2018年鲁科版物理必修2 第6章 章末分层突破

【解析】
(1)两星球围绕同一点 O 做匀速圆周运动，其角速度一样，周期
也一样，其所需向心力由两者间的万有引力提供，由牛顿第二定律得： 4π2 Mm 对于 M：G L2 ＝M T2 r1 4π2 Mm 对于 m：G L2 ＝m T2 r2 其中：r1＋r2＝L 由以上三式，可得：T＝2π L3 . GM＋m
4π2R＋h3 得 M＝ GT2 . (2)月球的平均密度 3πR＋h3 ρ＝4 ＝ GT2R3 . 3 π R 3 M
【答案】 4π2R＋h3 3πR＋h3 (1) GT2 (2) GT2R3
“黄金代换”式成立的三种情形
对于“黄金代换”式 GM＝gR2，绝对不可以理解为只要在地球表面上就能 成立，其成立是有条件的．“黄金代换”式成立的一般情形有三种． 1．对于地球两极上的物体恒成立 处在地球两极上的物体，由于没有随地球自转而做匀速圆周运动，地球对 物体的万有引力等于物体的重力． Mm 故 G R2 ＝mg，即有 GM＝gR2.
GM . R＋h3
(2)由于万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，则对离地面高为 h 处的卫 星，有 v2 4π2 Mm 2 G ＝ m ( R ＋ h ) ＝ m ＝ mω (R＋h) 2 T R＋h2 R＋h GMm′ 又地面上的物体，有 R2 ＝m′g 由以上各式可得 2π T＝ R R＋h3 g ，v＝ gR2 ，ω＝ R＋h gR2 . R＋h3
【解析】
此题已明确要求要分别用“h、R、M、G”与“h、R、g”表示
人造卫星的周期 T、线速度 v 和角速度 ω.如果用 M、g、R 进行表示，则必然要 用到“GM＝gR2”． (1)卫星运动由万有引力提供向心力，根据向心力的不同表达形式，有 v2 4π2 Mm 2 G ＝ mω (R＋h) 2＝m 2 (R＋h)＝m T R＋h R＋h 解得 T＝2π ω＝ R＋h3 GM ，v＝ GM ， R＋h
【答案】 见解析
双星模型
1.什么是双星模型 宇宙中往往会有相距较近、质量相差不多的两颗星球，它们离其他星球都 较远，因此其他星球对他们的万有引力可以忽略不计．在这种情况下，它们将 围绕它们连线上的某一固定点做同周期的匀速圆周运动，这种结构叫做双星系 统．
2．双星模型的特点
如图 61 所示，质量分别为 m 和 M 的两个星球 A 和 B 在万有引力 作用下都绕 O 点做匀速圆周运动， 星球 A 和 B 两者中心之间距离为 L.已知 A、 B 的中心和 O 三点始终共线．A 和 B 分别在 O 的两侧，引力常量为 G.
2 3 3 2π 4π r 3π r Mm 2r ⇒M＝ G ＝ m 2 r GT2 ⇒ρ＝GT2R3 T Mm G r2 ＝ma 2 2 2 v v r 3 r v Mm G 2 ＝m ⇒M＝ ⇒ρ＝ r G 4πGR3 r
Mm (2)利用天体表面物体的重力约等于万有引力来求解，即 G R2 ＝mg⇒M＝ gR2 3g G ⇒ρ＝4πGR.
若有一人造卫星距地面高度为 h，地球质量为 M、半径为 R，地面 的重力加速度为 g，引力常量为 G. (1)试分别用 h、R、M、G 表示该人造卫星的周期 T、线速度 v 和角速度 ω. (2)试分别用 h、R、g 表示该人造卫星的周期 T、线速度 v 和角速度 ω. 【导学号：45732168】
2．如果忽略地球的自转效应，对于地球表面上任意位置处的物体都成立 同一个物体，由于随地球自转而需要的向心力与其自身的重力相比小得多 Mm (可以证明)，故可以近似认为 G R2 ＝mg.当然，如果要计算地球某纬度处的物体 Mm 随地球自转而需要的向心力时，则 G R2 ＝mg 不成立．
3．对于以环绕速度(v＝7.9 km/s)运行的近地人造卫星成立 这种人造卫星的环绕速度等于第一宇宙速度．对该人造卫星，由万有引力 Mm 定律可得 G ＝mg′，由于该卫星离地面的高度 h≪R，所以 R＋h≈R，则 R＋h2 Mm 在离地面高为 h 处的重力加速度 g′＝g.故对该卫星而言，可以把 G ＝ R＋h2 Mm mg′近似视为 G R2 ＝mg，即 GM＝gR2.
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天体质量和密度的计算
天体的运动可以近似看成匀速圆周运动，天体质量和密度的计算涉及两种 解题思路． (1)利用天体做圆周运动的向心力由万有引力提供，天体的运动遵循牛顿第 二定律求解．即
巩 固 层 · 知 识 整 合
拓 展 层 · 典 题 链 接
章末分层突破
提 升 层 · 能 力 强 化 章 末 综 合 测 评
[自我校对] r3 ①T2 m1m2 ②G r2 ③7.9 km/s ④向心力 ⑤相对性原理 ⑥光速不变原理
⑦时间延缓效应 ⑧长度收缩效应 ⑨质速关系 ⑩质能关系 ⑪量子 ⑫波粒二象
图 61
(1)求两星球做圆周运动的周期． (2)在地月系统中，星 球 A 和 B，月球绕其轨道中心运行的周期记为 T1.但在近似处理问题时，常常认 为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为 T2.已知地球和月球的 质量分别为 5.98×1024 kg 和 7.35×1022kg.求 T2 与 T1 两者平方之比． (结果保留 3 位小数)
(2)若认为地球和月球都围绕中心连线某点 O 做匀速圆周运动，由(1)可知两 者运行周期为 T1＝2π L3 GM＋m
“嫦娥三号”探测器在环月运行时，其运行周期为 T，距离月球表 面的高度为 h，已知月球的半径为 R，万有引力常量为 G.若将“嫦娥三号”探测 器的运行轨道看作圆轨道，求： (1)月球质量 M； (2)月球的平均密度．
【解析】
(1)“嫦娥三号”探测器的运行轨道看作圆轨道，万有引力充当
2π GMm 2 向心力，所以 ＝ m ( R ＋ h ) ， R＋h2 T