排列组合公式及恒等式推导、证明(word版)
排列组合数相关公式
排列组合数相关公式在咱们学习数学的道路上，排列组合数相关公式那可是相当重要的一部分。
就像一把神奇的钥匙，能帮咱们打开很多复杂问题的大门。
咱们先来说说排列数的公式。
排列数，简单说就是从 n 个不同元素中取出 m 个元素进行排列的方式总数。
排列数的公式是：A(n, m) = n!/ (n - m)! 这里的“!”表示阶乘，比如说 5! 就是 5×4×3×2×1。
给大家举个例子哈。
比如说学校要从 10 个同学中选出 3 个参加演讲比赛，并且要考虑他们上台的顺序，这时候就得用排列数来计算了。
那就是 A(10, 3) = 10! / (10 - 3)! = 10×9×8 = 720 种方式。
再来说说组合数的公式。
组合数呢，是从 n 个不同元素中取出 m 个元素组成一组，不考虑它们的顺序。
组合数的公式是：C(n, m) = n! / [m!(n - m)!] 。
我记得有一次，班级里组织活动，要从 20 个同学中选出 5 个组成一个小组，这时候就不用考虑这 5 个人的顺序，只关心选出这 5 个人的组合情况，那就是 C(20, 5) = 20! / [5!(20 - 5)!] ，算出来有 15504 种组合方式。
在实际生活中，排列组合数的应用那可太多了。
比如说彩票抽奖，从一堆数字中选出几个数字，这就是组合数的应用。
再比如密码设置，不同数字、字母的排列组合，增加了密码的安全性，这就用到了排列数。
咱们做排列组合数的题目时，一定要仔细分析题目是要考虑顺序还是不考虑顺序，不然很容易出错哦。
总之，排列组合数相关公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多做练习，多结合实际例子去理解，就一定能掌握好，让它成为咱们解决数学问题的有力武器！。
高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识
高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取mm≤n个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 pn,m表示.pn,m=nn-1n-2……n-m+1= n!/n-m!规定0!=1.2.组合及计算公式从n个不同元素中，任取mm≤n个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号cn,m 表示.cn,m=pn,m/m!=n!/n-m!*m!;cn,m=cn,n-m;3.其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数=pn,r/r=n!/rn-r!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/n1!*n2!*...*nk!.k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为cm+k-1,m.排列Pnmn为下标，m为上标Pnm=n×n-1....n-m+1;Pnm=n!/n-m!注：!是阶乘符号;Pnn两个n分别为上标和下标=n!;0!=1;Pn1n为下标1为上标=n组合Cnmn为下标，m为上标Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!n-m!;Cnn两个n分别为上标和下标 =1 ;Cn1n为下标1为上标=n;Cnm=Cnn-m加法乘法两原理，贯穿始终的法则。
与序无关是组合，要求有序是排列。
两个公式两性质，两种思想和方法。
归纳出排列组合，应用问题须转化。
排列组合在一起，先选后排是常理。
特殊元素和位置，首先注意多考虑。
不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。
排列组合恒等式，定义证明建模试。
关于二项式定理，中国杨辉三角形。
两条性质两公式，函数赋值变换式。
1.计数原理知识点①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM 分步②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM 分类2. 排列有序与组合无序Anm=nn-1n-2n-3…n-m+1=n!/n-m! Ann =n!Cnm = n!/n-m!m!Cnm= Cnn-m Cnm+Cnm+1= Cn+1m+1 k•k!=k+1!-k!3.排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.捆绑法集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑插空法解决相间问题间接法和去杂法等等在求解排列与组合应用问题时，应注意：1把具体问题转化或归结为排列或组合问题;2通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;3分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏;4列出式子计算和作答.经常运用的数学思想是：①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想.4.二项式定理知识点：①a+bn=Cn0ax+Cn1an-1b1+ Cn2an-2b2+ Cn3an-3b3+…+ Cnran-rbr+…+ Cn n-1abn-1+ Cnnbn特别地：1+xn=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn-m最大二项式系数在中间。
排列组合公式的推导
排列组合公式的推导嘿，咱来聊聊排列组合公式的推导这事儿。
在数学的奇妙世界里，排列组合就像是一把神奇的钥匙，能打开很多复杂问题的大门。
说起排列组合公式的推导，那可真是一段有趣的旅程。
