高一数学下学期第二次阶段检测试题 文含解析 试题

一中2021-2021年度第二学期高一年级第二次阶段检测
本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

数学试卷〔文科〕
一、选择题．每一小题给出的四个选项里面只有一项是哪一项符合题目要求的．
1.sin20cos170cos20sin10
︒︒-︒︒=〔〕
A. C.
1
2
- D.
1
2
【答案】C
【解析】
【分析】
先用诱导公式将cos170°化为-cos10°，再将所得式子提取负号后用两角和的正弦公式合并然后,由特殊角的三角函数求其值，即可解答.
【详解】sin20°cos170°-cos20°sin10°
=-(sin20°cos10°+cos20°sin10°)
=-sin(20°+10°)
=-sin30°
1
2
=-.
应选C.
【点睛】此题考察诱导公式以及两角和的正弦公式，直接运用公式即可求值，属于根底题.
ABC
∆的边AB上的中点，那么向量CD等于〔〕
A.
1
2
BC BA
+ B.
1
2
BC BA
--
C.
1
2
BC BA
- D.
1
2
BC BA
-+
【答案】D 【解析】
【分析】
根据三角形中线的性质，得1
()2
CD CA CB =
+，再由平面向量加减法运算可得答案． 【详解】∵D 是△ABC 的边AB 的中点，∴1
()2
CD CA CB =+
11
()22CA BA BC
CD BA BC BC BC BA
=-=--=-+ 应选：D ．
【点睛】此题考察向量的加减法运算，考察三角形中线的性质，属于根底题．
ABC ∆中，90,1C CA CB =︒==，那么AC BA ⋅〔 〕
A. -1
B.
2
2
C. 1
D. 22
-
【答案】A 【解析】 【分析】
直接利用向量的数量积化简求解即可．
【详解】解：在ABC 中，901C CA CB =︒==，，那么cos135AC BA CA BA ⋅=︒
21212⎛⎫
=⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭
．
应选：A ．
【点睛】此题考察平面向量的数量积的运算，是根本知识的考察．
ABC ∆平面内一点，且满足()()
20OB OC OB OC OA -⋅+-=，那么ABC ∆形状为 〔 〕
A. 钝角三角形
B. 直角三角形
C. 锐角三角形
D. 等腰三角形
【答案】D 【解析】 【分析】
由向量的运算律以及向量的数量积可得()CB AB AC ⊥+，进而断定三角形的形状.
【详解】由()()
20OB OC OB OC OA -⋅+-=，可得()0,()CB AB AC CB AB AC ⋅+=⊥+，那么三角形的中线和底边垂直，从而ABC ∆是等腰三角形， 应选D.
【点睛】此题考察利用向量坐标运算求解三角形形状问题，关键是通过数量积等于零确定垂直关系，再确定是否为等腰三角形.
a ，
b 满足2a b a b a +=-=，那么向量a b +与a b -的夹角是〔 〕
A.
6
π B.
3
π C.
23
π D.
56
π 【答案】C 【解析】
试题分析：结合向量加减法的平行四边形法那么三角形法那么可知,a b a b +-分别为以,a b 为临边的平行四边形的对角线对应的向量，2a b a b a +=-=，所以此平行四边形是矩形，且对角线与矩形的
边的较小的夹角为
6π，结合图形可知向量a b +与a b -的夹角为23
π
考点：向量的平行四边形法那么三角形法那么
点评：此题首先结合向量加减法的作图原那么做出,a b 及其和差向量，结合平面图形性质可知四边形是矩形
a ，
b 满足||1a =，a b ⊥，那么向量2a b -在向量a 方向上的投影为〔 〕
A. 0
B. 1
C. 2
D. 1-
【答案】B 【解析】 【分析】
根据||1a =，a b ⊥，再结合投影的定义即可求得答案.
【详解】根据向量的投影公式可知，向量2a b -在向量a 方向上的投影为
2
(2)()1||||
a b a a a a -⋅==,应选B.
【点睛】此题主要考察向量的投影，熟记向量数量积的概念以及投影公式运算即可，属于常考题型.
