2018版高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.3.1 空间直角坐标系学业分层测评 苏教版必修2

2.3.1 空间直角坐标系
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．若点P(a，b，c)既在平面xOy内，又在平面yOz内，则a＋c＝________.
【解析】点P在平面xOy与平面yOz的交线Oy上，由其上点的特征知a＝0，c＝0，b∈R.
【答案】0
2．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)，关于下列叙述：
①点P关于x轴对称的点的坐标是P1(x，－y，z)；
②点P关于yOz平面对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)；
③点P关于y轴对称的点的坐标是P3(x，－y，z)；
④点P关于原点对称的点的坐标是P4(－x，－y，－z)．
其中叙述正确的序号是________．
【解析】由图形几何性质知①②③错，④正确．
【答案】④
3.如图2－3－3所示，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB＝4，BC＝1，BE＝3，CF＝4，按图建立空间直角坐标系，则G的坐标为________．
图2－3－3
【解析】∵长方体的对面互相平行，且被截面AEFG所截，
∴交线AG∥EF.又∵BE＝3，CF＝4，
∴DG＝1，故G的坐标为(0,0,1)．
【答案】(0,0,1)
4.如图2－3－4，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知点B1的坐标为(a，a，a)，则点D1的坐标为________．
图2－3－4
【解析】 由点B 1的坐标为(a ，a ，a )知点D 1的坐标为(0,0，a )． 【答案】 (0,0，a )
5．已知点M 到三个坐标平面的距离都是1，且点M 的三个坐标同号，则点M 的坐标为________．
【解析】 根据点M 到三个坐标平面的距离均为1，结合点的对称性，知M (1,1,1)或(－1，－1，－1)．
【答案】 (1,1,1)或(－1，－1，－1)
6．已知点P ′在x 轴正半轴上，OP ′＝2，PP ′在xOz 平面上，且垂直于x 轴，PP ′＝1，则点P ′和P 的坐标分别为________，________.
【导学号：41292118】
【解析】 由于P ′在x 轴的正半轴上，故点P ′的坐标为(2,0,0)，又PP ′在xOz 平面上，且垂直于x 轴，故P 点坐标为(2,0，±1)．
【答案】 (2,0,0) (2,0，±1)
7.正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为1，且|BP |＝1
3|BD ′|，建立如图2－3－5所示
的空间直角坐标系，则P 点的坐标为________．
图2－3－5
【解析】 如图所示，过P 分别作平面xOy 和z 轴的垂线，垂足分别为E ，H ，过E 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为F ，G ，由于|BP |＝13|BD ′|，所以|DH |＝13|DD ′|＝1
3，
|DF |＝2
3
|DA |
＝23，|DG |＝23|DC |＝23，所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，23，13. 【答案】 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，23，13
8.如图2－3－6, M －OAB 是棱长为a 的正四面体，顶点M 在底面OAB 上的射影为H ，则
M 的坐标是________．
图2－3－6
【解析】 由M －OAB 是棱长为a 的正四面体知B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32a ，12a ，0，
A (0，a,0)，O (0,0,0)． 又点H 为△OA
B 的中心知H ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
36a ，12a ，0， 从而得M 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫36
a ，1
2a ，63a . 【答案】 ⎝
⎛⎭⎪⎫36
a ，a
2，63a
二、解答题
9．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标.
【导学号：41292119】
【解】 如图所示，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，
连结BO ，OO 1，可得BO ⊥AC ，BO ⊥OO 1，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．
∵各棱长均为1，
∴OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12，OB ＝3
2.
∵A ，B ，C 均在坐标轴上，
∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0.
∵点A 1，C 1均在yOz 平面内， ∴A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，C 1⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12，1. ∵点B 1在xOy 面内的射影为点B ，且BB 1＝1， ∴B 1⎝
⎛⎭
⎪⎫32，0，1.
10．如图2－3－7，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，AB ＝2，AA 1＝1，直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为30°，AE 垂直BD 于点E ，F 为A 1B 1的中点，请建立适当的空间直角坐标系，求出点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标．
图2－3－7
【解】 ∵ABCD －A 1B 1C 1D 1为长方体，∴可以以顶点A 为原点，以棱AB ，AD ，AA 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．
∵AD ⊥平面AA 1B 1B ，∴∠ABD 就是直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角，∠ABD ＝30°， ∴Rt △BAD 中，由AB ＝2，AE ⊥BD ，∠ABD ＝30°可解得AD ＝AB ·tan 30°＝2×
33＝23
3
，BD ＝2AD ＝
43
3
，AE ＝1. 过点E 在平面ABCD 内作AB 的垂线EM ，垂足为点M ，∴Rt △AEM 中，EM ＝AE ·sin 60°＝32
， AM ＝AE ·cos 60°＝12
.
又长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，
AA 1＝1，F 为A 1B 1的中点，
∴A (0,0,0)，B (2,0,0)，A 1(0,0,1)，
B 1(2,0,1)，
C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，233，0，
D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
0，233，0， E ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1
2，
32，0，F (1,0,1)． [能力提升]
1．空间两点A ，B 的坐标分别为(x ，－y ，z )，(－x ，－y ，－z )，则A ，B 两点的位置关系是________．
【解析】 由A ，B 两点的坐标可知关于y 轴对称． 【答案】 关于y 轴对称
2．在空间直角坐标系中，点M 的坐标是(4,7,6)，则点M 关于y 轴的对称点在坐标平面
xOz 上的射影的坐标为________．
【解析】 点M 关于y 轴的对称点是M ′(－4,7，－6)，点M ′在坐标平面xOz 上的射影是(－4,0，－6)．
【答案】 (－4,0，－6)
3.如图2－3－8所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，
E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2.试建立适当的空间直角坐标系，写出A ，B ，C ，D ，P ，E 的坐标．
图2－3－8
A ________，
B ________，
C ________，
D ________，P ________，
E ________.
【解析】 如图所示，以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，AP 所在直线为z 轴，与过点A 与AB 垂直的直线AG 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系．
则相关各点的坐标分别是A (0,0,0)，B (1,0,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3
2，32，0，D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，32，0，P (0,0,2)，
E ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1，
32，0. 【答案】 (0,0,0) (1,0,0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0 (0,0,2) ⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，32，0(答
案不唯一)
4.如图2－3－9所示，AF ，DE 分别是圆O ，圆O 1的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，
AD ＝8，BC 是圆O 的直径，AB ＝AC ＝6，OE ∥AD ，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标.
【导学号：41292120】
图2－3－9
【解】因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD，
所以OE⊥平面ABC.
又AF⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以OE⊥AF，OE⊥BC，
又BC是圆O的直径，
所以OB＝OC，
又AB＝AC＝6，
所以OA⊥BC，BC＝6 2.
所以OA＝OB＝OC＝OF＝3 2.
如图所示，以O为原点，以OB，OF，OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
所以A(0，－32，0)，B(32，0,0)，C(－32，0,0)，D(0，－32，8)，E(0,0,8)，F(0,32，0)．。