侯马市实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

侯马市实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．8+2
B ．8+8
C ．12+4
D ．16+4
3． 已知全集I={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，那么∁I （A ∩B ）等于（ ） A ．{3，4} B ．{1，2，5，6} C ．{1，2，3，4，5，6} D ．∅
4． 设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．3πa 2 B ．6πa 2 C ．12πa 2D ．24πa 2
5． 函数f （x ）=Asin （ωx+θ）（A ＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f （
）的值为（ ）
A ．
B ．0
C ．
D ．
6． 方程1x -=表示的曲线是（ ）
A ．一个圆
B ． 两个半圆
C ．两个圆
D ．半圆 7． 自圆C ：2
2
(3)(4)4x y -++=外一点(,)P x y 引该圆的一条切线，切点为Q ，切线的长度等于点P 到原点O 的长，则点P 轨迹方程为（ ）
A ．86210x y --=
B ．86210x y +-=
C ．68210x y +-=
D ．68210x y --=
【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力．
8． 设f （x ）在定义域内可导，y=f （x ）的图象如图所示，则导函数y=f ′（x ）的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9． 已知圆O 的半径为1,,PA PB 为该圆的两条切线,,A B 为两切点,那么PA PB ∙
的最小值为
A 、4-
B 、3-
C 、4-+
D 、3-+
10．已知f （x ）为偶函数，且f （x+2）=﹣f （x ），当﹣2≤x ≤0时，f （x ）=2x ；若n ∈N *，a n =f （n ），则a 2017等于（ ）
A ．2017
B ．﹣8
C ．
D ．
11．下列说法中正确的是（ ） A ．三点确定一个平面 B ．两条直线确定一个平面
C ．两两相交的三条直线一定在同一平面内
D ．过同一点的三条直线不一定在同一平面内
12．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为底面ABCD 上的动点．若三棱锥B ﹣D 1EC 的表面积最大，则E 点位于（ ）
A ．点A 处
B ．线段AD 的中点处
C ．线段AB 的中点处
D ．点D 处
二、填空题
13．抽样调查表明，某校高三学生成绩（总分750分）X 近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P （400＜X ＜450）=0.3，则P （550＜X ＜600）= ．
14．已知直线：043=++m y x （0>m ）被圆C ：062222=--++y x y x 所截的弦长是圆心C 到直线的
距离的2倍，则=m .
15．若函数()f x 的定义域为[]1,2-，则函数(32)f x -的定义域是 ．
16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是 ．
17．已知向量(1,),(1,1),a x b x ==- 若(2)a b a -⊥ ，则|2|a b -=
（ ）
A ．2
B ．3
C ．2
D 【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．
18．台风“海马”以25km/h 的速度向正北方向移动，观测站位于海上的A 点，早上9点观测，台风中心位于其东南方向的B 点；早上10点观测，台风中心位于其南偏东75°方向上的C 点，这时观测站与台风中心的距离AC 等于 km ．
三、解答题
19．（本小题满分12分）
设0
3πα⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭，αα=
（1）求cos 6πα⎛
⎫+ ⎪⎝⎭的值；
（2）求cos 212πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值．
20．已知集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|2m＜x＜1﹣m}．
（1）若A⊆B，求实数m的取值范围；
（2）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．
