一种含间隙两转动一移动解耦并联机构混沌现象辨识

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(编辑 张 洋)
作者简介:钱立军,男,1962年生㊂合肥工业大学机械与汽车工程学院教授㊁博士研究生导师㊂主要研究方向为汽车现代设计理论与方法㊁电动汽车技术㊁汽车安全技术㊂发表论文60余篇㊂邱利宏,男,1989年生㊂合肥工业大学机械与汽车工程学院博士研究生㊂陈 朋,男,1991年生㊂合肥工业大学机械与汽车工程
学院博士研究生㊂
一种含间隙两转动一移动解耦
并联机构混沌现象辨识
侯雨雷1 汪 毅1 李明洋1 曾达幸1 李慧剑2
1.燕山大学,秦皇岛,066004
2.燕山大学河北省重型装备与大型结构力学可靠性重点实验室,秦皇岛,066004
摘要:以自主提出的P U ‐R C R R ‐C R R R 两转动一移动解耦并联机构为研究对象,
针对虎克铰的运动副间隙,结合L a n k a r a n i ‐N i k r a v e s h 接触力模型与牛顿欧拉法建立了机构动力学模型;分析了机构的动态响应,并通过P o i n c a r e 映射以及最大李雅普诺夫指数对机构混沌现象予以辨识㊂研究结果表明,
含间隙的两转动一移动解耦并联机构的动力学响应中确实存在混沌现象㊂
关键词:并联机构;间隙;动力学;混沌辨识
中图分类号:T H 113 D O I :10.3969/j
.i s s n .1004132X.2015.13.010C h a o s I d e n t i f i c a t i o no fT w oR o t a t i o n a l a n dO n eT r a n s l a t i o n a l D e c o u p
l e d P a r a l l e lM e c h a n i s m C o n c e r n i n g C l e a r a n c e H o uY u l e i 1 W a n g Y i 1 L iM i n g y a n g 1 Z e n g D a x i n g 1 L iH u i j
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1.Y a n s h a nU n i v e r s i t y ,Q i n h u a n g
d a o ,H
e b e i ,0660042.K e y L a b o r a t o r y o fM e c h a n i c a lR e l i a b i l i t y
f o rH e a v y E q u i p m e n t s a n dL a r g
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e b e i ,066004A b s t r a c t :T a k i n g a t w o r o t a t i o n a l a n do n e t r a n s l a t i o n a l d e c o u p
l e d p a r a l l e lm e c h a n i s m P U ‐R C R R ‐C R R R p r o p o s e di n d e p e n d e n t l y a sr e s e a r c ho b j e c t ,a i m i n g a tt h ec l e a r a n c e se x i s t i n g i
nt h e H o o k e j o i n t s ,a n d c o m b i n i n g L a n k a r a n i ‐N i k r a v e s h c o n t a c t f o r c em o d e l a n dN e w t o n ‐E u l e rm e t h o d ,t h em e c h -
a n i s md y n a m i c sm o d e lw a s e s t a
b l i s h e d .T h e d y n a m i
c r e s p o n s e sw e r e a n a l y
z e d ,i n a d d i t i o n ,t h e c h a o s p h e n o m e n o n c o n t a i n e d i n t h em e c h a n i s m w a s i d e n t i f i e dw i t hP o i n c a r em a p a n d t h e l a r g e s tL y a p u n o v e x p o n e n t .T h e r e s u l t s i n d i c a t e t h a t c h a o t i c p h e n o m e n a e x i s t s i n t h e d y n a m i c r e s p o n s e s o f t h e t w o r o -t a t i o n a l a n do n e t r a n s l a t i o n a l d e c o u p l e d p a r a l l e lm e c h a n i s mc o n c e r n i n g c
l e a r a n c e s .K e y w
o r d s :p a r a l l e lm e c h a n i s m ;c l e a r a n c e ;d y n a m i c s ;c h a o s i d e n t i f i c a t i o n 0 引言
混沌运动是非线性系统特有的一种运动形
收稿日期:20141212
基金项目:国家自然科学基金资助项目(51205339);中国博士后科学基金资助项目(2013M 541199
)式,类似于随机运动而具有长期不可预测性[
1
]㊂现代科技对机械装备速度㊁精度和可靠性的要求显著提升,而混沌运动能够导致本来认为无论如
何是安全和稳定的系统失灵㊂因此,对机构中混
沌现象的分析成为机构设计重要而不可或缺的研
㊃
9571㊃一种含间隙两转动一移动解耦并联机构混沌现象辨识
侯雨雷 汪 毅 李明洋等Copyright ©博看网. All Rights Reserved.
