偏微分方程的有限元方法

1 v H E (G)
u v u v 其中 (u, v) x x y y dxdy auvds 2 G 1 HE (G) {u ( x, y ) | u ( x, y ) H 1 (G), u ( x, y) 1 0}
（3）虚功原理
d du Lu p qu f x (a, b) 对两点边值问题： dx dx u (a) 0, u(b) 0 1 设 v HE ，以v乘方程两端，沿[a,b]积分， 并利用 v(a) 0, v(b) 0 ，得变分方程 1 (u, v) ( f , v) 0 v H E b du dv 其中 (u, v) [ p quv]dx a dx dx 虚功原理 2 u C 设 * ，则 u*是边值问题解的充要条件是： 1 u* H E ，且满足变分方程： 1 v H 对任意 (u* , v) ( f , v) 0 E 在力学里， (u, v) ( f , v)表示虚功
③ 变分原理（变分问题与边值问题的等价性） 设 f C 0 (I ) ， u* C 2 是边值问题
d du Lu p qu f dx dx u (a) 0, u(b) 0 x ( a, b)
的解，则 u* 使 J(u) 达到极小值； 1 反之，若 u C 2 H E 使 J(u) 达到极小值， 则 u* 是边值问题的解。 1 其中 J (u ) (u, u ) ( f , u ) 2 u (a) 0是强制边界条件，u(b) 0 是自然边 界条件，区别这两类边界条件在用有限元方法求 解边值问题时很重要。
（2）两点边值问题的变分原理 考察二阶常微分方程边值问题： d du Lu p qu f x (a, b) dx dx u (a) 0 u(b) 0 ① 构造泛函 1 J (u ) ( Lu, u ) ( f , u ) 2 b b 1 b d du 2 p udx qu dx fudx a a 2 a dx dx 1 b ( pu2 qu 2 2 fu)dx 2 a b du dv 引入泛函算子 (u, v) [ p quv]dx a dx dx 1 则 J (u ) (u, u ) ( f , u ) 2
变分原理：
设矩阵A对称正定，则下列两个命题等价： n (a) 求 x0 R ，使 J ( x0 ) minn J ( x ) xR 1 其中 J ( x ) ( Ax , x ) (b , x ) 2 (b) x0 是方程 Ax b 的解 上述两个例子表明： 求二次函数的极小值问题和求线性代数 方程（组）的解是等价的。
un cii
i 1 n
Ritz方法： 求 un Vn，使
J (un ) min J (v)
vVn
即选择适当的 c1 , c2 ,, cn ，使 J (un ) 取极小值。
1 展开J ( Ju (u)n ) (un , un ) ( f , un ) n 2
n 1 n n (i , j )ci c j ( f , j )c j 2 i 1 j 1 j 1
xR
与求解方程 Lx = f 等价。
② 多元二次函数的变分原理
设
n 1 n n J ( x ) J ( x1 , x2 ,, xn ) aij xi x j bi xi 2 i 1 j 1 i 1
求J(x)取极小值的驻点， 其中
a11 a12 a1n a a a 22 2n 对称正定 A 21 an1 an 2 ann T 设 x ( x1 , x2 ,, x n ) b (b1 , b2 ,,b n )T 1 则J(x)可表示为： J ( x ) ( Ax , x ) (b , x ) 2
（2）虚功原理
u f ( x, y ) u|1 0 u au| 0 2 n ( x, y ) G
问题
a0
1 设 v HE ，以v乘方程两端后在G上积分， (G) 并利用Green公式，得变分方程
(u, v) ( f , v) 0
（1）Ritz方法
由极小位能原理得出的变分问题为： 求 u V，使 J (u ) min J (u ) uV 1 其中 J (u ) (u, u ) ( f , u ) ， 2 Ritz方法：求变分问题的近似解。 1 , 2 ,, n是 Vn 的一 设 Vn 是V 的n维子空间， 组基底(称为基函数) 。Vn 中任一元素 u n可表示为
令
J (un ) 0 c j
n
j 1, 2, , n
则 c1 , c2 ,, cn满足
与极小位能原理类似，第一类边界条件为强 加边界条件，第二、三类边界条件为自然边界 条件。 虚功原理比极小位能原理应用更广。
4 Ritz-Galerkin方法 目的：求解相应的变分问题或相应的变分方程。 Ritz方法是近似求解变分问题(即二次泛函极 小值)的算法。Galerkin方法是近似求解变分方程 的算法，这两种算法统称为Ritz-Galerkin方法。 Ritz-Galerkin方法的基本思想 用有限维空间的函数代替变分问题(或变分 方程)中无限维空间的函数，从而在有限维函数 空间中求变分问题(或变分方程)的近似解，并 要求当有限维空间的维数不断增加时，有限维 近似解逼近原变分问题(或变分方程)的解。 1 , H E , H 1 等Sobolev空间， 以下用V表示 H 0 L表示微分算子，(u,v)为由L及边值条件决定 的双线性泛函。
