冲刺985—力学压轴题专练(2)

冲刺985——力学压轴题专练(2)
(时间：30分钟)
1.(2017·江苏四市高三第二次调研考试)如图1所示，光滑杆AB 长为L ，B 端固定一根劲度系数为k 、原长为l 0的轻弹簧，质量为m 的小球套在光滑杆上并与弹簧的上端连接。

OO ′为过B 点的竖直轴，AB 杆与水平面间的夹角始终为θ。

图1
(1)杆保持静止状态，让小球从弹簧的原长位置静止释放，求小球释放瞬间的加速度大小a 及小球速度最大时弹簧的压缩量Δl 1；
(2)当球随杆一起绕OO ′轴匀速转动时，弹簧伸长量为Δl 2，求匀速转动的角速度ω；
(3)若θ＝30°，移去弹簧，当杆绕OO ′轴以角速度ω0＝g
L 匀速转动时，小球恰好
在杆上某一位置随杆在水平面内匀速转动，球受轻微扰动后沿杆向上滑动，到最高点A 时球沿杆方向的速度大小为v 0，求小球从开始滑动到离开杆过程中，杆对球所做的功W 。

解析 (1)小球从弹簧的原长位置静止释放时，根据牛顿第二定律有mg sin θ＝ma 解得a ＝g sin θ
小球速度最大时其加速度为零，则k Δl 1＝mg sin θ
解得Δl 1＝mg sin θk 。

(2)弹簧伸长Δl 2时，球受力如图所示，水平方向上有
F N sin θ＋k Δl 2cos θ＝mω2(l 0＋Δl 2)cos θ
竖直方向上，有
F N cos θ－k Δl 2sin θ－mg ＝0
解得ω＝mg sin θ＋k Δl 2
m （l 0＋Δl 2）cos 2 θ。

(3)当杆绕OO ′轴以角速度ω0匀速转动时，设小球距离B 点L 0，此时有mg tan θ＝mω20L 0cos θ
解得L 0＝2L 3
此时小球的动能E k0＝12m (ω0L 0cos θ)2
小球在最高点A 离开杆瞬间的动能
E k A ＝12m []
v 20＋（ω0L cos θ）2 根据动能定理有W －mg (L －L 0)sin θ＝E k A －E k0
解得W ＝38mgL ＋12m v 20。

答案 (1)g sin θ mg sin θ
k (2)mg sin θ＋k Δl 2m （l 0＋Δl 2）cos 2 θ
(3)38mgL ＋12m v 20。

2.(2018·盐城市高三第三次模拟)如图2所示，质量为m 、半径为R 的光滑圆柱体B 放在水平地面上，其左侧有半径为R 、质量为m 的半圆柱体A ，右侧有质量为m 的长方体木块C ，现用水平向左的推力推木块C ，使其缓慢移动，直到圆柱体B 恰好运动到半圆柱体A 的顶端，在此过程中A 始终保持静止。

已知C 与地面间动摩擦因数μ＝32，重力加速度为g 。

求：
图2
(1) 圆柱体B 下端离地高为R 2时，地面对木块A 的支持力大小；
(2) 木块C 移动的整个过程中水平推力的最大值；
(3) 木块C移动的整个过程中水平推力所做的功。

解析(1)以A和B整体为研究对象，地面支持力大小
F N＝2mg。

(2) B刚离开地面时，B对C的弹力最大，
F1＝mg tan 60°＝3mg
此时水平推力最大为
F m＝F1＋μmg＝33
2mg。

(3) C移动的距离x＝2R cos 30°＝3R
摩擦力做功W f＝μmgx＝3
2mgR
根据动能定理W－W f－mgR＝0
解得W＝5
2mgR。

答案(1)2mg(2)33
2mg(3)
5
2mgR
3.(2018·南京市高三学情调研)如图3所示，半径R＝0.45 m的光滑1
4圆弧轨道固定
在竖直平面内，B为轨道的最低点，B点右侧的光滑的水平面上紧挨B点有一静止的小平板车，平板车质量M＝1 kg，长度l＝1 m，小车的上表面与B点等高，距地面高度h＝0.2 m。

质量m＝1 kg的物块(可视为质点)从圆弧最高点A由静止释放。

取g＝10 m/s2。

试求：
图3
(1)物块滑到轨道上的B点时对轨道的压力大小；
(2)若锁定平板车并在上表面铺上一种特殊材料，其动摩擦因数从左向右随距离均
匀变化如图4所示，求物块滑离平板车时的速率；
(3)若解除平板车的锁定并撤去上表面铺的材料后，物块与木板间的动摩擦因数μ＝0.2，物块仍从圆弧最高点A 由静止释放，求物块落地时距平板车右端的水平距离。

解析 (1)物块从圆弧轨道顶端滑到B 点过程中机械能守恒，则
mgR ＝12m v 2B ，解得v B ＝3 m/s
在B 点由牛顿第二定律有F N －mg ＝m v 2B R
得F N ＝mg ＋m v 2B R ＝30 N
由牛顿第三定律，物块滑到轨道上的B 点时对轨道的压力大小F N ′＝30 N
(2)物块在小车上滑行时摩擦力做功
W f ＝－μ1mg ＋μ2mg 2
·l ＝－4 J 物块从开始到滑离平板车过程由动能定理
mgR ＋W f ＝12m v 2
解得v ＝1 m/s
(3)当平板车不固定时，对物块a 1＝μg ＝2 m/s 2
对平板车a 2＝μmg M ＝2 m/s 2
设经过时间t 1物块滑离平板车，则
v B ·t 1－12a 1t 21－12a 2t 21＝1 m ，解得t 1＝0.5 s(另一解舍去)
物块滑离平板车的速度v 物＝v B －a 1t 1＝2 m/s
此时平板车的速度v 车＝a 2t 1＝1 m/s
物块滑离平板车做平抛运动的时间t 2＝2h
g ＝0.2 s
物块落地时距平板车右端的水平距离s＝(v物－v车)t2＝0.2 m
答案(1)30 N(2)1 m/s(3)0.2 m。