范数
范数的名词解释
范数的名词解释范数是线性代数中一个重要的概念，它可以衡量向量空间中向量的大小。
在数学上，范数是一种从向量到实数的函数，它满足一定的性质。
范数不仅在线性代数中有重要应用，也在其他学科中被广泛使用，如函数空间、统计学、机器学习等。
一、范数的定义范数是向量空间中度量向量大小的一种方式。
对于一个实数域上的向量空间V，范数可以定义为一个从V到实数集上的非负实值函数，记作||·||，满足以下性质：1. 非负性：对于任意向量x∈V，有||x||≥0，且当且仅当x=0时，等号成立。
2. 齐次性：对于任意向量x∈V和任意实数α，有||αx||=|α|·||x||。
3. 三角不等式：对于任意向量x、y∈V，有||x+y||≤||x||+||y||。
二、范数的类型根据范数函数的定义方式，范数可以分为不同的类型。
常见的范数有：1. L1范数（曼哈顿范数）：L1范数定义为||x||1=∑|xi|，表示向量x中每个元素绝对值之和。
L1范数在稀疏表示、压缩感知等领域有广泛应用。
2. L2范数（欧几里德范数）：L2范数定义为||x||2=√(∑|xi|^2)，表示向量x中每个元素的平方和的平方根。
L2范数也称为欧几里德范数，是我们常用的向量长度度量方式。
3. 无穷范数：无穷范数定义为||x||∞=max(|xi|)，表示向量x中绝对值最大的元素。
无穷范数在机器学习中的正则化和特征选择中使用广泛。
三、范数的应用范数作为度量向量大小的一种方式，在实际应用中有很多重要的用途。
1. 正规化：范数可以作为正则化项用于优化问题，如Lasso回归中使用L1范数作为正则化项，使得模型获得稀疏解。
2. 特征选择：范数可以用于特征选择，通过限制特征向量的范数大小，保留重要的特征，去除冗余信息。
3. 函数空间：范数在函数空间中也有广泛应用，例如L2范数用于定义函数空间上的内积。
4. 最优化问题：范数在最优化问题中起到了重要的作用，如L1范数最小化问题可以得到稀疏解。
数值分析12-范数
1 i n j 1 T
A 2 ( A A)
( 2-范数，谱范数 )
| aij |2
i 1 j 1 n n
Frobenius 范数： A
F
( F-范数)
是向量 || · 2 的直接推广，但不是算子范数。 ||
y D Ly D Ux
1
1
高斯-塞德尔公式的证明
写出分量形式有
设 得
且
高斯-塞德尔公式的证明
得
利用对角占优条件知
命题得证
线性方程组的性态问题
考虑线性方程组:
Ax b
由于系数矩阵和右端项都是通过计算或观察得来的, 通常都 带有一定的误差，即受到了一些（相对）微小的扰动。那么 这些扰动对方程组的解会产生什么样的影响？
迭代过程的收敛性
迭代法的收敛条件
X ( k 1) GX k d
定理1：对任意初始向量X(0)及常向量d，上述迭代格式
收敛的充分必要条件是迭代矩阵B的谱半径(G) < 1。
定理2：若迭代矩阵Ｂ的某种范数
G 1 则上述
确定的迭代法对任意初值X(0)均收敛于方程组
X = GX + d的唯一解x*。
|| x || || b || || A || || A1 || || x || || b ||
(2)由于系数矩阵的扰动而引起的解的变化
x A1 A ( x x)
|| x |||| A1 || || A || || x x ||
|| x || || A || 1 || A || || A || || x x || || A ||
范数及其应用
一般来说，监督学习可以看做最小化下面的目标函数：
L(yi,f(xi;w)) 衡量我们的模型（分类或者回归）对第i个样 本的预测值f(xi;w)和真实的标签yi之前的误差。
L0范数与L1范数
L0范数是指向量中非0的元素的个数。如果我 们用L0范数来规则化一个参数矩阵W的话，就是 希望W的大部分元素都是0，让参数W是稀疏的 。
c1 x
x
c2 x
并称 和 定理
为 Cn上的等价范数。
（向量序列收敛性定理） 设 xk Cn , 则
k xi xi 0, i 1, 2, , n lim xk x 0 lim k k
lim x k = x
k
其中 x k x1 , x2 , , xn
这说明，W的L1范数是绝对值，|w|在w=0处是不可微的。
L1范数和L0范数可以实现稀疏，L1因具有比L0更好的优 化求解特性而被广泛应用。
稀疏的原因
特征选择
稀疏规则化受欢迎的一个关键原因在于它能实现特征的 自动选择。
可解释性
通过稀疏可以使模型更容易解释。
L2范数
L2范数: ||W||2，在回归里面，有人把有它的 回归叫“岭回归”，有人也叫它“权值衰减”。 它的强大功效是改善机器学习里面一个非常重要 的问题：过拟合。
上面的图是线性回归，从左到右分别是欠拟合，合适的 拟合和过拟合三种情况。
Logistic回归
如果模型复杂（可以拟合任意的复杂函数），它可以让 我们的模型拟合所有的数据点，也就是基本上没有误差。 对于回归来说，就是我们的函数曲线通过了所有的数据 点。对分类来说，就是我们的函数曲线要把所有的数据 点都分类正确。这两种情况很明显过拟合了。
范数的三个条件
范数的三个条件1.引言1.1 概述概述部分的内容：范数是数学中一种度量向量的大小的方式。
它是向量空间中的一种函数，将向量映射为非负实数。
在实际应用中，范数经常被用来衡量向量的长度、大小或距离。
范数的概念在数学、物理、计算机科学等领域有着广泛的应用和重要的作用。
本文将介绍范数的三个条件。
在讨论这三个条件之前，我们将先对范数进行定义和讨论其基本性质。
