高二数学同步练习二项式定理
高二数学二项式定理试题
高二数学二项式定理试题1.在的展开式中，的系数为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】在的展开式中，按降幂排列，的系数为=，故选D。
【考点】本题主要考查二项式展开式。
点评：考查知识点明确，方法具体，细心计算。
2.已知，的展开式按a的降幂排列，其中第n 项与第n+1项相等，那么正整数n等于（）A．4B．9C．10D．11【答案】A【解析】的展开式按a的降幂排列，其中，所以，又，所以=4，故选A。
【考点】本题主要考查二项式展开式。
点评：考查知识点明确，方法具体，细心计算。
3. (1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是（）A．1.23B．1.24C．1.33D．1.34【答案】D【解析】 (1.05)6 ==1+0.3+0.0375+0.0025+… 1.34．故选D。
【考点】本题主要考查二项式定理在近似计算方面的应用。
点评：根据近似要求，选定研究前几项。
计算要准确。
4.的展开式中，的系数为（）A．－40B．10C．40D．45【答案】D【解析】===的系数为故选D。
【考点】本题主要考查二项式展开式、二项式系数的性质。
点评：基本题型，也可以分别展开，确定的系数。
5.在的展开式中,含项的系数是等差数列的（）A．第2项B．第11项C．第20项D．第24项【答案】C【解析】在的展开式中,含项的系数是+=55，所以是的第20项，故选C。
【考点】本题主要考查二项式系数的性质、等差数列通项公式。
点评：基本题型，思路明确，认真计算。
6.（12分）是否存在等差数列，使对任意都成立？若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．【答案】．【解析】假设存在等差数列满足要求（2分）（4分）=（8分）依题意，对恒成立，（10分）, 所求的等差数列存在，其通项公式为．（12分）【考点】本题主要考查等差数列知识、组合数性质的应用及逻辑思维能力和计算能力。
点评：对于存在性问题，往往要先假设存在，根据题目条件解析探求。
若推出矛盾，则否定存在，反之，肯定存在。
高二数学“二项式定理”同步训练(有详细答案)
—第1页—高二数学“二项式定理”同步训练（一）参考答案班级 姓名 学号一．选择填空题1．()()()()()=+++++---2012112019120205lg 5lg 2lg 5lg 2lg 2lg r r r C C （ A ）A ．1B ．()207lgC ．202D ．20102．在()5223++x x 的展开式中x 的系数为 （ B ）A ．160B ．240C ．360D ．800 3．若二项式231(3)2nx x-（n N *∈）的展开式中含有常数项，则n 的最小值为（ B ）A ．4 B. 5 C. 6 D. 84． 3)2||1|(|-+x x 展开式中的常数项的值是 ( A )A ．–20B ．20C ．–15D ．-28 5．在(1)n x +的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则2(1)n x -等于 （ D ）A ．0B ．pqC ．22p q +D ．22p q -6．若(1-2x)5的展开式中，第2项小于第1项，且不小于第3项，则x 的取值范围是 ( B ) A ．x ＜-101B ．-101＜x ≤0 C ．-41≤x ＜101 D ．-41≤x ≤07. 已知()nx 21+的展开式中所有系数之和等于729，那么这个展开式中3x 项的系数是( C ) A ．56 B ．80 C ．160 D ．180 8. 由100)233(+x 展开所得的x 的多项式中系数为有理数共有 ( A ) A ．51项 B ．17项 C ．16项 D ．15项9．（1-x ）2n-1展开式中，二项式系数最大的项 （ D ） A ．第1n -项B ．第n 项C ．第1n -项与第1n +项D ．第n 项与第1n +项10. ()1021x +的展开式中系数最大的项是 （ D ） A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项 D ．第8项二．填空题11．)()4511x -展开式中4x 的系数为 45 ，各项系数之和为 0 ．12. 多项式12233()(1)(1)(1)(1)n nn n n n f x C x C x C x C x =-+-+-++- （6n >）的展开式中，6x 的系数为 1 ．13. ()()()()44321111x x x x ++++ 的展开式中x 的系数是______ 990 ．14. 5522105)2(x a x a x a a x +⋅⋅⋅+++=-，则=++++420531a a a a a a 122121-．三．解答题15．若()nx x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-11log 5的展开式中各奇数项二项式系数之和为32，中间项为2 500，求x ． 解：∵各奇数项的二项式系数之和为1232n -=∴6n =∴中间项为2500)(20)()1(log3)1(log336455===--x x x x C T∴5(log 1)33]5x-=5log15555(log 1)1(log 1)log 2x x x x -=-=-=∴∴∴ 25555(log )log20log 1log 21255x xx x xx --==-===∴∴∴或或 16．已知)0,()1()(*212≠∈+++m N n mx m x n n 与的展开式中含n x 项的系数相等，求实数m 的取值范围.解： 21()n x m ++的展开式的通项为1r T +则：21121r n rr r n T C xm +-++=⋅ ∴由已知可得：21n r n +-= ∴1r n =+此展开式中n x 的系数为1121n n n C m +++ 又∵21)n m x +（的展开式中n x 的系数为2n n n C m ⋅∴由已知可得：11212n n n nn n C m C m +++=即：212n n n n C m C +⋅= ∴111(1)21221n m n n +==+++，m 为n 的减函数∵n N *∈∴12m >又当1n =时， m ax 23m =∴1223m <≤∴所求m 的取值范围为：12(,]2317．求（2x-1）5的展开式中： （1）各项系数之和；（2）各项的二项式系数之和；（3）偶数项的二项式系数之和； （4）各项系数的绝对值之和；（5）奇次项系数之和．—第3页—18．已知nxx x )1(3+展开式中前三项系数之和为37．（1）求x 的整数次幂的项； （2）求展开式中二项式系数最大的二项式系数．解：由已知可得：37210=++n n n C C C ，即：(1)12n n n -++=37∴2720n n +-=8=∴n 或9-=n （舍去）．（1）7211861881(rrrrr r T C C x--+==，r ∴必为6的倍数，且08,r ≤≤06r ∴=或x ∴的整数次幂的项为x T x T 28,7121==．（2）由8=n 知展开式共9项，最大的项式系数为5658=C ．19. 若某一等差数列的首项为112225113nn nn C A ----，公差为m x x)5225(32-的常数项，其中m 是7777－15除以19的余数，则此数列前多少项的和最大？并求出这个最大值． 解：由已知得： 1125{22113n n n n -≤-≤-，∴111375n ≤≤n N ∈又 12100n a ∴=∴=，首项注意到45)176(777777-==+=d m ，进而知公差，可得，从而等差数列的通项公式是：n a n 4104-=，设其前k 项之和最大，则)1(410404104{<+-≥-k k ，解得k=25或k=26， 故此数列的前25项之和与前26项之和相等且最大，13002625==S S ．。
高二数学同步测试(9)— 二项式定理
高二数学同步测试（9）— 二项式定理一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．6)1(xx -的展开式中的常数项是 （ ）A ．15B ．20C ．－15D ．－202．()nb a +展开式中，第4项和第6项的二项式系数相等，则n 的值为 （ ）A ．8B ．9C ．10D ．113．15555-除以8的余数是 （ ）A ．1B ．2C ．6D ．74．若()nx 13+的展开式中各项系数的和为256，则展开式中2x 项的系数为 （ ）A ．54B ．36C ．28D ．252 5．7)21(+展开式中有理项的项数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66．若()()2631-+ax x 的展开式中，7x 项的系数为36，则a ＝ （ ）A ．3B ．2-C ．3或2-D ．2或3-7．二项式101⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中系数最大的项为（ ）A ．第五项B ．第四项和第六项C ．第五项和第七项D ．第六项和第七项8．设n a 为()nx +1展开式中2x 项的系数，则1032111a a a +⋅⋅⋅++等于 （ ）A ．2B ．59C ．511D ．19．在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 是各边中点，O 是正方形中心，在A ，E ，B ，F ，C ，G ， D ，H ，O 这九个点中，以其中三个点为顶点作三角形，在这些三角形中，互不全等的三 角形共有 （ ） A ．6个 B ． 7个 C ．8个 D ．9个10．若()621x -的展开式中的第二项小于第一项，但不小于第三项，则实数x 的取值范围是（ ）A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,51B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,121 C ． ⎥⎦⎤⎝⎛-0,121 D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-0,51 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．(2x －1)5展开式中各项系数绝对值之和是 . 12．0.9915精确到0.01的近似值是 . 13．已知9)2(x x a -展开式中3x 的系数为49，则常数a 的值为 .14．对于二项式()20041x -，有下列四个命题：①展开式中999100520041000x C T -=；②展开式中系数最大的项是第1002项； ③展开式中非常数项的系数和是1-；④当=x 2000时，()20041x -除以2000的余数是1.其中正确命题的序号是 .（把你认为正确的命题的序号都填上）. 三、解答题（共计84分） 15．（14分）已知(1-2x )5展开式中第2项大于第1项而不小于第3，求x 的取值范围16．（14分）求()()()2032111x x x ++⋅⋅⋅++++展开式中2x 项的系数．17．（14分）若)()1()1()(N n m x x x f n m ∈⋅+++=展开式中，x 的系数为21，问m 、n 为何值时，x 2的系数最小？18．（14分）已知nxx )2(2-的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项19．（14分）自然数n 为偶数时，求证：1n n n 1n n 4n 3n 2n 1n 23C C 2C C 2C C 21--⋅=+++++++20．（14分）已知()nx x 233-展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大992，（1）证明展开式中无常数项； （2）求展开式中系数最大的项．参考答案一、选择题 1．D 2．A 3．C 4．A 5．B 6．C 7．C 8．B 9．C 10．D 二、填空题 11．35 12．0.96 13．4 14．①③三、解答题15．解：由10141041101)2()2()2(225150515-<≤-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--<⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≥->-x x x x C x C C x C ． 16．解：展开式中2x 项的系数为220242322C C C C +⋅⋅⋅+++＝()220242333C C C C +⋅⋅⋅+++＝2202434C C C +⋅⋅⋅++＝1330321=C ． 17．解：由条件得m+n=21，x 2的项为22n 22m x C x C +，则.4399)221n (C C 22n 2m +-=+因n ∈N ，故当n=10或11时上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11时，x 2的系数最小18．解：依题意2n 4n 2n 4n C 14C 33:14C :C =⇒=∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!⇒n=10设第r+1项为常数项，又 251010210101)2()2()(r rr r r r r xC xx C T --+-=-=令2r 02r 510=⇒=-，.180)2(C T 221012=-=∴+此所求常数项为180 19．证明：原式=1n 1n n 1n n 5n 3n 1n n n 1n n 2n 1n 0n 2.322)C C C C ()C C C C C (----=+=++++++++++ ． 20．（1）令1=x 得各项系数和为()n31+，由已知得99224+=nn ，解得5=n ．所以341051r rr xC T ++=，由于5,4,3,2,1,0=r ，所以03410≠+r，故展开式中无常数项． （2）设第1+r 项系数最大，则⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅++--115511553333r r r r r r rr C C C C ()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅-+≥---≥⋅-⇒3! 4! )1(!5! 5! !5! 6! )1(!53! 5! !5r r r r r r r r 29271351613≤≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≥--≥⇒r r r r r ，由N r ∈得，4=r ．所以系数最大的项是第五项，且3265405x T =．(或将()nxx 233-展开后观察可得)。
