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2013年高考数学解答题前三题训4

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2013年江苏省高考数学试卷加详细解析

2013年江苏省高考数学试卷加详细解析

2013年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相印位置上．1．（5分）（2013•江苏）函数y=3sin（2x+）的最小正周期为_________．2．（5分）（2013•江苏）设z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为_________．3．（5分）（2013•江苏）双曲线的两条渐近线方程为_________．4．（5分）（2013•江苏）集合{﹣1，0，1}共有_________个子集．5．（5分）（2013•江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是_________．，结果如下：则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为_________．7．（5分）（2013•江苏）现在某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为_________．8．（5分）（2013•江苏）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F ﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=_________．9．（5分）（2013•江苏）抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）．若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是_________．10．（5分）（2013•江苏）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=，若=λ1+λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为_________．11．（5分）（2013•江苏）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为_________．12．（5分）（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d 1，F到l的距离为d2，若d2=，则椭圆C的离心率为_________．13．（5分）（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为_________．14．（5分）（2013•江苏）在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n的最大正整数n 的值为_________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2013•江苏）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设=（0，1），若+=，求α，β的值．16．（14分）（2013•江苏）如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA．17．（14分）（2013•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．18．（16分）（2013•江苏）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？19．（16分）（2013•江苏）设{a n}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），S n是其前n项和．记，n∈N*，其中c为实数．（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：（k，n∈N*）；（2）若{b n}是等差数列，证明：c=0．20．（16分）（2013•江苏）设函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=e x﹣ax，其中a为实数．（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；（2）若g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．数学Ⅱ(附加题)21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 和BC 分别与圆O相切于点D 、C ，AC 经过圆心O ，且BC=2OC 。

2013概率解答题训练及答案

2013概率解答题训练及答案

1．（2012年高考（天津理））现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.(Ⅰ)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率:(Ⅱ)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率:(Ⅲ)用,X Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记=||X Y ξ-,求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ. 依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为13,去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件(0,1,2,3,4)i A i =,则4412()()()33i i i i P A C -=.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为22224128()()()3327P A C ==.(2)设“这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”不事件B ,则34B A A =⋃,由于3A 与4A 互斥,故334434441211()()()()()()3339P B P A P A C C =+=+=所以这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能的取值为0,2,4,由于1A 与3A 互斥,0A 与4A 互斥,故2130484017(0)(),(2)()(),(4)()()278181P P A P P A P A P P A P A ξξξ=====+===+=所以ξ的分布列为随机变量ξ的数学期望8401714802427818181E ξ=⨯+⨯+⨯=.2．（2012年高考（新课标理））某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y (单位:元)关于当天需求量n (单位:枝,n N ∈)的函数解析式.(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(i)若花店一天购进16枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求X 的分布列,数学期望及方差;(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.【解析】(1)当16n ≥时,16(105)80y =⨯-= 当15n ≤时,55(16)1080y n n n =--=-得:1080(15)()80(16)n n y n N n -≤⎧=∈⎨≥⎩(2)(i)X 可取60,70,80(60)0.1,(70)0.2,(80)0.7P X P X P X ====== X600.1700.2800.776EX =⨯+⨯+⨯=222160.160.240.744DX =⨯+⨯+⨯=(ii)购进17枝时,当天的利润为(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4y =⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯=76.476> 得:应购进17枝3．（2012年高考（浙江理））已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X 为取出3球所得分数之和. (Ⅰ)求X 的分布列; (Ⅱ)求X 的数学期望E (X ).【解析】本题主要考察分布列,数学期望等知识点.(Ⅰ) X 的可能取值有:3,4,5,6.35395(3)42C P X C===; 21543920(4)42C C P XC===; 12543915(5)42C C P X C ===; 34392(6)42C P XC ===.故,所求X 的分布列为(Ⅱ) 所求X E (X )=6413()3i i P Xi =⋅==∑.4．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13,乙每次投篮投中的概率为12,且各次投篮互不影响.(Ⅰ) 求甲获胜的概率;(Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望 解:设,k k A B 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中,则()13k P A =,()12k P B =, ()1,2,3k ∈(1)记“甲获胜”为事件C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知,()()()()111211223P C P A P A B A P A B A B A =++()()()()()()()()()111211223P A P A P B P A P A P B P A P B P A =++ 2212112113323323⎛⎫⎛⎫=+⨯⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11113392727=++= (2)ξ的所有可能为:1,2,3由独立性知:()()()111121213323P P A P A B ξ==+=+⨯=()()()2211211222112122323329P P A B A P A B A B ξ⎛⎫⎛⎫==+=⨯⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()2211222113329P P A B A B ξ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上知,ξ有分布列从而,221131233999E ξ=⨯+⨯+⨯=(次)5．（2012年高考（四川理））某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ,系统A 和B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950,求p 的值;(Ⅱ)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ,求ξ的概率分布列及数学期望E ξ. [解析](1)设:“至少有一个系统不发生故障”为事件C,那么1-P(C)=1-101P=5049 ,解得P=514 分(2)由题意,P(ξ=0)=1000110133=）（C P(ξ=1)=1000271011101213=-）（）（C P(ξ=2)=10002431011101223=-）（）（C P(ξ=3)=10007291011101333=-）（）（C所以,随机变量ξ的概率分布列为:故随机变量X 的数学期望为:E ξ=0102710007293100024321000271100010=⨯+⨯+⨯+⨯.6．（2012年高考（陕西理））某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:从第一个顾客开始办理业务时计时.(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求X的分布列及数学期望.解析:设Y表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得Y的分布列如下:Y 1 2 3 4 5P0.1 0.4 0.3 0.1 0.1(1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”,则事件A对应三种情形:①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.所以()(1)(3)(3)(1)(2)(2)P A P Y P Y P Y P Y P Y P Y===+==+===⨯+⨯+⨯=0.10.30.30.10.40.40.22(2)解法一X所有可能的取值为0,1,2X=对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟, 所以(0)(2)0.5==>=P X P YX=对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟,或第一个顾客1办理业务所需的时间为2分钟.所以(1)(1)(1)(2)=⨯+=P X P Y P Y P Y===>+=0.10.90.40.49X=对应两个顾客办理业务所需时间均为1分钟,2所以(2)(1)(1)0.10.10.01=====⨯=P X P Y P Y所以X的分布列为X0 1 2P0.5 0.49 0.01EX=⨯+⨯+⨯=00.510.4920.010.51解法二X所有可能的取值为0,1,2X=对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以(0)(2)0.5==>=P X P YX=对应两个顾客办理业务所需时间均为1分钟,2所以(2)(1)(1)0.10.10.01=====⨯=P X P Y P Y==-=-==(1)1(0)(2)0.49P X P X P X所以X的分布列为X0 1 2P0.5 0.49 0.01EX=⨯+⨯+⨯=00.510.4920.010.517．（2012年高考（山东理））先在甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次,命中的概率为34,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为23,每命中一次得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.(Ⅰ)求该射手恰好命中一次得的概率;(Ⅱ)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望E X . 解析:(Ⅰ)367323141)31(43122=⋅⋅⋅+⋅=C P ; (Ⅱ)5,4,3,2,1,0=X91323141)2(,121)31(43)1(.361)31(41)0(1222=⋅===⋅===⋅==C X P X P X P ,1)2(3)5(,1)2(1)4(,1213)3(2212=⋅===⋅===⋅==X P X P C X PEX=0×361+1×121+2×91+3×31+4×91+5×31=12531241=.8．（2012年高考（江西理））如图,从A 1(1,0,0),A 2(2,0,0),B 1(0,2,0),B 2(0,2,0),C 1(0,0,1),C 2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点,将这3个点及原点O 两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积V=0).(1)求V=0的概率;(2)求V 的分布列及数学期望.解:(1)从6个点中随机地选取3个点共有3620C =种选法,选取的3个点与原点O 在同一个平面上的选法有133412C C =种,因此V=0的概率123(0)205P V ===(2)V 的所有可能值为11240,,,,,因此V 的分布列为 EV=31113234190562032032032040⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=9．（2012年高考（江苏））设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,0ξ=;当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,1ξ=. (1)求概率(0)P ξ=; (2)求ξ的分布列,并求其数学期望()E ξ.解:(1)若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的一个,过任意1个顶点恰有3条棱,∴共有238C 对相交棱. ∴ 232128834(0)=6611C P C ξ⨯===.(2)若两条棱平行,则它们的距离为1,的共有6对, ∴212661(6611P Cξ===,416(1)=1(0)(=111111P P P ξξξ=-=-=--.∴随机变量ξ的分布列是:10．（2012年高考（湖南理））某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的(Ⅰ)确定x,y 的值,并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望;(Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超．．过．2 钟的概率.(注:将频率视为概率)【解析】(1)由已知,得251055,35,y x y ++=+=所以15,20.x y ==该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本,将频率视为概率得153303251(1),( 1.5),(2),10020100101004p X p Xp X =========201101( 2.5),(3).100510010p X p X ======X 的分布为X 的数学期望为33111()1 1.52 2.53 1.920104510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.(Ⅱ)记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2 钟”,(1,2)i X i =为该顾客前面第i 位顾客的结算时间,则121212()(11)(1 1.5)( 1.51)P A P X X P X X P X X ===+==+==且且且.由于顾客的结算相互独立,且12,X X 的分布列都与X 的分布列相同,所以121212()(1)1)(1)( 1.5)( 1.5)(1)P A P X P X P X P X P X P X ==⨯=+=⨯=+=⨯=( [来源:数理化网] 333333920202010102080=⨯+⨯+⨯=.故该顾客结算前的等候时间不超过2 钟的概率为980.11．（2012年高考（湖北理））根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X (单位:mm)对工期的影响如下表:历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X 小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9. 求:Y 300解析:(Ⅰ)由已知条件和概率的加法公式有:(300)0.3,P X <=(300700)(700)(300)0.70.30.4P X P X P X ≤<=<-<=-=,(700900)(900)(700)0.90.70.2P X PX PX ≤<=<-<=-=. (900)1(900)10.90.1P X P X ≥=-<=-=.所以Y 的分布列为:于是,()00.320.460.2100.13E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=;2222()(03)0.3(23)0.4(63)0.2(103)0.19.8D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=. 故工期延误天数Y 的均值为3,方差为9.8.(Ⅱ)由概率的加法公式,(300)1(300)0.7P X P X ≥=-<=，又(300900)(900)(300)0.90.30.6P X P X P X ≤<=<-<=-=. 由条件概率,得(6300)(900300)P Y X P X X ≤≥=<≥(300900)0.66(300)0.77P X P X ≤<===≥.故在降水量X 至少是300mm 的条件下,工期延误不超过6天的概率是67.12．（2012年高考（广东理））(概率统计)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:[)40,50、[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90、[]90,100.(Ⅰ)求图中x 的值;(Ⅱ)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ,求ξ的数学期望.解析:(Ⅰ)由()0.00630.010.054101x ⨯+++⨯=,解得0.018x =.(Ⅱ)分数在[)80,90、[]90,100的人数分别是500.018109⨯⨯=人、500.006103⨯⨯=人.所以ξ的取值为0、1、2.()023921236606611C C P C ξ====,()113921227916622C C P C ξ====,()20392123126622C C P C ξ====,所以ξ的数学期望是691111012112222222E ξ=⨯+⨯+⨯==.13．（2012年高考（福建理））受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆,统计书数据如下:将频率视为概率,解答下列问题:(I)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率;(II)若该厂生产的轿车均能售出,记住生产一辆甲品牌轿车的利润为1X ,生产一辆乙品牌轿车的利润为2X ,分别求12,X X 的分布列;(III)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌轿车,若从经济效益的角度考虑,你认为应该产生哪种品牌的轿车?说明理由.解:(1)设“品牌轿车甲首次出现故障在保修期内”为事件A ,则231()5010P A +==.(2)依题意12,X X 的分布列分别如下: 1139()123 2.86255010E X =⨯+⨯+⨯= 219() 1.8 2.92.791010E X =⨯+⨯=12()()E X E X >,所以应生产甲品牌的轿车.14．（2012年高考（北京理））近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):(2)试估计生活垃圾投放错误的概率;(1)由题意可知:4002=6003(2)由题意可知:200+60+403=10001015．（2012年高考（安徽理））某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是A 类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道A 类试题和一道B 类型试题入库,此次调题工作结束;若调用的是B 类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束.试题库中现共有n m +道试题,其中有n 道A 类型试题和m 道B 类型试题,以X 表示两次调题工作完成后,试题库中A 类试题的数量. (Ⅰ)求2X n =+的概率;(Ⅱ)设m n =,求X 的分布列和均值(数学期望). 【解析】(I)2X n =+表示两次调题均为A 类型试题,概率为12n n m nm n +⨯+++(Ⅱ)m n =时,每次调用的是A 类型试题的概率为12p =随机变量X 可取,1,2n n n ++21()(1)P X n p ==-=,1(1)2(1)P X n p p =+=-=,21(2)4P X n p =+==111(1)(2)1424E X n n n n =⨯++⨯++⨯=+ 答:(Ⅰ)2X n =+的概率为12n n m nm n +⨯+++(Ⅱ)求X 的均值为1n +。

2013年江苏高考数学试题及答案

2013年江苏高考数学试题及答案

（第5题）2013年江苏高考数学试题及答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

请把答案填写在答题卡相印位置上。

1．函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为 ．【答案】π【解析】T ＝|2πω |＝|2π2|＝π．2．设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ． 【答案】5【解析】z ＝3－4i ，i 2＝－1，| z |＝＝5．3．双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ．【答案】x y 43±=【解析】令：091622=-y x ，得x x y 431692±=±=． 4．集合}1,0,1{-共有 个子集． 【答案】8 【解析】23＝8．5．右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ． 【答案】3【解析】n ＝1，a ＝2，a ＝4，n ＝2；a ＝10，n ＝3；a ＝28，n ＝4．6．抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下：则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ． 【答案】2【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：9059288919089=++++=x ．方差为：25)9092()9088()9091()9090()9089(222222=-+-+-+-+-=S ．7．现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ，都取到奇数的概率为 ． 【答案】6320 【解析】m 取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n 取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则n m ，都取到奇数的概率为63209754=⨯⨯． 8．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ． 【答案】1：24【解析】三棱锥ADE F -与三棱锥ABC A -1的相似比为1：2，故体积之比为1：8． 又因三棱锥ABC A -1与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：3．所以，三棱锥ADE F -与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：24．9．抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界) ．若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ． 【答案】[—2，12]【解析】抛物线2x y =在1=x 处的切线易得为y ＝2x —1，令z ＝y x 2+，y ＝—12 x ＋z 2 ．画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，z min ＝—2，过点(12 ，0)时，z max ＝12．xABC1ADE F1B1C10．设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=， 若AC AB DE 21λλ+=（21λλ，为实数），则21λλ+的值为 ． 【答案】12【解析】)(32213221AC BA AB BC AB BE DB DE ++=+=+= AC AB AC AB 213261λλ+=+-=所以，611-=λ，322=λ，=+21λλ12 ．11．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。

2013年高考湖北文科数学试题及答案(word解析版)

2013年高考湖北文科数学试题及答案(word解析版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2013年湖北，文1，5分】已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2}A =，{2,3,4}B =，则U B A =ð（ ）（A ）{2} （B ）{3,4} （C ）{1,4,5} （D ）{2,3,4,5} 【答案】B 【解析】U B A =ð{2,3,4}{3,4,5}{3,4}=，故选B ．（2）【2013年湖北，文2，5分】已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221sin cos x y θθ-=与2C ：22221cos sin y x θθ-=的（ ） （A ）实轴长相等 （B ）虚轴长相等 （C ）离心率相等 （D ）焦距相等 【答案】D【解析】在双曲线1C ：22221sin cos x y θθ-=与2C ：22221cos sin y x θθ-=中，都有222sin cos 1c θθ=+=，即焦距相等，故选D ．（3）【2013年湖北，文3，5分】在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） （A ）()p ⌝∨()q ⌝ （B ）p ∨()q ⌝ （C ）()p ⌝∧()q ⌝ （D ）p ∨q【答案】A【解析】因为p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则p -是“没有降落在指定范围”，q -是“乙没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()p ⌝∨()q ⌝，故选A ．（4）【2013年湖北，文4，5分】四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：① y 与x 负相关且 2.347 6.423y x =-；② y 与x 负相关且 3.476 5.648y x =-+； ③ y 与x 正相关且 5.4378.493y x =+；④ y 与x 正相关且 4.326 4.578y x =--．其中一定不正确．．．的结论的序 号是（ ）（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④ 【答案】D【解析】在①中，y 与x 不是负相关；①一定不正确；同理④也一定不正确，故选D ． （5）【2013年湖北，文5，5分】小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】C【解析】可以将小明骑车上学的行程分为三段，第一段是匀速行驶，运动方程是一次函数，即小明距学校的距离是他骑行时间的一次函数，所对应的函数图象是一条直线段，由此可以判断A 是错误的；第二段因交通拥堵停留了一段时间，这段时间内小明距学校的距离没有改变，即小明距学校的距离是行驶时间的常值函数，所对应的函数图象是平行于x 轴的一条线段，由此可以排除D ；第三段小明为了赶时间加快速度行驶，即小明在第三段的行驶速度大于第一段的行驶速度，所以第三段所对应的函数图象不与第一段的平行，从而排除B ，故选C ．（6）【2013年湖北，文6，5分】将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）（A ）π12 （B ）π6 （C ）π3 （D ）5π6【答案】B【解析】因为sin ()y x x x =+∈R 可化为2cos()6y x π=-（x ∈R ），将它向左平移π6个单位得x x y cos 26)6(cos 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=ππ，其图像关于y 轴对称，故选B ．（7）【2013年湖北，文7，5分】已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）（A（B（C） （D） 【答案】A【解析】2,1AB =（），5,5CD =（），则向量AB 在向量CD方向上的射影为cos AB CDAB CDθ⋅====，故选A ． （8）【2013年湖北，文8，5分】x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为（ ）（A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）增函数 （D ）周期函数 【答案】D【解析】函数()[]f x x x =-表示实数x 的小数部分，有(1)1[1][]()f x x x x x f x +=+-+=-=，所以函数()[]f x x x =-是以1为周期的周期函数，故选D ．（9）【2013年湖北，文9，5分】某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为（ ）（A ）31200元 （B ）36000元 （C ）36800元 （D ）38400元 【答案】C【解析】根据已知，设需要A 型车x 辆，B 型车y 辆，则根据题设，有2170,03660900x y y x x y x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨>>⎪⎪+=⎩， 画出可行域，求出三个顶点的坐标分别为4(7)1A ,，2(5)1B ,，6(15C ,），目标函数 （租金）为16002400k x y =+，如图所示．将点B 的坐标代入其中，即得租金的最小值为：1600524001236800k =⨯+⨯=（元），故选C ． （10）【2013年湖北，文10，5分】已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(,0)-∞ （B ）1(0,)2（C ）(0,1) （D ）(0,)+∞【答案】B【解析】'()ln 12f x x ax =+-，由()(ln )f x x x ax =-由两个极值点，得'()0f x =有两个不等的实数解，即ln 21x ax =-有两个实数解，从而直线21y ax =-与曲线ln y x =有两个交点． 过点01（,-）作ln y x =的切线，设切点为00x y （,），则切线的斜率01k x =，切线方程为011y x x =-． 切点在切线上，则00010x y x =-=，又切点在曲线ln y x =上，则00ln 01x x =⇒=，即切点为10（,）．切线方程为1y x =-． 再由直线21y ax =-与曲线ln y x =有两个交点，知直线21y ax =-位于两直线0y =和1y x =-之间，如图所示，其斜率2a 满足：021a <<，解得102a <<，故选B ．二、填空题：共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（11）【2013年湖北，文11，5分】i 为虚数单位，设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于原点对称，若123i z =-，则2z = ． 【答案】23i -+【解析】复数123i z =-在复平面内的对应点123Z -（,），它关于原点的对称点2Z 为2,3-（），所对应的复数为223i z =-+．（12）【2013年湖北，文12，5分】某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（1）平均命中环数为；（2）命中环数的标准差为 ．【答案】（1）7；（2）2【解析】（1）()178795491074710+++++++++=；（2）2s =． （13）【2013年湖北，文13，5分】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入m 的值为2，则输出的结果i = ． 【答案】4【解析】初始值2110m A B i ====，，，，第一次执行程序，得121i A B ===，，，因为A B <不成立，则第二次执行程序，得2224122i A B ==⨯==⨯=，，，还是A B <不成立，第三次执行程序，得3428236i A B ==⨯==⨯=，，，仍是A B <不成立，第四次执行程序，得48216i A ==⨯=，，424B =⨯=，有A B <成立，输出4i =．（14）【2013年湖北，文14，5分】已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=（π02θ<<）．设圆O 上 到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k =_________． 【答案】4【解析】这圆的圆心在原点，半径为5，圆心到直线l 1=，所以圆O 上到直线l 的距离等于1的点有4个，如图A 、B 、C 、D 所示．（15）【2013年湖北，文15，5分】在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，若x 满足||x m ≤的概率为56，则m = ． 【答案】3 【解析】因为区间[2,4]-的长度为6，不等式||x m ≤的解区间为[-m ，m ] ，其区间长度为2m ． 那么在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，要使x 满足||x m ≤的概率为56，m 将区间[2,4]-分为[]2m -，和[m ，4]，且两区间的长度比为5:1，所以3m =．（16）【2013年湖北，文16，5分】我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水． 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸． 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸．（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸） 【答案】3【解析】如图示天池盆的半轴截面，那么盆中积水的体积为()22961061031963V ππ=⨯++⨯=⨯（立方寸），盆口面积S =196π（平方寸），所以，平地降雨量为323196()3196⨯=寸（寸）（寸）． （17）【2013年湖北，文17，5分】在平面直角坐标系中，若点(,)P x y 的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点． 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形． 格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L ． 例如图中△ABC 是格点三角形，对应的1S =，0N =，4L =．（1）图中格点四边形DEFG 对应的,,S N L 分别是 ；（2）已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c =++，其中a ，b ，c 为常数． 若某格点多边形对应的71N =，18L =， 则S = （用数值作答）． 【答案】（1）3, 1, 6；（2）79 【解析】（1）S=S △DFG +S △DEF =1+2=3 ，N=1，L =6．（2）根据题设△ABC 是格点三角形，对应的1S =，0N =，4L =，有 41b c += ①由（1）有63a b c ++= ② 再由格点DEF ∆中，S=2，N=0，L=6，得62b c += ③联立①②③，解得1,1, 1.2b c a ==-=所以当71N =，18L =时，171181792S =+⨯-=．三、解答题：共5题，共65分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（18）【2013年湖北，文18，12分】在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ． 已知cos23cos()1A B C -+=． （1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积S =5b =，求sin sin B C 的值．解：（1）由cos23cos()1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=，即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1cos 2A =或cos 2A =-（舍去）．因为0πA <<，所以π3A =．（2）由11sin 22S bc A bc ====得20bc =． 又5b =，知4c =．由余弦定理得2222cos 25162021,a b c bc A =+-=+-=故a =．又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=．（19）【2013年湖北，文19，13分】已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，4S ，2S ，3S 成等差数列，且23418a a a ++=-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数n ，使得2013n S ≥？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由． 解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，则10a ≠，0q ≠．由题意得243223418S S S S a a a -=-⎧⎨++=-⎩，即23211121(1)18a q a q a q a q q q ⎧--=⎪⎨++=-⎪⎩， 解得132a q =⎧⎨=-⎩，故数列{}n a 的通项公式为13(2)n n a -=-．（2）由（1）有3[1(2)]1(2)1(2)n n n S ⋅--==----．若存在n ，使得2013n S ≥，则1(2)2013n --≥，即(2)2012.n -≤-当n 为偶数时，(2)0n ->， 上式不成立；当n 为奇数时，(2)22012n n -=-≤-，即22012n ≥，则11n ≥． 综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{21,,5}n n k k k =+∈≥N ．（20）【2013年湖北，文20，13分】如图，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为121A A d =．同样可得在B ，C 处正下方的矿层厚度分别为122B B d =，123C C d =，且123d d d <<． 过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线2AA 平行的平面截多面体111222A B C A B C -所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为S 中． （1）证明：中截面DEFG 是梯形；（2）在△ABC 中，记BC a =，BC 边上的高为h ，面积为S ． 在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量（即多面体111222A B C A B C -的体积V ）时，可用近似公式V S h =⋅估中来估算．已知1231()3V d d d S =++，试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明．解：（1）依题意12A A ⊥平面ABC ，12B B ⊥平面ABC ，12C C ⊥平面ABC ，所以A 1A 2∥B 1B 2∥C 1C 2．又121A A d =， 122B B d =，123C C d =，且123d d d <<．因此四边形1221A A B B 、1221A A C C 均是梯形．由2AA ∥平面MEFN ，2AA ⊂平面22AA B B ，且平面22AA B B平面MEFN ME =，可得AA 2∥ME ，即A 1A 2∥DE ．同理可证A 1A 2∥FG ，所以DE ∥FG ．又M 、N 分别为AB 、AC 的中点，则D 、E 、F 、G 分别为11A B 、22A B 、22A C 、11A C 的中点，即DE 、FG 分别为梯形1221A A B B 、1221A A C C 的中位线．因此 12121211()()22DE A A B B d d =+=+，12121311()()22FG A A C C d d =+=+，而123d d d <<，故DE FG <，所以中截面DEFG 是梯形． （2）V V <估． 证明如下：由12A A ⊥平面ABC ，MN ⊂平面ABC ，可得12A A MN ⊥．而EM ∥A 1A 2，所以EM MN ⊥，同理可得FN MN ⊥．由MN 是△ABC 的中位线，可得1122MN BC a ==即为梯形DEFG 的高，因此13121231()(2)22228DEFG d d d d a a S S d d d ++==+⋅=++中梯形，即123(2)8ahV S h d d d =⋅=++估中．又12S ah =，所以1231231()()36ahV d d d S d d d =++=++．于是1231232131()(2)[()()]6824ah ah ahV V d d d d d d d d d d -=++-++=-+-估．由123d d d <<，得210d d ->，310d d ->，故V V <估．（21）【2013年湖北，文21，13分】设0a >，0b >，已知函数()1ax bf x x +=+． （1）当a b ≠时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当0x >时，称()f x 为a 、b 关于x 的加权平均数．（i ）判断(1)f, f ,()bf a是否成等比数列，并证明()b f f a ≤； （ii ）a 、b 的几何平均数记为G ． 称2aba b+为a 、b 的调和平均数，记为H ． 若()H f x G ≤≤，求x的取值范围．解：（1）()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞--+∞，22(1)()()(1)(1)a x ax b a bf x x x +-+-'==++． 当a b >时，()0f x '>，函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递增； 当a b <时，()0f x '<，函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递减．（2）（i ）(1)02a b f +=>，2()0b abf a a b=>+，0f =>．故22(1)()[2b a b ab f f ab f a a b +=⋅==+，即2(1)()[b f f f a =．①所以(1),()bf f f a 成等比数列．因2a b +≥，即(1)f f ≥．由①得()b f f a ≤． （ii ）由（i ）知()bf H a=，f G =．故由()H f x G ≤≤，得()()(b f f xf a ≤≤．② 当a b =时，()()b f f x f a a ===．这时，x 的取值范围为(0,)+∞；当a b >时，01ba<<，从而b a <，由()f x 在(0,)+∞上单调递增与②式，得b x a ≤≤即x的取值范围为,b a ⎡⎢⎣；当a b <时，1ba>，从而b a >由()f x 在(0,)+∞上单调递减与②式，bx a ≤，即x的取值范围为b a ⎤⎥⎦． （22）【2013年湖北，文22，14分】如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S ．（1）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（2）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．解：依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C ：22221x y a m +=，2C ：22221x y a n +=． 其中0a m n >>>， 1.mnλ=>（1）解法一：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为0x =，则111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=，所以12||||S BD S AB =． 在C 1和C 2的方程中分别令0x =，可得A y m =，B y n =，D y m =-，于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---．若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=． 由1λ>，可解得1λ=．故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ．解法二：如图1，若直线l 与y 轴重合，则||||||BD OB OD m n =+=+，||||||AB OA OB m n =-=-；111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=．所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--． 若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=． 由1λ>，可解得1λ=． 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=．（2）解法一：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=． 根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==2d ==，所以12d d =． 又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==，即||||BD AB λ=．由对称性可知||||AB CD =，所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-，||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+，于是||1||1AD BC λλ+=-．① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x =B x = 根据对称性可知C B x x =-，D A x x =-，于是2||||2A B x AD BC x = ②1(1)λλλ+=-．③令1(1)t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解 得222222(1)(1)n t k a t λ-=-．因为0k ≠，所以20k >． 于是③式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-， 等价于2221(1)()0t t λ--<． 由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得1λ>+所以当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ> 轴不重合的直线l 使得12S S λ=．解法二：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=． 根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==，2d =12d d =． 又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==．因为||||A B A B x x BD AB x x λ+==-，所以11A B x x λλ+=-．由点(,)A A A x kx ，(,)B B B x kx 分别在C 1， C 2上，可得222221A A x k x a m +=，222221B B x k x a n +=，两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a mλ--+=， 依题意0A B x x >>，所以22A B x x >． 所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-．因为20k >，所以由2222222()0()A B B A m x x a x x λ->-，可解得1A B x x λ<<．从而111λλλ+<<-，解得1λ>+所以当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>+l 使得12S S λ=．。