然后，我们将详细讲解范数的三个条件，这些条件对于确定一个函数是否能称为范数至关重要。
最后，我们将总结范数的三个条件，并探讨应用范数的意义和价值。
通过学习本文，读者将能够对范数有更深入的理解，并能够应用范数解决实际问题。
无论是在数学研究中还是在工程应用中，范数都是一个十分重要的工具，对于理解和描述向量空间中的各种性质和关系具有重要意义。
接下来，我们将详细介绍范数的定义和基本性质。
1.2 文章结构论文结构的目的是使读者能够清晰地理解和掌握论文的主要内容和论证过程。
文章结构一般包括引言、正文和结论三个部分。
引言部分是论文的开篇，用来引入论文的主题并说明研究的背景、意义和目的。
在本文中，引言部分的目的是介绍范数及其基本性质，并指出本文将重点讨论范数的三个条件。
正文部分是论文的核心内容，用来详细阐述和论证研究问题。
在本文中，正文部分将重点讨论范数的三个条件。
首先，将介绍范数的定义和基本性质，为读者建立起相关的基础知识。
然后，将详细分析并讨论范数的三个条件，分别从数学定义和性质的角度进行阐述和论证。
结论部分是论文的总结和回顾，用来归纳研究结果、总结讨论及提出展望。
在本文中，结论部分将对范数的三个条件进行总结，并强调范数在实践中的意义和价值。
同时，也可以对范数的应用领域进行展望，指出可能的研究方向和未来可探索的问题。
通过以上结构安排，读者可以从文章的标题、目录和各部分的内容中清晰地了解到本文的主要内容和论证结构，有助于读者理解和把握文章的逻辑性和连贯性。
1.3 目的本文的主要目的是探讨范数的三个条件。
关于范数的理解或定义
I 、向量的范数向量x ∈R n的范数f(x )是定义在R n空间上取值为非负实数且满足下列性质的函数：1ο对于所有的x ≠ 0,x ∈R n有f(x )>0; (非负性）2ο对于所有的α∈R 有f(αx ）=αf(x ); （正齐性） 3ο对于所有的x,y ∈R n有f(x+y )≤f(x )+f(y ). （三角不等式）一、 一般情况下，f(x )的具体模式如下：p x = p ni pix 11)(∑=，p 1≥ 也称它为p-范数。
下证p-范数满足上述的三个性质：1、对于所有的x ∈R n，x ≠ 0，p ni pix 11)(∑=显然是大于0的，故性质1ο成立。
2、 由pxα = pni pix 11)(∑=α = αp ni pix 11)(∑= = αp x 知性质2ο成立。
3、欲验证性质3ο，我们的借助下列不等式：设p>1,q>1,且p 1 + q1 = 1，则对所有的0,≥βα有αββα≥+qpqp证：考虑函数ptptt -=1)(ϕ，因为)1(1)(11'-=-p t pt ϕ，由()t 'ϕ=0 t=1,又因为01)1(''<-=pqϕ，所以当t = 1的时候)(t ϕ取最大值，则有：p p ttp111-≤-， 令t = q pβα,代入可得：q p p q ppq p1111=-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛βαβα, 化简之后即得： αββα≥+qpqp证毕！又令∑=)(1i px x piα，∑=)(1i qy y qiβ，代入上不等式可得：∑∑+)()(iq i i p iy y x x qqpp∑∑≥)()(11y x yx i qi pqpii，两边同时对i 求和，并利用关系式p 1 + q1 = 1可知：∑∑≥+=∑∑∑∑∑)()(11)()(1y x yx y y x x i qi piq i ip i qpiiqqpp从而有：∑∑≤∑)()(11y x y x i qi pqpii另一方面，又有：∑+∑++=-yx y x y x iip pii ii 1)(1y x y x ii p ii +≤∑+-yy x x y x ip ip i i ii ∑+∑+--+=11()()()()()()∑∑-+∑∑-≤++y y x x y x ipiiq p ipiiq p pqpq111111()()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑∑-=+∑+y x y x ipip piiqp pq1111()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑∑=+∑+y x y x ipip piipp111 左右两边同时除以()∑+y x iip1得：()()()∑∑≤∑++y x y x ipipiip ppp111。
1范数2范数无穷范数不等式的证明
1. 主题概述在数学和线性代数中，范数是一种衡量向量大小的方法。
而1范数、2范数和无穷范数是常见的范数类型，它们在数学理论和应用中具有重要的意义。
本文将深入探讨1范数、2范数和无穷范数的概念，并通过数学不等式的证明来理解它们的性质和应用。
2. 1范数的定义和性质我们来定义1范数。
对于一个n维向量x，它的1范数记作||x||₁，定义为向量x各个元素绝对值的和：||x||₁ = |x₁| + |x₂| + ... + |xₙ|。
1范数在表示向量的稀疏性、优化问题和信号处理中具有重要作用。
1范数的性质也是我们需要关注的重点。
1范数满足三角不等式，即对于任意向量x和y，有||x + y||₁ ≤ ||x||₁ + ||y||₁。
这一性质对于证明1范数的某些优化问题具有重要意义。
3. 2范数的定义和性质接下来，我们转到2范数的讨论。
对于一个n维向量x，它的2范数记作||x||₂，定义为向量x各个元素的平方和的平方根：||x||₂ = √(x₁² + x₂² + ... + xₙ²)。