究内容之一㊂
迄今,机构学中混沌现象的研究多数集中在机构动力学分析方面,特别是对带间隙运动副或有柔性构件的连杆机构[2‐4]㊁含齿侧间隙与时变刚度的齿轮机构[5‐6]中的非线性动力学特性进行分析㊂混沌辨识是研究混沌的前提条件,目前应用较广泛的数值分析方法有时间历程和相图法㊁P o i n c a r e映射法㊁自功率谱密度分析法㊁分维数分析法以及最大李雅普诺夫指数法[7‐8]等㊂计算最大李雅普诺夫指数的方法主要有W o l f方法㊁J a-c o b i a n法㊁p范数法以及小数据量法[8]㊂与其他方法相比,小数据量法需要的数据短㊁计算迅速㊁容易实现,而且对嵌入维数㊁重构延时㊁时间序列长度以及噪声具有较好的鲁棒性[8]㊂
已有文献中,机构的动力学及混沌现象分析较为普遍,但针对具有广泛应用前景的并联结构[9],特别是解耦并联机构混沌现象的分析还几乎未曾见诸报道㊂而且,对于含间隙机构的动力学建模,目前主要集中于简单的平面机构,对于含间隙的复杂并联机构进行动力学分析[10‐13]还很少见㊂
本文以含间隙P U‐R C R R‐C R R R解耦并联机构[14]为研究对象,考虑虎克铰中的转动间隙,基于L a n k a r a n i‐N i k r a v e s h接触力模型[15]计算法向接触力,利用修正的C o u l o m b摩擦力模型计算切向接触力,建立含间隙机构运动学方程并对其求解㊂研究间隙对机构动态特性的影响,并绘制P o i n c a r e映射,选用小数据量法计算最大L y a-p u n o v指数,从而对机构中可能存在的混沌现象予以辨识,为并联机构动力学性能的改善以及后续混沌利用或控制提供必要的理论依据,也为进一步考虑更为全面的因素㊁研究更为复杂的机器人中的混沌运动提供可行的思路和方法㊂
1 含间隙解耦并联机构及其质心位置的分析
1.1 机构组成及其基本参数
P U‐R C R R‐C R R R(P表示移动副,U表示虎克铰,R表示转动副,C表示圆柱副)并联机构主要由定平台㊁动平台和连接定平台与动平台的3个分支组成,其机构如图1所示㊂该机构具有3个自由度,即2个转动自由度及1个移动自由度,并且运动完全解耦[14]㊂
如图1所示,建立含间隙P U‐R C R R‐C R R R 解耦并联机构坐标系O X Y Z,其
中,坐标原点O 为移动副的移动导路与定平台上两支柱的轴线所
图1 含间隙P U‐R C R R‐C R R R解耦并联机构简图
在平面的交点,Z轴铅垂向上,Y轴沿着移动导路的方向并指向A1㊂A2㊁B2㊁A3三点共线,所在的直线与X轴平行㊂
目前机构学混沌理论的研究多针对平面机构,相比而言,并联机构分支链较多,而解耦并联机构运动副数目也有所增加,故为便于建模及分析,在如下运动学分析中,暂锁定动平台绕定坐标系X轴㊁Z轴的旋转,仅考虑动平台沿Y轴的移动;视其他铰链为理想铰链,暂且考虑虎克铰B1绕定坐标系Z轴转动的转动间隙,则此时的动平台将产生平行于O X Y平面的移动㊂
如图1所示,过B1点作D2D3垂线并与其交于H点,则机构动平台关于B1H对称且其质心点位于B1H上,不妨设质心点为I,则机构相关参数如下:杆2的长度l2=105mm,杆3的长度l3= 105mm,杆4的长度l4=77mm,杆5的长度l5= 77mm,杆6的长度l6=94mm,E F的长度d1= 41mm,F B1的长度d2=108mm,D2D3的长度2d=160mm,杆1的质量m1=354.9g,杆2的质量m2=362.9g,杆3的质量m3=304.7g,杆4的质量m4=258.0g,杆5的质量m5=249.2g,杆6的质量m6=206.6g,动平台的质量m7= 2377.5g,A3点X位置x A3=-160mm,杆2对B2点的转动惯量J2=17.044k g㊃m2,杆3对质心的转动惯量I c3=3.278×10-4k g㊃m2,杆4对A4点的转动惯量J4=9.346×10-4k g㊃m2,杆5对质心的转动惯量I c5=3.040×10-4k g㊃m2㊂1.2 无间隙时机构运动角度分析
