课件+经济数学基础+罗国湘+高等教育出版社-第3章 不定积分

(12) ∫
d
1− 2
= arcsin + ;
= arctan + .
注意 （1）与基本求导公式一样,这些基本积分公式必须熟记，它们是积分运算的基础;
(2) 上述积分公式中积分变量换成其他变量仍成立. 如 ∫ e d = e + , ∫ cos d = sin + .
න
1
1
令 =3 1
cos 3 d = න cos 3 d(3)
=
න cos d = sin +
3
3
3
回代 1=3 + . Nhomakorabea3
验证可知, 结论正确.
第二节 不定积分的积分方法
二、第一换元积分法（凑微分法）
一般地, 有
න ()d = න [()]′ ()d = න [()]d()
(8) ∫
(9) ∫
1
sin2
d = ∫ csc 2 d = −cot +
(11) ∫ csc cot d = −csc + ;
(13) ∫
d
1+ 2
1
cos2
d = ∫ sec 2 d = tan + ;
(10) ∫ sec tan d = sec + ;
注意, 求 ∫ ()d 时, 切记 “ + ”, 否则求出的只是一个原函数而不是不定积分.
第一节 不定积分的概念与性质
一、不定积分的概念——几何意义
在直角坐标系中，（）的任意一个原函数（）的图形
是一条曲线 = （），这条曲线上任意点（，（））处
的切线的斜率F′（x）恰为函数值（），称这条曲线为（）
1
（3）因为 (arctan )′ = 1+ 2, 所以 ∫
1
1+ 2
d = arctan + .
求原函数或不定积分的运算叫积分法. 显然, 求.不定积分的运萛与求导或微分的运算是不
逆的, 不同的是求不定积分的运算最后要加任意常数 .
第一节 不定积分的概念与性质
二、不定积分的性质
由不定积分的定义可以得到下列不定积分的性质:
注意（1）利用运算性质逐项积分后,每项积分都应含有一个任意常数 ,由于任意常数求和还是任意常数,因此
只需到算式不含积分符号时再加上一个任意常数 即可;
（2）直接积分法是对被积函数进行适当的恒等变形,或化简,或拆项,使其变为可直接用基 本公式的代数和形
式,然后再逐项积分. 将被积函数变形时,有时需要利用代数运算或三角恒等 变形公式和法则.
(2) 该积分不能直接用基本积分公式, 需将被积函数恒等变形后再用公式.
1 − 2 2
−2 − 2 2 + 3
d
න
d
=
න
d
=
−2
න
d
+
3
න
= −2 + 3arctan + ;
1 + 2
1 + 2
1 + 2
(3) 该积分也不能直接用公式, 先用二项和公式展开, 变形后再用公式计算.
这种求积分的方法叫第一换元积分法或凑微分法.
第二节 不定积分的积分方法
二、第一换元积分法（凑微分法）
2
例 3 求 ∫ 2e d.
1
例 4 计算: (1) ∫
解
2
∫ 2e
解(1) ∫
(2) ∫
1


2
d =

2
d;
2
∫ e
d
(2) ∫
1

d = −∫ d
1
d
(1+)
2 + 3 + 2 ′ = 2 + 3, 易验算知, () = 2 + 3 + 2 为所求.
引例 2 一辆汽车以速度 () = 3 + 5 (其中 为时间) 从静止开始作直线运动, 求汽车运动
的位移函数.
解 设位移函数为 = (), 则由导数的物理意义有 ′ () = () = 3 + 5, 因此本例就是求
性质 3 不为零的常数因子可提到积分号前面, 即
න
()d = න ()d ( 为非零常数).
性质 4 两个函数代数和的不定积分等个各个函数不定积分的代数和, 即
න
[() ± ()]d = න ()d ± න ()d.
这个性质可推广到有限个函数代数和的情况, 即
第二节 不定积分的积分方法
二、第一换元积分法（凑微分法）
利用直接积分法只能计算一些比较简单的不定积分, 对于被积函数是复合函数等比较复杂的函数时, 必须寻求
其他方法.
例 2 求 ∫ cos 3 d.
解 被积函数 cos 3 是复合函数, 不能直接套用 ∫ cos d 的公式. 把积分作如下变形后计算:
第二节 不定积分的积分方法
一、直接积分法
利用不定积分的基本积分公式和性质直接求积分的方法叫直接积分法.
例 1 计算下列不定积分:
2
(1) ∫ 2 + cos − 5 ; (2) ∫
1−2 2
1+ 2
d;
(3) ∫