先来说说排列。
假设咱们有 n 个不同的元素，要从中选取 r 个进行排列。
这就好像是给 r 个位置选“客人”，第一个位置有 n 种选择，选完第一个位置后，第二个位置就只剩下 n - 1 种选择啦，以此类推，第三个位置有 n - 2 种选择……一直到第 r 个位置就只有 n - r + 1 种选择。
所以总的排列数就是 n × (n - 1) × (n - 2) × … × (n - r + 1) ，这就是排列数公式 A(n, r) = n! / (n - r)! 。
我记得有一次给学生们讲这个的时候，有个调皮的小家伙突然举手说：“老师，这感觉好复杂，怎么能记住呀？”我笑着告诉他：“你就想象成一排座位，每个座位都得挑一个特别的‘小伙伴’坐上去，第一个座位挑的时候选择最多，越往后选择越少，这样是不是就好理解啦？”小家伙眨眨眼睛，若有所思地点点头。
再看组合。
组合呢，就是从 n 个不同元素中选取 r 个元素，不考虑顺序。
那怎么推导组合公式呢？咱们可以这样想，先求出排列数 A(n, r) ，但是这里面包含了顺序，而组合是不考虑顺序的，所以对于每一个组合，都存在 r! 种不同的排列。
那组合数 C(n, r) 就等于排列数 A(n, r) 除以 r! ，也就是 C(n, r) = n! / [r!(n - r)!] 。
为了让学生们更清楚这两者的区别，我在课堂上举了个例子。
比如说从 5 个不同颜色的球中选 3 个，选出来的组合不管顺序怎么变，只要球的颜色一样，那就是同一种组合。
但如果是排列，先选红、黄、蓝和先选黄、蓝、红就算是不同的情况。
经过这样的讲解和例子，学生们对排列组合公式的推导理解得更透彻了。
排列组合基本公式大全
排列组合基本公式大全排列和组合是数学中常用的概念，用于计算在特定条件下的可能性和选择数。
掌握排列组合的基本公式是解决许多与计数有关的问题的关键。
下面将提供一些常见的排列组合基本公式，以帮助读者更好地理解和应用它们。
一、排列排列是指从一组元素中选取若干个进行有序排列。
常见的排列基本公式有：1. 全排列公式：对于n个元素的全排列，共有n!种不同的排列方式，其中n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 3 × 2 × 1。
例如，对于3个元素的全排列，共有3! = 3 × 2 × 1 = 6种不同的排列方式。
2. 部分排列公式：对于n个元素中选取m个进行有序排列，共有A(n, m)种排列方式，其中A(n, m)表示从n个元素中选取m个元素进行有序排列的总数，计算公式如下： A(n, m) = n! / (n-m)!例如，从5个元素中选取3个进行有序排列，共有A(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 60种不同的排列方式。
二、组合组合是指从一组元素中选取若干个进行无序组合。
常见的组合基本公式有：1. 无重复元素组合公式：对于n个不重复元素中选取m个进行无序组合，共有C(n, m)种组合方式，其中C(n, m)表示从n个元素中选取m个元素进行无序组合的总数，计算公式如下：C(n, m) = n! / (m! × (n-m)!)例如，从8个不重复元素中选取4个进行无序组合，共有C(8, 4) = 8! / (4! ×(8-4)!) = 70种不同的组合方式。
2. 有重复元素组合公式：当元素中存在重复元素时，选取m个进行无序组合的总数可以通过排列数除以重复元素的排列数得到。
计算公式如下：有重复元素组合总数 = 无重复元素组合总数 / 重复元素的排列数例如，从6个元素中选取3个进行无序组合，其中2个元素重复，共有C(6,3) / 2! = (6! / (3! × (6-3)!)) / 2! = 10种不同的组合方式。
排列组合公式公式解释
排列组合是数学中的一个重要概念，用于计算不同元素的组合方式。
它在组合数学、概率论、统计学等领域中经常被应用。
本文将详细介绍排列组合的概念以及相关公式，并给出一些实际应用的例子。
1. 排列的概念及公式排列是指从n个元素中选取r个元素进行排序的方式。
这个过程中，每个元素只能使用一次，并且顺序不同即为不同的排列。
排列通常用P(n, r)表示，计算公式如下：P(n, r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * … * 2 * 1。
n的阶乘表示从n个元素中选取所有元素进行排列的总数，而(n-r)!表示剩余元素的阶乘，即可以从n个元素中选取r个元素进行排列的总数。
排列的计算公式可以帮助我们高效地计算大量元素的排列情况。
例如，从10个数中选取3个数进行排列，即P(10, 3)，可以通过计算10! / 7!得到结果。
2. 组合的概念及公式组合是指从n个元素中选取r个元素进行组合的方式。
与排列不同，组合不考虑选取元素的顺序，因此不同顺序的元素组合被视为同一种组合方式。
组合通常用C(n, r)表示，计算公式如下：C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)其中，n!仍表示n的阶乘，r!表示r的阶乘，(n-r)!表示剩余元素的阶乘。
组合的计算公式可以帮助我们统计不同元素组合的数量。
例如，从10个数中选取3个数进行组合，即C(10, 3)，可以通过计算10! / (3! * 7!)得到结果。
3. 排列组合的应用排列组合在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些例子：3.1. 抽奖问题假设有10个人参加抽奖，每个人的抽奖号码是从1到10之间的整数。
如果我们想要知道抽取出来的3个人的号码的所有可能情况，可以使用组合的方法计算。
结果为C(10, 3) = 120。
3.2. 选课问题假设有10门课程可以选择，每个人可以选择其中的5门进行学习。
如果我们关心的是不同学生选择不同课程的情况，可以使用排列的方法计算。
高中数学排列组合公式排列组合计算公式
