华师大版-数学-八年级上册-学案：勾股定理
华东师大版八年级数学上册14.2勾股定理的应用教学设计
-通过动态演示或实物模型，引导学生发现直角三角形三边之间的关系，从而引出勾股定理。
-结合图形，详细讲解勾股定理的公式及其推导过程，让学生深刻理解定理的内涵。
-通过例题，展示勾股定理在实际问题中的应用，如计算斜边长度、确定直角三角形的形状等。
3.课堂练习：
-设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固勾股定理的知识。
2.实践应用题：设计一道与实际生活相关的勾股定理应用题，要求同学们运用所学知识解决问题。例如，假设学校旗杆的高度不易直接测量，但我们可以测得旗杆底端到地面的水平距离以及旗杆顶端到视线的垂直距离，请计算旗杆的大致高度。
3.创新思维题：请同学们思考并尝试证明勾股定理的逆定理，即在一个三角形中，如果一边的平方等于另外两边平方和，那么这个三角形是直角三角形。鼓励同学们运用多种方法进行证明，如几何法、代数法等。
2.学生在解决实际问题时，可能难以将勾股定理与问题情境有效结合。教师应通过丰富的实例，引导学生学会运用勾股定理分析问题、解决问题。
3.学生的几何直观能力和逻辑思维能力发展不平衡，部分学生可能在学习过程中感到困难。教师应关注学生的个体差异，提供不同难度的学习任务，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
4.学生在合作学习过程中，可能存在交流不畅、分工不明确等问题。教师应引导学生学会倾听、表达和协作，提高学生的团队协作能力。
-针对学生的错误，及时进行讲解和指导，帮助学生克服难点。
4.小组合作：
-将学生分成小组，针对实际问题进行讨论和合作，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
-引导学生运用勾股定理解决实际问题，如设计建筑物的高度、测量河流宽度等。
5.课堂小结：
-通过提问、总结等方式，帮助学生梳理本节课的知识点，形成知识结构。
华东师大版数学八年级上册-14.1 勾股定理 教案
14.1 勾股定理【教学目标】1.掌握勾股定理的内容；2.会用勾股定理进行简单计算。
【教学重点】勾股定理的推导过程 【教学难点】能对图形性质或数量关系进行猜想及检验。
【教学过程】 一、导入新课：知识回顾:我们学过直角三角形的哪些性质？ 二、自主学习（一）观察左图正方形A 中含有 个小方格，即A 的面积是 个单位面积。
正方形B 的面积是 个单位面积。
正方形C 的面积是 个单位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积）你是怎样得到上面的结果的？与同伴交流交流。
（图中每个小方格代表一个单位面积）分“割”成若干个直角边为整数的三角形A B C 图2-11433182=⨯⨯⨯=c S（图中每个小方格代表一个单位面积）把C “补”成边长为6的正方形面积的一半（2）你能发现图中三个正方形A ，B ，C 的面积之间有什么关系吗？S A +S B=S C即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积议一议你认为右图中的三个正方形的面积A 、B 、C 还存在上述关系吗？直三角形三边长度之间有什么关系吗？与同伴进行交流。
分割成若干个直角边为整数的三角形思考：面积A ，B ，C 还有上述的关系吗？S A +S B =S Cc S 2162=⨯18=c S144312=⨯⨯⨯+议一议（1）你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与同伴进行交流。
观察所得到的各组数据，你有什么发现？ 猜想:两直角边a 、b 与斜边c 之间的关系？S a +S b =Sca 2+b 2=c2猜想两直角边a 、b 与斜边c 之间的关系？勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.a2+b 2=c2赵爽弦图思考：大正方形面积怎么求？大正方形的面积可以表示为 ，又可以表示为 。
所以结论：读一读我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的。
【最新】华师大版八年级数学上册14.2勾股定理的应用1导学案
【最新】华师大版八年级数学上册14.2勾股定理的应用1导学案新华师大版八年级数学上册14.2勾股定理的应用1导学案【学习目标】能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题．【重、难点】在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想(把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题)，进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值．【预习指导】一、学前准备1、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若BC=4，AC=2，则AB=_______；若AB=4，BC=则AC=_________．2、一个直角三角形的模具，量得其中两边的长分别为5cm 、3cm ，?则第三边的长是_________．3．要登上8m 高的建筑物，为了安全需要，需使梯子底端离建筑建6m ．?问至少需要多长的梯子？二、【教学过程】一．创设情境1．如图，一圆柱体的底面周长为20cm ，高ＡＢ为4cm ，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，试求出爬行的最短路程．（精确到0.01cm ）.（1）自制一个圆柱，尝试从A 点到C 点沿圆柱侧面画出几条路线，你认为哪条路线最短呢？（2）如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从A 点到C 点的最短路程是什么？你画对了吗？（3）蚂蚁从A 点出发，想吃到C 点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？三、练习1：有一圆柱形油罐，底面周长是12米，高是5米，现从油罐底部A 点环绕油罐建梯子，正好到A 点的正上方B 点，问梯子最短需多少米?2、如图，在长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的外部，一只蚂蚁从顶点A 沿纸箱表面爬到顶点B 处，求它所行的最短路线的长。
3. 在一棵树的10 m 高处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20 m 的池塘A 处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘的A 处，如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树有多高学习体会：我们知道勾股定理揭示了直角三角形的三边之间的数量关系，已知直角三角形中的任意两边就可以依据勾股定理求出第三边．从应用勾股定理解决实际问题中，我们进一步认识到把直角三角形中三边关系“a 2+b 2=c 2”看成一个方程，只要依据问题的条件把它转化为我们会解的方程，就把解实际问题转化为解方程．四、例题讲解BA10cm 4cmcmB A例：一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如左图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门练习：如图所示，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160米，假设一拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶，周围100米以内会受到噪声的影响，那么学校是否会受到噪声的影响?说明理由，若受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，则学校受影响的时间有多长?五、小结由学生分组进行总结，教师请个别组学生在全班总结勾股定理的应用方法六、课堂练习：1.若一个三角形的一个角等于其他两个角的差，那么这个三角形是____________三角形2.在△ABC中，∠A: ∠B: ∠C=1：2：3，则BC:AC:AB=_________3.设直角三角形的三条边长为连续自然数，则这个直角三角形的面积是____________4.甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往东走了4km，乙往南走了6km，这时甲、乙两人相距__________km．5.在△ABC中，AB=AC=4cm, ∠A: ∠B=2:5,过点C作△ABC的高CD，与AB交于D点，则CD=_______6．如图，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（取3）是（）．（A）20cm （B）10cm （C）14cm （D）无法确定7.如果梯子的底端建筑物有5m，15m长的梯子可达到该建筑物的高度大约是（）A.13mB.14m C 15m D. 16 m8.如图，一块草坪的形状为四边形ABCD，其中∠B=90°，AB=3m，BC=4m，?CD=?12m，AD=13m．求这块草坪的面积．9、如图所示，在长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝14cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长。