(学)高考数学前三题专题练习

(学)高考数学前三题专题练习

一、（三角函数部分）1、已知A 、B 、C 的坐标分别为A(4,0)、B(0.4)、C(3cos α,3sin α)(Ⅰ)若(,0)απ∈-，且||||AC BC = ．求角α的值；(Ⅱ)若0AC BC = ．求22sin sin 21tan ααα++的值．2、已知向量(2sin ,cos ),,2cos ),()2a x x b x x f x a b ===⋅- 定义函数.(1) 求f (256π)的值；（2）求函数)(x f 的最小正周期及单调减区间； 高考数学前三题专题练习二、（概率部分）1、一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数12345A a a a a a =，其中 A 的各位数字中，11,(2,3,4,5)k a a k ==出现0的概率为13，出现1的概率为23．例如：A=10001，其中152341,0a a a a a =====．记12345a a a a a ξ=++++,当启动仪器一次时，(Ⅰ)求3ξ=的概率；(Ⅱ)求ξ的概率分布列及E ξ．2、甲、乙、丙、丁四人独立回答同一道数学问题，其中任何一人答对与否，对其它人答题结果无影响。

已知甲答对的概率为31，乙、丙、丁答对的概率均为21，设有ξ人答对此题，请写出随机变量ξ的概率分布及期望。

3、学校生物实验室养了10条金鱼，其中6条是红色的，其余是黑色的。

实验员每天随机地取出3条金鱼，准备生物老师上课使用，上完课再放回实验室。

（1）求一天中取到两种颜色金鱼的概率；（2）求一个星期的五天中，至少有三天都取到两种颜色金鱼的概率；（用分数表示）（3）在一个星期五天中，求取得两种颜色金鱼的数学期望.三、（立体几何部分）DA 1C 11、如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，0190,2,4ACB BC AC AA ∠====，D 为棱CC 1上的一动点，M 、N 分别为11,ABD A B D ∆∆的重心．（I ） 求证：MN BC ⊥；（II ）若点C 在ABD ∆上的射影正好为M ，（ⅰ）求二面角C —AB —D 的大小，（ⅱ）求点C 1到平面A 1B 1D 的距离．。

2013年高考真题解析分类汇编(理科数学)含解析

2013年高考真题解析分类汇编(理科数学)含解析

2013高考试题解析分类汇编（理数）5：平面向量一、选择题1 ．（2013年高考上海卷（理））在边长为1的正六边形ABCDEF中,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为;以D为起点,其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值,其中,,则满足（）A． B． C． D．D．【解答】作图知，只有，其余均有，故选D．2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知点（）A． B． C． D．A，所以，所以同方向的单位向量是，选A.3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））设是边上一定点,满足,且对于边上任一点,恒有.则（）A． B． C． D．D以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P（x，0）则BP0=1，A（﹣2，0），B（2，0），P0（1，0）所以=（1，0），=（2﹣x，0），=（a﹣x，b），=（a﹣1，b）因为恒有所以（2﹣x）（a﹣x）≥a﹣1恒成立整理可得x2﹣（a+2）x+a+1≥0恒成立所以△=（a+2）2﹣4（a+1）≤0即△=a2≤0所以a=0，即C在AB的垂直平分线上所以AC=BC故△ABC为等腰三角形故选D4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））在四边形ABCD中,,,则四边形的面积为（）A． B． C．5 D．10C由题意，容易得到．设对角线交于O点，则四边形面积等于四个三角形面积之和即S= ．容易算出，则算出S=5．故答案C5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））在平面直角坐标系中,是坐标原点,两定点满足则点集所表示的区域的面积是（）A． B． C． D．D.在本题中，.建立直角坐标系，设A(2,0),所以选D6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））在平面上,,,.若,则的取值范围是（）A． B． C． D．D【命题立意】本题考查平面向量的应用以及平面向量的基本定理。

2013年辽宁高考数学理科试卷(带详解)

2013年辽宁高考数学理科试卷(带详解)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（卷）数 学（理）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1．复数的1i 1z =-模为 ( ) A.12B.22C.2D.2【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】直接给出复数，利用2i 1=-对复数进行化简，然后再求模.【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】111112i,i i 12222z z ==--∴=--=-. 2．已知集合{}4|0log 1A x x =<<，{}|2B x x =，则 A B = （ ）A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12， 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】考查了对数不等式及交集运算. 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解析】{}{}4|0log 1|14A x x x x =<<=<<，{}|2B x x =，{}{}{}14212A B x x x x x x ∴=<<=<.3．已知点()1,3A ，()4,1B -，则与向量AB 同方向的单位向量为 （ ）A.3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B.4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C.3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D.4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，【测量目标】向量的基本概念.【考查方式】给出两点坐标及方向，求同方向的单位向量. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】()3,4AB =-，则与其同方向的单位向量34(,)55ABAB==-e . 4．下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：1p ：数列{}n a 是递增数列； 2p ：数列{}n na 是递增数列；3p ：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列； 4p ：数列{}3n a nd +是递增数列；其中的真命题为 （ ）A.12,p pB.34,p pC.23,p pD.14,p p【测量目标】等差数列的性质.【考查方式】给出d >0的等差数列，求数列的增减性. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】根据等差数列的性质判定.0d >,∴1n n a a +>,∴1p 是真命题， （步骤1）1n n +>,但是n a 的符号不知道，∴2p 是假命题. （步骤2）同理3p 是假命题.13(1)340n n a n d a nd d +++--=>,∴4p 是真命题. （步骤3）5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[)[)20,40,40,60， [)[)60,80,80,100，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是 （ ） A.45 B.50 C.55 D.60第5题图【测量目标】频率分布直方图.【考查方式】给出频率分布直方图及某一频数，求总体频数. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是00050012003...+⨯=（），所以该班的学生人数是15500.3=. 6．在ABC △上，角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且,a b >则B ∠= ( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【测量目标】正弦定理，两角和的正弦，诱导公式.【考查方式】给出三角形各边长及角和边长的公式，求角. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】根据正弦定理与和角公式求解.由正弦定理可得sin sin cos A B C +1sin sin cos sin 2C B A B =, （步骤1）又sin 0B ≠,∴ sin cos A C +1sin cos 2C A =,∴1sin sin 2(A C )B +==.（步骤2）a b >,∴π6B ∠=. （步骤3） 7．使得()3nx n x x +⎛+∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中含有常数项的最小的n 为 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【测量目标】二项式定理.【考查方式】考查了二项展开式的通项公式. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】根据二项展开式的通项公式求解.()521=C 3C 3rn r n rr r n r r nn T x x x x ---+= ⎪⎝⎭，当1r T +是 常数项时，502n r -=，当2r =，5n =时成立. 8．执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出的S = （ ）A ．511B ．1011C ．3655D ．7255第8题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出输入值10n =，求输出值S . 【难易程度】中等 【参考答案】A 【试题解析】13S =，410i =<， 21123415S ∴=+=-，610i =<，（步骤1）22135617S ∴=+=-， 8<10i =，23147819S ∴=+=-，1010i ==，2415910111S ∴=+=-，1210i =>，输出S . （步骤2）9．已知点()()()30,0,0,,,.O A b B a a 若OAB △为直角三角形，则必有 （ ）A ．3b a =B ．31b a a=+ C ．()3310b ab a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a-+--= 【测量目标】直线的倾斜角与斜率.【考查方式】给出三点坐标，由三角形l 的边的性质，求出,a b 之间的关系.【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】根据直角三角形的直角的位置求解.若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此时O ，B 重合，不符合题意；（步骤1）若π2A ∠=，则30b a =≠，若π2B ∠=，根据斜率关系可知 321a b a a -=-，3()1a a b ∴-=-，即310b a a--=.以上两种情况皆有可能，故只有C 满足条件.（步骤2）10．已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若34AB AC ==，，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（ ）A．2 B ．．132D ．【测量目标】立体几何的综合问题.【考查方式】给出三条棱长及两棱垂直关系，求三棱柱外接球的半径. 【难易程度】较难 【参考答案】C【试题解析】根据球的接三棱柱的性质求解.直三棱柱中13412AB ,AC ,AA ,===AB AC ⊥,∴5BC =,且BC 为过底面ABC 是截面圆的直径，取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面11BCC B ，矩形11BCC B 的对角线长即为球直径，∴213R =,即132R =.11．已知函数()()2222f x x a x a =-++，()()22228g x x a x a =-+--+.设1()H x ()(){}max ,f x g x =，()()(){}2min ,H x f x g x =，{}max ,p q 表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 的最小值为A ，()2H x 的最小值为B ，则A B -=( )A.2216a a --B.2216a a +- C.16- D.16【测量目标】二次函数的图象与性质.【考查方式】给出两函数解析式，设出较大值、较小值、最大值、最小值，求最值. 【难易程度】较难 【参考答案】C【试题解析】根据二次函数图象的特征解决.由()()f x g x =，得2()4x a -= ， （步骤1）∴当2x a =-和2x a =+时，两函数值相等.()f x 图象为开口向上的抛物线，()g x 图象为开口向下的抛物线，两图象在2x a =-和2x a =+处相交，则1()H x =()(2),()(22),()(2),f x x ag x a x a f x x a -⎧⎪-<<+⎨⎪+⎩2()(2),()()(22),()(2),g x x a H x f x a x a g x x a -⎧⎪=-<<+⎨⎪+⎩ （步骤2）∴1min ()(2)44A H x f a a ==+=--，2max ()(2)412B H x g a a ==-=-+，∴16.A B -=-（步骤3）12．设函数()f x 满足()()2e 2x xf x xf x x '+=，()2e 28f =，则0x >时，()f x （ ）A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值【测量目标】利用导数求函数的极值.【考查方式】通过构造函数，将问题转化，考查转化能力.通过导数判断函数单调性，考查知识的 灵活应用能力. 【难易程度】较难 【参考答案】D【试题解析】由题意知2'33e 2()e 2()()x x f x x f x f x x x x-=-=.（步骤1） 令2()e 2()x g x x f x =-，则()222e 2()e 2()4()e 2()2()e e 1x xxxx g x x f x xf x x f x xf x x x ⎛⎫'''=--=-+=-=- ⎪⎝⎭.（步骤2）由()0g x '=得2x =，当2x =时，222mine ()e 2208g x =-⨯⨯=，即()0g x ，则当0x >时，3()()0g x f x x'=，（步骤3） 故()f x 在()0,+∞上单调递增，既无极大值也无极小值.（步骤4） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .第13题图【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】给出三视图，求体积. 【难易程度】容易 【参考答案】16π16-【试题分析】由三视图可知该几何体是一个圆柱部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为 4，故体积为16π；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，故题中几何体的体积为16π16.- 14.已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和，若13a a ，是方程2540x x -+=的两个根，则6S = .【测量目标】等比数列及其性质，等比数列的前n 项和.【考查方式】给出方程，已知等比数列为递增数列，先求等比数列中两项值，即方程的两根，再由数 列为递增数列求出数列的前n 项和. 【难易程度】中等 【参考答案】63 【试题分析】13,a a 是方程2540x x -+=的两个根，且数列｛}n a 是递增的等比数列，∴131,4,2,a a q ===661263.12S -==-15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F 椭圆C 与过原点的直线相交于,A B 两点，连接,AF BF ，若410,6,cos 5AB AF ABF ==∠=，则C 的离心率e = . 【测量目标】余弦定理，椭圆的简单几何性质.【考查方式】画图表示椭圆及直线位置，通过数量关系确定三角形形状以及椭圆系数，考查数形结合的能力.【难易程度】中等 【参考答案】57【试题解析】根据椭圆的定义及性质和余弦定理求解.设椭圆的右焦点为1F ，直线过原点，16AF BF ∴==,BO AO =.（步骤1）在ABF △中，设BF x =，由余弦定理得24361002105x x =+-⨯⨯，（步骤2） 解得8x =，即8BF =.90BFA ∴∠=,ABF ∴△是直角三角形，（步骤3）26814a ∴=+=,即7a =.（步骤4）又在Rt ABF △中，BO AO =，152OF AB ∴==，即5c =，（步骤5） 57e ∴=.（步骤6） 16．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组 的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的 最大值为 .【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征.【考查方式】给出样本平均数、样本方差样本组数，求样本数据中的最大值. 【难易程度】较难 【参考答案】10【试题解析】设5个班级中参加的人数分别为12345,,,,,x x x x x 则由题意知2222212345123457,(7)(7)(7)(7)(7)20,5x x x x x x x x x x ++++=-+-+-+-+-=五个整数的平方和为20，则必为0119920++++=，由73x -=可得10x =或4x =，由71x -=可得8x =或6x =，由上可知参加的人数分别为4，6，7，8，10，故样本数据中的最大值为10.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）设向量)()π,sin ,cos ,sin ,0,.2x x x x x ⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦a b（I ）若=a b 求x 的值； （Ⅱ）设函数()f x =a b ，求()f x 的最大值.【测量目标】平面向量的基本概念、向量的数量积运算、两角和与差的正弦和三角函数的最值. 【考查方式】给出两向量坐标，两向量模的关系，函数与向量的关系，求x 的值，函数的最大值. 【难易程度】容易 【试题解析】（Ⅰ）2222222(3sin )sin 4sin ,cos sin 1,x x x x x =+==+=a b ,=a b∴24sin 1.x = （步骤1）又x ∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴1sin ,2x =∴π6x =. （步骤2）（Ⅱ）()3sin f x x ==a b 2311π1cos sin sin 2cos 2sin(2),2262x x x x x +=-+=-+ ∴当π3x =∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，πsin(2)6x -取最大值1. （步骤3） ∴()f x 的最大值为32. （步骤4）18．（本小题满分12分）如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点. （I ）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（II ）若2AB AC PA ===，1，1,求证：二面角C PB A --的余弦值.第18题图【测量目标】面面垂直的判定，二面角，空间直角坐标系和空间向量及其运算.【考查方式】面面垂直的判定及二面角的平面角的确定考查定理的灵活应用能力，空间直角坐标系的建立考查空间想象能力及运算求解能力. 【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ)由AB 是圆的直径,得AC BC ⊥,（步骤1） 由PA ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,得PA BC ⊥,又PA AC A =,PA ⊂平面PAC ,AC ⊂平面PAC ,BC ∴⊥平面PAC BC ⊂平面PBC ∴平面PBC ⊥平面PAC .（步骤2）(Ⅱ)解法一：如图（1），以点C 为坐标原点，分别以直线CB ,CA ,CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系. 在Rt ABC △中,2AB =,1AC =,3BC ∴=又1PA =,()0,1,0A ∴,)3,0,0B,()0,1,1P .（步骤3）故()3,0,0CB =,()0,1,1CP =.设平面BCP 的法向量为()1111,,x y z =n ，则110,0,CB CP ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩n n 11130,0,x y z ⎧=⎪∴⎨+=⎪⎩不妨令11y =，则()10,1,1=-n .（步骤4）()0,0,1AP =,()3,1,0AB =-,设平面ABP 的法向量为()2222,,x y z =n ,则220,0,AP AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 2220,30,z x y =⎧⎪∴⎨-=⎪⎩（步骤5） 不妨令21x =，则()21,3,0=n . 于是1236cos ,422==n n . 由图（1）知二面角C —PB —A 为锐角，故二面角C —PB —A 的余弦值为64.（步骤6）第18题图（1）解法二：如图（2），过C 作CM AB ⊥于M ，PA ⊥平面ABC ,CM ⊂平面ABC ,PA CM ∴⊥.又PA AB A =,且PA ⊂平面PAB ,AB ⊂平面PAB ,CM ∴⊥平面PAB . 过M 作MN PB ⊥于N ,连接NC ,由三垂线定理得CN PB ⊥ CNM ∴∠为二面角C —PB —A 的平面角.（步骤3） 在Rt ABC △中,由2AB =,1AC =,得3BC =,32CM =,32BM =. 在Rt PAB △中,由2AB =,1PA =,得5PB =.Rt BNM △∽Rt BAP △,3215MN∴=,35MN ∴=.（步骤4） ∴在Rt CNM △中,30CN =,6cos CNM ∴∠=,∴二面角C —PB —A 的余弦值为6.（步骤5）第18题图（2）19．（本小题满分12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，同学从中任取3道题解答.（I ）求同学至少取到1道乙类题的概率；（II ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立.用X 表示同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望.【测量目标】古典概型，互斥事件与对立事件的概率，离散型随机变量的分布列及期望.【考查方式】至少类问题反面求解考查转化化归能力，分布列及数学期望的求解考查运算求解能力. 【难易程度】中等【试题解析】 (1)设事件A =“同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A = “同学所取的3道题都是甲类题”．()36310C 1C 6P A ==，()()516P A P A ∴=-=.（步骤1）(2)X 所有的可能取值为0,1,2,3.（步骤2）()020232140=C 555125P X ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（步骤3） ()11021022321324281C +C 555555125P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（步骤4） ()2112122321324572C +C 555555125P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（步骤5） ()222324363C 555125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（步骤6） X ∴的分布列为：X 0 12 3P4125 28125 5712536125（步骤7）()428573601232125125125125E X ∴⨯⨯⨯⨯=＝＋＋＋.（步骤8）20．（本小题满分12分）如图，抛物线()2212:4,:20C x y C x py p ==->，点()00,M x y 在抛物线2C 上，过M 作1C 的切线，切点为,A B （M 为原点O 时，,A B 重合于O ），012x =-，切线MA的斜率为12-.（I ）求p 的值；（II ）当M 在2C 上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程.(),,.A B O O 重合于时中点为第20题图【测量目标】导数的几何意义，圆锥曲线的轨迹方程.【考查方式】给出两抛物线方程，利用导数的几何意义及坐标中点与直线的关系求解；利用椭圆与直 线的位置关系及待定系数法求解. 【难易程度】中等 【试题解析】（Ⅰ）抛物线21:4C x y =上任意一点（,)x y 的切线斜率为'2xy =，且切线MA 的斜率为12-，∴A 点坐标为（1-，14）， （步骤1） ∴切线MA 的方程为11(1)24y x =-++. (步骤2).点M （01)y 在切线MA 及抛物线2C 上，∴0113(2244y -=--+=-①20(1322y p p-=-=-② （步骤3）由①②得2p =. （步骤4）（Ⅱ）设22121212(,),(,),(,),,44x x N x y A x B x x x ≠N 为线段AB 中点∴122x x x +=，③22128x x y +=.④ （步骤5） ∴切线MA,MB 的方程为2111()24x x y x x =-+，⑤2222()24x x y x x =-+.⑥ （步骤6）由⑤⑥得MA,MB 的交点M （00,)x y 的坐标为121200,.24x x x xx y +== （步骤7）点M （00,)x y 在2C 上，即200,4x y =-∴221212.6x x x x +=-⑦ （步骤8） 由③④⑦得24,0.3x y x =≠ （步骤9）当12x x =时，A,B 重合于原点O,AB 中点N 为O ，坐标满足24.3x y =∴AB 中点N 的轨迹方程为24.3x y = （步骤10）21．（本小题满分12分）已知函数()()21e xf x x -=+，()312cos 2x g x ax x x =+++.当[]0,1x ∈时， （I ）求证：()111x f x x-+ ；（II ）若()()f x g x 恒成立，数a 取值围.【测量目标】利用导数求函数的单调区间，不等式恒成立问题.【考查方式】第一问不等式的证明利用构造函数法，通过导数证明，考查简单的转化化归能力；第二问的两种解法都对转化化归能力进一步升级考查，解法一利用第一问的结论进行转化，解法二通过构造函数，两次利用导数转化. 【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)证明：要证[]0,1x ∈时，()21e 1xx x -+-，只需证明()()1e 1e x x x x -+-.（步骤1） 记()()(1)e 1e xx h x x x -=--＋，则()()e e x x h x x -'=-，（步骤2） 当()0,1x ∈时，()0h x '>，因此()h x 在[]0,1上是增函数，（步骤3） 故()()00h x h =.所以()[]10,1f x x x ∈－，．（步骤4） 要证[]0,1x ∈时，21(1)e 1xx x-+＋，只需证明e1x x ＋.（步骤5）记()e 1x K x x =--，则()e 1x K x '=-，（步骤6）当()0,1x ∈时，()0K x '>，因此()K x 在[]0,1上是增函数，（步骤7） 故()()00K x K =.所以()11f x x+，[]0,1x ∈．（步骤8） 综上，()111xf x x-+，[]0,1x ∈．（步骤9） (Ⅱ)解法一：()()32(1)e 12cos 2xx f x g x x ax x x -⎛⎫-=-+++ ⎪⎝⎭＋3112cos 2x x ax x x -----2(12cos )2x x a x =-＋＋＋．（步骤10）设()22cos 2x G x x =＋，则()2sin G x x x '=-.（步骤11） 记()2sin H x x x =-，则()12cos H x x '=-，（步骤12）当()0,1x ∈时，()0H x '<，于是()G x '在[]0,1上是减函数，（步骤13）从而当()0,1x ∈时，()()00G x G ''<=，故()G x 在[]0,1上是减函数．（步骤14） 于是()()02G x G =，从而()13a G x a ＋＋＋.（步骤15）所以，当3a-时，()()f x g x 在[]0,1上恒成立．（步骤16） 下面证明当3a >-时，()()f x g x 在[]0,1上不恒成立．()()3112cos 12x f x g x ax x x x -----+ 32cos 12x x ax x x x -=---+ 212cos 12x x a x x ⎛⎫=-+++ ⎪+⎝⎭，（步骤17）记()2112cos ()121x I x a x a G x x x =+++=++++， 则()21()(1)I x G x x -''=++，（步骤18） 当()0,1x ∈时，()0I x '<，故()I x 在[]0,1上是减函数，（步骤19）于是()I x 在[]0,1上的值域为[12cos 13]a a ＋＋，＋．（步骤20）因为当3a >-时，3>0a ＋，()00,1x ∴∃∈，使得()00I x >，（步骤21） 此时()()00f x g x <，即()()f x g x 在[]0,1上不恒成立．（步骤22） 综上，实数a 的取值围是(],3-∞-．（步骤23） 解法二：先证当[]0,1x ∈时，22111cos 124x xx --.（步骤10）记()21cos 12F x x x =-＋，则()sin F x x x '=-＋.（步骤11）记()sin G x x x =-＋，则()cos 1G x x '=-＋，（步骤12） 当()0,1x ∈时，()0G x '>，于是()G x 在[]0,1上是增函数，（步骤13）因此当()0,1x ∈时，()()00G x G >=，从而()F x 在[]0,1上是增函数．（步骤14）因此()()00F x F =，所以当[]0,1x ∈时，211cos 2x x -.（步骤15）同理可证，当[]0,1x ∈时，21cos 14x x -.（步骤16）综上，当[]0,1x ∈时，22111cos 124x x x --.（步骤17）当[]0,1x ∈时，()()()321e 12cos 2xx f x g x x ax x x -⎛⎫-=+-+++ ⎪⎝⎭321(1)12124x x ax x x ⎛⎫------ ⎪⎝⎭()3a x =-+.（步骤18）所以当3a-时，()()f x g x 在[]0,1上恒成立．（步骤19） 下面证明当3a >-时，()()f x g x 在[]0,1上不恒成立．()()()321e 12cos 2xx f x g x x ax x x -⎛⎫-=+-+++ ⎪⎝⎭3211121122x ax x x x ⎛⎫----- ⎪+⎝⎭ 23(3)12x x a x x =+-++ 32(3)23x x a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（步骤20） ()00,1x ∴∃∈ (例如0x 取33a +和12中的较小值)满足()()00f x g x <．（步骤21） 即()()f x g x 在[]0,1上不恒成立．（步骤22）综上，实数a 的取值围是(],3-∞-．（步骤23）请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 为半圆O 的直径，直线CD 与半圆O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 与F ，连接,AE BE .证明：（I ）FEB CEB ∠=∠； （II ）2.EF AD BC =⋅第22题图【测量目标】几何证明选讲.【考查方式】给出点、线、面之间的各种关系，根据圆中直线的垂直等角关系证明；根据圆中三角形 的全等和线段间的关系求解. 【难易程度】容易【试题解析】(Ⅰ)直线CD 与⊙O 相切，∴.CEB EAB ∠=∠ （步骤1）AB 为⊙O 的直径，∴AE EB ⊥,∴π2EAB EBF ∠+∠=； （步骤2） 又EF AB ⊥,∴π2FEB EBF ∠+∠=. （步骤3） ∴FEB EAB ∠=∠.∴.FEB CEB ∠=∠ （步骤4）（Ⅱ）BC CE ⊥,EF AB ⊥,,FEB CEB BE ∠=∠是公共边， ∴Rt BCE △≌Rt BFE △,∴BC BF =. （步骤5）类似可证Rt ADE △≌Rt AFE △,得AD AF =. （步骤6）又在Rt AEB △中，EF AB ⊥,∴2EF AF BF =，∴2EF AD BC =. （步骤7）23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为π4sin ,cos 2 2.4ρθρθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（I ）求1C 与2C 交点的极坐标；（II ）设P 为1C 的圆心，Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为3312x t a b y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t ∈R 为参数），求,a b 的值.【测量目标】极坐标与参数方程.【考查方式】给出各直线的极坐标方程或参数方程，联立1C 与2C 方程求交点；由参数方程的性质求 解.【难易程度】容易【试题解析】(Ⅰ)圆1C 的直角坐标方程为2224x y +-=（），直线2C 的直角坐标方程为40x y -+=. 解222440x y x y ⎧+-=⎨+-=⎩（），，得1104x y =⎧⎨=⎩，，2222x y =⎧⎨=⎩， (步骤1) ∴1C 与2C 交点的极坐标为ππ42224⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，. （步骤2） 注：极坐标系下点的表示不是唯一的.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为()()0213，，，.∴直线PQ 的直角坐标方程为20x y -+=， (步骤3)由参数方程可得b aby x 22=-+1. （步骤4）∴12122b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，，解得12a b =-⎧⎨=⎩，. （步骤5）24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()f x x a =-，其中1a >. （I ）当=2a 时，求不等式()fx 4x a --的解集；（II ）已知关于x 的不等式(2)2()f x a f x +-2的解集为{1xx}2，求a 的值.【测量目标】绝对值不等式的解法，含参不等式的解法.【考查方式】给出函数方程，求不等式的解集.再给出不等式的解集，求未知数a 的值. 【难易程度】中等【试题解析】（1）当2a =时，2624224264x x fx x x x x .-+⎧⎪+-=<<⎨⎪-⎩，，（），，， (步骤1) 当2x时，由4f x x -（）4-得264x -+，解得1x ； （步骤2） 当24x <<时，44f x x --（）无解； （步骤3） 当4x时，由44f x x --（）得264x -，解得5x. （步骤4）∴44f x x --（） 的解集为{1x x或}5x. （步骤5）（2）记22h x f x a f x =+-（）（）（），则204202a x h x x a x a a x a.-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩，，（），，， （步骤6）由2h x （），解得1122a a x-+. （步骤7） 又2h x （）的解集为{}12x x ，∴112122a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，， ∴3a =. （步骤8）。

