成立， 即k (－x )＋b ＝－kx ＋b ， 所以b ＝0.综上，一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数的充要条件是b ＝0. 题组3 利用充分、必要条件求参数的范围7．一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )A ．a <0B ．a >0C ．a <－1D ．a <1解析：选C ∵一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一正根和一负根．由于{a|a<－1}{a|a<0}，故选C .8．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与直线mx ＋2y ＝－8互相垂直的充要条件是m ＝________．解析：x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与mx ＋2y ＝－8互相垂直⇔1·m ＋(m ＋1)·2＝0⇔m ＝－23.答案：－239．已知M ＝{x |(x －a )2<1}，N ＝{x | x 2－5 x －24<0}，若N 是M 的必要条件，求a 的取值范围．解：由(x －a )2<1，得a －1<x <a ＋1， 由x 2－5 x －24<0，得－3<x <8. ∵N 是M 的必要条件， ∴M ⊆N .故a 的取值范围为[－2，7]．[能力提升综合练]1．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C ．丙是甲的充要条件D ．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 解析：选A 因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙丙， 如图．综上，有丙⇒甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．2．设0<x <π2，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1 ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 因为0< x <π2，所以0<sin x <1.由x ·sin x <1知x sin 2x <sin x <1，因此必要性成立．由x sin 2x <1得x sin x <，而>1，因此充分性不成立．3．平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a 、b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a 、b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α解析：选D 当满足A 、B 、C 三个选项中的任意一个选项的条件时，都有可能推出平面α与β相交，而得不出α∥β，它们均不能成为α∥β的充分条件．只有D 符合．4．设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C { a n }为等比数列，a n ＝a 1·qn －1，由a 1<a 2<a 3，得a 1<a 1 q <a 1 q 2，即a 1>0，q >1或a 1<0，0< q <1，则数列{ a n }为递增数列．反之也成立．5．不等式(a ＋x )(1＋x )<0成立的一个充分不必要条件是－2< x <－1，则a 的取值范围是________．解析：根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1){ x |( a ＋x )(1＋x )<0}，故有a >2.答案：(2，＋∞) 6．下列命题：①“x >2且y >3”是“x ＋y >5”的充要条件；②b 2－4ac <0是一元二次不等式a x 2＋b x ＋c <0解集为R 的充要条件； ③“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的充分不必要条件； ④“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0 ”的必要不充分条件． 其中真命题的序号为________．解析：①x >2且y >3时，x ＋y >5成立，反之不一定，如x ＝0，y ＝6.所以“x >2且y >3”是“x ＋y >5”的充分不必要条件；②不等式解集为R 的充要条件是a <0且b 2－4ac <0，故②为假命题；③当a ＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则a 1＝21，∴a ＝2.因此，“a ＝2”是“两直线平行”的充要条件；④lg x ＋lg y ＝lg(xy )＝0， ∴xy ＝1且x >0，y >0.所以“lg x ＋lg y ＝0”成立，xy ＝1必然成立，反之不然． 因此“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0”的必要不充分条件． 