中国古代的数学

中国古代的数学
·极限概念和积分思想
古希腊的阿基⽶德，对“⽆穷” 的概念进⾏了许多超前研究，他通过分析⼏何物体的不同切⾯，成功地计算出物体的⾯积和体积。

例如，他把球体体积看作⽆穷个圆的相加，成功地计算了这个⽆穷级数之和⽽得出了正确的答案。

⽐阿基⽶德还要早上七、⼋⼗年，中国春秋战国时期的庄⼦（約前369年—前286年），在其哲学名著《庄⼦》中，记载了惠施的⼀句名⾔“⼀尺之锤，⽇取其半，万事不竭。

”这句话充分体现了中国古代哲⼈的极限思想。

惠施（約前370年-前310年）是戰國時期的⼀位政治家、辯客和哲學家。

庄周和惠施，既是朋友⼜是对⼿。

他们两⼈都博学多才、犀利⽆⽐，经常调侃争辩、相互挖苦。

之间的桩桩趣事，传为千古佳话。

其中最有趣的是两⼈有关“鱼之乐”的对话，令⼈体会到两位哲⼈机趣横⽣的思辨⼒量。

庄周和惠施，⽴场观点不同，⽓质性格迥异，庄周富于艺术想象，惠施更重视逻辑辩解。

⽇常⽣活中，两⼈便经常互相抬杠，进⾏⼀些⽆休⽌的辩论。

据说有⼀天，庄⼦与惠⼦散步漫游于桥上。

见河中鱼⼉有感，庄⼦⽈：“⽔中鱼⼉从容⾃在，真是快乐啊！”
惠⼦⽴即反驳：“⼦⾮鱼，安知鱼之乐？”
庄⼦也不⽢⽰弱：“⼦⾮我，安知我不知鱼之乐？”
惠⼦⼜说：“我不是你，⾃然不了解你；但你也不是鱼，⼀定也是不能了解鱼的快乐的！”
庄⼦仍然要强词夺理：“你最开头问我：在哪⼉知道鱼是快乐的？所以你已经知道我知道鱼的快乐了！那么现在我来回答你：我是在岸边知道鱼是快乐的。

”
…………
遗憾的是，惠施没有专门的著作留下来。

不过，他的哲学观点、逻辑思考、⾳容笑貌、妙语名⾔，在庄周所著《庄⼦》中多有记载和描述。

在《庄⼦-天下篇》中，记载了惠施的20个著名命题，最后⼀个命题便是我们⽂章开头所说的“⼀尺之棰”。

该命题的意思是说，⼀尺长的竿，每天截取⼀半，⼀万年也分截不完！有点类似于有关“鱼之乐”的对话，庄⼦的⽬的是：在书中借此命题调侃惠⼦并抒發⼰意，因此，他⽐喻说：如果有喜好争辩的⼈，⽤上述命题与提出命题的惠施本⼈辩论，那么他们的辩论会延续⼀辈⼦没完没了！
但从另⼀⽅⾯，惠⼦这段名⾔，表明了中国古代哲学家已经具有了“事物⽆限可分，但⼜不可穷尽”的极限思想之萌芽。

每天被截取⼀半的竿⼦会越来越短，长度越来越趋近于零，但⼜永远不会等于零，这正是不可穷尽的极限概念。

古代的数学家们，⽆论是西⽅还是东⽅，都将极限概念发挥⽤处，⽤于计算各种⼏何形状。

图1：⽤多边形来逼近圆周计算圆周率pi
例如，阿基⽶德计算圆的外接多边形和内接多边形的⾯积，来逐步逼近圆周率的近似值。

当多边形边数为96时，他计算出的圆周率在3.140845和3.142857之间。

阿基⽶德所使⽤的“逼近法”和“穷举法”，其实就是“微积分”的前⾝。

他⽤“逼近法”算出球⾯积、球体积、抛物线和椭圆的⾯积等。

⽽在使⽤⽆穷⼩量数学分析⽅式的“穷举法”中，阿基⽶德认为，这种⽅法可以让问题的答案达到任意精确度。

与阿基⽶德的⽅法类似，中国古代的刘徽和祖冲之，采⽤“割圆术” 来计算圆周率。

所谓“割圆术”，就是在半径为R的圆中作圆的内接正多边形。

如图1中所⽰，从4边形开始，再画8边形，16边形，32边形，……这些多边形的⾯积分别为A4、A8、A16、A32……如果把这个过程⽆限次地继续下去，当多边形的边数n增加时，⾯积A n就有可能精确地逼近圆的⾯积。

