数学分析答案

数学分析上册第三版华东师范大学数学系编部分习题参考解答P.4 习题1．设a 为有理数，x 为无理数，证明：（1）a + x 是无理数； （2）当0≠a 时，ax 是无理数.证明 （1）（反证）假设a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x – a 是有理数. 这与题设“x 为无理数”矛盾，故a + x 是无理数.（2）假设ax 是有理数，于是a ax x =是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故ax 是无理数.3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则 a = b .证明 由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ，再由教材P.3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而 a = b .另证 （反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a . 这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而 a = b .5．证明：对任何R x ∈有（1）1|2||1|≥-+-x x ； （2）2|3||2||1|≥-+-+-x x x证明 （1）|2||1||)2()1(|1-+-≤---=x x x x（2）因为|2||1||1||)3(2||3|2-+-≤-=-+≤--x x x x x ，所以2|3||2||1|≥-+-+-x x x6．设+∈R c b a ,,证明 ||||2222c b c a b a -≤+-+证明 建立坐标系如图，在三角形OAC 中，OA 的长度是22b a +，OC 的长度是22c a +，AC 的长度为||c b -. 因为三角形两边的差小于第三边，所以有||||2222c b c a b a -≤+-+7．设 b a b x ≠>>,0,0，证明x b x a ++介于1与ba 之间. 证明 因为1||1-=-<+-=-++ba b b a x b b a x b x a ， 1||)()(-=-<+-=-++ba b b a x b b x a b b a x b x a 所以x b x a ++介于1与ba 之间. 8．设 p 为正整数，证明：若 p 不是完全平方数，则p 是无理数. 证明 （反证）假设p 为有理数，则存在正整数 m 、n 使得m n p =，其中m 、n 互素. 于是22n p m =，因为 p 不是完全平方数，所以 p 能整除 n ，即存在整数 k ，使得kp n =. 于是222p k p m =，p k m 22=，从而 p 是 m 的约数，故m 、n 有公约数 p . 这与“m 、n 互素”矛盾. 所以p 是无理数.P.9 习题2．设S 为非空数集，试对下列概念给出定义：（1）S 无上界；若M ∀，S x ∈∃0，使得M x >0，则称S 无上界.（请与S 有上界的定义相比较：若M ∃，使得S x ∈∀，有M x ≤，则称S 有上界）（2）S 无界.若0>∀M ，S x ∈∃0，使得M x >||0，则称S 无界.（请与S 有界的定义相比较：若0>∃M ，使得S x ∈∀，有M x ≤||，则称S 有界）3．试证明数集},2|{2R x x y y S ∈-==有上界而无下界.证明 S y ∈∀，有222≤-=x y ，故2是S 的一个上界.而对0>∀M ，取M x +=30，S M x y ∈--=-=12200，但M y -<0. 故数集S 无下界.4．求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：（1）},2|{2R x x x S ∈<= 解 2s u p=S ，2inf -=S . 下面依定义加以验证2sup =S （2inf -=S 可类似进行）. S x ∈∀，有22<<-x ，即2是S 的一个上界，2-是S 的一个下界. 2<∀α，若2-≤α，则S x ∈∀0，都有α>0x ；若22<<-α，则由实数的稠密性，必有实数 r ，使得22<<<-r α，即S r ∈，α不是上界，所以2sup =S .（2）},!|{+∈==N n n x x S解 S 无上界，故无上确界，非正常上确界为+∞=S sup .下面证明：1inf =S .① S x ∈∀，有1!≥=n x ，即 1 是S 的一个下界；② 1>∀β，因为 S ∈=!11，即β不是S 的下界. 所以 1inf =S .(3)})1,0(|{内的无理数为x x S =解 仿照教材P.6例2的方法，可以验证：1sup =S . 0inf =S⑷ },211|{+∈-==N n x x S n解 1s u p =S ，21inf =S首先验证1sup =S .① S x ∈∀，有1211≤-=nx ，即 1 是S 的一个上界； ② 0>∀ε，取正整数0n ，使得ε<021n ，于是取02110n x -=. 从而S x ∈0，且ε->-=121100n x . 所以1sup =S5．设S 为非空有下界数集，证明：S S S min inf =⇔∈=ξξ证明：⇒）设S S ∈=ξinf ，则对一切S x ∈，有ξ≥x ，而S ∈ξ，故ξ是数集S 中的最小的数，即S min =ξ.