“球类”运动中二次函数

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二次函数投篮问题(附答案)

二次函数投篮问题1．在一场篮比赛中，甲球员在距篮4米处跳投，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.75米，然后球准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；（2）乙球员身高为1.91米，跳起能摸到的高度为3.15米，此时他上前封盖，在离投篮甲球员2米处时起跳，问能否成功封盖住此次投篮？（3）在（2）条件下若乙球员想要成功封盖甲球员的这次投篮，他离甲球员的距离至多要多少米？﹣﹣×时，﹣x2．如图，一位运动员在距篮下4.5米处跳起投篮，篮球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最高度3.5米，篮筐中心到地面距离为3.05米，建立坐标系如图．该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，他跳离地面的高度为0.2米，问这次投篮是否命中，为什么？若不命中，他应向前（或向后）移动几米才能使球准确命中？，则该抛物线解析式为，时，时，+3.5=3.05，即3．（2011•宝山区一模）如图1，小杰在一个智能化篮球场的罚球区附近练习投篮，球出手前，他测得篮框A的仰角为16.7°、篮球架底端B的俯角为24.2°，又已知篮框距离地面约3米．（1）请在答题纸上把示意图及其相关信息补全，并求小杰投篮时与篮框的水平距离；（2）已知球出手后的运动路线是抛物线的一部分，若球出手时离地面约2.2米，球在空中运行的水平距离为2.5米时，达到距离地面的最大高度为3.45米，试通过计算说明球能否准确落入篮框．（注：篮球架看作是一条与地面垂直的线段，篮框看作是一个点；投篮时球、眼睛看作是在一条与地面垂直的直线上．备用数据：sin16.7°=0.29，cos16.7°=0.96，tan16.7°=0.30；sin24.2°=0.41，cos24.2°=0.91，tan24.2°=0.45；），∴4.．一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面5m以前完成规定的动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误，根据经验，运动员起跳后的时间t（s）与运动员距离水面的高度h（m）满足关系式：h=10+2.5t﹣5t2，那么运动员最多有多长时间完成规定动作？﹣=5．（2013•婺城区一模）某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3.6米，问此次跳水会不会失误？．，或﹣，，x））×=，=6．某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段，已知跳水板AB 长为2m，跳水板距水面CD的高BC为3m，CE=5m，CF=6m，为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点hm（h≥1）到达距水面最大高度4m，规定：以CD为横轴，CB 为纵轴建立坐标系．（1）当h=1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；（2）若跳水运动员在区域EF内如水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时h的取值范围．[x﹣（≤]7．某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段．已知跳水板AB 长为2m，跳水板距水面CD的高BC为3m．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距hm（h≥1）时达到距水面最大高度4m．规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立直角坐标系．（1）当h=1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；（2）若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围．[x﹣（≤]。

二次函数与运动轨迹问题

二次函数与运动轨迹问题二次函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了一个物体的运动轨迹。

在实际生活中，我们经常遇到物体的运动问题，比如投篮、射门、跳高等等。

这些运动问题都可以用二次函数来描述。

首先，我们来了解一下什么是二次函数。

二次函数的一般形式是y=ax^2+bx+c(a≠0)，其中a、b、c是常数，x是自变量，y是因变量。

这个函数的图像是一个抛物线，顶点是(−b/2a,c−b^2/4a)，对称轴是x=−b/2a。

在运动轨迹问题中，物体的运动可以看作是重复的直线运动和曲线运动的组合。

直线运动是物体在一段时间内沿直线移动，可以用一次函数来描述；曲线运动是物体在一段时间内沿曲线移动，可以用二次函数来描述。

以投篮为例，当篮球离开手后，它会由于重力的作用沿一条弧线运动，这条弧线的形状可以用二次函数来描述。

具体来说，如果以t表示时间，x表示篮球的水平位移，y表示篮球的垂直位移，那么篮球的运动轨迹可以表示为y=kx^2+h(k≠0)，其中k和h是常数。

通过这个例子，我们可以看出二次函数在描述物体的运动轨迹方面具有重要作用。

在实际应用中，我们可以通过测量物体的运动数据，比如时间、位置、速度、加速度等，来拟合出物体的运动轨迹方程，从而更好地预测和控制物体的运动。

除了投篮，二次函数还可以描述其他类型的运动轨迹问题。

比如跳高运动中，运动员的腾空高度随时间的变化可以用二次函数来描述；在发射卫星时，卫星的轨道高度随时间的变化也可以用二次函数来描述。

总之，二次函数是描述物体运动轨迹的一个重要工具。

通过掌握二次函数的性质和应用方法，我们可以更好地解决实际生活中的运动轨迹问题，提高我们的生活质量和工作效率。

2021最新版二次函数的实际应用：建模问题

二次函数的实际应用：建模问题一、球类、跳水、喷泉问题这类问题对于解析式的确定通常采用顶点式：1. 球类问题分为篮球问题、足球问题及羽毛球问题。

篮球问题会考察“球是否入篮”，即看篮筐所在点是否在抛物线上；“足球是否进球门”即看球到达球门所在位置时纵坐标是比球门高还是低；羽毛球涉及过网越界问题，即计算在过网位置纵坐标比网高还是低，越界考察在界限位置纵坐标是正数还是负数。

