安徽省皖中地区2019届高三入学摸底考试理科数学试题(解析版)

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2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(三)(解析版)

5 6
A．1 个
（2）190 是数列 an 中的项
（4）当 n 7 时， an 21 取最小值 n
B．2 个
C．3 个
D．4 个
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
2x y 0
13．[2019·深圳期末]已知不等式组

x

2
y

0
所表示的平面区域为
该多面体的表面积为（）
A． 28 4 5
B． 28 8 2
C．16 4 2 8 5
D．16 8 2 4 5
10．[2019·汕尾质检]已知 A ，B ，C ，D 是球 O 的球面上四个不同的点，若 AB AC DB DC BC 2 ，
且平面 DBC 平面 ABC ，则球 O 的表面积为（）
图1
图2
（1）证明： AF 平面 MEF ；
（2）求二面角 M AE F 的大小．
20．（12 分）[2019·临沂质检]已知抛物线 C : y2 2 px p 0 的焦点为 F ， P 为抛物线上一点，
O 为坐标原点， △OFP 的外接圆与抛物线的准线相切，且外接圆的周长为 3π ．（1）求抛物线 C 的方程；（2）设直线 l 交 C 于 A ， B 两点， M 是 AB 的中点，若 AB 12 ，求点 M 到 y 轴的距离的最小值，并求此时 l 的方程．
B． 2 3
C． 9 4
D． 4 9
12．[2019·江西九校联考]设 x 为不超过 x 的最大整数， an 为 xx x 0,n 可能取到所有值的
个数，
Sn
是数列

2019年2月安徽省皖江名校联盟2019届高三开年摸底大联考数学(理)试题及答案解析

绝密★启用前安徽省皖江名校联盟2019届高三开年摸底大联考理科数学试题2019年2月全卷满分150分,考试时间120分钟第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合A={x∈R|x2-3x≥0},B={-2,2},则（R A）∩B=A.B. {-2}C. {2}D. {-2,2}2. 已知复数z满足（z+4i）·（1-i）=3+2i（i为虚数单位）,则z的共轭复数所对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 设向量a=（m,0）,b=（1,1）,且|b|2=|a|2-|a-b|2,则m=A. -1B. 0C. 1D. 24. 安徽黄山景区,每半小时会有一趟缆车从山上发车到山下,某人下午在山上,准备乘坐缆车下山,则他等待时间不多于5分钟的概率为A.B.C.D.5. 已知公比为q的等比数列{a n}中,前4项的和为a1+14,且a2,a3+1,a4成等差数列,则公比q=A. 1B.C. 1或-1D. 2或6. 2018年9～12月某市邮政快递业务量完成件数较2017年9～12月同比增长25%,下图为该市2017年9～12月邮政快递业务量柱形图及2018年9～12月邮政快递业务量结构扇形图,根据统计图,给出下列结论：①2018年9～12月,该市邮政快递业务量完成件数约1500万件；②2018年9～12月,该市邮政快递同城业务量完成件数与2017年9～12月相比有所减少；③2018年9～12月,该市邮政快递国际及港澳台业务量同比增长超过75%,其中正确结论的个数为A. 3B. 2C. 1D. 07. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,书中有一问题：“今有方物一束,外周一匝有三十二枚,问积几何？”该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位,左位减八,余加右位,至尽虚减一,即得。

2019年安徽省皖中名校联盟高考数学模拟试卷(理科)(一)(4月份)(解析版)

2019年安徽省皖中名校联盟高考数学模拟试卷（理科）（一）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合M={y|y=1-sin x，x∈R}，N={x|y=ln（2-x）}，则M∪N=（）A. RB.C.D.2.已知i是虚数单位，是z的共轭复数，若复数，则=（）A. 0B. 1C.D. 23.已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和，若a2，a4是方程x2-6x+5=0的两个根，则a6的值为（）A. 25B. 20C. 15D. 104.设曲线C是双曲线，则“C的方程为”是“C的渐近线方程为y=±2x”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.函数的部分图象大致为（）A.B.C.D.6.已知点A是单位圆O上一点，若点B满足，则=（）A. 2B. 1C. 0D.7.如图，网格纸中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A.B.C.D.8.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，＜），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后，得到的图象关于y轴对称，那么函数y=f（x）的图象（）A. 关于点对称B. 关于点对称C. 关于直线对称D. 关于直线对称9.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A. 710B. 650C. 182D. 15410.郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（）A. 168种B. 156种C. 172种D. 180种11.设函数f（x）是定义在（-∞，0）上的可导函数，其导函数为f'（x），且有2f（x）+xf'（x）＞x2，则不等式（x+2019）2f（x+2019）-4f（-2）＞0的解集为（）A. B. C. D.12.已知点P（-2，0），设不垂直于x轴的直线l与抛物线y2=4x交于不同的两点A、B，若x轴是∠APB的角平分线，则直线l一定过点（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.为了解高中生寒假每天自主学习时间，某校采用系统抽样的方法，从高三年级900名学生中抽取50名进行相关调查．先将这900名高中生从1到900进行编号，求得间隔数，即每18名高中生中抽取1名，若在编号为1～18的高中生中随机抽取1名，抽到的高中生的编号为6，则在编号为37～54的高中生中抽到的高中生的编号应该是______．14.设x，y满足，且z=2x-y-1的最大值为3，则a的值是______．15.三棱锥P-ABC的底面ABC是等腰三角形，∠C=120°，侧面PAB是等边三角形且与底面ABC垂直，AC=2，则该三棱锥的外接球的表面积为______．16.正项数列{a n}的前n项和为S n，且∈，设，则数列{c n}的前2019项的和为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且函数+cos x+cos A的最大值为．（1）求sin A的值；（2）若△ABC的面积为，b+c=3，求a．18.如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角A-CD-F为60°，DE∥CF，CD⊥DE，AD=2，DE=DC=3，CF=6．（1）求证：BF∥平面ADE；（2）G为线段CF上的点，当时，求二面角B-EG-D的余弦值．19.在平面直角坐标系xOy中，椭圆：＞＞的左、右焦点分别为F1、F2，且离心率为，过坐标原点O的任一直线交椭圆C于M、N两点，且|MF2|+|NF2|=4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P（t，0）为椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为的直线l交椭圆C于A、B两点，试判断|PA|2+|PB|2是否为定值，若为定值，则求出该定值；若不为定值，请说明理由．20.某工厂生产的某产品按照每箱8件包装，每箱产品在流入市场之前都要检验．若整箱产品检验不通过，除去检验费用外，每箱还要损失100元．检验方案如下：第一步，一次性随机抽取2件，若都合格则整箱产品检验通过；若都不合格则整箱产品检验不通过，检验结束，剩下的产品不再检验．若抽取的2件产品有且仅有1件合格，则进行第二步工作．第二步，从剩下的6件产品中再随机抽取1件，若不合格，则整箱产品检验不通过，检验结束，剩下的产品不再检验．若合格，则进行第三步工作．第三步，从剩下的5件产品中随机抽取1件，若不合格，则整箱产品检验不通过，若合格，则整箱产品检验通过，检验结束，剩下的产品都不再检验．假设某箱该产品中有6件合格品，2件次品．（1）求该箱产品被检验通过的概率；（2）若每件产品的检验费用为10元，设该箱产品的检验费用和检验不通过的损失费用之和为X，求X 的分布列和数学期望E（X）．21.已知函数f（x）=，（x＞0，a∈R，e为自然对数的底数）．（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）当f（x）有两个极值点时，①求实数a的取值范围；②若f（x）的极大值大于整数n，求n的最大值．22.在直角坐标系xOy中，直线l的方程为，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+4=0．（1）写出曲线C的直角坐标方程；（2）已知点A（0，），直线l与曲线C相交于点M、N，求的值；23.已知函数f（x）=|x+a|+|x-1|．（1）若a=1，解不等式f（x）＜6；（2）对任意满足m+n=1的正实数m，n，若总存在实数x0，使得成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合M={y|y=1-sinx，x∈R}=[0，2]，N={x|y=ln（2-x）}=（-∞，2]，则M∪N=（-∞，2]，故选：D．求出M，N，由此利用并集的定义能求出M∪N．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集性质的合理运用．2.【答案】C【解析】解：复数==i2019=i2016•i3=-i，所以-1=i-1=-1+i，所以==．故选：C．化简复数z，根据共轭复数与模长公式计算即可．本题考查了复数的化简与运算问题，是基础题．3.【答案】A【解析】解：由题意，数列{a n}是递增等比数列，a2，a4是方程x2-6x+5=0的两个根，所以a2=1，a4=5，所以q2==5，所以a6=a4×q2=5×5=25．故选：A．数列{a n}是递增等比数列，a2，a4是方程x2-6x+5=0的两个根，解得a2=1，a4=5，所以q2=5，所以=5×5=25．本题考查了等比数列的通项公式，考查计算能力．属于基础题．4.【答案】A【解析】解：由C的方程为得C的渐近线方程为y=±2x，由C的渐近线方程为y=±2x得C的方程为，即“C的方程为”是“C的渐近线方程为y=±2x”的充分不必要条件，故选：A．由双曲线及其渐近线的求法及充分必要条件得：由C的方程为得C的渐近线方程为y=±2x，由C的渐近线方程为y=±2x得C的方程为，即“C的方程为”是“C的渐近线方程为y=±2x”的充分不必要条件，得解．本题考查了双曲线及其渐近线的求法及充分必要条件，属中档题．5.【答案】B【解析】解：根据题意，对于f（x）=sinx•，有f（-x）=sin（-x）•=sinx•=f（x），即函数f（x）为偶函数，据此可以排除A、C，又由在（0，π）上，sinx＞0，＞0，有f（x）＞0，则函数f（x）＞0，据此排除D；故选：B．根据题意，分析函数f（x）的奇偶性以及在（0，π）上f（x）的符号，据此分析选项即可得答案．本题考查函数图象的判断以及分析，一般用排除法分析，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：因为点A是单位圆O上一点，所以||=1，又，所以2+）=2，所以=0，故选：C．由平面向量数量积的运算及其运算得：因为点A是单位圆O上一点，所以||=1，又，所以2+）=2，所以=0，得解．本题考查了平面向量数量积的运算及其运算，属中档题．7.【答案】C【解析】解根据几何体得三视图，转换为几何体为：该几何体是有一个边长为4的正方体，切去一个半径为2的半圆柱，故几何体的表面积为：S=5×4×4+2×π×4=80+8π-4π=80+4π故选：C．首先把几何体的三视图转换为几何体，进一步利用几何体的表面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的表面积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．8.【答案】B【解析】解：由函数y=f（x）图象相邻两条对称轴之间的距离为，可知其周期为T=π，所以ω==4，所以f（x）=sin（4x+φ）；将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后，得到函数y=sin[4（x+）+φ]图象．因为得到的图象关于y轴对称，所以4×+φ=kπ+，k∈Z，即φ=kπ-，k∈Z；又|φ|＜，所以φ=-，所以f（x）=sin（4x-），令4x-=kπ，k∈Z，解得x=+，k∈Z；k=0时，得f（x）的图象关于点（，0）对称，B正确．故选：B．由函数y=f（x）的图象与性质求出T、ω和φ，写出函数y=f（x）的解析式，再求f（x）的对称中心，即可得解．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：第一次，n=2，A=0+3+2+1=6，n≤4是，第二次，n=3，A=6+（7+6+…+2+1）=6+28=34，n≤4是，第三次，n=4，A=34+（15+14+13+…+2+1）=34+120=154，n≤4是，第四次，n=5，A=154+（31+30+…+2+1）=154+496=650，n≤4否，输出A=650，故选：B．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．比较基础．10.【答案】B【解析】解：根据题意，设剩下的2个展区为丙展区和丁展区，用间接法分析：先计算小李和小王不受限制的排法数目：先在6位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有C61=6种情况，再在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有C51=5种情况，最后将剩下的4个志愿者平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个展区，有×A22=6种情况，则小李和小王不受限制的排法有6×5×6=180种，若小李和小王在一起，则两人去丙展区或丁展区，有2种情况，在剩下的4位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有C41=4种情况，再在剩下的3个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有C31=3种情况，最后2个安排到剩下的展区，有1种情况，则小李和小王在一起的排法有2×4×3=24种，则小李和小王不在一起排法有180-24=156种；故选：B．根据题意，用间接法分析，先分4步进行分析不受限制的排法数目，再排除计算其中小李和小王在一起的排法数目，计算即可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，注意用间接法分析，避免分类讨论．11.【答案】B【解析】解：构造函数g（x）=x2f（x），g（-2）=4f（-2）．x∈（-∞，0）．∵2f（x）+xf'（x）＞x2，∴g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）=x（2f（x）+xf'（x））＜x3＜0，∴函数g（x）在x∈（-∞，0）单调递减．不等式（x+2019）2f（x+2019）-4f（-2）＞0，⇔g（x+2019）＞g（-2）．∴x+2019＜-2，∴x＜-2021．∴不等式（x+2019）2f（x+2019）-4f（-2）＞0的解集为（-∞，-2021）．故选：B．构造函数g（x）=x2f（x），g（-2）=4f（-2）．x∈（-∞，0）.2f（x）+xf'（x）＞x2，可得g（x）在x∈（-∞，0）单调性．不等式（x+2019）2f（x+2019）-4f（-2）＞0⇔g（x+2019）＞g（-2）．利用单调性即可解出．本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、构造法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．12.【答案】C【解析】解：根据题意，直线的斜率不等于零，并且直线过的定点应该在x轴上，设直线的方程为x=ty+m，与抛物线方程y2=4x联立，消元得y2-4ty-4m=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），因为x轴是∠APB的角平分线，所以AP、BP的斜率互为相反数，所以+=0，结合根与系数之间的关系，整理得出2ty1y2+（m+2）（y1+y2）=0，即2t（-4m）+4tm+8t=0，t（m-2）=0，解得m=2，所以过定点（2，0），故选：C．设直线的方程为x=ty+m，与抛物线方程联立，消元得y2-2ty-2m=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），因为x轴是∠APB的角平分线，所以AP、BP的斜率互为相反数，求出2t（-2m）+2tm+2t=0，2t （m-1）=0，然后求解直线过定点．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，直线系方程的应用，考查计算能力．13.【答案】42【解析】解：根据题意，采用系统抽样，且分段间隔为18，首组所取的号码为6，故后面的组抽取的号码为18n+6．（≤1≤49，n∈N），令37≤18n+6≤54，得n=3，故所取号码为2×18+6=42．故填：42．由题意采用系统抽样，且第一组得到的号码为6，则后面的组得到的号码为18n+6，令18n+6∈[37，54]，解出n，代入即可得到所取号码．本题考查了系统抽样的步骤，系统抽样为等间距抽样，且第n组所取号码为抽样间隔的k倍加上第一组抽到的号码．本题为基础题．14.【答案】0【解析】解：x，y满足，画出可行域如图：联立，可得最优解为B（2-a，a），目标函数z=2x-y-1的最大值为3，可得：2（2-a）-a-1=3，解得a=0，故答案为：0．先根据约束条件画出可行域，求出最优解，再利用目标函数z=2x-y-1的最值，然后求解a即可．本题主要考查了简单的线性规划，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解，是常用的一种方法．15.【答案】20π【解析】解：如图，在等腰三角形ABC中，由∠C=120°，得∠ABC=30°，又AC=2，设G为三角形ABC外接圆的圆心，则，∴CG=2．再设CG交AB于D，可得CD=1，AB=，则DG=1．在等边三角形PAB中，设其外心为H，则BH=PH=．过G作平面ABC的垂线，过H作平面PAB的垂线，两垂线相交于O，则O为该三棱锥的外接球的球心，则半径R=OB=．∴该三棱锥的外接球的表面积为．故答案为：20π．由题意画出图形，设出三角形ABC外接圆的圆心G，由已知结合正弦定理求得CG，再设出三角形PAB的外接圆的圆心，作相交线得到三棱锥的外接球的球心，解三角形求得三棱锥的外接球的半径，则答案可求．本题考查多面体外接球的表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．16.【答案】【解析】解：正项数列{a n}的前n项和为S n ，且，①当n=1时，解得：a1=1．当n≥2时，②，①-②得：a n-a n-1=1（常数）．故：数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列．所以：a n=n，则：，所以：==，故，=-1-，=故答案为：首先求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．17.【答案】解：（1）因为，所以，得，所以．（2）因为△ ，所以bc=3，所以，故a=1．【解析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，进一步求出函数的最值．（2）利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18.【答案】（1）证明：因为ABCD是矩形，所以BC∥AD，又因为BC⊄平面ADE，所以BC∥平面ADE，因为DE∥CF，CF⊄平面ADE，所以CF∥平面ADE，又因为BC∩CF=C，所以平面BCF∥平面ADF，而BF⊂平面BCF，所以BF∥平面ADE…（5分）（2）解：因为CD⊥AD，CD⊥DE，所以∠ADE=60°，因为CD⊥平面ADE，故平面CDEF⊥平面ADE，作AO⊥DE于点O，则AO⊥平面CDEF，以O为原点，平行于DC的直线为x轴，DE所在直线为y轴，OA所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，由AD=2，DE=3，∠ADE=60°，得DO=1，EO=2，则，，，，，，，，，，，，所以，，，由已知，，，所以，，，，，，设平面BEG的一个法向量为，，，则，取，，，得，，，又平面DEG的一个法向量为，，，所以＜，＞，即二面角B-EG-D的余弦值为…（12分）【解析】（1）证明DE∥CF，推出CF∥平面ADE，然后证明平面BCF∥平面ADF，推出BF∥平面ADE．（2）以O为原点，平行于DC的直线为x轴，DE所在直线为y轴，OA所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，求出平面BEG的一个法向量，平面DEG的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角B-EG-D的余弦值．本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19.【答案】解：（1）由已知，得MF1NF2为平行四边形，所以|MF2|+|NF2|=|MF2|+|MF1|=2a=4，所以a=2，又因为，所以，，所以椭圆C的标准方程为…（5分）（2）直线l的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，得2x2-2tx+t2-4=0，所以，，所以|PA|2+|PB|2===为定值…（12分）【解析】（1）利用已知条件结合离心率求解a、c、b，得到椭圆方程．（2）直线l的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，得2x2-2tx+t2-4=0，利用韦达定理转化求解|PA|2+|PB|2，推出结果即可．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．20.【答案】解：（1）设“该箱产品第一步检验通过”为事件A，“该箱产品三步之后检验通过”为事件B，则，，因为事件A与事件B互斥，所以∪，即该箱产品被检验通过的概率为…（5分）（2）由已知，X的可能取值有20，40，120，130，140，，，，，，所以X的分布列为所以…（12分）【解析】（1）设“该箱产品第一步检验通过”为事件A，“该箱产品三步之后检验通过”为事件B，利用古典概型概率求解即可．通过事件A与事件B互斥，求解该箱产品被检验通过的概率．（2）由已知，X的可能取值有20，40，120，130，140，求出概率得到X的分布列然后求解概率．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．21.【答案】解：（1）因为，所以，，所以f'（1）=-e，故y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y-2e=-e（x-1），即ex+y-3e=0…（4分）（2）①＞，令h（x）=（-x2+3x-3）e x-a，则h'（x）=（-x2+x）e x，当0＜x＜1时，h'（x）＞0，h（x）为增函数；当x＞1时，h'（x）＜0，h（x）为减函数，由f（x）有两个极值点，得f'（x）=0有两个不等实根，即h（x）=0有两不等实根x1，x2（x1＜x2），因为当x趋近于+∞时，h（x）趋近于-∞，故，解得-3＜a＜-e…（8分）②由①可知x1∈（0，1），又h（1）=-e-a＞0，＜＜，则∈，，由，得，所以f（x）的极大值，因为∈，时，＜恒成立，故f（x2）在，上为减函数，所以＞＞，且f（x2）＜f（1）=e＜3，所以满足题意的整数n的最大值为2…（12分）【解析】（1）推导出，f'（1）=-e，由此利用导数性质能求出y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程．（2）①，令h（x）=（-x2+3x-3）e x-a，则h'（x）=（-x2+x）e x，利用导数性质能求出实数a的取值范围．②由x1∈（0，1），推导出，由，得，从而f（x）的极大值，由此能求出满足题意的整数n的最大值．本题考查切线方程的求法，考查实数的取值范围、实数的最值的求法，考查导数性质、导数的几何意义、函数性质、最值等基础知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，是中档题．22.【答案】解：（1）由ρ2cos2θ-ρ2sin2θ+4=0，得x2-y2+4=0，即y2-x2=4…（4分）（2）直线l的标准形式的参数方程为：（t为参数），代入y2-x2=4得，设A，B对应的参数为t1，t2则…（10分）【解析】（1）由ρ2cos2θ-ρ2sin2θ+4=0，得x2-y2+4=0，即y2-x2=4（2）利用直线的参数方程中参数的几何意义可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）若a=1，则f（x）=|x+1|+|x-1|，则f（x）＜6⇔|x+1|+|x-1|＜6⇔ 或或，⇔-3＜x≤-1，或-1＜x≤1，或1＜x＜3，⇔-3＜x＜3∴不等式f（x）＜6的解集为（-3，3）；（2）由题意=（）（m+n）=2≥4，当且仅当m=n=时取等号，由f（x）=|x+a|+|x-1|≥|a+1|，当且仅当（x+a）（x-1）≤0时取等号，故f（x）的最小值为：|a+1|．由题意得，4≥|a+1|，解得-5≤a≤3．故实数a的取值范围为[-5，3]．【解析】（1）利用绝对值不等式的常规解法不难求解；（2）利用不等式找到左侧的最小值4，再利用绝对值不等式的性质找到右侧的最小值|a+1|，只需4≥|a+1|即可．此题考查了绝对值不等式的性质和解法，重要不等式的应用等，难度适中．。

