十七(1)函数与方程思想方法-1(教师)

模块：
十七、数学思想专题
课题： 1、函数与方程的思想方法-1
教学目标： 函数、方程、不等式相互转化求含参范围等问题；运用函数与方程研究数列问
题；运用函数方程研究实际问题。

重难点： 函数方程之间的转化。

一、 知识要点
1、 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关
系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。

2、 方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构
造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。

二、 例题精讲
例1、已知关于x 的二次方程22210x mx m +++=
（1） 若方程有两根，其中一根在区间()1,0-内，另一根在区间()1,2内，求m 的取值范
围；
（2） 若方程有两根均在区间()0,1内，求m 的取值范围。

答案：（1）5162m -<<-（2
）1
12
m -<≤-
例2、已知，1
2
a ≥
，()22f x a x ax c =-++ （1） 证明对任意[]0,1x ∈，()1f x ≤的充要条件是34
c ≤
（2） 己知关于x 的二次方程()0f x =有两个实根αβ、。

证明1α≤且
1β≤的充要条
件是2
c a a ≤-
答案：略
例3、已知函数()1111x
f x x
⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩,1,01x x ≥<<
（1）当0a b <<，且()()f a f b =时，求
11
a b
+的值 （2）是否存在实数a 、b ()a b <，使得函数()y f x =的定义域、值域都是[],a b ，若存
在，则求出a 、b 的值；若不存在，请说明理由 答案：（1）
11
2a b
+=； （2）不存在；
例4、设a 为实数，函数(
)f x =()g a
（1）
设t t 的取值范围，并把()f x 表示为t 的函数()m t ； （2） 求()g a
（3） 试求满足()1g a g a ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
的所有实数 答案：（1
）t ⎤∈⎦
，()2
12
m t at t a =
+
-t ⎤∈⎦ （2）(
)2,1,2a g a a a ⎧+⎪
⎪=--⎨
1
,
21,222
a a a >--<≤-≤- （3
）,2
a ≤≤-
或1a = 例5已知a 是实数，函数()2223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围
答案：[)3,
1,2a ⎛--∈-∞⋃+∞ ⎝⎦
三、
课堂练习
1、己知函数()()22215f x x m x m =+-++有两个相异的零点，若这两个零点均比1大，
则m 的取值范围为。

答案：(),2-∞-
2、己知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x -=-，且在区间[]
0,2上是增函数，若方程()(
)0f
x m m =>在区间[]8,8-上有四个不同的根1x ,2x ,3x ,4x ，则
1234x x x x +++=。

答案：-8
3、若函数()1
13x
x f x ⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎩,0,0
x x <≥则不等式()13f x ≥的解集为。

答案：[]
3,1-
4、定义域为R 的函数()121x f x ⎧⎪-=⎨⎪⎩
,2
,2x x ≠=，若关于的方程()()2
0f x bf x c ++=恰有5
个不同的实数解1x ,2x ,3x ,4x ，5x ,则()12345f x x x x x ++++等于（） A 、
1
2
B 、
14 C 、18
D 、
1
16
答案：C
5、定义在R 上的函数()f x 满足()()()()2,f x y f x f y xy x y R +=++∈，()12f =,则()3f -等于（）
A 、2
B 、3
C 、6
D 、9 答案：C
四、课后作业 一、填空题
1、在区间[]2,3上，方程2332log log log log x x =的实根的个数共有个 答案：0
2、设1a >，若仅有一个常数c 使得对于任意的[],2x a a ∈，都有2
,y a a ⎡⎤∈⎣⎦满足方程
log log a a x y c +=，这时a 的取值的集合为
答案：{}2
3、0x 是关于方程()log 01x
a a x a =<<的解，则0x ，1，a 这三个数的大小关系是
答案：01a x <<
4、己知函数()y f x =与()1
y f
x -=互为反函数，又()11y f x -=+与()y g x =的图像关
于直线y x =对称，若()(
)()2
12
log 2
0f x x x =+>，g =。

答案：4-
5、方程210x -=的解可视为函数y x =1
y x
=
的图像交点的横坐标。

若方程440x ax +-=的各个实根1x ,2x ,⋅⋅⋅，()4k x k ≤所对应的点4,
i i x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
()1,2,,i k =⋅⋅⋅均在直线y x =的同侧，则实数a 的取值范围是。

答案：6a <-或6a >
6、三位同学合作学习，对问题“己知不等式222xy ax y ≤+对于[]
1,2x ∈，[]2,3y ∈恒成
立，求a 的取值范围”提出了各自的解题思路。

甲说：“可视x 为变量，y 为常量来分析。

” 乙说：“寻找x 与y 的关系，再作分析。

”
丙说：“把字母a 单独放在一边，再作分析。

”
参考上述思路，或自己的其他解法，可求出实数a 的取值范围是。

答案：[
)1,-+∞ 二、选择题
7、将函数图像21x
y =+按向量a
平移得到函数12x y +=的图像，则（）
A 、()1,1a =--
B 、 ()1,1a =-
C 、 ()1,1a =
D 、()1,1a =-
答案：A
8、设函数3
y x =与2
12x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭
的图像的交点为()00,x y ，则0x 所在的区间是（） A 、()0,1 B 、()1,2
C 、()2,3
D 、()3,4
答案：B 9、设()1
f
x -是函数()()2log 1f x x =+的反函数，若()()11
118f a f b --⎡⎤⎡⎤++=⎣⎦⎣⎦，则
()f a b +的值为（）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、2log 3
答案：B
三、解答题
10、已知函数()()()280f x ax b x a ab a =+---≠，当()3,2x ∈-时，()0f x >；当
()(),32,x ∈-∞-⋃+∞时，()0f x <。

（1） 求()f x 在[]
0,1内的值域； （2）
c 为何值时，不等式20ax bx c ++≤在[]1,4上恒成立。

答案：（1）()f x 在[]
0,1内的值域[]12,18；（2）2c ≤-，不等式20ax bx c ++≤在[]
1,4上恒成立
11、己知二次函数()2
f x ax bx c =++及一次函数()
g x bx =-
（1）若,a b c >>0,a b c ++=设()f x 、()g x 两图像关于A 、B 两点，当线段AB 在x 轴上射影为11A B 时，试求11A B 的取值范围；
（2）对于自然数a ，存在一个以a 为首项系数的整系数二次三项式()f x ，使()0f x =有两个小于1的不等正根，求a 的最小值。

答案：（1）11A B ∈；（2）5a ≥
12、（1）求函数y x = （2）若二次函数()2113
22
f x x =-
+在区间[],a b 上的最小值为2a ，最大值为2b ，求[],a b
答案：（1）[)1,+∞；（2）[][],1,3a b =或[]13,24a b ⎡⎤
=--⎢⎥⎣⎦。