苏教版高中数学必修五等差数列教案(2)(1)

第 6 课时：§2.2 等差数列（4）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式
2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前n 项和的公式研究n S 的最值；
3.掌握等差数列前n 项和中奇数项和与偶数项和的性质。

4.使学生会运用等差数列前n 项和的公式解决有关问题，从而提高学生分析问题、解决问题的能力 二、过程与方法
经历公式应用的过程； 三、情感、态度与价值观
通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。

【教学重点与难点】：
重点：等差数列n 项和公式的应用 难点：灵活应用求和公式解决问题 【学法与教学用具】：
1. 学法：
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题，研探新知
1.等差数列的定义：（1）等差数列的通项公式；（2）等差数列的求和公式。

2.等差数列的性质：
已知数列{n a }是等差数列，则
（1）对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n m
a a d n m
-=
-()m n ≠；
（2）若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+
（3）等差数列前n 项和公式：1()2n n n a a S +=或1(1)
2
n n n S na d -=+⨯ 注意：①等差数列前n 项和公式又可化成式子：n d
a n d S n )2
(212-+=，当0≠d ，此式可看作二次
项系数为2
d
，一次项系数为21d a -，常数项为零的二次式；②当0>d 时，n S 有最小值；当0<d 时，n
S 有最大值；③图象：抛物线x d
a x d y )2
(212-+=上的一群独立点。

（4）利用n a 与n S 的关系：1
1(1)(2)
n n n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩
二、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 在等差数列{}n a 中，10100S =，10010S =，求110S ？
解法一：设该等差数列首项1a ，公差d ，则111
10910910100102
1009911001025a a d a d d ⨯⎧⎧
=+=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⨯⎪⎪+==-⎪⎪⎩⎩
，所以，
1101110109
1101102
S a d ⨯=+
=-． 解法二：在等差数列中，10S , 20S －10S , 30S －20S , ……, 100S －90S , 110S －100S , 成等差数列， ∴ 新数列的前10项和＝原数列的前100项和，1010S ＋2
9
10⨯·D ＝100S ＝10, 解得D ＝－22 ∴ 110S －100S ＝10S ＋10×D ＝－120, ∴ 110S ＝－110.
拓展练习1：在等差数列中，p S q =，q S p =，则()p q S p q +=-+．
拓展练习2：已知数列{},n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，若n S m =，m S n =，求n m S + 拓展练习3：已知等差数列前n 项和为a ，前2n 项和为b ，求前3n 项的和。

（介绍依次k 项成等差） 例2 已知等差数列{}n a 的项数为奇数，且奇数的和为44，偶数项的和为33，求此数列的中间项及项数。

解：设项数为21k +，奇数项和记为S 奇，偶数项和记为S 偶，由题意，
S 奇1211321()
(1)442k k a a a a a k +++=+++=
⨯+=L ① S 偶22242()
332
k k a a a a a k +=+++=⨯=L ②
①÷②得，144
33
k k +=
，解得3k =，∴ 项数为7项，又S 奇11144k a +=⋅= ，∴ 111k a +=，即中间项为11．
说明：设数列{}n a 是等差数列，且公差为d ，
（1）若项数为偶数，设共有2n 项，则①S 奇-S 偶nd =；②
1
n n S a
S a +=奇偶； （2）若项数为奇数，设共有21n -项，则①S 奇-S 偶n a a ==中；②
1
S n
S n =
-奇偶． 例3 在等差数列中，1023a =，2522a =-，（1）该数列第几项开始为负？（2）前多少项和最大？
（3）求{}
n a 前n 项和？
解：设等差数列{}n a 中，公差为d ，由题意得：25101154523(101)(3)
a a d a -==-⎧⎨
=+-⨯-⎩1
50
3a d =⎧⇒⎨=-⎩ （1）设第n 项开始为负，503(1)5330n a n n =--=-<，53
3
n >
， 所以从第18项开始为负。