高二数学二项式定理同步练习
高二数学 二项式定理 同步练习1．)()4511x +-展开式中4x的系数为 45 ，各项系数之和为 0 ．2．多项式12233()(1)(1)(1)(1)n n n n n n f x C x C x C x C x =-+-+-++-（6n >）的展开式中，6x 的系数为 0 ． 提示：()()16n f x x n =->。
3．若二项式231(3)2n x x-（n N *∈）的展开式中含有常数项，则n 的最小值为 （B ）()A 4()B 5 ()C 6 ()D 84．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应（C ） ()A 低于5％ ()B 在5％～6％之间 ()C 在6％～8％之间 ()D 在8％以上 5．在(1)nx +的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则2(1)nx -等于 （D ） ()A 0()B pq()C 22p q +()D 22p q -6．求和：()2341012311111111111n nn n n n n n a a a a a C C C C C a a a aa+------+-++------． 答案：()11n a a ---7．求证：当n N *∈且2n ≥时，()1322n n n ->+．8．求()102x +的展开式中系数最大的项． 答案：33115360T x +=1．设二项式nxx )13(3+的展开式的各项系数的和为P ，所有二项式系数的和为S ，若272=+S P ， 则n=（ A ） A 、4 B 、5 C 、6 D 、8 2．当+∈N n 且2≥n 时，q p n +=++++-52221142（其中N q p ∈,,且50<≤q ），则q 的值为（ A ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、与n 有关3．在62)12(xx -的展开式中常数项是605=T ；中间项是34160x T -=． 5．求62)321(x x -+展开式里5x 的系数为-168．6．在7)1(+ax 的展开式中，3x 的系数是2x 的系数与4x 的系数的等差中项，若实数1>a ，那么4．在1033)3(xx -的展开式中，有理项的项数为第3，6，9项． =a 5101+． 例1．求9)23(x -展开式中系数绝对值最大的项．例3．证明98322--+n n 能被64整除(+∈N n )．证明)88(888898188898)18(989983112111221111111111122-+-+--+++++++++++⋅+=⋅++⋅+=--+⋅++⋅+=--+=--=--n n n n n n n nn n nn n n n n n n CCCCn C C n n n ∵11211188-+-+-++⋅+n n n n n C C 是整数，∴98322--+n n 能被64整除． 1．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为（ A ） A 、1 B 、-1 C 、0 D 、22．由1003)23(+x 展开所得的x 的多项式中，系数为有理数的共有 （ B ）()A 50项 ()B 17项 ()C 16项 ()D 15项3．)1()2(210-+x x 的展开式中，10x 的系数为179．(用数字作答)4．9)2(x x a -的展开式中，3x 的系数为49，常数a 的值为4． 5．求111999除以8的余数．)(7)1250(88720001)200020002000(200012000200020002000)12000(1999101182119111101011921110111110111111Z k k k C C C C C C C ∈+-=-+=-+-+-=-⋅+-⋅+⋅-⋅=-=解 由上面展开式可知199911除以8的余数是7．7．设),()1()1()(+∈+++=N n m x x x f nm，若展开式中关于x 的一次项系数和为11，试问n m ,为何值时，含2x 项的系数取得最小值．解：由题意知1111=+n m C C ，即11=+n m ，又展开式中含2x 项的系数449)211(5511)]1()1([212222+-=+-=-+-=+=n n n n n m m C C n m ，∴当5=n 或6=n 时，含2x 项的系数最小，最小值为25．此时6,5==m n ；或6,5==n m ． 6．（1）求7)21(x +展开式中系数最大项．（2）求7)21(x -展开式中系数最大项．解：(1)设第1+r 项系数最大，则有⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅--++1177********r r r r r r r r C C C C ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--≥-⋅-+⋅≥-)!8()!1(!7)!7(!!72)!6()!1(!72)!7(!!7r r r r r r r r ，即⎩⎨⎧≥--≥+r r r r )8(2)7(21， ∴316313≤≤r 且Z r r ∈≤≤,70，∴5=r ．所以系数最大项为5555766722x x C T =⋅⋅= (2)展开式共有8项，系数最大项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得，故系数最大项必在中间或偏右，故只需比较5T 和7T 两项系数大小即可．又因为444475560)2(x x C T =-=，666677448)2(x x C T =-=，所以系数最大的项是第五项为444475560)2(x x C T =-=8．设n xx )32(-展开式中第2项的系数与第4项的系数的比为4：45，试求2x 项的系数．解：第1+r 项2321)3(2)3()2(rn r r n rn r rn r nr x C xx C T ---+-⋅⋅=-⋅⋅=， ∴454)3(2)3(233311=-⋅⋅-⋅⋅--n n n n C C ，即454)2)(1(964=--⋅⋅n n n n ，∴02832=--n n ， ∴7=n 或4-=n （舍负）．令2232=-r n ，即23227r=-，∴1=r ． ∴2x 项的系数1344)3(21717-=-⋅⋅-C ．9．求6998.0的近似值，使误差小于001.0．解：988.0)002.0(61)002.0()002.0(15)002.0(61)002.01(998.06266=-⋅+≈-++-⋅+-⋅+=-=1．1003)32(+的展开式中无理项的个数是 （ A ） ()A 84 ()B 85 ()C 86 ()D 87 2.设1510105)(2345++-+-=x x x x x x f ，则)(1x f-等于 （ C ）()A 51x + ()B 521--x ()C 521-+x ()D 51x -3．如果21872221221=++++n n n n n C C C ，则=++++nn n n n C C C C 210128．4.nnn n n C n C C 11)1(3121121+-+-+- =11+n ． 5.9)23(z y x +-展开式中含432z y x 的项为43290720z y x -． 6．若1001002210100)1()1()1()21(-++-+-+=+x a x a x a a x ，则=++++99531a a a a 215100-.1．若nxx )1(23+的展开式中只有第6项的系数最大，则不含x 的项为（ C ） ()A 462 ()B 252 ()C 210 ()D 102．用88除78788+，所得余数是 （ ） ()A 0 ()B 1 ()C 8 ()D 803．已知20XX 年4月20日是星期五，那么9010天后的今天是星期 ．4．某公司的股票今天的指数是2，以后每天的指数都比上一天的指数增加%02.0，则100天后这家公司的股票指数约为2.442（精确到0.001）．5．已知55443322105)23(x a x a x a x a x a a x +++++=-，则（1）5432a a a a +++的值为568；（2）=++++||||||||||54321a a a a a 2882． 6．若nax 2)1(+和12)(++n a x 的展开式中含n x 项的系数相等（*N n ∈，0≠a ），则a 的取值范围为]32,21(9．已知(1＋3x)n 的展开式中，末三项的二项式系数的和等于 121，求展开式中系数最大的项．∴ n ＝15或 n ＝-16(舍)设第 r ＋1项与第 r 项的系数分别为t r+1，t r∴t r+1≥t r 则可得3(15-r ＋1)＞r 解得r ≤12∴当r 取小于12的自然数时，都有t r ＜t r+1当r ＝12时，t r+1=t r。
苏教版高中数学选修2-3二项式定理同步练习1.docx
二项式定理 同步练习1．若n x x )1(23+的展开式中只有第6项的系数最大，则不含x 的项为 （ C ） ()A 462 ()B 252 ()C 210 ()D 102．用88除78788+，所得余数是 （ ）()A 0 ()B 1 ()C 8 ()D 803．已知2002年4月20日是星期五，那么9010天后的今天是星期 ．4．某公司的股票今天的指数是2，以后每天的指数都比上一天的指数增加%02.0，则100天后这家公司的股票指数约为2.442（精确到0.001）．5．已知55443322105)23(x a x a x a x a x a a x +++++=-，则 （1）5432a a a a +++的值为568；（2）=++++||||||||||54321a a a a a 2882． 6．若n ax 2)1(+和12)(++n a x 的展开式中含n x 项的系数相等（*N n ∈，0≠a ），则a的取值范围为]32,21(7．求满足500323210<+++++n n n n n n nC C C C C Λ的最大整数n ．原不等式化为n ·2n-1＜499∵27=128，∴n=8时，8·27=210=1024＞500．当n=7时，7·26=7×64=448＜449．故所求的最大整数为n=7．8．求证：222222120)()()()(nnnnnnCCCCC=++++Λ证明由(1+x)n·(1+x)n=(1+x)2n，两边展开得：比较等式两边xn的系数，它们应当相等，所以有：9．已知(1＋3x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于 121，求展开式中系数最大的项．∴ n＝15或 n＝-16(舍)设第 r＋1项与第 r项的系数分别为tr+1，tr∴tr+1≥tr则可得3(15-r＋1)＞r解得r≤12∴当r取小于12的自然数时，都有tr＜tr+1当r＝12时，tr+1=tr。
苏教版高中数学选修2-3二项式定理同步练习1.docx
高中数学学习材料唐玲出品二项式定理 同步练习1．若n x x )1(23+的展开式中只有第6项的系数最大，则不含x 的项为 （ C ） ()A 462 ()B 252 ()C 210 ()D 102．用88除78788+，所得余数是 （ ） ()A 0 ()B 1 ()C 8 ()D 803．已知2002年4月20日是星期五，那么9010天后的今天是星期 ．4．某公司的股票今天的指数是2，以后每天的指数都比上一天的指数增加%02.0，则100天后这家公司的股票指数约为2.442（精确到0.001）．5．已知55443322105)23(x a x a x a x a x a a x +++++=-，则 （1）5432a a a a +++的值为568；（2）=++++||||||||||54321a a a a a 2882． 6．若n ax 2)1(+和12)(++n a x 的展开式中含n x 项的系数相等（*N n ∈，0≠a ），则a 的取值范围为]32,21(7．求满足500323210<+++++n n n n n n nC C C C C 的最大整数n ．原不等式化为n ·2n-1＜499∵27=128，∴n=8时，8·27=210=1024＞500．当n=7时，7·26=7×64=448＜449．故所求的最大整数为n=7．8．求证：222222120)()()()(n n n n n n C C C C C =++++ 证明 由(1+x)n ·(1+x)n=(1+x)2n ，两边展开得：比较等式两边xn 的系数，它们应当相等，所以有：9．已知(1＋3x)n 的展开式中，末三项的二项式系数的和等于 121，求展开式中系数最大的项．∴ n ＝15或 n ＝-16(舍)设第 r ＋1项与第 r 项的系数分别为tr+1，tr∴tr+1≥tr 则可得3(15-r ＋1)＞r 解得r ≤12 ∴当r 取小于12的自然数时，都有tr ＜tr+1当r ＝12时，tr+1=tr。
高二数学二项式定理1
1 C n0、 C n 、 C n2、 C n3、 、 C nn
C 、C 、C 、C 、 、 C
0 n
1 n
2 n
3 n
n n
二项展开式系数：是指二项展开式中各项的系数
4 1 1 4 4 2 1.展开 ( x ) x 4 x 6 2 4 x x x
探究
3.这些系数中每一个可看作由它肩上的两个数字 和 得 到.你能写出第五行的数字吗？(a+b)5= .
