安徽省肥东县高级中学2020届高三数学9月调研考试试题文

2020～2020 学年度第一学期高三 9 月份调研卷
文科数学试题
考试时间120 分钟，满分150分
一、选择题（此题有12 小题，每题 5 分，共60 分。

）
1. 已知会合M = x lg x 1 ， N x 3x2 5x 12 0 则
A.NM
B. C R N M
C. M N 3,10 , 4
D. 3
M C R N0,3
2.以下相关命题的说法正确的选项是
A. 命题“若x2 1，则x 1”的否命题为“若 x2 1 ，则 x 1 ”
B. “x 1 ”是“ x2 5x 6 0 ”的必需不充足条件
C. 命题“x0 R ， x02 x0 1 0 ”的否认是“x R ，x2 x 1 0 ”
D. 命题“若x y ，则 sinx siny ”的逆否命题为真命题
3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，角, 的极点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半
轴重合，它们的终边分别与单位圆订交于A, B 两点，若点A, B 的坐标分别为3
,
4
和5 5
4 , 3 ，则 cos 的值为
5 5
24
A.
25
7
B.
25
C.0
D.
24
25
4. 已知定义在R上的函数f x 的图象对于（1，1）对称，g x
3
x 1 1 ，若函数f x
图象与函数 g
x 图象的交点为 x 1 , y 1 2018
, x 2 , y 2 ,L , x 2018, y 2018 ，则x i y i
i 1
A. 8072
B. 6054
C. 4036
D. 2020
5. 已知函数 f x sin 2x
（此中 是实数），若 f x
f (
) 对 x R 恒建立，且
6
f ( )
f (0) ，则 f (x) 的单一递加区间是
2
A
．
k
, k
(k Z )
3
6
B ． k , k (k Z)
2
2 C ． k
,k
( k Z )
6
3
D ． k
,k (k
Z )
2
6.
函数
f ( x) 2x 3 3x 2 1(x 0) 在 2,3 上的最大值为 2 ，则实数 a 的取值范围是
e ax ( x 0),
A ． 1
)
B
．[0,
1 C
．(
,0]
D ．
1
[
ln 2,
ln 2]
(
, ln 2]
3
3
3
7. 函数 f x sinx 2 cos2x 在,
的图象为
A
B
C
D
8. 设函数
A. 函数
B. 函数
f x x 3 12x b ，则以下结论正确的选
项是
f x 在 , 1 上单一递加 f x 在 , 1 上单一递减
C. 若 b 6，则函数 f x 的图像在点 2, f
2 处的切线方程为 y 10
D. 若 b
0 ，则函数 f x 的图像与直线
y 10 只有一个公共点
9. 已 知 f
x 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， 满 足 f x
1
f x ， 当 x
0,
1
时 ，
2
f x
4
x
1 ，则函数 h x
x 1 f x
1在区间
3
,3
上全部零点之和为
2
A.
4
B.
3
C.
2
D.
1
10. 如图，点 O 为坐标原点， 点 A 1,1
x
0 ，且 a 1）及
（ b
0 ，
，若函数
（ a
y a
y log b x
且 b 1 ）的图象与线段 OA 分别交于点 M ，
N ，且M ， N 恰巧是线 段 OA 的两个
三平分点，则 a ， b 知足
A. a b 1
B. b a 1
C. b a 1
D.
a b 1
11. 已 知 函 数 f x
1
2 （ x
e, e 2.71828L 是自然对数的底数）. 若
ln x
1
f m
2ln e f n ，则 f mn 的取值范围为
A.
5
,1
B.
9
,1
C.
5
,1
D.
3
,1
7
10
7
4
12. 定义在 R 上的奇函数
f x 知足 f 2 x
f x ，且在 [0,1) 上单一递减，若方程
f x
1在
[0,1) 上有实数根，则方程 f x
1在区间 [-1,7]
上全部实根之和是
A. 12
B. 14
C. 6
D. 7
二、填空题（此题有 4 小题，每题 5 分，共 20 分。

）
13. 曲线 y ln x 1 在点(1, ln2)处的切线方程为______________．
14. 已知 tan 3 ，则cos2 sin2 的值为 __________ ．
15. 已知函数
f x ax2 xlnx 在1 ,上单一递加,则实数a的取值范围是_____.
e
16. 已知函数 f ( x)是定义在R上的奇函数，当 x>0时，f x e x x 1．给出以下命题：
①当 x<0时， f ( x)＝e x( x＋1)；
②函数 f ( x)有五个零点；
③若对于 x 的方程 f ( x)＝ m有解，则实数m的取值范围是 f (－2)≤ m≤ f (2)；
④对 ? x1，x2∈R， | f ( x2) －f ( x1)|<2恒建立．
此中，正确命题的序号是________．
三、解答题（此题有 6 小题，共70 分。