排列组合公式/排列组合计算公式排列 P------和顺序有关组合 C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法 "组合"1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Pnm(n为下标，m为上标)）Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn （两个n分别为上标和下标） =n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
排列组合公式总结大全(3篇)
第1篇在数学中，排列组合是研究有限集合中元素的不同排列和组合方式的一种数学分支。
它广泛应用于统计学、概率论、计算机科学、组合数学等领域。
以下是对排列组合中常用公式的总结，以供参考。
一、排列1. 排列的定义：从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2. 排列数公式：A(n, m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。
3. 排列的运算性质：（1）交换律：A(n, m) = A(n-m, n-m)（2）结合律：A(n, m) × A(m, k) = A(n, k)（3）逆运算：A(n, m) × A(m, n-m) = n!二、组合1. 组合的定义：从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个不同的元素，不考虑它们的顺序，这样的取法称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
2. 组合数公式：C(n, m) = n! / [m! × (n-m)!]3. 组合的运算性质：（1）交换律：C(n, m) = C(n-m, n-m)（2）结合律：C(n, m) × C(m, k) = C(n, k)（3）逆运算：C(n, m) × C(m, n-m) = C(n, n)三、排列与组合的关系1. 排列与组合的关系：A(n, m) = C(n, m) × m!2. 排列与组合的区别：（1）排列考虑元素的顺序，组合不考虑元素的顺序。
（2）排列的运算性质与组合的运算性质不同。
四、排列组合的应用1. 排列组合在概率论中的应用：计算随机事件发生的概率。
2. 排列组合在计算机科学中的应用：设计算法、密码学、数据结构等。
3. 排列组合在统计学中的应用：抽样调查、数据分析等。
(word完整版)排列组合和排列组合计算公式.
排列组合公式/排列组合计算公式排列 P--—--—和顺序有关组合 C ——-—-—-不牵涉到顺序的问题排列分顺序，组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法。
"排列”把5本书分给3个人,有几种分法 "组合"1．排列及计算公式从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号p(n,m)表示。
p(n,m)=n（n—1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)！(规定0!=1）.2．组合及计算公式从n个不同元素中,任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m（m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。
用符号c(n，m）表示.c（n,m）=p（n，m)/m!=n!/(（n-m）!＊m！）；c(n,m）=c(n,n—m）；3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p（n，r)/r=n!/r(n-r)！.n个元素被分成k类,每类的个数分别是n1，n2,。
..nk这n个元素的全排列数为n！/(n1!*n2！*...*nk！）。
k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为c（m+k-1，m)。
排列（Pnm（n为下标，m为上标））Pnm=n×（n-1）。
（n—m+1）；Pnm=n!/(n-m）！（注:！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标） =n！;0!=1;Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm（n为下标,m为上标））Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！(n-m）！；Cnn(两个n分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008—07-08 13：30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
排列组合公式大全
排列组合公式大全在组合数学中，排列和组合是两个重要的概念。
排列指的是从一组元素中选择出一些元素按照一定的顺序排列，而组合则是从一组元素中选择出一些元素，不考虑顺序。
排列和组合在概率论、统计学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍一些常见的排列和组合公式，供读者参考。
排列公式1. 排列的定义在数学中，从n个元素中选取r个元素进行排列，记为P(n, r)。
排列的结果是有序的，具体的排列方式有nPr种。
2. 全排列公式当r等于n时，即从n个元素中选取n个元素进行排列，这种排列方式称为全排列。
全排列的总数为n!（n的阶乘），即：P(n, n) = n!3. 部分排列公式当r小于n时，即从n个元素中选取r个元素进行排列，这种排列方式称为部分排列。
部分排列的总数为：P(n, r) = n! / (n - r)!4. 循环排列公式循环排列是一种特殊的排列方式，它指的是把元素排列成一个环状。