a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
4.计算： C (a+b)4=
0 4
0 = 4
1， C
1 4=
C 4，
2 3 4= 6 ， 4=
C
C 4，
3 4
4 4= 1 .
用这些
4 4. 4
1.在n=1,2,3,4时，研究(a+b)n的展开式. (a+b)1= a+b , (a+b)2= a2+2ab+b2 , (a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b3 , (a+b)4= a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 . 1 1 2.列出上述各展开式的系数:
1 1 1 4 3 6 2 3 4 1 1 1
x4.
15
3.(1 x) (1 x)
2
(1 x) (1 x)
3
1820 展开式中含x3项的系数为___________ 。
2014高二二项式定理练习题精选全文完整版
精选全文完整版二项式定理1.若(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝ ( )A ．45B ．55C ．70D ．802．在(1x ＋ 51x 3)n 的展开式中，所有奇数项的系数之和为1 024，则中间项系数是( )A ．330B ．462C ．682D ．7923.12321666 .n n n n n n C C C C -+⋅+⋅++⋅=4.若n 展开式中偶数项系数和为256-，求n .5在二项式n 的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数？6.求25(32)x x ++的展开式中x 的一次项的系数？7.求式子31(2)x x+-的常数项？82006(,,,_____.x x S x S -==在的二项展开式中含的奇次幂的项之和为当9.设二项式1)n x的展开式的各项系数的和为p ，所有二项式系数的和为s ,若 272p s +=,则n 等于多少？10.203)515(+的展开式中的有理项是展开式的第 项11、(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是12、若)N n m ()x 1()x 1()x (f n m ∈⋅+++=展开式中，x 的系数为21，问m 、n 为何值时，x 2的系数最小？13．设(2x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，求：(1)a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4；(2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|；(3)a 1＋a 3＋a 5；(4)(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3＋a 5)2.。
人教版高中数学高二数学《二项式定理》同步练习一
姓名 班级 学号 等第 .
1.二项展开式n b a 2)(+的项数是 项
2.n y x )(-的二项展开式中,第r 项的二项式系数是
3. 在243(x x
-
的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有 项
4. 若5)1(-ax 的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是
5. 10)31(x x -
的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是 6. 在2n x x ⎫⎪⎭的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于
7. 设常数0a >，42ax x ⎛ ⎝
展开式中3x 的系数为32，则a ＝_____.
8. 在72()x x 的展开式中，2x 的系数中________________（用数字作答）.
9. 在112()x x -的展开式中，5x 的系数为________ .
10.设,0>a 若12(1)n ax +的展开式中含2
x 项的系数等于含x 项的系数的9倍,且展开式中第3项等于135x ,求a 的值.
11.求62)321(x x -+的展开式中5x 的系数.
12.在二项式)0,,0,0()(12≠>>+n m b a bx ax n m 中有02=+n m ,如果它的展开式里最大
系数项恰是常数项.
(1)求常数项是第几项?
(2)求b a
的范围.。
人教版数学高二数学 1.3《二项式定理》同步测试(新人教A版选修2-3)
． 二项式定理一、选择题：本大题共 个小题，每小题 分，共 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ．在()103x -的展开式中，6x 的系数为✌．610C 27-．410C 27．610C 9-．410C 9． 已知a 4b ,0b a =>+， ()n b a +的展开式按♋的降幂排列，其中第⏹ 项与第⏹项相等，那么正整数⏹等于✌．．． ． ．已知（n a a )132+的展开式的第三项与第二项的系数的比为∶ ，则⏹是 （ ） ✌． ． ． ． ． 被 除的余数是✌．．．．． ☎✆ 的计算结果精确到 的近似值是✌． ． ． ． ．二项式n4x 1x 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ☎⏹∈☠✆的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是✌． ．．．．设☎⌧31⌧21✆n 展开式的各项系数之和为♦，其二项式系数之和为♒，若♦♒，则展开式的⌧2项的系数是✌．21．．．．在62)1(x x -+的展开式中5x 的系数为✌． ． ． ．．n xx )(5131+展开式中所有奇数项系数之和等于 ，则所有项的系数中最大的值是✌． ． ． ． ．54)1()1(-+x x 的展开式中，4x 的系数为✌．－ ．． ． ．二项式☎♦♓⏹⌧✆⏹的展开式中，末尾两项的系数之和为 ，且系数最大的一项的值为25，则⌧在☯， π 内的值为✌．6π或3π ．6π或65π ．3π或32π．3π或65π．在☎⌧✆ ☎⌧✆ ☎⌧✆ 的展开式中 含⌧ 项的系数是等差数列 ♋⏹ ⏹－ 的 （ ） ✌．第 项 ．第 项 ．第 项．第 项二、填空题：本大题满分 分，每小题 分，各题只要求直接写出结果 ．92)21(xx -展开式中9x 的系数是．若()44104x a x a a 3x 2+⋅⋅⋅++=+，则()()2312420a a a a a +-++的值为♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉．若 32()n x x -+的展开式中只有第 项的系数最大，则展开式中的常数项是∙∙∙∙∙∙ ∙ ．对于二项式☎⌧✆1999，有下列四个命题： ①展开式中❆1000 － 19991000⌧999； ②展开式中非常数项的系数和是 ；③展开式中系数最大的项是第 项和第 项； ④当⌧时，☎⌧✆1999除以 的余数是 ． 其中正确命题的序号是♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉．（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题：本大题满分 分．（ 分）若n x x )1(66+展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列． （１）求⏹的值；（２）此展开式中是否有常数项，为什么？．（ 分）已知☎124x +✆⏹的展开式中前三项的二项式系数的和等于 ，求展式中二项式系数最大的项的系数．．（ 分）是否存在等差数列{}n a ，使nn n1n 2n 31n 20n 12n C a C a C a C a ⋅=+⋅⋅⋅++++对任意*N n ∈都成立？若存在，求出数列{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由．．（ 分）某地现有耕地 亩，规划 年后粮食单产比现在增加 ，人均粮食占有量比现在提高 。
高中数学二项式定理经典练习题专题训练（含答案）
⾼中数学⼆项式定理经典练习题专题训练（含答案）⾼中数学⼆项式定理经典练习题专题训练姓名班级学号得分说明：１、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（⾮选择题）两部分。
满分100分。
考试时间90分钟。
２、考⽣请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。
考试结束后，只收第Ⅱ卷第Ⅰ卷（选择题）⼀．单选题（每题,3分，39分）1．已知在的展开式中，第6项为常数项，则n为（）A．10B．9C．8D．72、的展开式中第三项的系数是（）A．B．C．15D．3、的展开式中常数项是（）A．14B．-14C．42D．-424．设a=cos2xdx，则（a-）6展开式中含x2项的系数是（）A．-192B．-190C．192D．1905．在（x-1）6的⼆项展开式中，x3的系数是（）A．-20B．20C．15D．-156．在的⼆项展开式中，x2的系数为（）A．B．C．D．7．在（1-2x）（1+x）5的展开式中，x3的系数是（）A．20B．-20C．10D．-108．在⼆项式（）n的展开式中，各项系数之和为M，各项⼆项式系数之和为N，且M+N=64，则展开式中含x2项的系数为（）A．-90B．90C．10D．-109、展开式中含x项的系数是（）A．-28B．28C．-56D．5610．（x-1）10展开式中系数最⼤的项是（）A．第五项和第六项B．第六项C．第五项和第七项D．第四项和第七项11．在（ax-1）6的⼆项展开式中，若中间项的系数是160，则实数a的值为（）A．2B．C．D．-212．若（1+x）n=1+6x+15x2+20x3+15x4+6x5+x6，则n等于（）A．4B．5C．6D．713．设a=，则⼆项式的展开式中的常数项为（）A．120B．-120C．-240D．240第Ⅱ卷（⾮选择题）⼆．填空题（14-25题，每题3分，26-30题5分，共61分）14．已知（x2-）n）的展开式中第三项与第五项的系数之⽐为，则展开式中常数项是______．15．已知的展开式中x3的系数为，则x3的⼆项式系数为______，常数a的值为______．16．（x2-）5展开式中的常数项为______．17．（1+2x）3（1-x）4展开式中x2的系数为______．18、的展开式中x的系数是______．19．f（x）是（1-2x）6展开式的第五项，则f（x）=______，所有⼆项式系数的和为______．20、的展开式中的第四项是______．21．（x-）4的展开式中的常数项为______．22、的展开式中x2的系数为______．23．若（2x2-）n（n∈N×）展开式中含有常数项，则n的最⼩值是______．24．⼆项式（2-）6展开式中常数项是______．25．设a=（cosx-sinx）dx，则⼆项式（x2+）6展开式中不含x6项的系数和是______．26．（x+）9展开式中x3的系数是______．（⽤数字作答）27．已知（-x2+6x-9）n的展开式中所有的项的系数的和为16，则展开式中的常数项为______．28．（1-）4展开式中的系数是______．29．在的展开式中，x2的系数为______（⽤数字作答）．30．⼆项式的展开式中，x3项的系数为______．参考答案⼀．单选题（共__⼩题）1．已知在的展开式中，第6项为常数项，则n为（）A．10B．9C．8D．7答案：A解析：解：∵在的展开式中，第6项为??为常数项，则n=10，故选：A．2、的展开式中第三项的系数是（）A．B．C．15D．答案：B解析：解：的展开式中第三项是故第三项的系数15×=故选B3、的展开式中常数项是（）A．14B．-14C．42D．-42答案：A解析：解：展开式的通项为=令得r=6故常数项为2C76=14故选A4．设a=cos2xdx，则（a-）6展开式中含x2项的系数是（）A．-192B．-190C．192D．190答案：A解析：解：∵，∵f（-x）=f（x）∴f（x）为偶函数，故∵=∴⼜∴a=cos2xdx=2∵==由⼆项式定理得展开式中含有x2的项为：∴展开式中x2的系数为-192故选A．5．在（x-1）6的⼆项展开式中，x3的系数是（）A．-20B．20C．15D．-15答案：A解析：解：设（x-1）6的⼆项展开式的通项为T r+1，则T r+1=?x6-r（-1）r，令6-r=3得r=3，∴x3的系数是（-1）3?=-20．故选A．6．在的⼆项展开式中，x2的系数为（）A．B．C．D．答案：B解析：解：⼆项式的⼆项展开式的通项公式为=T r+1=??=（-1）r??32r-6?．令x的系数=2，解得=r=1，故x2的系数为-1×6×=-，故选B．7．在（1-2x）（1+x）5的展开式中，x3的系数是（）A．20B．-20C．10D．