2016-2017年山东省淄博市沂源实验中学九年级(下)第一次月考数学试卷(五四学制)(解析版)

2016-2017学年山东省淄博市沂源实验中学九年级（下）第一次
月考数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正
确的选项选出来．每小题4分，错选、不选或选出的答案超过一个，均不得分．1．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）
A．∠1＝∠2B．∠BAD＝∠BCD C．AB＝CD D．AC⊥BD
2．（4分）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为（）
A．1.6米B．1.5米C．2.4米D．1.2米
3．（4分）将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是（）
A．43°B．47°C．30°D．60°
4．（4分）如图，有一张一个角为30°，最小边长为2的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是（）
A．8或B．10或C．10或D．8或
5．（4分）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．小亮同学随机地在大正方形及其内部区域投针，若直角三角形的两条直角边的长分别是2和1，则针扎到小正方形（阴影）区域的概率是（）
A．B．C．D．
6．（4分）下列说法中，正确的是（）
A．四个角相等的四边形是正方形
B．对角线相等的四边形是平行四边形
C．矩形的对角线一定互相垂直
D．四条边相等的四边形是菱形
7．（4分）如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是（）
A．B．C．D．7
8．（4分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA ＝，则AD的长为（）
A．2B．C．D．1
9．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG＝，则△EFC的周长为（）
A．11B．10C．9D．8
10．（4分）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB ＝60°．恒成立的结论有（）
A．①③④⑤B．①②④⑤C．①②③⑤D．①②③④
二、填空题：本题共4小题，满分16分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分．11．（4分）用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是．
12．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，BC＝6，那么AB＝．13．（4分）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则的值为．
14．（4分）如图，平面内4条直线l1、l2、l3、l4是一组平行线，相邻2条平行线的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上，其中点A、
C分别在直线l1、l4上，该正方形的面积是平方单位．
三、解答题：本大题共6小题，共44分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．
15．（6分）如图，分别过点C、B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F．求证：BF＝CE．
16．（6分）如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处，发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住，为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处，已知短墙高DF＝4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米，猫头鹰从C点观测F 点的俯角为53°，老鼠躲藏处M（点M在DE上）距D点3米．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
（1）猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？
（2）要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到0.1米）？
17．（7分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
（1）试证明三角形△ABC为直角三角形；
（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC 相似（要求：不写作法与证明）．
18．（8分）如图1，在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足为E、F．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若∠BAE＝∠EAF，求证：AE＝BE；
（3）若对角线BD与AE、AF交于点M、N，且BM＝MN（如图2）．求证：∠EAF＝2∠BAE．19．（8分）在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．如果AB＝AC，∠BAC＝90°，
（1）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF，BD所在直线的位置关系为，线段CF，BD的数量关系为；
（2）当点D在线段BC的延长线上时，如图3，（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．20．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝45°，BC＝10，高AD＝8，矩形EFPQ的一边QP 在边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．
（1）求证：；
（2）设EF＝x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值；
（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动（当点Q与点C重合时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．
2016-2017学年山东省淄博市沂源实验中学九年级（下）第一次月考数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正
确的选项选出来．每小题4分，错选、不选或选出的答案超过一个，均不得分．
1．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）
A．∠1＝∠2B．∠BAD＝∠BCD C．AB＝CD D．AC⊥BD
【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，
∴AB∥CD，
∴∠1＝∠2，（故A选项正确，不合题意）；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，（故B选项正确，不合题意）；
AB＝CD，（故C选项正确，不合题意）；
无法得出AC⊥BD，（故D选项错误，符合题意）．
故选：D．
2．（4分）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为（）
A．1.6米B．1.5米C．2.4米D．1.2米