21．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D、E分别是AC、AB上的点，且DE∥BC，将△ADE 沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图
2．
（Ⅰ）求证：平面A1BC⊥平面A1DC；
（Ⅱ）若CD=2，求BD与平面A1BC所成角的正弦值；
（Ⅲ）当D点在何处时，A1B的长度最小，并求出最小值．
22．设定义在（0，+∞）上的函数f （x ）=，g （x ）=
，其中n ∈N *
（Ⅰ）求函数f （x ）的最大值及函数g （x ）的单调区间；
（Ⅱ）若存在直线l ：y=c （c ∈R ），使得曲线y=f （x ）与曲线y=g （x ）分别位于直线l 的两侧，求n 的最大值．（参考数据：ln4≈1.386，ln5≈1.609） 23．
设函数()x
f x e =，()ln
g x x =．
（Ⅰ）证明：()2e g x x
≥-
； （Ⅱ）若对所有的0x ≥，都有()()f x f x ax --≥，求实数a 的取值范围．
24．已知函数f （x ）=alnx+x 2+bx+1在点（1，f （1））处的切线方程为4x ﹣y ﹣12=0． （1）求函数f （x ）的解析式； （2）求f （x ）的单调区间和极值．
侯马市实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：如图所示，△BCD是圆内接等边三角形，
过直径BE上任一点作垂直于直径的弦，设大圆的半径为2，则等边三角形BCD的内切圆的半径为1，显然当弦为CD时就是△BCD的边长，
要使弦长大于CD的长，就必须使圆心O到弦的距离小于|OF|，
记事件A={弦长超过圆内接等边三角形的边长}={弦中点在内切圆内}，
由几何概型概率公式得P（A）=，
即弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是．
故选C．
【点评】本题考查了几何概型的运用；关键是找到事件A对应的集合，利用几何概型公式解答．2．【答案】D
【解析】解：根据三视图得出该几何体是一个斜四棱柱，AA
=2，AB=2，高为，
1
根据三视图得出侧棱长度为=2，
∴该几何体的表面积为2×（2×+2×2+2×2）=16，
故选：D
【点评】本题考查了空间几何体的三视图，运用求解表面积，关键是恢复几何体的直观图，属于中档题．
3． 【答案】B 【解析】解：∵A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，
∴A ∩B={3，4}，
∵全集I={1，2，3，4，5，6}， ∴∁I （A ∩B ）={1，2，5，6}，
故选B ． 【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价
转化．
4． 【答案】B
【解析】解：根据题意球的半径R 满足
（2R ）2=6a 2
， 所以S 球=4πR 2=6πa 2
．
故选B
5． 【答案】C
【解析】解：由图象可得A=，
=
﹣（﹣
），解得T=π，ω=
=2．
再由五点法作图可得2×（﹣）+θ=﹣π，解得：θ=﹣
，
故f （x ）=sin （2x ﹣），
故f （
）=
sin （
﹣
）=
sin
=
，
故选：C ．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin （ωx+θ）的部分图象求函数的解析式，属于中档题．
6． 【答案】A 【解析】
试题分析：由方程1x -=2
2
1x -=，即22
(1)(1)1x y -++=，所
以方程表示的轨迹为一个圆，故选A. 考点：曲线的方程. 7． 【答案】D
【解析】由切线性质知PQ CQ ⊥，所以222
PQ PC QC =-，则由PQ PO =，得，
2222(3)(4)4x y x y -++-=+，化简得68210x y --=，即点P 的轨迹方程，故选D ，
8． 【答案】D
【解析】解：根据函数与导数的关系：可知，当f ′（x ）≥0时，函数f （x ）单调递增；当f ′（x ）＜0时，函数
f （x ）单调递减
结合函数y=f （x ）的图象可知，当x ＜0时，函数f （x ）单调递减，则f ′（x ）＜0，排除选项A ，C
当x ＞0时，函数f （x ）先单调递增，则f ′（x ）≥0，排除选项B 故选D
【点评】本题主要考查了利用函数与函数的导数的关系判断函数的图象，属于基础试题
9． 【答案】D.
【解析】设PO t =，向量PA 与PB 的夹角为θ，PA PB ==，
1sin 2t θ=， 2
22cos 12sin 12t θ
θ=-=-，∴222
cos (1)(1)(1)PA PB PA PB t t t
θ==--> ，
2
223(1)PA PB t t t
∴=+-> ，依不等式PA PB ∴
的最小值为3.