）
17. （此题 10 分）已知 p : 对x 2,2函数
f x l
g 3a ax x2总存心义，q : 函
数 f x 1 x3 ax2 4x 3 在1, 上是增函数；若命题“p q ”为真，“ p q ”
3
为假，求 a 的取值范围.
18. （本题12 分）已知三个集合： A x R|log 2 x2 5x 8 1 ，
B x R|2x2 2 x 8 1 ，
C x R|x2 ax a2 19 0 .
（I ）求A B；
（II ）已知A C , B C ，务实数 a 的取值范围.
19.（此题12分）已知函数 f x 2sinxcosx cos2x .
（Ⅰ）求 f x 的最小正周期及单一递加区间；
（Ⅱ）求 f x 在区间
π
上的最大值和最小值．0，
2
20.（此题12分）已知函数 f ( x)＝2x－a
的定义域为(0，1]( a 为实数). x
(1)当 a＝1时，求函数 y＝ f ( x)的值域；
(2) 求函数y＝ f ( x)在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数 f ( x)获得最值时x 的值 .
21. （此题 12 分）对于函数 f x ，若存在 x0 R ，使f x0 x0建立，则称x0为 f x 的不动点，已知函数 f x ax2 b 1 x b 1 a 0 。

（Ⅰ）当 a 1,b 2 时，求 f x 的不动点；
（Ⅱ）若对随意实数 b ，函数 f x 恒有两个相异的不动点，求 a 的取值范围。

22. （此题 12 分）已知 f x x 1 e x 1
ax2．2
（Ⅰ）当 f x 在 x 1 处切线的斜率为 2e ，求a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，求 f x 的极值；
（Ⅲ）若 f x 有2个不一样零点，求a 的取值范围．．
参照答案1.D 分析：由题意得M x 0 x 10 ，N x x 4
或
x 3 ，故可清除选项A，B，C．对3
于 D，因为
C R N x 4
x 3
，所以
M C R N
0 3
3 ，，故正确．选 D．
2.D
分析：对于选项 A，原命题的否命题为“若x2 1，则x 1”，故A不正确．
对于选项 B，当x 1 时，x2 5x 6 0 建立；反之，当 x2 5x 6 0 时，x 1 或x 6 ，故“ x 1”是“x2 5x 6 0 ”的充足不用要条件．故B不正确．
对于选项 C，命题的否认是“x R ，x2 x 1 0 ”，故 C 不正确．
对于选项 D，原命题为真命题，所以其逆否命题为真命题．故 D 正确．选 D．
3.A 分析：
cos 3
,sin
4
,cos
4
,sin 3 cos cos cos sin sin 24 5 5 5 5 25
，
应选 A。

4.B
g x x 3
1 的图象也对于点（ 1,1 ）对称．
分析：由题意知，函数 1
2018
故x i x1 x2018 x2 x2017 L x1009 x1010 1009 2 2018 ，
i 1
2018
y i y1 y
2018 y2
y
2017 L
y
1009
y
1010 1009 2 2018
i 1
2018 2018 2018
所以x i y i x i y i 2 2018 4036 ．选C．
i 1 i 1 i 1
5.C 分析：由题意得
f ( ) 1 sin(
3 ) 1
3 2
k (k Z )
6
k (k Z )
6
f ( ) f (0) sin( ) sin sin 0 7 2m ( m Z )
6
2 ，所以，
f x
sin 2x
sin 2x
7
6
进而
，
2k
2 x 7 2k
(k Z )
2
6
其单一增区间为
2
，
k 5 x k
3 (k Z ）k + 6
x k + 2
(k Z ） 即
6
，也即
3
，选 C ．
ln 2
ln 2
6.D 分析：由题意得 e ax
2 在 (0,3] 上恒建立，即 a ( x )
min
3 ，选 D ．
7.A 分析：∵ f
x sin x 2 cos2 x
sinx 2
cos2x
f x ,
∴函数 f x 为奇函数，故图象对于原点对称，所以清除
B 。

