七年级数学下册1_5_2平方差公式教案新版北师大版
北师大版七年级下册数学说课稿：1.5.2《平方差公式》
北师大版七年级下册数学说课稿：1.5.2《平方差公式》一. 教材分析《平方差公式》是北师大版七年级下册数学的一节重要内容。
本节课主要学习了平方差公式的推导和应用。
平方差公式是代数学习中一个基本的公式，它在解决一些特定的数学问题中起着重要的作用。
在教材中，平方差公式是通过具体的例子引入的。
学生先是通过计算一些简单的平方差，发现其中的规律，然后通过教师的引导，归纳出平方差公式。
接下来，教材通过一些例题和练习题，帮助学生理解和掌握平方差公式的应用。
二. 学情分析在七年级的学生中，他们对代数知识已经有了一定的了解，掌握了有理数的乘法运算。
但是，对于平方差公式的推导和应用，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要引导学生通过实际操作，发现平方差公式的规律，并能够运用到实际问题中。
三. 说教学目标本节课的教学目标是让学生理解平方差公式的推导过程，掌握平方差公式的应用，并能够解决一些实际问题。
具体来说，学生需要能够：1.理解平方差公式的含义和推导过程；2.掌握平方差公式的应用，能够解决一些实际问题；3.培养学生的观察能力、思维能力和解决问题的能力。
四. 说教学重难点本节课的重难点是平方差公式的推导和应用。
对于平方差公式的推导，学生需要通过具体的例子，发现其中的规律，并能够归纳出平方差公式。
对于平方差公式的应用，学生需要能够将公式运用到实际问题中，解决一些特定的数学问题。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用启发式教学法和小组合作学习法。
启发式教学法可以帮助学生主动思考，发现平方差公式的规律；小组合作学习法可以促进学生之间的交流与合作，提高他们解决问题的能力。
此外，我还将利用多媒体教学手段，如PPT和数学软件，来辅助教学。
通过直观的演示和动画，可以帮助学生更好地理解和掌握平方差公式。
六. 说教学过程1.导入：通过一些简单的平方差例子，引导学生计算并观察其中的规律。
2.探索：让学生分组合作，通过实际操作，尝试推导出平方差公式。
北师大版数学七年级下册1.5.2平方差公式的应用教案
1.5.2 平方差公式的应用学情分析：学生在前面已熟练掌握了多项式的乘法，已具备学习并运用平方差公式的知识技能结构，但在进行多项式乘法运算时常常会出现符号错误及漏项等问题；另外，数学公式中字母具有高度概括性、广泛应用性。
在这一节课中，让学生先应用多项式乘多项式计算三个题目，再通过观察讨论等式的左边和右边分别是什么特征，再用符号表示应该不是很难理解。
教学目标：1．经历探索平方差公式的过程，培养学生符号感及应用意思，渗透类比、转化的数学思想。
2在探索过程中，培养符号感和推理能力，培养学生观察、归纳、概括的能力，使其感受数学探索的乐趣。
教学重点：平方差公式的推导和应用．教学难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．教学过程：一.课前预习：复习多项式与多项式的乘法法则。
二.课上探究：活动一：自主探究（平方差公式）小小设计师：现在有一块边长为a米的正方形草皮要建成街心公园，但在运输的过程中一角遭到损坏，使得正方形草皮一角有边长为b米的小正方形草皮无法使用，请你帮助设计一下，将不规则草皮通过简拼变成规则的图形来建成街心公园，看谁的方法多！”思考：不规则草皮的面积怎样用代数式表示？规则草皮的面积怎样表示？它们之间又有什么关系？合作交流：（小组讨论交流通过剪拼图形求面积的不同方法。
看哪个小组的方法多！）精讲点拨：（各小组到黑板前展示交流讨论结果并将各个图形的面积用代数式表示出来）对于同一个图形，不论用什么方法来求它的面积，这个面积会不会改变？那么你能从中发现什么？平方差公式：文字叙述：合作交流：（得到平方差公式的结构特征）平方差公式有何结构特征？（1）左边：（2）右边：3.如何证明这个结论？学生在自己的学案上利用多项式乘法的法则，推导出公式．（一个学生到黑板上板演推导过程）2222=a-b-+-=-+a(b)(ba)ababab合作交流：（得到平方差公式的结构特征）平方差公式有何结构特征？（1）左边：（2）右边：精讲点拨：平方差公式的特点：1.左边是两个多项式相乘，这两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数．2.右边是相同项与相反项的平方差。
北师大版七年级下册数学教学设计：1.5.2《平方差公式》
北师大版七年级下册数学教学设计：1.5.2《平方差公式》一. 教材分析《平方差公式》是北师大版七年级下册数学的第二节内容。
本节课的主要目标是让学生掌握平方差公式的推导过程和应用。
平方差公式是代数学习中一个重要的公式，它不仅在解决实际问题中有着广泛的应用，而且为学生以后学习更高级的数学知识打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的乘法运算，能够进行简单的代数运算。
但是，对于如何从实际问题中抽象出代数式，以及如何推导和应用平方差公式，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生从实际问题中抽象出代数式，培养学生的抽象思维能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握平方差公式的推导过程，能够灵活运用平方差公式解决实际问题。
2.过程与方法：通过小组合作、探究学习，培养学生的合作精神和探究能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的抽象思维能力。
四. 教学重难点1.重点：平方差公式的推导过程和应用。
2.难点：如何引导学生从实际问题中抽象出代数式，以及如何灵活运用平方差公式解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出代数式。
2.运用小组合作、探究学习的方式，让学生通过合作、交流、讨论，共同推导出平方差公式。
3.通过例题讲解和练习，让学生掌握平方差公式的应用。
六. 教学准备1.准备相关的问题和例题，用于引导学生从实际问题中抽象出代数式。
2.准备多媒体教学设备，用于展示问题和例题。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生从实际问题中抽象出代数式，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）展示问题和例题，让学生观察和分析，引导学生思考如何解决这些问题。
3.操练（10分钟）让学生分组合作，通过探究学习，共同推导出平方差公式。
教师在这个过程中给予适当的引导和指导。
4.巩固（10分钟）通过讲解和练习，让学生掌握平方差公式的应用。
七年级数学下册 第一章 1.5 平方差公式教学设计 (新版)北师大版
平方差公式1．掌握平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的理解；(重点)2．掌握平方差公式的应用．(重点)一、情境导入1．教师引导学生回忆多项式与多项式相乘的法则．学生积极举手回答．多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．2．教师肯定学生的表现，并讲解一种特殊形式的多项式与多项式相乘——平方差公式．二、合作探究探究点：平方差公式 【类型一】 直接运用平方差公式进行计算 利用平方差公式计算： (1)(3x －5)(3x ＋5)；(2)(－2a －b )(b －2a )；(3)(－7m ＋8n )(－8n －7m )；(4)(x －2)(x ＋2)(x 2＋4)．解析：直接利用平方差公式进行计算即可．解：(1)(3x －5)(3x ＋5)＝(3x )2－52＝9x 2－25；(2)(－2a －b )(b －2a )＝(－2a )2－b 2＝4a 2－b 2；(3)(－7m ＋8n )(－8n －7m )＝(－7m )2－(8n )2＝49m 2－64n 2；(4)(x －2)(x ＋2)(x 2＋4)＝(x 2－4)(x 2＋4)＝x 4－16.