2013年高考数学试题及答案(全国卷理数3套)

2013年高考数学试题及答案(全国卷理数3套)

2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知集合M＝{x|（x﹣1）2＜4，x∈R}，N＝{﹣1，0，1，2，3}，则M∩N＝（）A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，2，3}D．{0，1，2，3} 2．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设复数z满足（1﹣i）z＝2i，则z＝（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i3．（5分）（2013•新课标Ⅱ）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3＝a2+10a1，a5＝9，则a1＝（）A．B．C．D．4．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l ⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l5．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a＝（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣16．（5分）（2013•新课标Ⅱ）执行右面的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝（）A．B．C．D．7．（5分）（2013•新课标Ⅱ）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）A．B．C．D．8．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c9．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知a＞0，实数x，y满足：，若z＝2x+y的最小值为1，则a＝（）A．2B．1C．D．10．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃x0∈R，f（x0）＝0B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）单调递减D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝011．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（）A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x12．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y＝ax+b（a ＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则•＝．14．（5分）（2013•新课标Ⅱ）从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n＝．15．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设θ为第二象限角，若tan（θ+）＝，则sinθ+cosθ＝．16．（5分）（2013•新课标Ⅱ）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S10＝0，S15＝25，则nS n 的最小值为．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤：17．（12分）（2013•新课标Ⅱ）△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a＝b cos C+c sin B．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b＝2，求△ABC面积的最大值．18．（12分）（2013•新课标Ⅱ）如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．19．（12分）（2013•新课标Ⅱ）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以x（单位：t，100≤x≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（Ⅰ）将T表示为x的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x∈[100，110））则取x ＝105，且x＝105的概率等于需求量落入[100，110）的频率，求T的数学期望．20．（12分）（2013•新课标Ⅱ）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．（Ⅰ）求M的方程（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．21．（12分）（2013•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝e x﹣ln（x+m）（Ⅰ）设x＝0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0．选考题：（第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答．请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分评分，作答时请写清题号）22．（10分）（2013•新课标Ⅱ）【选修4﹣1几何证明选讲】如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB 与弦AC上的点，且BC•AE＝DC•AF，B、E、F、C四点共圆．（1）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（2）若DB＝BE＝EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．23．（2013•新课标Ⅱ）已知动点P、Q都在曲线（β为参数）上，对应参数分别为β＝α与β＝2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．（1）求M的轨迹的参数方程；（2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．24．（2013•新课标Ⅱ）【选修4﹣﹣5；不等式选讲】设a，b，c均为正数，且a+b+c＝1，证明：（Ⅰ）（Ⅱ）．2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知集合M＝{x|（x﹣1）2＜4，x∈R}，N＝{﹣1，0，1，2，3}，则M∩N＝（）A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，2，3}D．{0，1，2，3}【分析】求出集合M中不等式的解集，确定出M，找出M与N的公共元素，即可确定出两集合的交集．【解答】解：由（x﹣1）2＜4，解得：﹣1＜x＜3，即M＝{x|﹣1＜x＜3}，∵N＝{﹣1，0，1，2，3}，∴M∩N＝{0，1，2}．故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设复数z满足（1﹣i）z＝2i，则z＝（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【分析】根据所给的等式两边同时除以1﹣i，得到z的表示式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到结果．【解答】解：∵复数z满足z（1﹣i）＝2i，∴z＝＝﹣1+i故选：A．【点评】本题考查代数形式的除法运算，是一个基础题，这种题目若出现一定是一个送分题目，注意数字的运算．3．（5分）（2013•新课标Ⅱ）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3＝a2+10a1，a5＝9，则a1＝（）A．B．C．D．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到，解出即可．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵S3＝a2+10a1，a5＝9，∴，解得．∴．故选：C．【点评】熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键．4．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l ⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l【分析】由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．【解答】解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选：D．【点评】本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．5．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a＝（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1【分析】由题意利用二项展开式的通项公式求得展开式中x2的系数为+a•＝5，由此解得a的值．【解答】解：已知（1+ax）（1+x）5＝（1+ax）（1+x+x2+x3+x4+x5）展开式中x2的系数为+a•＝5，解得a＝﹣1，故选：D．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．6．（5分）（2013•新课标Ⅱ）执行右面的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝（）A．B．C．D．【分析】从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能．【解答】解：框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，S＝0+1＝1，k＝1+1＝2；判断k＞10不成立，执行S＝1+，k＝2+1＝3；判断k＞10不成立，执行S＝1++，k＝3+1＝4；判断k＞10不成立，执行S＝1+++，k＝4+1＝5；…判断i＞10不成立，执行S＝，k＝10+1＝11；判断i＞10成立，输出S＝．算法结束．故选：B．【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律．7．（5分）（2013•新课标Ⅱ）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）A．B．C．D．【分析】由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx平面为投影面，则得到正视图即可．【解答】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：故选：A．【点评】本题考查几何体的三视图的判断，根据题意画出几何体的直观图是解题的关键，考查空间想象能力．8．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c【分析】利用log a（xy）＝log a x+log a y（x、y＞0），化简a，b，c然后比较log32，log52，log72大小即可．【解答】解：因为a＝log36＝1+log32，b＝log510＝1+log52，c＝log714＝1+log72，因为y＝log2x是增函数，所以log27＞log25＞log23，∵，，所以log32＞log52＞log72，所以a＞b＞c，故选：D．【点评】本题主要考查不等式与不等关系，对数函数的单调性的应用，不等式的基本性质的应用，属于基础题．9．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知a＞0，实数x，y满足：，若z＝2x+y的最小值为1，则a＝（）A．2B．1C．D．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定a的值即可．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z＝2x+y，得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点C时，直线y＝﹣2x+z的截距最小，此时z最小．即2x+y＝1，由，解得，即C（1，﹣1），∵点C也在直线y＝a（x﹣3）上，∴﹣1＝﹣2a，解得a＝．故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．10．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃x0∈R，f（x0）＝0B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）单调递减D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝0【分析】利用导数的运算法则得出f′（x），分△＞0与△≤0讨论，列出表格，即可得出．【解答】解：f′（x）＝3x2+2ax+b．（1）当△＝4a2﹣12b＞0时，f′（x）＝0有两解，不妨设为x1＜x2，列表如下x（﹣∞，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表格可知：①x2是函数f（x）的极小值点，但是f（x）在区间（﹣∞，x2）不具有单调性，故C不正确．②∵+f（x）＝+x3+ax2+bx+c＝﹣+2c，＝，∵+f（x）＝，∴点P为对称中心，故B正确．③由表格可知x1，x2分别为极值点，则，故D正确．④∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即∃xα∈R，f（xα）＝0，故A正确．（2）当△≤0时，，故f（x）在R上单调递增，①此时不存在极值点，故D正确，C不正确；②B同（1）中②正确；③∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即∃x0∈R，f（x0）＝0，故A正确．综上可知：错误的结论是C．由于该题选择错误的，故选：C．【点评】熟练掌握导数的运算法则、中心得出的定义、单调性与极值的关系等基础知识与方法，考查了分类讨论的思想方法等基本方法．11．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（）A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x【分析】根据抛物线方程算出|OF|＝，设以MF为直径的圆过点A（0，2），在Rt△AOF中利用勾股定理算出|AF|＝．再由直线AO与以MF为直径的圆相切得到∠OAF ＝∠AMF，Rt△AMF中利用∠AMF的正弦建立关系式，从而得到关于p的方程，解之得到实数p的值，进而得到抛物线C的方程．【解答】解：∵抛物线C方程为y2＝2px（p＞0），∴焦点F坐标为（，0），可得|OF|＝，∵以MF为直径的圆过点（0，2），∴设A（0，2），可得AF⊥AM，Rt△AOF中，|AF|＝＝，∴sin∠OAF＝＝，∵根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，∴∠OAF＝∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF＝＝，∵|MF|＝5，|AF|＝∴＝，整理得4+＝，解之可得p＝2或p＝8因此，抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x．故选：C．方法二：∵抛物线C方程为y2＝2px（p＞0），∴焦点F（，0），设M（x，y），由抛物线性质|MF|＝x+＝5，可得x＝5﹣，因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为＝，由已知圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点（0，2），故圆心纵坐标为2，则M 点纵坐标为4，即M（5﹣，4），代入抛物线方程得p2﹣10p+16＝0，所以p＝2或p＝8．所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x．故选：C．【点评】本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF，以MF为直径的圆交抛物线于点（0，2），求抛物线的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题．12．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y＝ax+b（a ＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．【分析】解法一：先求得直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），由﹣≤0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得b＝；②若点M在点O和点A之间，求得＜b＜；③若点M在点A的左侧，求得＞b＞1﹣．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果．解法二：考查临界位置时对应的b值，综合可得结论．【解答】解：解法一：由题意可得，三角形ABC的面积为＝1，由于直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），由直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，故﹣≤0，故点M在射线OA上．设直线y＝ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）．①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，故N（，），把A、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b＝．②若点M在点O和点A之间，此时b＞，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，即＝，即＝，可得a＝＞0，求得b＜，故有＜b＜．③若点M在点A的左侧，则b＜，由点M的横坐标﹣＜﹣1，求得b＞a．设直线y＝ax+b和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为（，），此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即•（1﹣b）•|x N﹣x P|＝，即（1﹣b）•|﹣|＝，化简可得2（1﹣b）2＝|a2﹣1|．由于此时b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2．两边开方可得（1﹣b）＝＜1，∴1﹣b＜，化简可得b＞1﹣，故有1﹣＜b＜．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得b的取值范围应是，故选：B．解法二：当a ＝0时，直线y ＝ax +b （a ＞0）平行于AB 边，由题意根据三角形相似且面积比等于相似比的平方可得＝，b ＝1﹣，趋于最小．由于a ＞0，∴b ＞1﹣．当a 逐渐变大时，b 也逐渐变大，当b ＝时，直线经过点（0，），再根据直线平分△ABC 的面积，故a 不存在，故b ＜．综上可得，1﹣＜b ＜，故选：B ．【点评】本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考察运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则•＝2．【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（）•（），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．【解答】解：∵已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则＝0，故＝（）•（）＝（）•（）＝﹣+﹣＝4+0﹣0﹣＝2，故答案为2．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，属于中档题．14．（5分）（2013•新课标Ⅱ）从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n＝8．【分析】列出从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数的所有取法种数，求出和等于5的种数，根据取出的两数之和等于5的概率为列式计算n的值．【解答】解：从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于5的情况有：（1，4），（2，3）共2种情况；从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数的所有不同取法种数为，由古典概型概率计算公式得：从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于5的概率为p ＝．所以，即，解得n＝8．故答案为8．【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了组合数公式，解答此题时既可以按有序取，也可以按无序取，问题的实质是一样的．此题是基础题．15．（5分）（2013•新课标Ⅱ）设θ为第二象限角，若tan（θ+）＝，则sinθ+cosθ＝﹣．【分析】已知等式利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出tanθ的值，再根据θ为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinθ与cosθ的值，即可求出sinθ+cosθ的值．【解答】解：∵tan（θ+）＝＝，∴tanθ＝﹣，而cos2θ＝＝，∵θ为第二象限角，∴cosθ＝﹣＝﹣，sinθ＝＝，则sinθ+cosθ＝﹣＝﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．16．（5分）（2013•新课标Ⅱ）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S10＝0，S15＝25，则nS n 的最小值为﹣49．【分析】由等差数列的前n项和公式化简已知两等式，联立求出首项a1与公差d的值，结合导数求出nS n的最小值．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，∵S10＝10a1+45d＝0，S15＝15a1+105d＝25，∴a1＝﹣3，d＝，∴S n＝na1+d＝n2﹣n，∴nS n＝n3﹣n2，令nS n＝f（n），∴f′（n）＝n2﹣n，∴当n＝时，f（n）取得极值，当n＜时，f（n）递减；当n＞时，f（n）递增；因此只需比较f（6）和f（7）的大小即可．f（6）＝﹣48，f（7）＝﹣49，故nS n的最小值为﹣49．故答案为：﹣49．【点评】此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤：17．（12分）（2013•新课标Ⅱ）△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a＝b cos C+c sin B．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b＝2，求△ABC面积的最大值．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，求出tan B的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（Ⅱ）利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把sin B的值代入，得到三角形面积最大即为ac最大，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出ac的最大值，即可得到面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得：sin A＝sin B cos C+sin B sin C①，∵sin A＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C②，∴sin B＝cos B，即tan B＝1，∵B为三角形的内角，∴B＝；＝ac sin B＝ac，（Ⅱ）S△ABC由已知及余弦定理得：4＝a2+c2﹣2ac cos≥2ac﹣2ac×，整理得：ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立，则△ABC面积的最大值为××＝××（2+）＝+1．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12分）（2013•新课标Ⅱ）如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．【分析】（Ⅰ）通过证明BC1平行平面A1CD内的直线DF，利用直线与平面平行的判定定理证明BC1∥平面A1CD（Ⅱ）证明DE⊥平面A1DC，作出二面角D﹣A1C﹣E的平面角，然后求解二面角平面角的正弦值即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点，又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF，因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）因为直棱柱ABC﹣A1B1C1，所以AA1⊥CD，由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB，又AA1∩AB＝A，于是，CD⊥平面ABB1A1，设AB＝2，则AA1＝AC＝CB＝2，得∠ACB＝90°，CD＝，A1D＝，DE＝，A1E＝3故A1D2+DE2＝A1E2，即DE⊥A1D，所以DE⊥平面A1DC，又A1C＝2，过D作DF⊥A1C于F，∠DFE为二面角D﹣A1C﹣E的平面角，在△A1DC中，DF＝＝，EF＝＝，所以二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．sin∠DFE＝．【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力与计算能力．19．（12分）（2013•新课标Ⅱ）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以x（单位：t，100≤x≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（Ⅰ）将T表示为x的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x∈[100，110））则取x ＝105，且x＝105的概率等于需求量落入[100，110）的频率，求T的数学期望．【分析】（Ⅰ）由题意先分段写出，当x∈[100，130）时，当x∈[130，150）时，和利润值，最后利用分段函数的形式进行综合即可．（Ⅱ）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤x≤150．再由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值．（Ⅲ）利用利润T的数学期望＝各组的区间中点值×该区间的频率之和即得．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，当x∈[100，130）时，T＝500x﹣300（130﹣x）＝800x﹣39000，当x∈[130，150）时，T＝500×130＝65000，∴T＝．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤x≤150．由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7．（Ⅲ）依题意可得T的分布列如图，T45000530006100065000p0.10.20.30.4所以ET＝45000×0.1+53000×0.2+61000×0.3+65000×0.4＝59400．【点评】本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力，求解的重点是对题设条件及直方图的理解，了解直方图中每个小矩形的面积的意义，是中档题．20．（12分）（2013•新课标Ⅱ）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．（Ⅰ）求M的方程（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．【分析】（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线可解得c．设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），利用“点差法”即可得到a，b的关系式，再与a2＝b2+c2联立即可得到a，b，c．（Ⅱ）由CD⊥AB，可设直线CD的方程为y＝x+t，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|CD|．把直线x+y﹣＝0与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即＝即可得到关于t的表达式，利用二次函可得到弦长|AB|，利用S四边形ACBD数的单调性即可得到其最大值．【解答】解：（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线x+y﹣＝0得c+0﹣＝0，解得c＝．设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），则，，相减得，∴，∴，又＝，∴，即a2＝2b2．联立得，解得，∴M的方程为．（Ⅱ）∵CD⊥AB，∴可设直线CD的方程为y＝x+t，联立，消去y得到3x2+4tx+2t2﹣6＝0，∵直线CD与椭圆有两个不同的交点，∴△＝16t2﹣12（2t2﹣6）＝72﹣8t2＞0，解﹣3＜t＜3，由C，D在椭圆上，可得﹣＜t＜．设C（x3，y3），D（x4，y4），∴，．∴|CD|＝＝＝．联立得到3x2﹣4x＝0，解得x＝0或，∴交点为A（0，），B，∴|AB|＝＝．＝＝＝，∴S四边形ACBD∴当且仅当t＝0时，四边形ACBD面积的最大值为，满足（*）．∴四边形ACBD面积的最大值为．【点评】本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、“点差法”、中点坐标公式、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到一元二次方程根与系数的关系、弦长公式、四边形的面积计算、二次函数的单调性等基础知识，考查了推理能力、数形结合的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．21．（12分）（2013•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝e x﹣ln（x+m）（Ⅰ）设x＝0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，因为x＝0是函数f（x）的极值点，由极值点处的导数等于0求出m的值，代入函数解析式后再由导函数大于0和小于0求出原函数的单调区间；（Ⅱ）证明当m≤2时，f（x）＞0，转化为证明当m＝2时f（x）＞0．求出当m＝2时函数的导函数，可知导函数在（﹣2，+∞）上为增函数，并进一步得到导函数在（﹣1，0）上有唯一零点x0，则当x＝x0时函数取得最小值，借助于x0是导函数的零点证出f（x0）＞0，从而结论得证．【解答】（Ⅰ）解：∵，x＝0是f（x）的极值点，∴，解得m＝1．所以函数f（x）＝e x﹣ln（x+1），其定义域为（﹣1，+∞）．∵．设g（x）＝e x（x+1）﹣1，则g′（x）＝e x（x+1）+e x＞0，所以g（x）在（﹣1，+∞）上为增函数，又∵g（0）＝0，所以当x＞0时，g（x）＞0，即f′（x）＞0；当﹣1＜x＜0时，g（x）＜0，f′（x）＜0．所以f（x）在（﹣1，0）上为减函数；在（0，+∞）上为增函数；（Ⅱ）证明：当m≤2，x∈（﹣m，+∞）时，ln（x+m）≤ln（x+2），故只需证明当m＝2时f（x）＞0．当m＝2时，函数在（﹣2，+∞）上为增函数，且f′（﹣1）＜0，f′（0）＞0．故f′（x）＝0在（﹣2，+∞）上有唯一实数根x0，且x0∈（﹣1，0）．当x∈（﹣2，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，从而当x＝x0时，f（x）取得最小值．由f′（x0）＝0，得，ln（x0+2）＝﹣x0．故f（x）≥＝＞0．综上，当m≤2时，f（x）＞0．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了不等式的证明，考查了函数与方程思想，分类讨论的数学思想，综合考查了学生分析问题和解决问题的能力．熟练函数与导数的基础知识是解决该题的关键，是难题．选考题：（第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答．请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分评分，作答时请写清题号）22．（10分）（2013•新课标Ⅱ）【选修4﹣1几何证明选讲】如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB 与弦AC上的点，且BC•AE＝DC•AF，B、E、F、C四点共圆．（1）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（2）若DB＝BE＝EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．【分析】（1）已知CD为△ABC外接圆的切线，利用弦切角定理可得∠DCB＝∠A，及BC•AE＝DC•AF，可知△CDB∽△AEF，于是∠CBD＝∠AFE．利用B、E、F、C四点共圆，可得∠CFE＝∠DBC，进而得到∠CFE＝∠AFE＝90°即可证明CA是△ABC外接圆的直径；（2）要求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．只需求出其外接圆的直径的平方之比即可．由过B、E、F、C四点的圆的直径为CE，及DB＝BE，可得CE＝DC，利用切割线定理可得DC2＝DB•DA，CA2＝CB2+BA2，都用DB表示即可．【解答】（1）证明：∵CD为△ABC外接圆的切线，∴∠DCB＝∠A，∵BC•AE＝DC•AF，∴．∴△CDB∽△AEF，∴∠CBD＝∠AFE．∵B、E、F、C四点共圆，∴∠CFE＝∠DBC，∴∠CFE＝∠AFE＝90°．∴∠CBA＝90°，∴CA是△ABC外接圆的直径；（2）连接CE，∵∠CBE＝90°，∴过B、E、F、C四点的圆的直径为CE，由DB＝BE，得CE＝DC，又BC2＝DB•BA＝2DB2，∴CA2＝4DB2+BC2＝6DB2．而DC2＝DB•DA＝3DB2，故过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC面积的外接圆的面积比值＝＝．【点评】熟练掌握弦切角定理、相似三角形的判定与性质、四点共圆的性质、直径的判定、切割线定理、勾股定理等腰三角形的性质是解题的关键．23．（2013•新课标Ⅱ）已知动点P、Q都在曲线（β为参数）上，对应参数分别为β＝α与β＝2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．（1）求M的轨迹的参数方程；（2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．【分析】（1）利用参数方程与中点坐标公式即可得出；（2）利用两点之间的距离公式、三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）依题意有P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），因此M（cosα+cos2α，sinα+sin2α）．M的轨迹的参数方程为为参数，0＜α＜2π）．（2）M点到坐标原点的距离d＝（0＜α＜2π）．当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．【点评】本题考查了参数方程与中点坐标公式、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24．（2013•新课标Ⅱ）【选修4﹣﹣5；不等式选讲】设a，b，c均为正数，且a+b+c＝1，证明：（Ⅰ）（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）依题意，由a+b+c＝1⇒（a+b+c）2＝1⇒a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca＝1，利用基本不等式可得3（ab+bc+ca）≤1，从而得证；（Ⅱ）利用基本不等式可证得：+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c，三式累加即可证得结论．【解答】证明：（Ⅰ）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca得：a2+b2+c2≥ab+bc+ca，由题设得（a+b+c）2＝1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca＝1，所以3（ab+bc+ca）≤1，即ab+bc+ca≤．（Ⅱ）因为+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c，故+++（a+b+c）≥2（a+b+c），即++≥a+b+c．所以++≥1．【点评】本题考查不等式的证明，突出考查基本不等式与综合法的应用，考查推理论证能力，属于中档题．2013年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2013•大纲版）设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．62．（5分）（2013•大纲版）＝（）A．﹣8B．8C．﹣8i D．8i3．（5分）（2013•大纲版）已知向量＝（λ+1，1），＝（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ＝（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣14．（5分）（2013•大纲版）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（）A．（﹣1，1）B．C．（﹣1，0）D．5．（5分）（2013•大纲版）函数f（x）＝log2（1+）（x＞0）的反函数f﹣1（x）＝（）A．B．C．2x﹣1（x∈R）D．2x﹣1（x＞0）6．（5分）（2013•大纲版）已知数列{a n}满足3a n+1+a n＝0，a2＝﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）7．（5分）（2013•大纲版）（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（）A．5B．8C．12D．188．（5分）（2013•大纲版）椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）。

