高中数学排列组合中的分组分配问题
6排列组合问题之分组分配问题两个五个方面
6排列组合问题之分组分配问题两个五个方面排列组合问题之分组分配问题（一）（五个方面）一、非均匀分组（分步组合法）“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。
例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？①分成3组，分别为1人、2人、4人；②选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。
解：①先选出1人，有17C 种，再由剩下的6人选出2人，有2 6C 种，最后由剩下的4人为一组，有44C 种。
由分步计数原理得分组方法共有124764105C CC =（种）。
②可选分同步。
先从7人中选出2人，有27C 种，再由剩下的5人中选出3人，有35C 种，分组方法共有2375210C C =（种）。
也可先选后分。
先选出5人，再分为两组，由分步计数原理得分组方法共有523753210C C C =（种）。
二、均匀分组（去除重复法）“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。
㈠全部均匀分组（去除重复法）例2、7人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法？解：可选分同步。
先选3人为一组，有37C 种；再选3人为另一组，有34C 种。
又有2组都是3人，每22A 种分法只能算一种，所以不同的分法共有33742270C C A =（种）。
也可先选后分。
不同的分法共有3366372270C C C A ?=（种）。
㈡部分均匀分组（去除重复法）例3、10个不同零件分成4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法？解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有210C 、28C 、26C 、44C 种，又有3堆都是2个元素，每33A 种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有222410864333150C C C C A ?=（种）。
【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有m 个组的元素是均匀的，都有mm A 种顺序不同的分法只能算一种分法。
归类解析排列组合分组分配问题
归类解析分组、分配问题四川省仪陇中学新政校区 魏登昆高中数学排列组合中元素的分组、分配问题在高考中常出现，有一定的难度。
学生在学习中对这类问题的处理主要错误表现在审题不清、归类不明，现笔者就这类问题归类解析： Ⅰ、 不同元素分组问题1、非平均分组无归属问题，即将相异的P （P=12m n n n +++ ）个物件分成任意12,mn n n 件无记号的m 堆且这m 堆的个数互不等，其分法数为N=121nnm n n p p n m C C C -∙∙∙2、平均分组无归属问题, 即将相异的P(P= m n ∙)个物件分成无记号的m 堆，其分法数为N=2nnnnp p n n nmmC C C C A -∙∙3、部分平均分组无归属问题，即将相异的P （P=12m n n n +++ ）个物件分成任意12,m n n n 件无记号的m 堆，且12,m n n n 这m 个数中分别有a,b,c 个相等，其分法数为N=2nnnnp p n n nabca b c C C C C A A A -∙∙∙∙例1:现有12件不同礼品①平均分成三堆;②分成件数为2,4,6三堆;③分成件数为2,2,2,3,3五堆，其方法数分别为多少?(答: 4441284133C C C N A =; 246212106N C C C = ; 22233121086333232C C C C C N A A =)Ⅱ、 不同元素分配问题1、无限定分配有归属问题即将相异的P （P=12m n n n +++ ）个物件分配给m 个人,物件分完,分别得12,m n n n 件求其分法数.它的处理方法是:第一步将这p 件物件按Ⅰ类中相应类别分成m 堆,第二步将这m 堆对应m 个人进行全排列.例2: :现有12件不同礼品①平均分给三个人;②分给三个人其中一人得2件, 一人得4件, 一人得6件;③分给五个人其中三人各得2件,其中二人各得3件,其方法数分别为多少?(答: 3113M N A =∙ : 3223M N A =∙ ; 5335M N A =∙ 其中123,,N N N 为例1的结果 ) 例3:(09重庆) 将4名大学生分配到3个乡镇当村官,每个乡镇至少一人,有不同的分配方法有多少种?分析:先把4人按1,1,2分三组再对应三个岗位进行全排列即有:1123432322C C C A A ∙=36种方法.例4: 集合}{{}1,2,3,4,5,,,,:A B a b c f A B ==→且B 中每一个元素都有原像,这样的映射有多少个?分析:先把A 中元素分成个数为1,1,3和1,2,2的三堆有1131225435422222C C C C C C A A +=25种,再用这三堆和B 中三个进行全排列,所以最后为25*33A =150个这样的映射.2 、限定分配有归属问题即将相异的P （P=12m n n n +++ ）个物件分配给甲,乙，丙….等m 个人,物件分完,其中甲得1n 件,乙得2n 件, 丙得3n 件 求其分法数是多少?. 它的处理方法是：无论1,2,m n n n 中的m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有N=121nnm n n p p n m C C C -例5: :现有12件不同礼品①分给甲,乙,丙三个人每人4件;②分给三个人其中甲得2件, 乙得4件, 丙得6件;③分给五个人其中甲,乙,丙三人各得2件,其余二人各得3件,其方法数分别为多少?(答: 444246222331128421210631210863,,N C C C N C C C N C C C C C ===)Ⅲ 、相同元素分组问题这类问题的模型即把n 个相同的小球装入m 个相同的盒子，不允许空盒（允许空盒），有多少装法,只须将n 分解成m 个正整数（自然数）的和且不考察顺序的分解个数一一枚举出来即可.如：6个相同的小球装入3个相同的盒子,每盒子不空,有多少装法?因为6只有1+1+4,1+2+3,2+2+2这三种求和分解式,所以只有三种装法.Ⅳ 、相同元素分配问题(隔板法)即把n 个相同的元素(如名额、指标)分配给m 个不同的单位.这种类型可建立如下模型，即把n 个相同的小球装入m 个不相同的盒子有多少装法?①不允许出现空盒,现假设这n 个小球排成一条线用隔板把它们隔成m 段,每一种隔法就对应一种装法,只须在中间n-1个空隙插入m-1个隔板即11m n C --种隔法;②允许出现空盒, 它的处理方法是(借马分马),即借m 个这样的小球先每个盒子装一个,这样就转化成了m+n 个相同的小球装入m 个不相同的盒子(每盒不空)有多少装法?所以应有11m m n C -+-种装法.例6:将12个学生干部的培训指标分配给9个不同的班级,每个班级至少分得1个名额,共有多少分配方法?(答:共有811C =165种分配方法)例7:①不定方程*12(,)m X X X n m n N +++=∈ 的正整数解有11m n C --个②不定方程*12(,)m X X X n m n N +++=∈ 的自然数解有11m m n C -+-个③不定方程*12(,)m X X X n m n N +++=∈ 满足条件()*,1,2i X k k N i m ≥∈= 的正整数解有11m n m k m C --+-总之,这类问题一定要认真审题分清是相同元素还是不同元素, 是分组还是分配,然后就可以归入以上类别,迎刃而解了. 