2. 跳水问题考察的是动作是否在规定范围内规范，同样考察在指定位置的纵坐标与限定高度的大小比较。

3. 喷泉问题考察的比较多的是圆形水池的半径，需要计算抛物线与水池水平面的交点坐标。

1、如图，羽毛球运动员甲站在点 O 处练习发球，将球从 O 点正上方23m 的 P 处发出，把球勘察点，其运行路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点时，其高度为617m ，离甲站立地点 O 的水平距离为 4m ，球网 BA 离 O 点的水平距离为 5m ，以 O 为坐标原点建立如图所示的坐标系，乙站立地点 C 的坐标为（m ，0）①求出抛物线的解析式；（不写自变量的取值范围）②求排球落地点N 离球网的水平距离； ③乙原地起跳可接球的最大高度为49米，若乙因为接球高度不够而失球，求 m 的取值范围．2、某跳水运动员进行 10 米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点 O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面 332米，入水处距池边的距离为 4 米，运动员在距水面高度为 5 米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误． ①求这条抛物线的解析式．②在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是①中的抛物线，且运动员在空中完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势时，距池边的水平距离为 3.6 米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．3、如图所示，公园要建造圆形的喷水池，水池中央垂直于水面处安装一个柱子 OA ，O 恰在水面中心，OA=1.25m ，由柱子顶端 A 处喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在 OA 距离为 1m 处达到距水面最大高度 2.25m ． ①若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不能落到池外？②若水流喷出的抛物线形状与①相同，水池的半径为 3.5m ，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？4、一场篮球赛中，球员甲跳起投篮，已知球在 A 处出手时离地面920m ，与篮筐中心C 的水平距离为 7m ，当球运行的水平距离是 4m 时，达到最大高度 4m （B 处），篮筐距地面 3m ，篮球运行的路线为抛物线（如图所示）．①建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式；②判断此球能否投中？5、如图，小区中央公园要修建一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子 OA ，O 恰好在水面的中心，OA=1.25 米．由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计水流在离OA 距离为 1 米处达到距水面的最大高度 2.25 米．①建立适当的平面直角坐标系，使A 点的坐标为（0，1.25），水流的最高点的坐标为（1，2.25），求水流的抛物线路线在第一象限内对应的函数关系式（不要求写取值范围）；②若不计其他因素，则水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落到池外？ ③若水流喷出的抛物线形状与①相同，水池半径为 3.5 米，要使水流不落到池外，此时水流距水面的最大高度就达到多少米？6、如图，足球上守门员在O 处开出一高球．球从离地面 1米的A 处飞出（A 在 y 轴上），把球看成点．其运行的高度y （单位：m ）与运行的水平距离 x （单位：m ）满足关系式h x a y +-=2)6(（1）①当此球开出后．飞行的最高点距离地面 4 米时．求y 与 x 满足的关系式．②在①的情况下，足球落地点 C 距守门员多少米？（取734≈）③如图所示，若在①的情况下，求落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．求：站在距离O 点 6 米的 B 处的球员甲要抢到第二个落点 D 处的球．他应再向前跑多少米？（取562≈）（2）球员乙升高为 1.75 米．在距 O 点 11 米的H 处．试图原地跃起用头拦截．守门员调整开球高度．若保证足球下落至 H 正上方时低于球员乙的身高．同时落地点在距 O 点 15 米之内．求 h 的取值范围．7、如图，一位篮球运动员甲在距篮球筐下 4 米处跳起投篮，球的运行线路为抛物线，当球运行到水平距离为 2.5 米时达到最高高度为 3.5 米，然后准确地落入篮筐，已知篮圈中心到地面的高度为 3.05 米，该运动员的身高为 1.8 米．在这次投篮中，球在该运动员的头顶上方 0.25 米处出手，则当球出手时，该运动员离地面的高度为________米．运动员乙跳离地面时，最高能摸到 3.3 米运动员乙在运动员甲与篮板之间的什么范围内能在空中截住球？二、隧道、过桥问题隧道、过桥问题通常采用的是y=ax2+c 的形式，通常考察的是车或者船是否能够通过，考察的是车或者船的高度比车或者船边缘对应纵坐标的数值大小比较。

