高考数学大二轮专题复习 第二编 专题整合突破 专题五 立体几何 第一讲 空间几何体的三视图、表面积与体积适

专题五立体几何第一讲空间几何体的三视图、表面积与体积适考素能特训理一、选择题1．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )答案D解析由题目所给的几何体的正视图和俯视图，可知该几何体为半圆锥和三棱锥的组合体，如图所示，可知侧视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，故选D.2．[2016·重庆测试]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A .23B .43C .53D .73答案 B 解析 依题意，题中的几何体是由一个直三棱柱与一个三棱锥所组成的，其中该直三棱柱的底面是一个直角三角形(腰长分别为1、2)、高为1；该三棱锥的底面是一个直角三角形(腰长分别为1、2)、高为1，因此该几何体的体积为12×2×1×1＋13×12×2×1×1＝43，选B .3．[2016·唐山统考]三棱锥P －ABC 中，PA⊥平面ABC 且PA ＝2，△ABC 是边长为3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为( )A .4π3B ．4πC ．8πD ．20π答案 C解析 由题意得，此三棱锥外接球即为以△ABC 为底面、以PA 为高的正三棱柱的外接球，因为△ABC 的外接圆半径r ＝32×3×23＝1，外接球球心到△ABC 的外接圆圆心的距离d ＝1，所以外接球的半径R ＝r 2＋d 2＝2，所以三棱锥外接球的表面积S ＝4πR 2＝8π，故选C .4．[2016·武昌调研]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．18＋2πB ．20＋πC ．20＋π2D ．16＋π答案 B解析 由三视图可知，这个几何体是一个边长为2的正方体割去了相对边对应的两个半径为1、高为1的14圆柱体，其表面积相当于正方体五个面的面积与两个14圆柱的侧面积的和，即该几何体的表面积S ＝4×5＋2×2π×1×1×14＝20＋π，故选B .5．[2016·陕西质检]某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为( )A .43B .52C .73D ．3答案 A 解析 根据几何体的三视图，得该几何体是下部为直三棱柱，上部为三棱锥的组合体，如图所示．则该几何体的体积是V 几何体＝V三棱柱＋V三棱锥＝12×2×1×1＋13×12×2×1×1＝43.故应选A .6．已知边长为1的等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C －AB －D 的余弦值为33，若A 、B 、C 、D 、E 在同一球面上，则此球的体积为( ) A ．2π B .823π C .2πD .23π 答案 D解析 如图，取AB 的中点为M ，连接CM ，取DE 的中点为N ，连接MN ，CN ，可知∠CMN 即为二面角C －AB －D 的平面角，利用余弦定理可求CN ＝32＝CM ，所以该几何体为正四棱锥，半径R ＝22，V ＝43πR 3＝2π3，故选D .二、填空题7．[2016·广西南宁检测]设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1、S 2，体积分别为V 1、V 2.若它们的侧面积相等且V 1V 2＝32，则S 1S 2的值是________．答案 94解析 设甲、乙两个圆柱的底面半径分别为r 1，r 2，高分别为h 1，h 2，则有2πr 1h 1＝2πr 2h 2，即r 1h 1＝r 2h 2，又V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2，∴V 1V 2＝r 1r 2，∴r 1r 2＝32，则S 1S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r 1r 22＝94.8．[2016·山西太原一模]已知在直角梯形ABCD 中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，将直角梯形ABCD 沿AC 折叠成三棱锥D －ABC ，当三棱锥D －ABC 的体积取最大值时，其外接球的体积为________．答案 43π解析 当平面DAC⊥平面ABC 时，三棱锥D －ABC 的体积取最大值．