⇐）设S min =ξ，则S ∈ξ；下面验证S inf =ξ；⑴ 对一切S x ∈，有ξ≥x ，即ξ是数集S 的下界；⑵ 对任何ξβ>，只须取ξ=0x ，则β<0x . 所以S inf =ξ.6．设S 为非空数集，定义}|{S x x S∈-=-. 证明： ⑴ S S sup inf -=- ⑵ S S inf sup -=-证 ⑴ 设-=S inf ξ，下面证明：S sup =-ξ.① 对一切S x ∈，有-∈-S x . 因为-=S inf ξ，所以有ξ≥-x ，于是ξ-≤x ，即ξ-是数集S 的上界；② 对任何ξα-<，有ξα>-. 因为-=S inf ξ，所以存在-∈S x 0，使得α-<0x .于是有S x ∈-0，使得α>-0x .由①，②可知S sup =-ξ.7．设A 、B 皆为非空有界数集，定义数集},,|{B y A x y x z z B A ∈∈+==+ 证明：（1）B A B A sup sup )sup(+=+； （2）B A B A inf inf )inf(+=+ 证明 （1）因为A 、B 皆为非空有界数集，所以A sup 和B sup 都存在.B A z +∈∀，由定义分别存在B y A x ∈∈,，使得y x z +=. 由于A x sup ≤，B y sup ≤，故B A y x z sup sup +≤+=，即B A sup sup +是数集B A +的一个上界.B A sup sup +<∀α，（要证α不是数集B A +的上界），A B s u p s u p <-α，由上确界A sup 的定义，知存在A x ∈0，使得B x sup 0->α. 于是B x sup 0<-α，再由上确界B s up 的定义，知存在B y ∈0，使得00x y ->α. 从而α>+=000y x z ，且B A z +∈0. 因此B A sup sup +是数集B A +的上确界，即B A B A sup sup )sup(+=+另证 B A z +∈∀，由定义分别存在B y A x ∈∈,，使得y x z +=. 由于A x sup ≤，B y sup ≤，故B A y x z sup sup +≤+=，于是B A B A sup sup )sup(+≤+. ①由上确界的定义，0>∀ε，A x ∈∃0，使得2s up 0ε->A x ，B y ∈∃0，使得2s up 0ε->B y ，从而ε-+>+≥+B A y x B A sup sup )sup(00，由教材P.3 例2，可得 B A B A sup sup )sup(+≥+ ②由①、②，可得 B A B A sup sup )sup(+=+类似地可证明：B A B A inf inf )inf(+=+P.15 习题9．试作函数)arcsin(sin x y =的图象解 )a r c s i n (s i n x y =是以2π为周期，定义域为),(∞+-∞，值域为]2,2[ππ-的分段线性函数，其图象如图.11．试问||x y =是初等函数吗？解 因为2||x x y ==，可看成是两个初等函数u y =与2x u =的复合，所以||x y =是初等函数.12．证明关于函数[]x y =的如下不等式：（1）当0>x 时，111≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<-x x x （2）当0<x 时，x x x -<⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤111 证明 （1）因为 1111+⎥⎦⎤⎢⎣⎡<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x x ，所以当0>x 时，有x x x x x +⎥⎦⎤⎢⎣⎡<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡111，从而有111≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<-x x x . （2）当0<x 时，在不等式1111+⎥⎦⎤⎢⎣⎡<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x x 中同时乘以x ，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤<+⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x x x x 111，从而得到所需要的不等式x x x -<⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤111. P.20 习题1．证明1)(2+=x x x f 是R 上的有界函数. 证明 因为对R 中的任何实数x 有21212=≤+x x x x )||21(2x x ≥+ 所以 f 在R 上有界.2．（1）叙述无界函数的定义；（2）证明21)(xx f =为（0，1）上的无界函数； （3）举出函数 f 的例子，使 f 为闭区间 [0，1] 上的无界函数. 解 （1）设函数D x x f ∈)(，若对任何0>M ，都存在D x ∈0，使得M x f >|)(|0，则称 f 是D 上的无界函数.（2）分析：0>∀M ，要找)1,0(0∈x ，使得M x >201. 