10．【答案】D
【解析】解：∵f （x+2）=﹣f （x ）， ∴f （x+4）=﹣f （x+2）=f （x ）， 即f （x+4）=f （x ）， 即函数的周期是4．
∴a 2017=f （2017）=f （504×4+1）=f （1）， ∵f （x ）为偶函数，当﹣2≤x ≤0时，f （x ）=2x ， ∴f （1）=f （﹣1）=， ∴a 2017=f （1）=， 故选：D ．
【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和周期性之间的关系是解决本题的关键．
11．【答案】D
【解析】解：对A，当三点共线时，平面不确定，故A错误；
对B，当两条直线是异面直线时，不能确定一个平面；故B错误；
对C，∵两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，∴当三条直线两两相交且共点时，不一定在同一个平面，如墙角的三条棱；故C错误；
对D，由C可知D正确．
故选：D．
12．【答案】A
【解析】解：如图，
E为底面ABCD上的动点，连接BE，CE，D1E，
对三棱锥B﹣D1EC，无论E在底面ABCD上的何位置，
面BCD1的面积为定值，
要使三棱锥B﹣D1EC的表面积最大，则侧面BCE、CAD1、BAD1的面积和最大，
而当E与A重合时，三侧面的面积均最大，
∴E点位于点A处时，三棱锥B﹣D1EC的表面积最大．
故选：A．
【点评】本题考查了空间几何体的表面积，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．
二、填空题
13．【答案】0.3．
【解析】离散型随机变量的期望与方差．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】确定正态分布曲线的对称轴为x=500，根据对称性，可得P （550＜ξ＜600）． 【解答】解：∵某校高三学生成绩（总分750分）ξ近似服从正态分布，平均成绩为500分，
∴正态分布曲线的对称轴为x=500， ∵P （400＜ξ＜450）=0.3， ∴根据对称性，可得P （550＜ξ＜600）=0.3．
故答案为：0.3．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，正确运用正态分布曲线的对称性是关键．
14．【答案】9 【解析】
考点：直线与圆的位置关系
【方法点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题型，涉及一些最值问题，当点在圆的外部时，圆上的点到定点距离的最小值是圆心到直线的距离减半径，当点在圆外，可做两条直线与圆相切，当点在圆上，可做一条直线与圆相切，当点在圆内，过定点做圆的弦时，过圆心即直径最长，当定点是弦的中点时，弦最短，并且弦长公式是222d R l -=，R 是圆的半径，d 是圆心到直线的距离. 15．【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】
试题分析：依题意得11322,,22x x ⎡⎤-≤-≤∈⎢⎥⎣⎦
.
考点：抽象函数定义域． 16．【答案】 ①④ ．
【解析】解：由所给的正方体知， △PAC 在该正方体上下面上的射影是①， △PAC 在该正方体左右面上的射影是④， △PAC 在该正方体前后面上的射影是④ 故答案为：①④
17．【答案】A 【
解
析
】
18．【答案】 25
【解析】解：由题意，∠ABC=135°，∠A=75°﹣45°=30°，BC=25km ， 由正弦定理可得AC==25
km ，
故答案为：25
．
【点评】本题考查三角形的实际应用，转化思想的应用，利用正弦定理解答本题是关键．
三、解答题
19．【答案】（1；（2．
【解析】
试题分析：（1αα=⇒
sin 6πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭03πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，⇒662πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，
⇒cos 6πα⎛⎫+=
⎪⎝
⎭；（2）由（1）可得21cos 22cos 1364ππαα⎛
⎫
⎛
⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⇒sin 23πα⎛⎫
+=
⎪⎝⎭
⇒cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 12343434πππππππαααα⎡⎤⎛
⎫
⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+
=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
=
试题解析：（1αα∴
sin 6πα⎛
⎫+= ⎪⎝⎭………………………………3分
∵03πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴662πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，∴cos 6πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭………………………………6分
（2）由（1）可得2
21cos 22cos 121364ππαα⎛⎫⎛
⎫+=+-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
．………………………………8分
∵03πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴233ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，∴sin 23πα⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
