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排列组合ppt课件
在工程领域，排列组合用于优化设计 、规划、调度等问题，如计算机科学 、信息论、控制论等。
02
排列组合基础
排列数公式与组合数公式
排列数公式
从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，用符号A(n,m)表示，公式 为A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×...×3×2×1。
给定一个无向图，用k种颜色对图 中的边进行染色，使得每条边的 颜色都不相同，求所有可能的染 色方案。
染色问题的解法
使用递归和回溯法，从全不染色的 情况开始，逐渐增加染色的边数， 直到全部染色。
染色问题的应用
在解决一些组合优化问题时，染色 问题可以用来计算不同方案的数量 。
平均分组
平均分组的定义
将n个元素平均分成m组，每组k 个元素，求所有可能的分组方案
反序：若在排列a中有i<j，且 a(i)=a( j)，则称a中i和j为反序
。
奇偶性：若n个元素全排列的 排法数为偶数，则称n个元素 全排列为偶排列，否则称为奇
排列。
组合的定义与性质
组合的定义：从n个不同元素中取出m个 元素的所有组合的个数，记作C(n,m)。
结合律：C(n,k)C(n-k,m)=C(n,m)C(nm,k)。
03
排列组合进阶
错位重排
错位重排的定义
在n个元素中，如果有m个元素互不相邻，则称这 个排列为错位重排。
错位重排的公式
$n!(1-1/2!+1/3!-...+(-1)^n/n!)$
错位重排的应用
在解决一些排列组合问题时，错位重排公式可以 用来计算某些元素不在一起排列的总数。
染色问题
染色问题的定义
等待时间
02
排列组合基础
排列数公式与组合数公式
排列数公式
从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，用符号A(n,m)表示，公式 为A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×...×3×2×1。
给定一个无向图，用k种颜色对图 中的边进行染色，使得每条边的 颜色都不相同，求所有可能的染 色方案。
染色问题的解法
使用递归和回溯法，从全不染色的 情况开始，逐渐增加染色的边数， 直到全部染色。
染色问题的应用
在解决一些组合优化问题时，染色 问题可以用来计算不同方案的数量 。
平均分组
平均分组的定义
将n个元素平均分成m组，每组k 个元素，求所有可能的分组方案
反序：若在排列a中有i<j，且 a(i)=a( j)，则称a中i和j为反序
。
奇偶性：若n个元素全排列的 排法数为偶数，则称n个元素 全排列为偶排列，否则称为奇
排列。
组合的定义与性质
组合的定义：从n个不同元素中取出m个 元素的所有组合的个数，记作C(n,m)。
结合律：C(n,k)C(n-k,m)=C(n,m)C(nm,k)。
03
排列组合进阶
错位重排
错位重排的定义
在n个元素中，如果有m个元素互不相邻，则称这 个排列为错位重排。
错位重排的公式
$n!(1-1/2!+1/3!-...+(-1)^n/n!)$
错位重排的应用
在解决一些排列组合问题时，错位重排公式可以 用来计算某些元素不在一起排列的总数。
染色问题
染色问题的定义
等待时间
17种排列组合方法ppt课件
甲乙 丙丁
由分步计数原理可得共有 A55A22 A22 =480
种不同的排法
6
五.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞 蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共
个有元A素55 中种间，包第含二首步尾将两4舞个蹈空插位入共第有一种步排A好64 的不6
练习：从6个男同学和4个女同学中，选出3个男同学和 2个女同学，分别担任五项不同的工作，一共有多少 种不同的分配方法？
5
四.相邻元素捆绑策略 例2.7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共 有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元 素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进 行排列，同时对相邻元素内部进行自排.
个空隙中插入3个不亮的灯有__C__35 _种.