两转动一移动解耦并联机构的虎克铰为理想铰链时,动平台的质心坐标为(0,y0,z0),杆2㊁3㊁4㊁5的转动角度分别为θ10㊁θ20㊁θ30㊁θ40㊂
作为第二分支与动平台的连接,D2点可表示为(d,l2s i nθ10+l3s i nθ20,z0+l2c o sθ10+l3c o sθ20)或(d,y0-d1,z0)㊂因此,令第二元素相等,可以得到方程
㊃0671㊃
中国机械工程第26卷第13期2015年7月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.
l 2s i n θ10+l 3s i n θ20=y 0-d 1
(1
)θ10与θ20之间的几何关系如图2所示,
则可得θ10=π-θ20
(2)图2 θ10与θ20的之间几何关系
由于l 2=l 3,再联立式(1)㊁式(2),可得到θ10㊁
θ20的表达式:
θ10=π-a
r c s i n y 0-d 12l 2θ20=a
r c s i n y 0-d 1
2l üþ
ý
ïïïï2
(3
)θ30与θ40之间的几何关系如图3所示,
可得θ30=α0-β0θ40=α0+β
}
0(4
)式中,α0为A 3与C 3的连线与X 轴之间的夹角,
可正可负;β
0为△A 3B 3C 3中∠C 3A 3B 3的角度,正值㊂C 3点坐标可以表示为(-d ,y
0-d 1-l 6,z 0),同时由于l 4=l 5,
参照图3可得A 3C 3s i n α0=y 0-d 1-l 6
l 4c o s β
0=A 3C 3/}
2(5
)A 3C 3=
(d +x A 3)2
+(y
0-d 1-l 6)2 (a )α0为负
(b )α0为正
图3 θ30杆θ40之间的几何关系
由式(5
),可得α0=a
r c s i n y 0-d 1-l 6A 3C 3
β0=a r c c o s A 3C 3
2l üþ
ý
ïïïï4
(6)将式(6)代入式(4),即可得θ30㊁θ40的表
达式㊂
1.3 含间隙时机构运动角度分析
两转动㊁一移动解耦并联机构第一分支的虎
克铰存在转动间隙时,设动平台质心坐标为(x 7,
y 7,z 0),杆2㊁3㊁4㊁5的转动角度分别为θ1㊁θ2㊁θ3㊁θ4㊂类似于图2
,由几何关系,可知θ1=π-θ2
(7)类似于图3,由几何关系,可知
θ3=α-βθ4=α+}
β(8
)D 2作为第二分支与动平台的连接,
其坐标可表示为(d +x 7,l 2s i n θ1+l 3s i n θ2,z 0+l 2c o s θ1+
l 3c o s θ2)或(d +x 7,y
7-d 1,z 0)㊂因此,可以得到方程
l 2s i n θ1+l 3s i n θ2=y 7-d 1
(9
)利用扰动坐标法[16
],含间隙机构的转角均由
无间隙机构的转角加上一个小扰动角构成㊂于是有
θ2=θ20+Δθ2
(10)α=α0+Δ
αβ=β0+Δ}
β
(11
)联立式(7)㊁式(9)和式(10
),利用三角公式和等价无穷小概念化简,可得
Δθ2=
y 7-d 1
2l 2c o s θ20
-t a n θ20
(12
)C 3作为第三分支与动平台的连接,
坐标可以表示为(l 4c o s θ3+l 5c o s θ4+x A 3,l 4s i n θ3+l 5s i n θ4,
z 0)和(-d +x 7,y
7-d 1-l 6,z 0)㊂因此,可得l 4c o s θ3+l 5c o s θ4+x A 3=-d +x 7l 4s i n θ3+l 5s i n θ4=y 7-d 1-l }
6
(13
)联立式(8)㊁式(11)和式(13
),可得2l 4Δαc o s β