“球类”运动中的二次函数

“球类”运动中的二次函数数学和生活息息相关，数学就在你的身边.“新课程标准”要求学生初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，解决日常生活中与其他学科中遇到的数学问题，增强数学的应用意识.体育运动项目中的篮球、铅球、羽毛球、足球等是学生特别熟悉而又喜爱的运动方式，球类运动的曲线与我们学过的抛物线很投缘，其中涉及到不少的二次函数的相关知识，二次函数是刻画现实世界变量之间关系的一种常见的数学模型，许多实际问题，可以通过分析题目中变量之间的关系，建立二次函数模型，从而利用二次函数的图像和性质加以解决．下面根据背景不同分情况探究如下.一、跳绳运动中的二次函数例1你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图1所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2.5m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1.5m，则学生丁的身高为（建立的平面直角坐标系如图所示）（）A．1.5m B．1.625m C．1.66m D．1.67m分析：本题考查阅读理解、数据处理及建立二次函数模型的能力．由于绳子甩到最高处时的形状可近似地看为抛物线，因此，根据条件中的数据得到抛物线上3个点的坐标后，再利用一般式即可求出函数表达式；而求丁的身高，转化为数学问题就是求抛物线上横坐标为1.5时对应点的纵坐标．解：设函数表达式为y=Ax2+Bx+C，易知图像经过点（—1，1），（0，1.5），（3，1），可得A—B+C=1，A= —1/6，C=1.5，解得B=1/3，9A+3B+C=1．C=1.5．所以函数表达式为y= —61x2+31x+23．当x=1.5时，y=1.625．答案：B．二、以投掷“铅球”为背景渗透的二次函数问题例2、(济南)小明代表班级参加校运动会的铅球项目，他想：“怎样才能将铅球推得更远呢？”于是找来小刚作了如下探索：小明手持铅球在控制每次推出时用力相同的条件下，分别沿与水平线成30°，45°，60°方向推了三次.铅球推出后沿抛物线形运动，如图，小明推铅球时的出手点距离地面2m，以铅球出手点所在竖直方向为y轴，以地平线为x轴建(2)请根据以上数据，对如何将铅球推得更远提出你的建议.分析：本题以“体育活动中铅球投掷的远近”为课题，为学生设置了一个探究的数学广场.试题设计起点较低，题目已将实际问题（建立了平面直角坐标系）抽象成了二次函数的数学模型，而且已有二次函数的解析式的雏形，只要用待定系数法且发现出手点（0，2）在抛物线上，问题便迎刃而解.至于求铅球落点到小明站立处的水平距离只需令所求抛物线的解析式中的y2=0，求得到抛物线与x轴交点的横坐标即可.（1）观察表格提供的信息有与水平成30°、60°的方向投掷铅球轨迹（抛物线）的解析式及铅球投掷的最高点和最远点的距离，让考生探究沿45°方向投掷时行走的轨迹（抛物线）的解析式及铅球投掷的最大水平距离.我们可设“推铅球的方向与水平线成45°”时形成的抛物线的解析式为y2=a(x-4)2+3.6又出手点（0，2）在抛物线上，故有16a+3.6=2，解之，得a=－0.1，欲求铅球落点到小明站立处的水平距离，即求当y2=0时与x轴交点的横坐标.因而有-0.1(x-4)2+3.6=0，解之得x1=-2，（舍去）x2=10，所以铅球落点到小明站立处的水平距离为10米.例3一男生在校运会的比赛中推铅球，铅球的行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系用如图2所示的二次函数图象表示．（铅球从A点被推出，实线部分表示铅球所经过的路线）⑴由已知图象上的三点，求y与x之间的函数关系式．⑵求出铅球被推出的距离．⑶若铅球到达的最大高度的位置为点，落地点为，求四边形的面积．分析：本题考查从图象中获取信息能力．观察图象可得到抛物线上的三个点的坐标，从而求出函数表达式；在此基础上，利用二次函数与一元二次方程的关系可求出抛物线与x轴的交点坐标，得铅球被推出的距离；最后通过配方法将函数式化成顶点式，得到顶点坐标，用分割法求得四边形的面积．解：⑴设y =Ax 2+Bx +C ，已知图象经过（—2，0），（0，35），（2，38）三点，由此可求得A = —121，B =32，C =35，所以y = —121x 2+32x +35． ⑵令y =0，即—121x 2+32x +35=0，解得x 1=10，x 2= —2（不合题意，舍去）．所以铅球被推出的距离是10米．⑶作BD ⊥OC ，D 为垂足．因为y = —121（x 2—8x —20）= —121（x —4）2+3，所以B （4，3）；由⑵得C （10，0）．所以S 四边形OABC = S 梯形OABD +S △BDC =21×（35+3）×4+21×6×3=1831．三、篮球比赛中的二次函数例4某学校初三年级的一场篮球比赛中，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高920米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．⑴建立如图2的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？⑵此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？（3）若该队员身高1.7米，球出手时距头顶0.3米，那么他需要跳起多高才能投中？（结果保留一位有效数字）分析：这是一个有趣的、、和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x =1时函数y 的值与最大摸高3.1米的大小．解：⑴由条件可得到球出手点、最高点、和篮圈的坐标分别为A （0，920），B （4，4），C （7，3），其中B 是抛物线的顶点．设二次函数解析式为y =A （x —h ）2+k ，将点A 、B 的坐标代入，可得y = —91（x —4）2+4．将点C 的坐标代入上式，得左边=右边，即点C 在抛物线上．所以此球一定能投中． ⑵将x =1代入函数式，得y =3．因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．四．铅球与二次函数例5某同学推铅球时，铅球行进的路线是抛物线．已知铅球出手时距离地面的高度是1.4米，铅球行进1.5米后到达最高点，此时距离地面2米，问铅球从出手到落地行进的距离是多少米?（结果保留根号）解：依题意，铅球行进的路线是如图3所示的抛物线A -B -C 这一部分(A 为铅球出手时位置，B 为铅球行进中的最高点，C 为铅球落地时的位置)．以地面为x 轴，过点A 垂直于x 轴的直线为y 轴建立直角坐标系，则抛物线经过点A (0，1.4)，顶点为(1.5，2)，其解析式为y =a (x -1.5)2+2．把x =0，y =1.4代入得，1.4=2.2a +2．解得a =-415．故y =-415(x -1.5)2+2．由y =0，得x．所以C，0)．OC)． 2、（07年连云港市）丁丁推铅球的出手高度为1.6m ，铅球飞行的线路符合抛物线20.1() 2.5y x k =--+，在如图所示的直角坐标系中，求铅球的落点与丁丁的距离．解：由题意知，点(016)，在抛物线20.1() 2.5y x k =--+上，所以21.60.1(0)2.5k =--+．解这个方程，得3k =或3k =-（舍去）．所以，该抛物线的解析式为20.1(3) 2.5y x =--+．当0y =时，有20.1(3) 2.50x --+=，解得18x =，22x =-（舍去）．所以，铅球的落点与丁丁的距离为8m ．五、以“足球”为背景二次函数应用问题例6、（08吉林省长春市、新疆建设兵团）如图，足球场上守门员在O 处开一高球，球从离地面1米的A 处飞出(A 在y 轴上)，运动员乙在距O 点6米的B 出发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面4米高，球落地后又一次弹起.据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到图3 Bx（第2题图）原来最大高度的一半.(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式； (2)足球第一次落地点C 距守门员多少米？（取34=7）(3)运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑多少米？（取62=5）分析：（1）由题意知足球开始飞出到第一次落地抛物线顶点坐标为（6，4），故可设相应抛物线的解析式为y=a(x －6)2+4，又开出点A （0，1）在抛物线上，故有36a+4=1，解之，得a=－121，故抛物线的解析式为y=－121x 2+x+1，（2）欲求足球落地点到守门员C 的水平距离，即求当y=0时与x 轴交点的横坐标.因而有－121x 2+x+1=0，解之得x 1=6－43，（舍去）x 2=6+43，所以足球第一次落地点C 距守门员6+43≈13米.（3）因为足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，故可设抛物线的解析式为y=－121(x －k)2+2又点（6+43，0）在抛物线上，所以k=6+43+26，根据抛物线的对称性，运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑CD=2×（6+43+26－6－43）=46≈10米.例7 为了备战世界杯，中国足球队在某次训练中，一队员距离门12米处挑射，正好射中了 2.4米高的球门横梁，若足球运动的路线是抛物线y =ax 2+bx +c ，如图所示，则下列结论⑴a ＜-160；⑵-160＜a ＜0；⑶a -b +c ＞0；⑷0＜b ＜-12a ，其中正确的是( )A ．⑴⑶B ．⑴⑷C ．⑵⑶D ．⑵⑷ 解：把点(0，2.4)、(12，0)代入解析式得c =2.4，b =-12a -0.2．故b ＜-12a ．又抛物线开口向下，故a ＜0．且对称轴x =-2ba＞0，故b ＞0．即0＜b ＜-12a ，因此⑷正确．又因144a +12b =-2.4且b ＞0，故144a ＜-2.4．因此a ＜-160，因此⑴正确．因此，应选B ．六、以“羽毛球”为背景二次函数应用问题例8、（山西省）甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一枚十分关键的球，出手点为P ，羽毛球飞行的水平距离s(米)与其地面高度h(米)之间的关系式为h=2121s -+s 32+23如图，已知球网AB 距原点5米，乙(用线段CD 表示)扣球的最大高度为49米，设乙的起跳点C 的横坐标为m ，若乙原地起跳，因球的高度高于乙球扣球的最大高度而导致接球失误，则m 的取值范围是_____.分析：此题是以“羽毛球”为载体创设的二次函数的应用问题，本题已告诉了羽毛球飞行的水平距离s(米)与其地面高度h(米)之间的关系式为h=2121s -+s 32+23，我们不妨先求出当乙扣球的最大高度为49米刚刚触及羽毛球时，乙对应的横坐标值. 列方程得2121m -+m 32+23=49，解得m 1=74-，m 2=74+，根据二次函数h=2121m -+m 32+23在对称轴m=4的右侧h 随m 得增大而减小，又“球的高度高于乙球扣球的最大高度” 所以m<74+，另一方面乙站在球网的右则因而m> 5故m 的取值范围为5<m<74+点评：数学和生活息息相关，数学就在你的身边，数学与日常生活、自然、社会、和科学技术有着密切的联系，数学在现实生活中有着广泛的应用，就连大家平时喜爱的体育运动都蕴含着许多数学道理．练习1.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是经过原点O 的一条抛物线。