cos 2
+
2
sin 2
d.
2
解 (1) ∫ 2 2 + cos − 5 d = 2∫ 2 d + ∫ cos d − ∫ 5 d = 3 3 + sin − 5 + ;
求 (). 由此, 引出原函数的概念.
定义 1 设 () 是定义在某区间上的已知函数, 若存在函数 (), 使得 ′ () = (), 或
d() = ()d, 则称 () 是 () 在此区间上的一个原函数.
例如, 设 () = cos , 由 (sin )′ = cos , 可知 () = sin 是 () 的一个原函数. 不难看
(6) e d = de ;
(7) cos d = d(sin );
(8) sin d = −d(cos );
(9) sec 2 d = d(tan );
(10) csc 2 d = −d(cot );
一、不定积分的概念——1.原函数
定理 (原函数族定理) 如果 () 是 () 的一个原函数, 那么 () + 是 () 的全体原函
数, 其中 为任意常数.
由定理 1 易见, 要求函数 () 的全体原函数, 只要找到它的一个原函数, 然后再加上任
意常 数 即可
定理 2 (原函数存在定理) 如果函数 () 在某区间上连续,那么 () 在该区间上存在 原函数.
由于初等函数在其定义区间上连续,因此, 初等函数在其定义区间上存在原函数.
第一节 不定积分的概念与性质
一、不定积分的概念
定义 2 若 () 是 () 在某区间上的一个原函数, 则 () 的全体原函数 () + ( 为任 意常数)
称为 () 在该区间上的不定积分, 记为 ∫ ()d, 即
引例 1 某产品的边际成本函数为 () = 2 + 3, 其中 是产量数, 已知固定成本为 2 单位,
求产品的成本函数.
解 设该产品的成本函数为 (), 由上一章的知识可知 ′ () = (), 即 ′ () = 2 + 3, 因
此本例就是求一个末知函数 (), 使得 ′ () = 2 + 3, 且满足 (0) = 2. 由导数公式知
性质
′
∫ ()d = (), 或 d ∫ ()d = ()d.
此式表明, 先求积分再求导数 (或求微分),两种运算的作用相互抵消.
性质
∫ ′ ()d = () + , 或 ∫ d() = () + .
即先求导 (或微分) 再积分得到的是一族函数, 不是一个函数,必须加上任意常数 .
令 = 2
回代 2
=
∫ e d = e + = e + . 熟练以后, 引进中间变量的过程可以省略.
2
1

1


= − ln + ;
1
= ∫ 2 1+(
1
d.
(1+)
)2
d = 2arctan + .
第二节 不定积分的积分方法
二、第一换元积分法（凑微分法）
(3) ∫
1


d = ln || + ;

(2)
∫ d
=
+1
+1

+ ( 为常数, ≠ −1);
(4) ∫ e d = e +
(5)∫ = ln +
(6) ∫ cos d = sin +
(7) ∫ sin d = −cos + ;
出: sin + 1, sin + 2, sin + 5, sin + ( 为任意常数 ) 等都是 () = cos 的原函数.
可见若 () 有原函数, 那么 () 的原函数不唯一, 有无限多个, 且 () 的任意两个原函数
之间只相差 一个常数.
第一节 不定积分的概念与性质
要注意分析被积函数的结构,熟记基本积分公式. 掌握下列常用的凑微分形式是非常有用的.
1
(1) d = d( + ) (, 为常数且 ≠ 0)
(3)
1

d = 2 d( );
1
1
(2) d = 2 d 2 ;
1
(4) 2 d = −d
1

;
(5) d = d(ln ||);
=()
=
න ()d
积分
= () +
回代
= [()] + .
即若被积表达式 ()d 或 [()]′ ()d 能变为 [()]d() 的形式, 换元令 = (), 原 积分变成
了 ∫ ()d, 而 ∫ ()d 可用直接积分法求出积分为 () + , 则变量还原后便得积分 结果: [()] + .
∫ ()d = () + ( 为任意常数) ,
其中记号 ∫ 称为积分号, () 称为被积函数, ()d 称为被积表达式, 称为积分变量, 称为
积分常数.
由定义知, 要求函数 () 的不定积分, 只需求出 () 的一个原函数,再加上任意常数 即 可. 但要
(2) ∫ (2 − 3)d;
1
(3) ∫ 1+2 d.
解 (1) 因为 (sin )′ = cos , 所以 ∫ cos d = sin + , 这里 为任意常数, 以后不再
重 复说明;
(2) 因为 2 − 3
′
= 2 − 3, 所以 ∫ (2 − 3)d = 2 − 3 + ;

2




න
cos + sin
d = න
cos2 + 2cos sin + sin2 d
2
2
2
2
2
2
= ∫ (1 + sin)d = ∫ d + ∫ sin d = − cos +
第二节 不定积分的积分方法
一、直接积分法
利用不定积分的基本积分公式和性质直接求积分的方法叫直接积分法.
න
1 () ± 2 () ± ⋯ ± () d = න 1 ()d ± න 2 ()d ± ⋯ ± න ()d.
第一节 不定积分的概念与性质
三、基本积分公式
由于不定积分是求导(微分)的逆运算,因此由基本求导公式容易得到不定积分的基本积分 公式.
(1) ∫ d = + ( 为常数);
经济数学基础
directories
目
录
第三章 不定积分
• 第一节 不定积分的概念与性质
• 第二节 不定积分的积分方法
第四章 不定积分
学习重点
前一章学习了已知一个函数，求它的导数；本章学习已知一个函数的导
数，求出这个函数；研究不定积分的概念、性质和基本积分方法.
第一节 不定积分的概念与性质
一、不定积分的概念——1.原函数
一 个末知函数 (), 使 ′ () = 3 + 5. 且满足 (0) = 0.
由于
3 2

2
+ 5
′
3
= 3 + 5, 所以 () = 2 2 + 5, 它满足条件 (0) = 0.
第一节 不定积分的概念与性质
一、不定积分的概念——1.原函数
刚才两个引例中的问题可以归结为已知函数的导数,求原来的函数, 即已知 ′ () = (),
的一条积分曲线. （）的不定积分（） + 则是一个曲线簇，
称为积分曲线簇.如图4 1所示，平行于y轴的直线与簇中每一
条曲线的交点处的切线斜率都等于（），因此积分曲线簇可
以由一条积分曲线通过经y轴方向平移得到.
第一节 不定积分的概念与性质
一、不定积分的概念
例 1 求下列不定积分:
(1) ∫ cos d;