(2,(cos ,sin )a b αα=-=，那么a b -的最大值为〔 〕
A. 1
C. 3
D. 9
【答案】C 【解析】 【分析】
由向量(
2a =
，，()cos sin b αα=，表示a b -，利用辅助角公式化简求最值即可.
【详解】因为(
2a b -=
==
所以当sin 14πα⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭
时，a b -获得最大值3.
【点睛】本小题考察平面向量的根本运算，三角函数的最值，向量模的概念及其最值等根底知识；考察运算求解才能，推理论证才能，应用意识.
4sin()65x π-=，那么sin(2)6
x π
+的值为〔 〕
A. 7
25 B. 725- C. 2425
D. 24
25
-
【答案】B 【解析】 【分析】
先根据诱导公式化简sin(2)6
x π
+，再根据二倍角余弦公式得结果.
【详解】∵4sin()6
5
x π
-
=
，∴2327sin(2)cos 212sin 16362525x x x πππ-⎛⎫⎛⎫+=-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，应选B. 【点睛】此题考察诱导公式以及二倍角余弦公式，考察根本分析求解才能,属根底题.
21
()cos cos 2
f x x x x =+-
的表述错误的选项是〔 〕 A. 最小正周期为π B. 直线3
x π
=-
是()f x 图象的一条对称轴
C. ()f x 在区间(,)36
ππ
-上递增 D. 点(
,0)6
π
是()f x 图象的一个对称中心
【答案】D 【解析】 【分析】
利用二倍角公式和辅助角公式化简得f(x)的解析式，再利用三角函数函数性质考察各选项即可．
【详解】∵211()cos cos 2cos 2sin 22226f x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝
⎭， 函数的周期22
T π
π=
=，应选项A 表述正确；
令26
2
x k π
π
π+
=+
，解得26k x ππ
=
+，令k=-1,那么3
x π=-，故B 表述正确； 2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-≤+
≤+
，解得3
6
k x k π
π
ππ-
≤≤+
，令k=0,可得C 表述正确；
26
x k π
π+
=,解得212
k x ππ
=
-，D 表述错误，应选D. 【点睛】此题主要考察三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进展化简是解决此题的关键．
sin 2m α=， cos2n α=，且πtan 4α⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
有意义，那么πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭〔 〕
A. 11m n
m n ++-+
B.
11m n
m n +--+
C. 1m n
+
D. 1n m
-
【答案】C 【解析】 【分析】
首先利用两角和的正切公式展开，再分子分母同时乘以sin cos αα+即可. 【详解】假设sin 2m α=， cos2n α=，且πtan 4α⎛⎫
+
⎪⎝⎭
有意义， 那么1tan sin cos 1sin 21tan 41tan cos sin cos 2m
n πααααααααα++++⎛⎫+====
⎪--⎝⎭
,应选C. 【点睛】本小题主要考察两角和的正切公式，考察二倍角公式以及齐次方程，属于中档题.
2()cos(2)cos 23
f x x x π
=-
+，将函数()f x 的图象向左平移(0)φφ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，假设函数()g x 的图象关于y 轴对称，那么φ的最小值是〔 〕 A.
6
π B.
3
π C.
23
π D.
56
π 【答案】A 【解析】 【分析】
先将函数()2cos 2cos23
f x x x π⎛⎫
=-
+ ⎪⎝
⎭
化简，并用辅助角公式化成一个()cos()g x A x B ωθ=++形式，函数()g x 的图象关于y 轴对称，也就是说函数()g x 是偶函数，因此有()k k Z θπ=∈，而0ϕ>，就能求ϕ的最小值. 【详解】()2cos 2cos23
f x x x π⎛⎫
=-
+ ⎪⎝
⎭
进展化简得，
221()cos 2cos
sin 2sin cos 2cos 2sin 2cos 23322
1cos 22cos(2)223
f x x x x x x x x x x πππ
=++=-++=+=-
由题意可知()cos[2()]cos(22)33
g x x x ππ
ϕϕ=+-
=+-，函数()g x 的图象关于y 轴对称
也就是说函数()g x 是偶函数，所以有2()3k k Z πϕπ-=∈成立，即1()26
k k Z π
ϕπ=+∈
因为0ϕ> 所以ϕ的最小值为
6
π
，此时0k =，故此题选A. 【点睛】此题考察了两角知差的余弦公式、三角函数图象的平移、辅助角公式、偶函数图象特征。

2()cos 2sin cos 2f x x x x x ωωωω=++在区间33[,]22
ππ
-
上单调递增，那么正数ω的最大值为〔 〕 A.