二次函数相关趣味问题

二次函数相关趣味问题当然，这里有一些与二次函数相关的趣味问题：1. 反弹球问题：一个篮球从高为5米的空中落下，每次落地后都会反弹回原高度的一半，然后再落下。

问第10次落地后，篮球距离初始位置有多远？2. 抛物线隧道问题：一辆汽车以恒定速度穿越一个抛物线隧道。

问汽车在何时距离隧道口最近和最远？3. 投篮问题：一个篮球运动员站在距离篮筐10米的地方，他每次投篮的进球概率是p。

如果他连续投篮直到投进一球或失去机会（最多投篮10次）。

问哪种情况下，他投篮的平均得分更高？4. 气球爆破问题：一个气球在升空过程中不断变大，当气球升到某个高度时，它会爆炸。

问气球在爆炸前达到的最大高度是多少？5. 最大利润问题：一个商家在销售商品时，每件商品的售价p与其库存量q有关，关系为p = 2q + 1。

问商家应该保持多少库存，以便最大化其利润？6. 距离问题：一个物体从高度h自由落体，当它下落到一半高度时，它所经历的时间是它到达地面所需时间的多少？7. 飞行器问题：一个飞行器在飞行过程中受到空气阻力的影响。

当飞行器的速度增加一倍时，它的最大飞行高度会如何变化？8. 音乐节门票问题：一个音乐节提供两种门票：普通票和VIP票。

普通票的价格是x元，VIP票的价格是y元。

如果销售出的普通票和VIP票的总数分别是m和n，那么音乐节的总收入是多少？9. 股票价格问题：一个股票的价格与其过去一周的交易量有关。

如果本周的交易量是上周的两倍，那么股票价格会如何变化？10. 利润最大化问题：一个公司生产一种产品，生产该产品的成本是固定值c，每生产一个单位的产品可以获得r元的利润。

问公司应该生产多少产品以最大化其利润？以上问题都可以通过二次函数或其性质来解决，它们不仅有趣，而且可以加深对二次函数应用的理解。

二次函数投球问题

二次函数投球问题（期末22）
1在一次篮球比赛中,运动员小涛在距篮下4米处跳起投篮,如图所示,球运行3的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时,达到最大高度3.5米,然后准确落入篮圈已知篮圈中心到地面的距离为3.05米
(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线的表达式;
(2)运动员小涛的身高是1.8米,在这次跳投中,球在头顶上方0.25米处出手问:球出手时,小涛跳离地面的高度是多少?
2某校初三年级的一场篮球比赛中,如图队员甲正在投篮,已知球出手时离地面209m,与篮圈中心的水平距离为7m,当球出手后水平距离为4m 时到达最大高度4m,设篮球运行的轨迹为抛物线,篮圈距地3m
(1)建立如图的平面直角坐标系,问此球能否准确投中
(2)此时,若对方队员乙在甲前面1m 处跳起盖帽拦截,已知乙的最大摸高为3.1m,那么他能否获得成功?
3小明在一次羽毛球比赛中,羽毛球飞行的路线为如图所示抛物线的一部分,小明在O 点正上方1m 的P 处发出一球,羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)
之间满足函数表达式y=−1
24（x-4)2+h (1)直接写出h 的值
(2)求羽毛球落地点与O 点的水平距离;
(3)若距离点O 的水平距离为5m 的点B 处,有一球网BC,且高度为1.55m 通过计算请你判断此球能否过网?
4如图,某排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+2.6.已知网球与O点的水平距离为9m,高度为2.43m,球场的边界距O点的水平距离为18m
(1)求y与x的关系式;
(2)球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由。

