高中数学排列组合的应用-ppt课件.ppt
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排列组合ppt课件
在工程领域，排列组合用于优化设计 、规划、调度等问题，如计算机科学 、信息论、控制论等。
02
排列组合基础
排列数公式与组合数公式
排列数公式
从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，用符号A(n,m)表示，公式 为A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×...×3×2×1。
给定一个无向图，用k种颜色对图 中的边进行染色，使得每条边的 颜色都不相同，求所有可能的染 色方案。
染色问题的解法
使用递归和回溯法，从全不染色的 情况开始，逐渐增加染色的边数， 直到全部染色。
染色问题的应用
在解决一些组合优化问题时，染色 问题可以用来计算不同方案的数量 。
平均分组
平均分组的定义
将n个元素平均分成m组，每组k 个元素，求所有可能的分组方案
反序：若在排列a中有i<j，且 a(i)=a( j)，则称a中i和j为反序
。
奇偶性：若n个元素全排列的 排法数为偶数，则称n个元素 全排列为偶排列，否则称为奇
排列。
组合的定义与性质
组合的定义：从n个不同元素中取出m个 元素的所有组合的个数，记作C(n,m)。
结合律：C(n,k)C(n-k,m)=C(n,m)C(nm,k)。
03
排列组合进阶
错位重排
错位重排的定义
在n个元素中，如果有m个元素互不相邻，则称这 个排列为错位重排。
错位重排的公式
$n!(1-1/2!+1/3!-...+(-1)^n/n!)$
错位重排的应用
在解决一些排列组合问题时，错位重排公式可以 用来计算某些元素不在一起排列的总数。
染色问题
染色问题的定义
等待时间
02
排列组合基础
排列数公式与组合数公式
排列数公式
从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，用符号A(n,m)表示，公式 为A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×...×3×2×1。
给定一个无向图，用k种颜色对图 中的边进行染色，使得每条边的 颜色都不相同，求所有可能的染 色方案。
染色问题的解法
使用递归和回溯法，从全不染色的 情况开始，逐渐增加染色的边数， 直到全部染色。
染色问题的应用
在解决一些组合优化问题时，染色 问题可以用来计算不同方案的数量 。
平均分组
平均分组的定义
将n个元素平均分成m组，每组k 个元素，求所有可能的分组方案
反序：若在排列a中有i<j，且 a(i)=a( j)，则称a中i和j为反序
。
奇偶性：若n个元素全排列的 排法数为偶数，则称n个元素 全排列为偶排列，否则称为奇
排列。
组合的定义与性质
组合的定义：从n个不同元素中取出m个 元素的所有组合的个数，记作C(n,m)。
结合律：C(n,k)C(n-k,m)=C(n,m)C(nm,k)。
03
排列组合进阶
错位重排
错位重排的定义
在n个元素中，如果有m个元素互不相邻，则称这 个排列为错位重排。
错位重排的公式
$n!(1-1/2!+1/3!-...+(-1)^n/n!)$
错位重排的应用
在解决一些排列组合问题时，错位重排公式可以 用来计算某些元素不在一起排列的总数。
染色问题
染色问题的定义
等待时间
高中数学排列组合的应用-ppt课件
搞清限制条件的真正含义，做针对性文章！
例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？
解：将三个女孩看作一人与四个男孩排队，有 种排法，而三个女孩之间有 种排法，所以不同的排法共有： （种）。
(3)非均匀、无序分组: 把n个不同的元素分成m组，第1组r1个元素，第2组 r2个元素，第3组r3个元素，……第m组rm个元素， 则共有 种分法. (其中r1+r2+r3+…+rm=n)
(4)非均匀、有序分组: 把n个不同的元素分成m组，第1组r1个元素，第2组 r2个元素，第3组r3个元素，……第m组rm个元素， 再分给m个人，则共有 种分法.(其中r1+r2+r3+…+rm=n)
(5)局部均匀分组: 把n个不同的元素分成m组，其中m1个组有r1个元 素， m2个组有r2个元素，…… mk个组有rk个元素， 则共有 种分法.(其中m1r1+m2r2+m3r3+…+mkrk=n)
如果每堆至多2本，至少1本，有多少种分法？
解法一:(特殊位置法)
第一步:从其余5位同学中找2人站排头和排尾,有 种;
第二步:剩下的全排列,有 种;
答：共有2400种不同的排列方法。
解法二:(特殊元素法)
第一步:将甲乙安排在除排头和排尾的5个位置中的两个位置上,有 种;
第二步:其余同学全排列,有 种;
答：共有2400种不同的排列方法。
2
如果一堆3本，其余各堆各1本，有多少种分法？
1
例4:有6本不同的书，分成4堆.
例5:从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?