-10答案：D解析：解：在（1-2x）（1+x）5的展开式中，x3的系数是=1×+（-2）?=-10，故选D．8．在⼆项式（）n的展开式中，各项系数之和为M，各项⼆项式系数之和为N，且M+N=64，则展开式中含x2项的系数为（）A．-90B．90C．10D．-10答案：A解析：解：∵⼆项式（）n的展开式中，令x=1得：各项系数之和M=2n，⼜各项⼆项式系数之和为N，故N=2n，⼜M+N=64，∴2×2n=64，∴n=5．设⼆项式（）5的展开式的通项为T r+1，则T r+1=?35-r?（-1）r?，令-（5-r）+r=2得：r=3．∴展开式中含x2项的系数为?（-1）3?35-3=-90．故选A．9、展开式中含x项的系数是（）A．-28B．28C．-56D．56答案：B解析：解：展开式的通项为令解得r=2故展开式中含x项的系数是C82=28；故选B．10．（x-1）10展开式中系数最⼤的项是（）A．第五项和第六项B．第六项C．第五项和第七项D．第四项和第七项答案：C解析：解：由于（x-1）10展开式的通项公式为?x10-r?（-1）r，故当r=4，或r=6时，展开式中系数最⼤为，即第五项和第七项得系数最⼤，故选C．11．在（ax-1）6的⼆项展开式中，若中间项的系数是160，则实数a的值为（）A．2B．C．D．-2答案：D解析：解：在（ax-1）6的⼆项展开式中，中间项是第四项，由通项公式求得中间项的系数是?a3?（-1）3=160，∴a=-2，故选D．12．若（1+x）n=1+6x+15x2+20x3+15x4+6x5+x6，则n等于（）A．4B．5C．6D．7答案：C解析：解：∵（1+x）n=1+6x+15x2+20x3+15x4+6x5+x6，∴n=6．故选C．13．设a=，则⼆项式的展开式中的常数项为（）A．120B．-120C．-240D．240答案：D解析：解：∵a==（x3-x2）=4-0=4，则⼆项式=的通项公式为T r+1=?（-1）r?46-r?x12-3r，令12-3r=0，求得=r=4，可得展开式中的常数项为?42=210，故选：D．⼆．填空题（共__⼩题）14．已知（x2-）n）的展开式中第三项与第五项的系数之⽐为，则展开式中常数项是______．答案：45解析：解：第三项的系数为C n2，第五项的系数为C n4，由第三项与第五项的系数之⽐为可得n=10，则T i+1=C10i（x2）10-i（-）i=（-1）i C10i=，令40-5r=0，解得r=8，故所求的常数项为（-1）8C108=45，故答案为：45．15．已知的展开式中x3的系数为，则x3的⼆项式系数为______，常数a的值为______．答案：841解析：解：设的展开式的通项为T r+1，则T r+1=?a9-r??x-（9-r）+r，令2r-9=3，解得r=6，∴x3的⼆项式系数为==84；⼜的展开式中x3的系数为，∴×a3×84=，∴a3=1，∴a=1．故答案为：84，1，116．（x2-）5展开式中的常数项为______．答案：40解析：解：（x2-）5展开式中的通项公式为=T r+1=?x10-2r?（-2）r?x-3r=（-2）r??x10-5r，令10-5r=0，r=2，故展开式的常数项为=4?=40，故答案为=40．17．（1+2x）3（1-x）4展开式中x2的系数为______．答案：-6解析：解：∵（1+2x）3（1-x）4展开式中x2项为C3013（2x）0?C4212（-x）2+C3112（2x）1?C4113（-x）1+C3212（2x）2?C4014（-x）0∴所求系数为C30?C42+C31?2?C41（-1）+C32?22?C4014=6-24+12=-6．故答案为：-6．18、的展开式中x的系数是______．答案：-4解析：解：∵=（1-x）4，它的展开式的通项公式为=T r+1=?（-x）r，令r=1，可得展开式中x的系数是-4，故答案为-4．19．f（x）是（1-2x）6展开式的第五项，则f（x）=______，所有⼆项式系数的和为______．答案：240x464解析：解：（1-2x）6展开式的第五项为?（-2x）4=240x4，∴f（x）=240x4．所有⼆项式系数的和为=2n=26=64，故答案为=240x4、64．20、的展开式中的第四项是______．答案：-解析：解：T4=故答案为：-21．（x-）4的展开式中的常数项为______．答案：6解析：解：的通项为=（-1）r C4r x4-2r令4-2r=0得r=2∴展开式的常数项为T3=C42=6故答案为622、的展开式中x2的系数为______．答案：7解析：解：因为的展开式的通项公式为：=，当8-2r=2，即r=3时，的展开式中x2的系数为：=7．故答案为：7．23．若（2x2-）n（n∈N×）展开式中含有常数项，则n的最⼩值是______．答案：5解析：解：展开式的通项T r+1=（-1）r2n-r C n r x2n-5r其中r=0，1，2，3…n令2n-5r=0得到当r=2时n最⼩为5故答案为524．⼆项式（2-）6展开式中常数项是______．答案：-160解析：解：因为=20×8×（-1）=-160．所以展开式中常数项是-160．故答案为：-160．25．设a=（cosx-sinx）dx，则⼆项式（x2+）6展开式中不含x6项的系数和是______．答案：161解析：解：由于a=（cosx-sinx）dx=（sinx+cosx）=-1-1=-2，∴（x2+）6=（x2-）6的通项公式为=T r+1=?（-2）r?x12-2r，令12-2r=6，求得r=3，故含x6项的系数为-×23=-160．由于所有项的系数和为（1-2）6=1，故不含x6项的系数和1+160=161，故答案为：161．26．（x+）9展开式中x3的系数是______．（⽤数字作答）答案：84解析：解：写出（x+）9通项，∵要求展开式中x3的系数∴令9-2r=3得r=3，∴C93=84故答案为：84．27．已知（-x2+6x-9）n的展开式中所有的项的系数的和为16，则展开式中的常数项为______．答案：81解析：解：在（-x2+6x-9）n的展开式中，令x=1，可得所有项系数的和为（-4）n=16，n=2，展开式中的常数项为：-9×（-9）=81．故答案为：81．28．（1-）4展开式中的系数是______．答案：-8解析：解：（1-）4展开式的通项公式为T r+1=?（-2）r?x-r，令-r=-1，可得r=1，故展开式中的系数是?（-2）=-8，故答案为：-8．29．在的展开式中，x2的系数为______（⽤数字作答）．答案：-14解析：解：展开式的通项令得r=1故x2的系数为（-2）×C71=-14故答案为-1430．⼆项式的展开式中，x3项的系数为______．答案：20解析：解：⼆项式展开式的通项为T r+1=C6r?x6-r?（-）r=（-1）r?C6r?，令=3，解可得r=2，当r=2时，T3=（-1）2?C62?x3=20x3，即x3项的系数为20；故答案为20．。
高中数学选修2-3 同步练习 1.3 二项式定理(解析版)
第一章 计数原理1.3 二项式定理一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(1+x )7的展开式中x 2的系数是 A ．42 B ．35 C ．28 D ．21【答案】D【解析】(1+x )7的展开式的通项公式为T r+1=7C r x r , 令r =2,得x 2的系数为27C =21.故选D. 【技巧点拨】熟记二项式定理：011()C C C C ()n n n k n k k n nn n n n a b a a b a b b n --*+=+++++∈N ，是解决此类问题的关键.2．二项式62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的第二项是A ．6x 4B ．﹣6x 4C ．12x 4D ．﹣12x 4【答案】D【解析】展开式的通项公式6162C rr rr T xx -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 令1r =,可得展开式的第二项为11562C x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=412x -.选D ．【名师点睛】（1）求二项展开式的特定项的常见题型①求第r 项，T r =C r －1n an －r ＋1b r －1；②求含x r 的项(或x p y q 的项)； ③求常数项； ④求有理项．（2）求二项展开式的特定项的常用方法①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．3．若6axx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中含32x项的系数为，则实数的值为A．B．C．D．【答案】B4．的展开式中,的系数为A．B．C．D．【答案】B【解析】的展开式的通项为,则的展开式中,的系数为5．在3nxx⎛⎫+⎪⎝⎭的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为32,则的系数为A．50 B．70 C．90 D．120 【答案】C【解析】∵各项系数和与二项式系数和之比为32，∴4322nn=，得∴通项公式为135522 155C33Crrr r r rrT x x x---+⎛⎫==⎪⎝⎭，令3522r -=，的系数为【总结归纳】二项式系数与项的系数的区别：二项式系数是指0C n ，1C n ，…，C nn ，它是组合数，只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ，b 的值有关．如()na bx +的展开式中，第r ＋1项的二项式系数是C rn ，而该项的系数是C rn rr n ab -.当然，某些特殊的二项展开式如(1)n x +，各项的系数与二项式系数是相等的．6．已知()511x ax x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为40-，则a 的值为A ．2B ．2-C ．2±D ．4【答案】C【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.首先写出51ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式，然后结合题意得到关于实数a 的方程，解方程即可求得最终结果.7．已知二项式4112x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则展开式的常数项为A ．1-B ．1C ．47-D ．49【答案】B【解析】44111212x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦234111114262422x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴二项式中的常数项产生在24111,62,2x x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭中，分别是()()2224111,622,C 2x x x x ⎛⎫⨯⋅-⋅⋅- ⎪⎝⎭, 它们的和为124241-+=，故选B ．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题.解题时，首先将4112x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭变形为4112x x⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，按二项式展开，分别得到展开式中的常数项，求和即可得结果. 8．＝,则等于A ．32B ．-32C ．-33D ．-31【答案】D 【解析】因为＝,当时,当时,① 当时,②①-②，得=①+②，得=所以=故选D ．9．若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是A ．462-B ．462C ．792D ．792-【答案】D【解析】∵1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，∴n 为偶数，展开式共有13项，则12n =.121x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()1212211C r r rr T x -+=-， 令1222r -=，得5r =.∴展开式中含2x 项的系数是()55121C 792-=-，故选D ．【名师点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：（1）求展开式中的特定项，可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可；（2）已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数. 10．设，若，则展开式中二项式系数最大的项为A ．第4项B ．第5项C ．第4项和第5项D ．