平衡原理 求弦的平衡位置归结为求解两点边值问题： Tu( x) f ( x) 0 x l 其中T是弦的张力。 u (0) 0 u (l ) 0 极小位能原理： 弦的平衡位置 (记为 u u ( x))将在满足边 值条件 u(0)=0，u(l)=0 的一切可能位置中，使 位能取极小值。 设弦处于某一位置u=u(x)，可得到其总位能为 1 l J (u ) (Tu2 2uf )dx 2 0 弦的平衡位置 u u ( x)是下列变分问题的解 J (u ) min2 J (u )
s2 2 2
定义：当求泛函在一个函数集合K中的极小 （或极大）问题，则该问题称为变分问题。 变分问题与微分方程的定解问题有一定的 联系。 （2）初等变分原理 ① 一元二次函数的变分原理 设 J ( x) Lx 2 2 fx ( L 0, L, f为实常数） 考察J(x)的极值情况。 变分原理： 求 x0 R，使 J ( x0 ) min J ( x)
虚功原理
2 u C (G )是边值问题的解，则对任意 设 1 u 满足变分方程。 v HE (G) ，
反之，若 u C (G ) H (G)，且对任意 1 v HE (G) 满足变分方程，则 u 为边值问题的解。
2 1 E
在力学里， (u, v) ( f , v)表示虚功
对于复杂的边界条件，边值问题的求解一 般是困难的。若将微分方程化为相应的变分问 题或变分方程，则只需处理强加边界条件，无 需处理自然边界条件（自然边界条件已包含于 变分问题中泛函的构造或已包含于给出的变分 方程之中）。这一特点对研究微分方程离散化 方法及其数值解带来了极大的方便。
3 二阶椭圆边值问题的变分原理 2u 2u u 2 f ( x, y ) ( x, y ) G 2 模型方程 y x u 0 | 其中G是平面有界区域。
科学计算（数值模拟）已经被公认为 与理论分析、实验分析并列的科学研究三 大基本手段之一，但三者之间相辅相成。
偏微分方程的有限元方法
一 边值问题的变分原曲线中，求 所围面积为最大的曲线。
dx dy 模型：在条件 ds l 下 s1 ds ds 1 s2 dy dx 求使得泛函 s( x, y ) s x y ds 2 1 ds ds 达到最大的函数 x( s), y ( s) 。
uC0
在数学上，要将某个微分方程的定解问题 转化为一个变分问题求解，必须针对已给的定 解问题构造一个相应的泛函，并证明定解问题 的解与泛函极值问题的解等价。 有限元方法正是利用这种等价性（边值问 题与变分问题的等价性），先将微分方程定解 问题转化为变分问题（或变分方程）的求解问 题，然后再设法近似求解变分问题（或变分方 程）。
1 J (u ) 求 u H 0 (G)，使 J (u ) min 1
uH 0 ( G )
1 其中 H 0 (G) {u( x, y) | u( x, y) H 1 (G), u( x, y) 0} 1 J (u ) (u, u ) ( f , u ) 2 1 (u, u ) ( f , u ) 2
由于实际问题的具体特征、复杂性以 及算法自身的适用范围决定了应用中必须 选择、设计适合于自己特定问题的算法， 因而掌握数值方法的思想至关重要。
要在各种可能的求解方法中找到一种 统一地适用于计算材料学领域（或其它领 域）的理想方法，一般是不现实的。 任何模拟方法，都必须在最佳计算速 度和数值精度之间寻找平衡点。
③ 变分原理（变分问题与边值问题的等价性） 设 f C 0 (I )， u* C 2 (G )是二阶椭圆边值问题 的解，则 u* 使 J(u) 达到极小值； 1 (G) 使 J(u) 达到极 反之，若 u C 2 (G ) H 0 小值，则 u*是二阶椭圆边值问题的解。 1 其中 J (u ) (u, u ) ( f , u ) 2 对第一边值问题，无论齐次或非齐次边界条 件，泛函是一样的，只是边界条件要作为强加 边值条件加在所取的函数类上。 对第二、三类边值问题，无论齐次或非齐次 边界条件，二次泛函形式相对于第一边值问题 有所改变，但函数类的选取与边界条件无关。
（1）极小位能原理 ① 构造泛函 1 J (u ) (u, u ) ( f , u ) 2 u v u v )dxdy 引入泛函算子 (u, v) ( x x y y G 1 则 J (u ) (u, u ) ( f , u ) 2
② 变分问题 与前述二阶椭圆边值问题相应的变分问题是
② 变分问题
与前述二阶常微分方程边值问题相应的变分 问题是
1 求 u H E ，使 J (u ) min1 J (u )
uH E
1 其中 H E [a, b] {u ( x) u ( x) H 1[a, b], u (a) 0} 1 J (u ) (u, u ) ( f , u ) 2 1 b ( pu2 qu 2 2 fu)dx 2 a