2013年四川高考数学理科试卷(带详解)

2013年四川高考数学理科试卷(带详解)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设集合{|20}A x x =+=，集合2{|40}B x x =-=，则A B =I （ ） A.{2}- B.{2} C.{2,2}- D.∅ 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】通过解不等式再考查集合间的运算. 【难易程度】容易. 【参考答案】A 【试题解析】{+2=0}{2}.A x x A =∴=-Q ，2{40},{2,2}.B x x B =-=∴=-Q {2}.A B ∴=-I 故选A.2．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是 （ ）第2题图【测量目标】复平面.【考查方式】利用共轭复数考查点在复平面上的位置. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】设+i(,)z a b a b =∈R ，且0,0a b <>，则z 的共轭复数为i a b -,其中0,0a b <-<，故选B.3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是 （ ）第3题图A B C D第3题图【测量目标】平图形的直观图和三视图. 【考查方式】给出三视图判断其直观图. 【难易程度】容易. 【参考答案】D【试题解析】由俯视图的圆环可排除A,B,进一步将已知三视图还原为几何体，故选D. 4．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则（ ） A.:,2p x A x B ⌝∀∃∈∉ B.:,2p x A x B⌝∀∉∉C.:,2p x A x B ⌝∃∉∈D.:,2p x A x B ⌝∃∈∈ 【测量目标】全称量词与存在量词. 【考查方式】给出全称命题求存在命题. 【难易程度】容易. 【参考答案】D【试题解析】命题p 是全称命题：,2x A x B ∀∈∈，则p ⌝是特称命题：,2x A x B ∃∈∈.故选D.5．函数ππ()2sin(),(0,)22f x x ωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是 （ ）第5题图A.π2,3-B.π2,6-C.π4,6-D.π4,3【测量目标】函数sin()y A x ωϕ=+的图象及其变化. 【考查方式】给出三角函数图象求解析式中的未知参数. 【难易程度】中等. 【参考答案】A【试题解析】35π3π()π41234T =--=Q,πT ∴=2ππω∴=2ω∴=.由图象知当5π12x =时，5π2π+=2π+122k k ϕ⨯∈Z （）,即π2π()3k k ϕ=-∈Z .π3ϕ∴=-.故选A.6．抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是 （ ） A.12C.1【测量目标】双曲线和抛物线的基本性质. 【考查方式】给出抛物线和双曲线的方程，求距离. 【难易程度】中等. 【参考答案】B【试题解析】由题意可得抛物线的焦点坐标为（1,0），则焦点到渐近线的距离12d ==或22d ==. 7．函数331x x y =-的图象大致是 （ ）A B C D第7题图【考查方式】给出函数解析式判断函数图象. 【难易程度】中等. 【参考答案】C【试题解析】由3100,xx -≠≠∴得函数331x x y =-的定义域{0},x x ≠可排除A ，当2x =时，y =1，当x=4时，6480y =，但从选项D 的函数图象可以看出函数在(0,)+∞上是单调增函数，两者矛盾，故选C.8．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为,a b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数是 （ ） A.9 B.10 C.18 D.20 【测量目标】排列组合及其应用.【考查方式】通过数字组合的对数差不同来考查排列组合. 【难易程度】中等. 【参考答案】C【试题解析】从1，3,5，7,9这五个数中每次取出两个不同数的排列个数25A 20,=但lg1lg3lg3lg9,lg3lg1lg9lg3-=--=-，所以不同值的个数为20-2=18，故选C.9．节日里某家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 （ ） A.14 B.12 C.34 D.78【测量目标】几何概型.【考查方式】给出实际案例求现实生活中的几何概型. 【难易程度】较难. 【参考答案】A【试题解析】设两串彩灯同时通电后，第一次闪亮的时刻分别为,x y ,则04,04x y 剟剟，而事件发生的概率为2x y -…，可行域如图阴影部分所示，有几何概型得22142(22)3244P -⨯⨯⨯==. 第9题图10．设函数()f x =a ∈R ，e 为自然对数的底数）．若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =，则a 的取值范围是 （ ） A.[1,e] B.1[e 1]--1，C.[1,e 1]+D.1[e 1,e 1]--+【考查方式】给出函数解析式以及等式方程判断参数范围. 【难易程度】较难. 【参考答案】A 【试题解析】由已知点00(,)x y 在曲线000sin sin ,[0,1],y x y x y ==∈上，得即存在000[0,1](())y f f y y ∈=，使成立，则点0000(,()),((),)A y f y A f y y '都在的图象上，又()e x f x x a =+-在[0,1]上单调递增，所以0000()()0,[()][()]0,A A A A x x y y f y y y f y ''--∴--厖200[()]0f y y ∴-„∴00()f y y =，所以()f x x =在[0,1]上有解，2e ,[0,1]x a x x x ∴=+-∈，令2()e ,[0,1],()x x x x x x ϕϕ=+-∈在[0,1]上单调递增，又(0)1,(1)e,()[1,e],x ϕϕϕ==∴∈即[1,e]a ∈.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．二项式5()x y +的展开式中，含23x y 的项的系数是_________．（用数字作答） 【测量目标】二项式展开式.【考查方式】求二项式展开式中的某一项. 【难易程度】简单. 【参考答案】10【试题解析】3232345C 10,T x y x y ==故填10.12．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=u u u r u u u r u u u r，则λ=_________．【测量目标】平面向量的四则运算.【考查方式】给出平面向量的等式求未知参数. 【难易程度】简单. 【参考答案】2【试题解析】由向量加法的平行四边形法则，得.AB AD AC +=u u u r u u u r u u u r又O 是AC 的中点，2,2,, 2.AC AO AC AO AB AD AO λλ∴=∴=∴+=∴=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r13．设sin 2sin αα=-，π(,π)2α∈，则tan 2α的值是_________． 【测量目标】二倍角公式.【考查方式】给出关系式求特殊角的正切值. 【难易程度】中等. 3【试题解析】由题意得1cos 2α=-而π(,π)2α∈，24ππ,tan2=tan π=tan 3333αα∴=∴=14．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当x …0时，2()4f x x x =-，那么，不等式(2)5f x +<的解集是________ ．【测量目标】解不等式.【考查方式】给出函数的部分区间的解析式，求函数在整个区间的不等式的解集. 【难易程度】较难. 【参考答案】73x -<<【试题解析】220,0.0()4()4x x x f x x x f x x x <->=-∴-=-Q 设则当时，…故()f x 为在定义域上的偶函数224,0(),+4,0x x x f x x x x ⎧-∴=⎨<⎩…由()555f x x x ===-得或，所以()555,(2)5,73f x x f x x <-<<+<-<<得由得,所以不等式的解集为73x -<<.15．设12,,,n P P P L 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到12,,,n P P P L 点的距离之和最小，则称点P 为12,,,n P P P L 点的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点,A B 的中位点．则有下列命题：①若,,A B C 三个点共线，C 在线AB 上，则C 是,,A B C 的中位点； ②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点,,,A B C D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是____________．（写出所有真命题的序号） 【测量目标】考查新定义.【考查方式】给出新定义的含义，根据新定义解题. 【难易程度】较难. 【参考答案】①④【试题解析】+CA CB AB =当且仅当点C 在线段AB 上等号成立，所以点C 是中位点，故①为真命题. ②③为假命题，若P 为点A ，C ,则点P 在线段AC 上，若点P 是B ,D 的中位点，则点P 在线段BD 上，所以若点P 是A,B,C,D 的中位点，则p 是AC ，BD 的交点.所以梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．故④是真命题.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分) 在等差数列{}n a 中，318a a +=，且4a 为2a 和9a 的等比中项，求数列{}n a 的首项、公差及前n 项和． 【测量目标】等差数列的性质.【考查方式】给出等差数列的项与项之间的关系，求通项和前n 项和. 【难易程度】中等.【试题解析】设该数列公差为d ,前n 项和为n S .由已知,可得()()()21111228,38a d a d a d a d +=+=++.所以()114,30a d d d a +=-=,（步骤1）解得14,0a d ==,或11,3a d ==,即数列{}n a 的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.所以数列的前n 项和4n S n =或232n n n S -=（步骤2）.17．(本小题满分12分) 在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-． （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）若42a =，5b =，求向量BA u u u r 在BC uuur 方向上的投影． 【测量目标】正弦定理和余弦定理.【考查方式】给出三角形中角的关系通过投影考查余弦定理. 【难易程度】中等.【试题解析】()I 由()()232coscos sin sin cos 25A B B A B B A C ---++=-,得 ()()3cos 1cos sin sin cos 5A B B A B B B -+---=-⎡⎤⎣⎦, 即()()3cos cos sin sin 5A B B A B B ---=-,则()3cos 5A B B -+=-,即3cos 5A =-. (步骤1)()II 由3cos ,0π5A A =-<<,得4sin 5A =, 由正弦定理,有sin sin a bA B=,所以,sin 2sin 2b A B a ==. 由题知a b >,则A B >,故π4B =.根据余弦定理,有()2223425255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭,解得1c =或7c =-(舍去). （步骤2）故向量BA u u u r 在BC uuu r 方向上的投影为2cos 2BA B =u u u r . （步骤3）18．(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3,,24⋅⋅⋅这24个整数中等可能随机产生．（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率(1,2,3)i P i =； （Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为(1,2,3)i i =的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表（部分） 乙的频数统计表（部分）甲、乙所编程序各自输出y 的值为i(i 1,2,3)=的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；（Ⅲ）按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．运行 次数n 输出y 的值 为1的频数输出y 的值 为2的频数 输出y 的值为3的频数… ………运行次数n 输出y 的值 为1的频数输出y 的值 为2的频数 输出y 的值为3的频数…………第18题图【测量目标】选择结构的程序框图.【考查方式】通过实际案列来考查对框图的识别。

2013年高考全国Ⅰ理科数学试题及答案(word解析版)

2013年高考全国Ⅰ理科数学试题及答案(word解析版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2013年全国Ⅰ，理1，5分】已知集合{}{2|20,|A x x x B x x =->=<，则（ ） （A ）A B =∅ （B ）A B =R （C ）B A ⊆ （D ）A B ⊆ 【答案】B【解析】∵2()0x x ->，∴0x <或2x >．由图象可以看出A B =R ，故选B ． （2）【2013年全国Ⅰ，理2，5分】若复数z 满足(34i)|43i |z -=+，则z 的虚部为（ ）（A ）4- （B ）45- （C ）4 （D ）45【答案】D【解析】∵(34i)|43i |z -=+，∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+．故z 的虚部为45，故选D ． （3）【2013年全国Ⅰ，理3，5分】为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）（A ）简单随机抽样 （B ）按性别分层抽样 （C ）按学段分层抽样 （D ）系统抽样 【答案】C【解析】因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样，故选C ．（4）【2013年全国Ⅰ，理4，5分】已知双曲线C ：()2222=10,0x y a b a b->>C 的渐近线方程为（ ）（A ）14y x =± （B ）13y x =± （C ）12y x =± （D ）y x =±【答案】C【解析】∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===．∴224a b =，1=2b a ±． ∴渐近线方程为12b y x x a =±±，故选C ．（5）【2013年全国Ⅰ，理5，5分】执行下面的程序框图，如果输入的[]1,3t ∈-，则输出的s 属于（ ） （A ）[3,4]- （B ）[5,2]- （C ）[4,3]- （D ）[2,5]- 【答案】D【解析】若[)1,1t ∈-，则执行3s t =，故[)3,3s ∈-．若[]1,3t ∈，则执行24s t t =-，其对称轴为2t =．故当2t =时，s 取得最大值4．当1t =或3时，s 取得最小值3，则[]3,4s ∈． 综上可知，输出的[]3,4s ∈-，故选D ．（6）【2013年全国Ⅰ，理6，5分】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ， 将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚 度，则球的体积为（ ）（A ）35003cm π （B ）38663cm π （C ）313723cm π（D ）320483cm π【答案】B【解析】设球半径为R ，由题可知R ，2R -，正方体棱长一半可构成直角三角形，即OBA ∆为直角三角形，如图，2BC =，4BA =，2OB R =-，OA R =，由()22224R R =-+，得5R =，所以球的体积为34500533ππ=(cm 3)，故选B ．（7）【2013年全国Ⅰ，理7，5分】设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m =（ ）（A ）3（B ）4 （C ）5 （D ）6【答案】C 【解析】∵12m S -=-，0m S =，13m S +=，∴()1022m m m a S S -=-=--=，11303m m m a S S ++=-=-=．∴1321m m d a a +=-=-=．∵()11102m m m S ma -=+⨯=，∴112m a -=-． 又∵1113m a a m +=+⨯=，∴132m m --+=．∴5m =，故选C ． （8）【2013年全国Ⅰ，理8，5分】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） （A ）168π+ （B ）88π+ （C ）1616π+ （D ）816π+ 【答案】A【解析】由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径2r =，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为24422816r ππ⨯⨯+⨯⨯=+，故选A ．（9）【2013年全国Ⅰ，理9，5分】设m 为正整数，()2m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ， ()21m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ，若137a b =，则m =（ ）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 【答案】B【解析】由题意可知，2m m a C =，21mm b C +=，又∵137a b =，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)，即132171m m +=+．解得6m =，故选B ．（10）【2013年全国Ⅰ，理10，5分】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点．若AB 的中点坐标为(1,1)-，则E 的方程为（ ） （A ）2214536x y +=（B ）2213627x y += （C ）2212718x y += （D ）221189x y +=【答案】D【解析】设11()A x y ，，22()B x y ，，∵A ，B 在椭圆上，∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②，①-②，得 1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+，即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为()1,1-，∴122y y +=-，122x x +=，而1212011=312AB y y k x x --(-)==--， ∴221=2b a ．又∵229a b -=，∴218a =，29b =．∴椭圆E 的方程为22=1189x y +，故选D ． （11）【2013年全国Ⅰ，理11，5分】已知函数()()220ln 10x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若()f x a x ≥|，则a 的取值范围是（ ） （A ）(],0-∞ （B ）(],1-∞ （C ）[2,1]- （D ）[2,0]-【答案】D【解析】由()y f x =的图象知：①当0x >时，y ax =只有0a ≤时，才能满足()f x ax ≥，可排除B ，C ．②当0x ≤时，()2222y f x x x x x ==-+=-．故由()f x ax ≥得 22x x ax -≥．当0x =时，不等式为00≥成立．当0x <时，不等式等价于2x a -≤．∵22x -<-，∴2a ≥-．综上可知：[]2,0a ∈-，故选D ．（12）【2013年全国Ⅰ，理12，5分】设n n n A B C ∆的三边长分别为n a ，n b ，n c ，n n n A B C ∆的面积为n S ，1,2,3.n =⋯，若11b c >，1112b c a +=，1n n a a +=，12n n n c a b ++=，12n nn b a c ++=，则（ ）（A ）{}n S 为递减数列 （B ）{}n S 为递增数列（C ）{}21n S -为递增数列，{}2n S 为递减数列 （D ）{}21n S -为递减数列，{}2n S 为递增数列 【答案】B第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）【2013年全国Ⅰ，理13，5分】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，()1t t =+-c a b ．若·0=b c ，则t = ． 【答案】2【解析】∵()1t t =+-c a b ，∴()2··1t t =+-bc ab b ．又∵1==a b ，且a 与b 夹角为60°，⊥b c ， ∴()0 601t cos t =︒+-a b ，1012t t =+-．∴2t =．（14）【2013年全国Ⅰ，理14，5分】若数列{}n a 的前n 项和2133n n S a =+，则{}n a 的通项公式是n a = ．【答案】()12n --【解析】∵2133n n S a =+，① ∴当2n ≥时，112133n n S a --=+．② ①-②，得12233n n n a a a -=-，即12n n aa -=-．∵1112133a S a ==+，∴11a =．∴{}n a 是以1为首项，-2为公比的等比数列，()12n n a -=-．（15）【2013年全国Ⅰ，理15，5分】设当x θ=时，函数()2f x sinx cosx =-取得最大值，则cos θ= ．【答案】 【解析】()s 2x f x sinx cosx x ⎫⎪==⎭-，令cos α=，sin α=，则()()f x x α=+，当22()x k k ππα=+-∈Z 时，()sin x α+有最大值1，()f x，即22()k k πθπα=+-∈Z ，所以cos θ=πcos =cos 2π+cos sin 22k πθααα⎛⎫⎛⎫-=-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（16）【2013年全国Ⅰ，理16，5分】若函数()()()221f x x x ax b =-++的图像关于直线2x =-对称，则()f x 的最大值为 ．【答案】16【解析】∵函数()f x 的图像关于直线2x =-对称，∴()f x 满足()()04f f =-，()()13f f -=-，即151640893b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩，得815a b =⎧⎨=⎩∴()432814815f x x x x x =---++．由()324242880f x x x x '=---+=，得12x =-22x =-，32x =-．易知，()f x在(,2-∞-上为增函数，在()22--上为减函数，在(2,2--上为增函数，在()2-+-∞上为减函数．∴(((((222122821588806416f ⎡⎤⎡⎤-=---+-+=---=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．()()()()()22212282153416915f ⎡⎤⎡-=---+⨯⎤==-⎣⎦⎣⎦-+--+(((((222122821588806416f ⎡⎤⎡⎤-=---++-++=-++=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．故f (x )的最大值为16．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2013年全国Ⅰ，理17，12分】如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，AB =，1BC =，P为ABC ∆内一点，90BPC ∠=︒．（1）若12PB =，求PA ；（2）若150APB ∠=︒，求tan PBA ∠．解：（1）由已知得60PBC ∠=︒，30PBA ∴∠=︒．在PBA ∆中，由余弦定理得211732cos 30424PA =+-︒=．故PA =（2）设PBA α∠=，由已知得sin PB α=．在PBA ∆sin sin(30)αα=︒-，4sin αα=．所以tan α，即tan PBA ∠= （18）【2013年全国Ⅰ，理18，12分】如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB AA =，160BAA ∠=︒． （1）证明：1AB A C ⊥；（2）若平面ABC ⊥平面11AA B B ，AB CB =，求直线1A C 与平面11BB C C 所成角的正弦值．解：（1）取AB 的中点O ，连结OC ，1OA ，1A B ．因为CA CB =，所以OC AB ⊥．由于1AB AA =，160BAA ∠=︒，故1AA B ∆为等边三角形，所以1OA AB ⊥．因为1OC OA O = ，所以AB ⊥平面1OA C ． 又1A C 平面1OA C ，故1AB A C ⊥．（2）由（1）知OC AB ⊥，1OA AB ⊥．又平面ABC ⊥平面11AA B B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面11AA B B ，故OA ，1OA ，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，OA为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．由题设知()1,0,0A，1()0A ，(0,0C ，()1,0,0B -．则(1,03BC =，11()BB AA =-=，(10,A C = ．设()n x y z =，，是平面11BB C C 的法向量，则100BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0x x ⎧=⎪⎨-=⎪⎩可取1)n =-．故111cos ,n AC n AC n AC ⋅==⋅ ．所以1A C 与平面11BB C C． （19）【2013年全国Ⅰ，理19，12分】一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n ．如果n =3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n =4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望．解：（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件1A ，第一次取出的4件产品全是优质品为事件2A ，第二次取出的4件产品都是优质品为事件1B ，第二次取出的1件产品是优质品为事件2B ，这批产品通过检验为事件A ，依题意有()()1122A A B A B = ，且11A B 与22A B 互斥，所以 ()()()()()()()112211122241113||161616264P A P A B P A B P A P B A P A P B A ==⨯++⨯==+．（2）X 可能的取值为400，500，800，并且()41114001161616P X ==--=，()500116P X ==，()80140P X ==． 所以X 的分布列为()111400+500+800506.2516164E X =⨯⨯⨯=． （20）【2013年全国Ⅰ，理20，12分】已知圆()2211M x y ++=：，圆()2219N x y -+=：，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程；（2）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求AB ． 解：由已知得圆M 的圆心为()1,0M -，半径11r =；圆N 的圆心为()1,0N ，半径23r =．设圆P 的圆心为(),P xy ，半径为R ．（1）因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以()()12124PM PN R r r R r r +=++-=+=．由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2(左顶点除外)，其方程为()22=1243x y x +≠-．（2）对于曲线C 上任意一点()P x y ，，由于222PM PN R -=-≤，所以2R ≤，当且仅当圆P 的圆心为()2,0时，2R =．所以当圆P 的半径最长时，其方程为()2224x y -+=．若l 的倾斜角为90︒，则l 与y 轴重 合，可得AB =l 的倾斜角不为90︒，由1r R ≠知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得()4,0Q -，所以可设()4l y k x =+：．由l 与圆M ，解得k =． 当k =时，将y =+22=13x y +，并整理得27880x x +-=，解得1,2x =． 2118|7AB x x =-=．当k =时，由图形对称性可知187AB =．综上，AB =187AB =． （21）【2013年全国Ⅰ，理21，12分】设函数()2f x x ax b =++，()()x g x e cx d =+．若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点()0,2P ，且在点P 处有相同的切线42y x =+．（1）求a ，b ，c ，d 的值；（2）若2x ≥-时，()()f x kg x ≤，求k 的取值范围．解：（1）由已知得()02f =，()02g =，()04f '=，()04g '=．而()2f x x a '=+，()()x g x e cx d c '=++， 故2b =，2d =，4a =，4d c +=．从而4a =，2b =，2c =，2d =． （2）由（1）知，()242f x x x =++，()()21x g x e x =+．设函数()()()()22142x F x kg x f x ke x x x =-=+---，()()()()2224221x x F x ke x x x ke '=+--=+-．()00F ≥ ，即1k ≥．令()0F x '=得1ln x k =-，22x =-． ①若21k e ≤<，则120x -<≤．从而当12()x x ∈-，时，()0F x '<；当1()x x ∈+∞，时，()0F x '>． 即()F x 在1(2)x -，单调递减，在1()x +∞，单调递增．故()F x 在[)2-+∞，的最小值为()1F x ． 而()()11111224220F x x x x x =+---=-+≥．故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f x kg x ≤恒成立． ②若2k e =，则()()()2222x F x e x e e -'=+-．∴当2x >-时，()0F x '>，即()F x 在()2-+∞，单调递增． 而()20F -=，故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f x kg x ≤恒成立． ③若2k e >，则()()22222220F k eek e ---=-+=--<．从而当2x ≥-时，()()f x kg x ≤不可能恒成立．综上，k 的取值范围是2[1]e ，． 请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（22）【2013年全国Ⅰ，理22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，ABC ∠的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆 于点D ． （1）证明：DB DC =；（2）设圆的半径为1，BC =CE 交AB 于点F ，求BCF ∆外接圆的半径． 解：（1）连结DE ，交BC 于点G ．由弦切角定理得，ABE BCE ∠=∠．而ABE CBE ∠=∠，故CBE BCE ∠=∠，BE CE =．又因为DB BE ⊥，所以DE 为直径，90DCE ∠=︒，DB DC =．（2）由（1）知，CDE BDE ∠=∠，DB DC =，故DG 是BC的中垂线，所以BG =设DE 的中点为O ，连结BO ，则60BOG ∠=︒．从而30ABE BCE CBE ∠=∠=∠=︒，所以CF BF ⊥，故Rt BCF ∆．（23）【2013年全国Ⅰ，理23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程为45cos 55sin x ty t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=． （1）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（2）求1C 与2C 交点的极坐标(0ρ≥，02θπ≤<)．解：（1）将45cos 55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程()()224525x y -+-=，即221810160C x y x y +--+=：．将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22810160x y x y +--+=得28cos 10sin 160ρρθρθ--+=． 所以1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=．（2）2C 的普通方程为2220x y y +-=．由222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩， 所以1C 与2C交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（24）【2013年全国Ⅰ，理24，10分】（选修4-5：不等式选讲）已知函数()212f x x x a =-++，()3g x x =+．（1）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；（2）设1a >-，且当1,22a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围．解：（1）当2a =-时，()()f x g x <化为212230x x x -+---<．设函数21223y x x x =-+---，则y =15,212,1236,1x x y x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，其图像如图所示．从图像可知，当且仅当()0,2x ∈时，0y <．所以原不等式的解集是{}2|0x x <<．（2）当1,22x a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭∈时，()1f x a =+．不等式()()f x g x ≤化为13a x +≤+．所以2x a ≥-，对1,22x a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭∈都成立．故22a a -≥-，即43a ≤．从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦．。