又当 x
时， f
2
sin
2 cos
1 ， f
sin 2 cos
2 1.5 ，
2
2
4
4
2
f
3
sin
3
2 cos
3
2 1.5 ，所以清除 C,D 。

应选 A 。

4
4
2
8.C 分析：对于选项
A,B ，由条件得 f
x
3x 2
12 3 x 2 x 2 ，故 f x 在区间
, 2和 2,
上单一递加 ，在 2,2 上单一递减，故 A,B 都不正确．
对于选项 C ，可得 f
2
3 2 2
2
2
3
12
2
6
10 ，故所求
12 0, f 的切线方程为 y 10 0 ，即 y 10 ，所以 C 正确．
对于选项
D ， 当 b
0 时 ， 由 f x
x 3 12x 10 可 得 x 3 12x 10
0 ． 令
g x x 3 12x 10
， 则 g x 3x 2 12 3 x 2 x 2 ， 故 函 数 g x 在 区 间
, 2和 2,
上单一递加 ，在 2,2 上单一递减，所以当 x
2 时， g x 有极
大 值 ， 且 极 大 值 为 g 2 6 0 ； 当 x
2 时 ， g x 有 极 小 值 ， 且 极 小 值 为
g 2 26 0 ，所以函数 g x 的图象与 x 轴有三个交点，进而函数
f
x 的图像与直线
y 10 有三个交点．故 D 不正确．综上选 C ．
9.A 解 析 ： 由 已 知 f
x 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， 所 以 f x f x
， 又
f x 1
f x ，所以 f x 的周期是 2，且 f x 1
f x 得 x
1
是此中一条对
2
称轴，又当 x
0, 1 时， f x 4x 1，，于是 f x 图象如下图，
2
又函数 h x
x 1 f x
1
零点即为 y f x 图象与 y
1 的图象的交点的横坐
x
1
标，四个交点分别对于
1,0 对 称 ， 所 以 x 1 x 4 2, x 2 x 3
2，所以零点之和为
x 1 x 2 x 3 x 4 4.应选 A ．
10.A 分析：由图象能够知道，函数均为减函数，
所以 0 a 1
0 b 1
，
，
∵点 D 为坐标原点，点
A 1,1 ，∴直线 OA 为 y x ，
∵ y a x
经过点 M ，则它的反函数 y
log a x 也经过点 M ，
又∵ y
log b x （ b 0 ，且 b 0 ）的图象经过点 N ，
依据对数函数的图象和性质可知： a b ，∴ a b 1 ．应选 A ．
11.C 分析：由 f （ m ）=2ln
e ﹣
f （ n ）得 f （ m ）+f （ n ）=1?
2 2 1 f （ mn ）
ln m
1 1 lnn
2
2
=1﹣
，
1 =1 ﹣
ln m
lnmn 1 lnn
又∵ lnn+lnm+2=[ （ lnn+1 ） +（ lnm+1） ] （
2
2
2 1 ln m 2 1 ln n
1 1 ln n ） =4+ 1 ln n
1 ln m
ln m
≥4+4=8，
∴lnn+lnm ≥6， f （ mn ） =1﹣
2
≥ 5
，且 m 、 n ＞ e ，∴ lnn+lnm ＞ 0 ， f （ mn ） =1﹣
1 lnmn 7
2
＜ 1，∴ 5
≤f （ mn ）＜ 1，应选： C ．
1 ln m
ln n
7
12.A
分析：由
f （ 2-x ） =f （x ）知函数 f （ x ）的图象对于直线
x=1 对称，
由 f （ x ）是
R 上的奇函数
知
f （ 2-x
）=-f
（ x-2 ）， f （ x-4 ） =-f
（ 4-x ）
在 f （ 2-x ） =f （ x ）中，以 x-2 代 x 得：
f （ 2- （ x-2 ）） =f （ x-2 ）即 f （4-x ） =f （ x-2 ），
所以 f （ x ） =f （ 2-x ） =-f （ 4-x ） =f （x-4 ）
即 f （ x+4） =f （ x ），
所以 f （ x ）是以 4 为周期的周期函数．
考虑
f （ x ）的一个周期，比如
[-1
，3] ，
由 f （ x ）在 [0 ， 1）上是减函数知
f （ x ）在（
1，2] 上是增函数，
f （ x ）在（ -1 ， 0]
上是减函数，
f （ x ）在 [2 ， 3）上是增函数．
对于奇函数 f （ x ）有 f （ 0）=0， f （ 2） =f （ 2-2 ） =f （ 0） =0，
故当 x ∈（ 0， 1）时， f （ x ）＜ f （ 0）=0，当 x ∈（ 1， 2）时， f （ x ）＜ f （2） =0，
当 x ∈（ -1 ， 0）时， f （ x ）＞ f （ 0） =0，当 x ∈（ 2， 3）时， f （ x ）＞ f （ 2） =0，方程 f （ x ） =-1 在 [0 ， 1）上有实数根，
则这实数根是独一的，因为f （x ）在（ 0， 1）上是单一函数，
则因为 f （2-x ） =f （ x ），故方程 f （ x ） =-1 在（ 1， 2）上有独一实数．
在（ -1 ， 0）和（ 2，3）上 f （x ）＞ 0，
则方程 f （x ） =-1 在（ -1 ， 0）和（ 2， 3）上没有实数根． 进而方程 f （ x ） =-1 在一个周期内有且仅有两个实数根．
当 x ∈ [-1 ， 3] ，方程 f （ x ）=-1 的两实数根之和为 x+2-x=2 ， 当 x ∈ [-1 ， 7] ，方程 f （ x ）=-1 的全部四个实数根之和为 x+2-x+4+x+4+2-x=2+8+2=12 ．