巩固提高训练 1、①7个相同的小球任意放入4个相同的盒子里，每个盒子至少有1个球的不同放法有多少种？②7个相同的小球任意放入4个不同的盒子里，每个盒子至少有1个球的不同放法有多少种？ ③7个不同的小球任意放入4个相同的盒子里，每个盒子至少有1个球的不同放法有多少种？ ④7个不同的小球任意放入4个不同的盒子里，每个盒子至少有1个球的不同放法有多少种？⑤7个相同的小球任意放入4个不同的盒子里，允许出现空盒子的不同放法有多少种？ ⑥7个不同的小球任意放入4个不同的盒子里，允许出现空盒子的不同放法有多少种？ 2、（09湖北）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法数为：（ ）A 、18 B 、24 C 、30 D 、36 3、10个相同的小球放入4个不同的盒子，要求一个盒子有1个球，一个盒子有2个球，一个盒子有3个球，一个盒子有4个球，不同的放法数有（ ）A24 B10 C30 D12600 4、（06天津）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的盒子里，使得放入每个盒子的小球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）A10 B20 C36 D52 参考答案：1：3、20、350、8400、120、16384 ， 2：C ， 3：A ， 4：A 。
高中数学排列组合中的“分组分配”问题详解
高中数学排列组合中的“分组分配”问题详解
数学好教师 2020-02-06
不同种元素
分组问题
将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题。
分组问题有平均分组、不平均分组、和部分平均分组三种情况。
1. 平均分组
1
2. 不平均分组
2
3. 部分平均分组
3
分配问题：
如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后分配的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。
所以针对分配问题，需要遵守的原则是：先分组，后分配
同种元素
分组问题：
1
分配问题：
对于同种元素的分配问题，通常有两种解法：常规法和隔板法
常规法：
隔板法：
常规法：
隔板法：
经典练习题
1：将五位老师分到三个学校任教，每个学校至少分一位老师，总共有多少种分法。
(答案：150种)
2：有4个不同小球放入4个不同盒子，其中有且只有一个盒子留空，有多少种不同放法？(答案：144种)
3：7个人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3个人，有多少种不同分法？(答案：70种)
4：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？(答案：84种)
5：现有7个完全相同的小球，将它们全部放入编号为1，2，3的三个盒子中
(1)若每个盒子至少放一个球，共有多少种不同的放法？(答案：15种)
(2)若允许出现空盒，共有多少种不同的放法？(答案：36种)
6：现有12个相同的小球，将它们全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的放法有多少种？(答案：10种)。
6、排列组合问题之分组分配问题
排列组合问题之分组分配问题（一）（五个方面）一、非均匀分组（分步组合法）“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。
例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法①分成3组，分别为1人、2人、4人；②选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。
解：①先选出1人，有C；种，再由剩下的6人选出2人，有C：种，最后由剩下的4人为一组，有C：种。
由分步计数原理得分组方法共有C；C：C： =105（种）。
②可选分同步。
先从7人中选出2人，有©种，再由剩下的5人中选出3人，有C；种，分组方法共有C；C：=210（种）。
也可先选后分。
先选出5人，再分为两组，由分步计数原理得分组方法共有C；C；C；=210 （种二、均匀分组（去除重复法）“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。
㈠全部均匀分组（去除重复法）例2、7人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法解：可选分同步。
先选3人为一组，有E种；再选3人为另一组，有C：种。
又有2 组都是3人，每Af种分法只能算一种，所以不同的分法共有亠L = 70 （种）。
C3C3也可先选后分。
不同的分法共有C；・-4^ = 70 （种）。
A?㈡部分均匀分组（去除重复法）例3、10个不同零件分成4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有C：、C：、C；、C；种，又有3堆都C1 c2c2是2个元素,每&种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有|（）^ 6= 3150 （种）。
【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有加个组的元素是均匀的，都有A：；种顺序不同的分法只能算一种分法。
】三、编号分组㈠非均匀编号分组（分步先组合后排列法）例4、7人参加义务劳动，选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法解：分组方法共有C；C；A；=420 （种）。
排列组合中分组分配问题
分组分配问题一．基本内容1.案例分析：将4个不同的元素分为2份,每份2个,请问有多少不同的分法?解析：若按照2422C C 6=的方法进行分组,不妨设4个元素分别为,,,a b c d ,则会出现以下情况：①,ab cd ;②,cd ab ;③,ac bd ;④,bd ac ;⑤,ad bc ;⑥,bc ad .显然，用组合数公式计算出来的结果重复了三次，最终的分组结果应以为：242222C C 3A =2.基本原理2.1分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：将n 个不同元素分成m 组，且每组的元素个数分别为m m m m m ,,,,321 ，记m m mm m m n mm m n mm n mn C C C C N )()(121321211-+++-+--⋅⋅⋅⋅= .（1）非均匀不编号分组：n 个不同元素分成m 组，每组元素数目均不相等，且不考虑各组间的顺序，其分法种数为N .（2）均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号（即无序）的m 组，每组元素数目相等，其分法种数为m mA N .（3）部分均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号的m 组，其中有r 组元素个数相等，其分法种数为r rA N ，如果再有k 组均匀分组，应再除以kk A .2.2分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．3.相同元素的分组问题：挡板法及其应用：对于n 个相同元素分成m 组(m n <),且每组至少一个元素的分组问题,可采用“隔板法”解决:n 个元素之间形成1n -个空格,只需放入1m -个隔板即可,故不同的分配方案有11C m n --种，其等效于不定方程的非负整数解个数：不定方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的非负整数解.