华东师大版八年级上册数学教学设计《勾股定理的应用》
华东师大版八年级上册数学教学设计《勾股定理的应用》一. 教材分析华东师大版八年级上册数学教材在介绍勾股定理的应用部分，旨在让学生通过实际问题，运用勾股定理解决生活中的问题。
这部分内容是学生在学习了勾股定理的基础上进行的，能够加深学生对勾股定理的理解和运用。
教材通过不同类型的题目，让学生学会如何将实际问题转化为数学问题，利用勾股定理进行计算和解决。
二. 学情分析学生在学习勾股定理的应用之前，已经学习了勾股定理的基本概念和证明，对勾股定理有了初步的理解。
但是，学生在应用勾股定理解决实际问题时，可能会遇到理解题意不深刻、列式计算错误、对不同类型题目不能灵活运用等问题。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解勾股定理的应用，将实际问题转化为数学问题，利用勾股定理进行计算和解决。
2.过程与方法：学生通过实际问题，学会如何运用勾股定理，提高解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：学生通过解决实际问题，体会数学与生活的联系，提高学习数学的兴趣。
四. 教学重难点1.教学重点：学生能够理解勾股定理的应用，将实际问题转化为数学问题，利用勾股定理进行计算和解决。
2.教学难点：学生对不同类型题目能够灵活运用勾股定理，解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法，让学生在解决问题的过程中，学会如何运用勾股定理。
同时，采用案例教学法，分析不同类型的题目，让学生能够灵活运用勾股定理。
六. 教学准备1.教师准备：教师需要熟悉教材内容，了解学生的学习情况，准备相关案例和题目。
2.学生准备：学生需要预习教材，了解勾股定理的基本概念和证明。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式，引导学生回顾勾股定理的基本概念和证明。
然后，教师提出一个问题：如何利用勾股定理计算一个直角三角形的斜边长度？2.呈现（10分钟）教师呈现一个实际问题：一块矩形铁片，长为6米，宽为8米，从中剪出一个直角三角形，求剩余部分的面积。
教师引导学生将实际问题转化为数学问题，利用勾股定理解决。
华师大版八年级数学上册《勾股定理》教案及教学反思
华师大版八年级数学上册《勾股定理》教案及教学反思一、教案1. 教学目标1.理解勾股定理的概念和形式；2.理解直角三角形的特征及判定方法；3.掌握勾股定理的运用方法； 4.利用勾股定理解决实际问题。
2. 教学重难点1.掌握三元一次方程的解题思路；2.理解弦长定理的概念；3.理解平面几何中相似图形的概念和基本属性；4.掌握勾股定理的运用方法。
3. 教学过程3.1 课前导入1.科普：直角三角形的定义和性质；2.举例：以学生为研究对象，设计一个直角三角形测量活动；3.引导：探究直角三角形的特征和判定方法。
3.2 讲授勾股定理的概念和形式1.概念：直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和；2.形式：c2=a2+b2；3.解读：用语言描述和实例演示勾股定理的应用。
3.3 勾股定理的运用方法1.勾对股法；2.运用勾股定理求解图形的边长和面积。
3.4 解题演示1.设计种类齐全的练习题，有多种难度，种类和解题方向的变化；2.铺设题海，让学生共同发掘问题和解题方法。
3.5 讲授平面几何中相似图形的概念和基本属性1.概念：指二维空间内有相同形状的图形；2.基本属性：比例性、对应角相等、对应边成比例；3.解读：用语言描述和实例演示相似图形的应用。
3.6 弦长定理1.概念：圆内一条弦的长度为其所在圆的直径长度的一半；2.形式：AB2+BC2=AC2；3.解读：用语言描述和实例演示弦长定理的应用。
4. 教学总结1.给学生回答刚才的提问；2.引导学生思考本节课的重点、难点是什么；3.总结本节课的学习目标、方法和效果。
二、教学反思此次教学中，我采用了多种教学方法，如讲解、演示、练习、问答等，使课堂形式多样化、生动活泼。
在此基础上，我重视学生的学习兴趣和自主学习能力，给学生留给一定的思考时间和自主探究机会。
而且，在课堂设计中，我注重启发学生思考和探究的过程，强调理解勾股定理的概念和形式。
在课程实施中，我的教学效果达到预期。
最新华东师大版八年级数学上册《勾股定理》·教学设计-评奖教案
第14章勾股定理14.1 勾股定理1.直角三角形三边的关系【教学目标】知识与技能1.经历勾股定理的探索过程,体会数形结合的思想.2.理解直角三角形三边的关系,会应用勾股定理解决简单的数学问题.过程与方法1.经历观察—猜想—归纳———验证等一系列过程,体会数学定理发现的过程.2.在观察、猜想、归纳、验证等过程中培养学生的数学语言表达能力和初步的逻辑推理能力.3.在探索过程中,体会数形结合、由特殊到一般的数学思想方法.情感、态度与价值观1.通过对勾股定理历史了解,感受数学文化,激发学习兴趣.2.在探究活动中,体验解决问题方法的多样性,培养学生的合作交流意识和探索精神.【重点难点】重点应用勾股定理解决简单的数学问题.难点勾股定理的探索过程以及勾股定理的验证.【教学过程】一、创设情景,导入新课目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”,为此向宇宙发出了许多信号,如地球上人类的语言、音乐、各类图形等。
我国数学家华罗庚曾建议,发射一种反映勾股定理的图形,如果宇宙人是“文明人”,那么他们一定会识别这种语言的.这个事实可以说明勾股定理的重大意义.尤其是在两千年前,是非常了不起的成就.让学生画一个直角边为3 cm和4 cm的直角△ABC,用刻度尺量出AB的长.以上这个事实是我国古代3 000多年前有一个叫商高的人发现的,他说:“把一根直尺折成直角,两段连结得一直角三角形,勾广三,股修四,弦隅五.”这句话的意思是说一个直角三角形较短直角边(勾)的长是3,长的直角边(股)的长是4,那么斜边(弦)的长是5.再画一个两直角边为5和12的直角△ABC,用刻度尺量出AB 的长.你是否发现32+42与52的关系,52+122和132的关系,即32+42=52,52+122=132,那么就有勾2+股2=弦2.对于任意的直角三角形也有这个性质吗?二、师生互动,探究新知1.勾股定理的证明.【活动】8方法一:如图,让学生剪4个全等的直角三角形,拼成如图的图形,利用面积证明.S正方形=c2S正方形=2ab+(a+b)2从而c2=2ab+(a-b)2即c2=a2+b2方法二:已知:在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边a、b、c.求证:a2+b2=c2.【分析】左右两边的正方形边长相等,则两个正方形的面积相等.左边S=4×ab+c2,右边S=(a+b)2左边和右边的面积相等,即4×ab+c2=(a+b)2化简可得c2=a2+b2.【教学说明】以上两图出示给学生,分两组交流、证明,完成后由学生代表展示.教师归纳板书:勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.求直角三角形的边长.【活动】出示习题:(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=20,则AB= ;(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=25,AC=20,则BC= ;(3)在Rt△ABC中,∠C=90°,它的两边是6和8,则它的第三边长是;【答案】(1)13 (2)12 (3)10或2【教学说明】先由学生独立完成,再由学生展示,注意(3)要分类,按8为直角边或斜边,最后教师板书:在Rt△ABC中,∠C=90°,b=,a=,b=.三、随堂练习,巩固新知1.在Rt△ABC中,已知∠B=90°,AB=6,BC=8,求AC.