12
十二.元素相同问题隔板策略 例10.有10个三好学生名额，在分给7个班，每班至 少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排，相 邻名额之间形成９个空隙. 在９个空档中选６个 位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给 ７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有
同的方法.由分步计数原理,节目的不同顺序
共有
A A55
4 6
种
相 独 独独相
7
六.固定顺序问题用除法策略 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定,共有多少不 同的排法?
1除法：对于某几个元素顺序一定的排列问题,可 先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后 用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，则 共有不同排法种数是： A77
A22
15
练习：某兴趣小组有9个人，现有3项不同的活动可以让
由分步计数原理可得共有 A55A22 A22 =480
种不同的排法
6
五.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞 蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共
个有元A素55 中种间，包第含二首步尾将两4舞个蹈空插位入共第有一种步排A好64 的不6
练习：从6个男同学和4个女同学中，选出3个男同学和 2个女同学，分别担任五项不同的工作，一共有多少 种不同的分配方法？
5
四.相邻元素捆绑策略 例2.7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共 有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元 素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进 行排列，同时对相邻元素内部进行自排.
个空隙中插入3个不亮的灯有__C__35 _种.
12
十二.元素相同问题隔板策略 例10.有10个三好学生名额，在分给7个班，每班至 少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排，相 邻名额之间形成９个空隙. 在９个空档中选６个 位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给 ７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有
同的方法.由分步计数原理,节目的不同顺序
共有
A A55
4 6
种
相 独 独独相
7
六.固定顺序问题用除法策略 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定,共有多少不 同的排法?
1除法：对于某几个元素顺序一定的排列问题,可 先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后 用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，则 共有不同排法种数是： A77
A22
15
练习：某兴趣小组有9个人，现有3项不同的活动可以让
排列组合讲解ppt课件
知识铺垫
首先来了解下什么是两种计数原理?两种计数原理其实就是加法原理和乘法原 理，那么什么时候用加法?什么时候用乘法呢?标准就是判断你所要用的这种方 法能否独立完成一件事，如果可以那就用加法，如果不能那就用乘法。例如： 小王想要从甲到乙地，如果坐火车有3列车可选，如果做汽车有5班车可选，问 小王从甲到乙一共有多少种到达的方式?答案很显然是3+5=8，为什么用加法 呢?因为要完成的从甲地到乙地，首先3列火车可以独立完成，5班汽车也可独 立完成，每一种方式都能够独立完成这件事情则用加法。如果题目改成：小王 从甲到乙地，有3列火车可以从甲到丙地，有5班汽车可以从丙地到乙地，问小 王从甲到乙地一共有多少种方法?答案却为3×5=15，此时为什么用乘法了呢? 因为仅仅3列火车不能够独立完成小王从甲到乙地这件事情，要想完成还需要 从丙地中转后到乙地，所以分步完成用乘法。
例题展示
如果掌握了排列组合的题型特征和解题方法，你会发现这种题型还是 很好掌握的，希望同学们日后多多加强此类题型的练习，做到举一反 三。
谢谢
知识铺垫
为了方便各位更加深刻的理解和把握好两种计数原理，我们要从两道经典例题入手， 一起来看例题展示
例题展示
【例题1】小王外出游玩，准备选择一家宾馆进行入住，现在有7家经济型宾馆，5家 舒适型宾馆，3家豪华型宾馆可供小王选择，那么小王共有多少种不同的选择方式? A.12B.15C.18D.24 【答案】B 【中公解析】根据题目的描述可知，此题是在解决小王选择一家宾馆进行入住有多 少种不同的选择方式的事情。且小王可以选择3种类型的宾馆，如果只选择其中一种 类型的宾馆，比如选择豪华型宾馆能完成我们需要解决的事情，每一类选法都可完 成这件事情，故需分类。共有7+5+3=15种，答案为B。 【例题2】南阳中学有语文教师8名、数学教师7名、英语教师5名和体育教师2名。 现要从以上四科教师中各选出1名教师去参加培训，问共有几种不同的选法?