（1）方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的正整数解为11--n r C 个.（2）方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的非负整数解为11--+n r n C 个.二．例题分析例1．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（）A ．48B ．54C ．60D ．72【解析】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有2215312215C C C A ∙∙=种方法；由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由2224A =种方法；按照分步乘法原理，共有41560⨯=种方法；故选：C.例2．甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有,,A B C 三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A 小区的概率为（）A ．193243B ．100243C ．23D ．59【解析】首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有53243=种情况，再计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，5人被分为3,1,1或2,2,1当5人被分为3,1,1时，情况数为3353C A 60⨯=;当5人被分为2,2,1时，情况数为12354322C C A 90A ⨯⨯=；所以共有6090150+=.由于所求甲不去A ，情况数较多，反向思考，求甲去A 的情况数，最后用总数减即可，当5人被分为3,1,1时，且甲去A ，甲若为1，则3242C A 8⨯=，甲若为3，则2242C A 12⨯=共计81220+=种，当5人被分为2,2,1时，且甲去A ，甲若为1，则224222C A 6A ⨯=，甲若为2，则112432C C A 24⨯⨯=，共计62430+=种，所以甲不在A 小区的概率为()1502030100243243-+=，故选：B.例3．安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（）A ．15B ．310C ．325D ．625【解析】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人；当分为3,1,1人时，有3353C A 60=种实习方案，当分为2,2,1人时，有22353322C C A 90A ⋅=种实习方案，即共有6090150+=种实习方案，其中甲、乙到同一家企业实习的情况有13233333C A C A 36+=种，故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为36615025=，故选：D.例4．学校要安排2名班主任，3名科任老师共五人在本校以及另外两所学校去监考，要求在本校监考的老师必须是班主任，且每个学校都有人去，则有（）种不同的分配方案．A ．18B ．20C ．28D ．34【解析】根据本校监考人数分为：本校1人监考，另外4人分配给两所学校，有2，2和3，1两种分配方案，所以总数为：28)(2233142222222412=+∙A C C A A C C C ；本校2人监考，另外3人分配给两所学校，有2，1一种分配方案，所以总数为：()212223226C C C A =，根据分类计数原理，所有分配方案总数为28+6=34；故选：D.例5．现有甲､乙､丙､丁､戊五位同学，分别带着A ､B ､C ､D ､E 五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（）A ．45B ．12C ．47D ．38【解析】先从五人中抽取一人，恰好拿到自己的礼物，有15C 种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有224222C C A 种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿到对方的情况，由3211C C 种情况，综上：共有22111425322245C C C C C A ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭种情况，而五人抽五个礼物总数为55120A =种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为4531208=.故选：D 例6．为贯彻落实《中共中央国务院关于全面深化新时代教师队伍建设改革的意见》精神，加强义务教育教师队伍管理，推动义务教育优质均衡发展，安徽省全面实施中小学教师“县管校聘”管理改革，支持建设城乡学校共同体.2022年暑期某市教体局计划安排市区学校的6名骨干教师去4所乡镇学校工作一年，每所学校至少安排1人，则不同安排方案的总数为（）A ．2640B ．1440C ．2160D ．1560【解析】将6人分组有2种情况：2211，3111，所以不同安排方案的总数为2234646422C C A 1560A C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：D.例7．为促进援疆教育事业的发展，某省重点高中选派了3名男教师和2名女教师去支援边疆工作，分配到3所学校，每所学校至少一人，每人只去一所学校，则两名女教师分到同一所学校的情况种数为______．【解析】①若2位女老师和1名男老师分到一个学校有1333C A =18种情况；②若2位女老师分在一个学校，则3名男教师分为2组，再分到3所学校，有2333C A =18种情况，故两名女教师分到同一所学校的情况种数为181836+=种．故答案为：36．例8．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲､乙､丙､丁4名干部派遣到,,A B C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲､乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为___________.【解析】每个贫困县至少分到一人，4名干部分到三个县有211342132236C C C A A =种方案，其中甲､乙2名干部被分到同一个贫困县的方案有336A =种所以甲､乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为3665366P -==，故答案为：56例9．为弘扬学生志愿服务精神，某学校开展了形式多样的志愿者活动．现需安排5名学生，分别到3个地点（敬老院、幼儿园和交警大队）进行服务，要求每个地点至少安排1名学生，则有_______________________种不同的安排方案（用数字作答）．【解析】先将5人分为三组，每组的人数分别为3、1、1或2、2、1，再将三组分配给三个地点，由分步乘法计数原理可知，不同的安排方案数为2233535322150C C C A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭种.故答案为：150.例10．6名教师分配到3所薄弱学校去支教，每个学校至少分配一名教师，甲乙两人不能去同一所学校，丙丁两人必须去同一所学校，共有________种分配方案(用数字作答)．