18
B.
16
C.
14
D.
13
【答案】B 【解析】
【详解】∵(
)2
cos 2sin
cos21f x x x x x x ωωωωω=++=+在区间33,22ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上单调递增，
∴32
32πωππωπ⎧
-≥-⎪⎪⎨⎪≤
⎪⎩，解得1
6
16
ωω⎧≤⎪⎪⎨
⎪≤⎪⎩，∴16ω≤，
∴正数ω的最大值是1
6
．
应选：B ．
【点睛】此题考察三角函数中参数值的最大正值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二倍角的正余弦公式、正弦函数单调性的合理运用．
二、填空题.
a 与
b 的夹角为60°，(1,0),1a b ==，那么2a b +=________．
【解析】 【分析】
先求出||,||,a b a b ⋅，进而可计算出|2|a b +的结果. 【详解】1
||1,||1,cos ,cos602
a b a b ︒
==〈〉==，222|2|447a b a a b b +=+⋅+=，
∴|2|7a b +=
，故答案为【点睛】此题主要考察向量模的计算，熟记公式即可，属于常考题型.
(1,0),(0,1)a b ==.假设向量ka b +与2a b +的夹角为锐角，那么实数k 的取值范围为_____．
【答案】112,,22⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【解析】 【分析】
直接利用数量积的运算法那么化简即得解. 【详解】∵(1,0),(0,1)a b ==，∴(),1ka b k +=，()21,2a b +=，
∵向量ka b +与2a b +的夹角为锐角，∴
()()()()2,11,220ka b a b k k +⋅+=⋅=+>，解得
2k >-，又当12k =
时，两个向量方向一样，故答案为112,,22k ⎛⎫⎛⎫
∈-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
【点睛】此题主要考察两个向量夹角为锐角时，数量积为正，要考虑同向的情况，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.
OABC 中，点E 在线段CO 的延长线上，且2CO OE =，假设BE 与AC 交于点F ，那么OF AB ⋅=____． 【答案】
8
5
【解析】
【分析】
通过线性运算将OF 变为
23
55
OC OA +，由垂直关系可知0AB OA ⋅=,由数量积定义可求得OF AB ⋅. 【详解】∵在边长为2的正方形OABC 中，点E 在线段CO 的延长线上，且2CO OE =， ∴OF OC CF =+35OC CA =+
3355OC CO OA =++23
55OC OA =+ OF AB OF OC ∴⋅=⋅()
22855OC ==,故答案为8
5
. 【点睛】此题考察向量数量积的求解问题，关键是可以通过线性运算将问题转化为基底，运用的向量之间的模长和夹角，结合向量的数量积即可求值.
16.
2
1
(4cos 102)sin10︒+=︒-︒
____． 【答案】4 【解析】 【分析】
化切为弦，利用倍角公式，化简可得. 【详解】因为
2(cos30sin10sin 30cos10)2sin 40
11cos10cos10︒︒+︒︒︒
︒+====
︒︒
,
所以
2212sin 402sin 402sin 404
1(4cos 102)sin102(2cos 101)sin10cos10cos 20sin 20sin 402
︒+︒︒︒
====︒-︒︒-︒︒︒︒︒
. 【点睛】此题主要考察三角函数的恒等变换求值问题，三角函数的恒等变换的主要求解思路：统一角度，统一函数，降低次数.