排列与组合ppt课件
数。
从10个不同字母中取出 5个字母的所有排的个
数。
从8个不同数字中取出4 个数字的所有排列的个
数。
从n个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个
数。
03
CHAPTER
组合的计算方法
组合的公式
组合的公式：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
"!"表示阶乘，即n! = n * (n-1) * ... * 3 * 2 * 1。
3
排列组合在计算机科学中的应用
计算机科学中，排列组合用于算法设计和数据结 构分析。
排列与组合的未来发展
排列与组合理论的发展方向
随着数学和其他学科的发展，排列与组合理论将不断发展和完善，出现更多新 的公式和定理。
排列与组合的应用前景
随着科学技术的发展，排列与组合的应用领域将更加广泛，特别是在计算机科 学、统计学和信息论等领域的应用将更加深入。
在计算排列和组合时，使用的 公式和方法也不同。
02
CHAPTER
排列的计算方法
排列的公式
01
02
03
排列的公式
P(n, m) = n! / (n-m)!， 其中n是总的元素数量， m是需要选取的元素数量 。
排列的公式解释
表示从n个不同元素中取 出m个元素的所有排列的 个数。
排列的公式应用
适用于计算不同元素的排 列组合数，例如计算从n 个不同数字中取出m个数 字的所有排列的个数。
该公式用于计算从n 个不同元素中选取k 个元素（不放回）的 组合数。
组合的计算方法
直接使用组合公式进行计算。 当n和k较大时，需要注意计算的复杂性和准确性。
可以使用数学软件或在线工具进行计算。
从10个不同字母中取出 5个字母的所有排的个
数。
从8个不同数字中取出4 个数字的所有排列的个
数。
从n个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个
数。
03
CHAPTER
组合的计算方法
组合的公式
组合的公式：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
"!"表示阶乘，即n! = n * (n-1) * ... * 3 * 2 * 1。
3
排列组合在计算机科学中的应用
计算机科学中，排列组合用于算法设计和数据结 构分析。
排列与组合的未来发展
排列与组合理论的发展方向
随着数学和其他学科的发展，排列与组合理论将不断发展和完善，出现更多新 的公式和定理。
排列与组合的应用前景
随着科学技术的发展，排列与组合的应用领域将更加广泛，特别是在计算机科 学、统计学和信息论等领域的应用将更加深入。
在计算排列和组合时，使用的 公式和方法也不同。
02
CHAPTER
排列的计算方法
排列的公式
01
02
03
排列的公式
P(n, m) = n! / (n-m)!， 其中n是总的元素数量， m是需要选取的元素数量 。
排列的公式解释
表示从n个不同元素中取 出m个元素的所有排列的 个数。
排列的公式应用
适用于计算不同元素的排 列组合数，例如计算从n 个不同数字中取出m个数 字的所有排列的个数。
该公式用于计算从n 个不同元素中选取k 个元素（不放回）的 组合数。
组合的计算方法
直接使用组合公式进行计算。 当n和k较大时，需要注意计算的复杂性和准确性。
可以使用数学软件或在线工具进行计算。
排列组合的ppt课件免费
题目2：从7个不同元素 中取出4个元素的组合数 ，其中某特定元素可以 不被取出。
答案1：$A_{7}^{4} A_{6}^{3} = 7 times 6 times 5 times 4 - 6 times 5 times 4 = 336$
答案2：$C_{7}^{4} C_{6}^{3} = frac{7 times 6 times 5 times 4}{4 times 3 times 2 times 1} - frac{6 times 5 times 4}{3 times 2 times 1} = 28$
排列组合问题的变种与拓展
排列组合问题的变种
如“带限制的不同元素的排列组合” 、“重复元素的排列组合”等，需要 进一步拓展学生的思路。
拓展方法
通过变种问题的解析，引导学生深入 思考排列组合问题，并掌握其变化规 律，为解决更复杂的问题打下基础。
04
CATALOGUE
排列组合的数学原理
排列组合的数学原理简介
数学教育的核心
排列组合是数学教育中的 重要内容，对于培养学生 的数学素养和解决问题的 能力具有重要意义。
解决排列组合问题的方法与技能
乘法原理
加法原理
乘法原理是解决排列组合问题的基础，通 过将各个独立事件的产生概率相乘，可以 计算出复合事件的产生概率。
加法原理用于计算具有互斥性的事件的概 率，通过将各个互斥事件的产生概率相加 ，可以得到总的产生概率。
解析方法
