乌鲁木齐地区高三下学期第一次诊断性测验数学试题 理

乌鲁木齐地区2015年高三年级第一次诊断性测验
文科数学（问卷）
（卷面分值：150分考试时间：120分钟） 注意事项：
1.本卷分为问卷（4页）和答卷（4页），答案务必书写在答卷{或答题卡）的指定位置上
2.答卷前，先将答卷密封线内（或答题卡中的相关信息）的项目填写清楚 第1卷（选择题共60分）
一、选择题：共12小题，每小题5分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
l.已知集合 {}{}|0,2,0,1M x x N =≤=-， 则 M N =I A. {}|0x x ≤ B. {}2,0- C. {}|20x x -≤≤ D. {}0,1 2.在复平面内复数 121i
z i
+=
-对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.设函数f(x)满足 (sin cos )sin cos f αααα+=，则f(0)= A. 1
2
- B.0 C.
1
2
D.1 4.“ ,2x
x R e m ∀∈->”是“ 22log 1m >”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 5.将函数 ()sin(2)()2
f x x π
ϕϕ=+<的图象向左平移
6
π
个单位后的图形关于原点对称，则函数f(x)在 0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值为 A.
32 B.1
2 C. 1
2
-
D.3-
6.一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧视图为等腰三角形，
俯视图为正方形．则这个几何体的体积为
A.
13 B. 23
C. 1
D. 4
3
7. 从1，2，3，4，5这五个数中，随机取出两个数字，剩下三个数字的和是奇数的概率是 A. 0.3 B. 0.4 C.0.5 D. 0.6
8.设 {}n a 是公差不为零的等差数列， 22a =．且 139,,a a a 成等比数列，则数列 {}n a 的前n 项和 n S =
A. 2744n n +
B. 2322n n +
C. 2344
n n + D.
222n n
+ 9.执行如图程序在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印出的点在 圆 2
2
10x y +=内的个数是 A.2 B. 3
C.4
D.5
10．若双曲线 22221(0,0)x y a b a b
+=>>的渐近线与圆 22
(2)1x y -+=相
离，则其离心率e 的取值范围是 A.e>l B ． 15
2
e +>
C.23e >
D. 5
e >
11.过抛物线 2
2(0)y px p =>的焦点F 的直线 l 交抛物线于A ，B ，交其准线于点C ．若
2,3BC BF AF =-=u u u r u u u r
，则抛物线的方程为
A. 2
12y x = B. 2
9y x = C. 2
6y x = D. 2
3y x =
12.设数列 {}n a 的前n 项和为 n S ，且满足 1n n a S +=．则 n S 的取值范围是 A. (0,1) B. (0，+∞)
C. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分第13题一第21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22题一第24题为选考题，考生根据要求作答 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
13.已知x ，y 满足条件 24122x y x y x y +≥⎧⎪
-≥⎨⎪-≤⎩
，则 2z x y =+的最小值为________.
14.正三角形ABC 的边长为 23．将它沿高AD 翻折，使二面角B-AD-C 的大小为 3
π
，则四面体ABCD 的外接球的体积为________.
15.在△PQR 中，若 7,6PQ PR PQ PR ⋅=-=u u u r u u u r u u u r u u u r
,测△PQR 面积的最大值为________.。

16.已知函数 322
()363(0)f x x a x a a a =--+>有且仅有一个零点 0x ,若 00x >，则a
的取值范围是________.