2范数常用于表示向量的长度、距离和误差。
2范数同样具有一些重要的性质。
2范数也满足三角不等式，即对于任意向量x和y，有||x + y||₂ ≤ ||x||₂ + ||y||₂。
2范数还满足柯西-施瓦茨不等式，即对于任意向量x和y，有|x·y| ≤ ||x||₂ * ||y||₂。
这些性质对于研究向量空间和内积空间具有重要意义。
4. 无穷范数的定义和性质我们进入无穷范数的领域。
对于一个n维向量x，它的无穷范数记作||x||ᵢ，定义为向量x各个元素绝对值的最大值：||x||ᵢ = max(|x₁|,|x₂|, ..., |xₙ|)。
无穷范数常用于表示向量的最大值和极限情况。
无穷范数同样具有一些重要的性质。
无穷范数也满足三角不等式，即对于任意向量x和y，有||x + y||ᵢ≤ ||x||ᵢ + ||y||ᵢ。
范数应用案例
范数应用案例
1. 在机器学习中，范数常常用来衡量数据的特征向量的大小。
例如，在支持向量机算法中，可以使用范数来正则化模型的权重参数，以防止过拟合。
2. 在图像处理中，常常使用L1范数或者L2范数来衡量图像的稀疏性。
例如，可以使用L1范数来约束稀疏表示问题，以便生成更加稀疏的图像。
3. 在信号处理中，L1范数可以用来计算信号的稀疏系数，从而进行信号降噪。
通过最小化L1范数，可以将信号的噪声部分去除，保留信号的主要特征。
4. 在推荐系统中，可以使用L2范数来衡量用户对不同商品的偏好程度。
通过最小化L2范数，可以获得更好地符合用户偏好的推荐结果。
5. 在网络流量分析中，可以使用L1范数来衡量网络连接的异常程度。
通过比较不同网络连接的L1范数，可以识别出潜在的网络攻击或者异常行为。
6. 在图像识别中，可以使用L2范数来衡量两幅图像之间的相似度。
通过计算两幅图像的L2范数，可以获得它们之间的距离。
7. 在文本数据的处理中，可以使用L1范数或者L2范数来衡量文本的稀疏性。
通过最小化范数，可以获得更加稀疏的文本
表示，从而提高文本分类或者聚类的性能。
8. 在最优化问题中，可以使用范数作为约束条件。
例如，可以使用L1范数作为约束条件，以获得较为稀疏的解。
矩阵和向量范数详解-数值计算方法
度量。Rn空间的向量范数 || ·|| 对任意x, y R满n足条件：
(1)
|| x|| 0 ;
|| x|| 0
x
0
（正定性)
(2) || x|| | | || x|| 对任意 C (齐次性)
(3) || x y|| || x|| || y|| （三角不等式)
定义：向量X
( x1,
gg
范数是绝对值的概念的推广，绝对值是一维概念，绝对 值的几何意义就是长度，那么很自然就有了：n维向量长度 就是范数。范数可以推广到无穷维空间。
1. 范数
向量范数和向量的模
向量的模表示的是向量的大小，比如向量
X ( x1, x2...x的n )模为
X x12 x22 ...xn2
向量的范数用于衡量一个向量的大小，是更广义
向量和矩阵范数
主要内容
1、什么是范数 2、向量范数 3、矩阵范数
2
1. 范数
范数是什么？
范数具有“长度”的概念，在线下代数、泛函分析 等相关数学领域，范数表征的是矢量空间中所有矢量的 正长度和大小。范数是对向量和矩阵的一种度量,实际 上是二维和三维向量长度概念的一种推广。
简单来说向量范数可以理解为向量的长度，矩阵范 数可以理解为矩阵的变化大小。
意义：矩阵的谱或叫矩阵的谱半径，在特征值估计、广义逆矩阵 等理论的建树中，都占有极其重要的地位；
定理 对任意算子范数 || ·|| 有( A) || A ||
即 A 的谱半径是A的任意一种范数的下界
证明：由算子范数的相容性，得到 || Ax|| || A || || x||
将任意一个特征根 所对应的特征向量 u代入 | | || u|| || u|| || Au|| || A || || u||
范数
假设V是域F上的矢量空间；V的半范数是一个函数P:V→R;x→p(x），满足于：∀a∈F,∀u,v∈V,p(v) ≥ 0 （非负性）p(a v) = |a|p(v），（正值齐次性）p(u+v) ≤p(u) +p(v) (三角不等式).范数是一个半范数加上额外性质：p(v) 是零矢量，当且仅当v是零矢量(正定性）如果拓扑矢量空间的拓扑可以被范数导出，这个拓扑矢量空间被称为赋范矢量空间。
若X是数域K上的线性空间，泛函║·║： X->R 满足：⒈正定性：║x║≥0，且║x║=0 <=> x=0；⒉正齐次性：║cx║=│c│║x║；⒊次可加性（三角不等式）：║x+y║≤║x║+║y║。
那么║·║称为X上的一个范数。
（注意到║x+y║≤║x║+║y║中如令y=-x，再利用║-x║=║x║可以得到║x║≥0，即║x║≥0在定义中不是必要的。
）如果线性空间上定义了范数，则称之为赋范线性空间。
注记：范数与内积，度量，拓扑是相互联系的。
⒈利用范数可以诱导出度量：d(x,y)=║x-y║，进而诱导出拓扑，因此赋范线性空间是度量空间。
但是反过来度量不一定可以由范数来诱导。
⒉如果赋范线性空间作为（由其范数自然诱导度量d(x,y)=║x-y║的）度量空间是完备的，即任何柯西(Cauchy）序列在其中都收敛，则称这个赋范线性空间为巴拿赫（Banach）空间。
⒊利用内积<·，·>；可以诱导出范数：║x║=<x,x>1/2。
反过来，范数不一定可以诱导内积。
当范数满足平行四边形公式║x+y║2+║x-y║2=2（║x║2+║y║2）时，这个范数一定可以诱导内积。