合肥市2019年度高三三模理科数学试题及答案解析

合肥市2019年高三第三次教学质量检测数学试题（理）(考试时间：120分钟满分:150分）第I 卷（满分50分）—、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合M={R x ∈|x 2<4},N={-1,1,2},则M I N ＝( ) A{-1，1，2} B.{-1，2} C.{1，2} D{-1，1}2. 已知（1+i)(a-2i)= b-ai(其中a,b 均为实数，i 为虚数单位），则a+b =( ) A. -2B.4C.2D.03. 等比数列{a n }中，a 2=2，a 5 =41，则a 7 =( ) A.641 B. 321 C. 161 D. 81 4. “ m < 1 ”是“函数f(x) = x 2-x+41m 存在零点”的（ ) A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 5. 右边程序框图，输出a 的结果为（） A.初始值a B.三个数中的最大值 C. 二个数中的最小值 D.初始值c6. 已知⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥+033206322y x y x y x ，且z=x 2+y+，则z 的最小值是（）A.4B.1C. 18D.y7. P 是正六边形ABCDEF 某一边上一点，AF y AB x AP +=，则x+y 的最大值为（ )A.4B.5C.6D.78. 右图为一个简单组合体的三视图，其中正视图由一个半圆和一个正方形组成，则该组合体的表面积为（）A.20 + 17πB.20 + 16πC. 16 + 17πD. 16 + l6π9. 五个人负责一个社团的周一至周五的值班工作，每人一天，则甲同学不值周一，乙同学不值周五，且甲，乙不相邻的概率是（ )A.103 B. 207 C. 52 D. 301310.定义域为R 的函数f(x)的图像关于直线x= 1对称，当a ∈[0,l]时，f(x) =x,且对任意R x ∈只都有f(x+2) = -f(x),g(x)= ⎩⎨⎧<--≥)0)((log )0)((2013x x x x f ，则方程g(x)-g(-x) =0实数根的个数为（）A. 1006B. 1007C. 2018D.2018第II 卷（满分100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置） 11.已知抛物线的准线方程是x=21，则其标准方程是______12.关于x 的不等式log 2|1-x| > 1的解集为_______ 13.曲线C 的极坐标方程为: θρcos 2=，曲线T 的参数方程为⎩⎨⎧+=+-=121t y t x (t 为参数），则曲线C 与T 的公共点有______个.14.如图，一栋建筑物AB 高（30-103)m ，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面M 点（B 、M 、D 三点共线）测得对楼顶A 、塔顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得对塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高为______m.15.如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2,P ,Q,R 分别是棱BC,CD,DD 1的中点.下列命题：①过A 1C 1且与CD 1平行的平面有且只有一个； ②平面PQR 截正方体所得截面图形是等腰梯形； ③AC 1与平面PQR 所成的角为60°;④线段EF 与GH 分别在棱A 1B 1和CC 1上运动，且EF + GH = 1，则三棱锥E - FGH 体积的最大值是121 ⑤线段MN 是该正方体内切球的一条直径，点O 在正方体表面上运动，则ONOM .的取值范围是[0，2].其中真命题的序号是______（写出所有真命题的序号）.三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16.(本小题满分12分）已知函数f(x)=Asin())2,0(,0,0(),πϕωϕω∈>>+A x 部分图像如图所示.(I)求函数f(x)的解析式; (II)已知)2,0(π∈a ），且32cos =a ，求f(a).17.(本小题满分13分）如图BB1,CC1，DD1均垂直于正方形AB1C1D1所在平面A、B、C、D四点共面.(I)求证：四边形ABCD为平行四边形；(II)若E,F分别为AB1,D1C1上的点，AB1=CC1=2BB1=4,AE = D1F =1.(i)求证:CD丄平面DEF;(ii)求二面角D-EC1-D1的余弦值.18.(本小题满分12分）已知f(x) = log a x- x +1( a>0，且a ≠1).(I)若a=e,求f(x)的单调区间；(II)若f(x)>0在区间（1，2)上恒成立，求实数a的取值范围.19.(本小题满分13分）根据上级部门关于开展中小学生研学旅行试点工作的要求，某校决定在高一年级开展中小学生研学旅行试点工作.巳知该校高一年级10个班级,确定甲、乙、丙三条研学旅行路线.为使每条路线班级数大致相当，先制作分别写有甲、乙、丙字样的签各三张，由高一（1)〜高一（9)班班长抽签,再由高一（10)班班长在分别写有甲、乙、丙字样的三张签中抽取一张.(I)设“有4个班级抽中赴甲路线研学旅行”为事件A ，求事件A 的概率P(A);(II )设高一（l)、高一(2)两班同路线为事件B,高一（1)、高一（10)两班同路线为事件C ，试比较事件B 的概率P(B)与事件C 的概率P( C)的大小；(III)记（II)中事件B 、C 发生的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望E ξ20.(本小题满分12分）平面内定点财（1，0),定直线l:x=4,P 为平面内动点,作PQ 丄l ，垂足为Q ，且||2||PM PQ =.(I)求动点P 的轨迹方程；(II )过点M 与坐标轴不垂直的直线，交动点P 的轨迹于点A 、B ，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点H ，试判断||||AB HM -是否为定值.21.(本小题满分13分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的*N n ∈，都有a n >0,S n = 33231...n a a a +++(I)求a 1，a 2的值； (II)求数列{a n }的通项公式a n(III)证明：ln2≤a n ·ln(1+)1na <ln3。

2019年合肥市高三教学质量检测理科数学试卷(含答案)