例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？
解：将三个女孩看作一人与四个男孩排队，有 种排法，而三个女孩之间有 种排法，所以不同的排法共有： （种）。
(3)非均匀、无序分组: 把n个不同的元素分成m组，第1组r1个元素，第2组 r2个元素，第3组r3个元素，……第m组rm个元素， 则共有 种分法. (其中r1+r2+r3+…+rm=n)
(4)非均匀、有序分组: 把n个不同的元素分成m组，第1组r1个元素，第2组 r2个元素，第3组r3个元素，……第m组rm个元素， 再分给m个人，则共有 种分法.(其中r1+r2+r3+…+rm=n)
(5)局部均匀分组: 把n个不同的元素分成m组，其中m1个组有r1个元 素， m2个组有r2个元素，…… mk个组有rk个元素， 则共有 种分法.(其中m1r1+m2r2+m3r3+…+mkrk=n)
如果每堆至多2本，至少1本，有多少种分法？
解法一:(特殊位置法)
第一步:从其余5位同学中找2人站排头和排尾,有 种;
第二步:剩下的全排列,有 种;
答：共有2400种不同的排列方法。
解法二:(特殊元素法)
第一步:将甲乙安排在除排头和排尾的5个位置中的两个位置上,有 种;
第二步:其余同学全排列,有 种;
答：共有2400种不同的排列方法。
2
如果一堆3本，其余各堆各1本，有多少种分法？
1
例4:有6本不同的书，分成4堆.
例5:从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?
高中数学排列组合的应用-ppt课件(课堂教学)
2、什么叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数？
从n个不同的元素中取出m（m≤n)个元素的所有排列的个
数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.
用符号 Anm 表示
3、排列数的两个公式是什么？
Am n(n 1)(n 2)(n m 1)
n
Anm
(n
n! m)! （n，m∈学校N课堂*，m≤n）
⑵间接计算法
先抛开限制条件，计算出所有可能的排列数，再从 中减去不合题意的排列数，特别要注意：不能遗漏，也 不能重复. 即排除法.
搞清限制条件的真正含义，做针对性文章！
学校课堂
11
例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一 个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站 成一排照相留念。
若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？
分析:可看作甲固定,其学余校课全堂 排列 A66 720
5
（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在 两端的排法共有多少种？
解:将问题分步
第一步:甲乙站两端有A22 种
第二步:其余5名同学全排列有A55 种
共有A22 A55＝2400种
答：共有2400种不同的排列方法。
学校课堂
6
（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在 排头和排尾的排法共有多少种？
若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？
插空法
解：先把四个男孩排成一排有A44种排法，在每一排 列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入
空档中有A53种方法，所以共有： A44 A53 1440 （种）
排法。
学校课堂
15
例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩， 三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
高中数学排列与组合课件(经典)
或 A120 10 9 90
例3.(1)凸五边形有多少条对角线？ (2)凸n（ n>3）边形有多少条对角线？ 解：（1） (5 3) 5 5
2
（2） (n 3) n
2
例4、在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品 检验时,从100件产品中任意抽出3件。 (1)一共有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
m个元素的组合数，用符号 Cnm表示.
注意： Cnm 是一个数，应该把它与“组合”区别开来．
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所
有组合个数是: C32 3
如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出两个
元素的所有组合个数是：C42 6
练一练
1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。
(2)甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙
例1、一位教练的足球队共有17名初级学员，按照足球 比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人。问：
（1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上 场方案？
（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守 门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
从7位同学中 选出3位同学 构成一个组合
剩下的4位同 对应 学构成一个组
合
从7位同学中 选出3位同学
从7位同学中 选出4位同学
的组合数
C
3 7
的组合C数74
即：C73 C74
思考二：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？
一般地,从n个不同元素中取出m个不同元素后,剩下n–m个元素, 因此从n个不同元素中取出m个不同元素的每一个组合,与剩下的n– m个元素的每一个组合一一对应,所以从n个不同元素中取出m个不同 元素的组合数,等于从这n个元素中取出 n-m个元素的组合数.即
高中数学排列组合常用方法与技巧精讲 PPT课件 图文
结论2 捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题, 可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为 一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元 素内部也可以作排列.
例3 在高二年级中的8个班,组织一个12个人的年级学 生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?
分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我 们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方 法简单,结果容易理解.
种选A法74 .根据乘法原理,共有的不同坐法为
种A.88 A74
结论1 插空法:对于某两个元素或者几个元素要求不 相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的 元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素 的空档之中即可.
例2 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起, 有多少种不同的排法?
结论4 剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种 剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化 为求剩法.
例5 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有 多少种不同的安排顺序? 分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的 话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他 们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能 够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题 的复杂性.
分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几 种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重 复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不 但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可 以简化计算过程.