对于n个元素的循环排列，总数为(n - 1)!。
P(n, 1) = (n - 1)!5. 有限排列公式在排列中，如果元素可以重复使用，则称为有限排列。
从n个元素中选取r个元素进行有限排列的总数为nr。
组合公式1. 组合的定义在数学中，从n个元素中选取r个元素进行组合，记为C(n, r)。
组合的结果是无序的，具体的组合方式有Cnr种。
2. 组合公式组合的总数可以使用下列公式计算：C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!)3. 组合与排列的关系组合数与排列数之间存在一定的关系。
具体来说，C(n, r)可以通过P(n, r)除以r!来计算，即：C(n, r) = P(n, r) / r!4. 二项式系数公式二项式系数是组合数学中常见的概念，它对应于二项式展开中各项的系数。
n 个元素的二项式系数可以使用组合公式计算：C(n, 0) = 1C(n, n) = 1C(n, r) = C(n - 1, r - 1) + C(n - 1, r)总结本文介绍了一些常见的排列和组合公式。
排列组合的一些公式及推导（非常详细易懂）
排列组合的一些公式及推导（非常详细易懂）绪论：加法原理、乘法原理分类计数原理：做一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。
分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×⋯×mn种不同的方法。
区别：分类计数原理是加法原理，不同的类加起来就是我要得到的总数；分步计数原理是乘法原理，是同一事件分成若干步骤，每个步骤的方法数相乘才是总数。
排列问题排列数从n个不同元素种取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素种取出m个元素的排列数，用符号Amn表示。
排列数公式Amn=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)=n!(n−m)!,n,m∈N∗,并且m≤n（规定0!=1）推导：把n个不同的元素任选m个排序，按计数原理分步进行：取第一个：有n种取法；取第二个：有(n−1)种取法；取第三个：有(n−2)种取法；……取第m个：有(n−m+1)种取法；根据分步乘法原理，得出上述公式。
排列数性质Amn=nAm−1n−1 可理解为“某特定位置”先安排，再安排其余位置。
Amn=mAm−1n−1+Amn−1 可理解为：含特定元素的排列有mAm−1n−1，不含特定元素的排列为Amn−1。
组合问题组合数从n个不同元素种取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素种取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示。
组合数公式Cmn=AmnAmm=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!=n!m!(n−m)!,n,m∈N∗,并且m≤nC0n=Cnn=1证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。
将部分排列问题Amn分解为两个步骤：第一步，就是从n个球中抽m个出来，先不排序，此即组合数问题Cmn；第二步，则是把这m个被抽出来的球排序，即全排列Amm。
排列组合常用公式
排列组合常用公式排列和组合是数学中常用的两个概念，用于计算对象的不同排序和选择方式。
在组合数学和概率论中，排列和组合公式是非常重要的工具。
本文将介绍常用的排列和组合公式，帮助我们更好地理解和应用这些概念。
排列公式排列是指从给定元素中选择一组有序的元素的方式。
在排列中，元素的顺序是重要的。
以下是常用的排列公式：1.全排列公式：当从n个不同元素中选择r个进行排列时，全排列的总数可以表示为P(n, r)。
全排列的计算方式为：P(n, r) = n! / (n - r)!其中，n! 表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 2 * 1。
2.循环排列公式：当从n个不同元素中选择r个进行循环排列时，循环排列的总数可以表示为P(n, r) / r。
循环排列的计算方式与全排列类似，只是需要除以r，因为循环排列相同的元素被认为是相同的。
循环排列数 = P(n, r) / r组合公式组合是指从给定元素中选择一组无序的元素的方式。
在组合中，元素的顺序是不重要的。
以下是常用的组合公式：1.组合公式：当从n个不同元素中选择r个进行组合时，组合的总数可以表示为C(n, r)。
组合的计算方式为：C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!)其中，n! 表示n的阶乘，r! 表示r的阶乘，(n-r)! 表示(n-r)的阶乘。
2.二项式定理：二项式定理是组合公式的一个重要推论。
当计算表达式(x + y)^n 的展开式时，其中x和y为变量，n为非负整数，展开式中每一项的系数可以表示为C(n, k)。
展开式的计算方式为：(x + y)^n = C(n, 0) * x^n * y^0 + C(n, 1) * x^(n-1) * y^1 + ... + C(n, n) * x^0 * y^n其中，C(n, k) 表示从n个元素中选择k个进行组合的总数。
示例下面通过几个示例展示如何应用排列和组合公式：1.例1：有8个人排成一队，请问一共有多少种不同的队形可以排列？解：我们可以将问题转化为计算全排列的问题。
排列组合计算公式高中
排列组合计算公式高中高中数学中的排列组合计算公式，那可是个相当有趣又有点烧脑的部分！咱先来说说排列。
排列呢，就是从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记为 A(n,m) 。
它的计算公式就是 A(n,m) = n! / (n - m)! 。
