人教版七年级上册期末点对点攻关训练：一元一次方程应用—数轴动点问题(四)

七年级上册期末点对点攻关训练：
一元一次方程应用之数轴动点问题（四）
1．如图已知数轴上点A、B分别表示a、b，且|b+6|与（a﹣9）2互为相反数，O为原点．
（1）a＝，b＝；
（2）将数轴沿某个点折叠，使得点A与表示﹣10的点重合，则此时与点B重合的点所表示的数为；
（3）若点M、N分别从点A、B同时出发，点M以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点N以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，N到点A后立刻原速返回，设运动时间为t（t＞0）秒．
①点M表示的数是（用含t的代数式表示）；
②求t为何值时，2MO＝MA；
③求t为何值时，点M与N相距3个单位长度．
2．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB＝14．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）写出数轴上点B表示的数，点P表示的数（用含t的式子表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q 同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？
（3）在（2）的条件下，当点P，点Q之间的距离是3时，运动时间是多少秒？
3．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB＝15．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）写出数轴上点B表示的数，点P表示的数（用含t的代数式表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q 同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？
（3）若点D是数轴上一点，点D表示的数是x，请你探索式子|x+5|+|x﹣7|是否有最小值？如果有，写出求最小值的过程；如果没有，说明理由．
4．已知数轴上三点A、O、B表示的数分别为4、0、﹣2，动点P从A点出发，以每秒3个单位的速度沿数轴向左匀速运动．
（1）当点P到点A的距离与点P到点B的距离相等时，点P在数轴上表示的数是．（2）另一动点R从点B出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R 同时出发，问点P运动多长时间追上点R？
（3）若点M为AP的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长度．
5．如图，小亮把东、西大街表示成一条数轴，把公交站的位置用数轴上的点表示出来，其中鼓楼站的位置记为原点，正东方向为正方向，公交车的一站地为一个单位长度（假设每站距离相同）．请你根据图形回答下列问题：
（1）到广济街的距离等于2站地的是．
（2）到这8个站距离之和最小的站地是否存在？若存在，是哪个站地？最小值是多少？
若不存在，请说明理由．
（3）如果用a表示数轴上的点表示的数，那么|a﹣1|＝2表示这个点与1对应点的距离为2，请你根据以上信息回答下面问题：
①若|a﹣2|+|a+1|＝3，请你指出满足条件a的所有站地表示的数．
②若|a﹣4|+|a+1|＝10，请你求出满足条件的a的值．
6．已知两点A、B在数轴上，AB＝9，点A表示的数是a，且a与（﹣1）3互为相反数．（1）写出点B表示的数；
（2）如图1，当点A、B位于原点O的同侧时，动点P、Q分别从点A、B处在数轴上同时相向而行，动点P的速度是动点Q的速度的2倍，3秒后两动点相遇，当动点Q到达点A 时，运动停止．在整个运动过程中，当PQ＝2时，求点P、Q所表示的数；
（3）如图2，当点A、B位于原点O的异侧时，动点P、Q分别从点A、B处在数轴上向右运动，动点Q比动点P晚出发1秒；当动点Q运动2秒后，动点P到达点C处，此时动点P立即掉头以原速向左运动3秒恰与动点Q相遇；相遇后动点P又立即掉头以原速向右运动5秒，此时动点P到达点M处，动点Q到达点N处，当|OM﹣ON|＝2时，求动点P、Q运动的速度．