完备的内积空间称为希尔伯特（Hilbert）空间。
⒋如果去掉范数定义中的正定性，那么得到的泛函称为半范数（seminorm或者叫准范数），相应的线性空间称为赋准范线性空间。
对于X上的两种范数║x║α，║x║β，若存在正常数C满足║x║β≤C║x║α那么称║x║β弱于║x║α。
范数及其应用
范数及其应⽤范数的⼀般化定义：设p ≥1的实数，p-norm 定义为：||x ||p :=(n∑i =1x ip )1p||x ||0:=n∑i =0x 0i严格来讲，L0不属于范数，上⾯的公式让⼈难以理解。
在实际应⽤中，⼈们往往采⽤以下定义：||x ||0=#(i )with x i ≠0其表⽰向量中所有⾮零元素的个数。
||x ||1:=n∑i =1x i也称为曼哈顿距离。
L0范数是指向量中⾮0的元素的个数。
如果我们⽤L0范数来规则化⼀个参数矩阵W 的话，就是希望W 的⼤部分元素都是0。
换句话说，让参数W 是稀疏的。
看到了“稀疏”⼆字，⼤家都应该从当下风风⽕⽕的“压缩感知”和“稀疏编码”中醒悟过来，原来⽤的漫⼭遍野的“稀疏”就是通过这玩意来实现的。
但你⼜开始怀疑了，是这样吗？看到的papers 世界中，稀疏不是都通过L1范数来实现吗？脑海⾥是不是到处都是||W||1影⼦呀！L1范数和L0范数可以实现稀疏，L1因具有⽐L0更好的优化求解特性⽽被⼴泛应⽤。
范数中最常见，也最著名的⾮L2范数莫属。
||x ||2:=n∑i =1x 2i从学习理论的⾓度来说，L2范数可以防⽌过拟合，提升模型的泛化能⼒。
从优化或者数值计算的⾓度来说，L2范数有助于处理不好的情况下矩阵求逆很困难的问题。
L1和L2的差别，为什么⼀个让绝对值最⼩，⼀个让平⽅最⼩，会有那么⼤的差别呢？下降速度：L1就是按绝对值函数的“坡”下降的，⽽L2是按⼆次函数的“坡”下降。
模型空间的限制：对于L1和L2规则化的代价函数来说，我们写成⼀下形式：Lasso :minw||y−Xw ||2,s .t . ||w ||1≤CRidge :minw||y −Xw ||2,s .t . ||w ||2≤C考虑⼆维的情况，等⾼线与norm ball 相交的地⽅就是最优解。
L1-ball 的最优点⼤都出现在"⾓点"处，这便⼤概率产⽣了稀疏性；L2-ball 却不范数||L0范数√L1范数||L2范数√L2范数的优点可以，它只是⼀种规则化⼿段。
范数的计算范文范文
范数的计算范文范文范数是线性代数中的一个概念，它是一个实数函数，可以衡量一个向量的大小或者长度。
范数的计算是向量分析中的基础知识，对于理解和应用线性代数有着重要的作用。
本文将介绍范数的定义和常见的几种计算方法，并以具体的实例来说明。
在数学上，范数是满足一定条件的向量空间中的一种函数。
在实数集上，最常见的范数就是欧几里得范数。
给定一个n维向量x=(x1,x2,...,xn)，欧几里得范数的定义为：x， = sqrt(x1^2+x2^2+...+xn^2)欧几里得范数衡量的是向量的长度，可以通过勾股定理来理解。
例如二维空间中的向量x=(x1,x2)，其欧几里得范数为：x， = sqrt(x1^2+x2^2)在实际应用中，常常需要计算向量的范数。
范数不仅仅可以衡量向量的长度，还可以用于描述向量的稀疏性、相似性等性质。
除了欧几里得范数，还有很多其他常见的范数计算方法。
其中常用的有L1范数和L2范数。
L1范数，也称为曼哈顿范数，定义为向量元素绝对值之和：x，1 = ，x1，+，x2，+...+，xnL1范数衡量的是向量元素绝对值的和。
在实际应用中，L1范数常用于稀疏表示和特征选择等问题。
L2范数，也称为欧几里得范数，是我们在前面介绍的范数的一种特例。
L2范数计算的是向量元素的平方和的平方根，即欧几里得长度：x，2 = sqrt(x1^2+x2^2+...+xn^2)L2范数常用于衡量向量之间的距离或者相似性。
例如，两个向量之间的欧几里得距离可以由L2范数来计算。
除了欧几里得范数、L1范数和L2范数，还有许多其他的范数计算方法，如无穷范数、最大值范数等。
这些范数的计算方法各有特点，应根据具体问题的需要选择合适的范数计算方法。
下面以一个实际的例子来说明范数的计算。
假设有一个三维向量x=(1,2,3)，我们来计算其欧几里得范数和L1范数。
欧几里得范数的计算公式为：x， = sqrt(x1^2 + x2^2 + x3^2)代入向量的数值x， = sqrt(1^2 + 2^2 + 3^2) = sqrt(14)L1范数的计算公式为：x，1=，x1，+，x2，+，x3代入向量的数值，有：x，1=，1，+，2，+，3，=1+2+3=6通过计算，我们得到了向量x的欧几里得范数为sqrt(14)，L1范数为6综上所述，范数是衡量向量大小和长度的一种函数。
范数x（norm）笔记
范数x（norm）笔记1. 范数的含义和定义范数是具有“长度”概念的函数。
在线性代数、泛函分析及相关领域，是⼀个函数，它为向量空间内的所有向量赋予⾮零的正的长度或⼤⼩。
另⼀⽅⾯，半范数可以为⾮零的向量赋予零长度。
例如，在⼆维欧式⼏何空间\(R^2\)中（简单理解就是⼆维坐标系）就有欧式范数。
在这个向量空间的元素（⽐如向量\((3,7)\)）常常在笛卡尔坐标系统中被画成⼀个从原点出发的箭头，⽽这个向量的欧式范数就是箭头的长度。