这里的“!”表示阶乘，比如 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 。
给大家举个例子哈。
比如说学校组织演讲比赛，有 8 个同学报名，要选出 3 个同学依次上台演讲，那这一共有多少种选法呢？这就是一个排列问题。
按照公式，A(8,3) = 8! / (8 - 3)! = 8 × 7 × 6 = 336 种。
也就是说，有 336 种不同的上台顺序。
再说说组合。
组合就是从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，记为 C(n,m) ，计算公式是 C(n,m) = n! / [m!(n - m)!] 。
就像我们班选班委，要从 10 个候选人里选出 5 个班委，不考虑职位的顺序，这就是组合问题。
C(10,5) = 10! / [5!(10 - 5)!] = 252 种。
有一次，我们班组织活动，要分组做游戏。
一共 20 个人，要分成 4 组，每组 5 个人。
这时候就得用组合的知识来算有多少种分法。
算出来后，大家就开始分组，那场面可热闹啦，有的同学着急想和自己的好朋友一组，有的同学则比较随意。
最后分组完成，游戏开始，大家玩得那叫一个开心！排列组合在生活中的应用可多了去了。
比如彩票抽奖，从一堆数字中选出几个中奖数字，这就是组合；还有安排座位，谁坐哪儿，这就是排列。
在做排列组合的题目时，一定要仔细分析是排列问题还是组合问题，千万别搞混了。
而且要注意有没有特殊的条件限制，比如某些元素不能相邻，或者某些元素必须在一起。
总之，排列组合虽然有点复杂，但只要多做题，多思考，掌握了规律，也就不难啦！希望同学们都能在这部分知识的学习中找到乐趣，取得好成绩！。
排列组合问题公式
排列组合是数学中常见的一个概念，用于计算一组事物的不同选择和排列方式的总数。
在很多实际问题中，我们经常需要计算排列组合的个数，比如在概率论、统计学、计算机科学等领域中。
在排列组合中，我们常常遇到两个主要的概念，分别是排列和组合。
一、排列排列是指从一组事物中按照一定的顺序选取若干个事物进行排列，这些事物通常具有明确的先后次序。
如果从n个不同的事物中选取m个进行排列，这种排列的数目记为P(n, m)或者nPm。
排列的计算公式如下：P(n, m) = n! / (n - m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n - 1) * (n - 2) * … * 3 * 2 * 1。
排列的应用非常广泛，比如在密码学中，可以用来计算密码的位数和种类组合方式，从而确定密码的破解难度；在概率统计中，可以用来计算事件的发生概率等。
二、组合组合是指从一组事物中选取若干个事物进行组合，这些事物之间通常没有明确的先后次序。
如果从n个不同的事物中选取m个进行组合，这种组合的数目记为C(n, m)或者nCm。
组合的计算公式如下：C(n, m) = n! / (m! * (n - m)!)组合数目的计算方法比排列简单一些，因为组合只考虑选取事物的组合方式，而不考虑它们的排列顺序。
组合的应用也非常广泛，比如在概率统计中的二项分布、组合数学、图论、社会科学等领域都有它的身影。
三、排列组合的应用举例 1. 在一场比赛中，有8个选手参加，如果要计算前3名的组合方式，可以通过排列的方式计算，即P(8, 3) = 8! / (8 - 3)! = 8! / 5! = (8 * 7 * 6) / (3 * 2 * 1) = 8 * 7 * 6 = 336。
2.在一个班级中，有10个男生和12个女生，如果要从中选出5个人组成一个小组，可以通过组合的方式计算，即C(22, 5) = 22! / (5! * (22 - 5)!) = 22! / (5! * 17!) = (22 * 21 * 20 * 19 * 18) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 22 * 21 * 20 * 19 *18 / 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 33649。
排列组合公式
排列组合公式排列与组合都是计算“从 个元素中任取 个元素”的取法总数公式, 其主要区别在于: 如果不讲究取出元素间的次序, 则用组合公式, 否则用排列公式。
而所谓讲究元素间的次序, 可以从实际问题中得以辨别, 例如两个人相互握手是不讲次序的；而两个人排队是讲次序的。
排列与组合公式的推导都基于如下两条计数原理:（1）乘法原理（分步）如果某件事需经 个步骤才能完成, 做第一步有 种方法, 做第二步有 种方法……做第 步有 种方法, 那么完成这件事共有 种方法。
譬如, 甲城到乙城有3条旅游线路, 由乙城到丙城有2条旅游线路, 那么从甲城经乙城去丙城共有 条旅游线路。
（2）加法原理（分类）如果某件事可由 类不同途径之一去完成, 在第一类途径中有 种完成方法, 在第二类途径中有 种完成方法……在第 类途径中有 种完成方法, 那么完成这件事共有 种方法。
譬如, 由甲城到乙城去旅游有3类交通工具：汽车、火车和飞机。
而汽车有5个班次, 火车有3个班次, 飞机有2个班次, 那么从甲到乙共有 个班次供旅游者选择。
计算公式:（1）排列从 个不同元素中任取 （ ）个元素排成一列（考虑元素先后出现次序）, 称此为一个排列, 此种排列的总数记为 。
按乘法原理, 取出的第一个元素有 种取法, 取出的第二个元素有 种取法……取出的第 个元素有 种取法, 所以有！r n n ！r n n n P r n )()1()1(-=+-⨯⨯-⨯= （r n A ） 若 , 责称为全排列, 记为 , 全排列 （ ） 例如：121234)124(424⨯⨯⨯⨯=+-⨯=A 123444⨯⨯⨯=A例: 把4个不同的球放入4个不同的盒子中, 每个盒子放一个球, 有多少种放法？答：123444⨯⨯⨯=A（2）重复排列从 个不同元素中每次取出一个, 放回后再取下一个, 如此连续取 次所得的排列称为重复排列, 此种重复排列数共有 个。