方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a 和b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题【类型二】 利用平方差公式进行简便运算利用平方差公式计算：(1)2013×1923； (2)13.2×12.8. 解析：(1)把2013×1923写成(20＋13)×(20－13)，然后利用平方差公式进行计算；(2)把13.2×12.8写成(13＋0.2)×(13－0.2)，然后利用平方差公式进行计算．解：(1)2013×1923＝(20＋13)×(20－13)＝202－(13)2＝400－19＝39989； (2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22＝169－0.04＝168.96.方法总结：熟记平方差公式的结构是解题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第12题【类型三】 化简求值先化简，再求值：(2x －y )(y ＋2x )－(2y ＋x )(2y －x )，其中x ＝1，y ＝2.解析：利用平方差公式展开并合并同类项，然后把x 、y 的值代入进行计算即可得解．解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.方法总结：利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型四】平方差公式的几何背景如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是______________．解析：∵图①中阴影部分的面积是a2－b2，图②中梯形的面积是12(2a＋2b)(a－b)＝(a＋b)(a－b)，∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)，即可验证的乘法公式为(a＋b)(a－b)＝a2－b2.方法总结：通过几何图形面积之间的数量关系可对平方差公式做出几何解释．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型五】平方差公式的实际应用王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？解析：根据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边长后的面积，然后比较二者的大小即可．解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16.∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简解决问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题三、板书设计1．平方差公式：两数和与这两数差的积等于它们的平方差．即(a＋b)(a－b)＝a2－b2.2．平方差公式的应用学生通过“做一做”发现平方差公式，同时通过“试一试”用几何方法证明公式的正确性．通过这两种方式的演算，让学生理解平方差公式．本节教学内容较多，因此教材中的练习可以让学生在课后完成。
七年级数学下册 1.5.1 平方差公式教案 (新版)北师大版
整式的乘除1.5平方差公式1.5.1平方差公式（1） 【教学目标】 知识与技能会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算 过程与方法利用整式的乘法探索平方差公式，体会平方差公式的内涵。
情感、态度与价值观培养良好的计算能力，归纳概括能力，感受数学的美。
【教学重难点】重点：掌握平方差公式的特点，能熟练运用公式难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式 【导学过程】 【知识回顾】多项式乘多项式法则两项式乘以两项式，结果可能是两项吗？请你举例说明。
【新知探究】 探究一、1、计算下列各题： （1）(x+2)(x －2) （2）(1+3a)(1－3a) （3）(x+5y)(x －5y) （4）(2y+z)(2y －z)以上习题都是求两数和与两数差的积，大家发现什么规律？ ①上面四个算式中每个因式都是 项.②它们都是两个数的 与 的 .(填“和”“差”“积”) 根据大家作出的结果，你能猜想（a+b ）（a －b ）的结果是多少吗？ 为了验证大家猜想的结果，我们再计算： （ a+b ）（a －b ）= = . 得出：()()=-+b a b a 。
其中a 、b 表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式，这个公式叫做整式乘法的 公式，用语言叙述为 。
2、计算：（1）(23)(32)x x -++ （2）(32)(23)b a a b +- （3）1111()()2323x y x y -+探究二、利用平方差公式计算： （1）(41)(41)a a ---+（2）(－mn+3)(－mn －3)注意：（1）公式的字母a b 、可以表示数，也可以表示单项式、多项式； （2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式 计算1、 (5m －n)(－5m －n)2、 (a+b)(a －b)(a2+b2)【知识梳理】 你有什么收获？ 【随堂练习】 1、判断（1）()()22422b a a b b a -=-+ （ ） （2）1211211212-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+x x x （ ）（3）()()22933y x y x y x -=+-- （ ） （4）()()22422y x y x y x -=+---（ ） （5）()()6322-=-+a a a （ ） （6）()()933-=-+xy y x （ ）2、用平方差公式计算：（1）(3x+2)(3x-2) （ 2）（b+2a ）（2a-b ） （3）（-x+2y ）（-x-2y ） （4）（-m+n ）(m+n ）（5) (-0.3x +y )(y +0.3x ) （6) (-21a -b )(21a -b )。
北师大版数学七年级下册1.5《平方差公式》教案2
北师大版数学七年级下册1.5《平方差公式》教案2一. 教材分析《平方差公式》是北师大版数学七年级下册第1章第5节的内容。
本节课主要介绍平方差公式的概念和应用。
平方差公式是初等数学中的一个重要公式，对于学生理解代数运算和解决相关问题具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的乘法、完全平方公式等基础知识。
在此基础上，学生需要通过探究、发现、总结平方差公式的过程，进一步巩固和拓展数学知识。
三. 教学目标1.让学生理解平方差公式的含义，并能熟练运用平方差公式进行计算。
2.培养学生的逻辑思维能力、观察能力、动手实践能力。
3.激发学生学习数学的兴趣，提高学生自主学习、合作学习的能力。
四. 教学重难点1.重点：平方差公式的理解和运用。
2.难点：平方差公式的推导过程和灵活运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究、发现、总结平方差公式。
2.运用小组合作学习法，培养学生的团队精神和沟通能力。
3.采用案例分析法，让学生在实际问题中体会平方差公式的应用价值。
六. 教学准备1.准备相关案例和问题，用于引导学生进行探究和练习。
2.准备多媒体教学设备，用于展示和讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，让学生感受平方差公式的应用。
例如，计算下列表达式的值：a)(x + 2)(x - 2)b)(2x + 3)(2x - 3)通过这些问题，激发学生的学习兴趣，引出本节课的主题——平方差公式。
2.呈现（10分钟）展示平方差公式的定义和推导过程。
引导学生观察、分析、总结平方差公式的特点和规律。
3.操练（10分钟）让学生进行一些典型的练习题，巩固对平方差公式的理解和运用。
例如：a)计算下列表达式的值：(x + 1)(x + 4) - (x - 1)(x - 4)b)如果已知 a + b = 6 和 a - b = 2，求 a^2 - b^2 的值。