三、解答题：第17~ 21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤
17.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是A,b ，c ，且 1cos cos 2
a B
b A
c -= (I)求证tanA=3tanB;
(Ⅱ)若 45,5B b ==
o
，求△ABC 的面积
18.如图．在直三棱柱 111ABC A B C -中， 190,2BCA AC BC AA ∠====o
． E ．F 分别是 111,CC A B 的中点
(I)求证AE ⊥平面BCF;
(Ⅱ)求点F 到平面ABE 的距离。

19.某市现有居民300万人，每天有1%的人选择乘出租车出 行，记每个人的乘车里程为x(km)， 121x ≤≤由调查数据得
到x 的频率分布直方图(如图)，在直方图的乘车里程分组 中，可以用各组的区间中点值代表该组的各个值，乘车里程 落人该区间的频率作为乘车里程取该区间中点值的概率，现 规定乘车里程x ≤3时，乘车费用为10元，当x>3时，每超 出1km （不足1km 时按1km 计算），乘车费用增加l.3元 (I)试估算乘客中乘车费用不超过15.2元的概率；
(Ⅱ)试估计出租车公司一天的总收入是多少？（精确到0.01万元）
20.已知椭圆 22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为 22， 12,F F 是其焦点，点P 在椭圆上
(I)若 1290F PF ∠=o
，且 12PF F ∆的面积等于1．求椭圆的方程；
(Ⅱ)直线 1PF 交椭圆于另一点Q ．分别过点P ，Q 作直线PQ 的垂线，交x 轴于点M ，N ， 当 MN 取最小值时，求直线PQ 的斜率
2l.已知函数 ()ln()ln()(0)f x a x a x a =+-->在点 (0,(0))f 处的切线方程为y=2x (I)求a 的值；
(Ⅱ)求证当 0x ≥时 3
2()23
x f x x ≥+
请考生在第22~23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 22.（本题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
过以AB 为直径的圆上C 点作直线交圆于E 点，交AB 延长线于 D 点，过C 点作圆的切线交AD 于F 点，交AE 延长线于G 点，且 GA=GF
(I)求证CA=CD,
(Ⅱ)设H 为AD 的中点，求证BH ．BA=BF ．BD
23.（本题满分10分）选修4 -4.坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，P 是直线2x +2y -1 =0上的一点，Q 是射线OP 上的一点，满足
1OP OQ ⋅=
(I)求Q 点的轨迹；
(Ⅱ)设点M(x ，y)是(I)中轨迹上任意一点，求x+7y 的最大值 24.（本题满分10分）选修4-5:不等式选讲 设函数 (),0f x x a a =-< (I)证明 1()()22
f x f +-≥ (Ⅱ)若不等式 1
()(2)2
f x f x +<
的解集非空，求a 的取值范围 乌鲁木齐地区2015年高三年级第一次诊断性测验
理科数学试题参考答案及评分标准
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 B
B
A
A
D
A
A
D
B
C
D
C
1.选B.【解析】∵{}
0M x x =≤，{}2,0,1N =-，∴M N =I {}2,0-，故选B.
2.选 B.【解析】∵()()()()121121311122i i i z i i i i +++=
==-+--+，对应的点为13,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
在第二象限，故选B.
3.选A.【解析】依题意，令sin cos 0αα+=，∴2
2
sin cos 2sin cos 0αααα++=，
∴12sin cos 0αα+=，故1sin cos 2αα=-，∴()1
02
f =-，故选A. 4.选A.【解析】∵0x
e >，∴222e ->-，又,2x x e m R ∀∈->，∴2m ≤-；由22log 1m >，
得m <
m >
；∵ “2m ?”Þ
“m <-
，或m >”故选A.
5.选D.【解析】()()sin 2f x x ϕ=+的图象向左平移
6π个单位得()sin 23g x x πϕ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
，它的图象关于原点对称，∴()3k k πϕπ+=∈Z ，即3
k πϕπ=-，又2πϕ<，∴3π
ϕ=-，
∴()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭∵0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，∴22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为(
)02
f =，故选D.
6.选A.【解析】该几何体的直观图如图所示：为一四棱锥，其底 面ABCD 是正方形，PC ^平面AC ，1AC =,2PC =.
222AD DC AC +=Q ,又AD DC =,∴21
2
AD =，∴正方形
ABCD 的面积1
2S =，∴111123323V Sh ==创=.故选A.
7.选A.【解析】已知,x y 都是区间0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
内任取的一个实数，则,x y 满足的区域面积是由0,,0,22
x x y y ππ====围成的正
方形，其面积是2
224
πππ⨯=，而满足sin y x ≤的区域面积为22
0sin cos 1xdx x ππ
=-=⎰∴2
2
1
4
4
P ππ=
=
.故选A.
8.选D.【解析】设{}n a 的公差为d ，∴1392,2,27a d a d a d =-=+=+，又139,,a a a 成等
比数列，∴2
319a a a =，即()()()2
2227d d d +=-+，0d ≠，故1d =，121a a d =-=，
∴()211222
n n n n n
S na d -=+
=+，故选D. 9.选B.【解析】执行第1次运算打印点()1,1，5i =；执行第2次运算打印点12,2骣÷
ç÷ç÷
ç桫，4i =；执行第3次运算打印点13,3骣÷ç÷ç÷ç桫，3i =；执行第4次运算打印点14,4骣÷
ç÷ç÷
ç桫，2i =；执行第5次A B
C
D
P
运算打印点15,5骣÷ç÷ç÷ç桫，1i =；执行第6次运算打印点16,6骣÷
ç÷ç÷ç桫
，0i =；结束循环，其中在圆2210x y +=内的点有()1,1，12,2骣÷ç÷ç÷ç桫，13,3骣÷ç÷ç÷
ç桫共3个，故选B. 10.选C.【解析】双曲线()222210,0x y a b a b
-=>>的渐近线是b
y x a =?，圆
()
2
2
21x y -+=的圆心是()2,0，半径是1
1，即
()222
41c a c
->
化简得224
3c a >
，即3
e >.故选C.