7．如图，点A和点B在数轴上对应的数分别为a和b，且（a+6）2+|b﹣8|＝0．（1）求线段AB的长；
（2）点C在数轴上所对应的数为x，且x是方程x﹣1＝x+1的解，在线段AB上是否存在点D，使得AD+BD＝CD？若存在，请求出点D在数轴上所对应的数，若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，线段AD和BC分别以6个单位长度/秒和5个单位长度/秒的速度同时向右运动，运动时间为t秒，M为线段AD的中点，N为线段BC的中点，若MN＝12，求t的值．
8．【背景知识】
数轴是初中数学的一个重要工具．利用数轴可以将数与形完美的结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上A点、B点表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离AB ＝|a﹣b|，若a＞b，则可简化为AB＝a﹣b；线段AB的中点M表示的数为．
【问题情境】
已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为﹣10，8，点A以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒2个单位向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．【综合运用】
（1）运动开始前，A、B两点的距离为；线段AB的中点M所表示的数．（2）点A运动t秒后所在位置的点表示的数为；点B运动t秒后所在位置的点表示的数为；（用含t的式子表示）
（3）它们按上述方式运动，A、B两点经过多少秒会相距4个单位长度？
（4）若A，B按上述方式继续运动下去，线段AB的中点M能否与原点重合？若能，求出运动时间，并直接写出中点M的运动方向和运动速度；若不能，请说明理由．（当A，B 两点重合，则中点M也与A，B两点重合）．
9．如图，点A、B都在数轴上，O为原点．
（1）线段AB中点表示的数是；
（2）若点B以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动了t秒，当点B在点O左边时，OB＝，当点B至点O右边时，OB＝；
（3）若点A、B分别以每秒1个单位长度、3个单位长度的速度沿数轴向右运动，而点O 不动，t秒后，A、B、O三个点中有一个点是另外两个点为端点的线段的中点，求t的值．
10．已知，数轴上有两点A、B对应的数分别为﹣1，5，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
（1）若点P到点A、B的距离相等，求点A、B的距离及x的值．
（2）数轴上是否存在点P，使得点P到点A、B的距离之和最小？若存在，请求出最小值；
并求出取得最小值时x可以取的整数值；若不存在，说明理由．
（3）点A、B分别以3个单位长度/秒，2个单位长度/秒的速度向右运动，同时点P以4个单位长度/秒的速度从O点向左运动，当遇到A时，点P立即以不变的速度向右运动，当遇到B时，点P立即以不变的速度向左运动，并不停往返于点A与点B之间，求当点A 与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？
参考答案
1．解：（1）∵|b+6|与（a﹣9）2互为相反数，
∴|b+6|+（a﹣9）2＝0，
∴b+6＝0，a﹣9＝0，
∴b＝﹣6，a＝9，
故答案为：9，﹣6；
（2）∵点A表示的数是9，
∴当折叠，使得点A与表示﹣10的点重合时的折叠点是＝﹣0.5，
∴此时与点B重合的点所表示的数为﹣0.5+（﹣0.5+6）＝5，
故答案为：5；
（3）①点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴点M表示的数是9﹣t，
故答案为：9﹣t；
②∵2MO＝MA，
∴当点M在OA之间时，即2（9﹣t）＝t，解得t＝6；
当点M在点O左侧时，2（t﹣9）＝t，解得t＝18；
∴当t＝6或t＝18时，2MO＝MA，
③由题意知，AM＝t，BN＝2t，
当点N未到达点A，且与点M未相遇时，t+2t+3＝15，得t＝4；
当点N未到达点A，且与点M相遇后，t+2t﹣3＝15，得t＝6；