高三数学试题（理科）答案第1 页（共4页）合肥市2019年高三第一次教学质量检测数学试题（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.()1 6-， 14.115.⎭16.222433n n ⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭三、解答题：17.(本小题满分12分)(I)∵()11cos 22cos 22cos 2sin 2226f x x x x x x x π⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭， ∴函数()f x 的最小正周期为T π=.…………………………5分(II)由()13f α=可得1sin 263πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴72 666πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，. 又∵110sin(2, 632πα<+=<∴ 2+,,62ππαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴ cos 263πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴ cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ………………………12分18.(本小题满分12分)(I)取CD 的中点M ，连结EM ，BM .由已知得BCD ∆为等边三角形，∴BM CD ⊥.∵2,AD AB BD ===，∴30,ADB ABD ∠=∠=︒∴90,ADC ∠=︒∴//BM AD .又∵BM ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴BM ∥平面PAD .∵E 为PC 的中点，M 为CD 中点，∴EM ∥PD .又∵EM ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD .∴EM ∥平面PAD .∵EM BM M = ，∴平面BEM ∥平面PAD ，题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案D C C D A D D D C C B A高三数学试题（理科）答案第2 页（共4页）∵BE ⊂平面BEM ，∴BE ∥平面PAD . …………………………5分 (II)连结AC ，交BD 于点O ，连结PO . 由对称性知，O 为BD 中点，且AC BD ⊥，BD PO ⊥ 平面PBD ⊥平面ABCD ,PO BD ⊥， ∴PO ⊥平面ABCD ，1PO AO ==，3CO =.以O 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -. 则D (0，，0)，C (3，0，0)，P (0，0，1).易知平面PBD 的一个法向量为()11,0,0n = .设平面PCD 的法向量为()2n x y z = ，，，则n ⊥2,n ⊥2，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022n n . ∵)0,3,3(=，)1,3,0(=，∴⎩⎨⎧=+=+03033z y y x . 令3=y ，得3,1-=-=z x ，∴)3,3,1(2--=n∴1313131-=-==n n 设二面角B PD C --的大小为θ，则cos 13θ=. ………………………12分 19.(本小题满分12分) (I)0.06340.18380.20420.28460.16500.10540.025844.7245x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈；…………………………5分(II)由题意知，39.2 50.8μσμσ-≈+≈，，()39.250.80.6826P t <<=，所以估计该人群中一周睡眠时间在区间()39.2 50.8，的人数约为100000.68266826⨯=(人)； …………………………12分20.(本小题满分12分)(I)设椭圆的半焦距为c ，由椭圆的离心率为2知，b c a ==，，则椭圆方程为222212x y b b+=.易求得)0A，则点在椭圆上，所以222212b b +=，解得2263a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆方程为22163x y +=. …………………………5分 (II)当过点P 且与圆O相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为x =1）知，M N ，，0OM ON OM ON ==⋅= ，，，∴ OM ON ⊥. 当过点P 且与圆O 相切的切线斜率存在时，可设切线方程为y kx m =+，高三数学试题（理科）答案第3 页（共4页）()()1122M x y N x y ，，，，=，即()2221m k =+. 联立直线和椭圆的方程得()2226x kx m ++=，∴ ()222124260k x kmx m +++-=，得122212204212621km x x k m x x k ⎧⎪∆>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩. ∵()()1122 OM x y ON x y == ，，，， ∴()()12121212OM ON x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++ ()()()22222121222264112121m km k x x km x x m k km m k k --=++++=+⋅+⋅+++()()()()2222222222222126421322663660212121k m k m m k k k m k k k k +--+++----====+++， ∴ OM ON ⊥.综上所述，圆O 上任意点P 处的切线交椭圆C 于点M N ，，都有OM ON ⊥.在Rt OMN ∆中，由OMP ∆与NOP ∆相似，可得22OP PM PN =⋅=为定值.…………………………12分21.(本小题满分12分)(I)易知1x >-，且()11x f x e x '=-+. 令()11x h x e x =-+，则()()2101x h x e x '=+>+，∴ 函数()11x h x e x =-+在()1x ∈-+∞，上单调递增，且()()000h f '==.可知，当()1 0x ∈-，时，()()0h x f x '=<，()()ln 1x f x e x =-+单调递减；当()0x ∈+∞，时，()()0h x f x '=>，()()ln 1x f x e x =-+单调递增. ∴函数()f x 的单调递减区间是()1 0-，，单调递增区间是()0+∞，.……………………5分(II)∵()()()ln 1x g x f x ax e x ax =-=-+-，∴()()g x f x a ''=-.由(I)知，()g x '在()1x ∈-+∞，上单调递增，当1x →-时，()g x '→-∞；当x →+∞时，()g x '→+∞，则()0g x '=有唯一解0x . 可知，当()01x x ∈-，时，()0g x '<，()()ln 1x g x e x ax =-+-单调递减；当()0x x ∈+∞，时，()0g x '>，()()ln 1x g x e x ax =-+-单调递增， ∴ 函数()g x 在0x x =处取得极小值()()0000ln 1x g x e x ax =-+-，且0x 满足0011x e a x -=+. ∴ ()()()0000011ln 111x g x x e x x =--++-+.高三数学试题（理科）答案第4 页（共4页）max 2S =2312πθ=令()()()11ln 111xx x e x x ϕ=--++-+，则()()211x x x e x ϕ⎡⎤'=-+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦. 可知，当()1 0x ∈-，时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增；当()0x ∈+∞，时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减， ∴ ()()max 01x ϕϕ==. ∴ 函数()g x 极小值的最大值为1. …………………………12分22.(本小题满分10分)(I)221:1C x y +=，2:=2cos C ρθ，则2=2cos ρρθ，∴ 222x y x +=.联立方程组得222212x y x y x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得11122x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22122x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴ 所求交点的坐标为12⎛ ⎝⎭，1 2⎛ ⎝⎭，.………………………5分 (II)设()B ρθ，，则=2cos ρθ,∴AOB ∆的面积11sin 4sin 4cos sin 2233S OA OB AOB ππρθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅∠=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 26πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴ 当时， ………………………10分23.(本小题满分10分)(I)()22f x x +>，即1>22x x +-⇔10101>221>22x x x x x x+≥+<⎧⎧⎨⎨+----⎩⎩或13x ⇔>∴ 实数x 的取值范围是1 3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. ………………………5分 (II)∵ 1a >，∴ 11a -<-，()()()(1)211(1)1112a x x g x a x x a a x x a ⎧⎪-+-∈-∞⎪⎪⎡⎤=-∈--⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎛⎫++∈-+∞⎪ ⎪⎝⎭⎩，，-，，，，，易知函数()g x 在1x a ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，时单调递减，在1x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，时单调递增，则()min 111g x g a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. ∴ 1112a -=，解得2a =. …………………………10分。

安徽省皖江名校联盟2019届高三第一次摸底联考理科数学答案

099,6S x =+==次循环，45144189,24S x =+==，满足判断条件，退出循环体，输出S 的值为189. 5. 【解析】由统计图可知①,②正确,由689052-643974<744127-689052,可知③错误,由744127⨯0039.8≈ 296000,约为296千亿元,所以④ 错误,故选B.6. 【解析】方程22925225x y +=化为221259x y +=，所以该曲线是椭圆，右焦点恰好为(4,0)A ，点(1,1)B --在椭圆内部，设左焦点为(4,0)F -，于是||||(2||)||2(||||)2||10PA PB a PF PB a PB PF a FB +=-+=+-≤+=.7.【解析】由三视图可知，该几何体是半圆柱和半球的组合体，故其体积为23125121233V πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=.8.【解析】3332241()=5144414141x x x x f x ax ax ax --+=+-+=+++++，令341()()41x x g x ax x R -=+∈+，则334114()()4114x x xxg x ax ax g x -----=-+=-+=-++，所以()g x 是R 上的奇函数，因为()()41f b g b =+=，所以()3g b =-，于是()()4()4347f b g b g b -=-+=-+=+=.9.【解析】由题意易知PQ 垂直于x 轴，可设0(,)P c y ，其中222c a b =+.因为0AP AQ ⋅=，所以90PAQ ︒∠=，即245PAF ︒∠=，所以22||||PF AF =.将0(,)P c y 代入双曲线方程中可解得20b y a =，所以2b ac a=+，即22b a ac =+，即222c a a ac -=+，即2220c ac a --=，两边同除以2a ，可得220e e --=，解得2e =（另一个解舍去），故选A.10.【解析】因为2mn =，所以14484814(1)(4)44m n m n n m n m mn n m +++++==+++++++ 4821112(24646m n m n m n ++==+≤==++++，当且仅当2m n ==时等号成立.11.【解析】()sin cos )4f x x x x πωωω=+=+，因为存在1x ，对于任意的实数x ，都有11()()(6)f x f x f x ≤≤+，所以11(),(6)f x f x +分别为函数()f x 的最小值和最大值，因为ω最小，所以周期最大，所以62T=，即12T =是周期的最大值，此时2126ππω==，于是()sin()64f x x ππ=+，故(3)sin()sin 1244f πππ=+==.12.【解析】先求此旋转体顶部到到底部的高位h 时的截面圆的面积.当高为h 时，在2(0)y ax a =>中令y=h ，得2hx π=，对应截面圆的面积为2h h S x a aπππ==⋅=.依据祖暅原理，要构造一个高为b 的体积易求的直三棱柱，且几何体到底部的距离为h 的截面面积也是haπ.构造一个如下图所示的直三棱柱，底面为腰长为b 的等腰直角三角形，侧棱长为aπ，且将此三棱柱放到三维直角坐标系中，则此几何体到底部的距离为为h 的截面矩形的面积为hh a aππ⋅=，则依据祖暅原理可得所求几何体的体积为22122b V b a aππ=⋅=.13. 3± 【解析】由λ-a b =0得λ=a b ，平方得222λ=a b ，所以3λ=±.14.240 【解析】通项公式为6366662266622r r r r r r r r r r C x C x C x ---+---==，令360r -=，解得2r =，所以常数项为4262240C =.15.2 【解析】画出不等式组2,239,0x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩表示的区域，如图所示；因为(),M a b 是阴影区域内的任意点，所以14b a --可以看作区域内的点与点()41D ，连线的斜率.当直线过点C 时，斜率值最大，由2,239,x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得()3,1C -.∴14b a --最大值为11234--=-.16.【解析】由3C π=，得23A B π+=，所以sinsin sin cos cos sin sin()22222222tan tan 22cos cos cos cos cos cos222222A B A B A B A B A B A B A B A B +++=+==2cos cos 22A B ==，可得cos cos 22A B =，又因为1cos()cos cos sin sin 2222222A B A B A B +=-=，故sin sin 22A B =.17. 【解析】（1）证明：由146n n a a +=+，可得124(2)n n a a ++=+，………………2分因为11a =，所以20n a +>，故可得1242n n a a ++=+，所以数列{2}n a +是等比数列，首项为3，公比为4.………………………………………4分（2）由（1）可知1234n n a -+=⨯，所以1342n n a -=⨯-.………………………………6分于是2124423422log log 2133n n n a b n -+⨯-+===-，………………………………8分所以12211(21)(21)2121n n b b n n n n +==--+-+，……………………………………10分所以11111121133521212121n nT n n n n=-+-++-=-=-+++…………………12分18．【解析】（1）证明：在平行四边形ABCD 中，连接AC ，因为AB =2BC =，45ABC ∠=，由余弦定理得28422cos454AC =+-⋅⋅=，得2AC =，所以90ACB ∠=，即BC AC ⊥，………2分又AD ∥BC ，所以AD AC ⊥，又2AD AP ==，DP =PA AD ⊥，…………4分而AP AC A =，所以AD ⊥平面PAC ，所以平面PAD ⊥平面PAC .………6分（2）侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，所以PA ⊥底面ABCD ，所以直线,,AC AD AP 两两互相垂直，以A 为原点，直线,,AC AD AP 坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0A ，(2,0,0)D -，(0,2,0)C ，(2,2,0)B ，(1,1,0)E -， (0,0,2)P ，………8分所以(0,2,2)PC =-，(2,0,2)PD =--，(2,2,2)PB =-，则1222(,,)3333PF PB ==-，所以224(,,)333F ，所以514(,,)333EF =-.设平面PDC 的法向量为(,,)x y z =n ，由0PC ⋅=n ，0PD ⋅=n ，得220,220,y z x z -=⎧⎨--=⎩令1x =，得(1,1,1)=--n ． ………………………………………………10分因为直线EF 与平面PDC 所成的角为θ，则2||sin |cos ,||||EF EF EF θ⋅=<>==⋅n n n |12分 19.【解析】（1）由抛物线定义可得0012px x +-=，解得2p =，所以抛物线C 的标准方程为24y x =.……………………………………4分（2）证明：设直线1l 的方程为1(0)x my m =+≠，112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y .联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y my --=，则12124,4y y m y y +==-，所以12022y y y m +==，所以2021x m =+，即2(21,2)M m m +. 用1m -替换m ，得222(1,)N m m+-.…………………………………………………6分当直线MN 的斜率存在时，斜率为22222()2121(1)m m m m m m--=-+-+，…………………8分此时直线MN 的方程为222(21)1my m x m m -=---，整理可得2(3)1my x m =--，过定点（3,0）.………………………………………10分当直线MN 的斜率不存在时，易知1m =，直线MN 的方程为3y =，也过定点（3,0）.综上，直线MN 恒过定点（3,0）……………………………………………………12分20.【解析】（1）某人选择方案二，若中奖一次，则付款3600元，比方案一优惠，所以选择方案二比选择方案一更优惠则需要至少中奖一次. 设某人没有中奖为事件A ，则03311()()28P A C ==，………………………………2分所以甲乙丙三人至少有一人比选择方案一更优惠的概率为3315111[()]1()8512P A -=-=.………………………………………………………………4分（2）（i ）设实际付款金额为随机变量X ，由题意可得X 得取值为3600,3240,3060,2880.1(3600)8P X ==，13313(3240)()28P X C ===，23313(3060)()28P X C ===，33311(2880)()28P X C ===.…………………8分所以实际付款金额X 的分布列为于是()36003240306028803172.58888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.…………10分（ii ）若选择方案一，则需付款3300元，若选择方案二，则由（i ）可知只需付款3172.5元，所以实际付款金额的数学期望角度，选择方案二更合适.………………………12分21.【解析】（1）当3m =时， 1()3ln 2f x x x x=+-，所以221(21)(1)()2(0)m x x f x x x x x--'=--=->…………………………………2分当102x <<时，()0f x '<，()f x 在1(0,)2上单调递减；当112x <<时，()0f x '>，()f x 在1(,1)2上单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 在(1,)+∞上单调递减；所以极小值为1()13ln 22f =-，极大值为(1)1f =-.……………………………4分（2）证明：当1m =时，1(1)ln(1)2(1)1f x x x x -=-+---，1x >-. 所以1(1)22x f x e x -->--等价与11ln(1)41x x e x --+>--，证法一：先证明：11ln(1)1x x e x --+>-. 等价于1(1)ln(1)1(1)x x x x e ---+>-.………………………………………………6分设()(1)ln(1)1g x x x =--+，则()1ln(1)g x x '=+-，令()0g x '=，得11x e =+，所以在1(1,1)e+上，()0g x '<，()g x 单调递减，在1(1,)e ++∞上，()0g x '>，()g x 单调递增，故11()(1)1g x g e e≥+=-.………8分设1()(1)x h x x e -=-，则(2)()xe x h x e -'=，令()0h x '=，得2x =，所以在(1,2)上，()0h x '>，()h x 单调递增，在(2,)+∞上，()0h x '<，()h x 单调递减，故1()(2)1h x h e<=-.………………10分所以()()h x g x <，即1(1)ln(1)1(1)x x x x e ---+>-，故11ln(1)1x x e x --+>-，所以11ln(1)41x x e x --+>--，原命题成立.………12分证法二：令1(0)t x t =->，则等价于1ln 4tt e t-++>，等价于ln 41tt t t te -++>.…………………6分构造函数()ln 41,()tg t t t t h t te -=++=，由()ln 5g t t '=+，令()ln 50g t t '=+=，得5t e -=，所以()g t 在5(0,)e -上单调递减，在5(,)e -+∞上单调递增，所以551()()1g t g e e -≥=-. …………………8分由1()t t h t e -'=，令1()0tth t e -'==，得1t =，所以()h t 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以1()(1)h t h e≤=. …………………10分而5111e e->，所以()()g t h t >，即ln 41t t t t te -++>，命题得证. ……………12分22.【解析】(1)由2,1,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t 得30x y +-=, 所以直线l 的普通方程为30x y +-=. ……………………………………………2分由4⎛⎫=-⎪⎝⎭πρθcos cos sin sin 2cos 2sin 44⎫=+=+⎪⎭ππθθθθ, 得22cos 2sin =+ρρθρθ.将222,cos ,sin =+==ρρθρθx y x y 代入化简,得曲线C 的直角坐标方程为2222+=+x y x y , 即()()22112-+-=x y . …………5分 (2)将2,1,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入圆的方程()()22112-+-=x y可得221)2⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭,即210t -=, 设此方程的两个根为12,t t，则12121t t t t +==-，所以12||||||||PM PN t t +=+==. ……………………10分23.【解析】（1）()6f x <，即|1||2|6x x -+-<，当1x <时，126x x -+-<，解得312x -<<；当12x ≤≤时，126x x -+-<，解得12x ≤≤；当2x >时，126x x -+-<，解得922x <<；综上所述，原不等式的解集为39{|}22x x -<<.………………………………………5分（2）不等式()|2|[()|2|]b bf ab ab a f a a-->--即为|1||2||2|||(|1||2||2|)b b bab ab ab a a a a-+--->-+---，故只需证明：|1|||ab b a ->-，只需证明：22(1)()ab b a ->-，而22222222(1)()1(1)(1)0ab b a a b a b a b ---=--+=-->,从而原不等式成立.………………………………………………………………………10分。