拥有（定义）范数的向量空间就是赋范向量空间，拥有（定义）办法书的向量空间就是赋半范向量空间更加规范的定义：假设V是域F上的向量空间；V的半范数是⼀个函数：\(p:V\rightarrow R;x\rightarrow p(x)\)，满⾜：\(p(v)\ge 0\)（具有半正定性）\(p(av)=|a|p(v)\)（具有绝对⼀次齐次性）\(p(u+v)\le p(u)+p(v)\)（满⾜三⾓不等式，或者称次可加性）范数是⼀个半范数加上额外的性质：\(p(v)=0\)，当且仅当\(v\)是零向量（正定性）若拓扑向量空降的拓扑可以被范数导出，这个拓扑向量空间被称为赋范向量空间。
2.例⼦所有的范数都是半范数平凡半范数，即\(p(x)=0,\forall x \in V\)绝对值是实数集上的⼀个范数对向量空间上的线性型\(f\)可以定义⼀个半范数：\(x\rightarrow |f(x)|\)绝对值范数绝对值范数为：\[||x||=\sum^n_i|x_i| \]是在由实数或虚数构成的⼀维向量空间中的范数绝对值范数是曼哈顿范数的特殊形式\(L_p\)范数\(L_p\)范数是向量空间中的⼀组范数。
\(L_p\)范数与幂平均有⼀定的联系，定义如下：\[L_p(\vec{x})=||\vec{x}||_p=(\sum^b_{i=1}|x_i|^p)^{\frac{1}{p}}\ \ ,\ \vec{x}=\{x_1,x_2,x_3,...,x_n\},p\ge 1 \]图中的q应为p。
范数的对偶以及几何性质
范数的对偶以及⼏何性质将学习到什么介绍范数的单位球以及对偶定理.范数的单位球范数的基本⼏何特征是它的单位球，透过它可以深⼊洞察范数的性质. 定义 1 ：设‖⋅‖是实或者复向量空间V上的⼀个范数，x是V的⼀个点，⼜设给定r>0. 以x为中⼼、r为半径的球定义为集合B‖⋅‖(r;x)={y∈V：‖y−x‖⩽\lVert \cdot \rVert的单位球是集合\begin{align} B_{\lVert \cdot \rVert} =B_{\lVert \cdot \rVert}(1;0) = \{y \in V： \lVert y \rVert \leqslant 1 \} \end{align}以任意点x为中⼼具有给定半径的球与以原点为中⼼有同样半径的球看起来相同，它正好是平移到点x. 我们的⽬的是要精确地确定\mathbb{C}^n的哪些⼦集能是某个范数的单位球. 定义 2 ：如果范数的单位球是⼀个多⾯体，则称该范数是多⾯体的.l_1，l_{\infty}范数是多⾯体的对偶定理任何范数都是其对偶范数之对偶. 定理 3 ：设f是V=\mathbb{R^n}或者\mathbb{C}^n上⼀个准范数，⽤f^D表⽰f的对偶范数，⽤f^{DD}表⽰f^D的对偶范数，设B=\{x \in V：f(x) \leqslant 1 \}，⼜设B''=\{x \in V ：f^{DD}(x) \leqslant 1\}.那么 (a) 对所有x \in V有f^{DD}(x) \leqslant f(x)，所以B \subset B'' (b) B'' = \overline{\mathrm{Co}(S)}，B的凸包的闭包 (c) 如果f是范数，那么B=B''，且f^{DD}=f (d) 如果f是范数且给定x_0 \in V，那么就存在某个z \in V（不⼀定是唯⼀的），使得f^D(z)=1以及f(x_0)=z^*x_0，也即对所有x \in V有\lvert z^*x \rvert \leqslant f(x)，以及有f(x_0)=z^*x_0. 证明：(a) 如果x \in V是⼀个给定的向量，那么的⼀种等价的表达⽅式确保对任何y \in V都有\lvert y^*x \rvert \leqslantf(x)f^D(y)，从⽽\begin{align}f{DD}(x)=\max\limits_{f D(y)=1}\lvert y^*x\rvert \leqslant \max\limits_{f D(y)=1}f(x)f D(y) = f(x)\end{align}于是，对所有x \in V都有f^{DD}(x) \leqslant f(x)，这是⼀个与⼏何命题B \subset B''等价的不等式. (b) 集合\\{t \in V：\mathrm{Re}\,\,t^*v \leqslant 1 \\}是⼀个包含原点的闭的半空间，且任何这样的半空间都可以⽤这样的⽅式表⽰. 利⽤对偶范数的定义，设u \in B''是⼀个给定的点，并注意到\begin{align} u & \in \{ t： \mathrm{Re}\,\,t^*v \leqslant 1，\text{对每个满⾜}\,\, f^D(v) \leqslant 1 \,\,\text{的}\,\, v \} \notag \\ & = \{ t： \mathrm{Re}\,\,t^*v \leqslant 1，\text{对每个满⾜}\,\, v^*w \leqslant 1 \,\,\text{的}\,\, v （\text{对每个满⾜}\,\, f(w)\leqslant 1 \,\,\text{的}\,\,w）\} \notag \\ & = \{ t： \mathrm{Re}\,\,t^*v \leqslant 1，\text{对每个满⾜}\,\, w^*v \leqslant 1\,\,\text{的}\,\, v （\text{对所有}\,\, w\in B）\} \notag \end{align}这样⼀来，u就在每⼀个包含B的闭的半空间之内. 由于这样闭的半空间的交是\overline{\mathrm{Co}(S)}，我们断定有u\in\overline{\mathrm{Co}(S)}. 