解:由勾股定理,可得AB2+BC2=AC2.所以AC===10.2.如图,Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2 cm,另一直角边BC长为6 cm,求AC的长.解:由已知AB=(AC-2)cm,BC=6 cm,根据勾股定理,可得AB2+BC2=(AC -2)2+62E=AC2.解得AC=10(cm).3.如图1,为了求出位于湖两岸的点A、B之间的距离,一名观测者在点C设桩,使△ABC恰好为直角三角形,通过测量,得到AC的长为160米,BC的长为128米,问从点A穿过湖到点B有多远?解:如图2,在Rt△ABC中,AC=160米,BC=128米,根据勾股定理,可得AB===96(米)答:从点A穿过湖到点B有96米.四、典例精析,拓展新知【例】如图,△ABC中,AB=13,BC=14,AC=15,求BC边上的高.解:设BD=x,则DC=14-x,由勾股定理得:AB2-BD2=AC2-CD2,即132-x2=152-(14-x)2,解得x=5,∴AD=132-52=12.【教师说明】引导勾股定理可由直角三角形中两边求出第三边,也可以为建立三边之间联系提供依据.设BD=x,可否建立方程关系.五、运用新知,深化理解1.在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)已知:a=6,b=8,求c;(2)已知:a=40,c=41,求b.2.一个高4米,宽3米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木板,则木板的长为( )A.3米B.4米C.5米D.6米【答案】1.(1)10 (2)92.C已知,如图,长方形ABCD中,AB=3 cm,AD=9 cm,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则AE的长度为多少?【答案】设AE=x,则DE=9-x,由题意可知BE=DE=9-x,在直角三角形ABE中,由勾股定理可得:AB2+AE2=BE2,∴32+x2=(9-x)2,∴x=4,∴AE=4 cm.【教学说明】第2题中若学生有困难可引导如何构建直角三角形.六、师生互动,课堂小结这节课你学习了什么?有何收获?有何困惑?与同伴交流,在学生发言的基础上,教师归纳总结.【教学反思】新课程标准对勾股定理这部分的教学要求与旧大纲有所不同,新课程标准对勾股定理这部分的教学要求是:体验勾股定理的探索过程,会用勾股定理解决简单实际的问题.本节课教师从引导构造的图形入手,用面积法证明勾股定理难度不大,但面积法教材首次用到,基于此教师在教学过程中应给予适当的引导,让学生体会成功的快乐.2.直角三角形的判定【教学目标】知识与技能掌握直角三角形的判定条件,并能进行简单运用.过程与方法经历探索直角三角形的判定条件过程,理解勾股定理的逆定理.情感、态度与价值观激发学生解决问题的愿望,体会勾股定理逆向思维所获得的结论,明确其应用范围和实际价值.【重点难点】重点理解和应用直角三角形的判定方法.难点运用直角三角形判定方法解决问题.【教学过程】一、创设情景,导入新课【实验观察】实验方法:用一根打上13个等距离结的细绳子,让同学操作,用钉子钉在第一个结上,再钉在第4个结上,再钉在第8个结上,最后将第十三个结与第一个结钉在一起,然后用角尺量出最大角的度数.(90°),可以发现这个三角形是直角三角形.二、师生互动,探究新知【教师活动】古埃及人曾经用过这种方法来得到直角,这个三角形三边长分别为多少?(3,4,5).这三边满足了怎样的条件呢?(32+42=52),是不是只有三边长为3,4,5的三角形才能构成直角三角形呢?请同学们动手画一画,如果三角形的三边分别为2.5 cm,6 cm,6.5 cm,满足关系式“2.52+62=6.52”,画出的三角形是直角三角形吗?换成三边分别为5 cm,12 cm,13 cm或8 cm,15 cm,17 cm呢?【学生活动】动手画图,体验发现,得到猜想.【教师活动】操作投影仪,提出探究的问题,引导学生思考,然后再提问个别学生.【学生活动】拿出事先准备好的纸片、剪刀,实验、领会、感悟:(1)它们完全重合;(2)理由是在△A'B'C'中,A'B'2=B'C'2+A'C'2=a2+b2,因为a2+b2=c2,因此,A'B'=c,从△ABC和△A'B'C'中,BC=a=B'C',AC=b=A'C',AB=c=A'B',推出△ABC≌△A'B'C',所以∠C=∠C'=90°,可见△ABC是直角三角形.【教师归纳】如果一个三角形的三边长a、b、c有关系式a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形,且边c对的角是直角.【教学说明】采用实验、观察、比较的教学方法,突破难点.出示习题:(投影显示)1.以下各组数为边长,能组成直角三角形的是( )A.5,6,7B.10,8,4C.7,25,24D.9,17,152.以下各组正数为边长,能组成直角三角形的是( )A.a-1,2a,a+1B.a-1,2,a+1C.a-1,,a+1D.a-1,a,a+1【答案】1.C;2.B;(a-1)2+(2)2=(a+1)2.【教学说明】引导学生用勾股定理的逆定理判别直角三角形的方法.两小边的平方和等于第三边的平方.三、随堂练习,巩固新知三角形三边之比为:(1)1∶∶2;(2)4∶7.5∶8.5;(3)1∶∶2;(4)3.5∶4.5∶5.5,其中可以构成直角三角形的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C四、典例精析,拓展新知【例】某港口位于东西方向的海岸线上,“远航号”和“海天号”轮船同时离开港口,各自沿固定的方向航行,“远航号”每小时行16海里,“海天号”每小时行12海里,它们离开港口1.5小时后相距301海里,如果知道“远航号”沿东北方向航行,能知道“海天号”沿哪个方向航行吗?解:由题意画出示意图,如图,易知PQ=16×=24,PR=12×=18,PQ=30,∵242+182=302,∴PQ2+PR2=RQ2,∴∠RPQ=90°,由“远航号”沿东北方向,知道“海天号”沿西北方向航行.【教学说明】引导学生画出正确的示意图,体现数学建模思想.五、运用新知,深化理解若△ABC的三边a,b,c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判断△ABC的形状.【教学说明】根据所给条件,只有从关于a,b,c的等式入手,找出a,b,c三边之间的关系,应用分解因式可得(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0,求出a=5,b=12,c=13,∵a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形.六、师生互动,课堂小结这节课你学习了什么?有何收获?有何困惑?与同伴交流,在学生交流发言的基础上,教师归纳总结.1.勾股定理的逆定理:如果三角形的三条边长a、b、c有关系:a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.2.该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法.3.利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算,通过学习加深对“数形结合”的理解. 【教学反思】这节课在勾股定理的基础上,让学生如何从三边的关系来判定一个三角形是直角三角形,即“勾股定理的逆定理”.在证明它时,学生可能有些困难,因此课堂教学时先动手操作观察,进而得出用勾股定理证明A'B'=AB.教案中设计题型前呼后应,使知识有序推进,有助于学生理解与掌握;让学生通过合作、交流、反思、感悟的过程,激发学生探究的兴趣,并从中获得成功的体验,真正体现学生是学习的主人.3.反证法【教学目标】知识与技能1.通过实例,体会反证法的含义.2.了解反证法的基本步骤,会用反证法证明简单的命题.过程与方法通过利用反证法证明命题,体会逆向思维.情感、态度与价值观在观察、操作、推理等探索过程中,体验数学活动充满探索性和创造性;渗透事物之间的相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想.【重点难点】重点运用反证法进行推理论证.难点理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”.【教学过程】一、创设情景,导入新课出示多媒体,展示《路旁苦李》的故事的动画场景,引入反证法的课题.二、师生互动,探究新知活动1 反证法的步骤.教师给出问题:如果你当时也在场,你会怎么办?五戎是怎么判断李子是苦的?你认为他的判断正确吗?学生讨论交流,选代表发言.如果李子不是苦的,路旁的人很多,早就没有这么多李子.