【解析】按题目要求可按4、1、1或3、2、1或2、2、2分配，若按4、1、1分配，丙丁必须在4人里，需要从其余剩下的4人里选2人，有24C 种，去掉选中甲乙的1种情况，有(24C －1)种选法，安排去3个学校，共有(24C －1)33A ＝30种；若按3、2、1分配有两类，丙丁为2，甲乙中选1人作1，分配到3个学校有1323C A ，丙丁在3人组中，从剩余4人中取1人，组成3人组，剩余3人取2人组成2人组，剩余1人构成1人组，去掉甲乙构成2人组的情况2种，共有12432C C -种取法，安排去3个学校有(12432C C -)33A 种，两类共有1323C A ＋(12432C C -)33A ＝72种；若按2、2、2分配有2·33A ＝12种，∴共有30＋72＋12＝114种分配方案．下面是挡板法及其应用，仅做了解即可.例11．不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为（）A ．55B ．60C ．91D ．540解析：不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数⇔将12个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数.现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将15个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数，则只需在15个小球中形成的空位（不包含两端）中插入两块板即可，因此，不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为21491C =.故选：C.例12．方程123412x x x x +++=的正整数解共有（）组A ．165B ．120C ．38D ．35解析：如图，将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是1x 、2x 、3x 、4x ，显然满足123412x x x x +++=，故()1234,,,x x x x 是方程123412x x x x +++=的一组解，反之，方程123412x x x x +++=的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式，故方程123412x x x x +++=的正整数解的数目为：31111109165321C ⨯⨯==⨯⨯，故选：A.。
高中数学选修2-3计数原理——排列组合中的分组分配问题(学案)
排列组合中的分组分配问题分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点。
某些排列组合问题看似非分配问题，实际上可运用分配问题的方法来解决。
一、提出分组与分配问题，澄清模糊概念n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题。
分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。
分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。
二、基本的分组问题【例题1】六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)每组两本.(2)一组一本，一组二本，一组三本.(3)一组四本，另外两组各一本.结论1：一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m1，m2，…，mp，其中k组内元素数目相等，那么分组方法数是321112ppmmmmn n m n m m mkkC C C CA---⋯。
三、基本的分配的问题(一)定向分配问题【例题1】六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）甲两本、乙两本、丙两本.（2）甲一本、乙两本、丙三本.（3）甲四本、乙一本、丙一本.(二)不定向分配问题【例题2】六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）每人两本.（2）一人一本、一人两本、一人三本.（3）一人四本、一人一本、一人一本.结论 2.一般地，如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。
通过以上分析不难得出解不定向分配题的一般原则：先分组后排列。
【例题3】六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？四、分配问题的变形问题【例题1】四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？【例题2】有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有多少种？【例题3】设集合A={1，2，3，4}，B={6，7，8}，A为定义域，B为值域，则从集合A到集合B的不同的函数有多少个？总之，掌握上述两个结论，就能顺利解决任何分配问题。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是数学中一个非常重要的问题，也是在实际生活中经常遇到的问题。
该问题主要涉及到将一组物品分配到若干个组中，或者将一组人员分配到不同的团队中。
解决这类问题通常需要使用排列组合的知识和技巧。
下面我们将介绍一些有效的解法，希望可以帮助您更好地解决这类问题。
一、隔板法隔板法是经典的排列组合问题解法之一，它在解决分组分配问题中非常实用。
这种方法的核心思想是在待分配的物品之间插入隔板，将物品分成若干组。
具体步骤如下：1. 确定分组数目：首先需要确定待分配的物品要分成几组，这取决于具体问题的要求。
2. 插入隔板：接下来，在待分配的物品之间插入隔板，每个隔板代表一个组的结束。
设共有n个物品和m-1个组隔板，那么总共有n+m-1个位置可以插入隔板。
其中一个特殊的情况是可以将物品和组隔板看作一共有n+m个位置中选择n个位置插入物品，这进一步转化成排列组合问题。
3. 解决问题：确定好每个物品的位置，将其分配到不同的组中即可得到分组分配问题的解。
二、多重集的分组分配多重集是集合的一个扩展，它包含了元素的重复出现次数。
在分组分配问题中，有时候待分配的物品会包含相同的元素，这时候就需要使用多重集的知识和技巧来解决问题。
多重集的分组分配通常需要使用生成函数、递推关系式等工具来求解。
具体步骤如下：1. 确定多重集：首先需要将待分配的物品表示成一个多重集，其中包含了元素的类型和重复出现次数。
通常可以使用集合的形式来表示多重集，例如{a, a, b, c, c, c}表示了元素a出现2次，b出现1次，c出现3次。
2. 利用生成函数求解：多重集的分组分配问题通常可以转化成生成函数的形式来求解，其中生成函数是一个形式化的表达式，它包含了待分配的物品的信息。
利用生成函数的性质和技巧，可以快速得到分组分配问题的解。
3. 使用递推关系式求解：对于一些复杂的多重集分组分配问题，可以使用递推关系式来求解。
高中数学排列组合-平均分组(分配问题)讲解
复习巩固：
1、组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成 一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2、组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个
数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号
C
m n
表示.
