高一数学必修1和2寒假作业含答案解析

高一年级寒假课程学习效果验收考试
数学试卷
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级和学号填写在相应位置上．
3．本次考试时间120分钟，满分150分．
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．满足A ∪{－1,1}＝{－1,0,1}的集合A 共有( )
A ．2个
B ．4个
C ．8个
D ．16个
2．下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )
A ．f (x )＝1x 2
B ．f (x )＝x 2＋1
C ．f (x )＝x 3
D ．f (x )＝2－
x 3．如果直线ax ＋3y ＋1＝0与直线2x ＋2y －3＝0互相垂直，那么a 的值等于( )
A ．3
B ．－13
C ．－3 D.13
4．已知正方形的周长为x ，它的外接圆的半径为y ，则y 关于x 的解析式为( )
A ．y ＝12
x B ．y ＝24x C ．y ＝28x D ．y ＝216
x 5．方程x －1＝lg x 必有一个根的区间是( )
A ．(0.1,0.2)
B ．(0.2,0.3)
C ．(0.3,0.4)
D ．(0.4,0.5) 6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2， (x >0)，2，(x ＝0)，
0，(x <0)，
则f {f [f (－2)]}的值为( ) A ．0 B ．2
C ．4
D ．8
7．某单位职工工资经过六年翻了三番，则每年比上一年平均增长的百分率是( )
(下列数据仅供参考：2＝1.41，3＝1.73，33＝1.44，66＝1.38)
A ．38%
B ．41%
C ．44%
D ．73% 8．比较1.5
13.1、23.1、213.1的大小关系是( ) A ．23.1＜213.1＜1.513.1 B ．1.513.1＜23.1＜213.1
C ．1.513.1＜213.1
＜23.1 D ．213.1＜1.513.1＜23.1 9．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积是球的表面积的( ) A.316
B.916
C.38
D.58
10．已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )
A ．x ＋y －2＝0
B ．x －y ＋2＝0
C ．x ＋y －3＝0
D ．x －y ＋3＝0
11．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( ) A.6π
B ．43π
C ．46π
D ．63π
12．如图所示，将等腰直角△ABC 沿斜边BC 上的高AD 折成一个二面角，此时∠B ′AC ＝60°，那么这个二面角大小是( )
A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示一个圆，则m 的范围是________．
14．下列四个命题：①若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α；②若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b ；③若a ∥α，则a 平行于α内所有的直线；④若a ∥α，a ∥b ，b ⊄α，则b ∥α.
其中正确命题的序号是________．
15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
log 2x ，x ＞0，2x ，x ≤0.若f (a )＝12，则a ＝______. 16．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知集合A ＝{x ||x －a |<4}，B ＝{x |x 2－4x －5＞0}．
(1)若a ＝1，求A ∩B ；
(2)若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围．
18．(12分)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．
(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程．
(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．
19．(12分)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.
(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程；
(2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使得|PM |取得最小值的点P 的坐标．
20．(12分)已知f (x )为定义在[－1,1]上的奇函数，当x ∈[－1，0]时，函数解析式f (x )＝14x －a 2x (a ∈R )． (1)写出f (x )在[0,1]上的解析式；
(2)求f (x )在[0,1]上的最大值．
21．(12分)如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，∠A 1AC ＝60°，A 1A
＝AC ＝BC ＝1，A 1B ＝ 2.
(1)求证：平面A 1BC ⊥平面ACC 1A 1；
(2)如果D 为AB 中点，求证：BC 1∥平面A 1CD .
22．(12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，
AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．
(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1；
(2)求证：C 1F ∥平面ABE ；
(3)求三棱锥E －ABC 的体积．
详解答案
1．B [由题意知A ＝{0}或A ＝{0，－1}或A ＝{0,1}或A ＝{－1,0,1}，共4个．故选B.]
2．A [A 中f (x )＝1x 2是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，故A 满足题意．B 中f (x )＝x 2＋1是偶函数，但在(－∞，0)上是减函数．C 中f (x )＝x 3是奇函数．D 中f (x )＝2－x 是非奇非偶函数．故B ，C ，D 都不满足题意．]
3．C [由两直线垂直可得2a ＋3×2＝0，所以a ＝－3，故选C.]
4．C [正方形的对角线长为24x ，从而外接圆半径为y ＝12×24x ＝28
x .] 5．A [设f (x )＝lg x －x ＋1，f (0.1)＝lg0.1－0.1＋1＝－0.1<0，f (0.2)＝lg0.2－0.2＋1≈0.1>0， f (0.1)f (0.2)<0.]
6．C [∵－2<0，∴f (－2)＝0，
∴f [f (－2)]＝f (0)＝2>0，
f {f [f (－2)]}＝f (2)＝4.故选C.]
7．B [设职工原工资为p ，平均增长率为x ，则p (1＋x )6＝8p ，x ＝68－1＝2－1＝41%.]
8．D [∵1.513.1＝1.5－3.1＝(11.5
)3.1， 213.1＝2－3.1＝(12
)3.1， 又幂函数y ＝x 3.1在(0，＋∞)上是增函数，12＜11.5
＜2， ∴(12)3.1＜(11.5
)3.1＜23.1，故选D.] 9．A [如图所示的过球心的截面图，
r ＝R 2－14R 2＝32
R ， S 圆S 球
＝π(32R )24πR 2＝316.] 10．D [圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)，
又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，
所以直线l 的斜率k ＝1.