通过实例演示和讲授，帮助学生理解排列组合的基本概念和计算方法，同时引导 学生思考如何解决实际问题。
实际问题的排列组合解决方案
实际问题的排列组合
如“安排会议”、“排定演出节目单”、“安排生产计划” 等，需要结合具体情境进行分析。
排列组合ppt课件高中
10$
进阶练习题
题目：在数字"202X"中，各位数字相加和为10，称该 数为"如意四位数"，用数字0，1，2，3，4，5组成的
无重复数字且大于202X的"如意四位数"有____个．
输标02入题
01
答案：12
03
答案：10
04
题目：在数字``202X''中，各位数字相加和为10，称该数 为``如意四位数''，用数字0，1，2，3，4，5组成的无重 复数字且大于202X的``如意四位数''有____个．
确定元素
确定题目中涉及的元素，并理 解元素之间的关系。
确定限制条件
理解题目中的限制条件，如是 否可以重复、是否需要排序等
。
建立数学模型
根据问题类型、元素和限制条 件，建立相应的数学模型。
常见题型解析
排列问题
如“5个人排成一排，有多少种不同的排法？”这类问题需要斟酌到顺序，使用排列公式 $A_n^m = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$进行计算。
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ 0<m≤n），依照一定的顺序排成 一列，叫做从n个元素中取出m个
元素的一个排列。
排列的计算公式
P(n, m) = n! / (n-m)!，其中"!"表 示阶乘。
排列的特性
排列与取出元素的顺序有关，元素 相同但顺序不同是不同的排列。
组合的定义
01
02
03
组合的定义
从n个不同元素中取出m个元素（不放回） 进行排列，得到的排列数记为$A_{n}^{m}$ 。
组合数定义
进阶练习题
题目：在数字"202X"中，各位数字相加和为10，称该 数为"如意四位数"，用数字0，1，2，3，4，5组成的
无重复数字且大于202X的"如意四位数"有____个．
输标02入题
01
答案：12
03
答案：10
04
题目：在数字``202X''中，各位数字相加和为10，称该数 为``如意四位数''，用数字0，1，2，3，4，5组成的无重 复数字且大于202X的``如意四位数''有____个．
确定元素
确定题目中涉及的元素，并理 解元素之间的关系。
确定限制条件
理解题目中的限制条件，如是 否可以重复、是否需要排序等
。
建立数学模型
根据问题类型、元素和限制条 件，建立相应的数学模型。
常见题型解析
排列问题
如“5个人排成一排，有多少种不同的排法？”这类问题需要斟酌到顺序，使用排列公式 $A_n^m = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$进行计算。
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ 0<m≤n），依照一定的顺序排成 一列，叫做从n个元素中取出m个
元素的一个排列。
排列的计算公式
P(n, m) = n! / (n-m)!，其中"!"表 示阶乘。
排列的特性
排列与取出元素的顺序有关，元素 相同但顺序不同是不同的排列。
组合的定义
01
02
03
组合的定义
从n个不同元素中取出m个元素（不放回） 进行排列，得到的排列数记为$A_{n}^{m}$ 。
组合数定义
(完整版)排列组合经典课件
好的6个元素中间包含首尾两个空位共有
种 A64不同的方法 由分步计数原理,节目的 不同顺序共有A55 A64 种
元素不相邻问题可先把没有位置要求的元素 进行排队再相把不相独邻元独素插入独中间相和两端
练习题
某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单， 开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节 目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么 不同插法的种数为（ ）
练习题
1. 同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来, 然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张 贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)
2.给图中区域涂色,要求相邻区
域不同色,现有4种可选颜色,则
不同的着色方法有_7_2__种
3
14 2
5
练习题 我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、 副班长、团支部书记至少有一人在内的 抽法有多少种?