3、组合数公式:
Cnm
Anm Amm
C
2 6
C
2 4
C
2 2
A
3 3
A
3 3
C
2 6
C
2 4
C
2 2
=90
三、部分均分有分配对象的问题
例3 12支笔按3：3：2：2：2分给A、B、C、D、E五 个人有多少种不同的分法？
方法：先分再排法。分成的组数看成元素的个数·
解：均分的五组看成是五个元素在五个位置上 作排列
C
13 2 C
3 9
C62
较大的相同的一个组合数．
2 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学 习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．
排列组合中的分组(堆)分配问题
ab
cd
ac
bd
ad
bc
bc
ad
bd
ac
cd
ab
1.把abcd分成平均两组有_____多少种分法？
ab
cd
ac
bd
ad
bc
bc
ad
C
2 4
C
2 2
A
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
排列组合中的分组分配问题完整
五非均分组分配对象确定问题
例6 六本不同的书按1∶2∶3分给甲、乙、丙三个人 有多少种不同的分法？
C61C52C33
非均分组有分配对象要把组数当作元素个数 再作排列。
五非均分组分配对象不固定问题
例7 六本不同的书分给3人，1人1本，1人2本,1人3本 有多少种分法
C
2 10
C
2 8
C
2 6
C
4 4
A
3 3
C
2 10
C
2 8
C
2 6
C
4 4
3 有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条 件，各有多少种不同的分法？
（1）每人各得两本； （2）甲得一本，乙得两本，丙得三本； （3）一人一本，一人两本，一人三本； （4）甲得四本，乙得一本，丙得一本； （5）一人四本，另两人各一本·
排列组合中的分组分配问题
ab
cd
ac
bd
ad
bc
bc
ad
bd
ac
cd
ab
一、 提出分组与分配问题，澄清模糊概念 n 个不同元素按照某些条件分配给 k 个不同得对象，称为
分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将 n 个不同 元素按照某些条件分成 k 组，称为分组问题.分组问题有不平 均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和 分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是 不区分的；而后者即使 2 组元素个数相同，但因对象不同， 仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。
C61C52C33 A33
练习1
1：12本不同的书平均分成四组有多少 种不同分法？
高中数学排列组合中的模型探究-----分组分配问题
高中数学排列组合中的模型探究-----分组分配问题分组分配问题是高中数学排列组合学习中的常见问题,是学习重点也是难点，本文就排列组合中具体的分组分配问题进行归类，浅析求解方法。
一、明确分组、分配问题的含义将n个不同元素依据条件分成m组(或是m堆)是分组问题，辨别的关键要点是任意交换一种分组的两个组员，结果是同一种情况，组和组的地位之间没有区别;分组问题有平均分组、部分平均分组和不平均分组三种情况。
将n个不同元素依据条件分给m个不同对象(或是去处)，称为分配问题，分配问题又分为定向分配和不定向分配两种问题；分组问题和分配问题是有区别的，前者在分好组后，任意交换两个组员，结果是同一种情况，后者因为去向不同，交换成员后是算不同的情况，可区分的,对于后者常常先分组后排列。
二、不同元素的分组、分配问题（一）平均分组、分配问题例1 六本不同的书，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）分为三组，每组两本.（2）分给三个人,每人两本.（3）甲两本、乙两本、丙两本.【分析】(1)分组与顺序无关，是组合问题。
分法是=15(种),为什么要除以？我们不妨把六本不同的书设为a,b,c,d,e,f六个号码，由分步乘法计数原理可以找出两种具体的分法为：(a，b) (c，d) (e，f)与(a，b) (e，f) (c，d)，实际这两种分法是同一种分法，只是后面两组出现的先后有区别，但是分好组后最终的结果是同一种结果。
究其原因实际上是在运用分步乘法计数原理的时候加入先后顺序，也就是相当于三个组员间排列了。
因此还应取消三个组员间排列的顺序，即除以三个组员的全排列数，所以最终的分组方法数为=15(种)。
（2）此组题属于分配中的不定向分配问题。
由于分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。
实际上可看作“分为三组，再将这三组分给甲、乙、丙三人”，因此只要将分组方法数再乘以，即=90(种)，（3）由于分配给三人，每人分2本是一定的,属分配问题中的定向分配问题，由分步乘法计数原理得出：有=90(种)，（二）部分的平均分组、分配问题例2 六本不同的书，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）分为三组，一组四本，另外两组各一本.（2）分给三个人,一人四本、另两人各一本.（3）甲四本、乙一本、丙一本.【分析】（1）是分组问题，分组方法是=15(种)，为什么要除以？跟例题1的一样，其中两组本数都是一本，由分步乘法计数原理的时候这两组有了一先一后挑选的顺序，也就是相当于这两本书在第二次和第三次分到组里去的过程中排列了，所以要除以这两个成员间的排列数，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复,所以最终分法是=15(种)。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法1. 引言1.1 什么是排列组合中的分组分配问题在排列组合中的分组分配问题中，我们面临着将一组元素分为多个子集的问题。