综上可知，真命题是④. 答案：④7．已知方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件． 解：令f (x )＝x 2＋(2k －1)x ＋k 2，则方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0有两个大于1的实数根⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2k －1）2－4k 2≥0，－2k －12>1，f （1）>0⇔k <－2.因此k <－2是使方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0有两个大于1的实数根的充要条件． 8．已知条件p ：|x －1|>a 和条件q ：2x 2－3x ＋1>0，求使p 是q 的充分不必要条件的最小正整数a .解：依题意a >0.由条件p ：|x －1|>a ， 得x －1<－a 或x －1>a ， ∴x <1－a 或x >1＋a .由条件q ：2x 2－3x ＋1>0，得x <12或x >1.要使p 是q 的充分不必要条件，即“若p ，则q ”为真命题，逆命题为假命题，应有⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤12，1＋a >1或⎩⎪⎨⎪⎧1－a <12，1＋a ≥1，解得a ≥12.令a ＝1，则p ：x <0或x >2，此时必有x <12或x >1.即p ⇒q ，反之不成立． ∴最小正整数a ＝1.。
高中数学第一章常用逻辑用语1.1.1命题学案(含解析)新人教A版选修1-1(2021学年)
2017-２0１８学年高中数学第一章常用逻辑用语1.1．1 命题学案（含解析）新人教A版选修１-１编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(20１7-2018学年高中数学第一章常用逻辑用语 1.1.1 命题学案(含解析）新人教Ａ版选修1－1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1．1。
1 命题［提出问题]观察下列语句：(1）三角形的三个内角的和等于360°。
（2）今年校运动会我们班还能得第一吗?(3)这是一棵大树呀!(４)实数的平方是正数．(5)能被4整除的数一定能被2整除．问题1:上述语句哪几个语句能判断真假?提示：（1)（4）（5）.问题2:你能判断它们的真假吗?提示：能,（５)真,(1)（4)为假．[导入新知]命题错误![化解疑难]1.判断一个语句是命题的两个要素:(1）是陈述句,表达形式可以是符号、表达式或语言;(２)可以判断真假.2.命题的条件与结论之间的关系属于因果关系,真命题可以给出证明,假命题只需举出一个反例即可.命题的判断[例1](1）π3是有理数；（2)3x２≤5；（3)梯形是不是平面图形呢？（４)x２-x＋７＞0。
［解］（1)“错误!是有理数”是陈述句，并且它是假的,所以它是命题．(2)因为无法判断“3ｘ2≤5"的真假，所以它不是命题.(３)“梯形是不是平面图形呢?”是疑问句,所以它不是命题.(4)因为x2-x+7＝错误!2＋错误!＞０，所以“x2-x+7>０”是真的，故是命题．［类题通法］判断语句是不是命题的策略判断一个语句是不是命题,关键是看语句的格式,也就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假"这两个条件,如果满足这两个条件，该语句就是命题，否则就不是．[活学活用]判断下列语句是否为命题,并说明理由.(1）若平面四边形的边都相等,则它是菱形;(2)任何集合都是它自己的子集；(３)对顶角相等吗？（4）x>3.解：（1)是陈述句，能判断真假，是命题．（2）是陈述句,能判断真假,是命题．(3)不是陈述句,不是命题.（4)是陈述句,但不能判断真假，不是命题.判断命题的真假[例2］（1)正方形既是矩形又是菱形；(2)当x=４时,2x+1＜0;(３)若x＝3或x＝7,则(x－3）(ｘ－7）＝0；(４)一个等比数列的公比大于1时,该数列一定为递增数列.[解] （1)是真命题,由正方形的定义知,正方形既是矩形又是菱形.(2)是假命题,ｘ=4不满足2x＋１＜0。
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第一章常用逻辑用语第一步本章总览心中有数第二步分块自学提出疑点§1.1 命题及其关系班级：组别：姓名：组评：师评：【自学目标】通过自学本节内容，理解命题的概念、形式，会判断命题的真假，能根据原命题写出其他三种形式的命题，掌握四种命题间的相互关系。
【自学内容提炼】一、基本知识1. 命题的概念：一般地，在数学中我们把用 表达的， 叫做命题。
其中判断为真的语句叫做 ，判断为假的语句叫做 。
2. 命题的构成形式：数学中，通常把命题表示成“ ”的形式，其中，p 叫做命题的 ，q 叫做命题的 。
