上海市嘉定区高一数学下学期期中考试沪教版

上海市嘉定区2009学年第二学期期中考试高一数学试卷2010．4 满分：100分 完成时间：90分钟一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分）1．由02010sin ,02010cos <>可知，2010弧度的角为第______________象限的角. 2．若角α的终边经过点)3,(x P ，且21cos =α，则=x ． 3．函数2lg-=x xy 的定义域为 ． 4．已知m =2lg ，则用m 表示5lg 的值为______________________． 5．设函数)1(1)(2>-=x xx f 的反函数为)(1x f-，则=--)2(1f________________．6．1)2lg(=+x 的解为__________________． 7．满足方程931=-x 的x 的值为_______________________．8．把ααsin 3cos +化为)20,0)(sin(πϕϕα<<>+A A 的形式即为_______________．9．若一个扇形的圆心角为3π，弧长为π，则这个扇形面积为_______________． 10．化简：()()()=--+--+⎪⎭⎫⎝⎛+ααπαπαπsin sin sin 2cos _______________． 11．已知⎪⎭⎫⎝⎛<<∈-=παπαα2,41cos ，则=α2sin ________________． 12．某汽车厂生产的汽车数，从今年起每年比上一年平均增长%15，则至少经过___________年，该汽车厂生产的汽车数可以增长到原来的3倍（精确到1年）.二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．“21cos =α”是“3πα=”的……………………………………………………（ ） (A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件14．若把︒1000化成)9090(360︒<<︒-+︒⋅ααk 的形式，则α的值等于…………（ ） （A ）︒8 （B ）︒-8 （C ）︒80 （D ）︒-8015．函数()0lg )(>=x xx f 的大致图像为…………………………………………（ ）16．函数)(log )(k x x f a -=的图像经过点)0,2(，而它的反函数)(1x f-的图像经过点)6,1(，则函数)(log )(k x x f a -=在定义域内为…………………………………（ ） (A) 增函数 (B) 减函数 (C) 奇函数 (D) 偶函数 三、解答题（本大题共有5题，满分52分） 17．（本题满分8分） 已知3sin 5α=，4cos 5β=-，α、(,)2πβπ∈，求cos()αβ+的值． 解：(A)18．（本题满分10分，第(1)题7分，第(2)题3分） 已知tan 2α=，1tan 7β=，α、(0,)2πβ∈． 求：(1) tan(2)αβ+的值；(2) βα+2的值． 解：19．（本题满分10分，第(1)题5分，第(2)题5分） 解下列方程：（1）)2lg()2lg()1lg(+=-+-x x x ；（2）01log )(log 2323=--⋅x x .解：20．（本题满分10分，第(1)题4分，第(2)题6分） 设函数)1(),1(log )(2->+=x x x f . (1)求其反函数)(1x f -； (2)解方程74)(1-=-x x f.解：21．（本题满分14分，第(1)题3分，第(2)题5分,第(3)题6分） 已知函数)1,0(22log )(≠>-+=a a xxx f a. （1）求()f x 的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并加以证明；（3）当01a <<时，求使()0f x >成立时x 的取值范围. 解：2009学年第二学期期中考试高一数学试卷参考答案与评分意见一、填空题1．四； 2．3； 3．),2()0,(+∞-∞ ； 4．m -1； 5．3； 6．8；7．3-或3； 8．)6sin(2πα+； 9．23π； 10．2sin α； 11．815-； 12．8．二、选择题13．B ； 14．D ； 15．C ； 16．A ．三、解答题17．（本题满分8分）解：因为3sin 5α=，4cos 5β=-，α、(,)2πβπ∈， 所以4cos 5α=-， 3sin 5β=，…………………………………………………4分则cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-44337=()()555525-⋅--⋅=.…………………………………………………7分因此257)cos(=+βα.……………………………………………………………8分18．（本题满分10分，第(1)题7分，第(2)题3分） 解：(1)（法一）因为tan 2α=，1tan 7β=， 所以12tan tan 7tan()311tan tan 127αβαβαβ+++===--⋅,……………………………3分 则tan tan()tan(2)tan[()]1tan tan()ααβαβααβααβ+++=++=-⋅+231123+==--⋅.因此1)2tan(-=+βα.………………………………………………………7分（法二）因为tan 2α=，1tan 7β=， 所以222tan 224tan 21tan 123ααα⋅===---,…………………………………………3分 则41tan 2tan 37tan(2)1411tan 2tan 1()37αβαβαβ-+++===--⋅--⋅. 因此1)2tan(-=+βα.…………………………………………………………7分(2) 因为α、(0,)2πβ∈, 所以32(0,)2παβ+∈,……………………………9分又由(1)知 tan(2)1αβ+=-,所以324παβ+=.…………………………10分19．（本题满分10分，第(1)题5分，第(2)题5分）解：（1）原方程可化为 lg[(1)(2)]lg(2)x x x --=+，………………………1分 所以(1)(2)2x x x --=+，即240x x -=，解得 10x =，24x =，………………………………………3分经检验， 10x =是增解，24x =是原方程的解．…………………………………4分 所以 原方程的解为 4x =．………………………………………………………5分（2）设y x =3log ，代入原方程得 0122=--y y ． 解得 11=y ，212-=y ．…………………………………………………………7分 由1log 3=x ，得 31=x ； 由21log 3-=x ，得 332=x ．………………………………………………………9分经检验，31=x ，332=x 都是原方程的解．………………………………………10分20．（本题满分10分，第(1)题4分，第(2)题6分）解：(1) 设)1(),1(log 2->+=x x y ，则R y ∈，………………………………1分 且 y x 21=+，即 12-=yx …………………………………………………3分 因此 )(,12)(1R x x fx ∈-=-；………………………………………………4分(2)由（1）得 7412-=-xx即 0624=--xx，…………………6分 即 0)22)(32(=+-xx，又因为 0222≠+x ，所以 32=x，即 3log 2=x .…………………………………………………………………9分 因此 原方程的解为 3log 2=x .………………………………………………10分21．（本题满分14分，第(1)题3分，第(2)题5分,第(3)题6分） 解：（1）由022>-+xx得 0)2)(2(>-+x x ，则 0)2)(2(<-+x x ， 解得 22<<-x .……………………………………………………………………2分 即定义域为()2,2-.……………………………………………………………………3分（2）函数xxx f a -+=22log )(是奇函数.………………………………………………4分 证明如下：任意取()2,2-∈x ， 则 x x x f a-+=22log )(，xxx f a +-=-22log )(,…………………………………………5分 又 xxx x x x x f aa a -+-=⎪⎭⎫⎝⎛-+=+-=--22log 22log 22log )(1， 所以)()(x f x f -=- .…………………………………………………………………7分 因此函数xxx f a -+=22log )(是奇函数.…………………………………………………8分 （3）因为022log >-+x xa，且 10<<a ， 所以 1220<-+<xx，……………………………………………………………………10分由022>-+x x ，解得 22<<-x ；由122<-+xx ，解得 0<x 或2>x . 所以 02<<-x .因此 当01a <<时，求使()0f x >成立时x 的取值范围为 02<<-x . ……14分。