在这个问题中，我们通常需要满足一定的条件，比如每个子集的元素个数必须相等，或者每个子集的元素之和必须满足某个条件。
这种问题在实际生活中有很多应用，比如排班问题、分组比赛问题等。
具体来说，我们可以将排列组合中的分组分配问题看作将n个元素分为m个子集的问题。
每个子集中的元素个数可以不同，也可以相同。
我们需要找到一种方法，使得每个子集满足特定的条件，同时保证所有子集之间没有重复元素。
在解决这类问题时，我们通常需要考虑不同算法的效率和准确性。
通过选择合适的算法，我们可以更快地找到问题的解决方案，提高问题的求解效率。
对于排列组合中的分组分配问题，需要有效的解法来解决复杂的组合问题，提升计算效率。
【200字】1.2 为什么需要有效解法排列组合中的分组分配问题是一个常见的数学问题，通常涉及到如何将一组元素分成若干组，使得每个元素恰好属于一组，并且每个组的元素数量符合特定的条件。
这类问题在实际生活中也有着广泛的应用，比如在分配任务、资源、奖励等方面。
为了解决这类问题，需要找到一种有效的解法。
有效解法可以帮助我们节省时间和精力。
排列组合中的分组分配问题往往有着庞大的搜索空间，如果没有一个高效的解法，我们可能需要耗费大量的时间和资源来找到最优解。
而通过有效的解法，我们可以在较短的时间内找到满足要求的分组方案，提高工作效率。
有效解法可以帮助我们减少错误和避免漏解。
在解决排列组合中的分组分配问题时，如果没有一个清晰的解题思路和方法，容易导致错误的分组方案或者遗漏可能的解决方案。
而使用有效的解法，可以系统地进行搜索和分析，减少出错的可能性，提高解题的准确性和完整性。
找到排列组合中的分组分配问题的有效解法是非常重要的。
有效解法不仅可以节省时间和精力，提高工作效率，还可以减少错误和遗漏，保障解题的准确性和完整性。
6、排列组合问题之分组分配问题
排列组合问题之分组分配问题（一）（五个方面）一、非均匀分组（分步组合法）“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。
例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法①分成3组，分别为1人、2人、4人；②选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。
解：①先选出1人，有C；种，再由剩下的6人选出2人，有C：种，最后由剩下的4人为一组，有C：种。
由分步计数原理得分组方法共有C；C：C： =105（种）。
②可选分同步。
先从7人中选出2人，有©种，再由剩下的5人中选出3人，有C；种，分组方法共有C；C：=210（种）。
也可先选后分。
先选出5人，再分为两组，由分步计数原理得分组方法共有C；C；C；=210 （种二、均匀分组（去除重复法）“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。
㈠全部均匀分组（去除重复法）例2、7人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法解：可选分同步。
先选3人为一组，有E种；再选3人为另一组，有C：种。
又有2 组都是3人，每Af种分法只能算一种，所以不同的分法共有亠L = 70 （种）。
C3C3也可先选后分。
不同的分法共有C；・-4^ = 70 （种）。
A?㈡部分均匀分组（去除重复法）例3、10个不同零件分成4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有C：、C：、C；、C；种，又有3堆都C1 c2c2是2个元素,每&种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有|（）^ 6= 3150 （种）。
【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有加个组的元素是均匀的，都有A：；种顺序不同的分法只能算一种分法。
】三、编号分组㈠非均匀编号分组（分步先组合后排列法）例4、7人参加义务劳动，选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法解：分组方法共有C；C；A；=420 （种）。
1[1].2排列组合中的分组分配问题
![1[1].2排列组合中的分组分配问题](https://img.taocdn.com/s3/m/9e1266d6ad51f01dc281f181.png)
C C CC 4 A4 1080 A A
2 6
2 4 2 2
1 2 2 2
1 1
思考： 有6本不同的书，按下条件，各有多少种不同
的分法？ 2 2 2 （1）分给甲乙丙三人甲2本、乙2本、丙2本；C6 C4 C2 1 2 3 C6C5 C3 （2）分给甲得1本，乙得2本，丙得 3本； 2 2 2 C6 C4 C2 （3）分成三组，每组各2本； 3 A3 1 2 3 C6C5 C3 （4）分成三组，一组 1本，一组 2本，一组 3本； 1 1 4 C6C5C4 （5）分成三组，两组各1本，另组4本； 2 A2 （6）分给甲乙丙三人，一人1本，一人 2本，一人3本； 1 1 4 C6C5C4 3 A 3 （7）…两人各1本，另人4本； A2 1 2 3 3 C C C A 2 2 2 2 6 5 3 3 C6 C4 C2 3 2 2 2 （8）…每人各得两本； A3 C6 C4 C2 3 （9）…每人至少1本。 A3
例8：把6件不同的玩具分给甲，乙，丙， 每人至少得 一件，有多少种分法?
例9 四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四 个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种 ？
分析：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小 球数分别为1，1，2。实际上可转化为先将四 个不同的小球分为三组，两组各1个，另一组 2个，然后将这三组(即三个不同元素)分配给 四个小盒(不同对象)中的3个的排列问题.