2019届安徽省皖中地区高三入学摸底考试数学(理)试题(解析版)

2019届安徽省皖中地区高三入学摸底考试数学（理）试题（解析版）一、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】解不等式得集合A、B，根据交集运算求得。

【详解】解集合A得解集合B得所以所以选A【点睛】本题考查了集合的交集运算，一元二次不等式解法，属于基础题。

2．为虚数单位，复数在复平面内对应的点所在象限为（）A．第二象限B．第一象限C．第四象限D．第三象限【答案】C【解析】，复数在复平面内对应坐标为，所以复数在复平面内对应的点在第四象限，故选C.3．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如下图，甲乙两组数据的平均数分别为、，标准差分别为，则（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】【分析】通过读图可知甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故.【详解】由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故.故选.【点睛】本题考查平均数及标准差的实际意义，是基础题.4．已知函数，则的大致图象为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由函数奇偶性定义判断函数的奇偶性，再给函数求导判断单调性，最后代入特殊点判断. 【详解】因为，所以函数为奇函数，排除B选项，求导：，所以函数单调递增，故排除C选项，令，则，故排除D.故选A.【点睛】本题考查函数图像的判断，由对称性可知可以先由奇偶性判断，由其图像趋势可知可以利用单调性判断，最后对比两图像可以用代入特殊点的方式判断，一般要根据函数图像的差别代入相应的点.5．已知向量，，，若，则等于（）A．B．2 C．D．1【解析】【分析】根据向量的坐标运算，求出；由向量垂直的坐标关系，代入求得k的值。

【详解】因为，所以因为，若所以代入得所以所以选C【点睛】本题考查了向量的坐标运算，向量垂直时的坐标关系，属于基础题。

6．已知函数，的部分图像如图所示，则，的值分别是（）A．B．C．D．【解析】【分析】根据半个周期求，再根据最值点求【详解】因为因为，所以选C.【点睛】已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.7．若过点有两条直线与圆相切，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】由于有两条直线与圆相切，所以可知点在圆外；由点与圆的位置关系及圆的判断条件，可得m 的取值范围。

(完整)2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(二)(解析版)