11.选D.【解析】分别过A B ，点作准线的垂线，垂足分别为11A B ，，
∴1BF BB =,1AA AF =.又∵2BC BF =，∴12BC BB =，∴160CBB o
∠=
∴60AFD CFO
???,又3AF =,∴32FD =
，∴13
32
AA p =+=，∴32p =，
∴抛物线方程为2
3y x =.故选D.
12.选C.【解析】已知1n n a S +=，当1n =时，得11
2
a =
；当2n ³时，111n n a S --+=,两式相减，得10n n n a a a --+=，12n n a a -=，由题意知，10n a -¹，∴11
2n n a a -=（2n ³），
∴数列{}n a 是首项为12，公比为12的等比数列，∴11122111212
n n n S 轾骣犏÷ç-÷ç犏÷ç桫骣犏臌÷ç==-÷ç÷ç桫-， ∴n S Î1,12⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
.故选C.
二、填空题共4小题，每小题5分，共20分.
13.填2.【解析】如图可知2z x y =+的最小值是2． 14.
.【解析】由题意得四面体ABCD
是底面边长为的正三角形，侧棱AD 垂直底面，且3AD =
，AB AC ==
BD BC DC ===心在过底面中心垂直于底面的垂线上，且到底面的距离等
于AD
的一半，∴R =
∴3
3
44=33V R p p =桫
球. 15.填12.【解析】在PQR D 中设,,P Q R 行?所对的边分别为,,p q r 由题意知：cos 7qr P ?，()2
36PQ PR -=u u u v u u u v ，即222cos 36r qr P q -仔
+=
可知2250r q +=
又sin P ?∴
1
1sin 2
2PQR S rq P D =?而2
2250qr r q ?=，当且仅当5q r ==时等号成立
所以，当且仅当5q r ==
时()max
12PQR S D =
16.
a <
.【解析】已知()322()3630f x x a x a a a =--+>
则22()33f x x a ¢=-
①()0f x ¢
³恒成立，则0a =，这与0a >矛盾. ②若()0f x ¢
£恒成立，显然不可能. ③()0f x ¢=有两个根,a a -，而0a >，则()f x 在区间(),a -?单调递增，在区间()
,a a -单调递减，在区间(),a +?单调递增.故()0f a -<，即22630a a -+<
，
a <<
.
三、解答题：共6小题，共70分. 17．（12分）
（Ⅰ）∵1
cos cos 2
a B
b A
c -= 由正弦定理得
()
()111
sin cos sin cos sin sin sin 222A B B A C A B A B p 轾-==-+=+臌 ∴()1
sin cos sin cos sin cos cos sin 2
A B B A A B A B -=+
即13
sin cos sin cos 22
A B B A =，易知90A 拱，且90B 拱， 上式两边除以1
cos cos 2
A B ,得tan 3tan A B =…………………………………… 6分
（Ⅱ）∵tan 3A =
,
∴sin ,cos A A ==
由sin sin a b A
B
=
，又b =，45B =?，得3a =
而(
)sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=
∴11sin 33225
ABC S ab C D ==创 …12分
18．（12分）
（Ⅰ）根据题意，建立如图空间直角坐标系1C xyz -：
则(0,2,2),(2,0,2),(0,0,2),(0,0,1),(1,1,0)A B C E F (0,2,1),(2,0,0),(1,1,2)AE BC BF =--=-=--u u u v u u u v u u u v
∵0AE BC u u u v u u u v ? 0AE BF u u u v u u u v ?∴,AE BC AE BF ^^u u u v u u u v u u u v u u u v
即AE BC ^,AE BF ^，又BC Ì平面BCF ，且
BC BF B ?