教师出示,若a2+b2≠c2(a≤b≤c),则△ABC不是直角三角形,你能按照刚才五戎的方法推理吗?学生活动,代表展示.若∠C是直角,则a2+b2=c2,而a2+b2≠c2,这是不可能的,即△ABC不是直角三角形.【教师归纳】先假设结论的反面是正确的;然后经过演绎推理,推出与基本事实、已证定理、定义或已知条件相矛盾;从而说明假设不成立,进而得出原命题正确.即:一、反设;二、推理得矛盾;三、假设不成立,原命题正确.活动2 用反证法证明.教材P116例5.【教师活动】原命题结论的反向是什么?按照假设可以得到矛盾吗?【学生活动】独立完成,交流成果,发言展示.教材P116例6.【教师活动】△ABC至少有一个内角小于或等于60°的反向是什么?按照假设可以推出矛盾吗?【学生活动】独立完成,交流成果,发言展示.【教师活动】在几何命题中涉及到有“至少”“至多”“唯一”时,直接不易证明,可考虑反证法.三、随堂练习,巩固新知1.(1)用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是钝角”时,首先应假设.(2)“已知:△ABC中,AB=AC.求证:∠B<90°”.下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤.①所以∠B+∠C+∠A>180°.这与三角形内角和定理相矛盾.②所以∠B<90°.③假设∠B≥90°.④那么,由AB=AC,得∠B=∠C≥90°.即∠B+∠C≥180°.这四个步骤正确的顺序应是( )A.①②③④B.③④②①C.③④①②D.④③②①【答案】(1)一个三角形中有两个角是钝角(2)C【例2】求证:△ABC中至少有两个角是锐角.【答案】证明:假设△ABC中至多有一个锐角,则△ABC中有一个锐角或没有锐角.(1)当△ABC中只有一个锐角时,不妨设∠A为锐角,则∠B≥90°,∠C≥90°,所以∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和定理相矛盾,所以△ABC中不可能只有一个锐角.(2)假设△ABC中没有锐角,则∠A≥90°,∠B≥90°,∠C≥90°,所以∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和定理相矛盾,所以△ABC中不可能没有锐角.由(1)、(2)得出假设不成立,从而原命题成立.综上所述,△ABC中至少有两个锐角.四、典例精析,拓展新知【例】求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.【教师活动】(1)你首选的是哪一种证明方法?(2)如果你选择反证法,先怎样假设?结果和什么产生矛盾?(3)能不用反证法证明吗?你准备怎样证明?要求按问题解决的四个步骤进行:理解题意(画出图形,写出已知求证);制订计划(选择证明方法,找出证明思路);执行计划(写出证明过程).【学生活动】讨论交流后独立完成.五、运用新知,深化理解【例3】求证:若a>b>0,则>.【解析】>的反面是=或<.【答案】证明:假设不大于b,则=或<.(1)当=时,可得a=b,这与已知a>b矛盾,所以=,不成立.(2)当<时,∵a>0,b>0,∴>0,>0,∴·<·,即a<.同理可证<b.∴a<b,这与已知a>b矛盾.∴<不成立.综合(1)、(2)可知:>.1.若a、b、c是实数,A=a2-2b+,B=b2-2c+,C=c2-2a+,证明A、B、C中至少有一个值大于零.【答案】假设A、B、C中没有一个值大于零,则A≤0,B≤0,C≤0,即A+B+C≤0.由已知有A+B+C=a2-2b++b2-2c++c2-2a+=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c 2-2c+1)+(π-3)=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+(π-3).∵(a-1)2≥0,(b-1)2≥0,(c-1)2≥0,(π-3)≥0.∴A+B+C>0,这与假设A≤0,B≤0,C≤0相矛盾,所以A、B、C 中至少有一个值大于零.六、师生互动,课堂小结这节课你学习了什么?有何收获?有何困惑?与同伴交流,在学生交流发言的基础上,教师总结.【教学反思】反证法是一种重要的证题方法,也是初中数学的难点,如何突破这一难点,并为学生更好地理解和掌握是需要教师精心设计的.在教学时应注意三个思维障碍:1.思维方向的转换,不能总用直接法;2.证明步骤存在障碍;3.归谬起点推证存在障碍.为使学生更好地理解并掌握反证法,应积极引导学生克服上述思维上的障碍,并通过有关题目训练,使学生掌握反证法.教师在教学中应强调当结论的反面不止一种情况时,应穷举;“归谬”这一步应包含“归导”与“揭谬”两个层次.。
2024秋八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理3直角三角形的判定教案(新版)华东师大版
针对以上学情，教师在教学过程中需要关注学生的个体差异，对于不同层次的学生制定不同的教学策略。对于知识掌握较好的学生，可以适当增加难度，引导他们进行深入思考和探索；对于知识掌握不足的学生，要耐心引导，帮助他们弥补知识漏洞。同时，教师需要激发学生的学习兴趣，培养他们的自主学习能力，引导他们养成良好的学习习惯。此外，教师还需注重培养学生的团队合作意识，让他们在小组讨论和合作中共同进步。
（2）在线教学平台：利用在线教学平台，发布学习任务和练习题，方便学生随时随地进行学习和练习，提高教学效果和效率。
（3）互动式教学：通过小组讨论、问答等方式，鼓励学生积极参与课堂互动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
（4）数学软件辅助教学：利用数学软件进行几何图形的绘制和计算，帮助学生更直观地理解直角三角形的性质和勾股定理的应用。
教学过程设计
1.导入新课（5分钟）
目标：引起学生对直角三角形的兴趣，激发其探索欲望。
过程：
开场提问：“你们知道直角三角形是什么吗？它与我们的生活有什么关系？”
展示一些关于直角三角形的图片或视频片段，让学生初步感受直角三角形的美妙和特点。
简短介绍直角三角形的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。
2.直角三角形基础知识讲解（10分钟）
学情分析
本节课的授课对象为八年级的学生，他们已经掌握了初中数学中的一些基本知识，如代数、几何等。在知识方面，学生对于平面几何的基本概念和性质已经有所了解，对于三角形的相关知识也有所掌握。在能力方面，学生已经具备了一定的逻辑推理能力和数学运算能力，能够进行简单的数学建模。
华师大版-数学-八年级上册-学案：直角三角形三边的关系验证勾股定理
直角三角形三边的关系验证勾股定理对于勾股定理的探索，可以采用测量、计算、•观察和动手操作的方法来验证其正确性．课本主要运用拼图的方法，利用两种方法表示同一个图形的面积来验证勾股定理．如图1，是由4个完全相同的直角三角形拼成的，得到一个边长为（a+b）的大正方形和以斜边c为边长的小正方形，有（a+b）2=4×12ab+c2，整理可得a2+b2=c2．对于图2，有S正方形EFGH=c2=（b-a）2+4×12ab，即c2=a2+b2．名师导学互动典例精析：知识点1：用拼图法验证勾股定理例1、请判断一下，下列图形中，哪些可以用来验证勾股定理.【解题思路】①大正方形的面积等于四个直角三角形面积加中间小正方形面积；②中间正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形面积；③推导不出.【解】①②可以验证勾股定理.【方法归纳】勾股定理的验证，主要通过拼接图形的面积来实现.对应练习：请结合以下图形，验证勾股定理.知识点2：方程的思想例2、如图，在△ABC中，AB=15，BC=14， CA=13，求BC边上的高AD．【解题思路】【解】设DC=x，则BD=14－x，在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理可得：（14－2x x--=，解得：5(14)5615,13=+=，两式相减得：22)x+22222AD x ADx=．在Rt △ACD由勾股定理得：AD=12．【方法归纳】由于勾股定理反映了直角三角形三边的数量关系，所以在应用勾股定理解决问题时，要考虑应用定理列方程来求解．对应练习：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）A 2cmB 3cmC 4cmD 5cm知识点3：数形结合的数学思想例3、某市气象台测得一热带风暴中心从A城正西方向300km处，以每小时26km的速度向北偏东60°方向移动，距风暴中心200km的范围内为受影响区域.试问A城是否受这次风暴的影响？如果受影响，请求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，请说明理由.