2019届全国高考高三模拟考试卷数学（理）试题（二）（解析版）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·南昌一模]已知复数()i2ia z a +=∈R 的实部等于虚部，则a =（） A ．12-B ．12C ．1-D ．12．[2019·梅州质检]已知集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =，则集合A B I 中元素的个数为（） A ．2B ．3C ．4D ．53．[2019·菏泽一模]已知向量()1,1=-a ，()2,3=-b ，且()m ⊥+a a b ，则m =（） A ．25B ．25-C ．0D ．154．[2019·台州期末]已知圆C ：()()22128x y -+-=，则过点()3,0P 的圆C 的切线方程为（） A ．30x y +-=B ．30x y --=C ．230x y --=D ．230x y +-=5．[2019·东北三校]中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（） A ．30种B ．50种C ．60种D ．90种6．[2019·汕尾质检]边长为1的等腰直角三角形，俯视图是扇形，则该几何体的体积为（）A ．π9B ．π3C ．π6D ．π187．[2019合肥质检]将函数()π2sin 16f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（） A ．函数()g x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．函数()g x 的周期是π2C ．函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上最大值是18．[2019·临沂质检]执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A ．0B ．12C ．1D ．1-9．[2019·重庆一中]2sin80cos70cos20︒︒-=︒（）A ．3B ．1C 3D ．210．[2019·揭阳一模]函数()f x 在[)0,+∞单调递减，且为偶函数．若()21f =-，则满足()31f x -≥-的x 的取值范围是（） A ．[]1,5B ．[]1,3C ．[]3,5D ．[]2,2-11．[2019·陕西联考]已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为2F ，若C 的左支上存在点M ，使得直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线，则C 的离心率为（）AB ．2CD ．512．[2019·临川一中]若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①()()10f x x x x=+>；②()()ln 0e f x x x =<<；③()cos f x x =；④()21f x x =-．其中为“柯西函数”的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·江门一模]已知a 、b 、c 是锐角ABC △内角A 、B 、C 的对边，S 是ABC △的面积，若8a =，5b =，S =，则c =_________．14．[2019·景山中学]已知a ，b 表示直线，α，β，γ表示不重合平面． ①若a αβ=I ，b α⊂，a b ⊥，则αβ⊥；②若a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，则αβ⊥； ③若αβ⊥，a αβ=I ，b αγ=I ，则a b ⊥；④若a α⊥，b β⊥，a b ∥，则αβ∥．上述命题中，正确命题的序号是__________．15．[2019·林芝二中]某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同．下面是关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选播音主持，也不选广播电视；②乙同学不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲同学不选公共演讲，那么丁同学就不选广播电视．若这些信息都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的课程是_______（填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持）16．[2019·河南联考]若一直线与曲线eln y x =和曲线2y mx =相切于同一点P ，则实数m =________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·长郡中学]设正项数列{}n a 的前n 项和为n S n a 与1n a +的等比中项，其中*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()11211n n n n n a b a a +++=-⋅，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：21n T <．18．（12分）[2019·维吾尔一模]港珠澳大桥是中国建设史上里程最长，投资最多，难度最大的跨海桥梁项目，大桥建设需要许多桥梁构件．从某企业生产的桥梁构件中抽取100件，测量这些桥梁构件的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1．（1）求这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（2）若将频率视为概率，从该企业生产的这种桥梁构件中随机抽取3件，记这3件桥梁构件中质量指标值位于区间[)45,75内的桥梁构件件数为X ，求X 的分布列与数学期望．19．（12分）[2019·淄博模拟]如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，1AB =，3CD =，2AP =，23DP =，60PAD ∠=︒，AB ⊥平面PAD ，点M 在棱PC 上．（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若直线PA ∥平面MBD ，求此时直线BP 与平面MBD 所成角的正弦值．20．（12分）[2019·泰安期末]已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，抛物线22:4C y x =-的准线被椭圆1C 截得的线段长为2．（1）求椭圆1C 的方程；（2）如图，点A 、F 分别是椭圆1C 的左顶点、左焦点直线l 与椭圆1C 交于不同的两点M 、N （M 、N 都在x 轴上方）．且AFM OFN ∠=∠．证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）[2019·衡水中学]已知函数()23ln f x x ax x =+-，a ∈R ．（1）当13a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）令函数()()2x x f x ϕ'=，若函数()x ϕ的最小值为32-，求实数a 的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·揭阳一模]以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为22cos 2a ρθ=（a ∈R ，a 为常数）），过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的参数方程满足32x t =+，（t 为参数）．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点（点P 在A 、B 之间），且2PA PB ⋅=，求a 和PA PB -的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·汕尾质检]已知()221f x x x =++-的最小值为t ．求t 的值；若实数a ，b 满足2222a b t +=，求221112a b +++的最小值．2019届高三第三次模拟考试卷理科数学（二）答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C 【解析】∵()2i i i 1i 2i 2i 22a a a z -++===--的实部等于虚部，∴122a=-，即1a =-．故选C ． 2．【答案】A【解析】由题意，集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =， ∴{}8,14A B =I ，∴集合A B I 中元素的个数为2．故选A ． 3．【答案】A【解析】()()()1,12,312,31m m m m m +=-+-=--a b ，结合向量垂直判定，建立方程，可得12310m m --+=，解得25m =，故选A ． 4．【答案】B【解析】根据题意，圆C ：()()22128x y -+-=，P 的坐标为()3,0，则有()()2231028-+-=，则P 在圆C 上，此时20113CP K -==--，则切线的斜率1k =，则切线的方程为3y x =-，即30x y --=，故选B ． 5．【答案】B【解析】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，∴共有11210C C 20⋅=，若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，∴共有11310C C 30⋅=，∴共有203050+=种．故选B ． 6．【答案】A【解析】侧视图是直角边长为1的等腰直角三角形，圆锥的高为1，底面半径为1，俯视图是扇形，圆心角为2π3，几何体的体积为112ππ113239⨯⨯⨯⨯=．故选A ．7．【答案】C【解析】将函数()f x 横坐标缩短到原来的12后，得到()π2sin 216g x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当π12x =-时，π112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即函数()g x 的图象关于点π,112⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，故选项A 错误；周期2ππ2T ==，故选项B 错误；当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ2662x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,，∴函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故选项C 正确；∵函数()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴()π16g x g ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上没有最大值，故选项D 错误．故选C ．8．【答案】A【解析】第一次循环，1k =，cos01S ==，112k =+=，4k >不成立；第二次循环，2k =，π131cos 1322S =+=+=，213k =+=，4k >不成立；第三次循环，3k =，32π31cos 12322S =+=-=，314k =+=，4k >不成立；第四次循环，4k =，1cos π110S =+=-=，415k =+=，4k >成立，退出循环，输出0S =，故选A ． 9．【答案】C 【解析】∵()2sin 6020cos702sin80cos70cos20cos20︒+︒︒-︒-︒=︒︒2sin 60cos202cos60sin 20cos70cos20︒︒+︒︒-︒=︒2sin 60cos20sin 20cos70cos20︒︒+︒-︒=︒2sin 60cos202sin 603cos20︒︒==︒=︒．故选C ．10．【答案】A【解析】∵函数()f x 为偶函数，∴()()312f x f -≥-=等价于()()32f x f -≥， ∵函数()f x 在[)0,+∞单调递减，∴32x -≤，232x -≤-≤，15x ≤≤，故选A ． 11．【答案】C【解析】()2,0F c ，直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线，可得2F 到渐近线的距离为222F P b b a ==+，即有22OP c b a =-=，由OP 为12MF F △的中位线，可得122MF OP a ==，22MF b =，可得212MF MF a -=，即为222b a a -=，即2b a =，可得221145c b e a a==+=+=．故选C ．12．【答案】B【解析】由柯西不等式得：对任意实数1x ，1y ，2x ，2y ，2222121211220x x y y x y x y +-+⋅+≤恒成立，（当且仅当1221x y x y =取等号）若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0，则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，使得OA u u u r，OB u u u r 共线，即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点：对于①，方程()10kx x x x=+>，即()211k x -=，不可能有两个正根，故不存在；对于②，，由图可知不存在；对于③，，由图可知存在；对于④，，由图可知存在，∴“柯西函数”的个数为2，故选B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】7【解析】根据三角形面积公式得到1sin sin 2S ab C C =⨯⇒=∵三角形为锐角三角形，故得到角C 为π3，再由余弦定理得到222π1cos 7322a b c c ab+-==⇒=．故答案为7．14．【答案】②④【解析】对于①，根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于两条相交的直线，故不正确，对于②，a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，满足线面垂直的定理，即可得到αβ⊥，又a α⊂，则αβ⊥，故正确，对于③，αβ⊥，a αβ=I ，b αγ=I ，则a b ⊥或a b ∥，或相交，故不正确，对于④，可以证明αβ∥，故正确．故答案为②④． 15．【答案】影视配音【解析】由①知甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视；由②知乙不选广播电视，也不选公共演讲；由③知如果甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视，综上得甲、乙、丙均不选广播电视，故丁选广播电视，从而甲选公共演讲，丙选影视配音，故答案为影视配音． 16．【答案】12【解析】曲线eln y x =的导数为e'y x=，曲线2y mx =的导数为2y mx '=，由e2mx x =，0x >且0m >，得x =e 2⎫⎪⎪⎭，代入eln y x =得e 2=，解得12m =，故答案为12．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）n a n =；（2）见解析．【解析】（1）∵2n S 是n a 与1n a +的等比中项，∴()221n n n n n S a a a a =+=+，当1n =时，21112a a a =+，∴11a =．当2n ≥时，22111222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--，整理得()()1110n n n n a a a a --+--=．又0n a >，∴()112n n a a n --=≥，即数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列． ∴()()1111n a a n d n n =+-=+-=．（2）()()()1121111111n n n n b n n n n +++⎛⎫=-⋅=-+ ⎪++⎝⎭，∴21232111111111122334212221n n T b b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L11121n =-<+． 18．【答案】（1）0.05；（2）见解析．【解析】（1）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ．依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，解得0.05x =． ∴这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率为0.05．（2）从该企业生产的该种桥梁构件中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复实验， ∴X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由（1）得，区间[]45,75内的频率为0.30.20.10.6++=，将频率视为概率得0.6p =．∵X 的所有可能取值为0，1，2，3，且()00330C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，()11231C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=，()22132C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，()33033C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．∴X 的分布列为：X P0.0640.2880.4320.216X 服从二项分布(),B n p ，∴X 的数学期望为30.6 1.8EX =⨯=．19．【答案】（1）见解析；（2219565【解析】（1）∵AB ⊥平面PAD ，∴AB DP ⊥，又∵23DP=，2AP=，60PAD∠=︒，由sin sinPD PAPAD PDA=∠∠，可得1sin2PDA∠=，∴30PDA∠=︒，90APD∠=︒，即DP AP⊥，∵AB AP A=I，∴DP⊥平面PAB，∵DP⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD；（2）以点A为坐标原点，AD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，如图所示，建立空间直角坐标系，其中()0,0,0A，()0,0,1B，()0,4,3C，()0,4,0D，)3,1,0P．从而()0,4,1BD=-u u u r，)3,1,0AP=u u u r，()3,3,3PC=-u u u r，设PM PCλ=u u u u r u u u r，从而得()33,31,3Mλλλ+，()33,31,31BMλλλ=+-u u u u r，设平面MBD的法向量为(),,x y z=n，若直线PA∥平面MBD，满足BMBDAP⎧⋅=⎪⎪⋅=⎨⎪⋅=⎪⎩u u u u ru u u ru u u rnnn，即)()()31313104030x y zy zx yλλλ-+++-=-=⎨+=，得14λ=，取()3,3,12=--n，且()3,1,1BP=-u u u r，直线BP与平面MBD所成角的正弦值等于33122sin195651565BPBPθ⋅-+===⨯⋅u u u ru u u rnn20．【答案】（1）2212xy+=；（2）直线l过定点()2,0．【解析】（1）由题意可知，抛物线2C的准线方程为1x=，又椭圆1C2，∴点2⎛⎝⎭在椭圆上，∴221112a b+=，①又2cea==，∴222212a bea-==，∴222a b=，②，由①②联立，解得22a=，21b=，∴椭圆1C的标准方程为2212xy+=．（2）设直线:l y kx m =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，把直线l 代入椭圆方程，整理可得()222214220k x km m +++-=，()()222222164212216880k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22210k m -+>，∴122421kmx x k +=-+，21222221m x x k -=+，∵111FM y k x =+，221FN yk x =+，M 、N 都在x 轴上方，且AFM OFN ∠=∠，∴FM FN k k =-，∴121211y yx x =-++，即()()()()122111kx m x kx m x ++=-++，整理可得()()1212220kx x k m x x m ++++=，∴()2222242202121m km k k m m k k -⎛⎫⋅++-+= ⎪++⎝⎭，即22224444420km k k m km k m m ---++=，整理可得2m k =， ∴直线l 为()22y kx k k x =+=+，∴直线l 过定点()2,0． 21．【答案】（1）见解析；（2）56-．【解析】（1）13a =-时，()2ln f x x x x =--，则()()()221121x x x x f x x x +---'==，令()'0f x =，解得12x =-或1x =，而0x >，故1x =，则当()0,1x ∈时，()0f x '<，即()f x 在区间内递减，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，即()f x 在区间内递增．（2）由()23ln f x x ax x =+-，()123f x x a x'=+-，则()()23223x x f x x ax x ϕ'==+-，故()2661x x ax ϕ'=+-，又()()264610a ∆=-⨯⨯->，故方程()0x ϕ'=有2个不同的实根，不妨记为1x ，2x ，且12x x <，又∵12106x x =-<，故120x x <<，当()20,x x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ递减，当()2,x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ递增，故()()322222min 23x x x ax x ϕϕ==+-，①又()20x ϕ'=，∴2226610x ax +-=，即222166x a x -=，②将222166x a x -=代入式，得2222222222222233316112323622x x x x x x x x x x x -+⋅⋅-=+--=--，由题意得3221322x x --=-，即322230x x +-=，即()()222212230x x x -++=，解得21x =，将21x =代入式中，得56a =-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）222x y a -=，3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）；（2）2a =±，432．【解析】（1）由22cos 2a ρθ=得()2222cos sin a ρθθ-=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得222x y a -=，∴C 的普通方程为222x y a -=， ∵过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的普通方程为)321y x =-+，由32x =得112y t =+，∴直线l 的参数方程为3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）．（2）将3212x t y ==+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩代入222x y a -=，得()()222231230t t a ++-=，依题意知()()222231830a ∆⎡⎤=-->⎣⎦，则上方程的根1t 、2t 就是交点A 、对应的参数，∵()21223t t a ⋅=-，由参数t 的几何意义知1212PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅，得122t t ⋅=， ∵点P 在A 、B 之间，∴120t t ⋅<，∴122t t ⋅=-，即()2232a -=-，解得24a =（满足0∆>），∴2a =±， ∵1212PA PB t t t t -=-=+，又()122231t t +=-， ∴432PA PB -=． 23．【答案】（1）2；（2）1．【解析】（1）()31,12213,1131,1x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪--≤-⎩，故当1x =-时，函数()f x 有最小值2，∴2t =．（2）由（1）可知22222a b +=，故22124a b +++=，∴2222222222212111112121121244b a a b a b a b a b +++++++⎛⎫+++=+⋅=≥ ⎪++++⎝⎭，当且仅当22122a b +=+=，即21a =，20b =时等号成立，故221112a b +++的最小值为1．。

安徽省皖江名校联盟2019届高三下学期开学摸底大联考数学(理)试题(含解析)

安徽省皖江名校联盟2019届高三开年摸底大联考数学（理）试卷第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x∈R|x2-3x≥0}，B={-2，2}，则（）∩B=( )A.B. {-2}C. {2}D. {-2，2}【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合的取值范围，然后求得集合的补集，再与集合取交集，得出正确选项.【详解】由，解得或，故或，故，所以，故选C.【点睛】本小题主要考查集合的补集和交集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2.已知复数z满足（z+4i）·（1-i）=3+2i（i为虚数单位），则z的共轭复数所对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】先将原方程化简为左边只有的形式，然后利用复数的运算进行化简，再求得的共轭复数，进而求得的共轭复数对应点所在的象限.【详解】依题意，故，对应点为，在第一象限，故选A.【点睛】本小题主要考查复数的除法、乘法、加法以及减法的运算，考查共轭复数的概念以及复数对应点的坐标，属于基础题.3.设向量，且，则( )A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】将的坐标代入，化简后求得的值.【详解】将的坐标代入得，解得.故选D.【点睛】本小题主要考查向量模的运算，考查向量的减法运算，考查方程的思想，属于基础题.4.安徽黄山景区，每半小时会有一趟缆车从山上发车到山下，某人下午在山上，准备乘坐缆车下山，则他等待时间不多于分钟的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意分析在何区间内等待时间可以控制在5分钟之内，再由概率计算公式即可求出结果.【详解】此人在25分到30分或55分到60分之间的5分钟内到达，等待时间不多于5分钟，所以他等待时间不多于分钟的概率为.故选B【点睛】本题主要考查几何概型，熟记公式即可求解，属于基础题型.5.已知公比为q的等比数列{a n}中，前4项的和为a1+14，且a2，a3+1，a4成等差数列，则公比q=( )A. 1B.C. 1或-1D. 2或【答案】D【解析】【分析】根据等比数列前项和公式以及等差中项的性质，列方程组，并转化为的形式，解方程组求得的值. 【详解】由于根据等差中项的性质有，即①，易知所以②，解由①②组成的方程组得或.故公比为或，所以选D.【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等比数列的基本量、通项公式和前项和公式.基本元的思想是在等比数列中有个基本量，利用等比数列的通项公式和前项和公式，列出方程组，解方程组求得，即可求得数列的通项公式.还考查了等差中项的性质，属于中档题.6.2018年9～12月某市邮政快递业务量完成件数较2017年9～12月同比增长25%，该市2017年9～12月邮政快递业务量柱形图及2018年9～12月邮政快递业务量结构扇形图如图所示，根据统计图，给出下列结论：①2018年9～12月，该市邮政快递业务量完成件数约1500万件；②2018年9～12月，该市邮政快递同城业务量完成件数与2017年9～12月相比有所减少；③2018年9～12月，该市邮政快递国际及港澳台业务量同比增长超过75%，其中正确结论的个数为( )A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】B【解析】【分析】先计算出年的快递业务总数，乘以得到年的快递业务总数，根据扇形图计算出点各项业务的快递数，由此判断出正确的结论个数.【详解】年的快递业务总数为万件，故年的快递业务总数为万件，故①正确.由此2018年9～12月同城业务量完成件数为万件，比年提升，故②错误.2018年9～12月国际及港澳台业务量万件，，故该市邮政快递国际及港澳台业务量同比增长超过.故③正确.综上所述，正确的个数为个，故选B.【点睛】本小题主要考查图像的识别，考查图标分析能力，考查实际应用问题，属于中档题.7.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有十二枚，问积几何？”该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得．”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数是的整数倍时，均可采用此方法求解．如图是解决这类问题的程序框图，若输入，则输出的结果为（）A. 47B. 48C. 39D. 40【答案】A【解析】【分析】按照程序框图逐步执行，即可求出结果.【详解】执行程序框图如下：初始值，执行循环体；，执行循环体；，执行循环体；，结束循环，.输出.故选A【点睛】本题主要考查程序框图，按程序逐步执行即可，属于基础题型.8.已知（ax+b）7的展开式中x5项的系数与x6的系数分别为189与-21，则（ax+b）5展开式所有项系数之和为( )A. 64B. -64C. 32D. -32【答案】D【解析】【分析】利用展开式中的系数列方程组，解方程求得的值，令求得展开式所有项系数的和.【详解】展开式的通项公式为，依题意可知，解得.故，令得.即展开式所有项系数的和为.故选D.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查二项式展开式所有项的系数和的计算，属于中档题.9.某几何体的三视图如图所示，图中每一个小方格均为正方形，且边长为1，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】几何体为半个圆锥与半个圆柱的组合体，如图，体积为选B.10.已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为2，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点M（-a，0），N （0，b），点P为线段MN上的动点，当取得最小值和最大值时，△PF1F2的面积分别为S1，S2，则=( )A. 2B. 4C. 4D. 8【答案】B【解析】【分析】根据离心率求得的值，由此求得线段所在直线方程，设出点的坐标，代入，利用二次函数求最值的方法求得取得最小值和最大值时对应的点的纵坐标，根据面积公式求得面积的比值.【详解】由于双曲线的离心率为，故.所以直线的方程为，设，焦点坐标为，将坐标代入并化简得，由于，故当时取得最小值，此时；当时取得最大值，此时.故.所以选B.【点睛】本小题主要考查双曲线的离心率，考查平面向量的数量积，考查二次函数求最值的方法，属于中档题.11.设函数f（x）=sin（ωx+），ω＞0的图象关于直线x=-1和x=2均对称，则f（0）的所有可能取值个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】先根据函数图像的两条对称轴，求得的表达式，化简，根据的表达式求得的所有可能取值，由此得出正确选项.【详解】根据题意，是半周期的整数倍，于是，因此，于是的所有可能取值是，一共有个，故选C.【点睛】本小题主要考查三角函数的对称性，考查三角恒等变换，考查特殊角的三角函数值，属于中档题.12.正三棱锥中，已知点在上，，，两两垂直，，，正三棱锥的外接球为球，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三棱锥外接球的直径为所在正方体的体对角线可知外接球半径，过作，为垂足，当垂直截面时，截面圆半径最小，进而得出面积.【详解】由，，两两垂直，可知该三棱锥由棱长为4的正方体四个顶点组成，三棱锥外接球的直径为所在正方体的体对角线，∴,过作，为垂足，,在中，，，∴，当垂直截面时，截面圆半径最小.，.故选C【点睛】本题主要考查几何体外接球的问题，只需确定垂直截面时，截面圆半径最小，即可求解，属于常考题型.第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在横线上。