3. 四种命题的形式与表示：用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用﹁p 和﹁q 分别表示p 、q 的否定，四种命题的形式可以表示为：4. 四种命题的关系与真假原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互二．典型例题归纳：（通过自己看书，归纳书上的典型题型，并回答书上的几个探究问题） 例1. 判断下列语句是否为命题？是真命题还是假命题？ （1）若平面四边形的边都相等，则它是菱形。
（2）6＜3 （3）他长的很高。
（4）你是一个好人吗？例2.将下列命题改写成“若p 则q”的形式，再写出其逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假。
（1）偶数能被2整除 （2）对角线相等的四边形是正方形三、提出疑点与解决：【达标训练】1. 课内完成：P4练习，P6练习，P8练习2. 课外完成：P8习题A 组§1.2.1 充分条件与必要条件班级： 组别： 姓名： 组评： 师评：〖自学目标〗：针对具体命题,能说出命题的充分条件、必要条件 〖本节重难点〗：对命题条件的充分性与必要性的判断 〖自学内容提炼〗： 一．知识链接：１.请判断下列命题的真假：（1）若x y =,则22x y =; （2）若22x y =,则x y =; （3）若1x >,则21x >; （4）若21x >,则1x > 2．四种命题之间的关系图：二．自主学习书上基本知识：（一）阅读书上第9页至10页内容，把下列命题改写成“p q ⇒”或“p q ⇒/”的形式： ⑴若a b >，则ac bc >；⑵若a b >，则a c b c +>+；（二）．典型例题（通过自己看书，归纳书上的典型题型） （1）看书上第9页至第10页的例题，小组讨论并展示将书上的例题都分析写成“p q ⇒”或“p q ⇒/”的形式，再判断（2）看书10页练习，先独立思考再小组讨论三．本节课拓展：从集合的角度理解充分及必要条件：小充分大必要 说出下列各题中p 是q 的什么条件：（1）命题p ：{}21,A =，命题q ：{}531,,B = （2）命题p ：{}012>-=x |x A ,命题q :{}052>--=x x |x B四．本节课小结，提出疑点与解决：【达标训练】课外作业：书上第12页的A 组1、2、3，B 组1§1.2.2 充要条件班级： 组别： 姓名： 组评： 师评：〖自学目标〗：能判断写出简单命题条件的证明，能判断命题条件的充分性及必要性充要性． 〖本节重难点〗：对命题条件的充分性与必要性及充要性的判断 〖自学内容提炼〗： 一、知识连接：⑴“a b c >>”是“()()()0a b b c c a ---<”的 条件．反过来“()()()0a b b c c a ---<”是“a b c >>”的 条件。
⑵若b ,a 都是实数，从①0ab >；②0a b +>；③0ab =；④0a b +=；⑤220a b +>；⑥220a b +=中选出使b ,a 都不为0的充分条件是 ．二．自主学习书上基本知识： （一）（阅读教材P11）根据定义，何为p 是q 的充分条件？_______________何为p是q的必要条件？_______________何为p是q的充要条件？________________有没有既不充分也不必要的条件？从集合的角度怎样理解这几个条件？你能举例说明吗？（二）典型例题（通过自己看书，归纳书上的典型题型）看书上11页例题3，4，理解并组内讨论及展示三．本节课小结，提出疑点与解决：四．达标训练：1．课内完成：书12页练习1、22．课外作业：书12页A组4，B组2§1.3 简单的逻辑联结词班级：组别：姓名：组评：师评：【自学目标】通过自学本节内容，理解三个逻辑联结词的含义；掌握,,∧∨⌝的真假性p q p q p的判断；正确理解p⌝的意义。
【自学内容提炼】一、基本知识1. 探究任务一：“且“的意义：（看书P14，完成下列填空）一般地,用逻辑联结词“且”把命题p命题q联结起来就得到一个新命题，记作“”，读作“”.规定：举例说明你对“且”的理解：2．探究任务二：“或“的意义：看书P15下半部分，完成下列填空一般地,用逻辑联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来就得到一个新命题，记作“ ”，读作“ ”. 规定：举例说明你对“或”的理解：3．探究任务三：“非“的意义一般地,对一个命题的全盘否定就得到一个新命题，记作“ ”，读作“ ”或“ ”. 规定：二．典型例题归纳：（通过自己看书，归纳书上的典型题型，并回答书上的几个探究问题） 看例1. 例2，举用“且”联结的命题看例3. 举用“或”联结的命题三、提出疑点与解决：如果p q ∧为真命题，那么p q ∨一定是真命题吗？反之，p q ∨为真命题，那么p q ∧一定是真命题吗？【达标训练】1. 课内完成：P17练习，2. 课外完成：P18习题1.3思考：“且”“或”“非”与“交”“并”“补”的联系§1.4 全称量词与存在量词班级：组别：姓名：组评：师评：【自学目标】自学本节内容，理解全称量词与存在量词，并会对全称命题和特称命题进行否定。
【自学内容提炼】一、基本知识1. 常见的全称量词有等，含有的命题，叫做全称命题；常见的存在量词有等，含有存在量词的命题，叫做。