三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．
(3sin ,cos ),(cos ,cos ),(23,1)a x x b x x c ===．
〔1〕假设//a c ，求
sin cos sin cos x x
x x
+-的值；
〔2〕求函数()f x a b =⋅的单调递减区间．
【答案】(1)3 (2) 2,,().63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢
⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
〔1〕由向量一共线，可求得tan 2x =，进而分子分母同时除以1
cos cos 4
B C ⋅=即可；〔2〕由向量的数量积结合倍角公式，求出函数()f x 的单调递减区间. 【详解】〔1〕 因为//a c ，所以sin 2cos ,tan 2x x x ==. 所以
sin cos tan 1
3sin cos tan 1
x x x
x x x ++==--
〔2〕21cos 21()3sin cos cos sin 2sin 22262x f x a b x x x x x π+⎛⎫=⋅=+=
+=++ ⎪⎝
⎭ 令
32222
6
2k x k π
π
πππ+≤+
≤
+，得263
k x k ππ
ππ+≤≤+， 所以()f x 的单调递减区间是2,,().63k k k Z ππππ⎡⎤
++∈⎢
⎥⎣⎦
【点睛】此题主要考察向量和三角函数的交汇，考察向量一共线的充要条件，以及运用向量的数量积，结合倍角公式求三角函数的单调区间，纯熟掌握公式是关键.
18.,αβ为锐角，45tan ,cos()35=+=-ααβ． 〔1〕求sin2α的值； 〔2〕求tan β的值
【答案】(1)
2425 (2) tan 2β= 【解析】
【分析】
〔1〕结合α为锐角利用同角三角函数的关系，结合倍角公式即可求值；
〔2〕结合,αβ为锐角，求出tan()αβ+，利用两角和的正切公式即可求出tan β的值.
【详解】〔1〕因为α为锐角，4tan ,3α=
所以43sin ,cos 55αα==， 所以24sin 22sin cos 25
ααα== 〔2〕因为,αβ为锐角，5cos()5αβ+=-
， 所以25sin()5
αβ+=，tan()2αβ+=- 因为tan tan tan()1tan tan αβαβαβ
++=-，4tan 3α=，所以tan 2β= 【点睛】此题考察同角三角函数之间的关系以及倍角公式，同时考察了两角和的正切公式，属于中档题.
19.如图，平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，60BAD ︒∠=，点,E F 分别为,AD DC 边的中点，BE 与AF 相交于点O ，记AB a =，AD b =．
〔1〕用,a b 表示BE ，并求BE ；
〔2〕假设AO AF λ=，务实数λ的值．
【答案】〔1〕1132BE a b =-+，；〔2〕25
λ= 【解析】 【分析】
〔1〕
由向量加法表示12BE BA AE AB AD =+=-+，平方求得2222222111|?||cos |244BE BE a b a a b b a a b BAD b ⎛⎫==-+=-+=-∠+ ⎪⎝⎭
代入各值即可得解;〔2〕因为12EB AB AE a b =-=-，EO 与EB 一共线，设12EO EB a b μμ⎛⎫==- ⎪⎝
⎭，那么表示AO AE EO =+，12
AF AD DF AD AB =+=+
，由AO AF λ=得出方程，即可解出λ. 【详解】〔1〕由图形可知1122BE BA AE AB AD a b =+=-+=-+ 因为2
222211||?24BE BE a b a a b b ⎛⎫==-+=-+ ⎪⎝⎭ 2222111|cos |442213424
a a
b BAD b =-∠+
=-⨯⨯+⨯= 所以13BE =〔2〕因为12EB AB AE a b =-=-
，EO 与EB 一共线， 设12EO EB a b μμ⎛
⎫==- ⎪⎝⎭，那么1122AO AE EO b a b μ⎛⎫=+=+- ⎪⎝
⎭ 由于1122
AF AD DF AD AB a b =+=+=+ 因为AO AF λ=，所以111222AD AB b a b λμ⎛⎫⎛⎫+
=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即()11122
a b a b λλμμ+=+- 那么()12112λμλμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得251
5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，所以25λ= 【点睛】此题考察了向量的加法法那么，求向量的模，向量一共线定理和平面向量根本定理，属于中档
题.
