九年级 二次函数单元测试卷附答案

九年级二次函数单元测试卷附答案

一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）

1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx+b1经过点A，C，连接CD．（1）求抛物线和直线AC的解析式：

（2）若抛物线上存在一点P，使△ACP的面积是△ACD面积的2倍，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且A1好落在抛物线上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）2

y x2x3

=-++；3

y x

=-+；（2）（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）存在；（1，2）和（1，﹣3）

【解析】

【分析】

（1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，求出b，c得出抛物线的解析式，进而求出点C 的坐标，再将点A，C坐标代入直线AC的解析式中，即可得出结论；

（2）利用抛物线的对称性得出BD＝AD，进而判断出△ABC的面积和△ACP的面积相等，即可得出结论；

（3）分点Q在x轴上方和在x轴下方，构造全等三角形即可得出结论．

【详解】

解：（1）把A（3，0），B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bc+c中，得

930

10

b c

b c

-++=

⎧

⎨

--+=

⎩

，

∴

2

3

b

c

=

⎧

⎨

=

⎩

，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，

当x＝0时，y＝3，

∴点C的坐标是（0，3），

把A（3，0）和C（0，3）代入y＝kx+b1中，得1

1

30

3

k b

b

+=

⎧

⎨

=

⎩

，

∴

1

1

3

k

b

=-

⎧

⎨

=

⎩

∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3；

（2）如图，连接BC，

∵点D是抛物线与x轴的交点，

∴AD＝BD，

∴S△ABC＝2S△ACD，

∵S△ACP＝2S△ACD，

∴S△ACP＝S△ABC，此时，点P与点B重合，

即：P（﹣1，0），

过B点作PB∥AC交抛物线于点P，则直线BP的解析式为y＝﹣x﹣1①，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3②，

联立①②解得，

1

x

y

=-

⎧

⎨

=

⎩

或

4

5

x

y

=

⎧

⎨

=-

⎩

，

∴P（4，﹣5），

∴即点P的坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）；

（3）如图，

①当点Q在x轴上方时，设AC与对称轴交点为Q'，由（1）知，直线AC的解析式为y＝﹣x+3，

当x＝1时，y＝2，

∴Q'坐标为（1，2），

∵Q'D＝AD＝BD＝2，

∴∠Q'AB＝∠Q'BA＝45°，

∴∠AQ'B＝90°，

∴点Q'为所求，

②当点Q在x轴下方时，设点Q（1，m），

过点A1'作A1'E⊥DQ于E，

∴∠A1'EQ＝∠QDA＝90°，

∴∠DAQ+∠AQD＝90°，

由旋转知，AQ＝A1'Q，∠AQA1'＝90°，

∴∠AQD+∠A1'QE＝90°，

∴∠DAQ＝∠A1'QE，

∴△ADQ≌△QEA1'（AAS），

∴AD ＝QE ＝2，DQ ＝A 1'E ＝﹣m ， ∴点A 1'的坐标为（﹣m +1，m ﹣2）， 代入y ＝﹣x 2+2x +3中， 解得，m ＝﹣3或m ＝2（舍）， ∴Q 的坐标为（1，﹣3），

∴点Q 的坐标为（1，2）和（1，﹣3）．

【点睛】

本题考查的是二次函数的综合题，涉及解析式的求解，与三角形面积有关的问题，三角形“k ”字型全等，解题的关键是利用数形结合的思想，设点坐标并结合几何图形的性质列式求解．

2．如图，抛物线()2

50y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点1,0A 和点B 及y 轴上的点

C ，经过B C 、两点的直线为y x n =+．

（1）求抛物线的解析式．

（2）点P 从A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动，同时点E 从B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t 为何值时，PBE △的面积最大并求出最大值．

（3）过点A 作AM BC ⊥于点M ，过抛物线上一动点N （不与点B C 、重合）作直线

AM 的平行线交直线BC 于点Q ．若点A M N Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形，求

点N 的横坐标．

【答案】（1）2

65y x x =-+- （2）2t =

；（3

或4

【解析】 【分析】

（1）先确定A 、B 、C 三点的坐标，然后用待定系数法解答即可；

（2）先求出AB 、BC 的长并说明△BOC 是等腰直角三角形，再求出点P 到BC 的高d

为

)454d BP sin t =⋅︒=

-，则12PBE

S

BE d =⨯

⨯

)()1244222

t t t =⨯⨯-=-，再根据二次函数的性质即可确定最大值；

（3

）先求出454AM AB sin =⋅︒==N 作直线AM 的平行线交直线BC 于点,Q 则，再说明四边形AMNQ

是平行四边形，得到NQ AM ==；再过点N 作NH x ⊥轴，交x 轴于点,G 交BC 于点,H 结合题意说明NQH 为等腰直角三角

形，求得4NH =

==；设()

2

,65N m m m -+-，则(),0G m ，

(),5H m m -，最后分点N 在x 轴上方时、点N 在x 轴下方且5m >时和1m <三种情况

解答即可． 【详解】

解：()1因为直线y x n =+经过B C 、两点，且点B 在x 轴上，点C 在y 轴上， ∵()(),,00,B n C n -

∴抛物线2

5y ax bx =+-经过点1,0A ，点(),0B n -，点()0,C n ，

∴250505a b an bn n +-=⎧⎪--=⎨⎪-=⎩，解得51,6n a b =-⎧⎪

=-⎨⎪=⎩

所以抛物线的解析式为2

65y x x =-+-．

()2∵()()()1,05,0,0,,5,A B C -

∴4,AB BC BOC ==为等腰直角三角形， ∴45,ABC ∠=

由题意得4,2,02

BP t BE t t =-=<≤