高中数学第一章直线多边形圆2.3弦切角定理学案北师大版选修

学习资料专题
2．3 弦切角定理
[对应学生用书P19]
[自主学习]
1．弦切角的定义
顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．
2．弦切角定理
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角；弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半．
[合作探究]
弦切角的三要素是什么？
提示：(1)顶点在圆上；(2)一边与圆相交；(3)一边与圆相切．
[对应学生用书P20]
[例1] 如图，AB C，若∠CAD＝25°，求∠C.
[思路点拨] 本题主要考查弦切角定义及定理的应用．解此题时，需连接BD，创设弦切角∠CDB，然后求∠C.
[精解详析] 连接BD.∵AB为直径，
则∠BDA＝90°.
又CD为⊙O的切线，切点为D，
∴∠BDC为弦切角．
∴∠BDC＝∠CAD＝25°.
∴∠CDA＝90°＋25°＝115°.
在△ACD中，∠C＝180°－∠A－∠CDA＝40°.
利用定义确定弦切角时要紧扣定义中的三要素．确定大小时，要区分弦切角所夹的弧对应的是圆心角还是圆周角．
1.如图，CD是⊙O的切线，T为切点，A是TB上的一点，若∠TAB＝100°，
则∠BTD的度数为( )
A．20°B．40°
C．60°D．80°
解析：选D 如图，作四边形ABET，因为四边形ABET是圆内接四边
形，
所以∠E＝180°－∠A＝80°，
又CD是⊙O的切线，T为切点，
所以∠BTD＝∠E＝80°.
[例2] 如图，DC于
D，PQ⊥AB于Q.求证：PQ2＝AC·BD.
[思路点拨] 本题主要考查弦切角定理的应用，解题时连接PA、PB证
明△ACP∽△PQB，△BDP∽△PQA后可证PQ2＝AC·BD.
[精解详析] 连接PA，PB，如图所示．
∵CD切⊙O于P，
∴∠1＝∠2.
∵AC⊥CD于C，PQ⊥AB于Q，
∴∠ACP＝∠PQB＝90°.
∴△ACP∽△PQB.
∴AC∶PQ＝PA∶BP.
同理，△BDP∽△PQA，
∴PQ∶BD＝PA∶BP.
∴AC∶PQ＝PQ∶BD，即PQ2＝AC·BD.
利用弦切角定理证明问题的关键是根据条件创设弦切角，从而寻找角的等量关系．
2．如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O 于点Q，过点Q的⊙O的切线交OA延长线于点R.求证：RP＝RQ.
证明：作直径BC，连接CQ，因为BC是⊙O的直径，
所以∠B＋∠C＝90°，
因为OA⊥OB，
所以∠B＋∠BPO＝90°.
所以∠C＝∠BPO.
又∠BPO＝∠RPQ，
所以∠C＝∠RPQ.
又因为RQ为⊙O的切线，
所以∠PQR＝∠C.
所以∠PQR＝∠RPQ.
所以RP＝RQ.
[例3] 如图，圆O的直径AB＝8，C为圆周上一点，BC＝4，过C作圆的切线l，过A 作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，求线段AE的长．
[思路点拨] 本题考查利用弦切角定理进行计算问题．解此题时，连接BE，AC，OC.可知△AEB为直角三角形，利用角的关系确定∠EBA＝30°可求AE.
[精解详析] 连接OC，BE，AC，则BE⊥AE.
∵BC＝4，∴OB＝OC＝BC＝4，
即△OBC为正三角形，
∴∠CBO ＝∠COB ＝60°. 又直线l 切⊙O 于C ， ∴∠DCA ＝∠CBO ＝60°，
∵AD ⊥l ，∴∠DAC ＝90°－60°＝30°， 而∠OAC ＝∠ACO ＝1
2∠COB ＝30°，∴∠EAB ＝60°.
在Rt △BAE 中，∠EBA ＝30°，∴AE ＝1
2
AB ＝4.
弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁，利用弦切角定理时，注意结合条件添加适当的辅助线以构造弦切角．
3.如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，点C 在AB 上，CD ⊥AB ，CE ⊥PA ，
CF ⊥PB ，垂足分别为D ，E ，F .