0=B c o s α0-A s i n α0-2l 4Δβs i n β0=B s i n α0+A c o s α0-2l 4c o s β
}
0(14
)A =-d +x 7-x A 3 B =y 7-d 1-l 6
由式(14
),可得Δ
α=B c o s α0-A s i n α02l 4c o s β
0Δβ=-B s i n α0+A c o s α0-2l 4c o s β02l 4s i n β
üþý
ï
ïïï0(15
)将式(12)代入式(10),可得θ2的表达式,
然后将θ2代入式(7),即得θ1的表达式㊂同理,联立式(8)㊁式(11)及式(15)可以得到θ3和θ4的表达式㊂
1.4 含间隙时各构件质心位置分析
求取含间隙时机构的运动角度之后,即可得
到含间隙时各构件的质心坐标㊂1.3节中已设定
动平台7的质心坐标为(x 7,y
7,z 0),另设驱动杆杆1的质心坐标为(0,y 0,z 1),其他各杆件的质心坐标如下㊂杆2质心坐标的X 分量为
x 2=x 7+d
(16
)杆3的质心坐标分量为
x 3=x 7+d
y
3=l 2s i n θ1+l 3s i n θ2/2z 3=z 0+l 2c o s θ1+l 3c o s θ2
/}
2(17
)杆5质心坐标的X ㊁Y 分量分别为㊃
1671㊃一种含间隙两转动一移动解耦并联机构混沌现象辨识
侯雨雷 汪 毅 李明洋等Copyright ©博看网. All Rights Reserved.
x 5=x A 3+l 4c o s θ3+l 5c o s θ4
/2y
5=l 4s i n θ3+l 5s i n θ4/}
2(18
)杆6质心坐标的X ㊁Y 分量分别为
x 6=x 7-d
y
6=y 7-d 1-l 6/}
2(19
)2 含间隙解耦并联机构动力学方程的
建立
含间隙P U ‐R C R R ‐C R R R 解耦并联机构共有7个活动构件,忽略虎克铰的质量,采用牛顿欧拉法进行动力学建模㊂对于杆4㊁杆5㊁杆6以及动平台,由于其在定坐标系O X Y 平面内运动,
故仅需考虑在该平面内的受力㊂不妨令F i j x ㊁F i j y ㊁F i j z 分别表示第i 个构件对第j 个构件在X ㊁Y ㊁Z 方向的力,a G i 表示第i 个构件的质心加速度,F x i ㊁F y i ㊁F z i 分别表示定平台对第i 个构件在X ㊁Y ㊁Z 方向的力,G 2㊁G 3分别表示构件2㊁3所受的重力,机构各构件受力分析如图4所示㊂
对杆1进行受力分析,可得m 1a G 1y =F
71y +F (20
)对杆2进行受力分析,可得
m 2a G 2x =F
32x J 2θ¨1=F 32z l 2s i n θ1-F 32y
l 2c o s θ1-m 2g l 2s i n θ1/}
2(21
)对杆3进行受力分析,可得
m 3a G 3x =F
73x -F 23x m 3a G 3y =F
73y -F 23y m 3a G 3z =F 73z -F 23z -m 3g I G 3θ¨2=l 3[(F 73z +F 23z )s i n θ2-(F 73y +F 23y )
c o s θ2]/üþýïïïï2(22)对杆4进行受力分析,可得
J 4θ¨
3=-F 54x l 4s i n θ3+F 54y
l 4c o s θ3(23
)对杆5进行受力分析,可得
m 5a G 5x =F
65x -F 45x m 5a G 5y =F 65y -F 45y I G 5θ¨4=l 5[(F 45y +F 65y )
c o s θ4-(F 45x +F 65x )s i n θ4]/üþý
ïï
ïï2(24)对杆6进行受力分析,可得
m 6a G 6x =F
76x -F 56x m 6a G 6y =F
76y -F 56}y (25
)对动平台7进行受力分析,可得
m 7a G 7x =-(F
17x +F 67x +F 37x )m 7a G 7y =-(F