（3）组合从 个不同元素中任取 （ ）个元素并成一组（不考虑元素间的先后次序）, 称此为一个组合, 此种组合的总数记为 或 。
排列组合公式证明过程
排列组合公式证明过程好的，以下是为您生成的关于“排列组合公式证明过程”的文章：咱先来说说排列组合这回事儿哈。
在数学的世界里，排列组合就像是一个神秘的魔法盒子，里面藏着各种有趣的规律和秘密。
先来讲讲排列。
排列呢，就是从一堆东西里面挑出几个，然后给它们排排坐，顺序很重要！比如说，从 5 个不同的水果里选出 3 个排成一排，这就有很多种可能啦。
那排列的公式是怎么来的呢？咱们假设从 n 个不同元素中取出 m 个元素进行排列，第一个位置咱们有 n 种选择，选了一个之后，第二个位置就剩下 n - 1 种选择啦，第三个位置就剩下 n - 2 种选择，以此类推，一直到第 m 个位置就剩下 n - m + 1 种选择。
所以总的排列数就是把这些选择数乘起来，就得到了 A(n, m) = n × (n - 1) × (n - 2) ×...× (n - m + 1) 。
我记得有一次在课堂上，我给学生们出了一道这样的题：有 7 个不同颜色的球，选 4 个排成一排，有多少种排法？一开始，很多同学都被这个题难住了，抓耳挠腮的。
我就引导他们一步一步来，先想第一个位置有 7 种选择，第二个位置 6 种，第三个位置 5 种，第四个位置 4 种。
然后让他们自己算一算，最后大家都算出了答案，脸上露出了那种恍然大悟的表情，我看着也特别开心。
再来说说组合。
组合就不一样啦，它只关心选出来的结果，不关心顺序。
比如说，从 5 个水果里选出 3 个，不管怎么排，只要是这 3 个水果就行。
组合的公式 C(n, m) = A(n, m) / m! 。
为啥呢？因为在排列里，同样的m 个元素，由于顺序不同会被重复计算很多次，而组合不关心顺序，所以要把这些重复的去掉，就得除以 m! 。
举个例子哈，从 10 个人里选 3 个人组成一个小组，这就是组合问题。
咱们先算出从 10 个人里选 3 个人的排列数 A(10, 3) ，然后再除以3! ，就能得到组合数 C(10, 3) 。
排列组合解法公式
排列组合解法公式排列组合在数学中可是个很有趣的部分呢！它能帮我们解决好多生活中的问题。
先来说说排列的公式吧。
排列呢，就是从 n 个不同元素中，取出 m 个元素按照一定的顺序排成一列。
这时候的排列数记作 A(n, m) ，它的计算公式就是 A(n, m) = n! / (n - m)! 。
比如说，从 5 个不同的水果里选3 个排成一排，那就是 A(5, 3) = 5! / (5 - 3)! = 60 种排法。
再讲讲组合的公式。
组合就是从 n 个不同元素中，取出 m 个元素组成一组，不考虑顺序。
组合数记作 C(n, m) ，计算公式是 C(n, m) = n! / [m!×(n - m)!] 。
还是拿水果举例，从 5 个不同的水果里选 3 个组成一组，不考虑顺序，那就是 C(5, 3) = 5! / [3!×(5 - 3)!] = 10 种组合。
我还记得之前给学生们讲这部分知识的时候，发生了一件有趣的事儿。
那是一个阳光明媚的上午，我在黑板上写下了一道排列组合的题目：在一个班级里有 10 个同学，要选出 4 个同学去参加比赛，有多少种选法？我让同学们先自己思考，然后讨论。
一开始，大家都有点懵，各种答案都有。
有的同学直接用 10 乘以 4 ，有的同学乱写一通。
我看着他们抓耳挠腮的样子，心里偷笑，但也知道这对于他们来说确实是个有点难的知识点。
我开始慢慢引导他们，“同学们，咱们先想想，如果要考虑选出的同学的顺序，那就是排列问题；如果不考虑顺序，那就是组合问题。
那这道题，我们需不需要考虑选出同学的顺序呢？”同学们开始七嘴八舌地讨论起来。
有的说要，有的说不要。
最后，我们一起分析得出，这里不需要考虑顺序，是组合问题。
于是，我们按照组合的公式 C(10, 4) = 10! / [4!×(10 - 4)!] 一起计算，算出结果是 210 种选法。
这时候，同学们恍然大悟，脸上露出了开心的笑容。
排例组合的公式
排例组合的公式嘿，咱今天来聊聊排列组合的公式。
排列组合这玩意儿，在数学里可算是个有点让人头疼但又特别有趣的部分。
先来说说排列。
比如说，从 5 个不同的球里，选 3 个排成一排，有多少种排法？这就要用到排列公式啦。
排列公式是 A(n, m) = n! / (n - m)! 。
这里的“!”表示阶乘，比如 5! = 5×4×3×2×1 。
就像上次我监考数学考试的时候，有道排列组合的题，好多同学抓耳挠腮的。
我在教室里溜达，看到一个小家伙，眉头皱得能夹死苍蝇，嘴里还念念有词：“这咋排呀，脑袋都大了！”我心里暗笑，这孩子，估计是公式没吃透。
再说说组合。
组合就是不管顺序，比如说从 5 个球里选 3 个，有多少种选法。
组合公式是 C(n, m) = n! / [m!(n - m)!] 。
举个例子，学校组织活动，要从 10 个同学里选 4 个参加比赛，这就是组合问题。
咱们用组合公式就能算出来有多少种选法。
我还记得有一次给学生们讲排列组合，有个同学突然站起来问我：“老师，这排列组合在生活里有啥用啊？”我当时就笑了，我说：“你想想啊，咱出去旅游，规划路线，这是不是得考虑排列组合？还有，分小组做项目，选组员是不是也得用到？”那同学恍然大悟的表情，我到现在都记得。
其实啊，排列组合不仅仅是在数学题里出现，生活中到处都有它的影子。
比如说，你去超市买水果，有 5 种水果，你想买 3 种，这就可以用组合来算算有多少种选择。
再比如，你参加歌唱比赛，10 个选手选前 3 名，这就是排列啦。
总之，排列组合的公式虽然看起来有点复杂，但只要多琢磨，多做几道题，就会发现其实也没那么难。
就像学骑自行车，一开始可能摇摇晃晃，但掌握了平衡的窍门，就能骑得稳稳当当啦！希望大家都能把排列组合的公式掌握好，在数学的世界里畅游无阻！。
排列组合公式及恒等式推导、证明(word版)
nC
n n
=n
2n- 1
证明：
由
mC
m n
=
nC
m n-
-1 1
可得
:（还记得这个恒等式吗，不记得就回过头去看③的证明）
左边