【解题思路】【解】构造数学模型，如图所示，设O为风暴中心，OC为风暴中心移动方向，AD⊥OC.在Rt△OAD中，∠AOD=30°，OA=300km，所以AD=150km<200km，即A城受到这次风暴的影响.如图，设AB=AC=200km ，在Rt △ABD 中，应用勾股定理，得)(7501502002222km AD AB BD =-=-=，所以，A 城遭受风暴影响的时间2.10267502≈⨯=（小时）.【方法归纳】勾股定理本身就是数形结合的定理，它的验证和应用，都体现了数形结合的思想．知识点4：分类讨论的数学思想例4、在ABC ∆中，15,20,AB AC ==BC 边上的高12,AD =则BC 的长为 _____________ .【解题思路】三角形中某边上的高既可在三角形内部，也可在三角形的外部，故此题应分为两种情况来考虑.当BC 边上的高AD 在ABC ∆的内部时，如图，由勾股定理，得22222151281,BD AB AD =-=-=得9,BD =222222012CD AC AD =-=-=256，得16,CD =则25BC BD CD =+=；当BC 上的高AD 在ABC ∆的外部时，如图，同样由勾股定理可求得16,CD =9BD =，这时，1697,BC CD BD =-=-=故BC 的长为25或7. 【解】25或7.【方法归纳】当元素之间的位置关系没有限制时，要对可能的情形分类进行讨论. 对应练习：已知直角三角形的两边长分别为5，12，求第三边的长.知识点5：整体思想例5、如图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.已知大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边是a ，较长直角边是b ，则2)(b a +的值为( )A. 13B. 19C. 25D. 169【解题思路】由勾股定理222a b c+=可得到两个变形：()222a b ab c +-=和()222a b ab c -+=.通过这两个变形，我们可以从,,,,,a b c a b a b ab +-中任意两个出发，求出其他各个量.仔细观察图形，不难得到：13c =，1a b -=，利用()222a b ab c -+=，可求得212ab =，故2)(b a +=22c ab +=13+12=25.【解】选C.【方法归纳】利用整体思想可避免繁琐的运算，达到快速求值的目的.对应练习：如图，ABC △的周长为32，且AB AC AD BC =⊥，于D ，ACD △的周长为24，那么AD 的长为 ．知识点6：转化思想例6、如图，高速公路的同一侧有A.B 两个奥运村，它们到高速公路所在的直线MN 的垂直距离分别为1AA =2km ，1BB =4km ，811=B A km ，要在高速公路上A.B 之间设一个出口P ，使A.B 两个奥运村到P 的距离之和最短，则这个最短距离是_____________ .B ′B 1A 1PEBANM【解题思路】过B 作关于MN 的对称点B ′，连接AB ′交11B A 于点P.因1PB 垂直平分BB ′，所以PB=PB ′，则AP+PB=AP+ PB ′=AB ′，由“两点之间，线段最短”易知，P 点为到A.B 距离之和最短的点.【解】过点A 作AE 垂直于BB ′于E ，则AE=11B A =8km ，B ′E =1AA +1BB =6km ，由勾股定理，得AB ′=22E B AE '+=10km ，即AP+PB=AP+ PB ′=AB ′=10km ，故最短出口P 到A.B 两个奥运村距离和为10km.【方法归纳】本题可转化为“在直线l 同侧有两点A.B ，试在l 上找一点P ，使PA+PB 最小，利用对称作图即可.对应练习：为了向建国六十周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级（3）班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长20cm BC =，宽16cm AB =的矩形纸片ABCD ，②将纸片沿着直线AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的F 处，…… 请你根据①②步骤解答下列问题：（1）找出图中∠FEC 的余角；（2）计算EC 的长.知识点7：化立体为平面例7、有一根70 cm 的木棒，要放在长、宽、高分别是50 cm 、40 cm 、30 cm 的木箱中，能放进去吗？【解题思路】在实际生活中，往往工程设计方案比较多，应用所学的知识进行计算方可解决，而此题正是需要我们大胆实践和创新，用我们学过的勾股定理和丰富的空间想像力来解决.我们可注意到木棒虽比木箱的各边都长，按各边的大小放不进去，但木箱是立体图形，可以利用空间的最长长度.如AC ′.【解】由下图可得，AA ′=30 cm ，A ′B ′=50 cm ，B ′C ′=40 cm.△A ′B ′C ′，△AA ′C ′都为直角三角形.由勾股定理，得A ′C ′2=A ′B ′2+B ′C ′2.在Rt △AA ′C ′中.AC ′最长，则AC ′2=AA ′2+A ′B ′2+B ′C ′2=302+402+502=5000＞702. 故70 cm 的棒能放入长、宽、高分别为50 cm ，40 cm ，30 cm 的大箱中.【方法归纳】本题源于生活实际，较有趣味性，能够较好地增强学生的应用意识和实践能力，同时还考查了空间观念. 求解立体几何图形的一些问题时，通常是通过平面展开图，将其转化为平面图形的问题，然后求解.对应练习：制一个底面周长为A.高为b 的圆柱形花架，需用沿圆柱侧面绕织一周的竹条若干根，如图中的121B C A ，212B C A …则每一根这样的竹条的长度最少是_________.易错警示1、注意勾股定理的使用前提是直角三角形例8 如图，在ABC △中，10AB =，16BC =，BC 边上的中线6AD =，试说明AB AC =．错解：因AD是BC边上的中线，所以12CD BC=又6AD=，∴在△ADC中，由勾股定理，得22AC AD CD=+=226810+=．而10AB=，故AB AC=．错因分析：由于受题目、结论及图形的影响，不少同学在没有进行推证说明，就先行认为ADC△是直角三角形，忽视了运用勾股定理的前提，犯了循环论证的错误．正解：因为AD是BC边上的中线，所以182BD CD BC===．又10AB=，6AD=，且有2226810+=，即222AD BD AB+=，则ADB△是直角三角形，即AD BC⊥．所以，在Rt ADC△中，由勾股定理，22AC AD CD=+=226810+=．从而AB AC=．2、注意分清直角边和斜边例9 在ABC△中，已知90B∠=，A∠，B∠，C∠的对边分别是a，b，c，且6a=，8b=，求c的长．错解：由已知，ABC△为直角三角形．则由勾股定理，得222a b c+=，即226810c=+=．错解分析：错解未抓住题目实质，受勾股定理的表达式：222a b c+=的影响而误认为c是斜边，其实，由90B∠=，知b才是斜边（如图）．因此，我们在运用勾股定理时，首先要正确识别哪个角是直角，从而确定哪条边是斜边，然后准确写出勾股定理表达式进行解题．正解：90B∠=，则在Rt ABC△中，由勾股定理，得22c b a=-2268-=73、注意分类讨论例10 已知三角形的两边长为3和4，如果这个三角形是直角三角形．求第三边的长． 错解：设第三边的长为x ，则由勾股定理得22234x =+，解得5x =．错解分析：题中没有明确指出直角边和斜边，应分类讨论，而上述解法中误以为所求的第三边即为斜边．因此漏解，值得注意．正解：设第三边的长为x ．（1）当x 为斜边时，由勾股定理，得22234x =+，解得5x =．（2）当x 为直角边时，由勾股定理，得22243x =+．解得x =7．所以，第三边的长为5或7．课堂练习评测1、如果直角三角形的三条边2，4，a ，那么a 的取值可以有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个2、如图，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°， AB=BC=CD=1，OA=2，则OD2=____________.3、如图，设火柴盒ABCD 的两边之长为a 与b ，对角线长为c ，推倒后的火柴盒是AB ′C ′D ′，试利用该图验证勾股定理的正确性．4、（1）求下列直角三角形未知边的长．（如图所示）（2）求下列图中未知数x，y，z的值．5、如图所示，为了求出位于湖两岸的两点A.B之间的距离，•一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形，通过测量，得到AC长160•米，•BC•长128米，问从点A穿过湖到点B有多远？