练习题
5个男生3个女生排成一排,3个女生 要排在一起,有多少种不同的排法?
共有A
6 6
A
3 3
=4320种不同的排法.
三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个
独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共 有 A55 种，第二步将4舞蹈插入第一步排
十一.实际操作穷举策略
例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2
3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五
个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且
恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.
有多少投法
解：从5个球中取出2个与盒子对号有__C_52__种
还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际
操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒
种 A64不同的方法 由分步计数原理,节目的 不同顺序共有A55 A64 种
元素不相邻问题可先把没有位置要求的元素 进行排队再相把不相独邻元独素插入独中间相和两端
练习题
某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单， 开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节 目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么 不同插法的种数为（ ）
练习题
1. 同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来, 然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张 贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)
2.给图中区域涂色,要求相邻区
域不同色,现有4种可选颜色,则
不同的着色方法有_7_2__种
3
14 2
5
练习题 我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、 副班长、团支部书记至少有一人在内的 抽法有多少种?
练习题
5个男生3个女生排成一排,3个女生 要排在一起,有多少种不同的排法?
共有A
6 6
A
3 3
=4320种不同的排法.
三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个
独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共 有 A55 种，第二步将4舞蹈插入第一步排
十一.实际操作穷举策略
例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2
3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五
个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且
恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.
有多少投法
解：从5个球中取出2个与盒子对号有__C_52__种
还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际
操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒
排列组合(平均法)PPT
2020/4/4
11
• 例7 设集合A={1，2，3，4}，B={6，7，8}，A为定 义域，B为值域，则从集合A到集合B的不同的函数有 多少个？
• 分析：由于集合A为定义域，B为值域，即集合A、B中 的每个元素都有“归宿”，而集合B的每个元素接受集 合A中对应的元素的数目不限，所以此问题实际上还是 分组后分配的问题。先考虑分组，集合A中4个元素分 为三组，各组的元素数目分别为1、1、2，则共有 (种) 分组方法。再考虑分配，即排列，再乘以 ，所以共有 =36(个)不同的函数。
Ａ３３＝６，所以分法是 ９０／６=15(种)。
• (2)先分组，方法是Ｃ６１＊Ｃ５２＊Ｃ３３＝６０ ，那么还要不要除以Ａ３３？ 我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有 =60(种) 分法。
• (3)分组方法是Ｃ６４＊Ｃ２１＊Ｃ１１=30(种)
•
其中有没有重复的分法？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两
2020/4/4
8
• 例4 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人， 每人至少一本，有多少都有“归
宿”，即书要分完，人不能空手。因此，考
虑先分组，后排列。先分组，六本书怎么分
为三组呢？有三类分法(1)每组两本(2)分别为
一本、二本、三本(3)两组各一本，另一组四
本。所以根据加法原理，分组法C 62CA是4233C 22 + C16C52C33
+C
64C
12C
1 1
A
2 2
A33
=90(种)。再考虑排列，即再乘以 。
所以一共有540种不同的分法。
2020/4/4
9
• 例6 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需 1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法 有多少种？
高中数学选修2-3《排列与组合》全部课件
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所 有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个
元素的组合数，用符号Cnm表示。
注意：1.m个元素必须从这n个元素中取出；
2.组合问题，哪些是排列问题？
1、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成一件工作，
1.排列 定义:一般地,从 n 个不同元素中,任取 m (m≤n) 个元素,按照一定的顺序排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个排列.