17y +F 67y +F 37y }
)(26
)上述动力学方程共有15个未知量,
包括1个驱动力㊁动平台质心坐标的2个分量以及构件之间的12个内力,而式(20)~式(
26)共有15个独立方程,未知量数目与独立方程数目相等
㊂ (a
)杆1(b
)杆
2 (c )杆3(d
)杆
4 (e )杆5(f
)杆
6(g
)动平台图4 P U ‐R C R R ‐C
R R R 解耦并联机构各构件受力示意图
3 含间隙解耦并联机构的间隙模型与接
触力模型
3.1 含间隙解耦并联机构的间隙模型
图5所示为P U ‐R C R R ‐C
R R R 解耦并联机构虎克铰的间隙模型,设机构虎克铰轴颈和轴承
的间隙中心点分别为P 1和P 7,则连接P 1和P 7的间隙可表达为
e =O P 1-O P 7
(27)其单位向量为
n =e /e
(28
)式中,e 为间隙的幅值㊂
如图5所示,轴承和轴颈的穿透深度为
δ=e -c =e -(R 7-R 1)
(29
)其中,c 为间隙半径;R 7㊁R 1分别为间隙处轴承半
㊃
2671㊃中国机械工程第26卷第13期2015年7月上半月
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(a )没有接触(b
)接触中图5 P U ‐R C R R ‐C
R R R 解耦并联机构虎克铰间隙模型径和轴颈半径㊂
令接触点分别为Q 7㊁Q 1,则在坐标系O X Y Z
中,接触点位置矢量可表示为
O Q 7=O
P 7+R 7n O Q 1=O
P 1+R 1}
n (30
)对式(30
)两边求导,可得接触点的速度:v O Q 7=v O P 7+R 7n ㊃v O Q 1=v O P 1+R 1
n }
㊃
(31
)将接触点的相对速度投影到碰撞平面和碰撞的法向平面,可得相对的法向速度v n 和切向速度v t :
v n =(
v O Q 1-v O Q 7)㊃n v t =(v O Q 1-v O Q 7)
㊃}
t (32
)其中,切向量t 可以通过将法向量n 逆时针旋转
90°获得㊂
已知穿透深度和相对速度,则可通过接触力模型和摩擦力法则求得法向接触力F n 和切向接
触力F t ㊂将接触点的接触力从法向和切向方向投影到坐标系O X Y Z 的X 方向和Y 方向,
然后可分别代入式(20)㊁式(26)计算相关力参数㊂接触力产生于动平台7和杆1,则杆1对动平台7的作用力可表达为
F 7=F n n +F t t =(F 17x ,F 17y )
(33)进而可得动平台7对杆1的作用力为
F 1=-F 7=(F 71x ,F 71y )(34
)3.2 含间隙解耦并联机构的接触力模型
L a n k a r a n i ‐N i k r a v e s h 接触力模型广泛用于含间隙机构的动力学分析㊂该接触力模型既考虑了碰撞过程中的能量损失,又较全面地考虑了碰
撞体的材料属性㊁局部弹性变形以及碰撞速度等
信息[11
]㊂求取法向接触力的L a n k a r a n i ‐N i k r a -
v e s h 接触力模型可写成
F n =K δn
[1+3(1-c 2
e )4
δ㊃
δ㊃
](35)K =43(δi +δj )R i
R j R i +R j
(36
)δk =(1-ν2
k
)/E k k =i ,j 式中,n 为指数,对于金属表面,设定为1.5;c e 为恢复系
数;δ㊃0为初始碰撞速度;δ㊃
为相对渗透速度;K 为接触刚度系数;νk ㊁E k ㊁R k 分别为泊松比㊁弹性模量和半径;下标i ㊁j
分别表示轴颈和轴承㊂
需要说明的是,式(35
)有效的前提是碰撞速度小于碰撞过程中弹性波的传播速度,即碰撞速
度δ㊃
0≤10-5E /ρ[17
]㊂
为得到切向接触力,采用A m b r ós i o [1
8]
提出的修正的C o u l o m b 摩擦力法则,