6、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形G 的边长为7cm ，求正方形A ，B ，C ，D 的面积．G 7cmFEDCB A7、小红家住在18层的高楼上，一天，她与妈妈去买竹竿．（如图所示）如果电梯的长、宽、高分别是1.5米、1.5米、2.2米，那么，•能放入电梯内的竹竿的最大长度约是多少米？你能估计出小红买的竹竿至少是多少米吗？.课后作业练习一、判断题（2×2=4分）1．△ABC的两边AB=5，AC=12，则BC=13．（）2．△ABC中，a=6，b=8，则c=10．（）二、填空题（3×7=21分）3．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：1：2，AB2=50，则BC=_______．4．在Rt△ABC中，∠C=90°，a：b=3：4，c=15cm，则a=________cm．5．在Rt△ABC中，a=3，b=4，则c=______．6．一艘轮船以16海里/时的速度离开A港向东南方向航行，•另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开A港向西南方向航行，经过1.5小时后它们相距_______海里．7．在△ABC中，∠C=90°，若AC=6，CB=8，则AB上的高为_______．8．在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D．（1）若AC=61，CD=11，则AD=______．（2）若CB=113，CD=15，则BD=________．9．等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为_______．三、选择题（5×5=25分）10．若等腰△ABC的腰长AB=2，顶角∠BAC=120°，以BC为边的正方形面积为（）．A．3 B．12 C．2716. 43D11．已知等腰三角形斜边上中线为5cm，则以直角边为边的正方形面积为（）．A．10cm2 B．15cm2 C．50cm2 D．25cm212．等腰三角形底边上的高为8，腰长为10，则三角形的面积为（）．A．56 B．48 C．40 D．3213．一个长方形的长是宽的2倍，其对角线的长是5cm，则长方形的长是（）．A．2.5cm B．5cm C．5514．如图所示，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使点C•与点A重合，则折痕EF的长为（）．A．3.74 B．3.75 C．3.76 D．3.77四、解答题．（8×5=40分）15．用尺规在数轴上找出坐标为5的点．16．如图（a～c）所示，求下列直角三角形中未知边的长．17．如图所示，长2.5m的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙角1.5m，•求梯子的顶端与地面的距离h．18．如图所示，小方格的面积为1，找出图中以格点为端点且长度为5的线段．19．如图所示，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠DBC=90°，AD=4，AB=3，BC=12，•求正方形DCEF的面积．五、探索题（10分）20．做8个全等的直角三角形（2条直角边长分别为A.b，斜边长为c），再做3•条边长分别为A.B.c的正方形，把它们拼成2个正方形（如图所示）.你能利用这2个图形验证勾股定理吗？写出你的验证过程．。
华师大版八年级数学上册 14.1勾股定理
C
a
B 则a2+b2=C2
回
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刘徽的“青朱出入图”
I
E F
D
C
A
BH
G
收获：
一个定理——勾股定理 一个思想——以形证数 一次探索——从特殊到一般 一份自豪——中国人的骄傲
华师版八年级（上）第十四章
勾股定理
勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。
cD
勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等
于斜边的平方。
C a
b
在Rt△ABC中， 若∠A=900
华东师大版八年级上册数学学案：14.2勾股定理的应用
1 / 4学法指导1、用10分钟左右的时间，阅读课本P57---60页认真看课本的例题，利用勾股定理以及判定的内容，完成本节课本中的练习题。
2、独立、限时完成本节导学案，记录下疑惑的地方上课与同学讨论【预习案】预习自测1、下列三角形中，不满足直角三角形的条件为（）A三个角度之比为1:2:3的三角形是直角三角形B三边长之比为3:4:5的三角形是直角三角形C三边长之比为8:16:17的三角形是直角三角形D三个角度之比为1:1:2三角形是直角三角形2、有一条长为24cm的金属丝，将它变成直角三角形，使两直角边的比为3:4，则斜边长为3、甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8:00，甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走。
1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行走。
上午10:00，甲、乙两人相距多远？我的疑惑请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，待课堂上与老师和同学拓展提升长方体的高位3cm，底面是边长为2cm的正方形，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体侧面到达点C处，蚂蚁走的最短路程为多少？AC3 / 4探究解决。
例2 如右图长为10m 的梯子AB 斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ．如果梯子的顶端下滑1m ，那么它的底端是否也滑动1m ？探究点二 勾股定理与等腰三角形的结合应用例3 如图，在△ABC 中，AB=26，BC=20,边BC 上的中线AD=24.求AC 的长.例4如图，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点 F处，已知AB=8cm,BC=10cm,求CE 的长。
当堂检测1、若一个三角形的三边长之比为5:12:13，且周长为60cm ，则它的面积为2、如图，阴影部分是以直角三角形的边长为边的正方形，根据图中数据，可求出阴影部分的面积为3、如图，在一块平地上，张大爷家屋前9米处有一棵高约16米的大树，一次强风中这棵大树从离地面6米处折断倒下，大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？理由是什么？12cm13cmDA4 /4我的收获：BFCE。
华师大版数学八年级上册第14章《勾股定理》教学设计
华师大版数学八年级上册第14章《勾股定理》教学设计一. 教材分析《勾股定理》是华师大版数学八年级上册第14章的内容，本章主要让学生通过探究、发现、验证勾股定理，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
本章内容与实际生活联系紧密，有利于激发学生学习数学的兴趣。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对平面几何有了一定的认识。
但学生在学习过程中，可能对勾股定理的证明和应用存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要注重引导学生参与探究活动，激发学生的学习兴趣，提高学生的数学素养。
三. 教学目标1.了解勾股定理的背景、证明方法及应用。
2.掌握勾股定理的证明方法，提高空间想象能力。
3.会运用勾股定理解决实际问题，提高解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：勾股定理的证明及应用。
2.难点：勾股定理的证明方法及在实际问题中的运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究勾股定理。
2.运用多媒体辅助教学，提高学生的空间想象能力。
3.实行小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
4.注重实践操作，让学生在动手动脑中学习数学。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.勾股定理相关图片、视频资料。
3.勾股定理证明的课件。
4.练习题及拓展问题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示勾股定理的起源和发展，激发学生学习兴趣。