第7项【答案】C 【解析】令，可得，令，得，由题意得，代入得，所以，又因为，所以展开式中二项式系数最大的项为第4项和第项，故选C.11．的展开式中恰有三项的系数为有理数，则的可能取值为A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】D【解析】由题意，展开式中项的系数为3C 32n r rrn-⋅⋅，系数为有理数，则n ﹣r 是3的倍数，r 是2的倍数， n =9，r =6，不符合； n =10，r =4,10，不符合； n =11，r =2，8，不符合； n =12，r =0,6,12，符合题意， 故选D ．二、填空题：请将答案填在题中横线上．12．如果13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为128,则展开式中的系数是 ______ . 【答案】-189【技巧点拨】利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．利用二项展开式的通项时注意下列问题： （1）C kn kk n ab -是第k ＋1项，而不是第k 项．（2）通项公式中a ，b 的位置不能颠倒．（3）通项公式中含有a ，b ，n ，k ，T k ＋1五个元素，只要知道其中四个就可以求出第五个，即“知四求一”.13．设5250125)21(x a a x a x a x -=++++,则125a a a +++=_________.【答案】2【解析】令x ＝1可得()501252111a a a a ++++=⨯-=,令x ＝0可得()5011a =-=-, 所以125a a a +++＝2.【名师点睛】“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x =0可得常数项，令x =1可得所有项系数之和，令x =－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差． 14．233除以9的余数是_________.【答案】8【解析】233＝(23)11＝(9－1)11＝911－C 111910＋C 21199－···＋C 10119－1＝9(910－C 11199＋···＋C 1011－1)＋8，∴233除以9的余数是8.【名师点睛】利用二项式定理解决整除问题时，关键是要巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开. 15．(N *)展开式中不含的项的系数和为 ________ .【答案】1三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．在二项式(2x −3y )9的展开式中,求：（1）二项式系数之和； （2）各项系数之和；（3）各项系数绝对值之和.【解析】设(2x −3y )9=a 0x 9+a 1x 8y+a 2x 7y 2+···+a 9y 9. （1）二项式系数之和为09C +19C +29C +···+99C =29. （2）各项系数之和为a 0+a 1+a 2+···+a 9, 令x =1,y =1,得a 0+a 1+a 2+···+a 9=(2−3)9=−1. （3）|a 0|+|a 1|+|a 2|+···+|a 9|=a 0−a 1+a 2−···−a 9, 令x =1,y =−1,得|a 0|+|a 1|+|a 2|+···+|a 9|=a 0−a 1+a 2−···−a 9=59, 则各项系数绝对值之和为59.17．已知在2112nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，第项为常数项. 求：（1）的值； （2）展开式中的系数.【解析】（1）在212nx x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中，第9项为常数项， 而第9项为,故有2n −20=0，解得n =10.（2）由（1）可得展开式的通项公式为()()52010202102211010C 2112C r rrrr r rr r r T xxx-----+=⋅⋅⋅-⋅=-⋅⋅.令20−=5,求得r =6,故展开式中x 5的系数为61041105C 28⋅=. 18．利用二项式定理证明2n +2·3n +5n －4(n *∈N )能被25整除.【解析】因为2n +2·3n =4×(1＋5)n ，所以2n +2·3n ＋5n －4，所以n ≥2时，2n +2·3n ＋5n －4能被25整除， n =1时，2n +2·3n ＋5n －4=25.所以，当n *∈N 时，2n +2·3n ＋5n －4能被25整除. 19．已知a >0,b >0,m ≠0,n ≠0,若二项式(ax m +bx n )12的展开式中系数最大的项恰好是常数项,且2m+n =0,求ab的取值范围.【解析】T r+1=12C r (ax m )12−r ·(bx n )r =a 12−r b r 12C rx m (12−r )+nr . 令m (12−r )+nr =0, 又2m+n =0,所以m (12−r )−2mr =0, 又m ≠0,得r =4.所以展开式中的常数项为第5项,且为系数最大的项,则48439312124845751212C C C C a b a ba b a b⎧>⎨>⎩. 又a >0,b >0,所以9485b a a b ⎧>⎪⎪⎨⎪>⎪⎩,所以8954a b <<，即a b 的取值范围是89()54,. 20．（1）已知的第九项,第十项,第十一项的二项式系数依次成等差数列,求;（2）若()()621x a x a x ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭R 的展开式中常数项为,求212ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的有理项.【解析】（1）由题意:成等差数列,则.化简得.（2）()()621x a x a x ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭R 展开式中的常数项为+=,得，则4221122ax x x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而4212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项为=.故展开式中的有理项有83213531,,216T x T x T x -===。
专题04 二项式定理-高中数学专项训练测试卷(解析版) (2)
专题04二项式定理知识点1二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)．(1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．(3)二项式系数：各项的系数C k n(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．知识点2二项展开式的通项(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作T k＋1＝C k n a n－k b k.知识点3二项式系数的性质对称性在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n＝C n－mn增减性与最增减性：当k<n＋12时，二项式系数是逐渐增大的；当大值k >n ＋12时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2C n n最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数12C n n-，12Cn n+相等，且同时取得最大值各二项式系数的和(1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n；(2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1考点1二项式定理的正用、逆用的次数和等于n ；②字母a 按降幂排列，从第一项起，次数由n 逐项减1直到0；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n .(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．考点2二项式系数与项的系数问题数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．2．第r＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C r n．例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝C3717－3(2x)3，其二项式系数是C37＝35，而第四项的系数是C3723＝280．考点3求二项展开式中的特定项(1)求第r 项，T r ＝C r －1n an －r ＋1b r －1；(2)求含x r 的项(或x p y q 的项)；(3)求常数项；(4)求有理项．2．求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．【变式3-1】（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）6()(2)x y x y +-的展开式中43x y 的系数为（）A ．－80B ．－100C ．100D ．80考点4二项式系数和问题(赋值法)【例4】（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）若()()432340123412x x a a x a x a x a x +++=++++，则1234a a a a +++=_________.【答案】34【审题】令0x =，得09a =，令1x =，得43012342343a a a a a ++++=+=，即可得到答案.【解析】依题意()()432340123412x x a a x a x a x a x +++=++++，令0x =，得09a =，令1x =，得43012342343a a a a a ++++=+=.故123434a a a a +++=.【解后感悟】二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可；(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，【变式4-1】（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）若()47270127(1)2(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++ ，则2a =（）A ．45B ．27C ．15D ．3【答案】D【解析】因为()4772701274(1)(2)1]2([(2)2]2)(2)[x x x x a a x a x a x +++-=+++++=++++- ，所以2225247(2)(1)3a C C =⨯-+⨯-=，故选：D ．【变式4-2】（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）已知443243210(2)x a x a x a x a x a -=++++，则43a a -=__________．【答案】9【解析】404013122231340444444(2)C (2)C (2)C (2)C (2)C (2)x x x x x x -=⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-4328243216x x x x =-+-+故41a =，38a =-，所以431(8)9a a -=--=，故答案为9.【变式4-3】（2023春·江西南昌·高二南昌市第三中学校考阶段练习）已知：8290129(2)(1)(1)(1)x x a a x a x a x -=+-+-++- ，则6a =______.【答案】28-【解析】令1t x =-，则8290129(1)(1)t t a a t a t a t +-=++++ ，故3322688C (1)C (1)28a =-+-=-，故答案为：28-.考点5二项式系数性质的应用【例5】（多选）（2022·重庆市育才中学高二阶段练习）若(nx的二项展开式共有8项，则该二项展开式（）A ．8n =B ．各项二项式系数和为128C ．二项式系数最大项有2项D ．第4项与第5项系数相等且最大【答案】BC【解析】由题意，nx⎛⎝的二项展开式共有8项，可得7n =，所以A 错误；根据二项式展开式二项式系数和的性质，可得二项式系数的和为72128=，所以B 正确；根据展开式中二项式系数的性质，可得中间项的二项式系数最大，即第4和第5项的二项式系数最大，所以C 正确；由7(x展开式的第4项为534327(35C x x =-，第5项为4347(35C x x =，所以展开式中第4项与第5项系数不相等，所以D 错误.