说明:①一次性取出m个元素;②将这m个
元素按一定的顺序排成一列.③ m≤n
注:（相同排列：元素相同，顺序相同.）
例1.下列问题是不是排列问题？ 1．某学校的高二（1）班有50名同学,从 中选出5人组成班委会,共有多少种选法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
4）甲不排头，也不排尾，共有几种排法？
甲
5）甲只能排头或排尾，共有几种排法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
6）甲不排头，乙不排尾，共有多少种排法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三 家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
1）甲站在正中间的排法有几种？
甲
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
2）甲乙两人必须站在两端的排法有几种？
甲
乙
3）甲乙两人不能站在两端的排法有几种？
有多少种不同的选法？
组合
2、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成两件不同的
元素的组合数，用符号Cnm表示。
注意：1.m个元素必须从这n个元素中取出；
2.组合问题，哪些是排列问题？
1、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成一件工作，
1.排列 定义:一般地,从 n 个不同元素中,任取 m (m≤n) 个元素,按照一定的顺序排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个排列.
说明:①一次性取出m个元素;②将这m个
元素按一定的顺序排成一列.③ m≤n
注:（相同排列：元素相同，顺序相同.）
例1.下列问题是不是排列问题？ 1．某学校的高二（1）班有50名同学,从 中选出5人组成班委会,共有多少种选法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
4）甲不排头，也不排尾，共有几种排法？
甲
5）甲只能排头或排尾，共有几种排法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
6）甲不排头，乙不排尾，共有多少种排法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三 家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
1）甲站在正中间的排法有几种？
甲
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
2）甲乙两人必须站在两端的排法有几种？
甲
乙
3）甲乙两人不能站在两端的排法有几种？
有多少种不同的选法？
组合
2、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成两件不同的
第二节排列组合-PPT课件
1 4 2 3 3 2 4 1 ( 种 ) ……………… C C C C C C C C 2 6 4 ..6′ 4 6 46 4 6 46
方法二：“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”,故可 用间接法求解.
分析 （1）分步.（2）可分类也可用间接法.（3）可分类也可
用间接法.（4）分类. 解 （1）第一步：选3名男运动员，有 C 63 种选法. 第二步：选2名女运动员，有 C 42种选法. 共有 C 3 =120( 种)选法………………………………3′ C4
6 6
（2）方法一：“至少有1名女运动员”包括以下几种情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男…………………….4′ 由分类加法计数原理可得总选法数为：
参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共
有种.
解析： 星期五有2人参加，则从5人中选2人的组合数为C 5 2 ，星 期六和星期天从剩余的3人中选2人进行排列，有
2 ). 2 =60(C 种 A 5 3
种，则共有 A 32
答案： 60 题型四 基本组合问题 【例4】（14分）有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队 长各1名.选派5名外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？ （1）男运动员3名，女运动员2名； （2）至少有1名女运动员； （3）队长中至少有1名参加； （4）既要有队长，又要有女运动员.
=2 880A（种 )排法. 4
A 44 A 55
学后反思 本题集排列的多种类型于一题，充分体现了元素分析 法（优先考虑特殊元素）、位置分析法（优先考虑特殊位置）、 直接法、间接法（排除法）、捆绑法、等机会法、插空法等常 见的解题思路.
举一反三
3. (2019· 全国改编)从5位同学中选派4位同学在星期五、星 期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人
方法二：“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”,故可 用间接法求解.
分析 （1）分步.（2）可分类也可用间接法.（3）可分类也可
用间接法.（4）分类. 解 （1）第一步：选3名男运动员，有 C 63 种选法. 第二步：选2名女运动员，有 C 42种选法. 共有 C 3 =120( 种)选法………………………………3′ C4
6 6
（2）方法一：“至少有1名女运动员”包括以下几种情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男…………………….4′ 由分类加法计数原理可得总选法数为：
参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共
有种.