当点N到达点A后，t﹣（2t﹣15）＝3，得t＝12，
综上，当t＝4、6或12时，点M与N相距3个单位长度．
2．解：（1）∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB＝14，
∴点B表示的数是8﹣14＝﹣6，
∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t （t＞0）秒，
∴点P表示的数是8﹣5t．
故答案为：﹣6，8﹣5t；
（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点Q，
则AC＝5x，BC＝3x，
∵AC﹣BC＝AB，
∴5x﹣3x＝14，
解得：x＝7，
∴点P运动7秒时追上点Q；
（3）设经过t秒，点P，点Q之间的距离是3，
由题意可得：|8﹣5t﹣（﹣6﹣3t）|＝3，
解得：t＝或，
答：经过或秒，点P，点Q之间的距离是3．
3．解：（1）∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB＝15，
∴点B表示的数是8﹣15＝﹣7，
∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t （t＞0）秒，
∴点P表示的数是8﹣6t．
（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点Q，
则AC＝6x，BC＝3x，
∵AC﹣BC＝AB，
∴6x﹣3x＝15，
解得：x＝5，
∴点P运动5秒时追上点Q．
（3）若点D是数轴上一点可分为三种情况：
①当点D在点B的左侧或与点B重合时x≤﹣5，
则有BD＝|x+5|＝﹣（x+5）＝﹣x﹣5，AD＝|x﹣7|＝﹣（x﹣7）＝7﹣x，
∵|x+6|+|x﹣8|≥0，
∴﹣x﹣5+7﹣x≥0，
∴x≤1，
∴当x＝﹣5时|x+5|+|x﹣7|存在最小值12，
②当点D在AB之间时﹣5＜x＜7，BD＝|x+5|＝x+5，AD＝|x﹣7|＝﹣（x﹣7）＝7﹣x，
∵|x+5|+|x﹣7|＝x+5+7﹣x＝12，
∴式子|x+5|+|x﹣7|＝12．
③当点D在点A的右侧时x≥7，则BD＝|x+5|＝x+6，AD＝|x﹣7|＝x﹣7，
∵|x+5|+|x﹣7|＝x+5+x﹣7＝2x﹣2≥0，
∴x≥1，
∴当x＝7时，|x+5|+|x﹣7|＝12为最小值，
综上所述当﹣5≤x≤7时，|x+5|+|x﹣7|存在最小值12．
4．解：（1）∵A，B表示的数分别为4，﹣2，
∴AB＝6，
∵PA＝PB，
∴点P表示的数是1，
故答案为：1；
（2）设P点运动x秒追上R点，由题意得：2x+6＝3x
解得：x＝6
答：P点运动6秒追上R点．
（3）MN的长度不变．
①当P点在线段AB上时，如图示：
∵M为PA的中点，N为PB的中点
∴
又∵MN＝MP+NP
∴
∵AP+BP＝AB，AB＝6
∴
②当P点在线段AB的延长线上时，如图示：
∵MN＝MP﹣NP，AB＝AP﹣BP＝6
∴＝．
5．解：（1）由图可知，到广济街的距离等于2站地的是西门和端履门．故答案为：西门和端履门．
（2）这8个站间隔相等，距离之和最小的站地应该是位于中间的两个，即广济站和钟楼站，最小值是：
1+2+3+1+2+3+4＝16．
∴到这8个站距离之和最小的站地存在，是广济站和钟楼站，最小值是16．
（3）①∵|a﹣2|+|a+1|＝3，
∴当a≤﹣1时，2﹣a﹣a﹣1＝3，
∴a＝﹣1；
当﹣1＜a＜2时，2﹣a+a+1＝3，
∴当﹣1＜a＜2时，满足条件a的站地表示的数为0或1；
当2≤a≤3时，a﹣2+a+1＝3，
∴a＝2．
综上，满足条件a的所有站地表示的数为﹣1、0、1或2．
②∵|a﹣4|+|a+1|＝10，
∴当a≤﹣1时，4﹣a﹣a﹣1＝10，
∴a＝﹣3.5；
当﹣1＜a≤4时，4﹣a+a+1＝10，
∴此时a无解；
当a＞4时，a﹣4+a+1＝10，
∴a＝6.5．
综上，满足条件的a的值为﹣3.5或6.5．
6．解：（1）∵a与（﹣1）3互为相反数
∴a＝1，
∵AB＝9，
∴①当点A、点B在原点的同侧时，点B所表示的数为1+9＝10，如图1所示，
②当点A、点B在原点的异侧时，点B所表示的数为1﹣9＝﹣8，如图2所示，
故点B所表示的数为10或﹣8；