法则表达式可写作
F t =0|v t |<v 0
-c f
|v t |-v 0v 1-v 0F n v t |v t |
v 0≤|v t |≤v 1-c f F
n v t
|v t |
|v t |>v ìîíï
ïïï
ï1
(37
)式中,c f 为摩擦因数;
v 0㊁v 1为给定的误差速度㊂4 含间隙解耦并联机构的动态响应分析
P U ‐R C R R ‐C R R R 解耦并联机构有关材料和动力学参数如下:销轴和轴套的弹性模量E =
200G P a ,泊松比ν=0.3,
销轴和轴套的半径分别为R 1=9.9mm ,R 2=10.0mm ,间隙c =0.5mm ,恢复系数c e =0.9,运动轨迹方程为y 0=
0.145+0.03c o s (ωt )mm ,ω=10πr a d /s ㊂借助MA T L A B 软件中的o d e 15s 函数进行
动力学仿真,取机构达到稳定后2个周期的仿真结果,分析间隙对机构动态特性的影响㊂无间隙时,机构动平台质心点无X 方向位
移㊂图6所示为含间隙时,机构动平台质心点在X 方向的位移变化曲线,可见,动平台质心点在X 方向来回波动,波动的幅度与间隙尺寸相当,碰撞是波动的来源㊂图7所示为动平台质心点在Y 方
向的位移变化曲线,可见,含间隙时与理想状态下动平台质心点沿Y 方向的位移一致,
基本未变㊂机构动平台质心点Y 方向速度变化曲线如图8所示,由图可见,含间隙时动平台质心点在Y 方向的速度有轻微波动,说明间隙对动平台质心点沿Y 方向的速度有一定影响㊂由图9可知,机构含间
隙时,动平台质心点沿Y 方向的加速度有剧烈的
波动,说明间隙对动平台质心点沿Y 方向的加速
度影响很大㊂图9中,含间隙机构加速度曲线在
t =10.17s 和t =10.32s 等处出现尖峰,
这是因接触力的作用使然,而机构虎克铰间隙处的接触力曲线(图10)及所施加驱动力曲线(图11)也在对应的时间点出现尖峰㊂
图12所示为机构虎克铰销轴中心运动轨迹,㊃
3671㊃一种含间隙两转动一移动解耦并联机构混沌现象辨识
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图6 机构动平台质心点X
方向位移变化曲线
图7 机构动平台质心点Y
方向位移变化曲线
图8 机构动平台质心点Y
方向速度变化曲线
图9 机构动平台质心点Y
方向加速度变化曲线
图10
机构虎克铰间隙处接触力变化曲线
图11 机构所施加驱动力随时间变化曲线
其中,虚线表示以轴承中心为圆心,以间隙为半径的圆,实线表示销轴中心的实际
运动轨迹㊂由图12可知,
销轴与轴套之间发生多次的碰撞分离,这将造成机构动态特性的波动㊂
图12 机构虎克铰销轴中心运动轨迹
综合图9~图12可以观察到,
机构的运动明显呈现非周期性,含间隙解耦并联机构动态响应呈现非线性特性㊂
5 含间隙解耦并联机构的混沌辨识
P o i n c a r e 映射[1
9]
可以方便地进行混沌辨识㊂P o i n c a r e 映射上的一个点及少数离散点㊁
闭合曲线㊁成片的具有分形结构的密集点分别表示系统
的周期运动㊁拟周期运动和混沌运动㊂图13所示
为含间隙P U ‐R C R R ‐C R R R 解耦并联机构的
P o i n c a r e 映射,可见,机构的P o i n c a r e 映射是杂乱无章的,各个点散乱的分布于图中,各自不相重复,说明机构没有周期解,同时具有一定的分维特
性,说明机构处于混沌状态㊂
L y a p
u n o v 指数可以用于评价动力系统对初值的敏感性,当其为正时,意味着系统具有混沌特
性[7
]㊂求取系统全部的L y a p u n o v 指数较为繁琐,且并不必要,大多数的应用只需要求解最大的