4.巩固（10分钟）让学生分组讨论，分享各自在操练过程中遇到的问题和解决方法。
北师大版数学七年级下册1.5《平方差公式》教学设计
北师大版数学七年级下册1.5《平方差公式》教学设计一. 教材分析北师大版数学七年级下册1.5《平方差公式》是学生在学习了有理数的乘法、完全平方公式的基础上进行学习的。
本节课的主要内容是平方差公式的探究和应用。
平方差公式是代数学习中一个重要的公式，它不仅在解决数学问题中有着广泛的应用，而且也为学生今后学习多项式乘法、因式分解等知识奠定了基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的乘法、完全平方公式的知识，具备了一定的代数基础。
但学生对于公式的探究和推导过程可能还不够熟悉，因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、猜想、验证等方法，积极主动地参与到平方差公式的探究过程中来。
三. 教学目标1.让学生掌握平方差公式及其应用。
2.培养学生观察、猜想、验证的数学思维能力。
3.培养学生合作学习、积极探究的学习态度。
四. 教学重难点1.重难点：平方差公式的探究和应用。
2.难点：平方差公式的推导过程和灵活运用。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法、探究学习法、讲解法等教学方法，引导学生积极主动地参与到学习过程中来。
六. 教学准备1.教师准备：平方差公式的相关知识、教学课件、练习题等。
2.学生准备：预习平方差公式的相关知识，准备进行课堂讨论和练习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾有理数的乘法、完全平方公式的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过课件展示平方差公式，引导学生观察、猜想公式的规律，并学生进行验证。
3.操练（10分钟）教师给出一些具体的例子，让学生运用平方差公式进行计算，巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）教师学生进行小组讨论，总结平方差公式的应用，并解决一些实际问题。
5.拓展（10分钟）教师引导学生运用平方差公式进行一些拓展练习，提高学生的应用能力。
6.小结（5分钟）教师学生进行课堂小结，回顾本节课所学内容，总结学习方法。
7.家庭作业（5分钟）教师布置一些有关平方差公式的练习题，让学生课后进行巩固。
北师大版数学七年级下册1.5平方差公式2优秀教学案例
（四）反思与评价
1.教师可以引导学生进行自我反思，让学生思考自己在学习过程中的优点和不足之处。例如，教师可以让学生回顾自己在解决问题时的思维过程，思考是否能够更有效地运用平方差公式。
北师大版数学七年级下册1.5平方差公式2优秀教学案例
一、案例背景
北师大版数学七年级下册1.5平方差公式2优秀教学案例，以平方差公式为核心内容。平方差公式是数学中的一个重要公式，用于解决各种实际问题。在本节课中，学生需要掌握平方差公式的概念、推导过程以及应用方法。
案例背景设定在一个初中数学课堂，学生已经学习了有理数的乘方和完全平方公式，对平方差公式的学习有一定的基础。然而，由于平方差公式的推导过程较为复杂，学生对其理解程度不一，导致在实际应用中出现困难。为了帮助学生更好地理解和运用平方差公式，教师设计了一系列教学活动。
2.教师可以利用多媒体技术展示平方差公式的应用场景，增强学生对知识的理解和记忆。例如，通过动画演示两个物体的高度差随着距离变化的情况，让学生直观地感受到平方差公式的应用。
3.教师可以设计一些有趣的数学游戏或竞赛活动，激发学生的学习兴趣和参与热情。例如，设计一个“数学接力赛”游戏，让学生通过解决平方差公式相关问题来完成接力任务。
2.教师可以进行课堂评价，对学生的学习情况进行反馈和指导。例如，教师可以对学生的解答进行评价，指出其正确与否，并给出改进的建议。同时，教师还可以鼓励学生互相评价，共同进步。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师可以通过生活实例引入平方差公式，激发学生的学习兴趣。例如，教师可以设计一个关于面积计算的情境，让学生思考如何计算一个长方形的面积，从而引出平方差公式的应用。
2024北师大版数学七年级下册1.5.2《平方差公式》教学设计2
2024北师大版数学七年级下册1.5.2《平方差公式》教学设计2一. 教材分析平方差公式是初中数学中的重要内容，对于学生来说，掌握平方差公式不仅有助于解决实际问题，而且为后续学习代数方程、函数等知识打下基础。
北师大版数学七年级下册1.5.2《平方差公式》通过丰富的例题和练习，使学生能够理解和掌握平方差公式的推导过程及其应用。
二. 学情分析七年级的学生已经学习了有理数的乘法、完全平方公式等知识，对于代数式的运算有一定的基础。
但平方差公式与完全平方公式相似，学生容易混淆。
因此，在教学过程中，需要帮助学生明确平方差公式与完全平方公式的区别和联系。
三. 教学目标1.理解平方差公式的推导过程。
2.掌握平方差公式的结构特点和应用。
3.能够运用平方差公式解决实际问题。
四. 教学重难点1.教学重点：平方差公式的推导过程和应用。
2.教学难点：平方差公式与完全平方公式的区别和联系。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法，引导学生主动探究、积极参与，提高学生的动手能力和团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关例题和练习题。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、计算机等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习完全平方公式，引导学生发现完全平方公式中的平方差部分，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）展示平方差公式的推导过程，引导学生观察、分析并总结平方差公式的结构特点。
3.操练（15分钟）让学生分组进行练习，运用平方差公式解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）挑选几道典型题目，让学生上黑板演示解题过程，讲解解题思路。
其他学生听讲，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：平方差公式在实际问题中的应用，如何将实际问题转化为平方差公式的形式。
6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，强调平方差公式与完全平方公式的区别和联系。
7.家庭作业（5分钟）布置适量作业，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
北师大版七下数学1.5.2平方差公式教学设计
北师大版七下数学1.5.2平方差公式教学设计一. 教材分析平方差公式是北师大版七下数学1.5.2的内容，它是代数学习的重要基础，也是解决实际问题的重要工具。
本节内容通过平方差公式的学习，使学生能够理解和掌握平方差公式的推导过程和应用，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了有理数的乘法、完全平方公式等基础知识，但对于平方差公式的推导和应用还不够熟练。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对学生的实际情况进行教学设计和调整。
三. 教学目标1.理解平方差公式的推导过程。
2.掌握平方差公式的应用。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.平方差公式的推导过程。
2.平方差公式的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究平方差公式的推导过程。
2.通过实例讲解，让学生理解平方差公式的应用。