解 43人中任抽5人的方法有C 453种,正副班长,团支部书
记都不在内的抽法有 种C 450,所以正副班长,团支部书记至
解数学不之加前任考何”限,与制“条数件学,整安个排排在法语有文之种A前99 ,“考语”文的安排排法在是
例3 在高二年级中的8个班,组织一个12个人的年级学 生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?
分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我 们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方 法简单,结果容易理解.
种选A法74 .根据乘法原理,共有的不同坐法为
种A.88 A74
结论1 插空法:对于某两个元素或者几个元素要求不 相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的 元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素 的空档之中即可.
例2 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起, 有多少种不同的排法?
结论4 剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种 剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化 为求剩法.
例5 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有 多少种不同的安排顺序? 分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的 话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他 们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能 够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题 的复杂性.
分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几 种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重 复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不 但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可 以简化计算过程.
解 43人中任抽5人的方法有C 453种,正副班长,团支部书
记都不在内的抽法有 种C 450,所以正副班长,团支部书记至
解数学不之加前任考何”限,与制“条数件学,整安个排排在法语有文之种A前99 ,“考语”文的安排排法在是
高中数学排列与组合 PPT课件 图文
则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（ D）
A
.C
2 5
A33
B.2C
3 5
A33
C
.A
3 5
D.2C52A33 A53
课堂练习：
5、在如图7x4的方格纸上（每小方格均为正方形） （1）其中有多少个矩形？ （2）其中有多少个正方形？
小结
排列
组合 联系
组合是选择的 结果，排列是 选择后再排序 的结果
方 法 二 ： C 1 5 2 C 3 0 C 9 56 6 6
例5、某医院有内科医生12名，外科医生8名，现要 派5人参加支边医疗队，至少要有1名内科医生和1名 外科医生参加，有多少种选法？
例6：（1）平面内有9个点，其中4个点在一条直线 上，此外没有3个点在一条直线上，过这9个点可确 定多少条直线？可以作多少个三角形？
。
3、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队，如果
其中至少有2名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数
为（ C ）
A.(C8 3C7 2)(C7 3C82)
B .(C 8 3C 7 2)(C 7 3C 8 2)
C.C83C72C73C82
D.C83C72C111
4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，
abd bad dab adb bda dba
acd cad dac
你发现a了dc cda dca 什么b?cd cbd dbc
bdc cdb dcb
不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？
A 求3可 分 两 步 考 虑 ：
求4P
3 4
可分两步考虑：
C 第 一 步 ，3（ 4 ） 个 ； 4
高二数学排列组合的应用课件
排列的 应用问题
新课： 例1：四名男生和三名女生站成一排：
解：（3）甲、乙二人站在两端，这二人是 特殊元素，排头和排尾是特殊位置，先考虑 2 特殊元素，甲、乙二人站在两端的站法有 p 2 种，再考虑其余 5人在中间5个不同位置的站 5 法有 p 5 种，根据乘法原理，甲、乙二人站 2 5 在两端的不同的排法有 p 2 p 5 240 种。
p p p
2 4
2
4
3 3
2 4! 3! 288
排列的 应用问题
新课： 例1：四名男生和三名女生站成一排：
（9）男生女生相间排列的排法有多少种？
（10）女生不相邻的排法有多少种？
排列的 应用问题
新课： 例1：四名男生和三名女生站成一排：
解
（9）插入法
p p
4
4 4
4
3 3