2013年湖南高考理科数学试卷(带详解)

2013年湖南高考理科数学试卷(带详解)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数()i 1i z =+（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【测量目标】复数乘法的运算法则,复数集与复平面上的点对应关系. 【考查方式】利用复数乘法的运算法则及复数的几何意义求解. 【难易程度】容易 【参考答案】B 【试题解析】i (1i)1i z =+=-+∴复数z 对应复平面上的点是(1,1),-该点位于第二象限.2.某学校有男、女学生各500名.为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是 （ ） A ．抽签法 B ．随机数法 C ．系统抽样法 D ．分层抽样法 【测量目标】分层抽样.【考查方式】给出实际案例，判断其解决问题的方法属于四种抽样方法的哪一种. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】由于是调查男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在差异，因此用分层抽样方法. 3.在锐角中ABC △，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin 3,a B b =则角A 等于（ ）A ．π12 B ．π6 C ．π4 D ．π3【测量目标】正弦定理.【考查方式】给出三角形中的边角关系，运用正弦定理求解未知角. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】在ABC △中，2sin ,2sin a R A b R B ==(R 为ABC △的外接圆半径).（步骤1）2sin 3,2sin sin 3.a B b A B B =∴=3sin A ∴=（步骤2）又ABC △为锐角三角形，π3A ∴=.（步骤3）4.若变量,x y 满足约束条件211y xx y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩，则2x y +的最大值是（ ）A ．52-B ．0C ．53D ．52【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】利用线性规划知识求目标函数的最值问题. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】根据不等式组作出其平面区域，令2,z x y =+结合2z x y =+的特征求解.不等式组表示的平面区域为图中阴影部分，（步骤1）平行移动11,22y x z =-+可知该直线经过2y x =与1x y +=的交点12(,)33A 时，z 有最大值为145=333+.（步骤2）第4题图5.函数()2ln f x x =的图象与函数()245g x x x =-+的图象的交点个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0 【测量目标】函数图象的应用.【考查方式】先作出常见函数图象再确定其图象交点个数. 【难易程度】中等 【参考答案】B 【试题解析】22()45(2)1,g x x x x =-+=-+又当2x =时，()2ln 2ln 41,f x ==>（步骤1）在同一直角坐标系内画出函数()2ln f x x =与2()45g x x x =-+的图象，如图所示，可知()f x 与()g x 有2个不同的交点.（步骤2）第5题图6. 已知,a b 是单位向量，0=a b .若向量c 满足1,--=c a b 则c 的取值范围是（ ）A ．22+1⎡⎤⎣⎦B ．22+2⎡⎤⎣⎦C ．2+1⎡⎤⎣⎦D ．2+2⎡⎤⎣⎦【测量目标】向量数量积的运算及定义、向量加法的几何意义.【考查方式】将所给向量式两边平方后利用向量数量积的运算律以及向量数量积定义的求解. 【难易程度】较难 【参考答案】A3 / 13【试题解析】由题意，不妨令(0,1),(1,0),(,)x y ===a b c ，由1--=c a b 得22(1)(1)1x y -+-=，（步骤1）22x y =+c 可看做(,)x y 到原点的距离，而点(,)x y 在以(1,1)为圆心，以1为半径的圆上．（步骤2）如图所示，当点(,)x y 在位置P 时到原点的距离最近，在位置P '时最远，而21PO =-,21P O '=+，故选A ．（步骤3）第6题图 7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于（ ） A ．1 B ．2 C ．212- D ．2+12【测量目标】空间几何体三视图.【考查方式】根据正方体的正视图的形状来求解其面积值. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】根据三视图中正视图与俯视图等长，故正视图中的长为2cos θ，如图所示．故正视图的面积为π2cos (0)4S θθ=，∴12S ，而21<12-，故面积不可能等于212-.第7题图8.在等腰三角形ABC 中，=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到点P （如图）.若光线QR 经过ABC △的重心，则AP 等于（ ）第8题图A ．2B ．1C ．83D ．43【测量目标】直线的斜率，直线的方程.【考查方式】已知一个三角形的边长关系，建立平面直角坐标系求解未知边的值. 【难易程度】中等 【参考答案】D 【试题解析】以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立直角坐标系如图所示．则A (0,0)，B (4,0)，C (0,4)．（步骤1）设△ABC 的重心为D ，则D 点坐标为44,33⎛⎫⎪⎝⎭.设P 点坐标为(m,0)，则P 点关于y 轴的对称点P 1为(－m,0)，（步骤2）因为直线BC 方程为x ＋y －4＝0，所以P 点关于BC 的对称点P 2为(4,4－m )，根据光线反射原理，P 1，P 2均在QR 所在直线上，∴12P D P D k k =，即4443344433mm -+=+-，（步骤3）解得，m ＝43或m ＝0.当m ＝0时，P 点与A 点重合，故舍去．∴43m =.（步骤4）第8题图二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9.在平面直角坐标系xOy 中，若:x t l y t a =⎧⎨=-⎩(t 为参数)，过椭圆C 3cos :2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右顶点，则常数a 的值为 .【测量目标】参数方程的转化，椭圆的简单几何性质.【考查方式】先将参数方程化为普通方程后求解，再运用椭圆的简单几何性质求出未知参数. 【难易程度】容易 【参考答案】3【试题解析】由题意知在直角坐标系下，直线l 的方程为y ＝x －a ，椭圆的方程为22194x y +=，（步骤1）所以其右顶点为(3,0)．由题意知0＝3－a ，解得a ＝3. （步骤2） 10.已知,,,236,a b c a b c ∈++=R 则22249a b c ++的最小值为 . 【测量目标】柯西不等式，最值问题.【考查方式】使用柯西不等式化简式子求其最值. 【难易程度】中等 【参考答案】12【试题解析】由柯西不等式得2222222(111)(49)(23)a b c a b c ++++++，即22241912a b c++，（步骤1）当232a b c ===时等号成立，所以222419a b c ++的最小值为12. （步骤2） 11.7的O 中,弦,AB CD 相交于点,2P PA PB ==，1PD =，则圆心O 到弦CD 的距离为 .5 /13第11题图【测量目标】圆的相交弦定理及圆的弦的性质，解三角形.【考查方式】由相交弦定理求出圆内线段的长再根据弦的性质求解三角形中未知数. 【难易程度】中等【参考答案】32【试题解析】如图所示，取CD 中点E ，连结OE ，OC ．由圆内相交弦定理知PD PC PA PB =，（步骤1）所以PC ＝4，CD ＝5，则CE ＝52，OC ＝7.（步骤2）所以O 到CD 距离为2253722OE ⎛⎫=()-= ⎪⎝⎭.（步骤3）第11题图必做题（12-16题）12.若20d 9,Tx x =⎰则常数T 的值为 .【测量目标】微积分基本定理.【考查方式】利用微积分基本定理建立方程求解. 【难易程度】中等 【参考答案】3 【试题解析】∵321=3x 'x ⎛⎫⎪⎝⎭，∴2330011d 0933T T x x x T ==-=⎰，∴3T =. 13.执行如图所示的程序框图，如果输入1,2,a b a ==则输出的的值为 .第13题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】阅读程序框图，运行程序得出结果. 【难易程度】中等 【参考答案】9【试题解析】输入1,2,a b ==不满足8,a >故a ＝3；a ＝3不满足a ＞8，故a ＝5；a ＝5不满足a ＞8，故a ＝7；a ＝7不满足a ＞8，故a ＝9，满足a ＞8，终止循环．输出a ＝9.14．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若126,PF PF a +=且12PF F △的最小内角为30，则C 的离心率为___.【测量目标】双曲线的定义，余弦定理.【考查方式】根据双曲线的定义及已知条件，利用余弦定理建立关于,a c 的方程求解. 【难易程度】较难 【参考答案】3【试题解析】不妨设|PF 1|＞|PF 2|，由1212||||6,||||2PF PF a PF PF a +=⎧⎨-=⎩可得12||4,||2.PF a PF a =⎧⎨=⎩（步骤1）∵2a ＜2c ，∴∠PF 1F 2＝30°，∴222242cos30224c a a c a︒()+()-()=⨯⨯，（步骤2）整理得，223230c a ac +-=，即22330,3e e e -+=∴=.（步骤3）15．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1(1),,2n n n n S a n *=--∈N 则（1）3a =_____； （2）12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________.【测量目标】已知递推关系求通项，数列的前n 项和. 【考查方式】根据1(2)n n n a S S n -=-建立关于n a 的关系式，根据n a 的关系式归纳寻找其规律后求解.【难易程度】中等 【参考答案】116- 10011(1)32- 【试题解析】111111(1)(1),22n n n n n n n n n a S S a a ----=-=----+111(1)(1)2n n n n n na a a --∴=---+（步骤1）当n 为偶数时，11,2n n a -=-当n 为奇数时，1122n n n a a -+=,（步骤2）∴当4n =时3411216a =-=-.（步骤3）根据以上{}n a 的关系式及递推式可求：135724681111,,,,2222a a a a =-=-=-=-246824681111,,,.2222a a a a ====（步骤4）21436535111,,,,222a a a a a a ∴-=-=-= (12100214310099231001111)()()()()2222S S S a a a a a a ∴+++=-+-++--++++ (399210010011111111)()()(1)22222232=+++-+++=-……（步骤6） 16．设函数(),0,0.xxxf x a b c c a c b =+->>>>其中（1）记集合M ={(,,),,a b c a b c 不能构成一个三角形的三条边长，且a b =}，则(,,)a b c M ∈所对应7 / 13的()f x 的零点的取值集合为____.（2）若,,a b c 是ABC △的三条边长，则下列结论正确的是 .（写出所有正确结论的序号）①()(),1,0;x f x ∀∈-∞>②,x ∃∈R 使,,xxxa b c 不能构成一个三角形的三条边长； ③若ABC △为钝角三角形，则()1,2,x ∃∈，使()0.f x =【测量目标】对数的运算，对数、指数函数的性质，余弦定理，函数零点存在性定理.【考查方式】由三角形的构成条件与函数的零点存在性求解未知参数的范围，以及举反例验证. 【难易程度】较难 【参考答案】{}01x x < ①②③【试题解析】(1)0,0,c a c b a b >>>>=且,,a b c 不能构成三角形三边，02, 2.c ac a∴<∴（步骤1）令()0f x =得2xxa c =，即2xc a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（步骤2）21log 2log 1c ac x x a ∴=∴=01x∴<（步骤3）（2）①,,a b c 是三角形的三条边长，0,0,01,01a ba b c c a c b c c∴+>>>>>∴<<<<∴当(,1)x ∈-∞时， ()()()1(1)0x x x x x x x xa b a b a b c f x a b c c c c c c c c c +-⎡⎤=+-=+->+-=>⎢⎥⎣⎦（步骤4）(,1),()0x f x ∴∀∈-∞>故①正确（步骤5）；②令2,3,4,a b c ===，则,,a b c 可以构成三角形.但2224,9,16a b c ===却不能构成三角形，故②正确；（步骤6）③,c a c b >>且ABC △为钝角三角形，2220a b c ∴+-<又222(1)0,(2)0f a b c f a b c =+->=+-<∴（步骤7）函数()f x 在()1,2上存在零点，故③正确. （步骤8）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数2ππ()sin()cos(),()2sin632x f x x x g x =-+-=. （I ）若α是第一象限角，且33()f α=.求()g α的值； （II ）求使()()f x g x 成立的x 的取值集合.【测量目标】两角和与差的正、余弦公式，二倍角的余弦公式以及三角函数不等式的解法. 【考查方式】运用三角恒等变换公式化简函数求解. 【难易程度】容易 【试题解析】（I ）533sin 3)(sin 3sin 23cos 21cos 21sin 23)(==⇒=++-=ααf x x x x x x f .（步骤1）23π41sin ,(0,)cos ,()2sin 1cos 52525g αααααα⇒=∈⇒===-=且（步骤2） （II ）31π1()()3sin 1cos sin cos sin()2262f xg x x x x x x ⇒-⇒+=+（步骤3） ππ5π2π[2π,2π][2π,2π],6663x k k x k k k ⇒+∈++⇒∈+∈Z （步骤4）18．（本小题满分12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y （单位：kg ）与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：X 1 2 3 4 Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.（I ）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； （II ）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.第18题图【测量目标】古典概型，分布列数学期望.【考查方式】利用古典概型求概率，根据所求概率列出分布列，结合期望公式求解. 【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ) 由图知，三角形边界共有12个格点,内部共有3个格点.从三角形上顶点按逆时针方向开始，分别有(0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(0,1),(0,2),(1,2),8对格点恰好“相近”.所以，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率821239P ==⨯.（步骤1） （Ⅱ）三角形共有15个格点.与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个，坐标分别为(4,0),(0,4).所以2(51)15P Y ==（步骤2），与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个，坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1).所以4(48)15P Y ==（步骤3），与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个，坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0),(0，1) ,(0，2),(0，3).所以6(45)15P Y ==（步骤4）与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个，坐标分别为(1，1), (1,2), (2,1).所以3(42)15P Y ==（步骤5）如下表所示：X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 频数 2463概率P152 154 156 1539 / 132463102192270126690()5148454246151515151515E Y +++=⨯+⨯+⨯+⨯===46)(=∴Y E . （步骤6）19．（本小题满分12分）如图，在直棱柱1111//ABCD A B C D AD BC -中，，90,,1BAD AC BD BC ∠=⊥=，13AD AA ==.（I ）证明：1AC B D ⊥； （II ）求直线11B C 与平面1ACD 所成角的正弦值.第19题图【测量目标】线面垂直的判定与性质，线面角.【考查方式】利用空间线面垂直的性质证明线线垂直，建立空间直角坐标系用向量法证明，再求直线与平面所成角的正弦值 【难易程度】中等 【试题解析】(Ⅰ)1111ABCD A B C D -是直棱柱1AC ∴⊥面ABCD ，且面BD ⊂面1ABCD BB AC⇒⊥（步骤1）又AC BD ⊥，且1BDBB B =，AC ∴⊥面1BDB ，1B D ⊂面1BDB ，1AC B D ∴⊥.（步骤2） （Ⅱ）11////,B C BC AD ∴直线11B C 与平面1ACD 的夹角即直线AD 与平面1ACD 的夹角θ.（步骤3）建立直角坐标系，用向量解题.设原点在A 点，AB 为y 轴正半轴，AD 为x 轴正半轴，1AA 为z 的正半轴. 设()10,00,(3,0,0),(3,0,3),(0,,0),(1,,0)A D D B y C y ，，11(0,,3),(1,,3)B y C y 则(1,,0),(3,,0),AC y BD y AC BD ==-⊥210300,0 3.(1,3,0),(3,0,3).AC BD y y y AC AD =⇒-+=>⇒=∴==（步骤4）设平面1ACD 的法向量为(,,)x y z n ，则10AC AD ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩n n 平面1ACD 的一个法向量11313,100BC ==（-，，）（，，）n （步骤5） 所以平面1ACD 的一个法向量1111321313,100sin |cos ,|77B C B C θ==⇒=<>==（-，，）（，，）n n所以11B C 与平面1ACD 夹角的正弦值为217.（步骤6）第19题（Ⅱ）图20．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径成为M 到N 的一条“L 路径”.如图所示的路径123MM M M N 与路径1MN N 都是M 到N 的“L 路径”.某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy 内三点(3,20),(10,0),(14,0)A B C -处.现计划在x 轴上方区域（包含x 轴）内的某一点P 处修建一个文化中心.（I ）写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II ）若以原点O 为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L 路径”不能进入保护区，请确定点P 的位置，使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小.第20题图【测量目标】绝对值函数最值.【考查方式】将实际案例中的关系先列出式子再将其转化为含绝对值的和的形式，进行分类讨论求解. 【难易程度】较难【试题解析】（I ）设点(,)P x y ，且0.y点P 到点A （3，20）的“L 路径”的最短距离d 等于水平距离加上垂直距离，即320d x y =-+-，其中0,.yx ∈R （步骤1）（Ⅱ）点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和的最小值d = 水平距离之和的最小值h + 垂直距离之和的最小值v （且h 和v 互不影响）.显然当y =1时，v = 20+1=21；显然当[10,14]x ∈-时，水平距离之和(10)14324h x x x =--+-+-,且当x =3时，h =24.因此,当P (3,1)时，d =21+24=45. （步骤2）所以，当点(,)P x y 满足P (3,1)时,点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和d 的最小值为45. （步骤3） 21．（本小题满分13分）过抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点F 作斜率分别为12,k k 的两条不同的直线12,l l ，且122k k +=，1l E 与相交于点A ，B ，2l 与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N （M ，N 为圆心）的公共弦所在的直线记为l .11 / 13（I ）若120,0k k >>，证明；22FM FN p <；（II ）若点M 到直线l的距离的最小值为，求抛物线E 的方程. 【测量目标】抛物线的定义，向量数量积的定义，圆的方程，直线与抛物线的位置关系.【考查方式】先将直线方程带入抛物线的方程，利用向量数量积的坐标运算求解，再求出圆的相交弦方程利用点到直线的距离公式及函数思想求解. 【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)已知抛物线的焦点为(0,).2p F 设112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 4412123434(,),(,),(,)D x y M x y N x y ，（步骤1）直线1l 方程：1,2p y k x =+与抛物线E 方程联立，化简整理得22120x pk x p -++=：（步骤2） 2221212112121121112,,(,)22x x px x k p x x p x k p y k p FM k p k p +⇒+==-⇒===+⇒=（步骤3）同理221234234222,(,)22x x px k p y k p FN k p k p +⇒===+⇒=.（步骤4）2222212121212(1)FM FN k k p k k p p k k k k ⇒=+=+（步骤5）222121212*********,0,,221,(1)1(11)2k k k k k k k k k k FM FN p k k k k p p >>≠=+>⇒<∴=+<⨯⨯+=所以，22FM FN p <成立. （步骤6） （Ⅱ）设圆M N 、的半径分别为22121121111,[()()][2()],22222p p pr r r y y p k p k p p ⇒=+++=++=+ 211,r k p p ⇒=+（步骤7）同理2222,r k p p =+则M N 、的方程分别为22212121()()x x y y r -+-=， 22234342()()x x y y r -+-=，（步骤7）直线l 的方程为：2222223412341212341234122()2()0x x x y y y x x y y r r -+-+-+--+=.222121123412341234123421212()2()()()()()()()0p k k x p k k y x x x x y y y y r r r r ⇒-+-++-++-+-+= 222222222222222212112121221122()2()()()()()(2)0p k k x p k k y p k k p k k k k p k k k k ⇒-+-+-+-++-++=0202)(1)(222212221=+⇒=+++++--+⇒yx k k p k k p p y x （步骤8）点1212(,)M x y 到直线l 的距离为：2211112()()144||||55d p p -+-+====8p ⇒=⇒抛物线的方程为216x y =（步骤9）22．（本小题满分13分）已知0a >，函数()2x af x x a-=+.（I ）记()f x 在区间[]0,4上的最大值为g a (),求g a ()的表达式；（II ）是否存在a ，使函数()y f x =在区间()0,4内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【测量目标】利用导数求分段函数的最值，导数的几何意义.【考查方式】根据已知条件转化函数为分段函数再求导，判断极值点所在区间进行分类讨论，依题意将问题转化为函数单调性不一致区间上的两个点处的导数之积等于1-建立方程求解. 【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)当0,a >○13()1,22x a af x x a x a-==-++ 当2x a <-或x a 时，是单调递增的；（步骤1）○23()122x a af x x a x a-+==-+++,当2a x a -<<时，是单调递减的.由上知，（步骤2）当4a >时()f x 在[0,4]x ∈上单调递减，其最大值为31(0)122a f a =-+=,（步骤3）当4a 时，()f x 在[0,]a 上单调递减，在[,4]a 上单调递增. （步骤4）令31(4)1(0)422a f f a =-<=+，解得：(1,4]a ∈，即当(1,4]a ∈时，()g a 的最大值为(0)f ，（步骤5）当(0,1]a ∈时，()g a 的最大值为(4)f ，综上，(]()31,0,142()=1,1,2a a ag a a ⎧-∈⎪⎪+⎨⎪∈+∞⎪⎩.（步骤6）（II ）由前知，()y f x =的图象是由两段反比例函数的图象组成的.因此，若在图象上存在两点),(),,(2211y x Q y x P 满足题目要求，则P ,Q 分别在两个图象上，且12()()1f x f x ''=-.（步骤7）223,2,(2)()3,2;(2)ax a x ax a f x a a x a x a ⎧<-⎪+⎪'=⎨-⎪-<<⎪+⎩或(04a <<)（步骤8）不妨设12122212331,(0,),(,4]3(2)(2)(2)(2)a ax a x a a x a x a x a x a -=-∈∈⇒=++++2222212121222324032402()43224a ax a a a ax a x x a x x a a x x a x a a x ⎧--<<--⎪⇒=+++-⇒=⇒+⎨+⎪<<⎩22222203242342434111224223404(0,)222484228x a x a a ax a a x a a a a a a a x a x <--<--<-⎧⎧⎧⎪⎪⎪⇒<+⇒-<⇒<-⇒<<<⇒∈⎨⎨⎨⎪⎪⎪-<<<<<⎩⎩⎩，且（步骤9）13 / 13所以，当)21,0(∈a 时，函数()y f x =在区间()0,4内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直. （步骤10）。