但是点u \in B''是任意的，故有B'' \in \overline{\mathrm{Co}(S)}. 由于\mathrm{Co}(B)是包含B的所有凸集的交，⽽B''是包含B的凸集，故⽽我们有\mathrm{Co}(B) \subset B''. 集合B''是⼀个范数的单位球，所以它是紧的，从⽽是闭的. 我们断⾔有\overline{\mathrm{Co}(S)} \subset \overline{B''}=B''，从⽽B'' = \overline{\mathrm{Co}(S)}. (c) 如果f是⼀个范数，那么它的单位球就是凸的且是闭的，所以B=\overline{\mathrm{Co}(S)} =B''. 由于它们的单位球相同，故⽽范数f与f^{DD}相同. (d) 对每个给定的x_0 \in V，(c) 确保有f(x_0)=\max_{f^D(y)=1} \mathrm{Re}\,\,y^*x_0，⽽范数f^D的单位球⾯的紧性确保存在某个z，使得f^D{z}=1以及\max_{f^D(y)=1} \mathrm{Re}\,\,y^*x_0 = \mathrm{Re}\,\,z^*x_0. 如果z^*x_0不是实数且不是⾮负的，就会存在⼀个实数\theta，使得\mathrm{Re}(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}z^*x_0) >0> \mathrm{Re}\,\,z^*x_0（当然就有f^D(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}z)=f^D(z)=1），这与最⼤性⽭盾：对f^D的单位球⾯中的所有y都有\mathrm{Re}\,\,z^*x_0 \geqslant \mathrm{Re}\,\,y^*x_0.上⼀定理的结论 (c) 可能是对偶定理的最要且应⽤最⼴泛的部分. 例如，它允许我们将任何范数f表⽰为\begin{align}f(x) = \max\limits_{f D(y)=1}\mathrm{Re}\,\,y*x\end{align}这个表⽰就是拟线性化的⼀个例⼦. 推论 4：\mathbb{R^n}或者\mathbb{C}^n上的范数是单调的. 证明：假设\lVert \cdot \rVert是\mathbf{F}上⼀个绝对范数. 定理 3(b) 确保它的对偶\lVert \cdot \rVert^D是绝对的. 对偶定理告诉我们：\lVert \cdot \rVert是绝对范数\lVert \cdot \rVert^D的对偶，故⽽推出\lVert \cdot \rVert是单调的.应该知道什么Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/SuppMathOperators.js任何范数都是其对偶范数之对偶。
范数的定义
3.3 范数3.3.1 向量范数在一维空间中，实轴上任意两点距离用两点差的绝对值表示。
绝对值是一种度量形式的定义。
范数是对函数、向量和矩阵定义的一种度量形式。
任何对象的范数值都是一个非负实数。
使用范数可以测量两个函数、向量或矩阵之间的距离。
向量范数是度量向量长度的一种定义形式。
范数有多种定义形式，只要满足下面的三个条件即可定义为一个范数。
同一向量，采用不同的范数定义，可得到不同的范数值。
若X是数域K上的线性空间，泛函║·║: X->R 满足：1. 正定性：║x║≥0，且║x║=0 <=> x=0；2. 正齐次性：║cx║=│c│║x║；3. 次可加性(三角不等式)：║x+y║≤║x║+║y║ 。
那么║·║称为X上的一个范数。
常用范数这里以C^n空间为例，R^n空间类似。
最常用的范数就是p-范数。
若x=[x1,x2,...,xn]^T，那么║x║p=(|x1|^p+|x2|^p+...+|xn|^p)^{1/p}可以验证p-范数确实满足范数的定义。
其中三角不等式的证明不是平凡的，这个结论通常称为闵可夫斯基(Minkowski)不等式。
当p取1，2，∞的时候分别是以下几种最简单的情形：1-范数：║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│2-范数：║x║2=(│x1│^2+│x2│^2+…+│xn│^2)^1/2∞-范数：║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│)其中2-范数就是通常意义下的距离。
矩阵范数一般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之外，还规定其必须满足相容性：║XY║≤║X║║Y║。
所以矩阵范数通常也称为相容范数。
如果║·║α是相容范数，且任何满足║·║β≤║·║α的范数║·║β都不是相容范数，那么║·║α称为极小范数。
对于n阶实方阵(或复方阵)全体上的任何一个范数║·║，总存在唯一的实数k>0，使得k║·║是极小范数。
范数的概念
范数是一个赋范向量空间中的度量，它将向量映射到非负实数。
在数学中，范数常用来度量向量的大小或长度，并满足一些特定的性质。
在向量空间V中，对于一个向量x ∈ V，范数通常表示为||x||，其中|| || 是范数的符号。
范数的定义需要满足以下条件：
1. 非负性：对于所有的x ∈ V，范数必须非负，即||x|| ≥ 0。
2. 齐次性：对于所有的x ∈ V 和任意的标量α，范数的齐次性要求||αx|| = |α| ||x||。
