2019版高考数学理一轮讲义：第7讲二次函数与幂函数 含答案 精品

第7讲 二次函数与幂函数
1．幂函数的概念
一般地，函数__y ＝x α__叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2．几个常用的幂函数的图象与性质
图象
图象过点__(0,0)__和__(1,1)__ 图象过点__(1,1)__
(1)一般式：f (x )＝__ax 2＋bx ＋c __(a ≠0)； (2)顶点式：f (x )＝__a (x －h )2＋k __(a ≠0)； (3)零点式：f (x )＝__a (x －x 1)(x －x 2)__(a ≠0)． 4．二次函数的图象与性质
二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性分别是：
(1)对称轴：x ＝！！！ －b
2a
###；
(2)顶点坐标：！！！ ⎝⎛⎭⎫
－b 2a
，4ac －b 2
4a ###；
(3)开口方向：a >0时，开口__向上__，a <0时，开口__向下__；
(4)值域：a >0时，y ∈！！！ ⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ###，a <0时，y ∈__⎝⎛⎦⎤
－∞，
4ac －b 2
4a __； (5)单调性：a >0时，f (x )在！！！ ⎝⎛⎭⎫－∞，－b 2a ###上是减函数，在__⎝⎛⎭⎫－b
2a ，＋∞__上是增函数；a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－b 2a 上是__增函数__，在⎝⎛⎭
⎫－b 2a ，＋∞上是__减函数__. 5．二次函数、二次方程、二次不等式三者间的关系
二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的零点(图象与x 轴交点的横坐标)是相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的__根__，也是一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0(或ax 2＋bx ＋c ≤0)解集的__端点值__．
6．二次函数在闭区间上的最值
二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的__端点__或二次函数的__顶点__处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值．
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)函数y ＝2x 12
是幂函数．( × )
(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ ) (3)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数．( × )
(4)二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c ，x ∈[m ，n ]的最值一定是4ac －b 2
4a
.( × )
解析 (1)错误．不符合幂函数的定义．
(2)正确．因为图象与坐标轴相交，则由x ＝0得y ＝0，若y ＝0，则得x ＝0.
(3)错误．幂函数y ＝x
－1
在定义域上不单调．
(4)错误．当－b
2a ∉[m ，n ]时，二次函数的最值，在区间端点取得，而非4ac －b 24a .
2．函数y ＝x 13
的图象(图中虚线为直线y ＝x )是( B )
解析 因为函数y ＝x 13
是幂函数，幂函数在第一象限内恒过点(1,1)，排除A 项，D 项；当x >1,0<a <1时，y ＝x a 在直线y ＝x 下方，排除C 项，故选B ．
3．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是( A ) A ．m ＝－2 B ．m ＝2 C ．m ＝－1
D ．m ＝1
解析 当m ＝－2时，f (x )＝x 2－2x ＋1，对称轴为x ＝1，其图象关于直线x ＝1对称，反之也成立，故选A ．
4．已知f (x )是二次函数，且f ′(x )＝2x ＋2，若方程f (x )＝0有两个相等实根，则f (x )的解析式为( D )
A ．f (x )＝x 2＋2x ＋4
B ．f (x )＝2x 2＋2x ＋1
C ．f (x )＝x 2＋x ＋1
D ．f (x )＝x 2＋2x ＋1
解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ， ∴a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c .Δ＝4－4c ＝0， ∴c ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1，故选D ．
5．函数y ＝3－2－2x ＋x 2的值域是__(－∞，2]__.
解析 因为2－2x ＋x 2＝(x －1)2＋1≥1，所以2－2x ＋x 2≥1，所以y ≤2.
一 幂函数的图象和性质
幂函数y ＝x α的性质和图象由于α的取值不同而比较复杂，一般可从三个方面考查： (1)曲线在第一象限的“升降性”：α>0时图象经过点(0,0)和点(1,1)，在第一象限的部分“上升”；α<0时图象不过点(0,0)，经过点(1,1)，在第一象限的部分“下降”；
(2)曲线在第一象限的“凹凸性”：α>1时曲线下凹，0<α<1时曲线上凸，α<0时曲线下凹；
(3)函数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数幂或根式形式，再根据函数的定义域和奇偶性定义判断其奇偶性．
【例1】 (1)已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x m
2＋m －3
是幂函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增
函数，则m 的值为( B )
A ．－1
B ．2
C ．－1或2
D ．3
(2)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( C )
(3)已知f (x )＝x 12
，若0<a <b <1，则下列各式正确的是( C ) A ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫
1b B ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a
D ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭
⎫1b <f (b ) 解析 (1)∵函数f (x )＝(m 2－m －1)·x m
2＋m －3
是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝－1
或m ＝2.