(文章)二次函数在体育运动中的应用

二次函数在体育运动中的应用函数在中考中具有重要的地位，近几年中考中出现很多与实际问题相结合的函数题目，注意实际问题和函数的转化。

特别是在体育运动中的应用更为方便，下面略举几例一、铅球运动例1．一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面1米，铅球落地点距离铅球刚出手时相应的地面上的点10米，铅球运行中最高点离地面3米，已知铅球走过的路线是抛物线，求这个抛物线的解析式。

分析：这是一个物理问题，由于铅球的运动路线是抛物线，因此要运用二次函数的知识去解决问题。

解：根据题意，建立直角坐标系，如图，可知抛物线经过(0, )和(10, 0)；抛物线顶点的纵坐标为3，根据题意，设抛物线的解析式为y=a(x-h)2+3 (0≤x≤10) ，将(0, )和(10, 0)代入解析式，得由①，得a=-，代入②，得-(10-h)2+3=0去分母，整理得h2+16h-80=0 ，解出h1=-20, h2=4 ，当h=-20时，y=a(x+20)2+3，抛物线顶点为(-20, 3)，此时当x=-20时，铅球运行中的最高点为3米，不符合，0≤x≤10的要求，舍去。

当h=4时，a=-，抛物线的解析式为y=-(x-4)2+3即y=-x2+x+(0≤x≤10)。

二、篮球运动例2．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。

（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式。

（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？分析：（1）已知，顶点（0，3.5）过一点（1.5，3.05）用顶点式。

（2）已知横坐标－2.5，求出纵坐标，就是抛出点的高度。

解：（1）由题意知抛物线顶点坐标为（0，3.5）且过（1.5，3.05）点，∴设y=a(x-0)2+3.5即y=ax2+3.5，将（1.5, 3.05）代入，3.05=2.25a+3.5，2.25a=-0.45 ，a=-，∴y=-x2+3.5（2）当x=-2.5时， y=-0.2×(-2.5)2+3.5=2.252.25-1.8-0.25=0.20(m)答：球出手时，他距离地面高度是0.20m。

生活中二次函数(篮球问题)PPT课件

未来展望与研究方向
跨学科研究
未来可以将数学与其他学科结合起来，如物理学、生物学等，从更广泛的视角研究体育运动的规
律和技巧。
高科技应用
随着科技的发展，未来可以利用更多的传感器和数据分析技术来研究体育运动的细节和技巧，进一步提高运动水平。
普及教育和推广
加强数学和体育的普及教育，让更多的人了解和掌握数学在体育运动中的应用，促进体育事业的发展。
数学与体育的紧密联系
运动规律描述
数学中的函数和方程可以用来描述各种运动规律，如篮球运动中的轨迹、速度和加速度等。
数据分析和预测
通过数学方法对体育比赛数据进行处理和分析，可以预测比赛结果和球员表现，为决策提供依据。
技术创新和发展
数学在体育技术创新和发展中发挥了重要作用，如运动装备的优化、训练方法的改进等。
球员更好地实现个人和团队的目标。
04 篮球运动中的其他数学问题
角度与弧度的应用
总结词
在篮球运动中，角度和弧度的概念非常重要，它们涉及到投篮、传球、防守等各个环节。
详细描述
角度在篮球中主要用于描述投篮的角度、传球的角度等，弧度则用于描述球的轨迹和旋转程度。通过数学模型和公式，可以计算出最佳的投篮角度和弧度，从而提高投篮的准确性和效率。
05 结论
二次函数在篮球运动中的重要性
01
02
03
投篮轨迹分析
通过二次函数，可以描述篮球的投篮轨迹，帮助球员和教练更好地理解和预测球的落点。
最佳出手点
利用二次函数的极值性质，可以找到最佳的投篮出手点，提高投篮命中率。
训练和比赛策略
基于二次函数的分析，可以制定更加科学的训练和比赛策略，提高球队的整体水平。