精选2019届高三数学上学期开学摸底联考试题理(含解析)

安徽省江南片2019届高三开学摸底联考理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.）【答案】C【解析】【分析】分别解绝对值不等式与分式不等式求得集合A,B,∴，∴C．【点睛】集合与集合运算，一般先化简集合到最简形式，如果两个集合都是连续型数集，则常利用数轴求集合运算结果，如果是离散型集合运算常运用枚举法或韦恩图。

2.下列命题错误的是（）A. 有实数根”的逆否命题为：“若方程无实B.D.【答案】D【解析】对于，“若方程无，因为的真假判断是有真则真，所以命题正确；时，，时，命题，为假命题，或均为假命题，命题错误，故选D.【方法点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，“且命题”“或命题”的真假，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.3.）A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】.，则两条直线分别为两直线斜率的乘积为，故两条直线相互垂直；B.【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若则”是真命题，“若则”是假命题，则是的充分不必要条件；若“若则”是真命题，“若则”是真命题，则是的充分必要条件；若“若则”是假命题，“若则”是真命题，则是的必要不充分条件；若“若则”是假命题，“若则”是假命题，则是的既不充分也不必要条件.4.）B. 4C. -4D.【答案】A。

安徽省A10联盟2019届高三摸底考数学(理科)试题含答案

A10联盟2019届高三摸底考数学（理科）试题巢湖一中合肥八中淮南二中六安一中南陵中学舒城中学太湖中学天长中学屯溪一中宣城中学滁州中学池州中学阜阳一中第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要示的．1．已知集合}032|{2<--=x x x A ，)}1lg(|{-==x y x B ，则B A ＝（）A ．（－1，3）B ．（－3，1）C ．（1，3）D ．（－1，1）2．若复数z 满足i i z -=+1)2(（i 为虚数单位），则z 的虚部分为（）A ．53B ．53-C ．i 53D ．i 53- 3．若α，β，γ是三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，则下列命题正确的是（）A ．若m =βα ，α⊂n ，n m ⊥，则βα⊥B ．若βα⊥，m =βα ，n =γα ，则n m ⊥C ．若m 不垂直于平面α，则m 不可能垂直于平面α内的无数条直线D ．若α⊥m ，β⊥n ，m ∥n ，则α∥β4．七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”．如图，这是一个用七巧板拼成的正方形，其中1号板和2号板为两个全等的等腰直角三角形，3号板和5号板为两个全等的等腰直角三角形，7号板为一个等腰直角三角形，4号板为一个正方形，6号板为一个平行四边形．现从这个正方形内任取一点，由此点取自阴影部分的概率为（）A ．81 B ．41 C ．163 D ．83 5．函数x x f x x cos 2121)(⋅+-=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈22ππ，　x 的图象大致为（）6．设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若0221=+S S ，且15)(842=-a a ，则51a a ＝（）A ．94B ．49C ．8116D ．16817．若函数)sin()(θ+=x x f （0＜θ＜π）的图象关于直线3π=x 对称，则)(x f 在［0，π］上的单调递减区间为（） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ，3 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡323ππ， C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡320π， D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ，32 8．设F 1，F 2分别是双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，以线段F 1F 2为为边作等边 △MF 1F 2，若线段MF 1的中点P 在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A ．324+B ．13+C ．213+ D ．3 9．在△ABC 中，=，且32||=CP ，8||=CA ，∠ACB ＝32π，则CA CP ⋅＝（） A ．24 B ．12 C ．324 D ．31210．已知某几何体的三视图如图所示，俯视力中的3个小三角形全等，则该几何体的外接球衣的表面积为（）A ．314πB ．27136πC ．64165πD ．449π 11．已知直线l 过点（33，0）且不与x 轴垂直，圆C ：0222=-+y y x ，若直线l 上存在一点M ，OM交圆C 于点N ，且23=，其中O 为坐标原点，则直线l 的斜率的最小值为（） A ．－1 B ．3- C ．6- D ．33- 12．设)('x f 是函数)(x f 的导函数，12)1(')0(21)(-+-=x e f x f x x f ，若x x x f x g +-=221)()(，且方程02=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x a x g 有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（） A ．}0{)0( ，-∞ B ．]10()0(，， -∞ C ．]10(， D ．[)∞+，1 第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知角θ的终边经过点（54-，53），则2sin 2θ的值为． 14．已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥+≥y x y x x y 2422，则y x z 3-=的最大值为．15．6)2(z y x --的展开式中含z y x 32项的系数为．16．设抛物线x y 42=的焦点为F ，过点（2，0）的直线交抛物线于A ，B 两点，交抛物线的准线于点C ．若52=∆∆BCF ACF S S ，则=||AF ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且B c a C b cos )2(cos -=．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若△ABC 外接圆的半径为334，求△ABC 面积的最大值．18．（本小题满分12分）已知数列}{n a 是单调递增数列，首项11=a ，其前n 项和为S n ，且满足12212+-=-n n n S a S （n ≥2且*N n ∈）．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设11+⋅=n n n a a b ，数列}{n b 的前n 项和为n T ，求证：n T ＜21．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是梯形，四边形ADEF是正方形，ED⊥平面ABCD．AB ∥DC，AB＝AD＝1，CD＝2，AC＝5．（Ⅰ）求证：平面EBC⊥平面EBD；（Ⅱ）设M为线段EC上一点，满足EC＝3EM．求二面角M－BD－E的余弦值．20．（本小题满分12分）某市政府为了节约用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一户居民用电标准a，用电量不超过a的部分按平价收费，超过a的部分按议价收费．为此，政府随机调查了100户居民的月平均用电量（单位：度），以［160，180），［180，200），［200，220），［220，240），［240，260），［260，280），［280，300］分组的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）根据频率分布直方图中的数据，求x的值，并估计该市每户居民月平均用电量μ的值（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）用频率估计概率，利用（Ⅰ）的结果，假设该市每户居民月平均用电量X服从正态分布σ），求“μ＜X＜240”的概率；N（μ，2（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结果，从该市所有居民中随机抽取3户，记月平均用电量介于（μ，240）度之间的户数为Y，求Y的分布列及数学期望E（Y）．已知椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）过点A （2，1），离心率为23．直线l ：t x y +=21（0≠t ）与椭圆C 交于E （1x ，1y ），F （2x ，2y ）两点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线AE 、AF 分别与x 轴正半轴交于P 、Q 两点，求证：||||OQ OP +为定值．22．（本小题满分12分）已知函数b x x e x f x ++-+=1232)(2的图象在0=x 处的切线方程为2+=ax y ，其中a ，b 为常数．（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间与极值；（Ⅱ）若存在实数x ，使得k x x x f 2232)(2----≤0成立，求整数k 的最小值．。

2019届安徽省合肥市高三上学期一模考试数学(理)试卷及解析

2019届安徽省合肥市高三上学期一模考试数学（理）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，，则复数的虚部为( ).A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】【分析】本道题结合复数的运算，化简z，计算虚部，即可。

【详解】,故虚部即为i的系数，为-2，故选D。

2.集合，，则= ( ).A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简集合A,B，结合并集计算方法，求解，即可。

【详解】解得集合，所以，故选C。

【点睛】本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关键化简集合A,B，难度较小。

3.执行如图所示的程序框图，则输出的值为( ).A. 63B. 47C. 23D. 7【答案】C【解析】【分析】本道题不断的代入i,n，直到，退出循环，即可。

【详解】n=15,i=2不满足条件，继续循环，得到n=11,i=3不满足条件 ,继续循环，n=23,i=4,满足条件，退出循环，输出n，即可。

故选C。

【点睛】本道题考查了程序框图的意义，关键找出当对应的n，输出，即可，难度较容易。

4.已知正项等差数列的前项和为()，，则的值为( ).A. 11B. 12C. 20D. 22【答案】D【解析】【分析】本道题结合等差数列性质，结合，代入，即可。

【详解】结合等差数列的性质，可得，而因为该数列为正项数列，可得，所以结合，可得，故选D。

【点睛】本道题考查了等差数列的性质，关键抓住，即。

精品解析：安徽省皖中名校联盟2019届高三10月联考数学(理)试题(解析版)

皖中名校联盟2019届高三10月联考数学试题卷（理科）命题学校：六安一中命题人：陈辰卫根柱柏世松考试说明：1.考查范围：集合与逻辑，函数与基本初等函数，导数与定积分，三角函数，解三角形，平面向量，复数，数列（少量）。

2.试卷结构：分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)；试卷分值:150分，考试时间:120分钟3.所有答案均要答在答题卷上，否则无效。