144
新课： 例1：四名男生和三名女生站成一排：
解：（1）因为男女生共 7人，不受任何条件限制， 7
故共有
p
7
种不同的排法。 7! 5040
（2）因为甲站在正中间已确定，而其余6人可站 在除中间位置之外的六个不同位置上，所以共有
p
6
6! 720 种不同的排法。 6
排列的 应用问题
新课：
例1：四名男生和三名女生站成一排： （3）甲、乙二人必须站在两端的排法有多少种？ （4）甲、乙二人不能站在两端的排法有多少种？
排列的 应用问题
复习 ：
1排列的定义：
一般地说，从n个不同元素中，任 取m(m≤n)个元素，按照一定的顺 序排成一列，叫做从n个不同元素 中取出m个元素的一个排列。
排列的 应用问题
复习 ： 2排列数的定义：
排列组合课件
不相邻问题
将需要排列的元素按照一定的顺序排 列，如果元素之间没有间隔，则它们 是相邻的。
复杂排列组合问题解析
排列组合的顺序性
在排列组合的过程中，需要考虑元素的顺序，不同的顺序会 产生不同的结果。
排列组合的可重复性
在排列组合的过程中，需要考虑元素的重复使用，不同的重 复方式也会产生不同的结果。
常见排列组合问题解析
排列特点
与元素的顺序有关，是"有序"的。
组合定义与特点
组合定义
从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个元素中取出m个元 素的一个组合。
组合特点
与元素的顺序无关，是"无序"的。
排列与组合的联系与区别
联系
都是从n个不同元素中取出m个元 素的不同方式。
区别
排列注重的是取出元素后，元素 的顺序是否相同；组合则不考虑 取出元素后的顺序。
排列组合课件总结
排列组合基础知识
排列组合课件应涵盖排列组合的 基本概念、公式和定理，帮助学
生建立正确的排列组合思维。
排列组合问题解析
通过典型例题的解析，让学生掌握 解决排列组合问题的方法和技巧， 提高解题能力。
排列组合应用实例
引入实际应用场景，让学生了解排 列组合在生活、科技、经济等领域 中的应用，增强学习的兴趣和动力 。
组合数公式广泛应用于组合数学、概率论、统计学等学科中，也是解 决实际问题的有力工具。
排列组合综合公式
排列组合综合公式定义
排列组合综合公式表示从n个不同元素中取出m个元素的所有排列和组合的个数，用符号 P(n,m)表示。
排列组合综合公式计算方法
排列组合综合公式可以表示为P(n,m)=A(n,m)+C(n,m)，即P(n,m)=n!/(n-m)!+C(n,m)。
将需要排列的元素按照一定的顺序排 列，如果元素之间没有间隔，则它们 是相邻的。
复杂排列组合问题解析
排列组合的顺序性
在排列组合的过程中，需要考虑元素的顺序，不同的顺序会 产生不同的结果。
排列组合的可重复性
在排列组合的过程中，需要考虑元素的重复使用，不同的重 复方式也会产生不同的结果。
常见排列组合问题解析
排列特点
与元素的顺序有关，是"有序"的。
组合定义与特点
组合定义
从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个元素中取出m个元 素的一个组合。
组合特点
与元素的顺序无关，是"无序"的。
排列与组合的联系与区别
联系
都是从n个不同元素中取出m个元 素的不同方式。
区别
排列注重的是取出元素后，元素 的顺序是否相同；组合则不考虑 取出元素后的顺序。
排列组合课件总结
排列组合基础知识
排列组合课件应涵盖排列组合的 基本概念、公式和定理，帮助学
生建立正确的排列组合思维。
排列组合问题解析
通过典型例题的解析，让学生掌握 解决排列组合问题的方法和技巧， 提高解题能力。
排列组合应用实例
引入实际应用场景，让学生了解排 列组合在生活、科技、经济等领域 中的应用，增强学习的兴趣和动力 。
组合数公式广泛应用于组合数学、概率论、统计学等学科中，也是解 决实际问题的有力工具。
排列组合综合公式
排列组合综合公式定义
排列组合综合公式表示从n个不同元素中取出m个元素的所有排列和组合的个数，用符号 P(n,m)表示。
排列组合综合公式计算方法
排列组合综合公式可以表示为P(n,m)=A(n,m)+C(n,m)，即P(n,m)=n!/(n-m)!+C(n,m)。
高中组合问题ppt课件
统计学中的组合问题
概率论中的组合问题
在概率论中，组合问题涉及到随机事件的排列和组合。例如，在概率计算中，事件的排列数和组合数 对于计算概率至关重要。
统计学中的组合问题
在统计学中，组合问题常常出现在样本设计和数据分析中。例如，在分层抽样中，需要计算每一层中 应抽取的样本数，这涉及到组合计数的问题。
物理学中的组合问题
组合数学的应用领域
总结词
组合数学在多个领域都有广泛的应用。
详细描述
组合数学在计算机科学、统计学、运筹学、信息理论等领域都有重要的应用。 例如，在计算机科学中，组合数学可用于设计和分析算法，解决诸如搜索、排 序和数据结构等问题。
学习组合数学的意义
总结词
学习组合数学有助于培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
组合恒等式问题
总结词
组合恒等式问题是组合问题中的一类重要问题，主要研究组 合数之间的相互关系和性质。
详细描述
组合恒等式问题涉及到组合数的基本性质和恒等式，如二项 式定理、组合恒等式等，以及这些性质和恒等式的应用。
组合计数问题
总结词
组合计数问题是组合问题中的一类常 见问题，主要研究从n个不同元素中 取出m个元素的不同的取法。
组合数公式
C(n, m) = n! / [m!(n-m)!]
组合问题与排列问题的区别
排列问题考虑取出元素的顺序，而组合问题不考虑取出元素的顺序 。
组合问题的分类
简单组合问题
有序组合问题
从n个不同元素中取出m个元素，不考虑其 他限制条件。
在取出元素后，需要考虑元素的顺序，如 从4个字母中取出2个字母组成一个单词， 需要考虑单词的拼写顺序。
05
组合问题的求解技巧