2020-2021学年重庆南桐中学高三数学文上学期期末试卷含解析

2020-2021学年重庆南桐中学高三数学文上学期期末试
卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若复数z=（i是虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
参考答案：
B
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】i4=1，可得i2017=（i4）504?i═i．因此复数z==，再利用复数的运算法则即可得出．
【解答】解：∵i4=1，∴i2017=（i4）504?i═i．
∴复数z====+i，
则复数z在复平面内对应的点位于第二象限．
故选：B．
2. 执行如图的程序框图，则输出的n是（）
A．5 B．4 C．3 D．2
参考答案：
B
【考点】程序框图．
【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的a，A，n，S的值，可得当S=时满足条件S≥10，退出循环，输出n的值为4．
【解答】解：模拟程序的运行，可得：
a=1，A=1，S=0，n=1，
S=2；
不满足条件S≥10，执行循环体，a=，A=2，n=2，S=，
不满足条件S≥10，执行循环体，a=，A=4，n=3，S=，
不满足条件S≥10，执行循环体，a=，A=8，n=4，S=，
满足条件S≥10，退出循环，输出n的值为4．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是循环结构，当循环次数不多时，多采用模拟循环的方法，本题属于基础题．
3. 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（）
A．10 B．20 C．30 D．120
参考答案：
B
4.
在等比数列{a n}中，其公比q>1，且a1+a6=8, a1a6=12，则( )
A. 3
B.
C.
10 D. 或3
参考答案：
答案:A
5.
已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，那么f(2)等于( )．
A．－26 B．－18 C．－10 D．10
参考答案：
A
6. 已知定义在上的函数,对任意,都有成立,若函数
的图象关于直线对称,则（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
略
7. 给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）
A．①②B．②③C．③④D．①④
参考答案：
B
【考点】函数单调性的判断与证明．
【分析】本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数
型，在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质；①为增函数，
②为定义域上的减函数，③y=|x﹣1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，④y=2x+1为增函数．
【解答】解：①是幂函数，其在（0，+∞）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；
②中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+∞）内为减函数，故此项符合要求；
③中的函数图象是由函数y=x﹣1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；
④中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意．
故选B．
8. 已知命题P：；命题，则下列判断正确的是（）
A．p是假命题B．是假命题C．q是真命题D．是假命题
参考答案：
B
略
9. 若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈（﹣1，1]时，f（x）=1﹣
2x2，函数g（x）=lg|x﹣2|，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣6，12]内零点的个数为（）
A．18 B．19 C．20 D．17
参考答案：
A
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣6，12]内零点的个数等于函数y=f（x）与y=g（x）的图象在区间﹣6，12]内的交点个数，数形结合求得结果．
【解答】解：∵函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），∴函数y=f（x）是以2为周期的周期函数．
函数g（x）=lg|x﹣2|的图象关于直线x=2对称，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣6，12]内零点的个数，
等于函数y=f（x）与y=g（x）的图象在区间﹣6，12]内的交点个数．
在同一坐标系中作出函数y=f（x）与y=g（x）的图象在区间﹣6，12]内的图象，可得共有18个交点，
故选A．
10. 函数的值域为（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，为底面中心，为的中点，动点
在圆锥底面内（包括圆周），若，则点形成的轨迹的长度
为．
参考答案：
以所在直线为轴，以为轴建立空间直角坐标系，则，，
，，设，于是有，，因为
，所以，即，此为点形成的轨迹方程，其在底面
圆盘内的长度为．
12. 海水受日月的引力作用，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。

一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。

在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋。

下面是港口在某季节每天的时间与水深关系的表格：
时刻０：０
０
３：０
０
６：０
０
９：０
０
１２：０
０
１５：０
０
１８：０
０
２１：０
０
２４：０
０
水深５.０７.５５.０２.５５.０７.５５.０２.５５.０选用函数来模拟港口的水深与时间的关系。

如果一条货船的吃水深度是米，安全条例规定至少有米的安全间隙(船底与洋底的距离)，则该船一天之内在港口内呆的时间总和为____________小时
参考答案：
8小时
略
13. 二项式展开式中的前三项系数成等差数列，则的值
为。