．……………………………………10分
∴cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 12343434πππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
=
………………………………………………………………………………12分 考点：三角恒等变换． 20．【答案】
【解析】解：（1）由A⊆B知：，
得m≤﹣2，即实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2]；
（2）由A∩B=∅，得：
①若2m≥1﹣m即m≥时，B=∅，符合题意；
②若2m＜1﹣m即m＜时，需或，
得0≤m＜或∅，即0≤m＜，
综上知m≥0．
即实数m的取值范围为[0，+∞）．
【点评】本题主要考查集合的包含关系判断及应用，交集及其运算．解答（2）题时要分类讨论，以防错解或漏解．
21．【答案】
【解析】
【分析】（Ⅰ）在图1中，△ABC中，由已知可得：AC⊥DE．在图2中，DE⊥A1D，DE⊥DC，即可证明DE⊥平面A1DC，再利用面面垂直的判定定理即可证明．
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，设平面A1BC的法向量为，利用，BE与平面所成角的正弦值为．
（Ⅲ）设CD=x（0＜x＜6），则A1D=6﹣x，利用=
（0＜x＜6），即可得出．
【解答】（Ⅰ）证明：在图1中，△ABC中，DE∥BC，AC⊥BC，则AC⊥DE，
∴在图2中，DE⊥A1D，DE⊥DC，
又∵A1D∩DC=D，∴DE⊥平面A1DC，
∵DE∥BC，∴BC⊥平面A1DC，
∵BC⊂平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面A1DC．
（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系：A1（0，0，4）B（3，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），
E（2，0，0）．
则，，
设平面A1BC的法向量为
则，解得，即
则BE与平面所成角的正弦值为
（Ⅲ）解：设CD=x（0＜x＜6），则A1D=6﹣x，在（2）的坐标系下有：A1（0，0，6﹣x），B（3，x，0），∴==（0＜x＜6），
即当x=3时，A1B长度达到最小值，最小值为．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上不是单调函数．证明如下，
，
令f′（x）=0，解得．
x f x f x
x
f′（x）+ 0 ﹣
f（x）↗↘
所以函数f（x）在区间上为单调递增，区间上为单调递减．
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上的最大值为f（）==．
g ′（x ）=，令g ′（x ）=0，解得x=n ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g （x ）的最小值为g （n ）=
，
∵存在直线l ：y=c （c ∈R ），使得曲线y=f （x ）与曲线y=g （x ）分别位于直线l 的两侧，
∴≥
，
即e
n+1
≥n n ﹣1，即n+1≥（n ﹣1）lnn ，
当n=1时，成立，
当n ≥2时，≥lnn ，即
≥0，
设h （n ）=
，n ≥2，
则h （n ）是减函数，∴继续验证， 当n=2时，3﹣ln2＞0， 当n=3时，2﹣ln3＞0，
当n=4时，
，
当n=5时，﹣ln5＜﹣1.6＜0， 则n 的最大值是4．
【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了函数的最值的求法，属于难题．
23．【答案】
【解析】（Ⅰ）令e e ()()2ln 2F x g x x x x =-+
=-+，22
1e e ()x F x x x x
-'∴=-=
由()0e F x x '>⇒> ∴()F x 在(0,e]递减，在[e,)+∞递增，
∴ min e ()(e)ln e 20e F x F ==-+= ∴()0F x ≥ 即e
()2g x x
≥-成立． …… 5分
（Ⅱ） 记()()()x x
h x f x f x ax e e ax -=---=--， ∴ ()0h x ≥在[0,)+∞恒成立，
()e x x
h x e a -'=+-， ∵ ()()e 00x x h x e x -''=-≥≥ ，
∴ ()h x '在[0,)+∞递增， 又(0)2h a '=-， …… 7分 ∴ ① 当 2a ≤时，()0h x '≥成立， 即()h x 在[0,)+∞递增， 则()(0)0h x h ≥=，即 ()()f x f x ax --≥成立； …… 9分 ② 当2a >时，∵()h x '在[0,)+∞递增，且min ()20h x a '=-<， ∴ 必存在(0,)t ∈+∞使得()0h t '=．则(0,)x t ∈时，()0h t '<，
即 (0,)x t ∈时，()(0)0h t h <=与()0h x ≥在[0,)+∞恒成立矛盾，故2a >舍去． 综上，实数a 的取值范围是2a ≤． …… 12分 24．【答案】
【解析】解：（1）求导f ′（x ）=+2x+b ，由题意得： f ′（1）=4，f （1）=﹣8，
则
，解得
，
所以f （x ）=12lnx+x 2
﹣10x+1；
（2）f （x ）定义域为（0，+∞），
f ′（x ）=
，
令f ′（x ）＞0，解得：x ＜2或x ＞3，
所以f （x ）在（0，2）递增，在（2，3）递减，在（3，+∞）递增， 故f （x ）极大值=f （2）=12ln2﹣15， f （x ）极小值=f （3）=12ln3﹣20．。