又∵函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，∴m 2＋m －3>0，∴m ＝2. (2)∵幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，∴f (x )＝x 12
. (3)∵0<a <b <1，∴0<a <b <1b <1a
，
又f (x )＝x 1
2
为增函数，∴f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫
1a .
二 二次函数的解析式
求二次函数解析式的方法
根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，方法如下：
【例2】 (1)已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，则此二次函数的解析式为__f (x )＝－4x 2＋4x ＋7__.
(2)已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>－2x 的解集为(1,3)．若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的根，则f (x )的单调递增区间为__(－∞，－3]__.
解析 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨
⎪⎧
4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，
4ac －b 2
4a ＝8，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝－4，
b ＝4，
c ＝7.
所以所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. (2)因为f (x )＋2x >0的解集为(1,3)， 设f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a <0，
所以f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a .① 由方程f (x )＋6a ＝0，得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.② 因为方程②有两个相等的根，
所以Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0，解得a ＝1或a ＝－1
5.
由于a <0，舍去a ＝1．将a ＝－1
5代入①式得
f (x )＝－15x 2－65x －35＝－15(x ＋3)2＋6
5，
所以函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－3]．
三 二次函数的图象和性质
二次函数在闭区间上的最大值和最小值可能在三个地方取到：区间的两个端点处，或对称轴处．也可以作出二次函数在该区间上的图象，由图象来判断最值．解题的关键是讨论对称轴与所给区间的相对位置关系．
【例3】 (1)已知二次函数f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值．
(2)已知a 是实数，记函数f (x )＝x 2－2x ＋2在[a ，a ＋1]上的最小值为g (a )，求g (a )的解析式．
解析 (1)①当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1
a .
当1
a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]内， ∴f (x )在⎣⎡⎭⎫0，1a 上递减，在⎣⎡⎦⎤1
a ，1上递增． ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1a －2a ＝－1
a
. 当1
a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]的右侧，∴f (x )在[0,1]上递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.
②当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1
a <0，在y 轴的左侧，
∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减．
∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.
综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
a －2，a ∈(－∞，0)∪(0，1)，－1a ，a ∈[1，＋∞).
(2)f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1， x ∈[a ，a ＋1]，a ∈R ，对称轴为x ＝1．
当a ＋1<1，即a <0时，函数图象如图(1)，函数f (x )在区间[a ，a ＋1]上为减函数，所以最小值为f (a ＋1)＝a 2＋1；当a ≤1≤a ＋1，即0≤a ≤1时，函数图象如图(2)，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当a >1时，函数图象如图(3)，函数f (x )在区间[a ，a ＋1]上为增函数，所以最小值为f (a )＝a 2－2a ＋2.
综上可知，g (a )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2
＋1，a <0，1，0≤a ≤1，
a 2－2a ＋2，a >1.
【例4】 (1)若函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a 的取值范围为__(－∞，－6]∪[4，＋∞)__.
(2)若函数f (x )＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤－25
4，－4，则m 的取值范围是！
！！ ⎣⎡⎦
⎤32，3 ###.
解析 (1)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.
(2)函数f (x )图象的对称轴为x ＝32，且f ⎝⎛⎭⎫32＝－25
4，f (3)＝f (0)＝－4，由二次函数的图象知m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤32，3.
1．若幂函数f (x )＝mx α的图象经过点A ⎝⎛⎫
14，12，则它在点A 处的切线方程是( C ) A ．2x －y ＝0 B ．2x ＋y ＝0 C ．4x －4y ＋1＝0
D ．4x ＋4y ＋1＝0
解析 根据函数f (x )＝mx α为幂函数，所以m ＝1，根据图象经过点A ⎝⎛⎭⎫14，12，则有α＝12，所以f (x )＝x 1
2
，f ′(x )＝1
2x
，f ′⎝⎛⎭⎫14＝1，故所求切线方程是4x －4y ＋1＝0. 2．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( B ) A ．[2－2，2＋2] B ．(2－2，2＋2) C ．[1,3]
D ．(1,3)
解析 由题意可知，f (x )＝e x －1>－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1．若有f (a )＝g (b )，则g (b )∈(－1,1]，
即－b 2＋4b －3>－1，解得2－2<b <2＋ 2.