2 、 有分配对象和无分配对象
二、非均分组问题 1、有分配对象和无分配对象 2、分配对象确定和不确定
以下供参考！
C C C 解： A
1 4
1 3 2 2
2 2
A 36
3 3
练习：
1、将5个不同的小球放入二个不同的抽屉里， 每个至少有一个，抽屉有多少种不同的放法？
排列组合中的分配分组问题
排列组合中的分配分组问题排列、组合以其独特的研究对象和研究方法，在高中数学教学中占有特殊的地位，是高考必考内容之一，它既是学习概率的预备知识，又是进一步学习数理统计、组合数学等高等数学的基础，因此排列与组合问题的应用题是高考的常见题型。
本文就笔者自己解决排列组合问题中的分配分组问题的一些浅见拙知与大家分享，不值一飧，还望批评与指正。
一、基本定义：1、排列：从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个排列。
2、组合：从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素合成一组，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个组合。
3、排列数与组合数公式：)1)......(1(A +--=m n n n mn!)1().........1(m m n n n C A C m n m n m n+--== 二、解题思路总析：从排列与组合的定义来看，这两个数学名词的相同之处在于“选”—从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素；不同之处在于：排列有“序”——取出的m 各元素之间有顺序，组合无“序”——取出的m 各元素之间无顺序。
所以根据题目的意思分析元素之间是否有序就成了解决问题是用排列数公式还是用组合数公式的关键。
另外，在分配分组问题中，还存在分成的各组元素个数相等或不相等的问题，各组元素个数相等的分配分组称为“均匀”，各组元素个数全不相等的分配分组称为“不均匀”。
综合以上两点，笔者把排列组合中的分配分组问题统分为四类：1、均匀有序：各组元素个数相等，各组之间有顺序；2、均匀无序：各组元素个数相等，各组之间没有顺序；3、不均匀无序：各组元素个数全不相等，各组之间没有顺序；4、不均匀有序：各组元素个数全不相等，各组之间有顺序。
其中均匀有序又称“双肯定”分法，不均匀无序又称“双否定”，均匀无序和不均匀有序称为“单肯定”下面就以具体例题来说明上面四类问题的一般解法：例1：有6本不同的书，（1）甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？（2）分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分法？（3）分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分法？（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分法？解析：对于问题（1），首先从6本不同的书中选出2本来给甲，选出的2本书之间无顺序，为26C ；其次，从剩下的4本书中选出2本来给乙，为24C ；最后剩下的2本给丙，为22C ；整个解题过程应用的是分步计数原理，所以最终的分法数为90C *C *C N 2224261==;对于问题（2），与问题（1）的相同在于都是均匀分组，差别仅仅在于，一个是分给3人，一个是分成3堆，即就是分成的3组之间一个是有顺序的，一个是没有顺序的，所以问题（2）的解决可以在问题（1）解决的基础上对3组进行“消序”，即15A C *C *C N 332224262==; 对于问题（3），解决方法与问题（1）一样，用分步计数原理，先从6本不同的书中选出1本来，再从剩下的5本书中选出2本来，最后剩下的3本作为一堆，最终的分法数为60C *C *C N 3325163==;对于问题（4），分析题目，可见问题（4）与问题（3）的相同在于都是不均匀分组，差别在于问题（3）是分成3堆，即分成的3组无序，问题（4）是分给3人，即分成的3组有序，所以问题（4）的解决可以在问题（3）解决的基础上对3组进行“排序”，即603A *C *C *C N 333325164==。
高中数学专题排列组合中的分组分配问题
高中数学专题排列组合中的分组分配问题Ⅰ.概述分组分配问题是排列、组合问题的综合，是排列组合问题中的一个重点和难点；某些排列组合问题看似非分配问题，实际上也可运用分配问题的方法来解决。
解决分组分配问题的一个基本指导思想就是先分组后分配。
分组分配问题特征：（1）分组分配特征：问题涉及把相关的元素进行分组然后再分配；（2）分组的类型：整体均分、部分均分和不等分三种；无论分成几组，都应注意只要有元素的个数相等的组存在，就需要考虑均分的现象（即：整体平均分组；或部分平均分组）；（3）均分特征：只要出现所分组中的元素个数相等，则存在重复出现的情况，作为分组只能计为一种。
Ⅱ.排列组合中的分组与分配问题一.分组与分配有关概念1.将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题；分组问题有不平均分组、整体平均分组和部分平均分组三种情况。
2.将n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象（位置），称为分配问题；分配分定向分配和不定向分配两种问题；3.分组问题和分配问题的区别：前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是有区分的，对于分配问题必须先分组后分配，而分组通常与组合相关，分配通常与排列相关。
二．基本的分组问题（一）分组问题的基础题例【题例1】六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分组方法？(1)每组两本.(2)一组一本，一组二本，一组三本.(3)一组四本，另外两组各一本.【分析】：(1)分组与顺序无关，是组合问题。
注意，这里6个元素，分3组，每组2个元素，所求的分组种类：不是“从6个元素中取2个元素的组合数”，而是“6选2，选3次，分成3组，所得的组数”；在这样的分组中，由于要选3次，且平均选取，就存在选取的顺序，故所得组中出现重复的组，重复的种数即所分组的全排列数。
若一组分组为：（1，2）（3，4）（5，6），另一组分组为（3，4）（1，2）（5，6），则这样的两组只能算一组，不能算作两组；若一组分组为：（1，2）（3，4）（5，6），另一组分组为（1，3）（2，4）（5，6），则这样的两组应算作两个不同的分组；在（1，2）（3，4）（5，6）与（1，3）（2，4）（5，6）这两个分组中出现的“从6个元素中选取2个元素的组合”则有5个，且其中的组合（5，6）只能算作1个计数；三．基本的分配问题（一）定向分配问题：将所给元素按要求分配到指定对象【题例2】六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）甲两本、乙两本、丙两本.（2）甲一本、乙两本、丙三本.（3）甲四本、乙一本、丙一本.(二)不定向分配问题：将所给元素按要求分配到非指定对象【题例3】六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）每人两本.（2）一人一本、一人两本、一人三本.（3）一人四本、一人一本、一人一本.Ⅲ.分组-分配问题类型与方法探究一．分组问题的基本类型--思想方法（一）分组问题类型1--非均匀分组（分步-组合法）：“非均匀分组”是指将所给元素分成元素个数彼此不相等的若干组。
排列组合问题之分组分配问题(两个五个方面)(1)
排列组合问题之分组分配问题（一）（五个方面）一、非均匀分组（分步组合法）“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。
例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？ ①分成3组，分别为1人、2人、4人；②选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。
解：①先选出1人，有17C 种，再由剩下的6人选出2人，有26C 种，最后由剩下的4人为一组，有44C 种。
由分步计数原理得分组方法共有124764105C C C =（种）。
②可选分同步。
先从7人中选出2人，有27C 种，再由剩下的5人中选出3人，有35C 种，分组方法共有2375210C C =（种）。
也可先选后分。
先选出5人，再分为两组，由分步计数原理得分组方法共有523753210C C C =（种）。
二、均匀分组（去除重复法）“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。
㈠全部均匀分组（去除重复法）例2、7人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法？解：可选分同步。
先选3人为一组，有37C 种；再选3人为另一组，有34C 种。
又有2组都是3人，每22A 种分法只能算一种，所以不同的分法共有33742270C C A =（种）。
也可先选后分。
不同的分法共有3366372270C C C A ⋅=（种）。
㈡部分均匀分组（去除重复法）例3、10个不同零件分成4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法？解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有210C 、28C 、26C 、44C 种，又有3堆都是2个元素，每33A 种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有222410864333150C C C C A ⋅=（种）。
【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有m 个组的元素是均匀的，都有mm A 种顺序不同的分法只能算一种分法。
】三、编号分组㈠非均匀编号分组（分步先组合后排列法）例4、7人参加义务劳动，选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法？解：分组方法共有232752420C C A =（种）。
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排列组合中的分组分配问题
分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点。
某些排列组合问题看似非分配问题，实际上可运用分配问题的方法来解决。
下面就排列组合中的分组分配问题，谈谈自己在教学中的体会和做法。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
一、提出分组与分配问题，澄清模糊概念
n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。
分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。
二、基本的分组问题
例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1)每组两本.