L y a p u n o v 指数即可,本文采用小数据量法估计最大L y a p u n o v 指数㊂图14为利用小数据量法计算最大L y a p u n o v 指数的流程图㊂本文选取含间隙P U ‐R C R R ‐C R R R 动平台质心点沿X 轴位移
分量的时间序列来进行混沌分析㊂
采用F F T 估计平均周期[2
0]
,用此种方法所得到的功率谱图的功率谱线的最大值所对应频率的倒数即为平均周期,其大小为3.5672,
取整后为4㊂利用C ‐C 法[2
1]可以同时求得时间延迟和嵌入维,绘制统计量S (t )㊁ΔS (t )及S c o r (t
)[21
]随时间的变化曲线,寻找S (t )的第一个零点或ΔS (t
)的第一个极小值点以求得时间延迟,由S c o r (t
)的最小值求得时间窗口,通过该方法得到时间延迟τ=
4,时间窗口t w =17,根据t w =(
m -1)τ,可得嵌入维m =6;然后将嵌入维㊁时间延迟以及平均周期
㊃
4671㊃中国机械工程第26卷第13期2015年7月上半月
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(a
)X
方向的相对位移和速度(b )Y
方向的相对位移和速度
(c
)相对位移在X 和Y
方向分量(d
)相对速度在X 和Y 方向分量图13 含间隙P U ‐R C R R ‐C R R R 并联机构P o i n c a r e
映射
图14 小数据量法计算最大L y a p
u n o v 指数流程图代入到小数据量算法中㊂计算最大L y a p
u n o v 指数的结果如图15所示㊂图15中,t 表示时间,d v
表示发散程度,选取t ‐d v 线性关系良好的区域,
利用最小二乘法对该区域进行直线拟合[8
],求出
拟合直线的斜率,即最大L y a p u n o v 指数,其大小为3.6847㊂显然,最大L y a p u n o v 指数大于0,进一步证实含间隙P U ‐R C R R ‐C R R R 解耦并联机
构存在混沌特性
㊂
图15 含间隙P U ‐R C R R ‐C R R R 并联机构的
最大L y a p
u n o v 指数估计由机构的P o i n c a r e 映射以及最大L y a p
u n o v 指数,可以证实P U ‐R C R R ‐C R R R 解耦并联机构的确处于混沌状态,这与机构的动力学响应所呈
现的非周期㊁非线性特性是相吻合的㊂
6 结论
(1)基于L a n k a r a n i ‐N i k r a v e s h 接触力模型以及修正的C o u l o m b 摩擦力模型建立了含间隙
P U ‐R C R R ‐C R R R 解耦并联机构的动力学模型,
并分析机构动态特性㊂研究结果表明,间隙对机构动平台质心点位移基本没有影响,对动平台质心点速度有微小的影响,对动平台质心点的加速度㊁碰撞力以及驱动力影响较大㊂机构的动态特性呈现非周期㊁非线性特性㊂
(2)作出了机构的P o i n c a r e 映射,借助小数据量法求得的机构最大L y a p
u n o v 指数为3.6847,该值为正,表明含间隙P U ‐R C R R ‐C R R R 解耦并联机构中确实存在混沌现象㊂
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(编辑 张 洋)
作者简介:侯雨雷,男,1980年生㊂燕山大学机械工程学院副教授㊂主要研究方向为并联机构及其混沌运动㊁多维力传感器技术㊁人形机器人关节仿生等㊂汪 毅,男,1989年生㊂燕山大学机械工程学院硕士研究生㊂李明洋,男,1987年生㊂燕山大学机械工程学院硕士研究生㊂曾达幸,男,1978年生㊂燕山大学机械工程学院副教授㊂李慧剑(通信作者),男,1960年生㊂燕山大学建筑工程与力学学院教授㊁博士研究生导师㊂
㊃6671㊃
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