2013年上海市夏季高考数学真题(理科)试卷含答案

2013年上海市夏季高考数学真题(理科)试卷含答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题1．计算：20lim ______313n n n →∞+=+2．设m R ∈，222(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则________m =3．若2211x xx y y y=--，则______x y +=4．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，若22232330a ab b c ++-=，则角C 的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）5．设常数a R ∈，若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-，则______a =．6．方程1313313x x -+=-的实数解为________7．在极坐标系中，曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________．8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示） 9．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4CBA π∠=，若AB=4，2BC =，则Γ的两个焦点之间的距离为________10．设非零常数d 是等差数列12319,,,,x x x x 的公差，随机变量ξ等可能地取值12319,,,,x x x x ，则方差_______D ξ=11．若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=，则sin()________x y +=．12．设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为________13．在xOy 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为48π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________14．对区间I 上有定义的函数()g x ，记(){|(),}g I y y g x x I ==∈，已知定义域为[0,3]的函数()y f x =有反函数1()y fx -=，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==，若方程()0f x x -=有解0x ，则0_____x =二、选择题15．设常数a R ∈，集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-，若A B R ⋃=，则a 的取值范围为（ ）(A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D)[2,)+∞16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件17．在数列{}n a 中，21nn a =-，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j a a a a a =⋅++，（1,2,,7;1,2,,12i j ==）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）(A)18 (B)28 (C)48 (D)6318．在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d .若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++的最小值、最大值，其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆,则,m M 满足（ ）. (A) 0,0m M => (B) 0,0m M <> (C) 0,0m M <= (D) 0,0m M <<三、解答题19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2,AD=1,A 1A=1，证明直线BC 1平行于平面DA 1C ，并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.20．（6分+8分）甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润是3100(51)x x+-元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.C 11A21．（6分+8分）已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>； （1）若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增，求ω的取值范围；（2）令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，区间[,]a b （,a b R ∈且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值．22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线2:||||1C y x =+，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点”．(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2)设直线y kx =与2C 有公共点，求证||1k >，进而证明原点不是“C 1—C 2型点”；(3)求证：圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”． 23．（3 分+6分+9分）给定常数0c >，定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+，数列123,,,a a a 满足*1(),n n a f a n N +=∈.（1）若12a c =--，求2a 及3a ；（2）求证：对任意*1,n n n N a a c +∈-≥，；（3）是否存在1a ，使得12,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ，若不存在，说明理由.2013年 上海 高考理科数学（参考答案）一． 填空题1.13 2. －2 3. 0 4. 1arccos 3π- 5. －2 6. 3log 47. 12+ 8.13189.10. 30d ² 11.23 12. 87a ≤- 13. 2216ππ+ 14. 2三． 解答题19. 【解答】因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体，故1111//,AB C D AB C D =，故ABC 1D 1为平行四边形，故11//BC AD ，显然B 不在平面D 1AC 上，于是直线BC1平行于平面DA 1C；直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h考虑三棱锥ABCD 1的体积，以ABC 为底面，可得111(12)1323V =⨯⨯⨯⨯= 而1AD C ∆中，11AC DC AD ==132AD C S ∆= 所以，13123233V h h =⨯⨯=⇒=，即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为23．20．【解答】(1)根据题意，33200(51)30005140x x x x+-≥⇒--≥又110x ≤≤，可解得310x ≤≤(2)设利润为y 元，则4290031161100(51)910[3()]612y x x x x =⋅+-=⨯--+故6x =时，max 457500y =元．21．【解答】(1)因为0ω>，根据题意有34202432ππωωππω⎧-≥-⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤⎪⎩ (2) ()2sin(2)f x x =，()2sin(2())12sin(2)163g x x x ππ=++=++1()0sin(2)323g x x x k πππ=⇒+=-⇒=-或7,12x k k Z ππ=-∈，即()g x 的零点相离间隔依次为3π和23π，故若()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，则b a -的最小值为2431415333πππ⨯+⨯=． 23. 【解答】：（1）C 1的左焦点为(F ，过F的直线x =C 1交于()2±，与C 2交于(1))±，故C 1的左焦点为“C 1-C 2型点”，且直线可以为x =（2）直线y kx =与C 2有交点，则 (||1)||1||||1y kxk x y x =⎧⇒-=⎨=+⎩，若方程组有解，则必须||1k >； 直线y kx =与C 2有交点，则 2222(12)222y kx k x x y =⎧⇒-=⎨-=⎩，若方程组有解，则必须212k < 故直线y kx =至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点，即原点不是“C 1-C 2型点”。

2013年高考全国1卷文科数学试题及答案(详细解析版,精校版)

2013年高考全国1卷文科数学试题及答案(详细解析版,精校版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷）文科数学一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ={1,2,3,4}，B ={x |x =n 2,n ∈A }，则A ∩B =A ．{1,4}B ．{2,3}C ．{9,16}D ．{1,2}2．212i 1i +(-)= A ．1-1-i 2 B ．1-1+i 2 C ．11+i 2 D ．11-i 23．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是A ．12B ．13C ．14D ．164．已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a >0,b >0)的离心率为2，则C 的渐近线方程为 A ．y=14x ± B ．y=13x ± C ．y=12x ± D ．y=±x 5．已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3=1-x 2，则下列命题中为真命题的是A ．p ∧qB ．﹁p ∧qC ．p ∧﹁qD ．﹁ p ∧﹁q6．设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则A ．S n =2a n -1B ．S n =3a n -2C ．S n =4-3a nD ．S n =3-2a n7．执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[-1,3]，则输出的S 属于A ．[-3,4]B ．[-5,2]C ．[-4,3]D ．[-2,5]8．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2=的焦点，P 为C 上一点，若|PF |=POF 的面积为A ．2B ．C ．D ．49．函数f (x )=(1-cos x )sin x 在[-π,π]的图像大致为10．已知锐角ΔABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ， 23cos 2A +cos2A =0， a =7，c =6，则b =A ．10B ．9C ．8D ．511．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π12．已知函数f (x )=22,0,ln(1),0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩若|f (x )|≥ax ， 则a 的取值范围是A ．(-∞,0]B ．(-∞,1]C ．[-2,1]D ．[-2,0]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．13．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c =t a +(1-t )b . 若b ·c =0，则t =____.14．设x ，y 满足约束条件13,10,x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩则z =2x -y 的最大值为______. 15．已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH :HB =1:2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______.16．设当x =θ时，函数f (x )=sin x -2cos x 取得最大值，则cos θ=______.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做6题，共70分.17．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3=0，S 5=－5.(1)求{a n }的通项公式； (2)求数列21211{}n n a a -+的前n 项和．18．(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药,B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h)．试验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.93.0 3.1 2.3 2.4服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41.6 0.5 1.8 0.62.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)19．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB=CB=2，A1C，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积．20．(本小题满分12分)已知函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x，曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=4x+4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．21．(本小题满分12分)已知圆M：(x+1)2+y2=1，圆N：(x-1)2+y2=9，动圆P与圆M外切并且与圆N 内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A,B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB=DC；(2)设圆的半径为1，BC，延长CE交AB于点F，求ΔBCF外接圆的半径.23 ．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|，g(x)=x+3.(1)当a=-2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；(2)设a>-1，且当x∈1[,)22a-时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．2013年高考全国1卷文科数学参考答案12．解：212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-=11+i 2- 3．解：依题所有基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共6种，满足条件的事件数是2种，所以所求的概率为13. 4．解：依题2254c a =. ∵c 2=a 2＋b 2，∴2214b a =，∴12b a =. ∴渐近线方程为12y x =± 5．解：由20=30知，p 为假命题．令h (x )=x 3-1+x 2，∵h (0)=-1<0，h (1)=1>0， ∴h (x )=0在(0,1)内有解．∴∃x ∈R ，x 3=1-x 2，即命题q 为真命题．由此可知只有⌝p ∧q 为真命题．6．解：121(1)/133n n n a a q S a q -==--=3-2a n 7．解：当－1≤t <1时，s =3t ，则s ∈[-3,3)．当1≤t ≤3时，s =4t -t 2. ∵该函数的对称轴为t =2，∴s max =4，s min =3. ∴s ∈[3,4]．综上知s ∈[-3,4]8．解：利用|PF |=P x =x P =∴y P =±∴S △POF =12|OF |·|y P |=9．解：由f (x )=(1-cos x )sin x 知其为奇函数．可排除B ．当x ∈π(0,)2时，f (x )>0，排除A. 当x ∈(0,π)时，f ′(x )=sin 2x +cos x (1-cos x )=-2cos 2x +cos x +1.令f ′(x )=0，可得2π3x =. 故极值点为2π3x =，可排除D ，故选C. 10．解：由23cos 2A +cos 2A =0，得cos 2A =125. ∵A ∈π(0,)2，∴cos A =15. ∵cos A =236491265b b +-=⨯，解得b =5或135b =-(舍)．故选D. 11．解：该几何体为一个半圆柱的上面后方放一个长方体组成的一个组合体．V 半圆柱=12π×22×4=8π，V 长方体=4×2×2=16. 所以体积为16＋8π. 故选A 12．解：可画出|f (x )|的图象如图所示．当a >0时，y =ax 与y =|f (x )|恒有公共点，所以排除B,C;当a ≤0时，若x >0，则|f (x )|≥ax 恒成立；若x ≤0，则以y =ax 与y =x 2-2x 相切为界限，联立y =ax 与y =x 2-2消去y 得x 2-(a +2)x =0. ∵Δ=(a +2)2=0，∴a =-2. ∴a ∈[-2,0]．故选D.二、填空题：13．2 1 4．3 15．9π216．5- 13．解：依题a ·b =111122⨯⨯=，b ·c = t a ·b +(1-t )b 2 =0，∴12t +1-t =0. ∴t =2. 14．解：作出可行域如图所示．画出初始直线l 0:2x -y =0，l 0平移到l ，当直线l 经过点A (3,3)时z 取最大值，z =2×3-3=3.15．解：如图，π·EH 2=π，∴EH =1，设球O 的半径为R ，则AH =23R ， OH =3R . 在RtΔOEH 中，R 2=22()+13R ， ∴R 2=98. ∴S 球=4πR 2=9π2. 16． 解：∵f (x )=sin x -2cos x x +φ)，其中tan φ=-2，φ是第四象限角.当x +φ=2k π+π2(k ∈Z )时，f (x )取最大值．即θ=2k π+π2-φ(k ∈Z )， ∴cos θ=πcos()2ϕ-=sin φ=5-. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做6题，共70分.17．解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n =1(1)2n n na d -+. 则11330,5105,a d a d +=⎧⎨+=⎩ …2分 解得a 1=1，d =-1. …4分 故{a n }的通项公式为a n =2-n . …6分(2)由(1)知21211n n a a -+=1111()321222321n n n n =-(-)(-)--， …8分 从而新数列的前n 项和为111111[(11)(1)()][1]23232122112n n T n n n n =--+-++-=--=---- …12分 18．解： (1)设A 药数据的平均数为x B 药观测数据的平均数为y . x =(0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3 +2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+2.9 +3.0+3.1+3.2+3.5)/20=2.3，…3分 y ＝+1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2)/20=1.6. …6分由以上计算结果可得x >y ，因此可看出A 药的疗效更好．(2)绘制茎叶图如图： … 9分 从茎叶图可以看出，A 药疗效数据有710的叶集中在茎“2.”，“3.”上，而B 药疗效数据有710的叶集中在茎“0.”，“1.”上，由此可看出A 药的疗效更好．… 12分19． (1)证：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .由于AB =AA 1，∠BAA 1=60°，故ΔAA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB . 又CA =CB ，所以OC ⊥AB . …3分因为OC ∩OA 1=O ，所以 AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，所以AB ⊥A 1C . …6分(2)解：依题ΔABC 与ΔAA 1B 都是边长为2的等边三角形，所以OC =OA 1又A 1C，则A 1C 2=OC 2+OA 12，故OA 1⊥OC ，又OA 1⊥AB ，OC ∩AB =O ，所以OA 1⊥平面ABC ， …9分OA 1为三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高． 又ΔABC 的面积S △ABC故三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积V =S △ABC ×OA 1=3. …12分20．解：(1)f ′(x )=e x (ax +a +b )-2x -4. 依题f (0)=4，f ′(0)=4. …3分故b =4，a +b =8. 从而a =4，b =4. …6分(2)由(1)知，f (x )=4e x (x +1)-x 2-4x ，f ′(x )=4e x (x +2)-2x -4=2(x +2)·(2e x -1).令f ′(x )=0得，x =-ln 2或x =-2. …8 分所以在(-∞，-2)与(-ln2，+∞)上，f ′(x )>0；f (x )单调递增．在(-2，-ln 2) 上，f ′(x )<0. f (x )单调递减． …10 分当x =-2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (-2)=-4e －2+4． …12 分21．解：(1)由已知得圆M 的圆心为M (-1,0)，半径r 1=1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2=3. 设圆P 的圆心为P (x ,y )，半径为R .依题， |PM |=R +1. |PN |=3-R . 所以|PM |+|PN |=4. …3 分由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点的椭圆(左顶点除外)，且a =2，c =1，∴b∴C 的方程为22=143x y +(x ≠-2)． …6 分 (2)对于曲线C 上任意一点P (x ,y )，由于|PM |-|PN |=2R -2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R =2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x -2)2+y 2=4. …7 分若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB|= …8 分若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，可设l 与x 轴的交点为Q (m ,0)，由1||222||1QP R m QM r m-===--即，解得m =-4. 所以Q (-4,0)，故可设l ：y =k (x ＋4)．由l 与圆M=1，解得k=4±.当k=4时，将4y x =代入22=143x y +，并整理得7x 2+8x -8=0， 解得x=47-±，所以|AB|x 2-x 1|=187. …10分 当k=4-时，由图形的对称性可知|AB |=187. 综上，|AB|=|AB |=187. …12 分 22．(1)证明：连结DE ，交BC 于点G . 由弦切角定理得，∠ABE =∠BCE . 而∠ABE =∠CBE ，故∠CBE =∠BCE ，所以BE =CE . 又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，所以∠DCE =90°，由勾股定理可得DB =DC . …5分(2)解：由(1)知，∠CDE =∠BDE ，DB =DC ，故DG 是BC 的中垂线，所以BG. 设DE 的中点为O ，连结BO ， 则∠BOG =60°. 从而∠ABE =∠BCE =∠CBE =30°，所以CF ⊥BF ，故RtΔBCF. …10分 23．解：(1)将45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程(x -4)2+(y -5)2=25， 将x=ρcos θ, y=ρsin θ代入整理得C 1的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. …5分(2)C 2的普通方程为x 2+y 2-2y =0. 联立C 1的方程x 2+y 2 -8x -10y +16=0，解得交点为(1,1)与(0,2)，其极坐标分别为π)(2,)42π与. …10分 24．解：(1)当a =-2时，不等式f (x )>g (x )化为|2x -1|+|2x -2|-x -3<0. 设函数y =|2x -1|+|2x -2|-x -3，则y =15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0.所以原不等式的解集是{x |0<x <2}． …5分(2)当a >-1，且x ∈1[,)22a -时，f (x )=1+a . 不等式f (x )≤g (x )化为1+a ≤x +3. 所以x ≥a -2对x ∈1[,)22a -都成立．故2a -≥a -2，即a ≤43. 从而a 的取值范围是4(1,]3-. …10分。

2013年辽宁省高考数学试卷(理科)答案与解析

2013年辽宁省高考数学试卷(理科)答案与解析

2013年辽宁省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2013•辽宁）复数的模长为（）A．B．C．D．2考点：复数求模．专题：计算题．分析：通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．解答：解：复数，所以===．故选B．点评：本题考查复数的模的求法，考查计算能力．2．（5分）（2013•辽宁）已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）A．（0，1）B．（0，2]C．（1，2）D．（1，2]考点：交集及其运算；其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：求出集合A中其他不等式的解集，确定出A，找出A与B的公共部分即可求出交集．解答：解：由A中的不等式变形得：log41＜log4x＜log44，解得：1＜x＜4，即A=（1，4），∵B=（﹣∞，2]，∴A∩B=（1，2]．故选D点评：此题考查了交集及其运算，以及其他不等式的解法，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（5分）（2013•辽宁）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A．B．C．D．考点：平行向量与共线向量；单位向量．专题：平面向量及应用．分析：由条件求得=（3，﹣4），||=5，再根据与向量同方向的单位向量为求得结果．解答：解：∵已知点A（1，3），B（4，﹣1），∴=（4，﹣1）﹣（1，3）=（3，﹣4），||==5，则与向量同方向的单位向量为=，故选A．点评：本题主要考查单位向量的定义和求法，属于基础题．4．（5分）（2013•辽宁）下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{a n+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4考点：等差数列的性质；命题的真假判断与应用．专题：等差数列与等比数列．分析：对于各个选项中的数列，计算第n+1项与第n项的差，看此差的符号，再根据递增数列的定义得出结论．解答：解：∵对于公差d＞0的等差数列{a n}，a n+1﹣a n=d＞0，∴命题p1：数列{a n}是递增数列成立，是真命题．对于数列数列{na n}，第n+1项与第n项的差等于（n+1）a n+1﹣na n=（n+1）d+a n，不一定是正实数，故p2不正确，是假命题．对于数列，第n+1项与第n项的差等于﹣==，不一定是正实数，故p3不正确，是假命题．对于数列数列{a n+3nd}，第n+1项与第n项的差等于a n+1+3（n+1）d﹣a n﹣3nd=4d＞0，故命题p4：数列{a n+3nd}是递增数列成立，是真命题．故选D．点评：本题主要考查等差数列的定义，增数列的含义，命题的真假的判断，属于中档题．5．（5分）（2013•辽宁）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．60考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量．解答：解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20，则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3，又∵低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是=50．故选：B．点评：本题考查的知识点是频率分布直方图，结合已知中的频率分布直方图，结合频率=矩形的高×组距，求出满足条件的事件发生的频率是解答本题的关键．6．（5分）（2013•辽宁）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=（）A．B．C．D．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：利用正弦定理化简已知的等式，根据sinB不为0，两边除以sinB，再利用两角和与差的正弦函数公式化简求出sinB的值，即可确定出B的度数．解答：解：利用正弦定理化简已知等式得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，∵sinB≠0，∴sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB=，∵a＞b，∴∠A＞∠B，即∠B为锐角，则∠B=．故选A点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．7．（5分）（2013•辽宁）使得（n∈N+）的展开式中含有常数项的最小的n为（）A．4B．5C．6D．7考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式T r+1=3n﹣r••，令x的幂指数n﹣r=0即可求得展开式中含有常数项的最小的n．解答：解：设（n∈N+）的展开式的通项为T r+1，则：T r+1=3n﹣r••x n﹣r•=3n﹣r••，令n﹣r=0得：n=r，又n∈N+，∴当r=2时，n最小，即n min=5．故选B．点评：本题考查二项式系数的性质，求得n﹣r=0是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．8．（5分）（2013•辽宁）执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．考点：循环结构．专题：计算题；图表型．分析：框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，在输入n的值为10后，对i的值域n的值大小加以判断，满足i≤n，执行，i=i+2，不满足则跳出循环，输出S．解答：解：输入n的值为10，框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，判断2≤10成立，执行，i=2+2=4；判断4≤10成立，执行=，i=4+2=6；判断6≤10成立，执行，i=6+2=8；判断8≤10成立，执行，i=8+2=10；判断10≤10成立，执行，i=10+2=12；判断12≤10不成立，跳出循环，算法结束，输出S的值为．故选A．点评：本题考查了循环结构中的当型循环，即先判断后执行，满足条件，执行循环，不满足条件跳出循环，算法结束，是基础题．9．（5分）（2013•辽宁）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB为直角三角形，则必有（）A．b=a3B．C．D．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：利用已知可得=（a，a3﹣b），，=（a，a3），且ab≠0．分以下三种情况：①，②，③，利用垂直与数量积的关系即可得出．解答：解：∵=（a，a3﹣b），，=（a，a3），且ab≠0．①若，则=ba3=0，∴a=0或b=0，但是ab≠0，应舍去；②若，则=b（a3﹣b）=0，∵b≠0，∴b=a3≠0；③若，则=a2+a3（a3﹣b）=0，得1+a4﹣ab=0，即．综上可知：△OAB为直角三角形，则必有．故选C．点评：熟练掌握垂直与数量积的关系、分类讨论的思想方法是解题的关键．10．（5分）（2013•辽宁）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）A．B．C．D．考点：球内接多面体；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：通过球的内接体，说明几何体的侧面对角线是球的直径，求出球的半径．解答：解：因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面B1BCC1，经过球的球心，球的直径是其对角线的长，因为AB=3，AC=4，BC=5，BC1=，所以球的半径为：．故选C．点评：本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力．11．（5分）（2013•辽宁）已知函数f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（）A．16 B．﹣16 C．﹣16a2﹣2a﹣16 D．16a2+2a﹣16考点：函数的值域．专题：压轴题；新定义；函数的性质及应用．分析：先作差得到h（x）=f（x）﹣g（x）=2（x﹣a）2﹣8．分别解出h（x）=0，h（x）＞0，h（x）＜0．画出图形，利用新定义即可得出H1（x），H2（x）．进而得出A，B 即可．解答：解：令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣2（a+2）x+a2﹣[﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8]=2x2﹣4ax+2a2﹣8=2（x﹣a）2﹣8．①由2（x﹣a）2﹣8=0，解得x=a±2，此时f（x）=g（x）；②由h（x）＞0，解得x＞a+2，或x＜a﹣2，此时f（x）＞g（x）；③由h（x）＜0，解得a﹣2＜x＜a+2，此时f（x）＜g（x）．综上可知：（1）当x≤a﹣2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x）=[x﹣（a+2）]2﹣4a﹣4，H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x）=﹣[x﹣（a﹣2）]2﹣4a+12，（2）当a﹣2≤x≤a+2时，H1（x）=max{f（x），g（x）}=g（x），H2（x）=min{f（x），g（x）}=f（x）；（3）当x≥a+2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x），H2（x）=min{f（x），g （x）}=g（x），故A=g（a+2）=﹣[（a+2）﹣（a﹣2）]2﹣4a+12=﹣4a﹣4，B=g（a﹣2）=﹣4a+12，∴A﹣B=﹣4a﹣4﹣（﹣4a+12）=﹣16．故选：B．点评：熟练掌握作差法、二次函数图象的画法及其单调性、一元二次不等式的解法、数形结合的思想方法及正确理解题意是解题的关键．12．（5分）（2013•辽宁）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值考点：函数在某点取得极值的条件；导数的运算．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：令F（x）=x2f（x），利用导数的运算法则，确定f′（x）=，再构造新函数，确定函数的单调性，即可求得结论．解答：解：∵函数f（x）满足，∴令F（x）=x2f（x），则F′（x）=，F（2）=4•f（2）=．由，得f′（x）=，令φ（x）=e x﹣2F（x），则φ′（x）=e x﹣2F′（x）=．∴φ（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，∴φ（x）的最小值为φ（2）=e2﹣2F（2）=0．∴φ（x）≥0．又x＞0，∴f′（x）≥0．∴f（x）在（0，+∞）单调递增．∴f（x）既无极大值也无极小值．故选D．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）（2013•辽宁）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是16π﹣16．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：首先判断该几何体的形状，然后计算其体积即可．解答：解：根据三视图可知，该几何体为圆柱中挖去一个四棱柱，圆柱是底面外径为2，高为4的圆筒，四棱柱的底面是边长为2的正方形，高也为4．故其体积为：22π×4﹣22×4=16π﹣16，故答案为：16π﹣16．点评：本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断该几何体为圆柱中挖去一个棱柱，然后利用柱体的体积计算方法计算其体积差即可．14．（5分）（2013•辽宁）已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6=63．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：通过解方程求出等比数列{a n}的首项和第三项，然后求出公比，直接利用等比数列前n项和公式求前6项和．解答：解：解方程x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4．因为数列{a n}是递增数列，且a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，所以a1=1，a3=4．设等比数列{a n}的公比为q，则，所以q=2．则．故答案为63．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．15．（5分）（2013•辽宁）已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e=．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设椭圆右焦点为F'，连接AF'、BF'，可得四边形AFBF'为平行四边形，得|AF|=|BF'|=6．△ABF中利用余弦定理算出|BF|=8，从而得到|AF|2+|BF|2=|AB|2，得∠AFB=90°，所以c=|OF|=|AB|=5．根据椭圆的定义得到2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7，最后结合椭圆的离心率公式即可算出椭圆C的离心率．解答：解：设椭圆的右焦点为F'，连接AF'、BF'∵AB与FF'互相平分，∴四边形AFBF'为平行四边形，可得|AF|=|BF'|=6∵△ABF中，|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，∴由余弦定理|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB|×|BF|cos∠ABF，可得62=102+|BF|2﹣2×10×|BF|×，解之得|BF|=8由此可得，2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7∵△ABF中，|AF|2+|BF|2=100=|AB|2∴∠AFB=90°，可得|OF|=|AB|=5，即c=5因此，椭圆C的离心率e==故答案为：点评：本题给出椭圆经过中心的弦AB与左焦点构成三边分别为6、8、10的直角三角形，求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的定义与标准方程、椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题．16．（5分）（2013•辽宁）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为10．考点：总体分布的估计；极差、方差与标准差．专题：压轴题；概率与统计．分析：本题可运用平均数公式求出平均数，再运用方差的公式列出方差表达式，再讨论样本数据中的最大值的情况，即可解决问题．解答：解：设样本数据为：x1，x2，x3，x4，x5，平均数=（x1+x2+x3+x4+x5）÷5=7；方差s2=[（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2+（x5﹣7）2]÷5=4．从而有x1+x2+x3+x4+x5=35，①（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2+（x5﹣7）2=20．②若样本数据中的最大值为11，不妨设x5=11，则②式变为：（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2=4，由于样本数据互不相同，这是不可能成立的；若样本数据为4，6，7，8，10，代入验证知①②式均成立，此时样本数据中的最大值为10．故答案为：10．点评：本题考查的是平均数和方差的求法．计算方差的步骤是：①计算数据的平均数；②计算偏差，即每个数据与平均数的差；③计算偏差的平方和；④偏差的平方和除以数据个数．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）（2013•辽宁）设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．考点：平面向量数量积的运算；向量的模；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：平面向量及应用．分析：（1）由条件求得，的值，再根据以及x的范围，可的sinx的值，从而求得x的值．（2）利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x ﹣）+．结合x的范围，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值．解答：解：（1）由题意可得=+sin2x=4sin2x，=cos2x+sin2x=1，由，可得4sin2x=1，即sin2x=．∵x∈[0，]，∴sinx=，即x=．（2）∵函数=（sinx，sinx）•（cosx，sinx）=sinxcosx+sin2x=sin2x+=sin（2x﹣）+．x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴当2x﹣=，sin（2x﹣）+取得最大值为1+=．点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18．（12分）（2013•辽宁）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角C﹣PB﹣A的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）要证平面PAC⊥平面PBC，只要证明平面PBC经过平面PAC的一条垂线BC 即可，利用题目给出的条件借助于线面垂直的判定定理能够证明BC⊥平面PAC；（Ⅱ）因为平面PAB和平面ABC垂直，只要在平面ABC内过C作两面的交线AB 的垂线，然后过垂足再作PB的垂线，连结C和后一个垂足即可得到二面角C﹣PB﹣A的平面角，然后在作出的直角三角形中通过解直角三角形即可求得二面角C﹣PB﹣A的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：如图，由AB是圆的直径，得AC⊥BC．由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC．又PA∩AC=A，PA⊂平面APC，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC．因为BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC；（Ⅱ）解：过C作CM⊥AB于M，因为PA⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，所以PA⊥CM，故CM⊥平面PAB．过M作MN⊥PB于N，连接NC．由三垂线定理得CN⊥PB．所以∠CNM为二面角C﹣PB﹣A的平面角．在Rt△ABC中，由AB=2，AC=1，得，，．在Rt△ABP中，由AB=2，AP=1，得．因为Rt△BNM∽Rt△BAP，所以．故MN=．又在Rt△CNM中，．故cos．所以二面角C﹣PB﹣A的余弦值为．点评：本题考查了平面与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角及其求法，“寻找垂面，构造垂线”是找二面角的平面角常用的方法，此题是中档题．19．（12分）（2013•辽宁）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：（I）从10道试题中取出3个的所有可能结果数有，张同学至少取到1道乙类题的对立事件是：张同学取到的全为甲类题，代入古典概率的求解公式即可求解（II）先判断随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值解答：解：（I）设事件A=“张同学至少取到1道乙类题”则=张同学至少取到的全为甲类题∴P（A）=1﹣P（）=1﹣=（II）X的所有可能取值为0，1，2，3P （X=0）==P（X=1）==P（X=2）=+=P（X=3）==X的分布列为X 0 1 2 3PEX=点评：本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力．20．（12分）（2013•辽宁）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1﹣时，切线MA的斜率为﹣．（Ⅰ）求P的值；（Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．专题：综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义，先表示出切线方程，再由M在抛物线上及在直线上两个前提下，得到相应的方程，解出p值．（Ⅱ）由题意，可先设出A，B两个端点的坐标及中点的坐标，再由中点坐标公式建立方程，直接求解出中点N的轨迹方程解答：解：（Ⅰ）因为抛物线C1：x2=4y上任意一点（x，y）的切线斜率为y′=，且切线MA的斜率为﹣，所以A点的坐标为（﹣1，），故切线MA的方程为y=﹣（x+1）+因为点M（1﹣，y0）在切线MA及抛物线C2上，于是y0=﹣（2﹣）+=﹣①∴y0=﹣=﹣②解得p=2（Ⅱ）设N（x，y），A（x1，），B（x2，），x1≠x2，由N为线段AB中点知x=③，y==④切线MA，MB的方程为y=（x﹣x1）+，⑤；y=（x﹣x2）+⑥，由⑤⑥得MA，MB的交点M（x0，y0）的坐标满足x0=，y0=因为点M（x0，y0）在C2上，即x02=﹣4y0，所以x1x2=﹣⑦由③④⑦得x2=y，x≠0当x1=x2时，A，B丙点重合于原点O，A，B中点N为O，坐标满足x2=y因此中点N的轨迹方程为x2=y点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，此类题运算较繁，解答的关键是合理引入变量，建立起相应的方程，本题探索性强，属于能力型题21．（12分）（2013•辽宁）已知函数f（x）=（1+x）e﹣2x，g（x）=ax++1+2xcosx，当x∈[0，1]时，（I）求证：；（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：（I）①当x∈[0，1）时，（1+x）e﹣2x≥1﹣x⇔（1+x）e﹣x≥（1﹣x）e x，令h（x）=（1+x）e﹣x﹣（1﹣x）e x，利用导数得到h（x）的单调性即可证明；②当x∈[0，1）时，⇔e x≥1+x，令u（x）=e x﹣1﹣x，利用导数得出h（x）的单调性即可证明．（II）利用（I）的结论得到f（x）≥1﹣x，于是G（x）=f（x）﹣g（x）≥=．再令H（x）=，通过多次求导得出其单调性即可求出a的取值范围．解答：（I）证明：①当x∈[0，1）时，（1+x）e﹣2x≥1﹣x⇔（1+x）e﹣x≥（1﹣x）e x，令h（x）=（1+x）e﹣x﹣（1﹣x）e x，则h′（x）=x（e x﹣e﹣x）．当x∈[0，1）时，h′（x）≥0，∴h（x）在[0，1）上是增函数，∴h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥1﹣x．②当x∈[0，1）时，⇔e x≥1+x，令u（x）=e x﹣1﹣x，则u′（x）=e x﹣1．当x∈[0，1）时，u′（x）≥0，∴u（x）在[0，1）单调递增，∴u（x）≥u（0）=0，∴f（x）．综上可知：．（II）解：设G（x）=f（x）﹣g（x）=≥=．令H（x）=，则H′（x）=x﹣2sinx，令K（x）=x﹣2sinx，则K′（x）=1﹣2cosx．当x∈[0，1）时，K′（x）＜0，可得H′（x）是[0，1）上的减函数，∴H′（x）≤H′（0）=0，故H（x）在[0，1）单调递减，∴H（x）≤H（0）=2．∴a+1+H（x）≤a+3．∴当a≤﹣3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上恒成立．下面证明当a＞﹣3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上不恒成立．f（x）﹣g（x）≤==﹣x．令v（x）==，则v′（x）=．当x∈[0，1）时，v′（x）≤0，故v（x）在[0，1）上是减函数，∴v（x）∈（a+1+2cos1，a+3]．当a＞﹣3时，a+3＞0．∴存在x0∈（0，1），使得v（x0）＞0，此时，f（x0）＜g（x0）．即f（x）≥g（x）在[0，1）不恒成立．综上实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、等价转化、作差比较大小、放缩法等基础知识与基本技能，考查了推理能力、计算能力和分析问题、解决问题的能力．请考生在21、22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