求证：CD 2
＝CE ·CF . 证明：连接CA ，CB .
因为PA ，PB 是⊙O 的切线， 所以∠CAP ＝∠CBA ， ∠CBP ＝∠CAB .
又因为CD ⊥AB ，CE ⊥PA ，CF ⊥PB ， 所以Rt△CAE ∽Rt△CBD ， Rt△CBF ∽Rt△CAD ， 所以CA CB ＝CE CD ，CB CA ＝
CF
CD ，
所以CE CD ＝CD CF
，即CD 2
＝CE ·CF .
本课时常考查弦切角定理及应用，题目难度中等．
[考题印证]
如图，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E .证明：
(1)AC ·BD ＝AD ·AB ； (2)AC ＝AE . [命题立意]
本题考查平面几何中的弦切角定理及相似三角形的判定与性质．
[自主尝试] (1)由AC 与⊙O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ， 同理∠ACB ＝∠DAB ， 所以△ACB ∽△DAB . 从而AC DA ＝AB
DB
， 即AC ·BD ＝AD ·AB .
(2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD ， 又∠ADE ＝∠BDA ， 得△EAD ∽△ABD . 从而AE BA ＝AD BD
， 即AE ·BD ＝AD ·AB . 结合(1)的结论，AC ＝AE .
[对应学生用书P21]
一、选择题
1．如图，AB 是⊙O 的直径，DB ，DC 分别切⊙O 于B ，C 两点，若∠ACE ＝25°，则∠D 为( )
A ．50°
B ．55°
C ．60°
D ．65°
解析：选A 连接BC ，
根据弦切角定理，得∠ACE ＝∠ABC ＝25°. 又因为AB ⊥BD ，
所以∠CBD ＝90°－∠ABC ＝65°. 因为DC ，DB 是圆的切线， 所以∠CBD ＝∠DCB ＝65°， 所以∠D ＝180°－2×65°＝50°.
2．过圆内接△ABC 的顶点A 引⊙O 的切线交BC 的延长线于点D ，若∠B ＝35°，∠ACB ＝80°，则∠D 为( )
A ．45°
B ．50°
C ．55°
D ．60°
解析：选A 如图，∵AD 为⊙O 的切线，
∴∠DAC ＝∠B ＝35°.又∠ACB ＝80°， ∴∠D ＝∠ACB －∠DAC ＝80°－35°＝45°.
3．如图，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于点C ，AD ⊥EF 于点D ，AD ＝2，AB ＝6，则AC 的长为( )
A ．2
B ．3
C ．2 3
D ．4 解析：选C 连接BC ，如图所示，
∵EF 是⊙O 的切线， ∴∠ACD ＝∠ABC .
又AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°. 又AD ⊥EF ，∴∠ACB ＝∠ADC . ∴△ADC ∽△ACB .∴AB AC ＝AC AD
.
∴AC 2
＝AD ·AB ＝2×6＝12.∴AC ＝2 3.
4.已知如图，E 是两相交圆⊙M 和⊙N 的一个交点，且ME ⊥NE ，
AB 为外公切线，切点分别为A ，B ，连接AE ，BE ，则∠AEB 的度数为( )
A ．145°
B ．140°
C ．135°
D ．130°
解析：选C 连接AM ，BN ，因为∠BAE ＝1
2∠AME ，
∠ABE ＝1
2
∠BNE ，
所以∠BAE ＋∠ABE ＝1
2(∠AME ＋∠BNE )，
因为MA ⊥AB ，NB ⊥AB ， 所以MA ∥NB ，
所以∠AMN ＋∠BNM ＝180°. 因为∠MEN ＝90°， 所以∠EMN ＋∠ENM ＝90°，
所以∠AME ＋∠BNE ＝180°－90°＝90 °， 所以∠BAE ＋∠ABE ＝1
2×90°＝45°，
所以∠AEB ＝180°－45°＝135°. 二、填空题
5.如图，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A ，B ，且
PB ＝7，C 是圆上一点使得BC ＝5，∠BAC ＝∠APB ，则AB ＝ .