（2）（法一）设前n 项和为n S ，则222
(1)31033103310350(3)()()2222626
n n n S n n n n -=+-=-+=--+⨯，
所以，当17n =时，前17项和最大。

（法二）100
n n a a +≥⎧⎨≤⎩，则53305030n n -≥⎧⎨-≤⎩，5053
33n ≤≤，所以17n =．
（3）533,017533353,17
n n n a n n n -<≤⎧=-=⎨
->⎩，
∴'
12312171819()n n n S a a a a a a a a a a =++++=+++-+++L L L ， 当17n ≤时，'
2310322n S n n =-
+， 当17n >时，'221731033103
()28842222
n S n n S n n =--++=-+，
所以，2'
2217
3103(17)2231033103()2884(17)
2222
n n n n S n n S n n n ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪--++=-+>⎪⎩．
说明：（1）10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值； （2）n S 最值的求法：①若已知n S ，可用二次函数最值的求法（n N +∈）；
②若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）可如下确定100n n a a +≥⎧⎨
≤⎩或10
n n a a +≤⎧⎨≥⎩．
例4 已知数列{}n a 的前n 项和为（1）n S n n -=2
2；（2）n S 12
++=n n ，求数列{}n a 的通项公式。

例5（教材42P 例5）某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40mm ，满盘时直径120mm ，已知卫生纸的厚度为0.1mm ，问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米（精确到0.1m ）?
解：卫生纸的厚度为0.1mm ，可以把绕在盘上的卫生纸近似地看作是一组同心圆，然后分别计算各圆的周长，再求总和。

由内向外各圈的半径分别为 20.05,20.15,,59.95L 因此各圈的周长分别为 40.1,40.3,,119.9πππL
∵各圈半径组成首项为20.05，公差为0.1的等差数列，设圈数为n ，则
59.9520.05(1)0.1n =+-⨯， ∴400n =
∴各圈的周长组成一个首项为40.1π，公差为0.2π，项数为40的等差数列， 400(4001)
40040.10.232000()2
n S mm πππ⨯-=⨯+
⨯= 32000()100()mm m π≈
答：满盘时卫生纸的总长度约是100米．说明：各圈的半径为该层纸的中心线至盘芯中心的距离。

例6 （教材42P 例6）教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款，它享受整存整取利率，利息免税．教育储蓄的对象是在校小学四年级（含四年级）以上的学生．假设零存整取3年期教育储蓄的月利率为2.1‰． （1）欲在3年后一次支取本息合计2万元，每月大约存入多少元？
（2）零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少？（精确到1元）？
说明：教育储蓄可选择1年、3年、6年这三种存期，起存金额50元，存款总额不超过2万元。

解：（1）设每月存入A 元，则有(1 2.1A +‰）(12 2.1A ++⨯‰）(136 2.1A +++⨯L ‰）20000.= 由等差数列的求和公式，得：(3636 2.1A +⨯‰3635
2.12
⨯+
⨯‰）20000.= 解得：535A ≈（元） （2）由于教育储蓄的存款总额不超过2万元，∴3年期教育储蓄每月至多可存入20000
55536
≈（元）
，这样3年后的本息和为 555(1 2.1+‰）555(12 2.1++⨯‰）555(136 2.1+++⨯L ‰）
555=(3636 2.1+⨯‰3635
2.12
⨯+
⨯‰）20756≈（元）。

答：欲在3年后一次支取本息合计2万元，每月大约存入535元。

3年期教育储蓄每月至多存入555元，此时3年后本息合计约20756元。

四、巩固深化，反馈矫正
1.教材44P 习题
2.一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差.（注意讨论偶
奇S S 的一般结论）
五、归纳整理，整体认识
让学生总结本节课的内容
六、承上启下，留下悬念
补充：1．数列{}n a 是首项为23，公差为整数的AP 数列，且60a >，70a <，
（1）求公差d ；（2）设前n 项和为n S ，求n S 的最大值；（3）当n S 为正数时，求n 的最大值。

七、板书设计（略） 八、课后记：。