二次函数在生活中的运用

二次函数在生活中的运用二次函数是一个具有形式为y=ax^2+bx+c的二次多项式函数，其中a、b、c是实数且a≠0。

它是数学中一个重要的函数类型，其在现实生活中有许多广泛的应用。

下面将介绍一些二次函数在生活中的运用。

1.物体的自由落体运动：当物体从静止的位置开始自由下落时，其高度与时间的关系可以用二次函数来描述。

根据物体下落的加速度和初速度，我们可以建立二次函数模型来预测物体的高度随时间的变化。

2.弹性力的计算：弹性力是恢复力的一种，其大小与物体偏离平衡位置的距离成正比。

当物体被施加一个力使其偏离平衡位置时，恢复力的大小可以用二次函数描述。

3.抛物线的建模：抛物线是二次函数的图像，它在很多领域中都有应用。

例如，在建筑设计中，抛物线形状的屋顶可以提供更好的排水系统。

在桥梁设计中，抛物线形状的拱桥可以提供更好的结构稳定性。

4.投射物体的路径预测：当一个物体以一定的初速度和角度被抛出时，它的轨迹可以用二次函数模型来预测。

例如，在棒球运动中，球员可以通过分析投球的初速度和角度来预测球的落点。

5.音乐乐器的调音：乐器的音高可以通过改变乐器弦的张力来调节。

根据弦的拉紧程度，可以建立一个二次函数模型来描述音高与弦长的关系。

这使得乐器演奏者能够根据需要调整乐器的音高。

6.经济中的成本与产出关系：在经济学中，成本与产出的关系经常可以用二次函数来描述。

例如，生产一定数量的商品所需的成本与产出之间可能存在一个最优点，通过求二次函数的极值，可以确定最大化利润的产量。

7.变量与值的关系：二次函数可以用来描述两个变量之间的关系。

例如，员工的工资与工作经验之间可能存在一个二次函数模型，随着工作经验的增加，工资可能会呈现先上升后下降的趋势。

8.交通流量的模拟：交通流量的变化可以用二次函数来建模。

例如，小时交通流量随时间的变化可能呈现一个钟形曲线，交通高峰期的交通流量较大，而其他时间段的交通流量相对较小。

以上仅列举了二次函数在生活中的一些应用，其中还有许多其他的应用。

二次函数在生活中的应用案例

二次函数在生活中的应用案例1. 游艺项目中的过山车设计过山车是一个经典的游艺项目，其设计中应用了二次函数的概念。

在过山车的设计中，设计师需要考虑到乘客的体验和安全。

二次函数可以描述过山车的轨道曲线，使乘客在高速行驶和兴奋的同时，保持相对平稳和安全的感觉。

通过调整二次函数的参数，如抛物线的开口方向、高度、曲率等，设计师可以创造出令人惊险刺激又相对安全的过山车体验。

2. 投掷运动中的球的抛物线轨迹在投掷运动中，例如投掷物体或运动员抛投物体，物体在空中的轨迹可以被二次函数描述。

球类运动如篮球、足球、棒球等的投掷和弹射过程，都可以用二次函数模型来描述球的运动轨迹。

运动员和教练可以利用二次函数模型来预测球的飞行轨迹和最佳投掷角度，从而提高命中率和战术效果。

3. 桥梁和建筑物设计在桥梁和建筑物的设计过程中，对于拱形和弧形结构的设计，也是利用了二次函数的概念。

二次函数可以描述建筑物和桥梁的曲线形状，使得结构既具有美观性，又具备一定的坚固和稳定性。

例如，拱桥和拱门的设计中，二次函数模型可以帮助工程师确定合适的拱形曲线，以及正确的弧度和支撑结构，从而确保桥梁的结构稳定和承载能力。

4. 金融领域的货币供给和通货膨胀模型二次函数在金融领域中也有广泛的应用。

例如，货币供给和通货膨胀模型可以使用二次函数来描述。

在经济学中，通过调整二次函数的参数，如货币供应量和通货膨胀率之间的关系，可以预测未来经济的走势和市场表现。

政府和央行可以据此采取相应的货币政策，以维持经济的稳定和平衡。

5. 自然界中的抛物线曲线在自然界中，许多自然现象的运动轨迹也可以用二次函数来描述。

例如，抛物线轨迹可以在大多数情况下模拟自然界中物体的运动。

比如，自由落体下的物体、喷泉中水的喷射、炮弹的轨迹等都可以使用二次函数模型来描述其运动状态。

通过利用二次函数，我们可以更好地理解和解释自然界中的规律和现象。

总结：二次函数在生活中的应用案例非常广泛。

从游艺项目的过山车设计到金融领域的经济模型，从投掷运动的球的抛物线轨迹到桥梁和建筑物的设计，二次函数都发挥着重要的作用。

二次函数在体育学中的应用

二次函数在体育学中的应用二次函数是高中数学中的一种常见函数类型，它在体育学中有着广泛的应用。

本文将探讨二次函数在体育学中的具体应用案例，并分析其原理和效果。

1. 高尔夫球轨迹模拟高尔夫球的飞行轨迹可以被建模为二次函数。

通过观察击球时的初始速度、角度以及空气阻力等因素，可以将高尔夫球的运动轨迹表示为一个二次函数方程。

教练可以使用这个方程来预测球的飞行路径，并为球员提供改进击球技巧的建议。

此外，通过分析球的轨迹，球员还可以了解到自己的击球力度是否适当，从而进行进一步调整。

2. 跳远成绩预测二次函数在跳远成绩的预测中也有重要应用。

通过测量运动员的身高、体重以及起跳速度等参数，可以建立一个二次函数模型，用来预测运动员的跳远成绩。

这个模型可以帮助教练评估运动员的潜力，并制定训练计划，以提高其跳远能力。

此外，运动员也可以通过分析预测模型，找到自己的短板，并有针对性地进行训练，以达到更好的成绩。

3. 球类运动中的抛物线运动二次函数中的抛物线模型也广泛应用于各种球类运动中。

比如篮球、足球和排球等。

当球员投掷或踢球时，球的轨迹往往呈现出一个抛物线形状。

通过观察球的初速度、发射角度以及重力等因素，可以建立一个二次函数方程，来描述球的运动轨迹。

这种建模方法可以帮助球员更好地控制球的弹道，提高投射或踢球的准确性。

4. 时间和速度的关系分析在各种体育项目中，时间和速度之间的关系也可以用二次函数来描述。

比如田径赛跑中，运动员的速度通常会随着时间的增加而增加，然后逐渐趋于稳定。

通过观察选手的时间-速度曲线，可以获得对选手速度变化的更深入理解，并且为教练提供改善训练方法的依据。

综上所述，二次函数在体育学中具有重要的应用。

它可以帮助教练更好地理解不同运动项目中的运动规律，并为运动员提供更准确的指导。