参考答案：
８
14. 如图，设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
，且.若点D是△ABC外一点，，则当四边形ABCD面积最大值时，．
参考答案：
15. 已知函数在上单调递减，且，若，则的取值范围.
参考答案：
略
16. 曲线上任意一点到直线的距离的最小值
是．
参考答案：
略
17. 给出下列四个命题：
①函数为奇函数的充要条件是=0；
②函数的反函数是；
③若函数的值域是R，则或；
④若函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称．其中所有正确命题的序号是
参考答案：
①②③
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （13分）
已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是△OBC的三个顶点.
（Ⅰ）写出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标，并证明G，F，H三点共线；
（Ⅱ）当直线FH与OB平行时，求顶点C的轨迹.
参考答案：
解析：（Ⅰ）解：由△OBC三顶点坐标O（0，0），B（1，0），C（b，c）
（c≠0），可求得
重心，外心F，垂心.当时，
G，F，H三点的横坐标均为，故三点共线；当时，设G,H所在直线的斜
率为，F，G所在直线的斜率为.因为
，
，所以，G，F，H三点共线.
综上可得，G，F，H三点共线.
（Ⅱ）解：若FH//OB，由，得，配方得，即.
所以，顶点C的轨迹是中心在（，0），长半轴长为，短半轴长为，且短
轴在x轴上的椭圆，除去（0，0），（1，0），（，），（，－）四点.
19. 已知函数，.
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）若不等式对恒成立，求a的取值范围.
参考答案：
解：（Ⅰ），
，
∵的定义域为.
①即时，在上递减，在上递增，
，无极大值.
②即时，在和上递增，在上递减，
，.
③即时，在上递增，没有极值.
④即时，在和上递增，在上递减，∴，.
综上可知：时，，无极大值；
时，，；
时，没有极值；
时，，.
（Ⅱ）设，
，
设，则，，，∴在上递增，∴的值域为，
①当时，，为上的增函数，
∴，适合条件.
②当时，∵，∴不适合条件.
③当时，对于，，
令，，
存在，使得时，，
∴在上单调递减，
∴，
即在时，，∴不适合条件.
综上，的取值范围为.
20. 已知向量，，且，其中A、B、C是
ABC的内角，分别是角A，B，C的对边。

（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求的取值范围；
参考答案：
解：（I）由得
由余弦定理
又，则
（II）由（I）得，则
即最大值
略
21. 已知函数f（x）=|x2﹣2x+a﹣1|﹣a2﹣2a．
（1）当a=3时，求f（x）≥﹣10的解集；
（2）若f（x）≥0对x∈R恒成立，求a的取值范围．
参考答案：
【考点】5B：分段函数的应用；R5：绝对值不等式的解法．
【分析】（1）求出a=3时，f（x）的解析式，去掉绝对值，运用二次不等式的解法，即可得到所求解集；
（2）由题意可得|x2﹣2x+a﹣1|﹣a2﹣2a≥0对x∈R恒成立，即有|（x﹣1）2+a﹣2|﹣a2﹣2a≥0对x∈R恒成立．再讨论a﹣2≤0和a﹣2＞0，可得a的不等式，解不等式求交集，即可得到所求a的范围．
【解答】解：（1）当a=3时，f（x）=|x2﹣2x+2|﹣15，
由x2﹣2x+2＞0恒成立，则f（x）=x2﹣2x﹣13，
由f（x）≥﹣10，可得x2﹣2x﹣3≥0，
解得x≥3或x≤﹣1，
即f（x）≥﹣10的解集为{x|x≥3或x≤﹣1}；
（2）f（x）≥0对x∈R恒成立，
即为|x2﹣2x+a﹣1|﹣a2﹣2a≥0对x∈R恒成立，
即有|（x﹣1）2+a﹣2|﹣a2﹣2a≥0对x∈R恒成立．
当a﹣2≤0即a≤2时，只需a2+2a≤0，即﹣2≤a≤0；
当a﹣2＞0，即a＞2时，只需a2+2a≤a﹣2，即a2+a+2≤0，
由判别式△=1﹣4×2＜0，可得不等式无实数解．
综上可得，a的取值范围是．
22. （本小题满分12分）
已知函数图象的一部分如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）设，, ,求的值.
参考答案：
（1）；（2）
【知识点】两角和与差的正弦函数；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式C4 C5解析：（1）由图象可知，………………………………………1分
.
……………………3分
. ………………4分
（2）∵∴，………………6分
又∵∴，……………8分
∵，
. …………………………10分
∴
……12分
【思路点拨】（1）由图象可得A，T，由周期公式可求ω，从而可求函数f（x）的解析
式；（2）由，可求cosα，又由，可求sinβ，结合角的范围可求sinα，cosβ，由两角差的正弦函数公式即可得解．。