3.采用小组合作学习的方式，培养学生的团队合作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT。
2.准备一些实际问题，用于引导学生应用平方差公式。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何求解两个数的平方差。
例如：已知一个数的平方是16，另一个数的平方是25，求这两个数的平方差。
2.呈现（15分钟）呈现平方差公式的推导过程，引导学生理解平方差公式的由来。
通过讲解和示例，让学生掌握平方差公式的表达式。
3.操练（15分钟）让学生分组进行练习，运用平方差公式解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）针对学生的练习情况，进行讲解和巩固。
通过一些变式题目，让学生熟练掌握平方差公式的应用。
5.拓展（10分钟）引导学生思考平方差公式的推广和应用。
例如：已知两个数的和与差，如何求解这两个数的平方和与平方差。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，强调平方差公式的推导过程和应用。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关平方差公式的练习题目，让学生巩固所学知识。
北师大版数学七年级下册1.5《平方差公式》教学设计2
北师大版数学七年级下册1.5《平方差公式》教学设计2一. 教材分析平方差公式是北师大版数学七年级下册1.5节的内容，本节课主要让学生掌握平方差公式的推导过程和应用。
平方差公式是一个基本的代数公式，它在解决实际问题和初中数学的学习中有着重要的作用。
本节课的内容是学生进一步学习完全平方公式和二元一次方程组的基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了有理数的乘方、完全平方公式等知识，具备了一定的代数基础。
但学生对于平方差公式的推导过程和应用可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生通过自主学习、合作学习等方式，理解和掌握平方差公式。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握平方差公式的推导过程和应用。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作学习等方式，培养学生的探究能力和合作意识。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心。
四. 教学重难点1.重点：平方差公式的推导过程和应用。
2.难点：平方差公式的灵活运用。
五. 教学方法1.自主学习：引导学生通过自主学习，理解平方差公式的推导过程。
2.合作学习：学生进行小组合作，共同探讨平方差公式的应用。
3.实例讲解：通过具体的例子，让学生理解平方差公式的运用。
六. 教学准备1.准备平方差公式的推导过程和应用的例子。
2.准备课件，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习完全平方公式，引导学生发现完全平方公式和平方差公式的关系，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）展示平方差公式的推导过程，让学生理解平方差公式的来源。
3.操练（10分钟）让学生通过自主学习，尝试运用平方差公式解决问题。
教师在这个过程中给予适当的引导和帮助。
4.巩固（10分钟）学生进行小组合作，共同探讨平方差公式的应用。
通过小组讨论，加深学生对平方差公式的理解。
5.拓展（5分钟）引导学生思考：平方差公式在实际生活中有哪些应用？通过实例讲解，让学生理解平方差公式在实际生活中的重要性。
2020—2021学年北师大版七年级下册1.5.2平方差公式教案
在今天的教学中，我尝试了多种方法来帮助学生理解平方差公式。首先，通过日常生活中的例子导入新课，我发现学生们的兴趣被激发了，他们开始思考这个公式与他们生活的联系。在理论介绍环节，我注重了公式推导的逻辑性和直观性，希望通过图形和具体的例子让学生明白公式的来龙去脉。
在讲授过程中，我注意到了一些学生对于公式的理解和记忆存在困难。为此，我采用了案例分析和重点难点解析的方式，尽可能用简洁明了的语言解释公式，并通过对比和重复强化记忆。实践活动和小组讨论的环节，让我看到了学生们积极参与的热情，他们能够在讨论中相互学习，共同解决问题。
b.记忆难点：学生可能记不住公式的具体形式，可以通过编写记忆口诀或者与生活实际结合的方式，如“大的平方减小的平方”来帮助学生记忆。
c.应用难点：在实际问题中，学生可能不知道如何运用平方差公式。可以通过典型例题的讲解和练习，如求解(x+3)(x-3)=64这类问题，指导学生如何识别并应用平方差公式。
d.运算难点：学生在运用平方差公式进行计算时可能会出现错误，特别是符号的处理。需要通过反复练习和强调，帮助学生掌握正确的运算步骤和方法。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了平方差公式的基本概念、推导过程、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对平方差公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
然而，我也意识到在教学中还存在一些不足。比如，对于一些理解能力较弱的学生，我可能需要更多的时间和耐心去个别辅导，帮助他们真正消化吸收这个公式。同时，我在引导学生讨论时，可能需要提供更多的开放性问题，以拓宽他们的思维。
七年级数学下册1_5_2平方差公式教案新版北师大版
1.5.2平方差公式教学目标1.了解平方差公式的几何背景；发展符号感和推理能力2.通过拼图游戏，与同伴交流平方差公式的几何背景教学重、难点重点：了解平方差公式的几何背景难点：发展推理和表达能力导学方法启发式教学、小组合作学习导学步骤导学行为（师生活动）设计意图回顾旧知，引出新课1、平方差公式是什么？2、运用公式时应该注意什么？从学生已有的知识入手，引入课题新知探索例题精讲合作探究【类型一】平方差公式的几何背景如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是______________．解析：∵图①中阴影部分的面积是a2－b2，图②中梯形的面积是12(2a＋2b)(a－b)＝(a＋b)(a－b)，∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)，即可验证的乘法公式为(a＋b)(a－b)＝a2－b2.方法总结：通过几何图形面积之间的数量关系可对平方差公式做出几何解释．【类型二】平方差公式的实际应用王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？解析：根据题意先求出原正方形的面积，引出研究本节课要学习知识的必要性，清楚新知识的引出是由于实际生活的需要学以致用，举一反三教师给出准确概念，同时给学生消化、吸收时间，当堂掌握例2由学生口答，教师板书，再求出改变边长后的面积，然后比较二者的大小即可．解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16.∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简解决问题．课堂检测1．若（x-5）2=x2+kx+25，则k=（）A．5 B．-5 C．10 D．-102．9.8×10.2=________；3．a2+b2=（a+b）2+______=（a-b）2+________．4．（x-y+z）（x+y+z）=________；5．（a+b+c）2=_______．6．（12x+3）2-（12x-3）2=________．7．（1）（2a-3b）（2a+3b）；（2）（-p2+q）（-p2-q）；（3）（x-2y）2； 4）（-2x-12y）2．8．（1）（2a-b）（2a+b）（4a2+b2）；（2）（x+y-z）（x-y+z）-（x+y+z）（x-y-z）．9．有一块边长为m的正方形空地，想在中间位置修一条“十”字型小路，小路的宽为n，试求剩余的空地面积；用两种方法表示出来，比较这两种表示方法，验证了什么公式？10．观察下列各式的规律．12+（1×2）2+22=（1×2+1）2；22+（2×3）2+32=（2×3+1）2；32+（3×4）2+42=（3×4+1）2；…（1）写出第2007行的式子；（2）写出第n行的式子，并说明你的结论是正确的．检验学生学习效果，学生独立完成相应的练习，教师批阅部分学生，让优秀生帮助批阅并为学困生讲解.总结提升总结本节课的主要内容：1．平方差公式：两数和与这两数差的积等于它们的平方差．即(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 2．平方差公式的应用。