3. 三角不等式：对于所有的x, y ∈ V，范数满足||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||。
4. 零向量的范数为0：范数满足||0|| = 0，其中0 表示零向量。
常见的范数包括：
1. L1范数（曼哈顿范数）：也称为绝对值范数，表示为||x||1，计算方式为向量中各个元素的绝对值之和。
2. L2范数（欧几里得范数）：也称为模长或2-范数，表示为||x||2，计算方式为向量中各个元素的平方和的开方。
3. 无穷范数：表示为||x||∞，计算方式为向量中各个元素的绝对值的最大值。
除了上述常见的范数，还存在其他范数，如Lp范数和Frobenius范数等。
范数在数学和应用领域都有广泛的应用。
例如，在机器学习中，范数被用来定义正则化项，帮助控制模型的复杂度；在信号处理中，范数常用来测量信号的能量或稀疏性等。
欧几里德范数定义
欧几里德范数定义Introduction在数学中，欧几里德范数是一种测量向量长度或大小的方法。
范数是一种将向量映射到非负值的函数，且满足一定条件。
欧几里德范数是最常见、最直观的范数之一，也成为2范数或L2范数。
本文将详细介绍欧几里德范数的定义、性质以及应用场景。
二级标题欧几里德范数的定义欧几里德范数定义如下：对于一个n维向量x=(x₁, x₂, …, xn)，它的欧几里德范数∥x∥₂表示为：∥x∥₂ = √(x₁² + x₂² + … + xn²)其中，x₁, x₂, …, xn是向量x的分量。
欧几里德范数的性质欧几里德范数具有以下性质：1.非负性：对于任意向量x，其欧几里德范数∥x∥₂ ≥ 0，且当且仅当x=0时，∥x∥₂=0。
2.齐次性：对于任意标量α和向量x，有∥αx∥₂ = |α|∥x∥₂。
即对向量进行标量放缩时，其范数也会相应放缩。
3.三角不等式：对于任意向量x和y，有∥x+y∥₂ ≤ ∥x∥₂ + ∥y∥₂。
即两个向量之和的范数小于等于它们各自范数之和。
欧几里德范数的应用欧几里德范数在很多领域中都有广泛的应用，以下介绍其中几个常见的应用场景：1.机器学习中的正则化：在机器学习中，正则化是一种常用的预防过拟合的方法。
正则化项一般选择欧几里德范数的平方，即∥x∥₂²。
通过最小化目标函数和正则化项的和，可以使得模型的权重趋向于较小的值，避免过拟合。
2.特征提取：在特征提取过程中，欧几里德范数可以用来衡量不同特征的重要性。
对于某一个特征向量x，其欧几里德范数越大，则表示该特征对于样本的区分度越高。
3.图像处理：在图像处理中，欧几里德范数可以用来度量像素之间的差异。
通过计算两个像素点之间的欧几里德范数，可以得到它们的距离，进而用于图像分类、聚类等任务。
4.数值优化：在数值优化问题中，欧几里德范数常常被用作目标函数的一部分，例如最小二乘问题。
通过最小化目标函数中的欧几里德范数，可以得到问题的最优解。
第三章 范数与极限§31范数
1 1 2 2 ， x x ， 1 1.0001 2 0 1 1 2 1 ， x x . 1 1.0001 2.0001 1
但若 A 换成
1 1 1 2 ，
j A a ， n重
而
I - A A = - a .
n
a e j
1 n
i 2 j n
， j 1,, n .
T
实 复，重 单，特征向量： a ： x 1, 0, , 0 ， n 个线性无关的。
UA
2 F
AV
2 F
A
2 F
.
2
A
2
max
Ax, y
x 2 y
2
x 0, y 0
max
x 2 y 2 1
Ax, y
2
；
2
AH
2
A 2 ； AH A
A 2.
3 设 A 非奇异，则
A
1 1
min
x 0
Ax x
三个常用范数
A 1 max
x0
Ax 1 x1 Ax x
2 2
；
A 2 max
x0
；
A max
x0
Ax x
.
矩 阵 范 数
定理 3.6 A 1 max
j
a
i 1
n
ij
（列和最大） max a j ，
j 1
推论：
1 设 U ， V
为酉矩阵，则
UAV
2 F
i 1 i i
n i 1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
‖Ax‖≤‖A‖‖x‖
则称矩阵范数‖A‖与向量范数‖x‖相容.
Frobenius范数:
|| A ||F
| a ij |2 (向量|| ·||2的直接推广)
i 1 j 1
n
n
|| 可以证明,对方阵 A R nn和 x R n 有: ， Ax ||2 || A ||F || x ||2
|| A || 1
② ( I A)1 A( I A)1 ( I A)( I A)1 I
( I A)1 I A( I A)1
|| ( I A)1 || 1 || A || || ( I A)1 ||
§1.5 线性方程组的性态（误差分析）
算子范数 ( operator norm ),又称为从属的矩阵范数: 由向量范数 || · p 导出关于矩阵 A Rnn 的 p 范数: ||
利用Cauchy 不等式 则 || AB ||p || A ||p || B ||p || Ax ||p || A ||p max max|| Ax ||p y | ||x || || y || |x 2 2 x 0 || x|| p 1 || x ||p || Ax || || A || || x ||
如果lim xki=xi对所有的i=1,2,…，n成立，
那么,称向量x*是向量序列｛xk｝的极限 ， 若一个向量序列有极限,称这个向量序列是收敛的.