20.如图，以Ox 为始边作角α与β〔0βαπ<<<〕 ，它们终边分别单位圆相交于点P 、Q ，点P 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭
．
〔1〕假设tan()7αβ-=，求角β的值；
〔2〕假设OP ·0OQ =，求sin()αβ+．
【答案】(1) 4πβ=
(2) 725
【解析】
【分析】
(1)由利用三角函数的定义可求tan α，利用两角差的正切公式即可计算得解； (2)由可得3sin 5
β=
，进而求出cos β，最后利用两角和的正弦公式即可计算得解． 【详解】〔1〕由三角函数定义得4tan 3α=-， 因为tan tan tan()71tan tan αβαβαβ
--==+，所以tan 1β=， 因为0βπ<<，所以4πβ=
〔2〕OP ·0OQ =，∴2παβ-=
∴2πβα=-， 所以3sin sin()cos 25
πβαα=-=-=， 4cos cos()sin 25
πβαα=-== 所以sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+44337()555525=
⋅+-⋅=
【点睛】此题主要考察了同角三角函数根本关系式，两角差的正切公式，两角和的正弦公式，考察了计算才能和转化思想，属于根底题．
()
21sin cos 222
f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 〔1〕假设对任意,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣
⎦，都有()f x a ≥成立，求a 的取值范围； 〔2〕假设先将()y f x =的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再向左平移
6π个单位得到函数()y g x =的图象，求函数()13
y g x =-
在区间[],3ππ-内的所有零点之和． 【答案】(1) 1a ≤-.(2) 6π
【解析】
【分析】 (1)先由倍角公式以及两角和的正弦公式进展化简，再求出函数的最小值即可求出a 的范围；(2)根据函数图像的对称性即可求出结果.
【详解】〔1〕()1cos2sin 226f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝
⎭. 假设对任意,32x ππ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦，都有()f x a ≥成立，那么只需()min f x a ≥即可 ∵32x π
π
-≤≤，∴552666
x πππ-≤-≤， ∴当262x π
π
-=-，即6x π
=-时， ()f x 有最小值1-，故1a ≤-.
〔2〕依题意可得()sin g x x =，由()103g x -
=得1sin 3x =， 由图可知，1sin 3
x =在[],3ππ-上有4个零点： 1234,,,x x x x ， 根据对称性有34125,2222
x x x x ππ++==， 从而所有零点和为12346x x x x π+++=.
【点睛】此题主要考察三角函数的值域以及函数图像的对称性，熟记两角和与差的正弦公式等以及图像
的变换即可，属于常考题型.
22.如图，某小区有一块半径为4米的半圆形空地，开发商方案在该空地上征地建一个矩形的花坛ABCD 和一个等腰三角形的水池EDC ，其中O 为圆心，,A B 在圆的直径上，,,C D E 在半圆周上.
〔1〕设BOC θ∠=，征地面积为()f
θ，求()f θ的表达式，并写出定义域； 〔2〕当θ满足()()16sin g f θθθ=+()g θ的最大值，以及相应角θ的值.
【答案】(1) ()f θ()16cos sin cos ,0,2πθθθθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭
(2) 最大值为8162+ ，此时4πθ= 【解析】
【分析】
〔1〕连接,OE OC ，在Rt OBC ∆中，求出,BC OB ，进而求出面积以及角的范围；
〔2〕令sin cos t θθ=+，再求出t 的范围，转化为二次函数即可求出最大值，以及相应角θ的值.
【详解】〔1〕连接,OE OC ，在Rt OBC ∆中，4sin ,4cos BC OB θθ==，
()()2161sin cos OBCE f S θθθ==+()16cos sin cos ,0,2πθθθθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭
〔2〕()()()16sin 16sin cos sin cos g f θθθθθθθ=+=++，
令sin cos t θθ=+，因为0,2πθ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭，所以(
2t ∈， 所以()()211162
2g h t t t θ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭ 因为()h t 在(
2t ∈上单调递增，
所以t =时()h t 有最大值为8+，此时4π
θ=
【点睛】此题主要考察三角函数与实际应用相结合，最终转化为二次函数进展求解，这类问题的特点是通过现实生活的事例考察解决问题的才能、仔细理解题，才能将实际问题转化为数学模型进展解答.
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。