七年级数下册第一章第5节平方差公式教案2新北师大
平方差公式(一)●教学目标(一)教学知识点1.经历探讨平方差公式的进程.2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.(二)能力训练要求1.在探讨平方差公式的进程中，进展学生的符号感和推理能力.2.培育学生观看、归纳、归纳等能力.(三)情感与价值观要求在计算的进程中发觉规律，并能用符号表达，从而体会数学语言的简捷美.●教学重点平方差公式的推导和应用.●教学难点用平方差公式的结构特点判定题目可否利用公式.●教学方式探讨与讲练相结合.使学生在计算的进程中发觉规律，并运用自己的语言进行表达，用符号证明那个规律，并探讨出平方差公式的结构特点，在教师的讲解和学生的练习中学会应用.●教具预备投影片四张第一张：做一做，记作(§1.5.1 A)第二张：例1，记作(§1.5.1 B)第三张：例2，记作(§1.5.1 C)第四张：练一练，记作(§1.5.1 D)●教学进程Ⅰ.创设情景，引入新课［师］你能用简便方式计算以下各题吗？(1)2001×1999；(2)992－1［生］能够.在(1)中2001×1999=(2000+1)(2000－1)=20002－2000+2000－1×1=20002－12=4000000－1=3999999,在(2)中992－1=(100－1)2－1=(100－1)(100－1)－1=1002－100－100+1－1=10000－200=9800.［师］专门好！咱们利用多项式与多项式相乘的法那么，将(1)(2)中的2001，1999，99化成为整千整百的运算，从而使运算很简便.咱们不妨观看第(1)题，2001和1999，一个比2000大1，于是可写成2000与1的和，一个比2000小1，于是可写成2000与1的差，因此2001×1999确实是2000与1这两个数的和与差的积，即(2000+1)(2000－1)；再观看利用多项式与多项式相乘的法那么算出来的结果为：20002－12，恰为这两个数2000与1的平方差.即(2000+1)(2000－1)=20002－12.那么其他知足那个特点的运算是不是也有类似的结果呢？咱们不妨看下面的做一做.Ⅱ.使学生在计算的进程中，通过观看、归纳发觉规律，并用自己的语言和符号表示其规律［师］出示投影片(§1.5.1 A)做一做：计算以下各题：(1)(x+2)(x－2);(2)(1+3a)(1－3a);(3)(x+5y)(x－5y);(4)(y+3z)(y－3z).观看以上算式，你发觉什么规律？运算出结果，你又发觉什么规律？再举两例验证你的发觉？［生］上面四个算式都是多项式与多项式的乘法.［生］上面四个算式每一个因式都是两项.［生］除上面两个同窗说的之外，更重要的是：它们都是两个数的和与差的积.例如：算式(1)是“x”与“2”这两个数的和与差的积；算式(2)是“1”与“3a”这两个数的和与差的积；算式(3)是“x”与“5y”的和与差的积；算式(4)是“y”与“3z”这两个数的和与差的积.［师］咱们观看出了算式的结构特点.像如此的多项式与多项式相乘，它们的结果如何呢？只要你肯动笔、动脑，相信你必然会探访到答案.［生］解：(1)(x+2)(x－2)=x2－2x+2x－4=x2－4；(2)(1+3a)(1－3a)=1－3a+3a－9a2=1－9a2；(3)(x+5y)(x－5y)=x2－5xy+5xy－25y2=x2－25y2；(4)(y+3z)(y－3z)=y2－3yz+3zy－9z2=y2－9z2(如有必要的话能够让学生利用乘法分派律将多项式与多项式相乘转化成单项式与多项式相乘，进一步体会乘法分派律的重要作用和转化的思想)［生］从适才这位同窗的运算，我发觉：即两个数的和与差的积等于这两个数的平方差.这和咱们前面的一个简便运算得出一样的结果.即［师］你还能举两个例子验证你的发觉吗？［生］能够.例如：(1)101×99=(100+1)(100－1)=1002－100+100－12=1002－12=10000－1=9999；(2)(－x+y)(－x－y)=(－x)(－x)+xy－xy－y2=(－x)2－y2=x2－y2.即上面两个例子，一样能够验证：两个数的和与差的积，等于它们的平方差. ［师］什么缘故会有如此的特点呢？［生］因为利用多项式与多项式相乘的运算法那么展开后，中间两项是同类项且系数互为相反数，因此相加后为零.只剩下那个数的平方差.［师］专门好！你能用一样形式表示上述规律，并对规律进行证明吗？ ［生］能够.上述规律用符号表示为： (a+b)(a －b)=a 2－b 2①其中a,b 能够表示任意的数，也能够表示代表数的单项式、多项式. 利用多项式与多项式相乘的运算法那么能够对规律进行证明，即 (a+b)(a －b)=a 2－ab+ab －b 2=a 2－b2［师］同窗们确实不简单用符号表示和证明咱们发觉的规律简捷明快.你能给咱们发觉的规律(a+b)(a －b)=a 2－b 2起一个名字吗？能形象直观地反映出此规律的.［生］咱们能够把(a+b)(a －b)=a 2－b 2叫做平方差公式. ［师］大伙儿同意吗？ ［生］同意.［师］好了！这节课咱们要紧确实是学习讨论那个公式的.你能用语言描述那个公式吗？ ［生］能够.那个公式表示两数和与差的积，等于它们的平方差.［师］平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式.用它直接运算会很简单，但要注意必需符合公式的结构特点才能利用它进行运算.Ⅲ.体会平方差公式的应用，感受平方差公式给多项式乘法运算带来的方便，进一步熟悉平方差公式.出示投影片(§1.5.1 B)［例1］(1)以下多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( ) A.(x+1)(1+x)B.(21a+b)(b －21a)C.(－a+b)(a －b)D.(x 2－y)(x+y 2)E.(－a －b)(a －b)F.(c 2－d 2)(d 2+c 2)(2)利用平方差公式计算： (5+6x)(5－6x);(x －2y)(x+2y); (－m+n)(－m －n).［生］(1)中只有B 、E 、F 能用平方差公式.因为B.(21a+b)(b －21a)利用加法互换律可得(21a+b)(b －21a)=(b+21a)(b －21a),表示b 与21a 这两个数的和与差的积，符合平方差公式的特点；E.(－a －b)(a －b),一样可利用加法互换律得(－a －b)(a －b)=(－b －a)(－b+a),表示－b 与a 这两个数和与差的积，也符合平方差公式的特点；F.(c 2－d 2)(d 2+c 2)利用加法和乘法互换律得(c 2－d 2)(d 2+c 2)=(c 2+d 2)(c 2－d 2)，表示c 2与d 2这两个数和与差的积，一样符合平方差公式的特点.［师］什么缘故A 、C 、D 不能用平方差公式呢？ ［生］A 、C 、D 表示的不是两个数的和与差的积的形式.［师］下面咱们就来做第(2)题，第一分析它们别离是哪两个数和与差的积的形式. ［生］(5+6x)(5－6x)是5与6x 这两个数的和与差的形式；(x －2y)(x+2y)是x 与2y 这两个数的和与差的形式；(－m+n)(－m －n)是－m 与n 这两个数的和与差的形式.［师］专门好！下面咱们就来用平方差公式计算上面各式. ［生］(5+6x)(5－6x)=52－(6x)2=25－36x 2; (x －2y)(x+2y)=x 2－(2y)2=x 2－4y 2; (－m+n)(－m －n)=(－m)2－n 2=m 2－n 2.［师］这位同窗的思路超级清楚.下面咱们再来看一个例题. 