定理1.4.2 对任意一种向量范数‖· ‖而言，向量 序列｛xk｝收敛于向量x*的充分必要条件是
lim || xk x || 0
* k
矩阵范数 ( matrix norms )
2 2 || A || 1,|| B || 1,|| AB AB 2 2 || AB |||| A |||| B || 从而
|| 2
相容性
（1）矩阵范数与矩阵范数的相 容:‖AB‖≤‖A‖‖B‖ （2）矩阵范数与向量范数 设A∈M，‖A‖是矩阵范数,x∈Rn，‖x‖是 向量范数.如果满足不等式:
范数等价:设‖· A 和‖· B是R上任意两种范数，若存在 ‖ ‖ 常数 C1、C2 > 0 使得 ,则称 ‖· A 和‖· B 等价。 ‖ ‖
定理1.4.1 Rn 上一切范数都等价。
定义2:设｛xk｝是Rn上的向量序列， 令 xk=(xk1,xk2,…，xkn)Ｔ, k=1,2，…., 又设x*＝（x1*，x2*，…，xn*)Ｔ是Rn上的向量.
1 1 2 例：Hilbert 阵 H n 1 n
1 2 1 3
1 n 1
1 2 n 1
1 n
cond (H2) = 27 cond (H6) = 2.9 106
cond (H3) 748
注：现在用Matlab数学软件可以很方便 求矩阵的状态数! 定义2: 设线性方程组的系数矩阵是非奇异的,如果 cond(A)越大,就称这个方程组越病态.反之,cond(A) 越小,就称这个方程组越良态.
命题(P26，推论1） 若A对称，则有: || A ||2 ( A)
证明：|| A ||2 max ( A A) max ( A )
T 2
A对称
若 是 A 的一个特征根，则2 必是 A2 的特征根。
max ( A2 ) 2 ( A) 对某个 A 的特征根 成立
又：对称矩阵的特征根为实数，即 2(A) 为非负实数， 所以2-范数亦称为 故得证。 谱范数。
|| x || || A1 || || b || xA b 相对误差放大因子 1 || A || 又 || b || || Ax || || A || || x || || x || || b ||
|| x || || b || 1 || A || || A || || x || || b ||
定理1.4.6 对任意算子范数 || ·|| 有: ( A) || A ||
证明：由算子范数的相容性，得到 || Ax || || A || || x ||
将任意一个特征根 所对应的特征向量 u 代入 | | || u || || u || || Au || || A || || u ||
注:
cond (A) 与 所取的范数有关
常用条件数有：
cond (A)1 =‖A‖1 ‖ A 1‖1 cond (A) cond (A)2 =‖A‖ ‖ A 1‖
max ( AT A) / min ( AT A)
特别地，若 A 对称，则
max | | cond ( A)2 min | |
设 b 精确，A有误差 A ，得到的解为 x x ，即 || A || || A1 || 是关键 的误差放大因子，称为 ( A A的状态数(条件数)， b A)( x x) 记为cond (A) , A( x x) A( x x) b ( A A) x ( A A) x b ( A A) x Ax x A1 A( x x)
|| A1A || || A1 || || A || 1 )
1
|| A || || A || || A || 1 || x || || A || || A || || A || 1 || x || 1 || A || || A || 1 || A || || A1 || || A || || A ||
|| x || || A1 || || A || || x x || || A || || A || || A || || A ||
1
A( I A1 A) x Ax
x ( I A1 A)1 A1 Ax (只要 A充分小，使得
§1.4 向量和矩阵范数
向量范数 ( vector norms )
定义1：
(2) || x || | | || x || 对任意 C (3) || x y || || x || || y ||
常用向量范数：
|| x || 1
(1) || x || 0 ; || x || 0 x 0
若还满足(4),称为相容的矩阵范数 (4) || AB || || A || · B || ||
例5:
设A＝(aij)∈M. 定义
1 || A || 2 n
i , j 1
| a
n
ij
|
证明：这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数.
1 1 1 1 证明：设 A , B 1 1 1 1
定义3:对任意 A, B Rmn ,称|| · 为Rmn空间的矩阵 ||
范数, 指|| · ||满足(1)-(3)：
(1) || A || 0 ; || A || 0 A 0 (2) || A || | | || A || 对任意 C (3) || A B || || A || || B ||
( Error Analysis for Linear system of Equations )
思考:求解 A x b 时, A 和 b 的误差对解 x 有何影响？ 设 A 精确，b 有误差 b ，得到的解为 x x ，即
A( x x) b b
1
绝对误差放大因子
Rn空间的向量范数
n || · ,对任意 x , y R 满足下列条件 ||
i1
n
| xi |
|| x ||
2
i1
n
| x |
i
2
|| x || max | x i |
1 i n
主要性质
性质1:‖-x‖=‖x‖
性质2:｜‖x‖-‖y‖｜≤‖x-y‖
性质3: 向量范数‖x‖是Rn上向量x的连续函数.
p p p
常用的算子范数： n
j 1 n
可证（例6）。 || A || m ax | aij | （行和范数） 1 i n
i 1
|| A ||1 m ax | aij | （列和范数） 1 j n
|| A ||2
max ( AT A) （谱范数 ( spectral norm ) ）
定理1.4.4 若矩阵 A 对某个算子范数满足 ||A|| < 1，则必有
①. I A 可逆； ②.
I A
1
1 1 || A ||
证明：① 若不然，则 ( I A) x 0 有非零解，即存在非零向
x0 使得 量
Ax0 x0
|| Ax0 || 1 || x0 ||