3．已知函数f (x )＝－x 2＋3x ＋4的定义域为[－2,2]，则f (x )的值域为！！！ ⎣⎡⎦⎤－6，25
4 ###. 解析 函数f (x )＝－x 2＋3x ＋4图象的对称轴为x ＝3
2，所以在区间[－2,2]上，函数的最
大值为f ⎝⎛⎭⎫32＝－⎝⎛⎭⎫322＋3×32＋4＝254，函数的最小值为f (－2)＝－(－2)2＋3×(－2)＋4＝－6，所以函数的值域为⎣
⎡⎦⎤－6，25
4. 4．(2018·广东广州摸底)已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1． (1)求f (x )的解析式；
(2)在区间[－1,1]上，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象的上方，求实数m 的取值范围． 解析 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ， 由f (0)＝1，得c ＝1， 故f (x )＝ax 2＋bx ＋1． 因为f (x ＋1)－f (x )＝2x ，
所以a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，
即2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝－1，
所以f (x )＝x 2－x ＋1．
(2)由题意得x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1,1]上恒成立． 即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立．
设g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，因为g (x )的图象开口向上，对称轴为x ＝3
2，所以g (x )在[－1,1]
上是减函数，
故g (x )min ＝g (1)＝12－3×1＋1－m >0，解得m <－1． 故实数m 的取值范围为(－∞，－1)．
易错点 忽视一元二次方程中对Δ的讨论
错因分析：忽略已知一元二次方程有根时，便隐含了Δ≥0以及韦达定理的内容． 【例1】 已知关于x 的方程x 2－2mx ＋4m 2－6＝0的两根为α，β，试求(α－1)2＋(β－1)2
的最小值．
解析 由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧
α＋β＝2m ，
αβ＝4m 2
－6， ∴(α－1)2＋(β－1)2＝(α＋β)2－2αβ－2(α＋β)＋2＝(2m )2－2(4m 2－6)－4m ＋2＝－4m 2－4m ＋14＝－4⎝
⎛⎭⎫m ＋1
22＋15， 又∵Δ≥0，即(－2m )2－4(4m 2－6)≥0，∴－2≤m ≤2， ∴当m ＝2时，(α－1)2＋(β－1)2的最小值为6－4 2.
【跟踪训练1】 已知函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋3(m ∈R )，若关于x 的方程f (x )＝0有实数根，且两根分别为x 1，x 2，则(x 1＋x 2)·x 1x 2的最大值为( B )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析 ∵x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m ＋3， ∴(x 1＋x 2)·x 1x 2＝－2m (2m ＋3)＝－4⎝⎛⎭⎫m ＋342＋9
4. 又Δ＝4m 2－4(2m ＋3)≥0，∴m ≤－1或m ≥3.
∵t ＝－4⎝⎛⎭⎫m ＋342＋9
4在m ∈(－∞，－1)上单调递增，在m ∈[3，＋∞)上单调递减，m ＝－1时最大值为2.
∴(x 1＋x 2)·x 1x 2的最大值为2，故选B ．
课时达标 第7讲
[解密考纲]本考点考查幂函数的图象与性质、二次函数的单调性与最值、二次函数恒成立问题以及二次方程的根的分布问题，一般以选择题、填空题的形式呈现，排在中间靠前的位置，难度中等．
一、选择题
1．(2018·河南南阳模拟)已知幂函数f (x )＝k ·x a 的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2
2，则k ＋a ＝( C )
A ．1
2
B ．1
C ．3
2
D ．2
解析 因为f (x )＝k ·x a 是幂函数，所以k ＝1．又f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2
2，所以⎝⎛⎭⎫12a ＝22，所以a ＝12，所以k ＋a ＝1＋12＝32
.
2．(2018·天津模拟)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点在第一象限与x 轴的两个交点分别位于原点两侧，则a ，b ，c 的符号为( B )
A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0
B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0
C ．a ＜0，b ＜0，c ＞0
D ．a ＜0，b ＞0，c ＜0
解析 由题意知，抛物线开口向下，故a <0.由抛物线与x 轴的两个交点分别位于原点两侧，得ac <0，所以c >0.再由顶点在第一象限得－b
2a
>0，所以b >0.