2.呈现（10分钟）展示勾股定理的定义，引导学生理解并掌握勾股定理。
3.操练（15分钟）学生分组讨论，尝试证明勾股定理。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）学生独立完成课后练习题，巩固对勾股定理的理解和应用。
5.拓展（10分钟）出示一些实际问题，让学生运用勾股定理解决。
引导学生发现数学与生活的联系。
6.小结（5分钟）教师总结本节课的学习内容，强调勾股定理的重要性和应用价值。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关勾股定理的练习题，要求学生在课后完成。
8.板书（5分钟）教师板书勾股定理的定义、证明方法和应用实例。
初中数学华东师大八年级上册第14章 勾股定理利用勾股定理求最短路径(教案)
教学内容：勾股定理的应用——关于最短路径问题知识目标：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题。
能力目标：学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念；在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。
情感目标：通过有趣的问题提高学习数学的兴趣；在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学。
教学重点：探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆定理，并用它们解决生活实际问题。
教学难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题。
教学准备：多媒体课件。
教学过程：一、复习回顾 1. 如图，直角三角形中的三边a ，b ，c 满足什么关系？2. 当a ＝2，b ＝3时，求c ； 当c ＝3，a ＝2时，求b 。
二、新课讲解㈠立体图形中的最短路径1. 正方体蚂蚁怎样走最近：学生分组，测量、画图、计算、总结规律例1 如图，蚂蚁在边长为10cm 的正方体A 处嗅到了放置在正方体的B 处位置上的面包，蚂蚁沿着正方体表面怎样的路线行走才能很快地吃到面包？蚂蚁行走的最短路线长是多少？利用多媒体展示展开图，并引导“两点之间线段最短”得到AB 的最短路径：500201022=+=AB ㎝2. 长方体例2 长为3cm ，宽为1cm ，高为2cm 的长方体，蚂蚁沿着表面从A 到B 爬行的最短路程又是多少呢？教师利用多媒体展示长方体的三种展开方式和计算结果：()189921322=+=++=AB ()2016431222=+=++=AB BBA BA b a c 1 2 3 A B()2625132122=+=++=AB ∴AB 的最短路径为18。
利用以上计算，小结方法：对于一般的长方体，长、宽、高分别为a 、b 、c 时，AB 的最短路径可能有三种情况：⑴()bc c b a c b a AB 222222+++=++= ⑵()ac c b a c a b AB 222222+++=++= ⑶()ab c b a b a c AB 222222+++=++= 要找最短距离，只需要比较bc 、ac 、ab 的大小，取最小值。
八年级数学上册 第十四章 勾股定理教案 华东师大版 教案
《勾股定理》教学设计一、地位与作用：这节课所用的教材是华东师大版本《义务教育课程标准实验教科书》，本课讲授的是第十四章《勾股定理》的内容。
勾股定理的内容是全章内容的重点、难点，它的地位作用体现在以下三个方面：1、勾股定理是学习锐角三角函数与解直角三角形的基础，学生只有正确掌握了勾股定理的内容，才能熟练地运用它去解决生活中的测量问题。
2、本章“勾股定理”的内容在本册书中占有十分重要的地位，它是学习斜三角形、三角函数的基础，在知识结构上它起到了承上启下的作用，为学生的终生学习奠定良好的基础。
3、“勾股定理”的内容在航空、航海、工程建筑、机械制造、工农业生产等各个方面都有着广泛的应用，并与生活息息相关。
二、教学目标：1、理解并掌握勾股定理，能运用勾股定理根据直角三角形的两条边求第三条边，并能解决简单的生活、生产实践中的问题，能设计不同的情境验证勾股定理的正确性。
2、体验勾股定理的探索过程，通过勾股定理的应用培养方程的思想和逻辑推理能力以及解决问题的能力。
3、通过对实际问题的有目的的探索和研究，体验勾股定理的探索活动充满创造性和可操作性，并敢于面对数学活动中的困难，运用已有知识和经验解决问题，激发学好数学的自信心。
三、教学重点：勾股定理的证明及应用四、教学难点：学生数学语言的运用五、教学媒体的选择与使用：多媒体课件六、课前准备：学生准备好四个全等的直角三角形。
七、分课时教学过程设计：§14.1.1 直角三角形三边的关系【教学目标】一、知识目标1.在探索基础上掌握勾股定理。
2.掌握直角三角形中的边边关系和三角之间的关系。
二、能力目标1.已知两边，运用勾股定理列式求第三边。
2.应用勾股定理解决实际问题（探索性问题和应用性问题）。
3.学会简单的合情推理与数学说理，能写出简单的推理格式。
三、情感态度目标学生通过适当训练，养成数学说理的习惯，培养学生参与的积极性，逐步体验数学说理的重要性。
【重点难点】重点：在直角三角形中，知道两边，可以求第三边。
华东师大版八年级数学勾股定理教案1
勾股定理1【教案设计说明】勾股定理是在学习了三角形有关性质的基础上提出来的，勾股定理揭示了直角三角形的三边之间的数量关系，对前面的知识起到完善，延伸的作用。
如，对直角三角形的判定定理“HL”,书中的拼接证明学生不易理解,但学过勾股定理后，可引导学生用“边边边”定理证明。
勾股定理也是今后学习几何的一个重要的定理，它广泛应用于几何题的证明和计算中。
本节课的难点是勾股定理的证明。
其困难在于证明是利用图形的拼接和面积来证明的。
以前几乎没有用过这种证法。
因此本教学设计利用几何画板的动态显示，变换直角三角形的形状、大小。
让学生观察、探索，归纳概括出直角三角形三边之间的关系。
并用计算机对四个直角三角形进行拼接，通过面积计算得到定理证明的过程。
这样做，使学生通过对问题的“思考——猜想——证明”的步骤，使学生感到是自己发现了直角三角形的勾股定理。
进而体验到成功的喜悦。
本节课的重点是勾股定理的应用。
为了帮助学生正确运用勾股定理在证明之后设置了三组练习，其意图通过它达到知识的迁移。
本节课未单独出现例题，而将它化为一循序渐进的变式训练题。
第一组题主要让学生熟悉定理的应用。
第二组题是与三角形的有关性质定理结合起来使用，使学生在复杂的背景中应用勾股定理。
第三组题是讨论书中的例题的解法，使学生顺利地利用勾股定理解题。
总之，本节课试图通过数学活动，对学生所学知识进行内化与迁移，以发展思维。
同时对勾股定理的学习，对比我国数学家和西方数学家对勾股定理的研究，对学生进行爱国主义的教育，以落实素质教育的目标。
【教学目标】1、了解勾股定理的证明，掌握勾股定理的，初步会用它进行有关的计算。
2、通过对勾股定理的应用，培养学生方程的思想和逻辑推理能力3、对比介绍我国古代数学家和西方数学家对勾股定理的研究，培养学生的爱国主义精神。
【教学重点】勾股定理的应用。
【教学难点】勾股定理的证明；【教具】多媒体计算机【课型】新授课【教学过程】（一）、激发学生兴趣，引人新课首先由计算机显示一幅星空的画面，我国著名的数学家华罗庚先生曾提议------向宇宙空间发射勾股定理的图形与外星人联系。
华东师大版数学八年级上册导学案：勾股定理(3)
B
6．已知：如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD⊥DC， AB⊥AC，∠
B=60°，CD=1cm，求 BC 的长．
A
D
你能在数轴上画出表示 13 的点吗？
四、分层训练
自学阅读课本 68－69 页．结合表示的点的方法，简述在数轴 1.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，则网格上的
课题：勾股定理（3）
授课教师：
学科组长：
教研组长：
学习目标：
三、合作探究
利 用 勾 股 定 理 ， 能 在 数 轴 上 找 到 表 示 无 理 数 的 点 ， 象 1．已知：如图，等边△ABC 的边长是
C
6cm。
．
⑴求等边△ABC 的高 CD 的长（结果保
学习重点：
留小数点后 3 位）。
掌握勾股定理的计算方法。
A.a＜b＜c
B. c＜a＜b C. c＜b＜a D. b＜a＜c
3．等边△ABC 的高为 3cm，以 AB 为边的正方形面积为
.
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三
角形，其中最大的正方形的边长为 5cm，则正方形 A，B，C，D
的面积之和为_______cm2.