为此只需Mx 10<. 证明 0>∀M ，取110+=M x ，则)1,0(0∈x ，且M M x >+=1120，所以f 为区间（0，1）上的无界函数. （3）函数⎪⎩⎪⎨⎧=≤<=00101)(x x x x f 是闭区间 [0，1] 上的无界函数.7．设f 、g 为定义在D 上的有界函数，满足)()(x g x f ≤，D x ∈证明：⑴ )(sup )(sup x g x f D x D x ∈∈≤；⑵ )(inf )(inf x g x f Dx D x ∈∈≤证 ⑴ D x ∈∀，有)(sup )()(x g x g x f D x ∈≤≤，即)(sup x g Dx ∈是f 在D 上的一个上界，所以)(sup )(sup x g x f Dx D x ∈∈≤.⑵ D x ∈∀，有)()()(inf x g x f x f D x ≤≤∈，即)(inf x f Dx ∈是g 在D 上的一个下界，所以)(inf )(inf x g x f Dx D x ∈∈≤. 8．设f 为定义在D 上的有界函数，证明：⑴ )(inf )}({sup x f x f D x D x ∈∈-=-； ⑵ )(sup )}({inf x f x f Dx D x ∈∈-=-证 ⑴ D x ∈∀，有)}({sup )(x f x f D x -≤-∈，于是)}({sup )(x f x f Dx --≥∈，即)}({sup x f D x --∈是f 在D 上的一个下界，从而)}({sup )(inf x f x f Dx D x --≥∈∈，所以 )(inf )}({sup x f x f Dx D x ∈∈-≥- ①反之，D x ∈∀，有)(inf )(x f x f D x ∈≥，于是)(inf )(x f x f D x ∈-≤-，即)(i n f x f D x ∈-是f-在D 上的一个上界，从而)(inf )}({sup x f x f Dx D x ∈∈-≤- ②由①，②得，)(inf )}({sup x f x f Dx D x ∈∈-=-.9．证明：x tan 在)2,2(ππ-上无界，而在)2,2(ππ-内任一闭区间],[b a 上有界. 证 0>∀M ，取)1arctan(0+=M x ，于是)2,2(0ππ-∈x . 则有M M x >+=1t a n 0，所以x tan 在)2,2(ππ-上无界. 在)2,2(ππ-内任一闭区间],[b a 上，取|}tan ||,tan max{|b a M =，则],[b a x ∈∀，必有M x ≤|tan |，所以x tan 在],[b a 上有界.10．讨论狄利克雷函数⎩⎨⎧=为无理数当为有理数当x ，x x D 0,1)(，的有界性，单调性与周期性. 解 函数)(x D 是有界函数：1|)(|≤x D . 不是单调函数.)(x D 是周期函数，任何一个正有理数都是它的周期，故它没有最小周期. 证明如下：设 r 是任一正有理数. 若 x 是有理数，则r x ±是有理数，于是)(1)(x D r x D ==±；若 x 是无理数，则r x ±是无理数，于是)(0)(x D r x D ==±.任何无理数都不是)(x D 的周期.11．证明：x x x f sin )(+=在R 上严格增.证 设21x x <，于是2sin 2cos 2sin sin )()(121212112212x x x x x x x x x x x f x f -++-=--+=-因为0>∀x ，有x x <sin ，所以12121212|2sin |2|2sin 2cos 2|x x x x x x x x -<-≤-+，从而121212212sin 2cos 2x x x x x x x x -<-+<-. 所以有 02sin 2cos2)()(211212121212=-+->-++-=-x x x x x x x x x x x f x f 即x x x f sin )(+=在R 上严格增.P.21 总练习题1．设R b a ∈,，证明：⑴ |)|(21},max{b a b a b a -++=证 若b a ≥，则a b a =},max{，a b a b a b a b a =-++=-++)(21|)|(21，这时有|)|(21},max{b a b a b a -++=；若b a <，则b b a =},max{，=-++|)|(21b a b a b b a b a =+-+)(21，也有|)|(21},max{b a b a b a -++=，所以 |)|(21},max{b a b a b a -++= 2．设f 和g 都是初等函数，定义)}(),(max{)(x g x f x M =，)}(),(min{)(x g x f x m =，D x ∈试问)(x M 和)(x m 是否为初等函数？解 由第1题有|))()(|)()((21)}(),(max{)(x g x f x g x f x g x f x M -++==，因为f 和g 都是初等函数，于是)()(x g x f -是初等函数，再由212})]()({[|)()(|x g x f x g x f -=-，知|)()(|x g x f -是初等函数，所以)(x M 是初等函数.8．设f 、g 和h 为增函数，满足)()()(x h x g x f ≤≤，R x ∈，证明：))(())(())((x h h x g g x f f ≤≤证 因为f 、g 为增函数，再由)()(x g x f ≤，得))(())((x g f x f f ≤，))(())((x g g x g f ≤，所以有))(())((x g g x f f ≤. 