出示投影片(记作§1.5.1 C) ［例2］利用平方差公式计算： (1)(－41x －y)(－41x+y); (2)(ab+8)(ab －8); (3)(m+n)(m －n)+3n 2.［师］同窗们可先交流、讨论，然后各小组派一代表到黑板上演示.然后再派一名同窗讲评.［生］解：(1)(－41x －y)(－41x+y)——(－41x)与y 的和与差的积=(－41x)2－y 2——利用平方差公式得(－41x)与y 的平方差 =161x 2－y 2——运算至最后结果 (2)(ab+8)(ab －8)——ab 与8的和与差的积 =(ab)2－82——利用平方差公式得ab 与8的平方差 =a 2b 2－64——运算至最后结果(3)(m+n)(m －n)+3n 2——据运算顺序先计算m 与n 的和与差的积 =(m 2－n 2)+3n 2——利用平方差公式 =m 2－n 2+3n 2——去括号=m 2+2n 2——归并同类项至最简结果［生］适才这位同窗的运算有条有理，有根有据，我感觉利用平方差公式计算必需注意以下几点：(1)公式中的字母a 、b 能够表示数，也能够是表示数的单项式、多项式即整式. (2)要符合公式的结构特点才能运用平方差公式.(3)有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的互换律、结合律适当变形实质上能应用公式.［生］还需注意最后的结果必需最简.［师］同窗们总结的专门好！下面咱们再来练习一组题. 投影片(§1.5.1 D) 1.计算： (1)(a+2)(a －2); (2)(3a+2b)(3a －2b); (3)(－x+1)(－x －1); (4)(－4k+3)(－4k －3).2.把以下图左框里的整式别离乘(a+b),所得的积写在右框相应的位置上.解：1.(1)(a+2)(a －2)=a 2－22=a 2－4;(2)(3a+2b)(3a－2b)=(3a)2－(2b)2=9a2－4b2;(3)(－x+1)(－x－1)=(－x)2－12=x2－1;(4)(－4k+3)(－4k－3)=(－4k)2－32=16k2－9.2.(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2;(a－b)(a+b)=a2－b2;(－a+b)(a+b)=(b+a)(b－a)=b2－a2;(－a－b)(a+b)=－a(a+b)－b(a+b)=－a2－ab－ab－b2=－a2－2ab－b2(教师在让学生做练习，可巡视练习的情形，对确实有困难的学生要给以指导)Ⅳ.课时小结［师］同窗们有何体会和收成呢？［生］今天咱们学习了多项式乘法运算中的一个重要公式——平方差公式即(a+b)(a－b)=a2－b2.［生］应用那个公式要明白公式的特点：(1)左侧为两个数的和与差的积；(2)右边为两个数的平方差.［生］公式中的a、b能够是数，也能够是代表数的整式.［生］有些式子表面上不能用公式，但通过适当变形实质上能用公式.［师］同窗们总结的专门好！还记得刚上课的一个问题吗？计算992－1，此刻想一想，能使它运算更简便吗？［生］能够.992－1能够看成99与1的平方差，从右往左用平方差公式可得：992－1=992－12=(99+1)(99－1)=100×98=9800.［师］咱们发觉平方差公式的应用是很灵活的，只要你准确地把握它的结构特点，必然能使你的运算简捷明了.Ⅴ.课后作业讲义习题，第1题.Ⅵ.活动与探讨有10位乒乓球选手进行单循环赛(每两人世均赛一场)，用x1,y1按序表示第1号选手胜与负的场数，用x2,y2按序表示第2号选手胜与负的场数，……用x10,y10按序表示第10号选手胜与负的场数.那么10名选手胜的场数的平方和与他们负的场数的平方和相等，即x12+x22+…+x102=y12+y22+…+y102,什么缘故？通过：由于是单循环赛，每名运动员恰好参加9局竞赛，即x i+y i=9(其中i=一、二、3、…10)，在竞赛中一人胜了，另一人自然败了，那么x1+x2+…+x10=y1+y2+…+y10,这两个隐含条件是解题的关键，从作差比较入手.［结果］由题意知x i+y i=9(i=一、二、3、…10)且x1+x2+…+x10=y1+y2+…+y10(x12+x22+…+x102)－(y12+y22+…+y102)=(x12－y12)+(x22－y22)+…+(x102－y102)=(x1+y1)(x1－y1)+(x2+y2)(x2－y2)+…+(x10+y10)(x10－y10)=9［(x1－y1)+(x2－y2)+(x3－y3)+…+(x10－y10)］=9［(x1+x2+…+x10)－(y1+y2+…+y10)］=0因此，x12+x22+…+x102=y12+y22+…+y102.●板书设计§1.5.1 平方差公式(一)解：(1)(x+2)(x－2)=x2－2x+2x－4=x2－4;(2)(1+3a)(1－3a)=1－3a+3a－9a2=1－9a2;(3)(x+5y)(x－5y)=x2－5xy+5xy－25y2=x2－25y2;(4)(y+3z)(y－3z)=y2－3yz+3zy－9z2=y2－9z2.(a+b)(a－b)=a2－b2两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.(a+b)(a－b)=a2－ab+ab－b2=a2－b2.例1.(抓住平方差公式的特点，准确地利用平方差公式计算)例2.(对公式中a、b含义的明白得，既能够是具体的数也能够是整数)随堂练习(熟悉平方差公式).●备课资料参考例题［例1］用简便方式计算： (1)79×81 (2)99×101×10001解：(1)原式=(80－1)(80+1)=802－1=6399; (2)原式=(100－1)(100+1)(10000+1) =(1002－12)(10000+1) =(10000－1)(10000+1) =100002－12=0－1=. ［例2］计算： (1)(b －2)(b 2+4)(b+2)(2)［2a 2－(a+b)(a －b)］［(c －a)(a+c)+(－c+b)(c+b)］分析：(1)题可利用乘法互换律和结合律，先求(b －2)与(b+2)的积，所得结果再与(b 2+4)相乘，可两次运用平方差公式；(2)题依照混合运算的运算顺序，先算括号里的其中(a+b)(a －b),(c －a)(a+c),(－c+b)(c+b)都可直接运用平方差公式计算.解：(1)(b －2)(b 2+4)(b+2) =［(b －2)(b+2)］(b 2+4) =(b 2－4)(b 2+4) =(b 2)2－42=b 4－16(2)［2a 2－(a+b)(a －b)］［(c －a)(a+c)+(－c+b)(c+b)］ =［2a 2－(a 2－b 2)］［(c+a)(c －a)+(b －c)(b+c)］ =［2a 2－a 2+b 2］［c 2－a 2+b 2－c 2］ =(a 2+b 2)(b 2－a 2) =(b 2)2－(a 2)2=b 4－a 4 ［例3］计算： (1)(4x +32y)(－4x +32y) (2)(a+b －c)(a －b+c)(3)(x+3y)2(x －3y)2(x 2+9y 2)2分析：(1)题中，可把相同的项放在对应的位置上，再把互为相反数的项放在对应的位置上，使之知足(a+b)(a －b),然后用平方差公式；(3)题先逆用积的乘方公式，然后用平方差公式.解：(1)(4x +32y)(－4x +32y) =(32y+4x )(32y －4x ) =(32y)2－(4x )2 =94y 2－161x 2(2)(a+b －c)(a －b+c) =［a+(b －c)］［a －(b －c)］ =a 2－(b －c)2=a 2－(b 2－2bc+c 2) =a 2－b 2+2bc －c 2(3)(x+3y)2(x －3y)2(x 2+9y 2)2=［(x+3y)(x －3y)(x 2+9y 2)］2=［(x 2－9y 2)(x 2+9y 2)］2 =［x 4－81y 4］2=x 8－162x 4y 4+6561y 8.。
北师大版数学七年级下册1.5.2平方差公式的应用教案
作业：
（1）必做题：P21习题1.9第1题，全部做在作业本上
（2）选做题：1、
2、
3、(x+y+z)(x+y-z)
教师引导学生讨论巩固落实
板书设计
平方差公式
（a+b）（a－b）= a²－b²复习引例
两数之和和这两数只差的积………………
等于这两数的平方差……………….
板书一：
例题1变式1变式2
……….…………………..