解析： 星期五有2人参加，则从5人中选2人的组合数为C 5 2 ，星 期六和星期天从剩余的3人中选2人进行排列，有
2 ). 2 =60(C 种 A 5 3
种，则共有 A 32
答案： 60 题型四 基本组合问题 【例4】（14分）有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队 长各1名.选派5名外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？ （1）男运动员3名，女运动员2名； （2）至少有1名女运动员； （3）队长中至少有1名参加； （4）既要有队长，又要有女运动员.
=2 880A（种 )排法. 4
A 44 A 55
学后反思 本题集排列的多种类型于一题，充分体现了元素分析 法（优先考虑特殊元素）、位置分析法（优先考虑特殊位置）、 直接法、间接法（排除法）、捆绑法、等机会法、插空法等常 见的解题思路.
举一反三
3. (2019· 全国改编)从5位同学中选派4位同学在星期五、星 期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人
排列组合课件PPT14页
解（法1）优先考虑特殊元素
分两步，第1步：先排甲，不在头、尾 A51 第2步：再排其他人 A66
∴ 由分步计数原理 A51 A66 5 720 3600 （法2）优先考虑特殊位置
分两步，第1步：除甲外，其他6人中选2人
站头、尾 A62
第2步：其余位置 A55
∴ 由分步计数原理 A62 A55 6 5 120 3600
例2 （1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人 各1本，共有多少种不同的送法？
（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人 各1本，共有多少种不同的送法？
解（1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从5个 元素中任取3个元素的一个排列
∴ A53 5 4 3 60
（2）从5种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不 相同，用分步计数原理：
b捆绑法：元素相邻
c插空法：元素不相邻
（2）间接法（排除法） （先不考虑限制条件，算出所有的排列 数，再从中减去不符合条件的排列数）
例5 7位同学站成一排照相，按下列要求，各有多少
种不同的排法？
（1）甲必须站在中间
（2）甲、乙必须站在两端
（3）甲不在中间 解（1）法1 因为甲固定在中间，只需要其余6个
2 正确找出n、m的值 3 准确应用两个原理
练习 （1） 车上有7个座位，5名乘客就座，有多少种就座方式？
（2） 4辆公交车，有4位司机，4位售票员，每辆车上 配一位司机和一位售票员，有多少种不同的搭配 方案？
（3）四个同学争夺三项竞赛冠军，冠军获得者的可能 种数有多少？
不是排列问题，用分步计数原理，有 4×4×4=64 种
7! 3!
840
练习：甲、乙顺序一定 （
分两步，第1步：先排甲，不在头、尾 A51 第2步：再排其他人 A66
∴ 由分步计数原理 A51 A66 5 720 3600 （法2）优先考虑特殊位置
分两步，第1步：除甲外，其他6人中选2人
站头、尾 A62
第2步：其余位置 A55
∴ 由分步计数原理 A62 A55 6 5 120 3600
例2 （1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人 各1本，共有多少种不同的送法？
（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人 各1本，共有多少种不同的送法？
解（1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从5个 元素中任取3个元素的一个排列
∴ A53 5 4 3 60
（2）从5种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不 相同，用分步计数原理：
b捆绑法：元素相邻
c插空法：元素不相邻
（2）间接法（排除法） （先不考虑限制条件，算出所有的排列 数，再从中减去不符合条件的排列数）
例5 7位同学站成一排照相，按下列要求，各有多少
种不同的排法？
（1）甲必须站在中间
（2）甲、乙必须站在两端
（3）甲不在中间 解（1）法1 因为甲固定在中间，只需要其余6个
2 正确找出n、m的值 3 准确应用两个原理
练习 （1） 车上有7个座位，5名乘客就座，有多少种就座方式？
（2） 4辆公交车，有4位司机，4位售票员，每辆车上 配一位司机和一位售票员，有多少种不同的搭配 方案？
（3）四个同学争夺三项竞赛冠军，冠军获得者的可能 种数有多少？
不是排列问题，用分步计数原理，有 4×4×4=64 种
7! 3!
840
练习：甲、乙顺序一定 （
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