通过建立适当的二次函数模型，可以预测运动成绩、改进技术，并帮助运动员实现更好的表现。

因此，掌握二次函数的原理和应用方法对于研究体育学领域的人士来说是至关重要的。

二次函数的应用于体育学问题

二次函数的应用于体育学问题在体育学中，使用数学模型是非常常见的。

其中，二次函数是一种被广泛应用的数学方程。

本文将探讨二次函数在体育学问题中的应用，并解释其背后的原理。

一、抛物线运动的模拟在许多体育项目中，抛物线运动是非常常见的，例如铅球、篮球、棒球等。

我们可以通过使用二次函数来模拟和预测抛物线运动的轨迹。

二次函数的标准形式为：y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数。

在抛物线运动中，横轴代表时间，纵轴代表运动的高度。

通过调整a、b、c的值，我们可以预测抛物线的高度和形状。

比如，在篮球运动中，我们可以使用二次函数来模拟篮球从球员手中的抛出到篮筐的轨迹。

通过观察球员抛出篮球时的初始速度和角度，我们可以计算出二次函数的参数，并据此预测球的轨迹。

这对于教练员和球员来说，是一种重要的训练和比赛辅助工具。

二、反应时间的测量在某些体育项目中，反应时间是非常关键的指标。

例如游泳比赛中的跳水、田径比赛中的起跑等。

我们可以使用二次函数来测量和评估运动员的反应时间。

反应时间是指从刺激到产生反应的时间间隔。

通过使用一个二次函数来模拟反应时间的曲线，我们可以计算运动员的平均反应时间。

这对于提高运动员的反应能力、优化训练计划和选择合适的人才都具有重要意义。

三、力学分析与优化在体育学中，力学分析和优化是非常重要的课题。

而二次函数可以被用于模拟和优化某些力学问题。

例如，在田径中，我们可以使用二次函数来分析和优化跳远过程中的起跳角度和速度。

通过建立合适的二次函数模型，我们可以计算出最佳的起跳角度和速度，以最大限度地延长跳远的距离。

此外，在一些团体项目比如足球、篮球中，二次函数也可以用于分析和优化球队的防守和进攻策略。

通过建立合适的二次函数模型，我们可以预测不同策略下的得分和失分情况，从而优化球队的表现。

四、训练计划的制定在体育训练中，设计合适的训练计划是非常关键的。

二次函数可以用来制定训练计划，以帮助运动员取得最佳的训练效果。

二次函数篮球抛物线题目

二次函数篮球抛物线题目二次函数在描述抛物线运动中起到了重要的作用。

下面我将从多个角度回答关于篮球抛物线的问题。

1. 什么是篮球抛物线？篮球抛物线是指篮球在投掷过程中所形成的轨迹，它呈现出一个向上开口的弧线形状。

这是因为篮球在受到重力的作用下，以一定的初速度和角度被抛出，形成了一个抛物线运动。

2. 如何描述篮球抛物线的运动？篮球的抛物线运动可以使用二次函数来描述。

一般而言，我们可以使用标准形式的二次函数方程 y = ax^2 + bx + c 来表示篮球的抛物线轨迹。

其中，a、b、c分别代表函数的系数，x和y分别代表坐标轴上的位置。

3. 二次函数中的系数对篮球抛物线有何影响？系数a，决定了抛物线的开口方向和抛物线的开口程度。

当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。

同时，a的绝对值越大，抛物线的开口程度越大。

系数b，决定了抛物线在x轴方向的平移。

正值b会使抛物线向左平移，负值b会使抛物线向右平移。

系数c，决定了抛物线在y轴上的位置，即抛物线的顶点位置。

4. 如何确定篮球抛物线的方程？要确定篮球抛物线的方程，需要知道抛出篮球的初速度、抛射角度以及重力加速度等参数。

根据这些参数，可以利用运动学公式和物理定律，推导出二次函数的系数，并得到抛物线的方程。

5. 如何利用篮球抛物线方程解决相关问题？通过篮球抛物线方程，我们可以回答一些与篮球运动相关的问题，例如：篮球的最高点在什么位置？篮球的飞行时间是多少？篮球的最大射程是多少？篮球何时落地？篮球的轨迹是否能够穿过篮筐？通过求解方程，我们可以得到这些问题的具体答案，并进一步分析篮球的运动特征。

总结起来，二次函数在篮球抛物线问题中扮演着重要的角色。

通过对二次函数方程的分析和求解，我们可以揭示篮球抛物线的运动规律，并解决与篮球运动相关的问题。

二次函数与抛球问题洋葱数学

二次函数与抛球问题洋葱数学摘要：1.二次函数与抛球问题的基本概念2.抛球问题中的关键转化方法3.解题步骤与实例分析4.提高抛球问题解题技巧的方法正文：二次函数与抛球问题一直是数学中的热门话题，它们之间有着紧密的联系。

抛球问题主要涉及到物理、数学和几何等多个方面的知识，其中二次函数起到了关键性的作用。

为了更好地理解和解决抛球问题，我们需要掌握二次函数的基本概念和抛球问题中的关键转化方法。

首先，我们来了解一下二次函数与抛球问题的基本概念。

二次函数是数学中的一种函数形式，它的图像通常为抛物线。

而在抛球问题中，抛物线代表了物体在空中运动的轨迹。

抛球问题可以分为竖直抛球和水平抛球两种情况，它们的解题方法有所不同。

接下来，我们来看看抛球问题中的关键转化方法。

在解决抛球问题时，我们需要将实际问题转化为数学问题，进而运用二次函数的知识进行分析。

具体来说，我们需要将抛球问题中的长度和高度信息转化为坐标问题，这一步是解决抛球问题的关键。

通过建立适当的坐标系，我们可以将复杂的问题简化，更容易找到解决问题的思路。

下面，我们来详细解析解题步骤与实例分析。

以一名男生推铅球为例，根据图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系为y = 1/12 * x^2 - 5/3 * x + 10。

我们需要求解铅球推出的水平距离oa的长度。

解题步骤如下：1.将初始高度y0代入关系式，得到y = 1/12 * x^2 - 5/3 * x + 10 - 1/12 * x^2 / 3 * 5/3；2.整理方程，得到x - 8x - 200 = 0；3.求解方程，得到x = 10 或x = -2（舍去）。