考试结束后只交答题卷。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1.命题“4,0x R x x ∀∈+≥”的否定是（）A.4,0x R x x ∀∈+< B.4,0x R x x ∀∈+≤C.4000,0x R x x ∃∈+≥ D.4000,0x R x x ∃∈+<【答案】D 【解析】【分析】利用全称命题的否定的规则写出其否定即可.【详解】命题的否定为：0x R ∃∈，4000x x +<，故选D.【点睛】全称命题的一般形式是：x M ∀∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性命题的一般形式是x M ∃∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∀∈⌝.2.已知2{|430},{|P x x x Q y y =-+<==，则P Q = （）A.[0,1)B.[0,2)C.(1,2]D.(1,2)【答案】D 【解析】【分析】计算两个集合后可以得到它们的交集.【详解】()1,3P =，[)0,2Q =，故()1,2P Q ⋂=，选D.【点睛】一般地，在考虑集合的交、并、补时，要认清集合中元素的含义，如(){}|,x y f x x D =∈表示函数的定义域，而(){}|,y y f x x D =∈表示函数的值域，()(){},|,x y y f x x D =∈表示函数的图像.3.由曲线3,y x y ==）A.512 B.13C.14D.12【答案】A 【解析】【分析】先计算出两个图像的交点分别为()()0,01,1,，再利用定积分算两个图形围成的面积.【详解】封闭图形的面积为)1331412000215||3412x dx x x =-=⎰.选A .【点睛】本题考察定积分的应用，属于基础题.解题时注意积分区间和被积函数的选取.4.已知向量AB 与AC的夹角为3π，()2,3,,AB AC AM AB AC R λμλμ===+∈ ，且AM BC ⊥ ，则λμ=（）A.16B.6C.14D.4【答案】B 【解析】【分析】利用0AM BC =得到,λμ的关系后可得6λμ=.【详解】由题设有0AM BC =，故()()·0AB AC AC AB λμ+-= ，整理得：()4930λμλμ-++-=即6λμ=，6λμ=，选B.【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用a =；（2）计算角，·cos ,a b a b a b= .特别地，两个非零向量,a b 垂直的充要条件是0a b =.5.设函数21()1xxf x e e x -=+-+，则使得(2)(1)f x f x >+成立的x 的取值范围是（）A.(,1)-∞ B.(1,)+∞ C.1(,1)3- D.1(,(1,)3-∞-+∞U 【答案】D 【解析】【分析】()f x 为R 上的偶函数，利用导数可判断出()f x 在[)0,+∞上为增函数，从而得到21x x >+，两边平方后解一元二次不等式可得x 的取值范围.【详解】()211xx f x ee x --=+-+，所以()()f x f x -=，()f x 为R 上的偶函数，又()()222'1x xxf x e e x-=-++，当0x >时，()'0f x >，故()f x 在[)0,+∞上为增函数.因()()()()22,11f x fx f x f x =+=+，由()()21f x f x >+得到21x x >+，故23210x x -->，13x <-或1x >，选D.【点睛】已知函数值的大小，考虑自变量的大小关系时，应该考虑函数的单调性，该性质可以通过导数或基本初等函数的单调性得到，注意利用函数的奇偶性讨论一侧的单调性即可.6.“0a ≥”是“函数()(1)f x ax x =+在区间(0,)+∞上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】先考虑当0a ≥时，()()1f x ax x =+在()0,∞+上单调递增是成立的.再考虑()()1f x ax x =+在()0,∞+上的单调性，需要分0a =，0a <，0a >三种情形讨论，两者结合可判断两个命题之间的关系.【详解】若0a ≥，则当0x >时，()2f x ax x =+，当0a =时，()f x x =在()0,∞+上单调递增；当0a >时，对称轴102x a=-<，故()2f x ax x =+在()0,∞+上单调递增.所以“0a ≥”是“()()1f x ax x =+在()0,∞+上单调递增”的充分条件.若()()1f x ax x =+在()0,∞+上单调递增，当0a =时，()f x x =在()0,∞+上单调递增，符合；当0a >时，对称轴102x a=-<，故()2f x ax x =+在()0,∞+上单调递增，符合；当0a <时，()221,01,ax x x af x ax x x a ⎧+<<-⎪⎪=⎨⎪--≥-⎪⎩，当112x a a -<<-时，()f x 为减函数，舍去.故“0a ≥”是“()()1f x ax x =+在()0,∞+上单调递增”的必要条件所以“0a ≥”是“()()1f x ax x =+在()0,∞+上单调递增”的充分必要条件.选C .【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的既不充分也不必要条件.7.已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，给出以下结论：①100a =；②10S 最小；③712S S =；④190S =．其中一定正确的结论是（）A.①② B.①③④C.①③D.①②④【答案】B 【解析】【分析】先由13623a a S +=得到100a =，再利用等差数列性质得到712S S =，190S =，故正确的结论为①③④.【详解】设等差数列的公差为d ，则111236615a a d a d ++=+，故190a d +=即100a =.①正确.若10,0a d ><，则910S S =且它们为n S 的最大值，②错误.127891*********S S a a a a a a -=++++==，故712S S =，③正确.1910190S a ==，故④正确，综上选B .【点睛】一般地，如果{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则有性质：（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a +=+；（2）()1,1,2,,2k n k n n a a S k n +-+== 且()2121n n S n a -=-；（3）2n S An Bn =+且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（4）232,,,n n n n n S S S S S -- 为等差数列.8.函数4lg x x y x=的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】函数y=4lg x x x是偶函数，排除B．当x=10时，y=1000，对应点在x 轴上方，排除A，当x ＞0时，y=x 3lgx，y′=3x 2lgx +x 2lge ，可知x=1e是函数的一个极值点，排除C．故选：D．9.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωφωφ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，且()f x 的图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则下列判断正确的是（）A.要得到函数()f x 的图象只将2y x =的图象向右平移6π个单位B.函数()f x 的图象关于直线512x π=对称C.当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为D.函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】A 【解析】【分析】利用题设中的图像特征求出函数的解析式后可判断出A 是正确的.【详解】因为()f x 的最大值为A =，又图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，故22T π=即2ω=，所以()()2f x x φ=+，令12x π=-，则6k πφπ-+=即,6k k Z πφπ=+∈，因2πφ<，故6πφ=，()26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.222266y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+==++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故向右平移6π个单位后可以得到()26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故A 正确；5501266f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数图像的对称中心为5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，故B 错；当66x ππ-≤≤时，2662x πππ-≤+≤，故()min 12f x =-，故C 错；当63x ππ≤≤时，52266x πππ≤+≤，()26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数，故D 错.综上，选A .【点睛】已知()sin y A x ωφ=+的图像，求其解析式时可遵循“两看一算”，“两看”指从图像上看出振幅和周期，“一算”指利用最高点或最低点的坐标计算φ.而()sin y A x ωφ=+性质的讨论，则需要利用复合函数的讨论方法把性质归结为sin y x =的相应的性质来处理（把x ωφ+看成一个整体）.10.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当01x <<时，()21xf x =-，则2(log 9)f =（）A.79-B.8C.10-D.259-【答案】A 【解析】【分析】先利用()()2f x f x +=-得到()()2f x f x +=-，从而得到图像的对称轴为1x =，再次利用()()2f x f x +=-把函数值的计算归结为29log 4f ⎛⎫⎪⎝⎭，最后利用对称轴为1x =把函数值的计算归结为216log 9216log 219f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【详解】()()()2f x f x f x +=-=-，所以()f x 的图像的对称轴为1x =，()229log 9log 4f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因291log 24<<，故2229916log 2log log 449f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中2160log 19<<，所以216log 92167log 2199f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故()27log 99f =-.选A .【点睛】一般地，如果奇函数()f x 满足()()()0f x a f x a +=-≠，则()f x 的周期为2a 且()f x 图像有对称轴2ax =.不在给定范围上的自变量的函数值的计算，应根据给定的关系式（必要时利用周期性和对称性转化）把要求的值转化到给定的区间上的自变量的函数值.11.设函数121,1(),4,1x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩若互不相等的实数,,p q r 满足()()(),f p f q f r ==则222p q r ++的取值范围是（）A.(8,16)B.(9,17)C.(9,16)D.1735(,)22【答案】B 【解析】【分析】设p q r <<，画出函数的图像，由图像可得()3,4r ∈且112121p q ++-=-，故221p q +=，所以()222129,17p q r r ++=+∈.【详解】不妨设p q r <<，()f x的图像如图所示，令()()()f p f q f r m ===，则1121214p q r m ++-=-=-=，故112121p q ++-=-或112121p q ++-=-+且01m <<，所以p q =（舎）或11222p q +++=即221p q +=且34r <<，故()222129,17pqrr++=+∈，故选B.【点睛】本题考察方程的解（()f x m =有三个不同的解）.这类问题可以根据函数()f x 的图像与动直线y m =的关系得到不同交点的横坐标的关系式或范围，进而简化目标代数式并求其范围.12.已知2()f x x ax b =++，集合{|()0}A x f x =≤，集合{|[()]3}B x f f x =≤，若A B =≠∅，则实数a 的取值范围是（）A.[6,2]-B.C.[2,-D.[6,--【答案】B 【解析】【分析】可设{}01|A x x x x =≤≤，()t f x =，则204a b t -≤≤，再根据A B =可得2,04a b ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为()3f t ≤的解集的子集且0t =为方程()3f t =的解，从而得到,a b 满足的条件后解不等式可得a 的取值范围.【详解】因为A φ≠，故设{}01|A x x x x =≤≤，此时()204a b f x -≤≤，令()t f x =，则()3f t ≤的解00t t ≤≤，其中2004a t b ≤-≤故0,0t t t ==为23t at b ++=的两个根，故030t a b =-⎧⎨-=⎩，所以2304a a -≤-≤，解得6a ≤≤，故选B.【点睛】本题以集合为载体考查一元二次不等式的解.解题时应令()t f x =把高次不等式转化为一元二次不等式()3f t ≤，注意利用A B φ=≠得到()3f t ≤的解集包含了2,04a b ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦且0t =为方程()3f t =的解.第П卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷相应位置上．13.已知平面向量,a b 满足2,1,2a b a b ==+= ，则a b rr 与的夹角为___________．【答案】3π【解析】【分析】对2a b += 1a b = ，故可得两向量夹角的大小．【详解】由2a b += 224·412a a b b ++= ，所以1a b = ，所以21cos ,1a b ⨯⨯=，故1cos ,2a b = ，因[],0,a b π∈ ，故,3a b π=r r ．填3π．【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用a =；（2）计算角，·cos ,a b a b a b= .特别地，两个非零向量,a b垂直的充要条件是0a b =.14.函数()y f x =的图象和函数log (0a y x a =>且1)a ≠的图象关于直线y x =-对称，且函数()(1)3g x f x =--，则函数()y g x =图象必过定点___________。

安徽省皖江名校联盟2019届高三下学期开学摸底大联考数学(理)试题含答案解析

安徽省皖江名校联盟 2019 届高三开年摸底大联考
数学（理）试卷
第 I 卷（选择题共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 A={x∈R|x2-3x≥0}，B={-2，2}，则（）∩B=( ) A. B. {-2} C. {2} D. {-2，2} 【答案】C 【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合的取值范围，然后求得集合的补集，再与集合取交集，得出正确选项.
【解析】
【分析】
利用展开式中的系数列方程组，解方程求得的值，令求得
展开式所有项系数的和.
【详解】
展开式的通项公式为
，依题意可知
，解得
.故
，令得
.即
展开式所有项系数的和为 .故选 D.
【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查二项式展开式所有项的系数和的计算，属于中档题.
9.某几何体的三视图如图所示，图中每一个小方格均为正方形，且边长为 1，则该几何体的体积为（）
-3-
D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】
先计算出年的快递业务总数，乘以得到年的快递业务总数，根据扇形图计算出点各项业务的
快递数，由此判断出正确的结论个数.
【详解】年的快递业务总数为
万件，故年的快递业务总数为
万件，故①正确.由此 2018 年 9～12 月同城业务量完成件数为
万件，比
年提升，故②错误.2018 年 9～12 月国际及港澳台业务量
-1-
【详解】依题意选 A.
，故
，对应点为，在第一象限，故
【点睛】本小题主要考查复数的除法、乘法、加法以及减法的运算，考查共轭复数的概念以及复数对应点的

精品解析：安徽省皖中名校联盟2019届高三10月联考数学(理)试题(解析版)

2.试卷结构：分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)；试卷分值:150分，考试时间:120分钟3.所有答案均要答在答题卷上，否则无效。

考试结束后只交答题卷。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1.命题“4,0x R x x ∀∈+≥”的否定是（） A. 4,0x R x x ∀∈+< B. 4,0x R x x ∀∈+≤ C. 4000,0x R x x ∃∈+≥ D. 4000,0x R x x ∃∈+<【答案】D 【解析】【分析】利用全称命题的否定的规则写出其否定即可.【详解】命题的否定为：0x R ∃∈，4000x x +<，故选D.【点睛】全称命题的一般形式是：x M ∀∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性命题的一般形式是x M ∃∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∀∈⌝.2.已知2{|430},{|P x x x Q y y =-+<==，则P Q =（）A. [0,1)B. [0,2)C. (1,2]D. (1,2)【答案】D 【解析】【分析】计算两个集合后可以得到它们的交集.【详解】()1,3P =，[)0,2Q =，故()1,2P Q ⋂=，选D.【点睛】一般地，在考虑集合的交、并、补时，要认清集合中元素的含义，如(){}|,x y f x x D =∈表示函数的定义域，而(){}|,y y f x x D =∈表示函数的值域，()(){},|,x y y f x x D =∈表示函数的图像.3.由曲线3,y x y == ）A.512 B.13C.14D.12【答案】A 【解析】【分析】先计算出两个图像的交点分别为()()0,01,1,，再利用定积分算两个图形围成的面积.【详解】封闭图形的面积为)1331412000215||3412x dx x x =-=⎰.选A . 【点睛】本题考察定积分的应用，属于基础题.解题时注意积分区间和被积函数的选取. 4.已知向量AB 与AC 的夹角为3π，()2,3,,AB AC AM AB AC R λμλμ===+∈，且A M B C ⊥，则λμ=（） A. 16B. 6C. 14D. 4【答案】B 【解析】【分析】利用0AM BC =得到,λμ的关系后可得6λμ=. 【详解】由题设有0AM BC =，故()()·0AB AC AC AB λμ+-=，整理得：()4930λμλμ-++-=即6λμ=，6λμ=，选B.【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用·a a a = ；（2）计算角，·cos ,a ba b a b=.特别地，两个非零向量,a b 垂直的充要条件是0a b =. 5.设函数21()1xxf x e e x -=+-+，则使得(2)(1)f x f x >+成立的x 的取值范围是（） A. (,1)-∞ B. (1,)+∞ C. 1(,1)3- D. 1(,)(1,)3-∞-+∞U【答案】D 【解析】【分析】()f x 为R 上的偶函数，利用导数可判断出()f x 在[)0,+∞上为增函数，从而得到21x x >+，两边平方后解一元二次不等式可得x 的取值范围. 【详解】()211xx f x ee x --=+-+，所以()()f x f x -=，()f x 为R 上的偶函数，又()()222'1x xxf x e e x-=-++，当0x >时，()'0f x >，故()f x 在[)0,+∞上为增函数.因()()()()22,11f x fx f x f x =+=+，由()()21f x f x >+ 得到21x x >+，故23210x x -->，13x <-或1x >，选D.【点睛】已知函数值的大小，考虑自变量的大小关系时，应该考虑函数的单调性，该性质可以通过导数或基本初等函数的单调性得到，注意利用函数的奇偶性讨论一侧的单调性即可. 6.“0a ≥”是“函数()(1)f x ax x =+在区间(0,)+∞上单调递增”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】先考虑当0a ≥时， ()()1f x ax x =+在()0,∞+上单调递增是成立的.再考虑()()1f x ax x =+在()0,∞+上的单调性，需要分0a =，0a <，0a >三种情形讨论，两者结合可判断两个命题之间的关系.【详解】若0a ≥，则当0x >时，()2f x ax x =+，当0a =时，()f x x =在()0,∞+上单调递增；当0a >时，对称轴102x a=-<，故()2f x ax x =+在()0,∞+上单调递增. 所以“0a ≥”是“()()1f x ax x =+在()0,∞+上单调递增”的充分条件. 若()()1f x ax x =+在()0,∞+上单调递增，当0a =时，()f x x =在()0,∞+上单调递增，符合；当0a >时，对称轴102x a=-<，故()2f x ax x =+在()0,∞+上单调递增，符合；当0a <时，()221,01,ax x x af x ax x x a ⎧+<<-⎪⎪=⎨⎪--≥-⎪⎩，当112x a a -<<-时，()f x 为减函数，舍去. 故“0a ≥”是“()()1f x ax x =+在()0,∞+上单调递增”的必要条件所以“0a ≥”是“()()1f x ax x =+在()0,∞+上单调递增”的充分必要条件.选C .【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的既不充分也不必要条件.7.已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，给出以下结论： ①100a =；②10S 最小；③712S S =；④190S =．其中一定正确的结论是（） A. ①② B. ①③④C. ①③D. ①②④【答案】B 【解析】【分析】先由13623a a S +=得到100a =，再利用等差数列性质得到712S S =，190S =，故正确的结论为①③④. 【详解】设等差数列的公差为d ，则111236615a a d a d ++=+，故190a d +=即100a =.①正确. 若10,0a d ><，则910S S =且它们为n S 的最大值，②错误.127891*********S S a a a a a a -=++++==，故712S S =，③正确. 1910190S a ==，故④正确，综上选B .【点睛】一般地，如果{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则有性质：（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a +=+；（2）()1,1,2,,2k n k n n a a S k n +-+== 且()2121n n S n a -=- ；（3）2n S An Bn =+且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（4）232,,,n n n n n S S S S S -- 为等差数列.8.函数4lg x x y x=的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】函数y=4lg x x x是偶函数，排除B ．当x=10时，y=1000，对应点在x 轴上方，排除A ，当x ＞0时，y=x 3lgx ，y′=3x 2lgx +x 2lge ，可知x=1e是函数的一个极值点，排除C ．故选：D ．9.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωφωφ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，且()f x 的图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则下列判断正确的是（）A. 要得到函数()f x 的图象只将2y x =的图象向右平移6π个单位B. 函数()f x 的图象关于直线512x π=对称 C. 当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为 D. 函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】A 【解析】【分析】利用题设中的图像特征求出函数的解析式后可判断出A 是正确的.【详解】因为()f x 的最大值为A =，又图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，故22T π=即2ω=，所以()()2f x x φ+，令12x π=-，则6k πφπ-+=即,6k k Z πφπ=+∈，因2πφ<，故6πφ=，()26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.222266y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+==++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故向右平移6π个单位后可以得到()26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故A 正确；5501266f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数图像的对称中心为5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，故B 错；当66x ππ-≤≤时，2662x πππ-≤+≤，故()min 12f x =-，故C 错；当63x ππ≤≤时，52266x πππ≤+≤，()26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数，故D 错.综上，选A .【点睛】已知()sin y A x ωφ=+的图像，求其解析式时可遵循“两看一算”，“两看”指从图像上看出振幅和周期，“一算”指利用最高点或最低点的坐标计算φ.而()sin y A x ωφ=+性质的讨论，则需要利用复合函数的讨论方法把性质归结为sin y x =的相应的性质来处理（把x ωφ+看成一个整体）. 10.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当01x <<时，()21x f x =-，则2(log 9)f =（）A. 79-B. 8C. 10-D. 259-【答案】A 【解析】【分析】先利用()()2fx f x +=-得到()()2f x f x +=-，从而得到图像的对称轴为1x =，再次利用()()2f x f x +=-把函数值的计算归结为29log 4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，最后利用对称轴为1x =把函数值的计算归结为216log 9216log 219f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【详解】()()()2f x f x f x +=-=-，所以()f x 的图像的对称轴为1x =，()229log 9log 4f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因291log 24<<，故2229916log 2log log 449f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中2160log 19<<，所以216log 92167log 2199f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故()27log 99f =-.选A . 【点睛】一般地，如果奇函数()f x 满足()()()0f x a f x a +=-≠，则()f x 的周期为2a 且()f x 图像有对称轴2ax =.不在给定范围上的自变量的函数值的计算，应根据给定的关系式（必要时利用周期性和对称性转化）把要求的值转化到给定的区间上的自变量的函数值.11.设函数121,1(),4,1x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩若互不相等的实数,,p q r 满足()()(),f p f q f r ==则222p q r ++的取值范围是（） A. (8,16) B. (9,17) C. (9,16)D. 1735(,)22【答案】B 【解析】【分析】设p q r <<，画出函数的图像，由图像可得()3,4r ∈且112121p q ++-=-，故221p q +=，所以()222129,17p q r r ++=+∈.【详解】不妨设p q r <<，()f x 的图像如图所示，令()()()f p f q f r m ===，则1121214p q r m ++-=-=-=，故112121p q ++-=-或112121p q ++-=-+且01m <<，所以p q =（舎）或11222p q +++=即221p q +=且34r <<，故()222129,17pqrr++=+∈，故选B.【点睛】本题考察方程的解（()f x m =有三个不同的解）.这类问题可以根据函数()f x 的图像与动直线y m =的关系得到不同交点的横坐标的关系式或范围，进而简化目标代数式并求其范围.12.已知2()f x x ax b =++，集合{|()0}A x f x =≤，集合{|[()]3}B x f f x =≤，若A B =≠∅，则实数a 的取值范围是（）A. [6,2]-B.C. [2,-D. [6,--【答案】B 【解析】【分析】可设{}01|A x x x x =≤≤，()t f x =，则204a b t -≤≤，再根据A B =可得2,04a b ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为()3f t ≤的解集的子集且0t =为方程()3f t =的解，从而得到,a b 满足的条件后解不等式可得a 的取值范围.【详解】因为A φ≠，故设{}01|A x x x x =≤≤，此时()204a b f x -≤≤，令()t f x =，则()3f t ≤的解00t t ≤≤，其中2004a tb ≤-≤故0,0t t t ==为23t at b ++=的两个根，故030t a b =-⎧⎨-=⎩，所以2304a a -≤-≤，解得6a ≤≤，故选B.【点睛】本题以集合为载体考查一元二次不等式的解.解题时应令()t f x =把高次不等式转化为一元二次不等式()3f t ≤，注意利用A B φ=≠得到()3f t ≤的解集包含了2,04a b ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦且0t =为方程()3f t =的解. 第П卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷相应位置上．13.已知平面向量,a b 满足2,1,223a b a b ==+=，则a b r r与的夹角为___________．【答案】3π 【解析】分析】对223a b +=两边平方结合题设条件得到1a b =，故可得两向量夹角的大小．【详解】由223a b +=可以得到224?412a a b b ++=，所以1a b =，所以21cos ,1a b ⨯⨯=，故1cos ,2a b =，因[],0,a b π∈，故,3a b π=r r ．填3π．【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用·a a a = ；（2）计算角，·cos ,a ba b a b=.特别地，两个非零向量,a b 垂直的充要条件是0a b =.14.函数()y f x =的图象和函数log (0a y x a =>且1)a ≠的图象关于直线y x =-对称，且函数()(1)3g x f x =--，则函数()y g x =图象必过定点___________。