故答案为 A.
13. x
2 y 1 2ln2 0
分析：∵ y ln x 1 ，
∴ y
x 1 ，
1
∴ y |x
1 |x
1 1 1
．
x 1
2
故所求的切线方程为 y
ln2 1 x 1 ，即 x 2 y 1
2ln2 0 ．
2
答案： x 2 y 1 2ln2 0
14.
17
10
分析： cos2
sin 2
cos 2 2sin 2 1 2tan 2 1 2 9 17
cos 2
sin 2
1 tan 2
1 9
10
15. 1
a
2
分析：求导可得：
f ' x
2ax lnx 1
, 则 2a lnx 1 1 上恒建立 ,
x 在
,
e
结构函数 g x
lnx 1 ， g ' x
ln x 0 解得 x =1,
x
x 2
所以 g x
在 1 ,1 上单一递加 , 在 1,
上单一递减 ,
e
g x 的最大值为 g 1
1,
1
由恒建立的条件有：
2a 1,a
.
2
综上可得：实数 a 的取值范围是 1
a.
2
16. ①④
分析：当 x
0 时， － x 0 ，所以 f
x
e x
x 1
f x ，所以 f x
e x x 1 ，
故①正确； 当 x 0 时， '
x
1
x
2
f x
e x
e ，令
f ' x 0 ，所以 ＝－
，所以
f x
x
在 , 2 上单一递减， 在 2,0 上单一递加， 而在 , 1 上， f x 0 ，在
1,0
上，
f x
0 ，所以 f x 在
,0 上仅有一个零点， 由对称性可知， f x 在 0,
上也有一个零点， 又 f 0 0，故该函数有三个零点， 故②错误； 因为当 x 0 时， f
x 在 , 2 上单一递减， 在 2,0 上单一递加， 且当 x －1时， f x 0 ，当－1 x
时，
f x
0 ，所以当 x 0 时， f
2 f x
1 ，即
1 f x
1，由对称性可
e
2
知，当 x
1 f x
1
0 ＝0，故当 x
,
时， f
x
1,1 ，
时，
e 2 ，又 f
若对于 x 的方程 f x m 有解，则 －1 m 1 ，且对 x 1, x 2 R ， f x 2 － f x 1
2 恒
建立，故③错误，④正确，故答案为①④.
17. 分析：当 p 为真时，
{ 3a 2a 4 0 ，解得 a 4 ，
3a 2a 4 0
当 q 为真时， f x
x 2 2ax 4 0 在 1,
上恒建立，
即 x
4 2a 对 x 1, 恒建立，所以 a
2 ，
x
a 4 a 4 当 p 真 q 假 {
2
a 4 ：当 q 假 p 真： {
a 2 ，
a
a
2
综上， a
4或 a 2 .
18. 分析： (1) Q A
x R|x 2
5x 8 2
2,3 ,
B
x R|x 2
2x 8 0
2, 4 ,
A B
2,3, 4 .
(2) Q A
C
, B C ,
2 C , 4 C,3
C .
设 f
x
x 2 ax a 2 19 ，
f 2
22 2a a 2 19 0,
则 { f 4
42 4a a 2 19 0,
f 3
32 3a a 2
19 0.
3 a 5,
即 { 2 7 a
2
7,
a 2或 a 5.
解得
3 a 2.
所以实数 a 的取值范围是
3, 2 .
19. 分析：（Ⅰ）因为
f
xsin2x cos2x
2sin
2x+．
4
所以 f
x 的最小正周期 T
2 .
2
3
由
2k 2x
k
x
k .
4 2 2k ，得
2
8
8 所以 f
x 的单一递加区间是
3
k ， k
, k Z.
8
8
（Ⅱ）因为 x
0,
，所以 2x+
5
.
,
4
2
4 4
所以当2x
4
，即x时，函数获得最大值是 2 .
2 8
当
2x
5
时，函数获得最小值2sin
5
4
，即 x 1. ．
4 2 4
所以 f x 在区间
π
上的最大值和最小值分别为2和1．0，
2
20.
分析： (1) 当a＝ 1 时，f ( x) ＝2x－，任取1≥ x1＞x2＞0，
则 f ( x1)－ f ( x2)＝2( x1－ x2)－＝ ( x1－x2) .
∵1≥x1＞x2＞ 0，∴x1－x2＞0，x1x2＞ 0.
∴f ( x1)＞ f ( x2)，∴ f ( x)在(0，1]上单一递加，无最小值，当x＝1时获得最大值1，所以f ( x) 的值域为( －∞，1].
(2) 当a≥0时，y＝f ( x) 在 (0 ， 1] 上单一递加，无最小值，
当
x＝1时获得最大值2－a；
当 a＜0时， f ( x)＝2x＋，
当≥1，即a∈ ( －∞，－
获得最小值2－a；
2] 时，y＝f ( x) 在(0 ， 1] 上单一递减，无最大值，当x＝1时当＜ 1，即a∈ ( － 2，0) 时，y＝f ( x) 在上单一递减，在
上单一递加，无最大值，当x＝时获得最小值 2 .
21. 分析：（Ⅰ）当 a 1,b 2时， f x x2 x 3 ，由题意可知 x x2 x 3 ，得x1 1, x2 3 ，
故当 a 1,b 2 时， f x 的不动点为 -1 ，3.
（Ⅱ）因为 f x ax2 b 1 x b 1 a 0 恒有两个不动点，
所以 x ax2 b 1 x b 1，即ax2 bx b 1 0 恒有两个相异实根，
所以b2 4ab 4a 0 b R 恒建立，于是设g x b2 4ab 4a ，所以g x 0 恒建立，
4a 2
0 ，解得 0 a 1 ，故当 b R 。