解析：由PA 为⊙O 的切线，BA 为弦，得∠PAB ＝∠BCA ，又∠BAC ＝∠APB ，于是△APB ∽△CAB ，
所以PB AB ＝AB CB
，而PB ＝7，BC ＝5， 故AB 2
＝PB ·BC ＝7×5＝35， 即AB ＝35. 答案：35
6．如图所示，直线PB 与圆O 相切于点B ，D 是弦AC 上的点，∠PBA ＝∠DBA .若AD ＝m ，
AC ＝n ，则AB ＝ .
解析：因为直线PB 是圆O 的切线，所以∠ABP ＝∠C ，又因为∠ABP ＝∠ABD ，所以∠ABD ＝∠C ，又因为∠A ＝∠A ，所以△ABD ∽△ACB ，所以AD AB ＝
AB
AC
，所以AB ＝AD ·AC ＝mn . 答案：mn
7.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝BC .AT 是⊙O 的切线，∠BAT ＝55°，则∠D 等于 ．
解析：如图，连接AC ，
由弦切角定理知∠ACB ＝∠BAT ＝55°， 因为AB ＝BC ，所以∠ACB ＝∠CAB ＝55°， 所以∠B ＝180°－2∠ACB ＝70°， 所以∠D ＝180°－∠B ＝110°. 答案：110°
8．如图，PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为 ．
解析：过点D 作DE ⊥PC ，垂足为E .∵∠POD ＝120°， ∴∠DOC ＝60°.
可得OE ＝12，DE ＝3
2
，在Rt △PED 中，
∴PD ＝PE 2＋DE 2
＝254＋3
4
＝7. 答案：7 三、解答题
9．过⊙O 外一点P 作⊙O 的切线PA ，切点为A ，连接OP 与⊙O 交于点C ，过C 作AP 的
垂线，垂足为D .若PA ＝12 cm ，PC ＝6 cm.求CD 的长．
证明：连接AO ，PA 为圆的切线，
∴△PAO 为直角三角形，设⊙O 的半径为r ， 则122
＋r 2
＝(r ＋6)2
， ∴r ＝9.
又CD ⊥PA ，于是PC PO ＝CD
AO
.
∴CD ＝18
5
(cm)．
10.如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB ＝AC ，BC 交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，
E 为垂足．
(1)求证：∠ADE ＝∠B .
(2)过点O 作OF ∥AD ，与ED 的延长线相交于点F ，求证：FD ·DA ＝
FO ·DE .
证明：(1)连接OD ，
因为OA ＝OD ， 所以∠OAD ＝∠ODA . 因为AB 是⊙O 的直径， 所以∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC . 又因为AB ＝AC ，
所以AD 平分∠BAC ， 即∠OAD ＝∠CAD .
所以∠ODA ＝∠DAE ＝∠OAD . 因为∠ADE ＋∠DAE ＝90°，
所以∠ADE ＋∠ODA ＝90°，即∠ODE ＝90°，OD ⊥EF . 因为OD 是⊙O 的半径， 所以EF 是⊙O 的切线． 所以∠ADE ＝∠B . (2)因为OF ∥AD ， 所以∠F ＝∠ADE .
又因为∠DEA ＝∠FDO ＝90°， 所以△FDO ∽△DEA .
所以FD DE ＝FO
DA
，即FD ·DA ＝FO ·DE .
11．如图，⊙O 是以AB 为直径的△ABC 的外接圆，点D 是劣弧BC 的中点，连接AD 并延长，与过C 点的切线交于P ，OD 与BC 相交于点
E .求证：
(1)OE ＝1
2
AC ；
(2)PD PA ＝BD 2AC
2. 证明：(1)因为AB 为⊙O 的直径，所以∠ACB ＝90°，即AC ⊥BC . 因为D 是弧 BC 的中点，由垂径定理得OD ⊥BC ， 因此OD ∥AC ，
又因为点O 为AB 的中点，所以点E 为BC 的中点， 所以OE ＝1
2
AC .
(2)连接CD ，因为PC 是⊙O 的切线， 所以∠PCD ＝∠PAC .
又∠P 是公共角，所以△PCD ∽△PAC .
得PC PA ＝PD PC ＝CD AC ，得PD PA ＝CD 2
AC
2，
唐玲 因为D 是弧BC 的中点，所以CD ＝BD ，
因此PD PA ＝BD 2AC 2.。