2013年辽宁省高考数学试卷(文科)答案与解析

2013年辽宁省高考数学试卷(文科)答案与解析

2013年辽宁省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）2．（5分）（2013•辽宁）复数的模长为（）B解：复数==3．（5分）（2013•辽宁）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为B=，|再根据与向量=，|=5则与向量，4．（5分）（2013•辽宁）下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{a n+3nd}是递增数列；对于数列=，不一定是正实数，5．（5分）（2013•辽宁）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）则该班的学生人数是=506．（5分）（2013•辽宁）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=（）BsinAsinBcosC+sinCsinBcosA=，B=7．（5分）（2013•辽宁）已知函数f（x）=ln﹣3x）+1，则f（lg2）+f=是奇函数以及对数值，解：函数++1++8．（5分）（2013•辽宁）执行如图所示的程序框图，若输入n=8，则输出S=（）BS=0+，S=+，S=+，S=+，S=．9．（5分）（2013•辽宁）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB为直角三角=，①②③=，=，则，则，则．为直角三角形，则必有10．（5分）（2013•辽宁）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，B，所以球的半径为：11．（5分）（2013•辽宁）已知椭圆C：的左焦点F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连结AF，BF，若|AB|=10，|AF|=6，，则C的离心率B12．（5分）（2013•辽宁）已知函数f（x）满足f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}（max （p，q）表示p，q中的较大值，min（p，q）表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值或二、填空题13．（5分）（2013•辽宁）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是16π﹣16．14．（5分）（2013•辽宁）已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6=63．，则15．（5分）（2013•辽宁）已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则△PQF的周长为44．的左焦点16．（5分）（2013•辽宁）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为10．三、解答题17．（12分）（2013•辽宁）设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．）由条件求得，的值，再根据以及）．结合=+sin，，可得．]sinx=，即．（sin2x+﹣]∈，]﹣=）取得最大值为=．18．（12分）（2013•辽宁）如图，AB是圆O的直径，PA⊥圆O所在的平面，C是圆O上的点．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）若Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC．19．（12分）（2013•辽宁）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．（1）所取的2道题都是甲类题的概率；（2）所取的2道题不是同一类题的概率．=15=6．20．（12分）（2013•辽宁）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1﹣时，切线MA的斜率为﹣．（Ⅰ）求P的值；（Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．，且切线的斜率为﹣，﹣（，（）=﹣﹣﹣），y=（（yy21．（12分）（2013•辽宁）（1）证明：当x∈[0，1]时，；（2）若不等式对x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围．x﹣，）与（≥+x．）时，，（[，x+2﹣﹣+2﹣﹣xx[x（和中的较小值）满足+请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

2013年高考数学全国卷1(完整试题 答案 解析)

2013年高考数学全国卷1(完整试题 答案 解析)

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．考试时间120分钟．满分150分． 答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第Ⅰ卷答题卡和第Ⅱ卷答题纸规定的位置． 参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差nx x x x x x s n 22221)()()(-++-+-=其中x 为样本平均数球的面积公式24R S π=第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 2．第Ⅰ卷只有选择题一道大题．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数i i++121（i 是虚数单位）的虚部是 A ．23 B ．21 C ．3 D ．12.已知R 是实数集，{}11,12+-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=x y y N x x M，则=M C N R A ．)2,1(B ．[]2,0C .∅D ．[]2,13.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这个数组的标准差是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．44.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，0852=-a a ，则=24S S A ．5 B ．8 C ．8- D ．15 5.已知函数)62sin()(π-=x x f ，若存在),0(π∈a ，使得)()(a x f a x f -=+恒成立，则a 的值是 A ．6π B ．3π C ．4π D ．2π 6.已知m 、n 表示直线，γβα,,表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为（1）βααβα⊥⊥⊂=则,,,m n n m （2）m n n m ⊥==⊥则,,,γβγαβα（3）,,βα⊥⊥m m则α∥β（4）βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n mA ．（1）、（2）B ．（3）、（4）C ．（2）、（3）D ．（2）、（4）7.已知平面上不共线的四点C B A O ,,,，若||,23BC -=等于A ．1B ．2C ．3D ．4 8.已知三角形ABC ∆的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为23，则这个三角形的周长是 A ．18 B ．21 C ．24 D ．15 9.函数xx x f 1lg )(-=的零点所在的区间是 A ．(]1,0 B ．(]10,1 C ．(]100,10 D ．),100(+∞10.过直线y x =上一点P 引圆22670x y x +-+=的切线，则切线长的最小值为A ．22 B ．223 C ．210 D ．211.已知函数b ax x x f 2)(2-+=.若b a ,都是区间[]4,0内的数，则使0)1(>f 成立的概率是A ．43 B ．41 C ．83D ．85 12.已知双曲线的标准方程为116922=-y x ，F 为其右焦点，21,A A 是实轴的两端点，设P 为双曲线上不同于21,A A 的任意一点，直线P A P A 21,与直线a x =分别交于两点N M ,,若0=⋅,则a 的值为 A ．916 B ．59 C ．925 D ．516 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）题图第13注意事项：1． 请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．2． 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效． 3． 第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13.如图所示的程序框图输出的结果为__________.14. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为__________.15.地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为)4.11(lg 32-=E R ．2011年3月11日，日本东海岸发生了9.0级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为8.0级，那么2011年地震的能量是2008年地震能量的倍．16.给出下列命题： ①已知,,a b m 都是正数，且bab a >++11，则a b <； ②已知()f x '是()f x 的导函数，若,()0x R f x '∀∈≥，则(1)(2)f f <一定成立；③命题“x R ∃∈，使得2210x x -+<”的否定是真命题；④“1,1≤≤y x且”是“2≤+y x ”的充要条件.其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)三、解答题：本大题共６小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知向量),2cos 2sin 3()2cos ,1(y xx b x a +==→→与共线，且有函数)(x f y =．（Ⅰ）若1)(=x f ，求)232cos(x -π的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，角C B A ,,,的对边分别是c b a ,,，且满足b c C a 2cos 2=+，求函数)(B f 的第14题图取值范围.18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S Sd 且1341,,a a a 成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）已知四棱锥BCDEA -，其中1====BE AC BC AB ，2=CD ，ABC CD 面⊥，BE ∥CD ，F为AD 的中点.（Ⅰ）求证：EF ∥面ABC；（Ⅱ）求证：面ACD ADE 面⊥； （III ）求四棱锥BCDEA -的体积.20.（本小题满分12分）在某种产品表面进行腐蚀性检验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 之间对应的一组数据：现确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再对被选取的ABCDEF2组数据进行检验．（Ⅰ）求选取的2组数据恰好不相邻的概率；（Ⅱ）若选取的是第2组和第5组数据，根据其它4组数据，求得y关于x 的线性回归方程26139134ˆ+=x y，规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2微米，则认为得到的线性回归方程是可靠的，判断该线性回归方程是否可靠．21.（本小题满分12分）已知函数1)(2++=x bax x f 在点))1(,1(--f 的切线方程为03=++y x .（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设x x g ln )(=，求证：)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立.22.（本小题满分14分） 实轴长为34的椭圆的中心在原点，其焦点1,2,F F 在x 轴上.抛物线的顶点在原点O ，对称轴为y 轴，两曲线在第一象限内相交于点A ,且12AF AF ⊥，△12AF F 的面积为3.（Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；（Ⅱ）过点A 作直线l 分别与抛物线和椭圆交于CB ,,若AB AC 2=,求直线l 的斜率k .参考答案及评分标准一． 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）B D B A D B B D BC C B二． 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）13．2 14.π31915.231016. ①③三．解答题17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵→a 与→b 共线∴yxx x 2cos 2cos2sin 31=+21)6sin()cos 1(21sin 232cos 2cos 2sin 32++=++=+=πx x x x x x y …………3分∴121)6sin()(=++=πx x f ，即21)6si n (=+πx …………………………………………4分211)6(sin 21)3(cos 2)3(2cos )232cos(22-=-+=--=-=-ππππx x x x …………………………………………6分 （Ⅱ）已知b c C a 2cos 2=+由正弦定理得：CA C A C C A C ABC C A sin cos 2cos sin 2sin cos sin 2)sin(2sin 2sin cos sin 2+=++==+∴21cos=A ，∴在ABC ∆中 ∠3π=A …………………………………………8分21)6sin()(++=πB B f∵∠3π=A ∴320π<<B ,6566πππ<+<B (10)分∴1)6sin(21≤+<πB ,23)(1≤<B f ∴函数)(B f 的取值范围为]23,1( …………………………………………12分18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）依题意得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⨯++⨯+)12()3(5025452233112111d a a d a d a d a …………………………………………2分 解得⎩⎨⎧==231d a ， …………………………………………4分1212)1(23)1(1+=+=-+=-+=∴n a n n d n a a n n 即，．……………………………6分(Ⅱ)13-=n nna b ，113)12(3--⋅+=⋅=n n n n n a b …………………………………………7分123)12(37353-⋅+++⋅+⋅+=n n n Tn n n n n T 3)12(3)12(3735333132⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅=- ……………………9分n n n n T 3)12(3232323212+-⋅++⋅+⋅+=--nnn n n 323)12(31)31(3231⋅-=+---⋅+=- ∴n n n T 3⋅= …………………………………………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）取AC 中点G,连结FG 、BG ， ∵F,G 分别是AD,AC 的中点 ∴FG ∥CD,且FG=21DC=1 ．∵BE ∥CD ∴FG 与BE 平行且相等∴EF ∥BG ． ……………………………2分ABC BG ABC EF 面面⊂⊄,∴EF ∥面ABC……………………………4分ABCDEF G（Ⅱ）∵△ABC 为等边三角形 ∴BG ⊥AC 又∵DC ⊥面ABC,BG ⊂面ABC ∴DC ⊥BG ∴BG 垂直于面ADC 的两条相交直线AC,DC ，∴BG ⊥面ADC ． …………………………………………6分 ∵EF ∥BG ∴E F ⊥面ADC∵EF ⊂面ADE ，∴面ADE ⊥面ADC ． …………………………………………8分 （Ⅲ）连结EC,该四棱锥分为两个三棱锥E －ABC 和E －ADC ．43631232313114331=+=⨯⨯+⨯⨯=+=---ACD E ABC E BCDE A V V V ．………………………12分另法：取BC 的中点为O ，连结AO ，则BCAO ⊥，又⊥CD 平面ABC,∴C CD BC AO CD =⊥ , , ∴⊥AO 平面B C D E ，∴AO为BCDEA V -的高，43232331,2321)21(,23=⨯⨯=∴=⨯+==-BCD EA B CD EV S AO ． 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设6组数据的编号分别为1,2,3,4,5,6.设抽到不相邻的两组数据为事件A ，从6组数据中选取2组数据共有15种情况：（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）（3,4）（3,5）（3,6）（4,5）（4,6）（5,6），其中事件A 包含的基本事件有10种． …………………………………………3分所以321510)(==A P ．所以选取的2组数据恰好不相邻的概率是32． ………………………6分(Ⅱ) 当10=x时，;2|1026219|,262192613910134ˆ<-=+⨯=y……………………………………9分 当30=x时，;2|1626379|,263792613930134ˆ<-=+⨯=y所以，该研究所得到的回归方程是可靠的． …………………………………………12分 21．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）将1-=x代入切线方程得2-=y∴211)1(-=+-=-ab f ，化简得4-=-a b ． …………………………………………2分222)1(2)()1()(x xb ax x a x f +⋅+-+=' 12424)(22)1(-===-+=-'bb a b a f ． …………………………………………4分 解得：2,2-==b a∴122)(2+-=x x x f ． …………………………………………6分（Ⅱ）由已知得122ln 2+-≥x x x 在),1[+∞上恒成立化简得22ln )1(2-≥+x x x即022ln ln 2≥+-+x x x x在),1[+∞上恒成立 ． …………………………………………8分 设22ln ln )(2+-+=x x x x x h ，21ln 2)(-++='xx x x x h ∵1≥x∴21,0ln 2≥+≥xx x x ，即0)(≥'x h ． …………………………………………10分∴)(x h 在),1[+∞上单调递增，0)1()(=≥h x h∴)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立 ． …………………………………………12分22．（本小题满分14分）解（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，12,AF m AF n ==由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=+6344222m n n m c n m …………………………………………2分解得92=c，∴39122=-=b ．∴椭圆的方程为131222=+y x …………………………………………4分 ∵3=⨯c y A ，∴1=A y ,代入椭圆的方程得22=A x ，将点A 坐标代入得抛物线方程为y x 82=． …………………………………………6分（2）设直线l 的方程为)22(1-=-x k y ，),(),,(2211y x C y x B由AB AC 2= 得)22(22212-=-x x ，化简得22221=-x x …………………………………………8分联立直线与抛物线的方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=-yx x k y 8)22(12，得0821682=-+-k kx x∴k x 8221=+① …………………………………………10分联立直线与椭圆的方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-124)22(122y x x k y得0821632)2168()41(2222=--+-++k k x k k x k∴22241821622k kk x +-=+② …………………………………………12分∴2222418216)228(222221=++---=-k kk k x x整理得：0)4121)(2416(2=+--kkk∴42=k ，所以直线l 的斜率为42 ． …………………………………………14分。