故选：BC.【解后感悟】1．二项式系数最大的项的求法求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n 中的n 进行讨论：(1)当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；(2)当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．2．展开式中系数最大的项的求法求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展得出系数最大的项．考点6二项式定理的实际应用【例6】(1)用二项式定理证明：1110－1能被100整除；(2)求9192被100除所得的余数．【解析】(1)证明：∵1110－1＝(10＋1)10－1＝(1010＋C110·109＋C210·108＋…＋C910·10＋1)－1＝1010＋C110·109＋C210·108＋…＋102＝100(108＋C110·107＋C210·106＋…＋1)，∴1110－1能被100整除．(2)9192＝(100－9)92＝C092·10092－C192·10091·9＋C292·10090·92－…＋C9292992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．∵992＝(10－1)92＝C092·1092－C192·1091＋…＋C9092·102－C9192·10＋1，前91项能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1000，结果为1000－919＝81，故9192被100除可得余数为81．【解后感悟】整除性问题或求余数问题的处理方法：(1)解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．(2)用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了【变式6-1】（2022春·江苏镇江·高二扬中市第二高级中学校考期中）今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过20212天后是（）A ．星期三B ．星期四C ．星期五D ．星期六【答案】D【解析】2021201967367306731672672673673673673673242484(71)4(777)C C C C =⨯=⨯=⨯+=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+，由于括号中，除了最后一项外，其余各项都能被7整除，故整个式子除以4的余数为67367344C =，故经过20212天后是是星期六，故选：D ．【变式6-2】（2023春·山西忻州·高二校联考阶段练习）20232023的个位数字为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B【解析】因为()20232023202332020+=0202301202212202122023020232023202320232023C 32020C 32020C 32020C 32020=⨯+⨯+⨯++⨯ ，而1220232020,2020,,2020 个位数均为0，所以20232023的个位数字与02023020232023C 320203⨯=相同，而()1011202320221011333393101=⨯=⨯=⨯-()()()()1101010110101111010101011011010111011101110113C 1013C 1013C 1013C 101=⨯⨯-+⨯⨯-++⨯⨯-+⨯⨯- 因为22101110,10,,10 个位数均为0，所以20233的个位数字与()()101010111010110110101110113C 1013C 1013101110330327⨯⨯-+⨯⨯-=⨯⨯-=相同，故20232023的个位数字为7.故选：B考点7几个多项式和展开式中特定项（系数）问题【例7】在1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数是()A．25B．30C．35D．40【答案】C【解析】法一：(1＋x)n的通项公式T r＋1＝C r n x r中，当n依次取3,4,5,6，r取3得到含x3的系数为C33＋C34＋C35＋C36＝C45＋C35＋C36＝C46＋C36＝C47＝35．法二：多项式可化为1－1＋x71－1＋x＝x＋17－1x，二项式(x＋1)7的通项公式为T r＋1＝C r7x7－r,7－r＝4⇒r＝3，含x3项的系数为C37＝35．故选C．【解后感悟】对于几个二项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一个二项式中分别得到特定的项，再求和即可．也可以先对二项式求和，化简后再依据通项公式确定特定项(系数)．考点8几个多项式积展开式中特定项（系数）问题【例8】1．已知()()5234560123456211x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，则3a 的值为（）A ．10B ．10-C ．30D ．30-【答案】B【审题】根据()()()()555211211x x x x x +=+---，结合二项式定理求解即可.【解析】因为()()()()555211211x x x x x +=+---，()51x -展开式第1r +项()()55155C 1C 1rrr rrr r T x x --+=-=-，当3r =时，()332352C 120x x x ⋅-=-，当2r =时，()22335C 110x x -=，故33333201010a x x x x -+==-，即310a =-.故选：B【解后感悟】对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．【变式8-1】在()()253x y x y -+的展开式中，34x y 的系数是（）考点9三项式展开式中特定项（系数）问题则()821x y +-的展开式中含2xy 项的系数为7181C C 56-=-.故答案为：56-【变式9-3】()521x y ++展开式中24x y 的系数为________（用数字作答）.【答案】30【解析】()521⎡⎤++⎣⎦x y 展开式通项为()55211C -+=+rr r r T x y ，{}0,1,2,3,4,5r Î，当2r =时()32425C 1=+T x y ，由()301223333331C +C +C +C +=x x x x 得2x 的系数为3，故24x y 的系数为25C 330⨯=.故答案为：30.1．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）若()()()()()()55432151101101511x a x x x x x +=+-+++-+++-，则=a （）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】()()()()()5432151101101511+-+++-+++-x x x x x ()()()()()()()()()()54322345012340555555C 1C 11C 11C 11C 511C 1=+++-++-++-++-+-x x x x x ()55=11=+-⎡⎤⎣⎦x x则=+x a x ，即0a =.故选：B2．（2023秋·福建龙岩·高二统考期末）设a ∈N ，且17a <，若202252a +能被17整除，则a 等于（）A ．0B ．1C ．13D ．16【答案】D【解析】()2022202252511a a +=++0202212021220202021202220222022202220222022C 51C 51C 51C 51C a =++++++ ，202252a + 能被17整除，且02022120212202020212022202220222022C 51C 51C 51C 51++++ 能被17整除，故20222022C 1a a +=+能被17整除，观察选项可得16a =.。
【高二】新人教A版选修2 31.3二项式定理同步练习题(带答案)
【高二】新人教A版选修2 31.3二项式定理同步练习题（带答案）【高二】新人教a版选修2-31.3二项式定理同步练习题（带答案）1．3二项式定理一、：本大题共12个小题，每小题5分后，共60分后．在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的.1．在的展开式中，的系数为（）a．b．c．d．2．已知，的展开式按a的降幂排列，其中第n项与第n+1项相等，那么正整数n等于（）a．4b．9c．10d．113．已知（的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n是（）a．10b．11c．12d．134．5310被8除的余数是（）a．1b．2c．3d．75．(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是（）a．1.23b．1.24c．1.33d．1.346．二项式(nn)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是（）a．1b．2c．3d．47．设(3x+x)展开式的各项系数之和为t，其二项式系数之和为h，若t+h=272，则展开式的x项的系数是（）a．b．1c．2d．38．在的展开式中的系数为（）a．4b．5c．6d．79．展开式中所有奇数项系数之和等于1024，则所有项的系数中最大的值是（）a．330b．462c．680d．79010．的展开式中，的系数为（）a．－40b．10c．40d．4511．二项式(1+sinx)n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最小的一项的值，则x在[0，2π]内的值（）a．或b．或c．或d．或12．在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中,含x4项的系数就是等差数列an=3n－5的（）a．第2项b．第11项c．第20项d．第24项二、题：本大题满分16分后，每小题4分后，各题只建议轻易写下结果.13．展开式中的系数是.14．若，则的值__________.15．若的展开式中只有第6项的系数最大，则展开式中的常数项是.16．对于二项式(1-x)，存有以下四个命题：①展开式中t=－cx；②展开式中非常数项的系数和就是1；③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；④当x=2000时，(1-x)除以2000的余数就是1．其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确的命题序号都填上）三、答疑题：本大题满分74分后.17．（12分）若展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．（１）谋n的值；（２）此展开式中是否有常数项，为什么？18．（12分后）未知()n的展开式中前三项的二项式系数的和等同于37，求展式中二项式系数最小的项的系数．19．（12分）是否存在等差数列，使对任意都成立？若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．20．（12分后）某地现有耕地100000亩，规划10年后粮食单产比现在减少22%，人均粮食占有量比现在提升10%。
高中数学第4章计数原理-二项式定理第2课时二项式系数的性质同步练习湘教版选择性必修第一册