同理可得))(())((x h h x g g ≤.9．设f 、g 为区间),(b a 上的增函数，证明)}(),(max{)(x g x f x =ϕ，)}(),(min{)(x g x f x =ψ也都是区间),(b a 上的增函数.证 ⑴ 先证)}(),(max{)(x g x f x =ϕ是区间),(b a 上的增函数.设21x x <，于是有)()()}(),(m ax {)(12222x f x f x g x f x ≥≥=ϕ，)()()}(),(m ax {)(12222x g x g x g x f x ≥≥=ϕ，从而)()}(),(m ax {)(1112x x g x f x ϕϕ=≥，所以)(x ϕ是增函数.⑵ 其次证明)}(),(min{)(x g x f x =ψ是区间),(b a 上的增函数设21x x <，于是有)()()}(),(m in{)(21111x f x f x g x f x ≤≤=ψ)()()}(),(m in{)(21111x g x g x g x f x ≤≤=ψ从而 )()}(),(m in{)(2221x x g x f x ψψ=≤12．设f 、g 为D 上的有界函数，证明：⑴ )(sup )(inf )}()({inf x g x f x g x f Dx D x D x ∈∈∈+≤+ ⑵ )}()({sup )(inf )(sup x g x f x g x f Dx D x D x +≤+∈∈∈证 ⑴ 由p.17例2 (i)，有)(inf )}({inf )}()({inf x f x g x g x f Dx D x D x ∈∈∈≤-++ ① 再由p.20习题8，有)(sup )}({inf x g x g Dx D x ∈∈-=- ② 结合①、②可得)(sup )(inf )}()({inf x g x f x g x f Dx D x D x ∈∈∈+≤+ 13．设f 、g 为D 上的非负有界函数，证明：⑴ )}()({inf )(inf )(inf x g x f x g x f Dx D x D x ⋅≤⋅∈∈∈ ⑵ )(inf )(sup )}()({sup x g x f x g x f Dx D x D x ∈∈∈⋅≤⋅证 ⑴ D x ∈∀，有)()(inf x f x f D x ≤∈，)()(inf x g x g D x ≤∈，从而)()()(i n f )(i n f x g x f x g x Dx D x ⋅≤⋅∈∈. 即)(inf )(inf x g x f Dx D x ∈∈⋅是)()(x g x f ⋅在D 上的一个下界，所以有 )}()({inf )(inf )(inf x g x f x g x f Dx D x D x ⋅≤⋅∈∈∈ 15．设f 为定义在R 上以h 为周期的函数，a 为实数. 证明：若f 在 [ a , a +h ] 上有界，则f 在R 上有界.证 设f 在 [ a , a +h ] 上有界，即存在0>M ，使得],[h a a x +∈∀，有M x f ≤|)(|. R x ∈∀，必存在整数m 和实数],[0h a a x +∈，使得0x mh x +=. 于是 M x f mh x f x f ≤=+=|)(||)(||)(|00，所以f 在R 上有界.16．设f 在区间I 上有界. 记)(sup x f M I x ∈=，)(inf x f m Ix ∈=，证明m M x f x f Ix x -=''-'∈'''|)()(|sup ,证 I x ∈∀，有M x f ≤)(，m x f ≥)(. 于是I x x ∈'''∀,，有m M x f x f -≤''-'|)()(|，即m M -是数集},:|)()(|{I x x x f x f ∈'''''-'的一个上界. 下面证明：m M -是数集},:|)()(|{I x x x f x f ∈'''''-'的最小上界.由上确界，下确界的定义知，0>∀ε，I x x ∈'''∃,，使得2)(ε->'M x f ，2)(ε+<''m x f ，从而εεε--=+-->''-'m M m M x f x f )2(2)()(. 所以m M -是数集},:|)()(|{I x x x f x f ∈'''''-'的最小上界.所以m M x f x f Ix x -=''-'∈'''|)()(|sup ,部分重点高校历年研究生入学考试试题选（供参考）1．（北京科技大学，1999年）叙述数集A 的上确界的定义，并证明：对任意有界数列}{n x ，}{n y ，总有}sup{}sup{}sup{n n n n y x y x +≤+证明 定义参考教材.由上确界的定义，有}sup{n n x x ≤，}sup{n n y y ≤，（ ,2,1=n ）. 于是}s u p {}s u p {n n n n y x y x +≤+，即实数}sup{}sup{n n y x +是数列}{n n y x +的一个上界，所以有}sup{}sup{}sup{n n n n y x y x +≤+2．（中国人民大学）设249)3lg(1)(x x x f -+-=，求)(x f 的定义域和)]7([-f f . 解 由049,13,032≥-≠->-x x x 解得)(x f 的定义域为)3,2()2,7[⋃-110lg 1)7(==-f ，所以342lg 1)]7([+=-f f 3．