∴AE BCF ^平面 …… ……6分 （Ⅱ）设平面ACF 的法向量1(,,)x y z =n
∵(0,2,0),(1,1,2)CA CF ==-u u u v u u u v
由1100CA CF u u u r u u u r ìï?ïí
ï?ïîn n 得2020y x y z ì=ïïíï+-=ï
î，令1z =，得2x =，∴1(2,0,1)=n 同理可得平面BCF 的一个法向量2(0,2,1)=n ，∴1212121
cos ,5
×==n n n n n n
由图判断二面角A CF B --的平面角为钝角，∴其余弦值为1
5
-
．………12分 19．（12分）
根据题意得到x 取的各组中点值依次为3,7,11,15,19；x 取这些中点值的概率依次为
0.25,0.4,0.2,0.1,0.05
（Ⅰ）从乘客中任选2人，其乘车里程相差超过10km 有3种情况：3km 和15km ；3km 和19km ；
7km 和19km ．∴从乘客中任选2人，其乘车里程相差超过10km 的概率为：0.250.10.250.050.40.050.0575P =⨯+⨯+⨯= ………………………… 5分
（Ⅱ）答案一：
依题意乘客被简化为只有五类，其乘车里程依次为3km,7km,11km,15km,19km. 乘车里程为3km 的乘客其打车总费用3001%0.2510=7.5⨯⨯⨯（万元）
乘车里程为7km 的乘客其打车总费用()3001%0.410+1.34=18.24⨯⨯⨯⨯（万元） 乘车里程为11km 的乘客其打车总费用()3001%0.210+1.38=12.24⨯⨯⨯⨯（万元） 乘车里程为15km 的乘客其打车总费用()3001%0.110+1.312=7.68⨯⨯⨯⨯（万元） 乘车里程为19km 的乘客其打车总费用()3001%0.0510+1.316=4.62⨯⨯⨯⨯（万元） ∴出租车公司一天的总收入为7.5+18.24+12.24+7.68+4.62=50.28（万元）…12分 答案二：
依题意，将乘客按其乘车里程分为五组，分别计算每一组乘客的乘车总费用为： 第一组：
()()3001%1020.0625+10+1 1.310.0625+10+2 1.310.0625⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎡⎤⎣⎦
=()3001%0.062540+1+2 1.3=8.231258.23轾创创?臌（万元） 第二组：
()()()()3001%10+3 1.310.1+10+4 1.310.1+10+5 1.310.1+10+6 1.310.1轾创创创创创创创臌
=()3001%0.140+3+4+5+6 1.3=19.02轾创创臌
（万元） 第三组：
()()()()3001%10+7 1.310.05+10+8 1.310.05+10+9 1.310.05+10+10 1.310.05轾创创创创创创创臌
=()3001%0.0540+7+8+9+10 1.3=12.63轾创创臌
（万元） 第四组：
()()()()3001%10+11 1.310.025+10+12 1.310.025+10+13 1.310.025+10+14 1.310.025轾创创创创创创创臌
=()3001%0.02540+11+12+13+14 1.3=7.8757.88轾创创?臌
（万元） 第五组：
()()()()3001%10+15 1.310.0125+10+16 1.310.0125+10+17 1.310.0125+10+18 1.310.0125轾创创创创创创创臌
=()3001%0.012540+15+16+17+18 1.3=4.7175 4.72轾创创?臌
（万元） ∴出租车公司一天的总收入为8.23+19.02+12.63+7.88+4.72=52.48（万元）………… 12分
以上两种答案均视为正确． 20．（12分）
（Ⅰ）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>
的离心率为2，
即c a =，又∵222c a b =- ∴
222a b = 又∵1290F PF ??，∴12121
12
F PF S PF PF D =?，
由点P 在椭圆上，∴122PF PF a +=，在12Rt F PF D 中，22
2124PF PF c +=
可得2
1b =，2
2a =∴椭圆的标准方程为2
212
x y += ………………………… 5分
（Ⅱ）不妨设1F 是左焦点，
11(,)P x y ，22(,)Q x y 依题意知,PQ PM PQ QN ^^,点M ,N 分别在x 轴上，∴直线PQ 的倾斜角不等于90°.