第2课时二项式系数的性质A级必备知识基础练1.已知(1+x)n的展开式中,第3项与第11项的二项式系数相等,则二项式系数和是()A.212B.211C.210D.292.已知(1+2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7,则a0-a1+a2-…+a6-a7=()A.1B.-1C.2D.-23.在n的展开式中,所有奇数项二项式系数之和为1 024,则中间项系数是()A.330B.462C.682D.7924.若二项式-x n的展开式中所有项的系数的绝对值的和为,则展开式中二项式系数最大的项为()A.-x3B.x4C.-20x3D.15x45.(多选题)下列关于(a+b)10的说法中正确的是()A.展开式中的各二项式系数之和为1 024B.展开式中第6项的二项式系数最大C.展开式中第5项与第7项的二项式系数最大D.展开式中第6项的系数最小6.已知(a-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,若a2=80,则a0+a1+a2+…+a5= .7.(x-2y)100展开式的各项系数之和为.B级关键能力提升练8.在n的二项展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则此展开式中各项系数绝对值之和为()A.9B.9C.8D.89.(2022江苏常熟高二期中)若(1+x)3(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,则a0+a2+a4+a6=()A.8B.6C.5D.410.(多选题)关于6的展开式,则()A.所有项的二项式系数和为128B.所有项系数和为1C.常数项为70D.二项式系数最大的项为第4项11.(多选题)在二项式(1-4x)8的展开式中,下列结论正确的是()A.第5项的系数最大B.所有项的系数和为38C.所有奇数项的二项式系数和为-27D.所有偶数项的二项式系数和为2712.(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a= .13.(2022江苏连云港灌云高二期中)在①a1=35;②+…+=32(m∈N+);③展开式中二项式系数最大值为7m这三个条件中任选一个,补充在下面问题中.已知(1+mx)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,且.(1)求m的值;(2)求a1+a3+a5+a7的值(结果可以保留指数形式).C级学科素养创新练14.(多选题)(2022福建龙岩高二期末)对任意实数x,有(2x-3)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a7(x-1)7.则下列结论成立的是()A.a0=-1B.a2=84C.a0-a1+a2-…+a6-a7=-37D.|a0|+|a1|+…+|a7|=37参考答案第2课时二项式系数的性质1.A因为(1+x)n的展开式中,第3项与第11项的二项式系数相等,即,所以n=12,故(1+x)n 的二项式系数和是212.故选A.2.B因为(1+2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7,令x=-1,得a0-a1+a2-…+a6-a7=[1+2×(-1)]7=-1,故选B.3.B∵二项展开式中所有项的二项式系数之和为2n,而所有偶数项的二项式系数之和与所有奇数项的二项式系数之和相等,故由题意得=1024,解得n=11.即二项展开式共12项,中间项为第6项、第7项,其系数为=462.4.A令x=-1,可得展开式中系数的绝对值的和为n=,解得n=6.即二项式-x n的展开式中有7项,所以二项式-x6展开式中二项式系数最大的为第4项,T4=3(-1)3x3=-x3.故选A.5.AB根据二项式系数的性质,知(a+b)10的展开式中各二项式系数之和为210=1024,故A正确;(a+b)10的展开式中,二项式系数最大的项是中间项,即第6项的二项式系数最大,故B正确,C错误;易知展开式中各项的系数与对应二项式系数相等,故第6项的系数最大,故D错误.故选AB.6.1(a-x)5二项展开式的通项为T r+1=(-1)r x r.令r=2,得a2=(-1)2a3=80,解得a=2,即(2-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5.令x=1,得a0+a1+a2+…+a5=1.7.0令x=y=1,则(1-2)100=1,故(x-2y)100展开式的各项系数之和为1.8.D只有第5项的二项式系数最大时,二项展开式共9项,则n=8.8各项系数绝对值之和即为8的各项系数的和.令x=1,可得各项系数绝对值之和为8.故选D.9.D令x=1,可得a0+a1+a2+…+a7=(1+1)3(1-2)4=8,令x=-1,可得a0-a1+a2+…-a7=(1-1)3(1+2)4=0,两式相加可得,2(a0+a2+a4+a6)=8,所以a0+a2+a4+a6=4,故选D.10.BD二项式系数和=26=64,故A错误;令x=1,得所有项的系数和为1,故B正确;二项式6展开式的通项为T r+1=-r=(-2)r,令6-3r=0,解得r=2,则常数项为T3=(-2)2=60,故C错误;由题可得,二项式系数最大的项为第4项,故D正确.故选BD.11.BD在二项式(1-4x)8的展开式中,第9项的系数为·(-4)8=48,第5项的系数为·(-4)4=70×44,>1,故A错误;在二项式(1-4x)8的展开式中,令x=1,得所有项的系数和为(-3)8=38,故B正确;因为二项式(1-4x)8的展开式中,所有奇数项的二项式系数和等于所有偶数项的二项式系数和,为·28=27,故C错误,D 正确.故选BD.12.3设f(x)=(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,令x=1,则a0+a1+a2+…+a5=f(1)=16(a+1), ①令x=-1,则a0-a1+a2-…-a5=f(-1)=0, ②①-②得,2(a1+a3+a5)=16(a+1),所以2×32=16(a+1),解得a=3.13.解(1)若选条件①,由题得,a r=m r,0≤r≤7.又a1=35,所以m=35,解得m=5.若选条件②,因为+…+=32(m∈N+),所以2m=32,解得m=5.若选条件③,因为展开式中二项式系数最大值为7m,所以=7m,解得m=5.(2)由(1)可知(1+5x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7.令x=1,可得67=a0+a1+a2+…+a7, ①令x=-1,可得(-4)7=a0-a1+a2-…-a7, ②①-②可得2(a1+a3+a5+a7)=67+47,所以a1+a3+a5+a7=.14.ACD∵(2x-3)7=[-1+2(x-1)]7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a7(x-1)7,则(2x-3)7的通项为T r+1=·(-1)7-r·[2(x-1)]r=·(-1)7-r·2r(x-1)r, 故a0,a2,a4,a6均小于0,且a1,a3,a5,a7均大于0.令x=1,可得a0=-1,故A正确;a2=·(-1)5·22=-84,故B错误;令x=0,可得a0-a1+a2-…+a6-a7=-37,故C正确;∵|a0|+|a1|+…+|a7|=-a0+a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-(a0-a1+a2-…+a6-a7)=37, 故D正确.故选ACD.。
苏教版高中数学选修2-3二项式定理同步练习2.docx
二项式定理 同步练习1．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为（ A ）()A 1 ()B -1 ()C 0 ()D 22．由1003)23(+x 展开所得的x 的多项式中，系数为有理数的共有 （ B ）()A 50项 ()B 17项 ()C 16项 ()D 15项3．)1()2(210-+x x 的展开式中，10x 的系数为179．(用数字作答) 4．9)2(x xa -的展开式中，3x 的系数为49，常数a 的值为4． 5．求111999除以8的余数．解：∵)(7)1250(88720001)200020002000(200012000200020002000)12000(1999101182119111101011921110111110111111Z k k k C C C C C C C ∈+-=-+=-+-+-=-⋅+-⋅+⋅-⋅=-= 由上面展开式可知199911除以8的余数是7．6．（1）求7)21(x +展开式中系数最大项．（2）求7)21(x -展开式中系数最大项．解：(1)设第1+r 项系数最大，则有⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅--++117711772222r r r r r r r r C C C C ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--≥-⋅-+⋅≥-)!8()!1(!7)!7(!!72)!6()!1(!72)!7(!!7r r r r r r r r ，即⎩⎨⎧≥--≥+r r r r )8(2)7(21， ∴316313≤≤r 且Z r r ∈≤≤,70，∴5=r ．所以系数最大项为5555766722x x C T =⋅⋅= (2)展开式共有8项，系数最大项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得，故系数最大项必在中间或偏右，故只需比较5T 和7T 两项系数大小即可．又因为444475560)2(x x C T =-=，666677448)2(x x C T =-=，所以系数最大的项是第五项为444475560)2(x x C T =-=．7．设),()1()1()(+∈+++=N n m x x x f n m ，若展开式中关于x 的一次项系数和为11，试问n m ,为何值时，含2x 项的系数取得最小值． 解：由题意知1111=+n m C C ，即11=+n m ，又展开式中含2x 项的系数449)211(5511)]1()1([212222+-=+-=-+-=+=n n n n n m m C C n m ，∴当5=n 或6=n 时，含2x 项的系数最小，最小值为25． 此时6,5==m n ；或6,5==n m ．8．设nx x )32(-展开式中第2项的系数与第4项的系数的比为4：45，试求2x 项的系数．解：第1+r 项2321)3(2)3()2(r n r r n r n r r n rn r x C x x C T ---+-⋅⋅=-⋅⋅=， ∴454)3(2)3(233311=-⋅⋅-⋅⋅--n n n n C C ，即454)2)(1(964=--⋅⋅n n n n ，∴02832=--n n ， ∴7=n 或4-=n （舍负）．令2232=-r n ，即23227r =-，∴1=r ． ∴2x 项的系数1344)3(21717-=-⋅⋅-C ． 9．求6998.0的近似值，使误差小于001.0．解：988.0)002.0(61)002.0()002.0(15)002.0(61)002.01(998.06266=-⋅+≈-++-⋅+-⋅+=-=。
高中数学选修2-3同步练习题库：二项式定理(填空题：容易)
二项式定理（填空题：容易）1、_____ ___．2、的展开式中，的系数是__________．（用数字填写答案）3、若，则的二项展开式中的系数为__________．4、若，则的二项展开式中的系数为__________．5、的展开式中，的系数为__________．6、若的展开式中存在常数项，则常数项为__________．7、若的展开式中的系数为7，则实数_________．8、设，则_________.9、二项式的展开式中的常数项是 __________．10、的展开式中，x5的系数是_________．（用数字填写答案）11、在的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中项的系数为__________．12、设，则__________．13、的二项式中不含的项的系数为__________．14、的展开式中的系数是__________．15、若的展开式中第3项与第4项的二项式系数相等，则展开式中的系数为__________．16、若的二项展开式中，含项的系数为，则实数_________．17、的展开式中常数项为__________．(有数字填写答案)18、若的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则=__________．19、若展开式中的系数为10，则实数__________．20、的展开式中，系数最大的项为第__________项．21、的展开式中项的系数为20，则实数__________．22、在的展开式中，各项系数的和为，其二项式系数之和为，若64是与的等比中项，则__________．23、二项式的展开式中，常数项是_____．24、的展开式中，x5的系数是_________．（用数字填写答案）25、在的展开式中含项的系数是__________．（用数字作答）26、的展开式中的第项的二项式系数为______________．（用数字作答）27、的展开式中的常数项为．28、若的展开式中各项系数的和2，则该展开式中的常数项为__________．29、若的展开式中存在常数项，则常数项为_____.30、的展开式中的第3项的二项式系数为_________．31、已知的展开式中，，则__________.32、在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________．33、_____34、在的二次展开式中，的系数为_____．35、在的展开式中，的系数为_________（用数字作答）．36、若，则的二项展开式中的系数为__________．37、在的展开式中含的项的系数是．38、在二项式的展开式中，含的项的系数是．（用数字作答）39、计算．40、除以9的余数为．41、的展开式中的常数项为______________（用数字作答）42、设,则．