【生3】
(3)(-m+n)(-m-n)
解：原式=-m2-n2
【师】我们一起来看一看黑板上几位同学完成得怎么样。
【生4】第一题错了，-6x2应该改成-（6x）2
【生5】第二题是准确的，在计算前先变形成(2+3x)(2-3x)
【生6】第三题中-m2应该写成（-m）2
【师】同学们修改得非常好，我们在计算的过程中一定要注意计算的技巧，该加括号的时候一定要合理加上括号。为了检验一下同学们的掌握程度，请同学们完成下面三道提高题：
本节内容分为两个课时，第一课时在实际背景和计算中探索出有平方差公式，学会用平方差公式进行运算，对掌握于非标准形式的多项式的乘积灵活运用平方差公式计算，并能解决实际问题的能力。第二课时在运算中归纳出平方差公式的适用范围及变式拓展。
2、教学重点:平方差公式的推导和应用．
七年级数学下册 1.5.2 平方差公式教案 (新版)北师大版-(新版)北师大版初中七年级下册数学教案
整式的乘除平方差公式（2）【教学内容】【教学目标】知识与技能进一步使学生掌握平方差公式，让学生理解公式数学表达式与文字表达式在应用上的差异过程与方法通过对平方差公式的运用体会平方差公式的数学简洁美。
情感、态度与价值观培养良好的计算能力，归纳概括能力，感受数学的美。
【教学重难点】重点：公式的应用及推广难点：公式的应用及推广【导学过程】【知识回顾】1、平方差公式：(a+b)(a－b)=a2－b22、公式的结构特点：3、应用平方差公式的注意事项：【情景导入】1、做一做：如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。
（2多少？你能表示出它的面积吗？【新知探究】探究一、平方差公式中的a 、b 可以是单项式，也可以是多项式，在平方时，应把单项式或多项式加括号；学会灵活运用平方差公式。
有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式．•如：()()x y z x y z +---中相等的项有和；相反的项有，因此22()()[()][()]()()x y z x y z y y +---=+-=-形如这类的多项式相乘仍然能用平方差公式计算 （1）()()x y z x y z +-++ （2）()()a b c a b c -++-（3）()()c b a c b a --+- （4）(22)(22)a b c a b c +++-探究二、1、计算下列各组算式，并观察它们的共同特点7×9= 11×13= 79×81=8×8= 12×12= 80×80=2、从以上过程中，你发现了什么规律？3、请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？4、你能用简便方法计算下列各题吗？（1）10397⨯（2）9981002⨯（3）59.860.2⨯（4）2(3)(3)(9)x x x +-+ （5）⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-2141212x x x【知识梳理】你有什么收获？【随堂练习】填空：(x+4)(－x+4)=_____, (x+3y)(_____)=9y 2－x 2(－m －n)(_____)=m 2－n 2×102=(_____)(_____)=( )2－( )2=_____.4.(_____－4b)(_____+4b)=9a 2－16b 2,5.(_____－2x)(_____－2x)=4x 2－25y 2计算： 6.－(2x 2+3y)(3y －2x 2) 7.(a －b)(a+b)(a 2+b 2)8.(xy －z)(z+xy) 9.( x －0.7y)( x+0.7y)。
七年级数学下册 第一章 第5节 平方差公式教案1 (新版)北师大版
1.5 平方差公式(二)●教学目标(一)教学知识点1.了解平方差公式的几何背景.2.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.3.体会符号运算对证明猜想的作用.(二)能力训练要求1.用符号运算证明猜想，提高解决问题的能力.2.培养学生观察、归纳、概括等能力.(三)情感与价值观要求1.在拼图游戏中对平方差公式有一个直观的几何解释，体验学习数学的乐趣.2.体验符号运算对猜想的作用，享受数学符号表示运算规律的简捷美.●教学重点平方差公式的几何解释和广泛的应用.●教学难点准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本的运算技能.●教学方法启发——探究相结合●教具准备一块大正方形纸板，剪刀.投影片四张第一张：想一想，记作(§1.5.2 A)第二张：例3，记作(§1.5.2 B)第三张：例4，记作(§1.5.2 C)第四张：补充练习，记作(§1.7.2 D)●教学过程Ⅰ.创设问题情景，引入新课［师］同学们，请把自己准备好的正方形纸板拿出来，设它的边长为a.这个正方形的面积是多少？［生］a2.［师］请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形(如图1－23).现在我们就有了一个新的图形(如上图阴影部分)，你能表示出阴影部分的面积吗？图1－23［生］剪去一个边长为b的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为(a2－b2).［师］你能用阴影部分的图形拼成一个长方形吗？同学们可在小组内交流讨论.(教师可巡视同学们拼图的情况，了解同学们拼图的想法)［生］老师，我们拼出来啦.［师］讲给大伙听一听.［生］我是把剩下的图形(即上图阴影部分)先剪成两个长方形(沿上图虚线剪开)，我们可以注意到，上面的大长方形宽是(a－b),长是a;下面的小长方形长是(a－b),宽是b.我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a－b),我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如图1－24所示的图形(阴影部分)，它的长和宽分别为(a+b),(a－b),面积为(a+b)(a－b).图1－24［师］比较上面两个图形中阴影部分的面积，你发现了什么？［生］这两部分面积应该是相等的，即(a+b)(a－b)=a2－b2.［生］这恰好是我们上节课学过的平方差公式.［生］我明白了.上一节课，我们用多项式与多项式相乘的法则验证了平方差公式.今天，我们又通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释，太妙了.［生］用拼图来验证平方差公式很直观，一剪一拼，利用面积相等就可推证.［师］由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学习平方差公式，也许你会发现它更“神奇”的作用.Ⅱ.讲授新课［师］出示投影片(§1.5.2 A)想一想：(1)计算下列各组算式，并观察它们的特点⎩⎨⎧=⨯=⨯8897 ⎩⎨⎧=⨯=⨯12121311 ⎩⎨⎧=⨯=⨯80808179 (2)从以上的过程中，你发现了什么规律？(3)请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？［生］(1)中算式算出来的结果如下⎩⎨⎧=⨯=⨯64886397 ⎩⎨⎧=⨯=⨯14412121431311 ⎩⎨⎧=⨯=⨯6400808063998179 ［生］从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大1.［师］是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢？［生］我猜想是.我又找了几个例子如：⎩⎨⎧=⨯=⨯422331 ⎩⎨⎧=⨯=⨯10000100100999910199 ⎩⎨⎧=⨯=⨯62525256242624 ［师］你能用字母表示这一规律吗？［生］设这个自然数为a,与它相邻的两个自然数为a －1,a+1,则有(a+1)(a －1)=a 2－1. ［生］这个结论是正确的，用平方差公式即可说明.［生］可是，我有一个疑问，a 必须是一个自然数，还必须大于2吗？(同学们惊讶，然后讨论)［生］a 可以代表任意一个数.［师］很好！同学们能大胆提出问题，又勇于解决问题，值得提倡.［生］老师，我还有个问题，这个结论反映了数字之间的一种关系.在平时有什么用途呢？(陷入沉思)［生］例如：计算29×31很麻烦，我们就可以转化为(30－1)(30+1)=302－1=900－1=899.［师］的确如此.我们在做一些数的运算时，如果能一直有这样“巧夺天工”的方法，太好了.我们不妨再做几个类似的练习.出示投影片(§1.5.2 B)［例3］用平方差公式计算：(1)103×97 (2)118×122［师］我们可以发现，直接运算上面的算式很麻烦.但注意观察就会发现新的奥妙.［生］我发现了，103=100+3,97=100－3,因此103×97=(100+3)(100－3)=10000－9=9991.太简便了！［生］我观察也发现了第(2)题的“奥妙”.118=120－2,122=120+2118×122=(120－2)(120+2)=1202－4=14400－4=14396.［生］遇到类似这样的题，我们就不用笔算，口算就能得出.［师］我们再来看一个例题(出示投影片§1.5.2 C).［例4］计算：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2;(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3).