所以16 a
f x 恒有两个相异的不动点时， a 的取值范围是0,1 。

22.分析:（Ⅰ）f x e x x 1 e x ax x e x a，
f 1 e a2e
∴a e
（Ⅱ）当 a e 时 f x x e x e
x 0 ， f x 0 ， f x 为减函数
x 0 ， f x 0 ， f x 为增函数
∴ f x
极小值 f 0 1 ，无极大值
（Ⅲ） f x x e x a
10当 a 0 时， f x x 1 e x，只有个零点x 1 20当 a 0 时，e x a 0
x ,0 ， f x 0 ， f x 为减函数
x 0, ， f x 0 ， f x 为增函数
f x
极小值 f 0 1而f 1 a
0 2
∴当 x 0 ，x0 0,1 ，使 f x0 0
当 x 0 时，∴e x 1 ∴ x 1 e x x 1
∴ f x x 1 e x 1 ax2 x 1 1 ax2 1 ax2 x 1
2 2 2
取
x1 1 1 2a
0 ，∴f x f x1 0， f x1 f 0 0
a
∴函数有 2 个零点
30当a 0 时， f x x e x a 令 f x 0 得 x 0 ， x ln a ① ln a 0，即 a 1 时
当 x 变化时 f x ， f x 变化状况是
x,00,ln a ln a ln a , f x 0 0
f x Z1]Z
∴ f x 极大值 f 0 1
∴函数 f x 至多有个零点，不切合题意
② a 1 时，ln a 0 ， f x 在,单一递加
∴ f x 至多有个零点，不合题意
③当ln a 0 时，即a 1,0 时
当 x 变化时 f x ， f x 的变化状况是
x 0 ， a 0 时， f xx 1 e x 1
ax2 0 2
即 f 0 1，∴函数 f x 至多有个零点，综上： a 的取值范围是0,.。