=nCn0-1 +nCn1-1 +nCn2-1 +nCn3-1 + nCnn--11 =n(Cn0-1 +Cn1- 1 +Cn2-1 +Cn3-1 + Cnn--11) =n 2n-1
n!=n
n! = nAnn
右边 =左边
⑤
A
m n +1
=
A
m n
+
mA
m n
-
1
A = A + mA m
m
m-
n +1 证明：n右边 = n! n +m
n!
= (n - m +1)n!- m n! =
(n +1)!
=
Am n +1
(n - m)! (n - m +1)! (n- m +1)! (n - m +1)!
第三步，排第三位： 有（n-2 ） 种选法；
┋
第 m步，排第 m位： 有（n-m+1）种选法；
┋
最后一步，排最后一位：有 1 种选法。
根据分步乘法原理，得出上述公式。
二、组合数公式：
Cnm
=
Anm Amm
=
n(n
-
1)(n
-
2) m!
(n - m +1) = n! m!(n - m)!
C
n n
=1
高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识
⾼中数学排列组合公式⼤全_⾼中数学排列组合重点知识 排列组合是⾼中数学教学内容中的重要组成部分，在⾼考试卷中排列组合的占分⽐越来越⾼，且出现的形式多种多样。
下⾯店铺给你分享⾼中数学排列组合公式⼤全，欢迎阅读。
⾼中数学排列组合公式⼤全 1.排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照⼀定的顺序排成⼀列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的⼀个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，⽤符号 p(n,m)表⽰. p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2.组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成⼀组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的⼀个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.⽤符号 c(n,m) 表⽰. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m); 3.其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素,每类的个数⽆限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m). 排列(Pnm(n为下标，m为上标)) Pnm=n×(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标) =n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n 组合(Cnm(n为下标，m为上标)) Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标) =1 ;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m ⾼中数学排列组合公式记忆⼝诀 加法乘法两原理，贯穿始终的法则。
排列组合的公式
排列组合的公式
排列的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个不同的元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号
计算公式：
排列组合计算公式
此外规定0! = 1
组合的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。
用符号C(n,m) 表示。
计算公式：
其他排列与组合公式从n个元素中取出m个元素的循环排列数=A(n,m)/m=n!/m(n-m)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1！×n2！×...×nk!). k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为
C(m+k-1,m）。
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排列组合公式及恒等式推导、证明（word 版）说明：因公式编辑需特定的公式编辑插件，不管是word 还是pps 附带公式编辑经常是出错用不了。
下载此word 版的，记得下载MathType 公式编辑器哦，否则乱码一堆。
如果想偷懒可下截同名的截图版。
另外，还有PPt 课件（包含了排列组合的精典解题方法和精典试题）供学友们下载。
一、排列数公式：!(1)(2)(1)()!mn n A n n n n m n m(1)(1)321n n A n n n推导：把n 个不同的元素任选m 个排次序或n 个全排序，按计数原理分步进行：第一步，排第一位： 有 n 种选法； 第二步，排第二位： 有（n-1） 种选法； 第三步，排第三位： 有（n-2） 种选法； ┋第m 步，排第m 位： 有（n-m+1）种选法； ┋最后一步，排最后一位：有 1 种选法。
根据分步乘法原理，得出上述公式。
二、组合数公式：(1)(2)(1)!!!()!m m n nm mA n n n n m n CA m m n m1nn C推导：把n 个不同的元素任选m 个不排序，按计数原理分步进行： 第一步，取第一个： 有 n 种取法； 第二步，取第二个： 有（n-1） 种取法； 第三步，取第三个： 有（n-2） 种取法； ┋第m 步，取第m 个： 有（n-m+1）种取法； ┋最后一步，取最后一个：有 1 种取法。
上述各步的取法相乘是排序的方法数，由于选m 个，就有m!种排排法，选n 个就有n!种排法。