3．对任意的x ∈[－2,1]，不等式x 2＋2x －a ≤0恒成立，则实数a 的取值范围是( D ) A ．(－∞，0] B ．(－∞，3] C ．[0，＋∞)
D ．[3，＋∞)
解析 设f (x )＝x 2＋2x －a (x ∈[－2,1])，由二次函数的图象知，当x ＝1时，f (x )取得最大值3－a ，所以3－a ≤0，解得a ≥3，故选D ．
4．对于幂函数f (x )＝x 4
5
，若0<x 1<x 2，则f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22和f (x 1)＋f (x 2)
2的大小关系是( B ) A ．f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<
f (x 1)＋f (x 2)
2 B ．f ⎝⎛
⎭⎫x 1＋x 22>
f (x 1)＋f (x 2)
2 C ．f ⎝⎛
⎭⎫x 1＋x 22＝
f (x 1)＋f (x 2)
2 D ．无法确定
解析 根据幂函数的性质：当0<x <1时，图象是向上凸的，且通过点(0,0)，(1,1)，可知B 项正确．
5．设函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a >0)，已知f (m )<0，则( C ) A ．f (m ＋1)≥0 B ．f (m ＋1)≤0 C ．f (m ＋1)>0
D ．f (m ＋1)<0
解析 因为f (x )的对称轴为x ＝－1
2
，f (0)＝a >0，所以f (x )的大致图象如图所示．
由f (m )<0，得－1<m <0，所以m ＋1>0，所以f (m ＋1)>f (0)>0，故选C ．
6．(2017·山东卷)已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( B )
A ．(0,1]∪[23，＋∞)
B ．(0,1]∪[3，＋∞)
C ．(0，2]∪[23，＋∞)
D ．(0，2]∪[3，＋∞)
解析 在同一直角坐标系中，分别作出函数f (x )＝(mx －1)2＝ m 2⎝⎛⎭⎫x －1
m 2与g (x )＝x ＋m 的大致图象． 分两种情形：
(1)当0<m ≤1时，1
m ≥1，如图①，当x ∈[0,1]时，f (x )与g (x )的图象有一个交点，符合题
意；
(2)当m >1时，0<1
m <1，如图②，要使f (x )与g (x )的图象在[0,1]上只有一个交点，只需
g (1)≤f (1)，即1＋m ≤(m －1)2，解得m ≥3或m ≤0(舍去)．
综上所述，m ∈(0,1]∪[3，＋∞)． 故选B ． 二、填空题
7．已知函数f (x )＝x 34
，且f (2x －1)<f (3x )，则x 的取值范围是！！！ ⎣⎡⎭⎫1
2，＋∞ ###. 解析 f (x )＝x 3
在定义域[0，＋∞)上是递增的， 由f (2x －1)<f (3x )，得0≤2x －1<3x ，所以x ≥1
2
.
8．二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为！！！ f (x )＝1
2
(x －2)2－1 ###. 解析 依题意可设f (x )＝a (x －2)2－1，又其图象过点(0,1)， ∴4a －1＝1，∴a ＝12，∴f (x )＝1
2
(x －2)2－1．
9．已知f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m .如果∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2,2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数m 的取值范围是__[－5，－2]__.
解析 由题意得函数f (x )在[－2,2]上的值域A 为函数g (x )在[－2,2]上的值域B 的子集，
又当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1∈(0,3]，所以当x ∈[－2,0)时，f (x )∈[－3,0)，而f (0)＝0，因此A ＝[－3,3]．由二次函数性质知B ＝[m －1,8＋m ]，从而
⎩⎪⎨⎪⎧
m －1≤－3，8＋m ≥3，解得－5≤m ≤－2. 三、解答题
10．已知二次函数图象的对称轴为x ＝－2，截x 轴所得的弦长为4，且过点(0，－1)，求函数的解析式．
解析 ∵二次函数图象的对称轴为x ＝－2，
∴可设所求函数的解析式为f (x )＝a (x ＋2)2＋b .
∵二次函数f (x )的图象截x 轴所得的弦长为4，
∴f (x )过点(－2＋2,0)和(－2－2,0)．
又二次函数f (x )的图象过点(0，－1)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋b ＝0，2a ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12，b ＝－2，∴f (x )＝12
(x ＋2)2－2. 11．(2018·山东德州月考)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.
(1)求a ，b 的值；
(2)若b <1，g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上单调，求m 的取值范围．
解析 (1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a .
当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，
故⎩⎪⎨⎪⎧
f (3)＝5，f (2)＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝0. 当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数，
故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝2，f (2)＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝3.
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－1，
b ＝3. (2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2.
g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2，
∵g (x )在[2,4]上单调，∴2＋m 2≤2或m ＋22
≥4. ∴m ≤2或m ≥6.故m 的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)．
12．(2018·河北唐山调研)设a 为实数，函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋1，x ∈R .求f (x )的最小值．
解析 (1)①当x ≤a 时，函数f (x )＝x 2－x ＋a ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋a ＋34
. 若a ≤12
，则函数f (x )在(－∞，a ]上单调递减，从而函数f (x )在(－∞，a ]上的最小值为f (a )＝a 2＋1；
若a >12
，则函数f (x )在(－∞，a ]上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫12＝34＋a ，且f ⎝⎛⎭⎫12≤f (a )． ②当x ≥a 时，函数f (x )＝x 2＋x －a ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－a ＋34
. 若a ≤－12
，则函数f (x )在[a ，＋∞)上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－12＝34－a ，且f ⎝⎛⎭⎫－12≤f (a )； 若a >－12
，则函数f (x )在[a ，＋∞)上单调递增，从而函数f (x )在[a ，＋∞)上的最小值为f (a )＝a 2＋1．
综上，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 34－a ，a ≤－12，a 2＋1，－12<a ≤12，
a ＋34，a >12.。