2. 含有一个量词的命题的否定：全称命题p：，它的否定﹁p：特称命题p：，它的否定﹁p：二．典型例题归纳：（通过自己看书，归纳书上的典型题型，并回答书上的几个探究问题）例1、例2 判断含有一个量词的命题的真假例3、例4 对含有一个量词的命题的否定三、提出疑点与解决：【达标训练】1. 课内完成：P23练习、P26练习2. 课外完成：P26习题1.4 A、B组第三步师生合作释疑提高【课程标准】（1）命题及其关系①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题。
②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系。
（2）简单的逻辑联结词通过数学实例，了解"或"、"且"、"非"的含义。
（3）全称量词与存在量词①通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义。
②能正确地对含有一个量词的命题进行否定。
§1.1 命题及其关系班级：组别：姓名：组评：师评：【疑点荟萃】【合作释疑】【巩固提升】例1. 判断下列语句是不是命题？是真命题还是假命题？（1）对顶角相等吗？（2）若四边形的对角线相等，则它是矩形。
（3）3030是一个很大的数。
例2. （1）已知a，b，c∈R，命题“若3++=，则2223a b c++≥”的否命题是（）a b c（A）若3++≠，则2223a b c++<a b c（B）若3++=，则2223a b c++<a b c（C）若3++≠，则2223a b c++≥a b c（D ）若2223a b c ++≥，则3a b c ++=（2）命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．是（ ） （A ）所有不能被2整除的数都是偶数 （B ）所有能被2整除的数都不是偶数 （C ）存在一个不能被2整除的数是偶数 （D ）存在一个能被2整除的数不是偶数例3. 判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，同时判断这些命题的真假。
（1）若a b >，则22ac bc >. 逆命题： 否命题： 逆否命题：（2）若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形。
逆命题： 否命题： 逆否命题：（3）在二次函数2y ax bx c =++中，若240b ac -<，则该二次函数图象与x 轴有公共点。
逆命题： 否命题： 逆否命题：（4）在ABC ∆中，若a b >，则A B >. 逆命题： 否命题： 逆否命题：例4. 已知命题P ：2lg(22)0x x --≥；命题Q ：2114x x -+<. 若命题P 是真命题，命题Q 是假命题，求实数x 的取值范围.[变式练习]本题中命题P 、Q 不变，若命题P 、Q 中至少有一个是假命题，求实数x 的取值范围.例5. 已知向量12,e e 不共线，若120xe ye +=，求证：0x y ==【提升训练】见练习§1.2 充要条件班级： 组别： 姓名： 组评： 师评：〖学习目标〗：通过本节课的学习，进一步清楚命题条件的充分性及必要性判断，并且要注意利用命题的等价性转换命题判定，培养思维的灵活性〖本节重难点〗：充要条件涉及到知识全面性要求高及转换命题的理解有难度 一、知识回顾： 高考题链接：（湖北卷）若非空集合,,A B C 满足AB C =，且B 不是A 的子集，则（ ）A. “x C ∈”是“x A ∈”的充分条件但不是必要条件B. “x C ∈”是“x A ∈”的必要条件但不是充分条件C. “x C ∈”是“x A ∈”的充要条件D. “x C ∈”既不是“x A ∈”的充分条件也不是“x A ∈”必要条件 （湖南卷2）“12x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的( )A ．充分不必要条件 B.充分必要条件C ．必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件二．例题讲解§1.3 简单的逻辑联结词班级：组别：姓名：组评：师评：【疑点荟萃】【合作释疑】【巩固提升】 一、知识梳理：1．“非p”形式的复合命题真假：当p 为真时，非p 为假； 当p 为假时，非p 为真． 2．“p 且q”形式的复合命题真假：一假必假3．“p 或q”形式的复合命题真假：一真必真4．非p 与否命题有什么区别？“且”“或”“非”与“交”“并”“补”的联系 二、典例选讲例1、命题“非空集合A∩B 中的元素既是A 中的元素也是B 中元素”是________形式．命题“非空集合A∪B 中的元素是A 的元素或是B 的元素”是________形式．例2、分别指出下列各命题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命题的真假．(1)8或6是30的约数； (2)矩形的对角线垂直平分； (3)方程x 2－2x ＋3＝0没有实数根．例3、已知，p ：方程012=++mx x 有两个不等的负实数根；q ：方程01)2(442=+-+x m x无实数根，若“q p ∨”为真命题，且“q p ∧”为假命题，求实数m 的范围。