故取m 个的取法应当除以m!,取n 个的取法应当除以n!。
遂得出上述公式。
证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。
将部分排列问题m n A 分解为两个步骤：第一步，就是从n 个球中抽m 个出来，先不排序，此即定义的组合数问题m n C ；第二步，则是把这m 个被抽出来的球全部排序，即全排列m m A 。
根据乘法原理，m m m n n m A C A 即：(1)(2)(1)!!!()!m m n nm mA n n n n m n CA m m n m组合公式也适用于全组合的情况，即求 C(n, n)的问题。
根据上述公式，C(n, n) = n!/n!(n-n)! = n! / n!0! = 1。
这一结果是完全合理的，因为从n 个球中抽取所有n 个出来，当然只有1种方法。
三、重复组合数公式：重复组合定义:从n 个不同的元素中每次取一个，放回后再取下一个，如此连续m 次所得的组合。
重复组合数公式：1m m n n m R C （m 可小于、大于、等于n,n ≥1） 推导：可以把该过程看作是一个“放球模型”：n 个不同的元素看作是n 个格子，其间一共有（n-1）块相同的隔板，用m 个相同的小球代表取m 次；则原问题可以简化为将m 个不加区别的小球放进n 个格子里面，问有多少种放法；这相当 于m 个相同的小球和（n-1）块相同的隔板先进行全排列：一共有（m+n-1）！种排法，再由于m 个小球和（n-1）块隔板是分别不加以区分的，所以除以重复的情况：m ！*（n-1）！ 1(1)!!(1)!m n m m n C m n四、不全相异的全排列1(1)mnn mA右边=!!(1)(1)!()!m nn n nmA nm n m 左边=右边1mmnn n A A nm证明：右边=(1)!(1)!()!m nnn n A nmn m n m左边=右边11mm n n A nA证明：右边=(1)!!()!()!mnn n nA nm n m②③左边=右边11n n nn n n nA A A证明：右边=11(1)!!(1)!!!n n nnn n A A n n n n n n n nA右边=左边11m mmn nnA A mA证明：右边=1!!(1)!!(1)!()!(1)!(1)!(1)!m n n n n m n m n n mA n m n m n m n m1!22!33!!(1)!1n n n证明：左边=(2-1)1！+（3-1）2！+（4-1）3!+…（n+1-1）n!=2!-1!+3!-2!+4!-3!…(n+1)!-n! =(n+1)!-1！ =右边 六、组合恒等式的证明首先明弄清组合的两个性质公式：④⑤⑥互补性质：取出有多少种，剩下就有多少种 mnmn n C C 11m m mn n n C C C根据分类计数原理:要么含有新加元素要么不含新加元素1111m mnnm n m C C n mm证明：111(1)!!()(1)!(1)!!()!11!!(1)!(1)!!()!mmnn mmnn m m n n C C n mn m m n m m n m n m n m n n C C mm m n m m n m证明：右边=1(1)!!!(1)!!()!m mn n n nn n CC n mn m m n m m n m证明： 右边=(1)!!(1)!()!!()!m nn n n C m m n m m n m=左边证明：根据组合性质，左边各式可写成：1n n Cnm11m n n C m⑤1121rr r r r rr r nn C CCCC111112111232113431111111r r r r r rr r r r rr rr r r r r r r r r r rrn n n rr rn n n C C C C C C C C C C C C C C C C C左右两边相加即得：1121r r r r r r r r n n C C C C C证明：用数学归纳法证明。
1）当n=1时，0111122C C 所以等式成立。
2）假设n=k 时，（k≥1，k∈N*）时等式成立。
即：0122kkk k k k C C C C当n=k+1时，0121111110011211110120121()()()()()222kk k kk k k kk k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k kC C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C∴等式也成立由1)、2)得，等式对n∈N*都成立。
⑥ 012n nnnnC CC也可用二项式定理证明（略）证明：用归纳法同上（略） 也可利用上述结论证明（略） 本课件尽量避开用二项式定理，但这比较简单，暂且用一下： 设13524n n nnnna C C Cb C C C由（1+1）n 可得：a+b=2n =2×2n-1 由（1-1）n 可得a-b=0 ∴a=b=2n-1 (不懂的去学学二项式定理)证明： 由11m mm n n C nC 可得:（还记得这个恒等式吗，不记得就回过头去看③的证明）左边012311111101231111111=n n n n n n()n 2n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C注：同时利用了⑥的结论。
⑦ 13502412n nnnnnnC C C C C C ⑧ 1231232n n nnnnCCCnCn ⑨ 0110r r r r m nm nm nn mC CC CC CC用二项式定理证明太麻烦了。
能偷懒就不要太勤快了。
观察左边的每一项，发现均是分别从m 个不同素和n 个不同元素中取r 个元素的一个组合，其各项之和就是所有取法，即所有组合数。
其所有组合数当然等于右边。
还是用偷懒法：根据第⑨的结论并结合组合的互补性质，若r=m=n 即得些结论。
r ≤min{m,n}⑩ 021222()()()n n nnnnC C C C。