分析：上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便；还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简.解：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2=a2(a2－b2)+a2b2=a4－a2b2+a2b2=a4(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3)=(2x)2－52－(4x2－6x)=4x2－25－4x2+6x=6x－25注意：在(2)小题中，2x与2x－3的积算出来后，要放到括号里，因为它们是一个整体.［例5］公式的逆用(1)(x+y)2－(x－y)2 (2)252－242分析：逆用平方差公式可以使运算简便.解：(1)(x+y)2－(x －y)2=［(x+y)+(x －y)］［(x+y)－(x －y)］=2x ·2y=4xy(2)252－242=(25+24)(25－24)=49Ⅲ.随堂练习1.(课本P 22)计算(1)704×696(2)(x+2y)(x －2y)+(x+1)(x －1)(3)x(x －1)－(x －31)(x+31)(可让学生先在练习本上完成，教师巡视作业中的错误，或同桌互查互纠)解：(1)704×696=(700+4)(700－4)=490000－16=489984(2)(x+2y)(x －2y)+(x+1)(x －1)=(x 2－4y 2)+(x 2－1)=x 2－4y 2+x 2－1=2x 2－4y 2－1(3)x(x －1)－(x －31)(x+31)=(x 2－x)－［x 2－(31)2］=x 2－x －x 2+91=91－x2.(补充练习)出示投影片(§1.5.2 D)解方程：(2x+1)(2x －1)+3(x+2)(x －2)=(7x+1)(x －1)(先由学生试着完成)解：(2x+1)(2x －1)+3(x+2)(x －2)=(7x+1)(x－1)(2x)2－1+3(x2－4)=7x2－6x－14x2－1+3x2－12=7x2－6x－16x=12 x=2Ⅳ.课时小结［师］同学们这节课一定有不少体会和收获.［生］我能用拼图对平方差公式进行几何解释.也就是说对平方差公式的理解又多了一个层面.［生］平方差公式不仅在计算整式时，可以使运算简便，而且数的运算如果也能恰当地用了平方差公式，也非常神奇.［生］我觉得这节课我印象最深的是犯错误的地方.例如a(a+1)－(a+b)(a－b)一定要先算乘法，同时减号后面的积(a+b)(a－b),算出来一定先放在括号里，然后再去括号.就不容易犯错误了.……Ⅴ.课后作业课本习题1.10.Ⅵ.活动与探究计算：19902－19892+19882－19872+…+22－1.［过程］先做乘方运算，再做减法，则计算繁琐，观察算式特点，考虑逆用平方差公式.［结果］原式=(19902－19892)+(19882－19872)+…+(22－1)=(1990+1989)(1990－1989)+(1988+1987)(1988－1987)+…+(2+1)(2－1)=1990+1989+1988+1987+…+2+1=2)11990(1990+⨯=1981045●板书设计§1.5.2 平方差公式(二)一、平方差公式的几何解释：二、想一想特例——归纳——建立猜想——用符号表示——给出证明即(a+1)(a －1)=a 2－1三、例题讲解：例3 例4四、练习●备课资料参考练习1.选择题(1)在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是( )A.(－a －b)(a －b)B.(c 2－d 2)(d 2+c 2)C.(x 3－y 3)(x 3+y 3)D.(m －n)(－m+n)(2)用平方差公式计算(x －1)(x+1)(x 2+1)结果正确的是( )A.x 4－1B.x 4+1C.(x －1)4D.(x+1)4 (3)下列各式中，结果是a 2－36b 2的是( )A.(－6b+a)(－6b －a)B.(－6b+a)(6b －a)C.(a+4b)(a －4b)D.(－6b －a)(6b －a)2.填空题(4)(5x+3y)·( )=25x 2－9y 2(5)(－0.2x －0.4y)( )=0.16y 2－0.04x 2(6)(－23x －11y)( )=－49x 2+121y 2(7)若(－7m+A)(4n+B)=16n 2－49m 2,则A= ，B= .3.计算(8)(2x 2+3y)(3y －2x 2).(9)(p －5)(p －2)(p+2)(p+5).(10)(x 2y+4)(x 2y －4)－(x 2y +2)·(x 2y －3).4.求值(11)(上海市中考题)已知x 2－2x=2,将下式先化简，再求值(x －1)2+(x+3)(x －3)+(x －3)(x －1)5.探索规律(12)(北京市中考)观察下列顺序排列的等式：9×0+1=19×1+2=119×2+3=219×3+4=319×4+5=41……猜想：第n个等式(n为正整数)应为 .答案：1.(1)D (2)A (3)D2.(4)(5x－3y) (5)(0.2x－0.4y)3x－11y) (7)A=4n,B=7m(6)(23.(8)9y2－4x4 (9)p4－29p2+100(10)x2y－104.(11)原式=3(x2－2x)－5=3×2－5=15.(12)9×(n－1)+n=(n－1)×10+1(n为正整数).。
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（1）写出第2007行的式子；
（2）写出第n行的式子，并说明你的结论是正确的．
检验学生学习效果，学生独立完成相应的练习，教师批阅部分学生，让优秀生帮助批阅并为学困生讲解.
总结提升
总结本节课的主要内容：
1． 平方差公式：
两数和与这两数差的积等于它们的平方差．即(a＋b)(a－ b)＝a2－b2.
解析：根据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边长后的面积，然后比较二者的大小即可．
解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16.∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．
方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简解决问题．
引出研究本节课要学习知识 的必要性，清楚新知识的引出是由于实际生活的需要
2．平方差公式的应用
板书设计
1.5.2平方差公式
（一）知识回顾（三）例题解析（五）课堂小结
（二）探索新知例1、例2
（四）课堂练习练习设计
本课作业
教材P22随堂练习
本课教育评注（实际教学效果及改进设想）
学以致用，
举一反三
教师给出准确概念，同时给学生消化、吸收时间，当堂掌握
例2由学生口答，教师板书，
课堂检测
1．若（x-5）2=x2+kx+25，则k=（）
A． 5 B．-5 C．10 D．-10
2．9.8×10.2=________；
3．a2+b2=（a+b）2+______=（a-b）2+________．
（2）（x+y-z）（x-y+z）-（x+y+z）（x-y-z）．
9．有一块边长为m的正方形空地，想在中间位置修一条“十”字型小路，小路的宽为n，试求剩余的空地面积；用两种方法表示出来，比较这两种表示方法，验证了什么公式？
10．观察下列各式的规律．
12+（1×2）2+22=（1×2+1）2；
22+（2×3）2+32=（2×3+1）2；
1.5.2平方差公式
教学目标
1.了解平方差公式的几何背景；发展符号感和推理能力
2.通过拼图游戏，与同伴交流平方差公式的几何背景
教学重、难点
重点：了解平方差公式的几何背景
难点：发展推理和表达能力
导学方法
启发式教学、小组合作学习
导学步骤
导学行为（师生活动）
设计意图
回顾旧知，引出新课
1、平方差公式是什么？
方法总结：通过几何图形面积之间的数量关系可对平方差公式做出几何解释．
【类型】平方差公式的实际应用
王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你 认为李大妈吃亏了吗？为什么？
4．（x-y+z）（x+y+z）=________；
5．（a+b+c）2=_______．
6．（ x+3）2-（ x-3）2=________．
7．（1）（2a-3b）（2a+3b）；（2）（- p2+q）（-p2-q）；
（3）（x-2y）2；4）（-2x- y）2．
8．（1）（2a-b）（2a+b）（4a2+b2）；
2、运用公式时应该注意什么？
从学生已有的知识入手，引入课题
新知探索
例题
精 讲
合作探究
【类型一】平方差公式的几何背景
如图①，在边长为a的正方 形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是______________．
解析：∵图①中阴影部分的面积是a2 －b2，图②中梯形的面积是 (2a＋2b)(a－b)＝(a＋b)(a－b)，∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)，即可验证的乘法公式为(a＋b)(a－b)＝a2－b2.