43、设函数则时，表达式中的展开式中的常数项为 .（用数字作答）44、现有6位同学排成一排照相，其中甲、乙二人相邻的排法有种.45、二项式展开式中，的系数为．46、展开式的常数项为．（用数字作答）47、在的展开式中，记项的系数为f(，)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3) = .48、二项式的展开式中第四项的系数为 .49、在的二项展开式中，的系数为50、若（2－3x）5＝a0＋a1x＋…＋a5x5，则a1＋a2＋…＋a5＝_______________.51、在二项式的展开式中各项系数之和为，各项二项式系数之和为，且，则展开式中含项的系数为 .52、若则= .53、二项式的展开式中的系数为．（用数字作答）54、设二项式的展开式中常数项为A，则A＝．55、x（x﹣）7的展开式中，x4的系数是．56、在的展开式中，把，，，…，叫做三项式的次系数列．（Ⅰ）例如三项式的1次系数列是1，1，1，填空：三项式的2次系数列是_________ ；三项式的3次系数列是_________ ．（Ⅱ）二项式的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如下①当时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数列的数阵表；②由杨辉三角形数阵表中可得出性质：，类似的请用三项式的次系数表示（无须证明）；（Ⅲ）试用二项式系数（组合数）表示．57、的展开式中的系数为________.（用数字填写答案）58、已知（是正整数）的展开式中，的系数小于120，则．59、在的展开式中，系数为有理数的项共有___________项.60、的展开式中项的系数为___．（用数字表示）61、的展开式的中间一项是__________．62、(2－)8展开式中不含x4项的系数的和为________．63、(1＋2x2)8的展开式中的常数项为________．64、设，则的展开式中常数项是 .65、(1－)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为 ________.66、在二项式的展开式中，含的项的系数是．67、若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是．68、若展开式的常数项是，则常数的值为 .69、设常数，若的二项展开式中项的系数为，则 .70、若的展开式中的系数为7，则实数_________．参考答案1、2、3、1804、1805、6、-847、8、29、4510、-18911、12、213、14、2415、-1516、117、1618、819、120、3或521、422、423、28；24、-18925、1526、1527、28、4029、8430、1531、032、11233、102434、35、12036、18037、-5538、2839、12040、741、2442、3043、44、24045、4546、47、12048、.49、50、－3351、-9052、53、80.54、．55、84.56、（Ⅰ）三项式的2次系数列是1,2,3,2,1；三项式的3此系数列是1,3,6,7,6,3,1. （Ⅱ）①三项式的次系数的数阵表如下：②观察得：.（Ⅲ）.57、58、159、60、61、-2062、063、－4264、-33265、066、1067、18068、469、-270、【解析】1、试题分析：考点：二项式定理2、二项式展开式的通项为，令得。
高二数学二项式定理试题
高二数学二项式定理试题1.若的展开式中只有第6项的系数最大，则不含的项为（）A．462B．252C．210D．10【答案】C【解析】展开式的通项为Tr+1=Cnr x3n-5r，所以展开式的系数与二项式系数相同。
∵展开式中，只有第6项的系数最大，∴n=10∴展开式的通项为Tr+1=C10r x30-5r令30-5r=0，得r=6所以展开式中的常数项为C106=210，选C。
【考点】本题主要考查二项式定理及二项式系数的性质。
点评：基础题，利用二项展开式的通项解决二项展开式的特定项问题。
二项式系数的性质：中间项的二项式系数最大。
2.用88除，所得余数是（）0 1 8 80【答案】C【解析】8788+7=（88－1）88+7=88k+1+7=8K+8故用88除8788+7，所得余数是8故选C。
【考点】本题主要考查二项式定理的应用。
点评：基础题，利用二项式定理证明整除性问题，往往先配凑。
3.求满足的最大整数．【答案】n=7．【解析】原不等式化为n·2n-1＜499∵27=128，∴n=8时，8·27=210=1024＞500．当n=7时，7·26=7×64=448＜449．故所求的最大整数为n=7．【考点】本题主要考查二项式定理及二项式系数的性质。
点评：典型题，利用二项式系数的性质建立了n的不等式，利用n是整数求得最大整数。
4.若，则的值为（）1 －1 0 2【答案】A。
【解析】令x=1，得a0+a1+a2+a3+a4=（2+）4；令x=0，得a=34=9，令x=-1，得a0－a1+a2－a3+a4=（－2+）4，则（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2=（a+a1+a2+a3+a4）（a-a1+a2-a3+a4）=1.故选A。
【考点】本题主要考查二项式定理的应用。
点评：本题解题的关键是理解赋值思想，观察要求的式子的结构特点，典型题．5.的展开式中，的系数为．(用数字作答)【答案】179【解析】（x+2）10（x2－1）=x2（x+2）10－（x+2）10∴（x+2）10（x2－1）的展开式中x10的系数是（x+2）10展开式的x8的系数－x10的系数∵（x+2）10展开式的通项为Tr+1=C10r x10-r2r=2r C10r x10-r∴令r=0，2分别得x10，x8的系数为1，180故展开式中x10的系数为180－1=179，故答案为179。
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选修2-3 1.3.1 二项式定理
一、选择题
1．二项式(a＋b)2n的展开式的项数是()
A．2n B．2n＋1
C．2n－1 D．2(n＋1)
[答案] B
2．(x－y)n的二项展开式中，第r项的系数是()
A．Crn B．Cr＋1n
C．Cr－1n D．(－1)r－1Cr－1n
[答案] D
3．在(x－3)10的展开式中，x6的系数是()
A．－27C610 B．27C410
C．－9C610 D．9C410
[答案] D
[解析]∵Tr＋1＝Cr10x10－r(－3)r.令10－r＝6，
解得r＝4.∴系数为(－3)4C410＝9C410.
4．(2010•全国Ⅰ理，5)(1＋2x)3(1－3x)5的展开式中x的系数是()
A．－4 B．－2
C．2 D．4
[答案] C
[解析](1＋2x)3(1－3x)5＝(1＋6x＋12x＋8xx)(1－3x)5，
故(1＋2x)3(1－3x)5的展开式中含x的项为1×C35(－3x)3＋12xC05＝－10x＋12x＝2x，所以x的系数为2.
5．在2x3＋1x2n(n∈N*)的展开式中，若存在常数项，则n的最小值是() A．3 B．5
C．8 D．10
[答案] B
[解析]Tr＋1＝Crn(2x3)n－r1x2r＝2n－r•Crnx3n－5r.
令3n－5r＝0，∵0≤r≤n，r、n∈Z.
∴n的最小值为5.
6．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中x5的系数是()
A．－297 B．－252
C．297 D．207
[答案] D
[解析]x5应是(1＋x)10中含x5项与含x2项．
∴其系数为C510＋C210(－1)＝207.
7．(2009•北京)在x2－1xn的展开式中，常数项为15，则n的一个值可以是() A．3 B．4
C．5 D．6
[答案] D
[解析]通项Tr＋1＝Cr10(x2)n－r(－1x)r＝(－1)rCrnx2n－3r，常数项是15，则2n＝3r，且Crn＝15，验证n＝6时，r＝4合题意，故选D. 8．(2010•陕西理，4)(x＋ax)5(x∈R)展开式中x3的系数为10，则实数a等于() A．－1 B.12
C．1 D．2
[答案] D
[解析]Cr5•xr(ax)5－r＝Cr5•a5－rx2r－5，令2r－5＝3，∴r＝4，
由C45•a＝10，得a＝2.
9．若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是() A.112＜x＜15 B.16＜x＜15
C.112＜x＜23
D.16＜x＜25
[答案] A
[解析]由T2>T1T2>T3得C162x>1C162x>C26(2x)2∴112＜x＜15.
10．在32x－1220的展开式中，系数是有理数的项共有()
A．4项 B．5项
C．6项 D．7项
[答案] A
[解析]Tr＋1＝Cr20(32x)20－r－12r＝－22r•(32)20－rCr20•x20－r，
∵系数为有理数，
∴(2)r与220－r3均为有理数，
∴r能被2整除，且20－r能被3整除，
故r为偶数，20－r是3的倍数，0≤r≤20.
∴r＝2,8,14,20.
二、填空题
11．(1＋x＋x2)•(1－x)10的展开式中，x5的系数为____________．
[答案]－162
12．(1＋x)2(1－x)5的展开式中x3的系数为________．
[答案] 5
[解析]解法一：先变形(1＋x)2(1－x)5＝(1－x)3•(1－x2)2＝(1－x)3(1＋x4－
2x2)，展开式中x3的系数为－1＋(－2)•C13(－1)＝5；
解法二：C35(－1)3＋C12•C25(－1)2＋C22C15(－1)＝5.
13．若x2＋1ax6的二项展开式中x3的系数为52，则a＝________(用数字作答)．
[答案] 2
[解析]C36(x2)3•1ax3＝20a3x3＝52x3，∴a＝2.
14．(2010•辽宁理，13)(1＋x＋x2)(x－1x)6的展开式中的常数项为________．[答案]－5
[解析](1＋x＋x2)x－1x6
＝x－1x6＋xx－1x6＋x2x－1x6，
∴要找出x－1x6中的常数项，1x项的系数，1x2项的系数，Tr＋1＝Cr6x6－r(－1)rx－r＝Cr6(－1)rx6－2r，
令6－2r＝0，∴r＝3，
令6－2r＝－1，无解．
令6－2r＝－2，∴r＝4.
∴常数项为－C36＋C46＝－5.
三、解答题
15．求二项式(a＋2b)4的展开式．
[解析]根据二项式定理
(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbnn得
(a＋2b)4＝C04a4＋C14a3(2b)＋C24a2(2b)2＋C34a(2b)3＋C44(2b)4＝a4＋
8a3b＋24a2b2＋32ab3＋16b4.
16．m、n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．
[解析]由题设m＋n＝19，∵m，n∈N*.
∴m＝1n＝18，m＝2n＝17，…，m＝18n＝1.
x2的系数C2m＋C2n＝12(m2－m)＋12(n2－n)＝m2－19m＋171.
∴当m＝9或10时，x2的系数取最小值81，此时x7的系数为C79＋C710＝156.
17．已知在(3x－123x)n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
[解析](1)Tr＋1＝Crn•(3x)n－r•(－123x)r
＝Crn•(x13)n－r•(－12•x－13)r
＝(－12)r•Crn•xn－2r3.
∵第6项为常数项，
∴r＝5时有n－2r3＝0，∴n＝10.
(2)令n－2r3＝2，得r＝12(n－6)＝2，
∴所求的系数为C210(－12)2＝454.
(3)根据通项公式，由题意得：10－2r3∈Z0≤r≤10r∈Z
令10－2r3＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，
即r＝10－3k2＝5－32k.
∵r∈Z，∴k应为偶数，∴k可取2,0，－2，
∴r＝2,5,8，∴第3项、第6项与第9项为有理项．
它们分别为C210•(－12)2•x2，C510(－12)5，
C810•(－12)8•x－2.
18．若x＋124xn展开式中前三项系数成等差数列．求：展开式中系数最大的项．[解析]通项为：Tr＋1＝Crn•(x)n－r•124xr.
由已知条件知：C0n＋C2n•122＝2C1n•12，解得：n＝8.
记第r项的系数为tr，设第k项系数最大，则有：
tk≥tk＋1且tk≥tk－1.
又tr＝Cr－18•2－r＋1，于是有：
Ck－18•2－k＋1≥Ck8•2－kCk－18•2－k＋1≥Ck－28•2－k＋2
即8！(k－1)！•(9－k)！×2≥8！k！(8－k)！，8！(k－1)！•(9－k)！≥8！(k－2)！•(10－k)！×2.
∴29－k≥1k，1k－1≥210－k.解得3≤k≤4.
∴系数最大项为第3项T3＝7•x35和第4项T4＝7•x74.。