由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.]
11．B [利用截面圆的性质先求得球的半径长．
如图，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点，则OO ′＝2，O ′M ＝1， ∴OM ＝(2)2＋1＝3，
即球的半径为3，
∴V ＝43π(3)3＝43π.] 12．A [连接B ′C ，则△AB ′C 为等边三角形，设AD ＝a ，
则B ′D ＝DC ＝a ，B ′C ＝AC ＝2a ，
所以∠B ′DC ＝90°.]
13．(－∞，12
) 解析 D 2＋E 2－4F ＝(－1)2＋12－4m ＞0，得m <12
. 14．④
解析 ①中b 可能在α内；②a 与b 可能异面或者垂直；③a 可能与α内的直线异面或垂直． 15.2或－1
解析 当a ＞0时，log 2a ＝12，则a ＝2；当a ≤0时，2a ＝12
，则a ＝－1. 16．24
解析 由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由正视图和左视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的．在长方体中分析还原，如图(1)所示，
故该几何体的直观图如图(2)所示．在图(1)中，V 棱柱ABC －A 1B 1C 1＝S △ABC ·AA 1＝12
×4×3×5＝30，V 棱锥P －A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·PB 1＝13×12
×4×3×3＝6.故几何体ABC －P A 1C 1的体积为30－6＝24.故选C.
17．解 (1)当a ＝1时，
A ＝{x ||x －1|<4}＝{x |－3<x <5}，
x 2－4x －5＞0⇒x <－1或x ＞5，
则B ＝{x |x <－1或x ＞5}．A ∩B ＝{x |－3<x <－1}．
(2)根据题意，得A ＝{x |a －4<x <a ＋4}，
B ＝{x |x <－1或x ＞5}，
若A ∪B ＝R ，则有⎩⎪⎨⎪⎧
a －4<－1a ＋4>5， 解可得1<a <3，∴a 的取值范围是1<a <3.
18．解 (1)令x ＝0，得y ＝a －2.
令y ＝0，得x ＝a －2a ＋1
(a ≠－1)． 由a －2＝a －2a ＋1
，解得a ＝2，或a ＝0. ∴所求直线l 的方程为3x ＋y ＝0，或x ＋y ＋2＝0.
(2)直线l 的方程可化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2.
∵l 不过第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧
－(a ＋1)≥0，a －2≤0. ∴a ≤－1.∴a 的取值范围为(－∞，－1]．
19．解 (1)∵切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零，
∴设切线方程为x ＋y ＝a (a ≠0)，
又∵圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，
∴圆心C (－1,2)到切线的距离等于圆的半径2， ∴|－1＋2－a |2
＝2⇒a ＝－1，或a ＝3，则所求切线的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0. (2)∵切线PM 与半径CM 垂直，
∴|PM |2＝|PC |2－|CM |2，
∴(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2＝x 21＋y 21，
∴2x 1－4y 1＋3＝0，
∴动点P 的轨迹是直线2x －4y ＋3＝0.
|PM |的最小值就是|PO |的最小值，而|PO |的最小值为O 到直线2x －4y ＋3＝0的距离d ＝3510
.
此时P 点的坐标为(－310，35
)． 20．解 (1)∵f (x )为定义在[－1,1]上的奇函数，且f (x )在x ＝0处有意义，∴f (0)＝0， 即f (0)＝1
40－a
20＝1－a ＝0.∴a ＝1.
设x ∈[0,1]，则－x ∈[－1,0]．
∴f (－x )＝14－x －1
2－x ＝4x －2x
.
又∵f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝4x －2x .
∴f (x )＝2x －4x .
(2)当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －4x ＝2x －(2x )2，
∴设t ＝2x (t ＞0)，则f (t )＝t －t 2.
∵x ∈[0,1]，∴t ∈[1,2]．当t ＝1时，取最大值，最大值为1－1＝0.
21．证明 (1)因为∠A 1AC ＝60°，A 1A ＝AC ＝1，
所以△A 1AC 为等边三角形．所以A 1C ＝1.
因为BC ＝1，A 1B ＝2，所以A 1C 2＋BC 2＝A 1B 2.
所以∠A 1CB ＝90°，即A 1C ⊥BC .
因为BC ⊥A 1A ，BC ⊥A 1C ，AA 1∩A 1C ＝A 1，
所以BC ⊥平面ACC 1A 1.
因为BC ⊂平面A 1BC ，
所以平面A 1BC ⊥平面ACC 1A 1.
(2) 连接AC 1交A 1C 于点O ，连接OD .
因为ACC 1A 1为平行四边形，
所以O 为AC 1的中点．
因为D 为AB 的中点，
所以OD ∥BC 1.
因为OD ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，
所以BC 1∥平面A 1CD .
22．(1)证明 在三棱柱ABC －A
1B 1C 1中，
BB 1⊥底面ABC ，
所以BB 1⊥AB .
又因为AB ⊥BC ，
所以AB ⊥平面B 1BCC 1，
又AB ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.
(2)证明 取AB 的中点G ，连接EG ，FG . 因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点，
所以FG ∥AC ，且FG ＝12
AC . 因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1， 所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1， 所以四边形FGEC 1为平行四边形． 所以C 1F ∥EG .
又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ， 所以C 1F ∥平面ABE .
(3)解 因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ， 所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3.
所以三棱锥E －ABC 的体积V ＝13
S △ABC ·AA 1 ＝13×12×3×1×2＝33
.。