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安徽省皖中地区2019届高三入学摸底考试理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式得集合A、B，根据交集运算求得。

【详解】解集合A得解集合B得所以所以选A【点睛】本题考查了集合的交集运算，一元二次不等式解法，属于基础题。

2.2.为虚数单位，复数在复平面内对应的点所在象限为（）A. 第二象限B. 第一象限C. 第四象限D. 第三象限【答案】C【解析】，复数在复平面内对应坐标为，所以复数在复平面内对应的点在第四象限，故选C.3.3.甲乙两名同学6次考试的成绩统计如下图，甲乙两组数据的平均数分别为、，标准差分别为，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】通过读图可知甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故.【详解】由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故.故选.【点睛】本题考查平均数及标准差的实际意义，是基础题.4.4.已知函数，则的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数奇偶性定义判断函数的奇偶性，再给函数求导判断单调性，最后代入特殊点判断.【详解】因为，所以函数为奇函数，排除B选项，求导：，所以函数单调递增，故排除C选项，令，则，故排除D.故选A.【点睛】本题考查函数图像的判断，由对称性可知可以先由奇偶性判断，由其图像趋势可知可以利用单调性判断，最后对比两图像可以用代入特殊点的方式判断，一般要根据函数图像的差别代入相应的点.5.5.已知向量，，，若，则等于（）A. B. 2 C. D. 1【答案】C【解析】【分析】根据向量的坐标运算，求出；由向量垂直的坐标关系，代入求得k的值。

【详解】因为，所以因为，若所以代入得所以【点睛】本题考查了向量的坐标运算，向量垂直时的坐标关系，属于基础题。

6.6.已知函数，的部分图像如图所示，则，的值分别是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据半个周期求，再根据最值点求【详解】因为因为，所以选C.【点睛】已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.7.7.若过点有两条直线与圆相切，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由于有两条直线与圆相切，所以可知点在圆外；由点与圆的位置关系及圆的判断条件，可得m的取值范围。

【详解】圆的方程化为标准式为因为点有两条直线与圆相切所以点在圆外所以解不等式组得所以选D【点睛】本题考查了点与圆的位置关系及其简单应用，属于基础题。

8.8.运行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则判断框中可以填（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】运行程序即可找到答案.【详解】运行程序如下：a=1,s=0,s=1,a=-2,s=1-2,a=4,s=1-2+4,a=-8,s=1-2+4-8,a=16,S=1-2+4-8+16,a=-32,s=1-2+4-8+16-32=-21,a=64,故答案为：A.【点睛】(1)本题主要考查程序框图和等比数列求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)确定判断框时，要注意等号的问题，既不能提前，也不能滞后.9.9.抛物线的焦点为，点，若线段的中点在抛物线上，则（）A. B. C. D.【解析】【分析】由抛物线性质表示焦点F的坐标，再表示A、F的中点B的坐标，将其代入抛物线方程，即可求出参数p，所以B、F的坐标即可求出，由两点间距离公式求出线段长.【详解】点F的坐标为，所以A、F中点B的坐标为，因为B在抛物线上，所以将B的坐标代入抛物线方程可得：，解得：或（舍），则点F坐标为，点B的坐标为，由两点间距离公式可得.故选D.【点睛】本题考查抛物线的基本性质，要求熟练掌握抛物线中焦点的坐标，求焦半径时，可以由焦半径公式求，也可以用两点间的距离求取，注意p的符号.10.10.将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求圆锥的底面半径以及高，再根据相似得内切球的半径，最后根据球的体积公式求结果.【详解】设圆锥的底面半径为r,高为h,则，设内切球的半径为R，则选A.【点睛】本题考查圆锥展开图相关知识，考查基本求解能力.11.11.的内角，，的对边分别为，，，且，则为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由正弦定理化简已知等式，整理可得：，由余弦定理可得，结合范围即可解得的值．详解：∵由正弦定理可得：∴，整理可得：，∴由余弦定理可得：，∴由，可得：故选B.．点睛：本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属基础题．12.12.已知可导函数的定义域为，其导函数满足,则不等式的解集为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，将不等式转化为，再根据定义域以及单调性化简求解.【详解】令因为，所以因为在单调递减，所以，选B.【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13.13.已知实数，满足约束条件，则的最小值是_____．【答案】-8【解析】约束条件表示的平面区域为封闭的三角形，求出三角形的三个顶点坐标分别为、、，带入所得值分别为、、，故的最小值是.另，作出可行域如下：由得，当直线经过点时，截距取得最大值，此时取得最小值，为.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.14.14.春节期间,某销售公司每天销售某种取暖商品的销售额 (单位:万元)与当天的平均气温 (单位:℃)有关.现收集了春节期间这个销售公司天的与的数据列于下表:根据以上数据,求得与之间的线性回归方程的系数,则__________【答案】【分析】求出样本中心，代入回归直线方程．求解即可．【详解】由题意可得：==﹣4，==25，∴==25+=．故答案为：．【点睛】回归直线中样本中心一定在回归直线上，可以利用这一条件求出方程中的参数。

15.15.已知某三棱柱的三视图如图所示，那么该三棱柱最大侧面的面积为__________．【答案】【解析】分析：由三视图直接还原为三棱柱，面的面积最大。

详解：正视图、侧视图为长方形，俯视图为三角形的几何体为三棱柱，由图形可知面的面积最大为。

点睛：简单几何体的还原利用正视图和俯视图先还原一个图形，再观察侧视图即可。

16.16.在直角坐标系中，如果相异两点，都在函数的图象上，那么称，为函数的一对关于原点成中心对称的点（，与，为同一对）函数的图象上有____________对关于原点成中心对称的点．【答案】3【分析】将原问题转化为两个函数交点个数的问题，然后结合函数图象即可求得最终结果.【详解】关于原点的对称图像的解析式为，因此关于原点对称的点的个数实际上就是在上解的个数．又当时，，考虑与在上的图像的交点的个数．如下图所示，它们有3个公共点，从而函数的图象上有3对关于原点成中心对称的点．【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.17.已知数列的前项和满足．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（Ⅰ）由数列{a n}的前n项和S n满足S n=，利用，能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）推导出，由此利用错位相减法能求出数列{b n}的前n项和．【详解】解：（Ⅰ）当时，；当时，，符合上式.综上，.（Ⅱ）.则，，∴，∴.【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n－qS n”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.18.18.某少儿游泳队需对队员进行限时的仰卧起坐达标测试.已知队员的测试分数与仰卧起坐个数之间的关系如下：；测试规则：每位队员最多进行三组测试，每组限时1分钟，当一组测完，测试成绩达到60分或以上时，就以此组测试成绩作为该队员的成绩，无需再进行后续的测试，最多进行三组；根据以往的训练统计，队员“喵儿”在一分钟内限时测试的频率分布直方图如下：（1）计算值；（2）以此样本的频率作为概率，求①在本次达标测试中，“喵儿”得分等于的概率；②“喵儿”在本次达标测试中可能得分的分布列及数学期望.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）频率分布直方图中所有频率之和为1，由此可求得；（2）①由频率分布直方图可得一次测试得分的分布列，三组测试中，“喵儿”得80分为事件A，则“喵儿”可能第一组得80分，或者第二组得80分，或者第三组得80分，由于三组相互独立，从而可计算概率，②仿照①可计算出三组测试其得分的概率，得分布列，再由期望公式计算出期望．【详解】（1）（2）由直方图可知，“喵儿”的得分情况如下：①在本次的三组测试中，“喵儿”得80分为事件A，则“喵儿”可能第一组得80分，或者第二组得80分，或者第三组得80分，则（6分）②，，，分布列如下：数学期望【点睛】本题考查频率分布直方图，考查相互独立事件的概率，考查随机变量的分布列和期望．解题时依据概率公式计算出概率是解题关键.19.19.如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．（1）求证：AB1⊥平面A1BD；（2）求锐二面角A－A1D－B的余弦值；【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】法一：⑴先证明直线垂直平面内的两条相交直线，，即可证平面法二：⑴取中点，连接，以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出，即可证平面⑵求出平面的法向量为，为平面的法向量，然后求二者的数量积，即可求得结果【详解】法一：(1)取中点，连结．为正三角形，．正三棱柱中，平面平面，平面．BD连结，在正方形中，分别为的中点，，则BD⊥面AOB1．在正方形中，，平面．法二：解：(1)取BC中点O，连结AO．∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC．∵在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1．取B1C1中点O1，以O为原点，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示，则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0)，∴．∴∴，∴AB1平面A1BD．(2)设平面A1AD的法向量为．＝(－1，1，－)，＝(0，2，0)．∵，∴令z＝1得n＝(－，0，1)为平面A1AD的一个法向量．由(1)知AB1⊥平面A1BD，为平面A1BD的法向量．.．∴锐二面角A－A1D－B的大小的余弦值为．.【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定，二面角的求法，考查了空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，属于中档题目。