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，即＝，
则＝，
∴h＝1.5．
故选：B．
3．（4分）将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是（）
A．43°B．47°C．30°D．60°
【解答】解：如图，延长BC交刻度尺的一边于D点，
∵AB∥DE，
∴∠β＝∠EDC，
又∠CED＝∠α＝43°，
∠ECD＝90°，
∴∠β＝∠EDC＝90°﹣∠CED＝90°﹣43°＝47°，
故选：B．
4．（4分）如图，有一张一个角为30°，最小边长为2的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是（）
A．8或B．10或C．10或D．8或
【解答】解：由题意可得：AB＝2，
∵∠C＝30°，
∴BC＝4，AC＝2，
∵图中所示的中位线剪开，
∴CD＝AD＝，CF＝BF＝2，DF＝1，
如图1所示：拼成一个矩形，矩形周长为：1+1+2++＝4+2；
如图2所示，可以拼成一个平行四边形，周长为：2+2+2+2＝8，
故选：D．
5．（4分）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．小亮同学随机地在大正方形及其内部区域投针，若直角三角形的两条直角边的长分别是2和1，则针扎到小正方形（阴影）区域的概率是（）
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意分析可得：正方形ABCD边长为＝，故面积为5；阴影部分边长为2﹣1＝1，面积为1；则针扎到小正方形（阴影）区域的概率是即两部分面积
的比值为．
故选：C．
6．（4分）下列说法中，正确的是（）
A．四个角相等的四边形是正方形
B．对角线相等的四边形是平行四边形
C．矩形的对角线一定互相垂直
D．四条边相等的四边形是菱形
【解答】解：A、四个角相等的四边形是正方形，说法错误；
B、对角线相等的四边形是平行四边形，说法错误；
C、矩形的对角线一定互相垂直，说法错误；
D、四条边相等的四边形是菱形，说法正确，
故选：D．
7．（4分）如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是（）
A．B．C．D．7
【解答】解：作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBE＝90°
又∠DAB+∠ABD＝90°
∴∠BAD＝∠CBE，
，
∴△ABD≌△BCE
∴BE＝AD＝3
在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC＝＝，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC＝×＝2；
故选：A．
8．（4分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA ＝，则AD的长为（）
A．2B．C．D．1
【解答】解：作DE⊥AB于E，如图，
∵∠C＝90°，AC＝BC＝6，
∴△ACB为等腰直角三角形，AB＝AC＝6，
∴∠A＝45°，
在Rt△ADE中，设AE＝x，则DE＝x，AD＝x，
在Rt△BED中，tan∠DBE＝＝，
∴BE＝5x，
∴x+5x＝6，解得x＝，
∴AD＝×＝2．
故选：A．
9．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG＝，则△EFC的周长为（）
A．11B．10C．9D．8
【解答】解：∵在▱ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠BAF＝∠DAF，
∵AB∥DF，AD∥BC，
∴∠BAF＝∠F＝∠DAF，∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE＝6，AD＝DF＝9，
∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，
∵AD∥BC，
∴△EFC是等腰三角形，且CF＝CE，
∴EC＝FC＝DF﹣DC＝9﹣6＝3，＝，
在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG＝4，
∴AG＝＝2，
∴AE＝2AG＝4，
∴△ABE的周长等于16，
又∵△CEF∽△BEA，相似比为1：2，
∴△CEF的周长为8．
故选：D．
10．（4分）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB ＝60°．恒成立的结论有（）
A．①③④⑤B．①②④⑤C．①②③⑤D．①②③④
【解答】解：①∵等边△ABC和等边△DCE，
∴BC＝AC，DE＝DC＝CE，∠DEC＝∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
故①正确；
③∵△ACD≌△BCE（已证），
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠ACB＝∠ECD＝60°（已证），
∴∠BCQ＝180°﹣60°×2＝60°，
∴∠ACB＝∠BCQ＝60°，
在△ACP与△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴AP＝BQ；
故③正确；
②∵△ACP≌△BCQ，
∴PC＝QC，
∴△PCQ是等边三角形，
∴∠CPQ＝60°，
∴∠ACB＝∠CPQ，
∴PQ∥AE；
故②正确；
④∵AD＝BE，AP＝BQ，
∴AD﹣AP＝BE﹣BQ，
即DP＝QE，
∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，
∴∠DQE≠∠CDE；
故④错误；
⑤∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝60°，
∵等边△DCE，
∠EDC＝60°＝∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE＝∠DEO，
∴∠AOB＝∠DAC+∠BEC＝∠BEC+∠DEO＝∠DEC＝60°．
故⑤正确；
综上所述，正确的结论有：①②③⑤．
故选：C．
二、填空题：本题共4小题，满分16分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分．
11．（4分）用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是四边相等的四边形是菱形．
【解答】解：由图形作法可知：AD＝AB＝DC＝BC，
∴四边形ABCD是菱形（四边相等的四边形是菱形），
故答案为：四边相等的四边形是菱形
12．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，BC＝6，那么AB＝18．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，＝，
∴AB＝3×6＝18．
13．（4分）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，AD＝BE，AE与
CD交于点F，AG⊥CD于点G，则的值为．
【解答】解：在△CAD与△ABE中，
AC＝AB，∠CAD＝∠ABE＝60°，AD＝BE，
∴△CAD≌△ABE．
∴∠ACD＝∠BAE．
∵∠BAE+∠CAE＝60°，
∴∠ACD+∠CAE＝60°．
∴∠AFG＝∠ACD+∠CAE＝60°．
在直角△AFG中，
∵sin∠AFG＝，
∴＝．
14．（4分）如图，平面内4条直线l1、l2、l3、l4是一组平行线，相邻2条平行线的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上，其中点A、C分别在直线l1、l4上，该正方形的面积是9或5平方单位．
【解答】解：（1）当正方形的边长和平行线垂直时，
正方的边长应该为3，所以正方的面积为：3×3＝9．
（2）如图，将两条平行的虚线之间分为三段，使每一段长为1个单位，