（华中理工大学）设1)(-=x x x f ，试验证x x f f f f =))]}(([{，并求])(1[x f f （0≠x ，1≠x ）.解 由x x x x xx f x f x f f =---=-=1111)()()]([，得x x f f x f f f f ==)]([))]}(([{. x xx x x x x f x f f -=---=-=1111]1[])(1[4．（同济大学）设⎩⎨⎧≥<+=010,1)(x x x x f ，求)]([x f f . 解 当0≥x 时，1)1()]([==f x f f ，当01<≤-x 时，1)1()]([=+=x f x f f ，当1-<x 时，2)1()]([+=+=x x f x f f ，所以⎩⎨⎧-≥-<+=111,2)]([x x x x f f 5．（西北工业大学）设2)(x x x f +=，求 ⑴ )(x f 的定义域⑵2)]}([{21x f f ⑶ x x f x )(lim 0→ 解 ⑴ ⎩⎨⎧>≤=+=0,20,0||)(x x x x x x f ，所以)(x f 的定义域为),(∞+-∞. ⑵ 因为)(22)()]([2222x f x x x x x x x f f =+=+++=，所以 22)()]}([{21x x x f x f f +== ⑶ 因为00lim )(lim 00==--→→x x x f x x ，+∞==-+→→x x x x f x x 2lim )(lim 00，所以x x f x )(lim 0→不存在6．（清华大学）设函数)(x f 在),(∞+-∞上是奇函数，a f =)1(且对任何x 值均有)2()()2(f x f x f =-+⑴ 试用a 表示)2(f 与)5(f⑵ 问a 取什么值时，)(x f 是以2为周期的周期函数.解 ⑴ 因为对任何x 值均有)2()()2(f x f x f +=+，令1-=x 得a f f f f f f f a -=-=-+=+-==)2()1()2()1()2()21()1(，所以a f 2)2(=.a f f f 3)2()1()3(=+=，a f f f 5)3()2()5(=+=⑵ 由)2()()2(f x f x f +=+知当且仅当0)2(=f ，即0=a 时，)(x f 是以2为周期的周期函数.7．（合肥工业大学）证明：定义在对称区间),(l l -内的任何函数)(x f ，必可表示成偶函数)(x H 与奇函数)(x G 之和的形式，且这种表示法是唯一的.证明 令)]()([21)(x f x f x H -+=，)]()([21)(x f x f x G --=，则)()()(x G x H x f +=，且容易证明)(x H 是偶函数，)(x G 是奇函数.下证唯一性. 若还有偶函数)(1x H 与奇函数)(1x G ，满足)()()(11x G x H x f +=，则有)()()()(11x G x G x H x H -=-， ①用x -代入①式，得)()()()(11x G x G x H x H -=- ②①+② 得 )()(1x H x H =，再代入②式得)()(1x G x G =8．（内蒙古大学）作函数||2|2|x y --=的图形解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤-<≤<-=44424200x x x x x x x x y9．（上海师范大学）是否存在这样的函数，它在区间]1,0[上每点都取有限值，但在此区间的任何点的任何邻域内都无界.答 存在，例如⎩⎨⎧>==1000,,)(或为无理数或为且互质x ，n ，n m n m x n ，x f 10．（武汉大学，1994年）设}{n x 为一个正无穷大数列，E 为}{n x 的一切项组成的数集，试证：必存在自然数p ，使得E x p inf =证明 因为}{n x 为一个正无穷大数列，所以存在自然数N ，使得当N n >时，1x x n >. 于是},,,m in{inf 21N x x x E =，由于},,,{21N x x x 为有限集，所以存在p x ，使得E x x x x N p inf },,,min{21== .11．（天津大学）证明：2是满足不等式22>r 的一切正有理数的下确界；证 设}0,2,|{2>>∈=r r Q r r A . 要证2是数集A 的下确界. A r ∈∀，有22>r ，所以2>r ，即2是数集A 的一个下界.0>∀ε，由有理数的稠密性，在)2,2(ε+上存在无穷多个有理数，于是可取)2,2(1ε+∈r ，即A r ∈1且ε+<21r . 所以2inf =A12．（华中师范大学）设函数)(x f 定义在区间I 上，如果对于任何I x x ∈21,，及)1,0(∈λ，恒有)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+，证明：在区间I 的任何闭子区间上)(x f 有界.证 I b a ⊂∀],[，要证)(x f 在],[b a 有界. ),(b a x ∈∀，存在)1,0(∈λ，使 )(a b a x -+=λ，即a b x )1(λλ-+=.M M M a f b f a b f x f =-+≤-+≤-+=)1()()1()())1(()(λλλλλλ ① 其中)}(),(max{b f a f M =。