(2)一组一本，一组二本，一组三本.
(3)一组四本，另外两组各一本.
分析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。
分组数是624222
C C C=90(种) ，这90种分组实际上重复了6次。
我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。
以上的分组方法实际上加入了组的顺
序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数33
A，所以分法是
222
642
3
3
C C C
A
=15(种)。
(2)先分组，方法是615233
C C C，那么还要不要除以33A？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有615233
C C C=60(种) 分法。
(3)分组方法是642111
C C C=30(种) ，那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，
不可能重复。
所以实际分法是
411
621
2
2
C C C
A
=15(种)。
通过以上三个小题的分析，我们可以得出分组问题的一般方法。
结论1： 一般地，n 个不同的元素分成p 组，各组内元素数目分别为m 1，m 2，…，m p ，
其中k 组内元素数目相等，那么分组方法数是
32
1112p
p
m m
m m n n m n m m m k
k
C C C C A
---⋯。
三、基本的分配的问题 (一)定向分配问题
例 2 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1) 甲两本、乙两本、丙两本. (2) 甲一本、乙两本、丙三本. (3) 甲四本、乙一本、丙一本.
分析：由于分配给三人，每人分几本是一定的,属分配问题中的定向分配问题，由分布
计数原理不难解出：分别有222642C C C =90(种)，615233
C C C =60(种)， 411621C C C =30(种)。
(二)不定向分配问题
例3六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1) 每人两本.
(2) 一人一本、一人两本、一人三本. (3) 一人四本、一人一本、一人一本.
分析：此组题属于分配中的不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题。
由于分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。
实际上可看作“分为三组，再将这三组分给甲、乙、丙三人”，因此只要将分组方法数再乘以3
3A
，
即222
6423
3
C C C A 3
3A =90(种)， 615233C C C 3
3A
=360(种)
4
1
1
6212
2
C C C A 3
3A =90(种)。
结论2. 一般地，如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。
通过以上分析不难得出解不定向分配题的一般原则：先分组后排列。
例4 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？ 分析：六本书和甲、乙、丙三人都有“归宿”，即书要分完，人不能空手。
因此，考虑先分组，后排列。
先分组，六本书怎么分为三组呢？有三类分法(1)每组两本(2)分别为一本、二本、三本(3)两组各一本，另一组四本。
所以根据加法原理，分组法是
22264233C C C A +615233C C C +411
6212
2
C C C A =90(种)。
再考虑排列，即再乘以33A 。
所以一共有540种不
同的分法。
四、分配问题的变形问题
例5 四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？
分析：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1，1，2。
实际上可转化为先将
四个不同的小球分为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法有112
43
222
C C C A (种)，然后将这三组(即三个不同元素)分配给四个小盒(不同对象)中的3个的排列问题，即共有
112
4322
2
C C C A 34A =144(种)。
例6有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有多少种？
分析：先考虑分组，即10人中选4人分为三组，其中两组各一人，另一组二人，共
有112
10982
2C C C A (种)分法。
再考虑排列，甲任务需2人承担，因此2人的那个组只能承担甲任务，而一个人的两组既可承担乙任务又可承担丙任务，所以共有1
1
2
109822
C C C A 2
2A =2520(种)
不同的选法。
例7设集合A={1，2，3，4}，B={6，7，8}，A 为定义域，B 为值域，则从集合A 到集合B 的不同的函数有多少个？
分析：由于集合A 为定义域，B 为值域，即集合A 、B 中的每个元素都有“归宿”，而集合B 的每个元素接受集合A 中对应的元素的数目不限，所以此问题实际上还是分组后分配的问题。
先考虑分组，集合A 中4个元素分为三组，各组的元素数目分别为1、1、2，则共有
11243222C C C A (种)分组方法。
再考虑分配，即排列，再乘以3
3A ，所以共有112
4322
2
C C C A 33A =36(个)不同的函数。
掌握上述两个结论，就能顺利解决任何分配问题。
学会了分配问题，还能将一些其他的排列组合问题转化为分配问题来解决。
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