由题意可知：△AEB≌△AHD≌BFC≌CGD，
所以当正方形如图放置时，正方形的边长为：＝．
所以正方形的面积为：×＝5．
故答案为9或5．
三、解答题：本大题共6小题，共44分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．
15．（6分）如图，分别过点C、B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F．求证：BF＝CE．
【解答】证明：根据题意，知CE⊥AF，BF⊥AF，
∴∠CED＝∠BFD＝90°，
又∵AD是边BC上的中线，
∴BD＝DC；
在Rt△BDF和Rt△CDE中，
∠BDF＝∠CDE（对顶角相等），BD＝CD，∠CED＝∠BFD，
∴△BDF≌△CDE（AAS），
∴BF＝CE（全等三角形的对应边相等）．
16．（6分）如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处，发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住，为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处，已知短墙高DF＝4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米，猫头鹰从C点观测F 点的俯角为53°，老鼠躲藏处M（点M在DE上）距D点3米．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
（1）猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？
（2）要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到0.1米）？
【解答】解：（1）能看到；
由题意得，∠DFG＝90°﹣53°＝37°，
则＝tan∠DFG，
∵DF＝4米，
∴DG＝4×tan37°≈4×0.75＝3（米），
故能看到这只老鼠；
（2）由（1）得，AG＝AD+DG＝2.7+3＝5.7（米），
又＝sin∠ACG＝sin37°，
则CG＝≈＝9.5（米）．
答：要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞约9.5米．
17．（7分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
（1）试证明三角形△ABC为直角三角形；
（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC 相似（要求：不写作法与证明）．
【解答】解：（1）∵AB2＝20，AC2＝5，BC2＝25；
∴AB2+AC2＝BC2，
根据勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形；
（2）△ABC和△DEF相似．
由（1）中数据得AB＝2，AC＝，BC＝5，
DE＝4，DF＝2，EF＝2．
＝＝＝＝，
∴△ABC∽△DEF．
（3）如图：连接P2P5，P2P4，P4P5，
∵P2P5＝，P2P4＝，P4P5＝2，
AB＝2，AC＝，BC＝5，
∴＝＝＝，
∴，△ABC∽△P2P4P5．
18．（8分）如图1，在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足为E、F．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若∠BAE＝∠EAF，求证：AE＝BE；
（3）若对角线BD与AE、AF交于点M、N，且BM＝MN（如图2）．求证：∠EAF＝2∠BAE．【解答】解：（1）∵菱形ABCD，
∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADF，（2分）
又∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD，（1分）
在△ABE与△ADF中，
∴△ABE≌△ADF．（1分）
（2）∵菱形ABCD，
∴AB∥CD，
又∵AF⊥CD，
∴AF⊥AB，
∴∠BAF＝90°，又∠BAE＝∠EAF，
∴∠BAE＝45°，∠AEB＝90°，（2分）
∴∠B＝45°＝∠BAE，（1分）
∴AE＝BE．（1分）
（3）∵△ABE≌△ADF，
∴∠BAE＝∠DAF，AB＝AD，
∴∠ABM＝∠ADN，
∴△ABM≌△ADN．
∴AM＝AN，（1分）
又∵∠BAN＝90°，BM＝MN，
∴AM＝MN＝AN，
∴∠MAN＝60°，（1分）
∴∠MAB＝30°，（1分）
∴∠EAF＝2∠BAE．（1分）
19．（8分）在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．如果AB＝AC，∠BAC＝90°，
（1）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF，BD所在直线的位置关系为垂直，线段CF，BD的数量关系为相等；
（2）当点D在线段BC的延长线上时，如图3，（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．【解答】解：（1）垂直，相等；
故答案为：垂直，相等；
（2）当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立，理由为：
由正方形ADEF得：AD＝AF，∠DAF＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAF＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠F AC，
在△DAB和△F AC中，
，
∴△DAB≌△F AC（SAS），
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ACF＝45°，
∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，
则CF⊥BD．
20．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝45°，BC＝10，高AD＝8，矩形EFPQ的一边QP 在边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．
（1）求证：；
（2）设EF＝x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值；
（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动（当点Q与点C重合时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．
【解答】（1）证明：∵四边形EFPQ是矩形，∴EF∥QP
∴△AEF∽△ABC
又∵AD⊥BC，
∴AH⊥EF；
∴＝；
（2）解：由（1）得＝，∴AH＝x
∴EQ＝HD＝AD﹣AH＝8﹣x
∴S矩形EFPQ＝EF•EQ＝x（8﹣x）＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣5）2+20∵﹣＜0，
∴当x＝5时，S矩形EFPQ有最大值，最大值为20；
（3）解：如图1，由（2）得EF＝5，EQ＝4
∵∠C＝45°，△FPC是等腰直角三角形．
∴PC＝FP＝EQ＝4，QC＝QP+PC＝9
分三种情况讨论：
①如图2，当0≤t＜4时，
设EF、PF分别交AC于点M、N，
则△MFN是等腰直角三角形；
∴FN＝MF＝t
∴S＝S矩形EFPQ﹣S Rt△MFN＝20﹣t2＝﹣t2+20
②如图3
当4≤t＜5时，则ME＝5﹣t，QC＝9﹣t，
∴S＝S梯形EMCQ＝[（5﹣t）+（9﹣t）]×4＝﹣4t+28
③如图4
当5≤t≤9时，设EQ交AC于点K，则KQ＝QC＝9﹣t
∴S＝S△KQC＝（9﹣t）2＝（t﹣9）2
综上所述：S与t的函数关系式为：
S＝．。