刘徽在割圆术的计算中，令所采⽤的圆的半径总为 1，这样使得圆的⾯积在数值上就总等于圆周率。

刘微由此创⽴了⼀种求圆周率的科学⽅法。

刘徽说：“割之弥细，所失弥少。

割之⼜割，以⾄于不可割，则与圆和体，⽽⽆所失矣”。

意思是说，割得越细，圆内接正多边形的边数越多，它的⾯积与圆⾯积之差就越⼩。

·古中国的算学
古中国和古希腊都有某些科学思想的萌芽，但即使在萌芽阶段，也各具不同的特点。

特点之⼀便是科学家进⾏科学活动的驱动⼒。

古希腊科学家所进⾏的是更为纯粹理性的思考，很少顾及其后果和利益。

⽽古中国科学活动的驱动⼒则显⽰更多的功利⾊彩，所谓“实⽤”，也是功利主义的表现。

这⼀特点，在不属于科学范畴的数学领域，也有相对应的表现。

然⽽，数学毕竟是既迷⼈⼜有趣的思维活动，且中国古代数学家很多是属于⼠⼤夫之类有闲阶层。

因此，中国古代数学的研究也不会完全是被“实⽤”⽬的所驱使，⽽很多是出⾃于对完美的追求和对研究的兴趣。

例如，祖冲之曾经计算圆周率，⼀直精确到8位有效数字！这在当时看起来，应该不见得有多少实⽤价值。

我们⽆法得知古代数学家的主观愿望，但由于中国封建社会的客观现实，中国⼈脑海中根深蒂固的“学以致⽤”的传统观念，使得中国古代数学中仍然呈现 “实⽤为⽬标，计算为中⼼” 的特点。

以《九章算术》为例可见⼀斑。

所谓“九章”，指的是九个分类标题：⽅⽥、粟⽶、衰分、少⼴、商功、均输、盈不⾜、⽅程、勾股。

其中不少题⽬都是直接取⾃于实际⽣活的具体场景。

例如，“⽅⽥”是有关⽥亩⾯积，“粟⽶”有关粮⾷交易，“衰分”关于分配⽐例， “商功”关于⼯程，“均输” 有关税收，等等。

可见解决实际问题是此书之主要⽬标。

⽽究其具体内容，《九章算术》处理计算了⼤量复杂的问题。

前⾯所列的九个分类中，包括了246个问题，以及202“术”。

其中有多种⼏何图形（如线型和圆型图形）的体积算法、⾯积算法等；有开平⽅术、开⽴⽅术；⼆项⼆次、⼆项三次等⽅程的解法；还有应⽤勾股定理解决问题的各种算法等等。

从这些例⼦可看出其以计算为中⼼的特点。

中国古代数学中并⾮完全没有理论，反之，有很多密切联系实际的理论。

特别是有不少与算法相关的推理、证明、及理论。

中国古代的许多算法，稍加改变就可以⽤到现代的电⼦计算机上。

这也是为什么将其称之为“算学”的原因。

现代计算机中使⽤的⼆进位制思想，也据说起源于《周易》（也叫易经）中的⼋卦法，早于德国数学家莱布尼兹2000多年。

务实的观点造就了古中国的算学，使其具有独创性，⾃成⼀个完整体系，可总结如下三⼤特⾊。

实⽤性：其计算问题⼤部分都取材于天⽂、历法、农业、测量、⼯程等等实⽤领域。

机械化：朝适⽤于某些机械运算的⽅向发展，以便可以使⽤算筹、算盘等为⼯具来实现运算。

例如，算盘就是当时的计算机，珠算⼝诀就是计算程序。

代数化：将实⽤问题（包括⼏何问题）转化为⽅程组，然后再转换成刻板的、机械的、⽤算具能实现的程序（例如逐次消元程序）来求解。

图2：从算盘到计算机
中国的算学当时也影响到⼀些周边国家的数学发展，如⽇本的和算，朝鲜半岛的韩算，以及越南、琉球的算学等等。

中国著名数学家吴⽂俊，早年在拓扑学上作出了奠基性的⼯作，后来⼜继承和发展了中国古代数学的传统的算法化思想，专攻⼏何定理的机器证明，在此领域颇有建树。

他认为中国古代数学有两⼤特⾊：构造性与机械化。

构造性是指从某些初始对象出发，通过明确规定的数学操作来展开理论，例如《九章》中的⽅程术、开⽅术等都是这样。

⽽机械化，就是刻板化和规格化。

实际上，这两个特性都有利于解析问题发展算法，便于使⽤现代电⼦计算机做数值计算。

中国古代数学的机械化思想，与古希腊数学中的公理化思想，是数学发展过程中的两套马车，都促进了数学的发展。

古希腊数学以⼏何为主，古中国数学多⽤代数⽅法，⼏何⽐代数更容易公理化，代数⽐⼏何更容易发展成机器使⽤的算法。

⼏何直观形象⽽易于被众⼈接受，代数在⾮专业⼈⼠眼中则显得枯燥。

可以说当时的两者各具优缺点。

但从历史发展之事实⽽⾔，西⽅的公理化思想很幸运，碰到了因⼯业⾰命⽽诱导出来的“实践精神”，与之结合⽽最后诞⽣了现代
科学。

然后，科学技术的发展基础上，⼈类发明了现代计算机，后⼜发展了⽐当年古中国数学中的算法⾼明不知多少倍的各种计算机语⾔和算法。

⽽代表古中国机械化数学思想的“算学”，则命运不佳，只在算盘这样的⼯具上施展功夫，虽然也活蹦乱跳了上千年，但没有突破难以发展，最终⽆法避免被淘汰的命运。