2013年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析

2013年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析

2013年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）（2013•上海）计算：=．考点：数列的极限．专题：计算题．分析：由数列极限的意义即可求解．解答：解：==，故答案为：．点评：本题考查数列极限的求法，属基础题．2．（4分）（2013•上海）设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=﹣2．考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：根据纯虚数的定义可得m2﹣1=0，m2﹣1≠0，由此解得实数m的值．解答：解：∵复数z=（m2+m﹣2）+（m﹣1）i为纯虚数，∴m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，解得m=﹣2，故答案为：﹣2．点评：本题主要考查复数的基本概念，得到m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，是解题的关键，属于基础题．3．（4分）（2013•上海）若=，x+y=0．考点：二阶行列式的定义．专题：常规题型．分析：利用行列式的定义，可得等式，配方即可得到结论．解答：解：∵=，∴x2+y2=﹣2xy∴（x+y）2=0∴x+y=0故答案为0点评：本题考查二阶行列式的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．4．（4分）（2013•上海）已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若3a2+2ab+3b2﹣3c2=0，则角C的大小是．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：把式子3a2+2ab+3b2﹣3c2=0变形为，再利用余弦定理即可得出．解答：解：∵3a2+2ab+3b2﹣3c2=0，∴，∴==．∴C=．故答案为．点评：熟练掌握余弦定理及反三角函数是解题的关键．5．（4分）（2013•上海）设常数a∈R，若的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则a=﹣2．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r+1项，令x的指数为7求得x7的系数，列出方程求解即可．解答：解：的展开式的通项为T r+1=C5r x10﹣2r（）r=C5r x10﹣3r a r令10﹣3r=7得r=1，∴x7的系数是aC51∵x7的系数是﹣10，∴aC51=﹣10，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题主要考查了二项式系数的性质．二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．6．（4分）（2013•上海）方程+=3x﹣1的实数解为log34．考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：化简方程+=3x﹣1为=3x﹣1，即（3x﹣4）（3x+2）=0，解得3x=4，可得x的值．解答：解：方程+=3x﹣1，即=3x﹣1，即8+3x=3x﹣1（3x+1﹣3），化简可得32x﹣2•3x﹣8=0，即（3x﹣4）（3x+2）=0．解得3x=4，或3x=﹣2（舍去），∴x=log34，故答案为log34．点评：本题主要考查指数方程的解法，指数函数的值域，一元二次方程的解法，属于基础题．7．（4分）（2013•上海）在极坐标系中，曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式．专题：计算题．分析：联立ρ=cosθ+1与ρcosθ=1消掉θ即可求得ρ，即为答案．解答：解：由ρ=cosθ+1得，cosθ=ρ﹣1，代入ρcosθ=1得ρ（ρ﹣1）=1，解得ρ=或ρ=（舍），所以曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为，故答案为：．点评：本题考查两点间距离公式、极坐标与直角坐标的互化，属基础题．8．（4分）（2013•上海）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：利用组合知识求出从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数，再求出从5个奇数中任意取出2个奇数的取法种数，求出取出的两个球的编号之积为奇数的概率，利用对立事件的概率求出取出两个球的编号之积为偶数的概率．解答：解：从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数为种．取出的两个球的编号之积为奇数的方法种数为种．则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为．所以取出两个球的编号之积为偶数的概率是．故答案为点评：本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了简单的排列组合知识，考查了对立事件的概率，解答的关键是明确取到的两数均为奇数时其乘积为奇数，是基础题．9．（4分）（2013•上海）设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为．考点：椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意画出图形，设椭圆的标准方程为，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C的坐标，再根据点C在椭圆上求得b值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案．解答：解：如图，设椭圆的标准方程为，由题意知，2a=4，a=2．∵∠CBA=，BC=，∴点C的坐标为C（﹣1，1），因点C在椭圆上，∴，∴b2=，∴c2=a2﹣b2=4﹣=，c=，则Γ的两个焦点之间的距离为．故答案为：．点评：本题考查椭圆的定义、解三角形，以及椭圆的简单性质的应用．10．（4分）（2013•上海）设非零常数d是等差数列x1，x2，…，x19的公差，随机变量ξ等可能地取值x1，x2，…，x19，则方差Dξ=30d2．考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：利用等差数列的前n项和公式可得x1+x2+…+x19=和数学期望的计算公式即可得出Eξ，再利用方差的计算公式即可得出Dξ=即可得出．解答：解：由题意可得Eξ===x1+9d．∴x n﹣Eξ=x1+（n﹣1）d﹣（x1+9d）=（n﹣10）d，∴Dξ=+…+（﹣d）2+0+d2+（2d）2+…+（9d）2]===30d2．故答案为：30d2．点评：熟练掌握等差数列的前n项和公式、数学期望和方差的计算公式是解题的关键．11．（4分）（2013•上海）若cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，则sin（x+y）=．考点：三角函数的和差化积公式；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：利用两角差的余弦公式及cosxcosy+sinxsiny=，可得cos（x﹣y）=，再利用和差化积公式sin2x+sin2y=，得到2sin（x+y）cos（x﹣y）=，即可得出sin（x+y）．解答：解：∵cosxcosy+sinxsiny=，∴cos（x﹣y）=．∵sin2x+sin2y=，∴sin[（x+y）+（x﹣y）]+sin[（x+y）﹣（x﹣y）]=，∴2sin（x+y）cos（x﹣y）=，∴，∴sin（x+y）=．故答案为．点评：熟练掌握两角和差的正弦余弦公式及和差化积公式是解题的关键．12．（4分）（2013•上海）设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f （x）=9x++7．若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为．．考点：函数奇偶性的性质；基本不等式．专题：函数的性质及应用．分析：先利用y=f（x）是定义在R上的奇函数求出x≥0时函数的解析式，将f（x）≥a+1对一切x≥0成立转化为函数的最小值≥a+1，利用基本不等式求出f（x）的最小值，解不等式求出a的范围．解答：解：因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以当x=0时，f（x）=0；当x＞0时，则﹣x＜0，所以f（﹣x）=﹣9x﹣+7因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x）=9x+﹣7；因为f（x）≥a+1对一切x≥0成立，所以当x=0时，0≥a+1成立，所以a≤﹣1；当x＞0时，9x+﹣7≥a+1成立，只需要9x+﹣7的最小值≥a+1，因为9x+﹣7≥2=6|a|﹣7，所以6|a|﹣7≥a+1，解得，所以．故答案为：．点评：本题考查函数解析式的求法；考查解决不等式恒成立转化成求函数的最值；利用基本不等式求函数的最值．13．（4分）（2013•上海）在xOy平面上，将两个半圆弧（x﹣1）2+y2=1（x≥1）和（x﹣3）2+y2=1（x≥3），两条直线y=1和y=﹣1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分，记D绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω．过（0，y）（|y|≤1）作Ω的水平截面，所得截面积为4π+8π．试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为2π2+16π．考点：进行简单的合情推理．专题：计算题；压轴题；阅读型．分析：由题目给出的Ω的水平截面的面积，可猜想水平放置的圆柱和长方体的量，然后直接求出圆柱的体积与长方体的体积作和即可．解答：解：因为几何体为Ω的水平截面的截面积为4+8π，该截面的截面积由两部分组成，一部分为定值8π，看作是截一个底面积为8π，高为2的长方体得到的，对于4，看作是把一个半径为1，高为2π的圆柱平放得到的，如图所示，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，即Ω的体积为π•12•2π+2•8π=2π2+16π．故答案为2π2+16π．点评：本题考查了简单的合情推理，解答的关键是由几何体Ω的水平截面面积想到水平放置的圆柱和长方体的有关量，是中档题．14．（4分）（2013•上海）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，则x0=2．考点：反函数；函数的零点．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：根据互为反函数的两函数定义域、值域互换可判断：当x∈[0，1）时，x∈[1，2）时f （x）的值域，进而可判断此时f（x）=x无解；由f（x）在定义域[0，3]上存在反函数可知：x∈[2，3]时，f（x）的取值集合，再根据方程f（x）=x有解即可得到x0的值．解答：解：因为g（I）={y|y=g（x），x∈I}，f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（2，4]）=[0，1），所以对于函数f（x），当x∈[0，1）时，f（x）∈（2，4]，所以方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解；当x∈[1，2）时，f（x）∈[0，1），所以方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解；所以当x∈[0，2）时方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解，又因为方程f（x）﹣x=0有解x0，且定义域为[0，3]，故当x∈[2，3]时，f（x）的取值应属于集合（﹣∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞），故若f（x0）=x0，只有x0=2，故答案为：2．点评：本题考查函数的零点及反函数，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）（2013•上海）设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）考点：集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用；集合．分析：当a＞1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R时的a 的范围；当a=1时，易得A=R，符合题意；当a＜1时，同样求出集合A，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围．综上，得到满足题意的a范围．解答：解：当a＞1时，A=（﹣∞，1]∪[a，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤1，∴1＜a≤2；当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；当a＜1时，A=（﹣∞，a]∪[1，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤a，显然成立，∴a＜1；综上，a的取值范围是（﹣∞，2]．故选B．点评：此题考查了并集及其运算，二次不等式，以及不等式恒成立的条件，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．16．（5分）（2013•上海）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：因为“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．再据命题的真假与条件的关系判定出“不便宜”是“好货”的必要条件．解答：解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选B点评：本题考查互为逆否命题的真假一致；考查据命题的真假判定条件关系，属于基础题．17．（5分）（2013•上海）在数列（a n）中，a n=2n﹣1，若一个7行12列的矩阵的第i行第j 列的元素c ij=a i•a j+a i+a j（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（）A．18 B．28 C．48 D．63考点：数列的函数特性．专题：压轴题．分析：由于该矩阵的第i行第j列的元素c ij=a i•a j+a i+a j=（2i﹣1）（2j﹣1）+2i﹣1+2j﹣1=2i+j ﹣1（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），要使a ij=a mn（i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12）．则满足2i+j﹣1=2m+n﹣1，得到i+j=m+n，由指数函数的单调性可得：当i+j≠m+n时，a ij≠a mn，因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，即可得出．解答：解：该矩阵的第i行第j列的元素c ij=a i•a j+a i+a j=（2i﹣1）（2j﹣1）+2i﹣1+2j﹣1=2i+j ﹣1（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），当且仅当：i+j=m+n时，a ij=a mn（i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12），因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，其和为2，3，…，19，共18个不同数值．故选A．点评：由题意得出：当且仅当i+j=m+n时，a ij=a mn（i，m=1，2，...，7；j，n=1，2， (12)是解题的关键．18．（5分）（2013•上海）在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．若m、M分别为（++）•（++）的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，则m、M满足（）A．m=0，M＞0 B．m＜0，M＞0 C．m＜0，M=0 D．m＜0，M＜0考点：平面向量数量积的运算；进行简单的合情推理．专题：压轴题；平面向量及应用．分析：利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，从而可结论．解答：解：由题意，以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、，∴利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，∵m、M分别为（++）•（++）的最小值、最大值，∴m＜0，M＜0故选D．点评：本题考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，分析出向量数量积的正负是关键．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）（2013•上海）如图，在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=2，AD=1，AA′=1．证明直线BC′平行于平面D′AC，并求直线BC′到平面D′AC的距离．考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：解法一：证明ABC′D′为平行四边形，可得BC′∥AD′，再利用直线和平面平行的判定定理证得直线BC′平行于平面D′AC．所求的距离即点B到平面D′AC的距离，设为h，再利用等体积法求得h的值．解法二：建立空间直角坐标系，求出平面D′AC的一个法向量为=（2，1，﹣2），再根据=﹣0，可得⊥，可得直线BC′平行于平面D′AC．求出点B到平面D′AC的距离d=的值，即为直线BC′到平面D′AC的距离．解答：解：解法一：因为ABCD﹣A′B′C′D′为长方体，故AB∥C′D′，AB=C′D′，故ABC′D′为平行四边形，故BC′∥AD′，显然BC′不在平面D′AC内，于是直线BC′平行于平面D′AC．直线BC′到平面D′AC的距离即为点B到平面D′AC的距离，设为h，考虑三棱锥D′﹣ABC的体积，以ABC为底面，可得三棱锥D′﹣ABC的体积为V==，而△AD′C中，AC=D′C=，AD′=，故△CAD′的底边AD′上的高为，故△CAD′的面积S△CAD′=••=，所以，V==⇒h=，即直线BC′到平面D′AC的距离为．解法二：以D′A′所在的直线为x轴，以D′C′所在的直线为y轴，以D′D所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系．则由题意可得，点A（1，0，1 ）、B（1，2，1）、C（0，2，1）、C′（0，2，0）、D′（0，0，0）．设平面D′AC的一个法向量为=（u，v，w），则由⊥，⊥，可得，．∵=（1，0，1），=（0，2，1），∴，解得．令v=1，可得u=2，w=﹣2，可得=（2，1，﹣2）．由于=（﹣1，0，﹣1），∴=﹣0，故有⊥．再由BC′不在平面D′AC内，可得直线BC′平行于平面D′AC．由于=（1，0，0），可得点B到平面D′AC的距离d===，故直线BC′到平面D′AC的距离为．点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，利用向量法证明直线和平面平行，求直线到平面的距离的方法，体现了转化的数学思想，属于中档题．20．（14分）（2013•上海）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：（1）求出生产该产品2小时获得的利润，建立不等式，即可求x的取值范围；（2）确定生产900千克该产品获得的利润函数，利用配方法，可求最大利润．解答：解：（1）生产该产品2小时获得的利润为100（5x+1﹣）×2=200（5x+1﹣）根据题意，200（5x+1﹣）≥3000，即5x2﹣14x﹣3≥0∴x≥3或x≤﹣∵1≤x≤10，∴3≤x≤10；（2）设利润为y元，则生产900千克该产品获得的利润为y=100（5x+1﹣）×=90000（）=9×104[+]∵1≤x≤10，∴x=6时，取得最大利润为=457500元故甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元．点评：本题考查函数模型的建立，考查解不等式，考查函数的最值，确定函数的模型是关键．21．（14分）（2013•上海）已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0（1）若y=f（x）在[﹣，]上单调递增，求ω的取值范围；（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R，且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的[a，b]中，求b﹣a的最小值．考点：正弦函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）已知函数y=f（x）在上单调递增，且ω＞0，利用正弦函数的单调性可得，且，解出即可；（2）利用变换法则“左加右减，上加下减”即可得到g（x）=2．令g（x）=0，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离．若b﹣a最小，则a 和b都是零点，此时在区间[a，mπ+a]（m∈N*）恰有2m+1个零点，所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点，即可得到a，b满足的条件．进一步即可得出b﹣a的最小值．解答：解：（1）∵函数y=f（x）在上单调递增，且ω＞0，∴，且，解得．（2）f（x）=2sin2x，∴把y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到，∴函数y=g（x）=，令g（x）=0，得，或x=（k∈Z）．∴相邻两个零点之间的距离为或．若b﹣a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，π+a]，[a，2π+a]，…，[a，mπ+a]（m∈N*）分别恰有3，5，…，2m+1个零点，所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点，∴．另一方面，在区间恰有30个零点，因此b﹣a的最小值为．点评：本题综合考查了三角函数的单调性、周期性、函数的零点等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．22．（16分）（2013•上海）如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”（1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；（3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”考点：直线与圆锥曲线的关系；点到直线的距离公式；双曲线的简单性质．专题：压轴题；新定义；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为（），当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“C1﹣C2型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与（0，1）连线的斜率；（2）由直线y=kx与C2有公共点联立方程组有实数解得到|k|＞1，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C1和C2有公共点；（3）由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线y=x±1与y=﹣x±1之间，进而说明当|k|≤1时过圆内的点且斜率为k的直线与C2无公共点，当|k|＞1时，过圆内的点且斜率为k的直线与C2有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k的范围，结果与|k|＞1矛盾．从而证明了结论．解答：（1）解：C1的左焦点为（），写出的直线方程可以是以下形式：或，其中．（2）证明：因为直线y=kx与C2有公共点，所以方程组有实数解，因此|kx|=|x|+1，得．若原点是“C1﹣C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点．考虑过原点与C2有公共点的直线x=0或y=kx（|k|＞1）．显然直线x=0与C1无公共点．如果直线为y=kx（|k|＞1），则由方程组，得，矛盾．所以直线y=kx（|k|＞1）与C1也无公共点．因此原点不是“C1﹣C2型点”．（3）证明：记圆O：，取圆O内的一点Q，设有经过Q的直线l与C1，C2都有公共点，显然l不与x轴垂直，故可设l：y=kx+b．若|k|≤1，由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=﹣x±1之间，因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=﹣kx±1之间，从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点，矛盾，所以|k|＞1．因为l与C1由公共点，所以方程组有实数解，得（1﹣2k2）x2﹣4kbx﹣2b2﹣2=0．因为|k|＞1，所以1﹣2k2≠0，因此△=（4kb）2﹣4（1﹣2k2）（﹣2b2﹣2）=8（b2+1﹣2k2）≥0，即b2≥2k2﹣1．因为圆O的圆心（0，0）到直线l的距离，所以，从而，得k2＜1，与|k|＞1矛盾．因此，圆内的点不是“C1﹣C2型点”．点评：本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．23．（18分）（2013•上海）给定常数c＞0，定义函数f（x）=2|x+c+4|﹣|x+c|．数列a1，a2，a3，…满足a n+1=f（a n），n∈N*．（1）若a1=﹣c﹣2，求a2及a3；（2）求证：对任意n∈N*，a n+1﹣a n≥c；（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．考点：数列的函数特性；等差关系的确定；数列与函数的综合．专题：压轴题；等差数列与等比数列．分析：（1）对于分别取n=1，2，a n+1=f（a n），n∈N*．去掉绝对值符合即可得出；（2）由已知可得f（x）=，分三种情况讨论即可证明；（3）由（2）及c＞0，得a n+1≥a n，即{a n}为无穷递增数列．分以下三种情况讨论：当a1＜﹣c﹣4时，当﹣c﹣4≤a1＜﹣c时，当a1≥﹣c时．即可得出a1的取值范围．解答：解：（1）a2=f（a1）=f（﹣c﹣2）=2|﹣c﹣2+c+4|﹣|﹣c﹣2+c|=4﹣2=2，a3=f（a2）=f（2）=2|2+c+4|﹣|2+c|=2（6+c）﹣（c+2）=10+c．（2）由已知可得f（x）=当a n≥﹣c时，a n+1﹣a n=c+8＞c；当﹣c﹣4≤a n＜﹣c时，a n+1﹣a n=2a n+3c+8≥2（﹣c﹣4）+3c+8=c；当a n＜﹣c﹣4时，a n+1﹣a n=﹣2a n﹣c﹣8＞﹣2（﹣c﹣4）﹣c﹣8=c．∴对任意n∈N*，a n+1﹣a n≥c；（3）假设存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等差数列．由（2）及c＞0，得a n+1≥a n，即{a n}为无穷递增数列．又{a n}为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，a n≥﹣c，从而a n+1=f（a n）=a n+c+8，由于{a n}为等差数列，因此公差d=c+8．①当a1＜﹣c﹣4时，则a2=f（a1）=﹣a1﹣c﹣8，又a2=a1+d=a1+c+8，故﹣a1﹣c﹣8=a1+c+8，即a1=﹣c﹣8，从而a2=0，当n≥2时，由于{a n}为递增数列，故a n≥a2=0＞﹣c，∴a n+1=f（a n）=a n+c+8，而a2=a1+c+8，故当a1=﹣c﹣8时，{a n}为无穷等差数列，符合要求；②若﹣c﹣4≤a1＜﹣c，则a2=f（a1）=3a1+3c+8，又a2=a1+d=a1+c+8，∴3a1+3c+8=a1+c+8，得a1=﹣c，应舍去；③若a1≥﹣c，则由a n≥a1得到a n+1=f（a n）=a n+c+8，从而{a n}为无穷等差数列，符合要求．综上可知：a1的取值范围为{﹣c﹣8}∪[﹣c，+∞）．点评：本题综合考查了分类讨论的思方法、如何绝对值符号、递增数列、等差数列等基础知识与方法，考查了推理能力和计算能力．。

2013年高考文科数学江西卷(含详细答案)

2013年高考文科数学江西卷(含详细答案)

数学试卷 第1页（共21页） 数学试卷 第2页（共21页） 数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至6页,满分150分,考试时间120分钟. 考生注意：1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上作答,答案无效.3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数i)i(z 2--=(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 2.若集合2{|}10A x ax ax R ++=∈=中只有一个元素,则a =( )A .4B .2C .0D .0或43.若3sin23α=,则cos α= ( )A .23-B .13-C .13D .234.集合{2,3}A =,{1,2,3}B =,从A ,B 中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是( )A .23 B .12C .13D .165.总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( )7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 32049234493582003623 48696938 7481A .08B .07C .02D .016.下列选项中,使不等式21x x x<<成立的x 的取值范围是 ( )A .(1),--∞B .()1,0-C .(0,1)D .(1,)+∞7.阅读如下程序框图,如果输出4i =,那么空白的判断框中应填入的条件是( )A .8S <B .9S <C .10S <D .11S <8.一几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为 ( )A .200+9πB .200+18πC .140+9πD .140+18π9.已知点()2,0A ,抛物线24C x y ：=的焦点为F .射线FA 与抛物线C 相交于点M ,与其准线相交于点N ,则||:||=FM MN( )A .25:B .1:2C .1:5D .1:310.如图,已知12l l ⊥,圆心在1l 上、半径为1 m 的圆O 在=0t 时与2l 相切于点A ,圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速向上移动,圆被直线2l 所截上方圆弧长记为x ,令=cos y x ,则y 与时间t （0≤t ≤1,单位：s ）的函数()y f t ＝的图像大致为 ( )A .B .C .D .--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共21页） 数学试卷 第5页（共21页） 数学试卷 第6页（共21页）第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上作答,答案无效. 二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.若曲线1()y x R αα=∈+在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α= . 12.某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数*()n n N ∈等于 . 13.设sin s33c (3o )f x x x =+,若对任意实数x 都有|()|f x a ≤,则实数a 的取值范围是 .14.若圆C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线=1y 相切,则圆C 的方程是 . 15.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB CD ∥,则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）正项数列{}n a 满足：2210(2)n nn a a n ---=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）令1(1)n nb n a =+,求数列{}n b 的前n 项和n T .17.（本小题满分12分）在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin sin sin sin A B B C ++cos21B =.（Ⅰ）求证：a ,b ,c 成等差数列；（Ⅱ）若2π3C =,求ab的值.18.（本小题满分12分）小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为：以O 为起点,再从1A ,2A ,3A ,4A ,5A ,6A （如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X ,若0X >就去打球,若=0X 就去唱歌,若0X <就去下棋. （Ⅰ）写出数量积X 的所有可能取值；（Ⅱ）分别求小波去下棋的概率和不．去唱歌的概率.19.（本小题满分12分）如图,直四棱柱1111ABCD A B C D —中,AB CD ∥,AD AB ⊥,=2AB ,=2AD ,1=3AA ,E 为CD 上一点,=1DE ,=3EC .（Ⅰ）证明：BE ⊥平面11BB C C ； （Ⅱ）求点1B 到平面11EA C 的距离.20.（本小题满分13分）椭圆C ：2222=1(0)a x y a bb +>>的离心率32e =,3a b +=.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图,A ,B ,D 是椭圆C 的顶点,P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点,直线DP 交x 轴于点N ,直线AD 交BP 于点M ,设BP 的斜率为k ,MN 的斜率为m . 证明：2m k -为定值.21.（本小题满分14分）设函数1, 0,11,.)11(=x x a ax a x a f x ≤≤＜≤⎧⎪⎪⎨⎪(-)⎪-⎩a 为常数且(0,1)a ∈.（Ⅰ）当12a =时,求1(())3f f ；（Ⅱ）若0x 满足00()=()f f x x ,但00()f x x ≠,则称0x 为()f x 的二阶周期点.证明函数()f x 有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点1x ,2x ；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的1x ,2x ,设11()(())A x f f x ，,22()(())B x f f x ，,2(0),C a ,记ABC △的面积为()S a ,求()S a 在区间11[,]32上的最大值和最小值.【解析】如下图：数学试卷第7页（共21页）数学试卷第8页（共21页）数学试卷第9页（共21页）数学试卷 第10页（共21页）数学试卷 第11页（共21页） 数学试卷 第12页（共21页）1x αα-【提示】求出函数的导函数，求出1x =时的导数值，写出曲线数学试卷 第13页（共21页）数学试卷 第14页（共21页） 数学试卷 第15页（共21页）（Ⅰ）根据题意得：X 的所有可能取值为1，0，1．的有25OA OA ，共1种，数量积为1-的有15OA OA ，16OA OA ，24OA OA ，26OA OA ，34OA OA ，35OA OA 共6种，的有13OA OA ，14OA OA ，36OA OA ，46OA OA 共4种，数量积为1的有12OA OA ，23OA OA ，45OA OA ，56OA OA 共故所有的可能共15种，所以小波去下棋的概率1715P =，去唱歌的概率2415P =，故不去唱歌的概率为：2411111515P P =-=-=（Ⅰ）由题意可得：X 的所有可能取值为2-，1-，0，1（Ⅱ）列举分别可得数量积为2-，1-，0，1时的情形种数，由古典概型的概率公式可得答案． 【考点】平面向量数量积的运算；古典概型及其概率计算公式 由1BB ⊥平面ABCD ，得1BE BB ⊥，所以BE ⊥平面11BB C C ．11111A B C AA S =△2 ，同理，53E =5=3． 11113A B C d S △＝【提示】（Ⅰ）过点理的逆定理得（Ⅱ）根据题意，可算出三棱锥11A C E S =△3211a a a a -++()x 的二阶周期点；时，由1(1a -数学试卷 第16页（共21页）数学试卷 第17页（共21页） 数学试卷 第18页（共21页）112a a⎛⎫- ⎪-⎝⎭时，1(1a -2111a a ⎛- --+⎝是()f x 的二阶周期点，因此，函数21a a a -++2322221(1)1(222)()212(1)a a a a a a S a a a a a ---+'=-++-++，1132⎤⎥⎦，内，故()0S a '>，则()S a 在区间13⎡⎢⎣，在区间1132⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上最小值为11333S ⎛⎫ ⎪⎝⎭=，最大值为（Ⅰ）当1a =时，根据所给的函数解析式直接求值即可得出答案；数学试卷第19页（共21页）数学试卷第20页（共21页）数学试卷第21页（共21页）。

数学解题“三化”“四策”

数学解题“三化”“四策”

若点 O 和点 F 分别为椭圆 x2 y2 1 43
的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意
一点，则 OP FP 的最大值为
A.2
B.3
C.6
D.8
本题可将动点 P 特殊化为椭圆的右顶点 (2, 0) ，则 OP (2, 0) ， FP (3, 0) ，
OP FP 6 ，选 C 。
本 题求解可取 特殊点 ：
A(0,1) ， B (1, e 1) ， C (2, e2 2) ，
则 有： BA (1, e) ， BC (1, e2 e 1) 。
因 为 BA BC 1 e(e2 e 1) 0 ， 所 以 ABC 为钝角。 又 若△AB C 为 等腰三 角形，则只 能 BA BC ， 但 这不可能， 故△ABC 不可能是 等腰三 角形，选 B 。
同样，若能归纳出 m 512 、 p 50 ，则取
为 0 ， ， 中的任意一个，由方程可求得 n ，
43 也可求得 m n p 的值。
有不少人说可观察出右式各项的系数 和为1，这是合情推理中的归纳推理。
其实，当角特殊化为0时，右式各项 的系数和不就为1了吗？
（2010 年福建文科 11 题）
特殊化
特殊化是重要的数学思想之一。
它是通过选取特殊元素，依据问题在 一般情况下真则在特殊情况下亦真， 反之，在特殊情况下不真则在一般情 况下亦不真的原理。
肯定某一结论或否定其余结论的过程。
特殊化思想在解决某些数学选择 题与填空题上有重要的作用，可 以帮助我们快捷地得到问题的答 案。
① f (x) 的值 域为 G ，且 G [a, b]；
② 对任 意不同的 x, y [a, b] ，都 有 f (x) f ( y) x y 。
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解答题前三题训练（四）
16．已知,,A B C ∠∠∠为ABC ∆的三个内角,且22(,)sin 2cos 23sin 2f A B A B A =+- c o s 22B -+（Ⅰ）若ABC ∆为正三角形,求(,)f A B 的值; （Ⅱ）当2A B π
+=时,求(,)f A B 的取值范围．
17．袋中有大小相同的三个球，编号分别为1、2和3，从袋中每次取出一个球，若取到的球的编号为偶数，则把该球编号加1（如：取到球的编号为2，改为3）后放回袋中继续取球；若取到球的编号为奇数，则取球停止，用ξ表示所有被取球的编号之和． （Ⅰ）求ξ的概率分布；（Ⅱ）求ξ的数学期望与方差．
18．如图,已知正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为4，Q 为1BB 的中点，111111
1,,,1,3P DD M A B N C D AM D N ∈∈∈==． （Ⅰ）当P 为1DD 的中点时，求二面角1M PN D --的大小; （Ⅱ）在1DD 上是否存在点P ，使1QD ⊥PMN 面？若存在，
求出点P 的位置；若不存在，说明理由;
（Ⅲ）若P 为1DD 的中点，求三棱锥Q PMN -的体积． 16．解：（Ⅰ）22(,)sin 120cos 1203sin120cos12022f A B =+--+= ． （Ⅱ）22,(,)sin 2cos (2)3sin 2cos 222B A f A B A A A A π
ππ=-=-----+
22sin 2cos 23sin 2cos22A A A A =+-++cos23sin 23A A =-+
2cos(2)33A π=++，410,2,1cos(2),233332
A A A πππππ<<∴<+<∴-≤+< 22cos(2)1,1(,)43
A f A
B π
∴-≤+<∴≤<． 17．解：（Ⅰ）在1ξ=时，表示第一次取到的1号球，1(1)3
P ξ==；在3ξ=时，表示第一次取到2号球，第二次取到1号球，或第一次取到3号球，1114(3)3339
P ξ==⋅+=；在5ξ=时，表示第一次取到2号球，第二次取到3号球，122(5)339P ξ==⋅=． ξ的概率分布为
1B
1A C D D B
1C
A
1D P
N M Q
ξ 1 3 5 P 13 49 29 （Ⅱ）142251353999E ξ=⋅+⋅+⋅=，21428192593999
E ξ=⋅+⋅+⋅= 222825176()9()9981
D E E ξξξ=-=-= 18．解：（Ⅰ）以11A D 为x 轴,以11D C 为y 轴,1DD 为z 轴，为
坐标系,则11(0,0,0),(4,0,0),(0,0,3),(4,1
,0),(0,3,0)D A P M N ， 11(4,0,0),D A ∴= (0,3,3)PN =- ，(4,1,3)PM =- ，显然11D A 是面1PD N 的法向量。

设面PMN 的法向量
为(,,)n x y z = ，则由00
n PM n PN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得430330x y z y z +-=⎧⎨-=⎩2y z x ∴==，不妨设(1,2,2)n = ，设11D A 与n 所成的角为θ，则111111cos ,arccos 3
3D A n D A n θθ⋅==∴=⋅ ，所以二面角1M PN D --的大小
1
arccos 3。

（Ⅱ）11(4,2,0),(4,4,3),(4,4,3)(4,2,0)80MN QD QD MN =-=---⋅=---⋅-=≠
所以1QD 与不垂P 使面PMN 。

（Ⅲ）222(0,0,3),41(3)26,18P PM PN ∴=++-== ， 2cos ,||||13
PM PN PM PN PM PN ⋅<>==⋅ ，3sin 13MPN ∴∠=， 1sin 92PMN S PM PN MPN =⋅⋅∠= ，又(4,4,0)PQ = ，由（Ⅰ）取平面的法向量 (1,2,2)n = ，则到平PMN 的距离为4n PQ h n
⋅== ，1123Q PMN PMN V S h -∆∴=⋅⋅=。

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