（2）当点A、B位于原点O的同侧时，点B表示的数是10
设点Q的运动速度为x，则点P的速度为2x
∵3秒后两动点相遇
∴3（x+2x）＝9
解得：x＝1
∴点Q的运动速度为1，则点P的速度为2
运动t秒后PQ＝2有两种情形：
①相遇前，由题意有：
2t+2+t＝9
解得：t＝；
∴点P表示的数为：1+2×＝，点Q表示的数为：10﹣＝；
②相遇后，再运动y秒，P、Q两点相距2，由题意有：
y+2y＝2
解得：y＝
∴点P表示的数为：1+3×2+×2＝，点Q表示的数为：10﹣3×1﹣×1＝；
（3）根据题意得，点P和点Q在点A处相遇，此时点Q运动5秒，运动9个单位长度∴点Q的运动速度为：9÷5＝1.8
设点P的速度为v，
∵|OM﹣ON|＝2
∴|9+1﹣（5v+1）|＝2
解得：v＝或
∴点P的速度为或．
7．解：（1）∵（a+6）2≥0，|b﹣8|≥0，
又∵（a+6）2+|b﹣8|＝0
∴（a+6）2＝0，|b﹣8|＝0
∴a+6＝0，8﹣b＝0
∴a＝﹣6，b＝8
∴AB＝OA+OB＝6+8＝14．
（2）解方程x﹣1＝x+1
得：x＝14
∴点C在数轴上所对应的数为14；
设在线段AB上存在点D，使得AD+BD＝CD，且点D在数轴上所对应的数为y，则：AD＝y+6，BD＝8﹣y，CD＝14﹣y
∴y+6+（8﹣y）＝（14﹣y）
解得：y＝﹣2
∴在线段AB上存在点D，使得AD+BD＝CD，点D在数轴上所对应的数为﹣2．（3）由（2）得：A，D，B，C四点在数轴上所对应的数分别为：6，2，8，14.24．∴运动前M，N两点在数轴上所对应的数分别为﹣4，11
则运动t秒后M，N两点在数轴上所对应的数分别为﹣4+6t，11+5t
∵MN＝12
∴①线段AD没有追上线段BC时有：
（11+5t）﹣（﹣4+6t）＝12
解得：t＝3
②线段AD追上线段BC后有：
（﹣4t+6）﹣（11+5t）＝12
解得：t＝27
∴综上所述：当t＝3秒或27秒时线段MN＝12．
8．解：（1）A、B两点的距离为：8﹣（﹣10）＝18；线段AB的中点M所表示的数为﹣1．
故答案为：18；﹣1；
（2）由题意可得点A运动t秒后所在位置的点表示的数为﹣10+3t；点B运动t秒后所在位置的点表示的数为8﹣2t；
故答案为：﹣10+3t；8﹣2t；
（3）设它们按上述方式运动，A、B两点经过t秒会相距4个单位长度，
当点A在点B左侧时，
依题意列式，得3t+2t＝18﹣4，
解得t＝2.8；
当点A在点B右侧时，
3t+2t＝18+4，
解得t＝4.4，
答：它们按上述方式运动，A、B两点经过2.8秒或4.4秒会相距4个单位长度．
（4）能．
设A，B按上述方式继续运动k秒线段的中点M能与原点重合，
根据题意列方程，可得＝0，
解得k＝2．
运动开始前M点的位置是﹣1，运动2秒后到达原点，
由此得M点的运动方向向右，其速度为：|﹣1÷2|＝个单位长度．
答：运动时间为2秒，中点M点的运动方向向右，其运动速度为每秒个单位长度．9．解：（1）线段AB中点表示的数是：＝﹣1．
故答案是：﹣1；
（2）当点B在点O左边时，OB＝4﹣3t，当点B至点O右边时，OB＝3t﹣4；
故答案是：4﹣3t，3t﹣4；
（3）①当点O是线段AB的中点时，OB＝OA
4﹣3t＝2+t
t＝0.5
②当点B是线段OA的中点时，OA＝2OB
2+t＝2（3t﹣4）
t＝2；
③当点A是线段OB的中点时，OB＝2OA
3t﹣4＝2（2+t）
t＝8．
综上所述，符合条件的t的值是0.5，2或8．
10．解：（1）∵两点A、B对应的数分别为﹣1，5，
∴点A、B的距离为：5﹣（﹣1）＝6，
∵点P到点A、点B的距离相等，
∴x﹣（﹣1）＝5﹣x，
解得x＝2；
（2）当P点在A点左边时，PA+PB＝PA+PA+AB＝2PA+AB，
当P点在A与B点之间（包括A点和B点）时，PA+PB＝AB，
当P点在B点右边时，PA+PB＝AB+PB+PB＝AB+2PB，
∵2PA+AB＞AB，2PB+AB＞AB，
∴数轴上存在点P，使点P到点A、点B的距离之和最小，其最小值为AB＝6，此时点P在线段AB上，
∴点P表示的数x的取值范围是﹣1≤x≤5，
∴x可以取的整数值为﹣1，0，1，2，3，4，5；
（3）设经过a秒钟点A与点B重合，根据题意得：
3a＝6+2a，
解得a＝6．
6×4＝24．
答：点P所经过的总路程为24个单位长度．。