5．第七届国际数学教育大会的会徽主题图案是由一连串如
学习难点：
⑵求 S△ABC（结果保留小数点后 1 位）．
A
D
构造长方形的对角线
学习过程：
一、课前预习
1
、
叙
述
勾
股
定
理： ．
2、我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，
OA1A2 是等腰三角形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=……=A8A9=1，请你 先把图中其它 8 条线段的长计算出来，填在下面的表格中：
华师大版初中数学八年级上册14.1勾股定理word教案(1)
几何学的基石股定理一、教材分析教材地位这节课是九年制义务教育初级中学教材湘教版版八年级下册第一章第一节《直角三角形的性质与判定》的第一课时，勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。
它在数学的发展中起过重要的作用，也有着广泛的应用。
学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。
教学目标【知识与技能】1.探索发现直角三角形三边之间的关系。
2.证明勾股定理。
3.了解勾股定理的相关史实。
【过程与方法】经历“观察—猜想—归纳—验证”勾股定理的过程，发展合情推理能力，体会数形结合和从特殊到一般的思想。
【情感、态度与价值观】通过探索过程，使学生知道勾股定理的成立，增强探索创新的兴趣与信心。
经历对勾股树图形的观察分析、欣赏与操作，发展审美能力，感受数学的魅力。
通过阅读“数学与文化”，了解勾股定理产生的背景、发展史以及广泛应用，感受数学文化的熏陶，激发学生对中华文化的热爱，对数学的热爱。
教学重点难点教学重点：经历探索及验证勾股定理的过程。
教学难点：用面积法（拼图法）发现勾股定理。
二、教法与学法分析教法：本课采用教师引导和学生自主探索相结合的教学方法，在方格纸上学生通过观察、分析、归纳、计算以三角形的三边为边长的三个正方形的面积，引发学生的数学猜想，在教师的引导下由学生自己探究总结勾股定理，并运用几何画板演示，使学生充分体会到探究学习的成就感，激发学习数学的兴趣。
学法：本节课教学主要通过学生自主探索、合作交流。
注重学生整个探索过程，充分体现学生的主体地位。
学生主要使用操作——观察——归纳——应用的学习方法。
三、学情分析八年级的学生已具备一定的生活经验，对新事物容易产生兴趣，动手实践能力也比较强，在班级上已初步形成合作交流，勇于探索与实践的良好班风，估计本课的学习中学生能够在教师的引导和点拨下自主探索归纳勾股定理。
四、教学过程设计（一）、故事导入（2′）教师讲述故事、展示图片。
八年级数学上册 14 勾股定理 课题 勾股定理学案 华东师大版(2021学年)
八年级数学上册 1４勾股定理课题勾股定理学案 (新版）华东师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(八年级数学上册1４勾股定理课题勾股定理学案（新版）华东师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。
本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为八年级数学上册１4 勾股定理课题勾股定理学案(新版）华东师大版的全部内容。
课题勾股定理【学习目标】1.让学生利用数格子(或割、补、拼等)的办法体验勾股定理的探索过程,理解勾股定理反映的是直角三角形三边之间的数量关系;2.让学生能够运用勾股定理进行简单的计算和解决简单的实际问题;3.让学生在学习的过程中体验数学的美,从而提高学习数学的兴趣．【学习重点】勾股定理．【学习难点】勾股定理的实际应用.行为提示：创设情境,引导学生探究新知.行为提示：认真阅读课本,独立完成“自学互研”中的题目.自主的完成有关的练习,并在练习中发现规律,从猜测到探索到理解知识．知识链接：当c为斜边时，还可以作如下变形:①a２＝c2－b2；②b2=c2－ａ２;③ａ＝错误!;④b=c2－a２；⑤c=错误!。
情景导入生成问题回顾:1。
如图,在Ｒt△ABＣ中，∠Ｃ＝90°，斜边是AＢ，直角边是BC、AC.２．计算：（1)３的平方是９;(2）４的平方是16;（３)5的平方是2５;（4）３２+42=25=52;(5）９2＋4０２＝１681=_＿4１2．自学互研生成能力错误!阅读教材Ｐ10８~Ｐ1０9,完成下面的内容:(1)在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边,看看三边长的平方之间有怎样的关系?答:两直角边的平方和等于斜边的平方．(２）如图,直角三角形三边的平方分别是多少,它们满足上面猜想的数量关系吗?答:4，９,13;16，9,25．满足上面猜想的数量关系．归纳:勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a、b、c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么一定有a2＋b2=ｃ2,即勾2+股2＝弦2.范例：求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度．(1)（2)解：(1)在直角三角形中，ｘ2＝１72-１52=64.则x＝错误!＝8。
初中数学华东师大八年级上册第章 勾股定理《勾股定理》教学设计
《勾股定理》教学设计引入新课展示自己的结论特殊直角三角形，为探索普通三角形奠定基础平板上发送等腰直角三角形题板，让学课前动手操作，形象直观，增大课堂容量。
探索新知在前面探究基础上进一步深入探索指定边长的直角三角形的三边关系利用平板电脑动手操作，小组讨论让学生在平板上通过自己动手对图形进行“割”或“补”找到对图形面积的多种处理方法，拓展学生的思维。
同时得出指定三角形三边关系的结论课前在平板上发送指定直角三角形题板，让学课前动手操作，形象直观，激发学生的求知欲望。
点赞增强学生学习信心。
运用投屏功能能实时看到学生完成过程和直观进行对比学习。
探索新知进一步进入普通直角三角形研究利用赵爽弦图证明勾股定理学生思考、交流，掌握面积法思想将前面研究得到的特殊直角三角形的三边关系推导到普通直角三角形，同时让学生利用媒体动态展现，学生更易理解。
感受从不同角度表示同一图形面积的思想，也了解勾股定理的历史。
探索新知证明勾股定理用面积法证明勾股定理学生利用老师发送到平板电脑上的组件在平板电脑上动手操作拼图，小组讨论交流让学生在平板电脑上通过自己动手拖动多个小直角三角形，拼出正方形或梯形，利用面积法自己推导、证明出勾股定理。
培养学生的自主探究能力。
互动题板功能,交互性强，支持学生自主探究，提高课堂效率，学生在平板电脑上亲自动手操作，让学生更易理解知识，增加了学生的直观印象，也激发了学生的学习兴趣。
运用投屏功能能实时看到学生完成过程并直观进行对比学习，发现两种证明方法的异同。
探索新知总结探索结论引导学生总结出勾股定理学生思考，交流，总结让学生自己感受和肯定勾股定理屏幕展示新知运用熟练运用勾股定理已知直角三角形两边利用勾股定理求第三边。
让学生能灵活运用勾股定理，学会勾股定理的变形运用。
利用平板电脑拍照上传答案，可对比学生间的结果和书写，提高了课堂效率，减轻了老师负担，对比也更为直观新知运用将勾股定理运用入生活中利用勾股定理解决实际问题学生思考，回答问题让学生知道勾股定理能解决生活中的问题。
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勾股定理
学习目标：（目标明确、行动才更有效）
1、通过解决实际问题，学会如何将勾股定理应用于实际生活，体会从“形”到“数”的转化；
2、通过解决实际问题，学会如何用直角三角形的判定解决数学问题，体会从 “数”到“形”的转化。
学习流程：（方法正确，才能事半功倍）
一、知识要点回顾
（1）勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别是A.b ，斜边长是c ，那么有____________。
（2）直角三角形的判定;如果三角形的三条边长A.B.c 满足______________，那么这个三角形是直角三角形。
二、自主探究、总结经验
【学法指导】 勾股定理及其逆定理充分体现了“数形结合”的思想，在数学计算和证明中有着广泛的应用。
做题时首先要把实际问题抽象为数学问题，如果能归类直角三角形模型，可运用勾股定理或方程思想求解.
聚焦目标1：【我自主，我能行】
问题1：如图：一架5米长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子底端B 到墙角O 的距离为3米，如果梯子的顶端A 点下滑1米，则梯子底端将向外滑动1米吗？用所学知识验证你的结论。
（问题1图）
问题2：如图：将一根长18cm 的筷子放在底面周长为9πcm ， 高为12cm 的圆柱形玻璃杯中，则筷子露在杯子外面的长度d 的值是__________. 我的理由：
O
A D
C
B
a
c
b C
B
A
（问题2图） 问题3:如图，在Rt △ABC 中，∠ C=90°.BC=6cm ，AC=8cm ，按图中的所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的E 点，那么△ADE 的面积是________________.
我的理由：
（问题3图）
聚焦目标2：【我自信，我成功】
问题4：如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： 画线段AD ∥ BC 且使AD=BC ，连结CD;
线段AC 的长为_________.CD 的长为_________. AD 的长为_______; △ACD 为_______________三角形。
（问题4图） 我的理由：
【提示：小组互查、提出问题、积极交流】 三：合作交流，积极参与【我参与，我快乐】
【学法指导】：在立体图形中，求距离最短的问题时，根据“两点之间，线段最短”公理，将立体图形的侧面展开成平面图形，利用勾股定理解决问题，要注意的是当长宽高不相等时，不同的展法，会有不同的结果。
探究：如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 C ′处（长宽高如图所示），问蚂蚁怎样走路线最短？最短路线长为多少？
B
A
四、总结反思，方法归纳【我反思，我提高】
我学到的方法是_____________________________. 我的收获是________________________________
2
4
A /
A
D
C
/
/
1。