此时易知BC⊥平面DAC ，∴BC⊥AD，又AD⊥DC，∴AD⊥平面BCD ，∴AD⊥BD，取AB 的中点O ，易得OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝1，故O 为所求外接球的球心，故半径r ＝1，体积V ＝43πr 3＝43π.9．[2016·云南玉溪一模]表面积为60π的球面上有四点S 、A 、B 、C ，且△ABC 是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为3，若平面SAB⊥平面ABC ，则三棱锥S －ABC 体积的最大值为________．答案 27解析 设球O 的半径为R ，则有4πR 2＝60π，解得R ＝15.由于平面SAB⊥平面ABC ，所以点S 在平面ABC 上的射影D 在AB 上，如图，当球心O 在三棱锥S －ABC 中，且D 为AB 的中点时，SD 最大，三棱锥S －ABC 的体积最大．设O′为等边三角形ABC 的中心，则OO′⊥平面ABC ，即有OO′∥SD.由于OC ＝15，OO′＝3，则CO′＝CO 2－OO′2＝23，则DO′＝3，则△ABC 是边长为6的等边三角形，则△ABC 的面积为12×6×33＝9 3.在直角梯形SDO′O 中，作OM⊥SD 于M ，则OM ＝DO′＝3，DM ＝OO′＝3，∴SD＝DM ＋MS ＝3＋152－32＝33，所以三棱锥S －ABC 体积的最大值为13×93×33＝27.三、解答题10．[2016·达州一模]已知几何体A －BCED 的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，已知几何体A －BCED 的体积为16.(1)求实数a 的值；(2)将直角三角形△ABD 绕斜边AD 旋转一周，求该旋转体的表面积．解 (1)由该几何体的三视图知AC⊥平面BCED ，且EC ＝BC ＝AC ＝4，BD ＝a ，体积V ＝13×4×＋2＝16，所以a ＝2.(2)在Rt △ABD 中，AB ＝42，BD ＝2，所以AD ＝6， 过点B 作AD 的垂线BH ，垂足为点H ，易得BH ＝423，该旋转体由两个同底的圆锥构成，圆锥底面半径为BH ＝423.所以圆锥底面周长为c ＝2π·423＝82π3，两个圆锥的母线长分别为42和2，故该旋转体的表面积为S ＝12×82π3(2＋42)＝32π＋82π3.11．[2016·河北五校联盟质检] 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，PA ＝PD ＝2，BC ＝12AD ＝1，CD＝3，M 是棱PC 的中点．(1)求证：PA∥平面MQB ； (2)求三棱锥P －DQM 的体积．解 (1)证明：连接AC ，交BQ 于点N ，连接MN ，CQ ，∵BC∥AD 且BC ＝12AD ，即BC∥AQ，BC ＝AQ ，∴四边形BCQA 为平行四边形，且N 为AC 的中点，又点M 是棱PC 的中点，∴MN∥PA，又∵PA ⊄平面MQB ，MN ⊂平面MQB ，则PA∥平面MQB. (2)连接DM ，则V P －DQM ＝V M －PDQ ， ∵平面PAD⊥底面ABCD ，CD⊥AD， ∴CD⊥平面PAD ，∴点M 到平面PAD 的距离为12CD ，∴V P －DQM ＝V M －PDQ ＝13S △PDQ ·12CD ＝13·12·QD·PQ·12CD ＝14.12．[2016·鹰潭二模]如图1所示，直角梯形ABCD ，∠ADC＝90°，AB∥CD，AD ＝CD ＝12AB ＝2，点E 为AC 的中点，将△ACD 沿AC 折起，使折起后的平面ACD 与平面ABC 垂直(如图2)，在图2所示的几何体D －ABC 中．(1)求证：BC⊥平面ACD ；(2)点F 在棱CD 上，且满足AD∥平面BEF ，求几何体F －BCE 的体积． 解 (1)证明：在图1中，由题意知，AC ＝BC ＝22， 所以AC 2＋BC 2＝AB 2，所以AC⊥BC因为E 为AC 的中点，连接DE ，则DE⊥AC， 又平面ADC⊥平面ABC ，且平面ADC∩平面ABC ＝AC ，DE ⊂平面ACD ，从而ED⊥平面ABC ， 所以ED⊥BC又AC⊥BC，AC∩ED＝E ， 所以BC⊥平面ACD.(2)取DC 的中点F ，连接EF ，BF ， 因为E 是AC 的中点，所以EF∥AD，又EF ⊂平面BEF ，AD ⊄平面BEF ，所以AD∥平面BEF ， 由(1)知，DE 为三棱锥B －ACD 的高，因为三棱锥F －BCE 的高h ＝12DE ＝12×2＝22，S △BCE ＝12S △ABC ＝12×12×22×22＝2，所以三棱锥F －BCE 的体积为：V F －BCE ＝13S △BCE ·h＝13×2×22＝23.。