设直线PQ 的斜率为k ，倾斜角为q ，则直线PQ 的方程为:()y k x c =+
解方程组2222()1y k x c x y a
b ì=+ïïïíï+=ïïïî，得：22222222222()20b a k x a ck x a
c k a b +++-= 设此方程的两个根为12,x x ，由韦达定理得2222222
1212222222
2a ck a c k a b x x x x b a k b a k
，--+==++ 且1122(),()y k x c y k x c =+=+
可得
PQ =
()2222221ab k b a k +=+ 故MN
=(222
2
2
21cos ab k PQ b a k
q
+=
+
又∵2
c e a =
=，222a b c =+∴222a b = ∴2232224(1)(12)a k MN k +=+，令()2
11t k t =+? ， 32()(21)t f t t =-
则()22343(21)4(21)(21)t t t t f t t ---¢=
-=24
(21)(23)
(21)t t t t --- ∴()0f t ¢
=，得0t =，或1
2
t =，或32t =
当3
12t ＃时，()0f t ¢
£，故函数()f t 在31,2轾犏犏臌上为减函数， 当3
2
t <时，()0f t ¢>，故函数()f t 在3,2骣÷ç+?÷ç÷ç桫上为增函数， ∴()f t 有最小值327
232f 骣÷ç=÷ç÷ç桫，
∴MN 时，23
12
k +=，即k =?．………………………… 12分 21．（12分）
（Ⅰ）已知()ln()ln()(0)f x a x a x a =+-->则'2
2
112()a
f x a x a x a x
=
+=+--， '2
22(0)a f a a
=
=，由题意知'
(0)2f =，∴22a = ∴1a = …………… 4分 （II ）令32()()2(0)3x
g x f x x x =--? 则3222222()()2()22223x a g x f x x f x x x a x ¢骣÷çⅱ÷=--=--=--ç÷ç÷-桫
422222
2
=
((1))x a x a a a x
--+-- i)当01a <?时，210a -?，20a a -?
当0x
a ?时，4222(1)0x a x a a --+-?，即()0g x '≥
∴函数()g x 在[)0,a 上为增函数 ∴()(0)
0g x g ?，即当01a <?时，3
2()23
x f x x
? ii)当1a >时，210a ->，20a a -<
∴0x a <<时，22(1)0x a --<，222(1)0x x a 轾--<犏臌 从而4222(1)0x a x a a --+-<，即()0g x '< 从而函数()g x
在(上为减函数
∴0x <<
当时()(0)0g x g <=，这与题意不符
综上所述当0x ³时，3
2()23
x f x x
?，a 的取值范围为01a <? …………… 12分 22．（10分）
（Ⅰ）∵GA GF =∴GAF GFA ??， ∵GC 与圆相切于C ∴EAC GCE FCD ??? ∵,GAF EAC CAD GFA FCD CDA ??行=??，∴CAD CDA ??
∴CA CD =. ……………………………………………………………… 5分 （Ⅱ）∵H 为AD 的中点, CA CD =，∴CH AB ^，连结BC ，
∵AB 是直径, C 点在圆上∴90ACB ??， ∴2BH BA BC ?， ∵,BCF CAB CAB CDA ?行=?，∴BCF D ??，又∵CBF DBC ??，
∴CBF D ∽DBC D ，∴CB BF
DB BC
=
∴2BC DB BF =?， 故BH BA BF BD ??． …………… 10分 23．（10分）
（Ⅰ）以O 为极点，Ox 为极轴，建立极坐标系，设点Q ,P 的极坐标分别为(),r q ，()1,r q ，
由题意1
1r r ?，0r ¹，得11
r r =
，∴点P 的直角坐标为cos sin ,q q r
r 骣÷ç÷ç÷ç÷桫， P 在直线2210x y +-=上，∴ 2cos 2sin 10q q
r r
+-=，2cos 2sin r q q =+，
化成直角坐标方程得22(1)(1)2x y -+-=()0,0x y 构且，
∴Q 点的轨迹是以(1,1)
为半径的圆（原点除外）． …………………5分
- 11 - （Ⅱ）Q
点轨迹的参数方程为15()4
1x y 为参数,j p j j j ìï=+ï¹íï=+ïî
则77810sin()x y q q j a +++=++，其中1tan 7
a = ∴7x y +的最大值是18． ………………………………………10分
24．（10分） （Ⅰ）111()()()()f x f x a a x a a x x x
+-
=-+--?--- 112x x x x =+=+? ……………………………………5分 （Ⅱ）函数()23()(2)22322a x x a a y f x f x x a x a x a x a x a x ìïïïï-?ïïï骣ïï÷ç=+=-+-=-<?÷íç÷çï桫ïïï骣ï÷çï->÷çï÷çï桫ïî
函数的图象为：
当2a x =时，min 2a y =-，依题意，122
a -<，则1a >- ∴a 的取值范围是10a -<< …………………………………………………………10分
以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分．。