最后，我们来谈谈如何提高抛球问题解题技巧。

要想解决抛球问题，除了掌握二次函数的基本知识外，还需要多加练习，熟练掌握各种解题方法。

此外，分析问题的关键在于将实际问题转化为数学问题，这就需要我们在解题过程中不断提高自己的数学思维能力和分析能力。

体育运动中的二次函

“体育运动中的二次函数这几年，在各省市的中考题中，出现了一些以体育运动为背景的中考试题，用以考查二次函数的有关知识.这类试题主要体现了数学知识与其它学科知识之间的变通性、统一性和实用性.这类试题的出现不仅增强了试题的趣味性，开拓了学生的视野，丰富了学生的知识，而且有利于培养学生应用数学知识的能力一、足球例l在一场足球训练中，一名队员从球门正前方10米处练习挑射技术，当球被踢出后，运行的路线为抛物线.建立如图1所示的平面直角坐标系后，得抛物线的解析式为，y=- 112x2+76x尖:，已知球门框高为2.44米，请问如此射门能否进球?分析要探讨球能否进，在不考虑踢偏的情况下，就要看球飞行10米的位置与球门框的高比较了，若球高出球门框则不进，否则就进.要确定10米处的球的位置，就是求横坐标为10时的纵坐标的值.解当x=10 y=- 112102+7610=103>2.44米，…这次射门不能进球.二、篮球例2在一场篮球比赛中，队员甲跳起投篮，当球出手后，篮球运行的路线为抛物线，其解析式为y= - 112x2 + 89x+209 此时，若对方队员乙在甲前lm 处跳起盖帽(盖帽:一方球员在对方投球人出手之后，球到达最大高度之前将球从空中打掉称为盖帽).已知队员乙的最大摸高为3.19m ，那么他的这次盖帽能否成功?分析若能盖帽，则此时可以将队员乙的最大摸高看成是一个点的纵坐标，即把y=3.19代人解析式中求出x 的值与lm 相比较即可.解把y=3.19，代人解析式，y= - 112 x 2 + 89 x+ 209 ， 3.19= - 112 x2 + 89 x+ 209 .解得，x 1=1.3，x 2=6.7(舍去)，即队员乙距队员甲身前 1.3米以内盖帽都能成功.lm<1.3m ，…队员乙的这次盖帽能成功.三、铅球例3如图2，一名男生在校运动会的比赛中推铅球，铅球在点A 处出手，出手时球离地面约123 m ，铅球落地在点B 处，铅球运行中在男生前4m 处达到最高点，最高点高为3m.已知铅球经过的路线为抛物线，根据图示的平面直角坐标系，求出该男生的成绩.分析根据图示可知，该男生的成绩就是OB 的长，即是点B 的横坐标的值，因此先求出此抛物线的解析式，此时点B 是抛物线与x 轴的交点，纵坐标为0，即y=0，将抛物线的解析式转化为一元二次方程，求出它的正根就是OB 的长.解由题意得，该抛物线的顶点坐标为(4，3)，设其解析式为，y=a(x-4)2+3，把A 点坐标(0，123 )号，代入得，l=a(0一4)2+3，解得a = - 112 , y= - 112 (x-4)2+3又点B 是抛物线与x 轴的交点，y==0， - 112 (x-4)2+3=0 解得x l =10，x 2= -2(舍去)，即OB 二10.所以该男生的成绩为10米.四、羽毛球例4甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一个十分关键的球，出手点为尸，羽毛球飞行的水平距离，(米)与其距地面高度h(米)之间的关系式为h= - 112 s 2 + 23 s+ 32 ，已知球网AB 距原点5米，乙(用线段CD表示)扣球的最大高度为94 米，设乙的起跳点C 的横坐标为m ，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m 的取值范围是分析当球的高度正好等于乙扣球的最大高度时，此时D 为抛物线的一点，它的纵坐标为94 ;又考虑到球网AB 距原点5米，所以m取值范围在B 、C 之间，将h= 94 粤代人解析式中，求出s 的值即可..解h= 94 ，94 = - 112 s 2 + 23 s+ 32 解得米<5米，S 2 =不符合题 m 的取值范围为，故填五、高尔夫例5如图4，在高尔夫球赛中，甲从山坡下O 处打出一球向山坡上洞B 飞去，已知山坡与水平方向的夹角为30o .OB=18m ，球水平飞行9m 时，达到最高12m ，已知球在空中飞行的路线为一抛物线，问此球能否一杆进洞?分析先利用顶点式求出抛物线的解析式，再求出点B 的坐标，最后判定点B 是否在抛物线的图象上，若在，则可一杆进洞.解由题意可得，抛物线的顶点坐标为(9，12)，设其解析式为少y=a(x-9)2+12，把点O(0，0)代人得，0=a(0-9)2+12，解得，a= - 427 ，y= - 427 (x-9)2+12，在Rt △OBA 中，AOB=30o ，OB=18，…AB=9，OA=…点，把x=代人，y= - 427 (x-9)2+12中，得y9，所以此球不能一杆进洞.六、跳远例6如图5所示，小敏在今年校运动会跳远比赛中跳出了满意的一跳，函数h=3.5t-4.9t2(t的单位:s，h的单位:m)可以描述他跳远的重心高度的变化，则他起跳后l=4。

体育运动中的抛物线

2
a
1 5
y
1 2 x 3 .5 5
新课讲解
（2）该运动员身高1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方 0.25m处出手，问球出手时，他跳离地面的高度是多少？
解: (2)当x= - 2.5时
3. 5m
1 y (2.5) 2 3.5 2.25 5
2.5m
3.05m
1.67<2.44 当球飞行的水平距离为10m时,球高约为
球能射入球门。
思维训练
解法二：也可在最高点建立直角坐标系 2 y ax h 形式表达式设
y ax2 3 （-6，0）代入
则有0 36a 3
a 1 12
3
1 2 y x 3 12
-6
4
当x=4时
解：根据题目所给信息画示意图，设抛物线表达式为顶点式
即y a( x 6)2 3
图象又过原点(0,0)
1 a 12
0
6
10

0 a(0 6) 2 3 1 y ( x 6) 2 3 12 1 5 当x 10时 y (10 6) 2 3 1.67 (m) 12 3
2.25 1.8 0.25 0.2
所以，他跳离地面的高度为0.2m
4m
问题探究
一场足球比赛中，一名球员从球门正前方10m处将球踢起，假设足球运行路线近似为抛物线，当球飞行的水平距离为6m时，球到达最高点，此时球的高度为3m，已知球门高为2.44m，问能否射中球门？分析：根据题目所给信息可以起脚处作为坐标原点，足球到球门之间的水平距离为x轴，建立平面直角坐标系。则抛物线是开口下，且在（6， 3）处达到最高点. 3

球类运动中的抛物线

球类运动中的抛物线踢足球，掷铅球是两类体育运动项目，你知道吗踢足球，掷铅球不光要有力气，而且还涉及一些数学知识，下面就见识两道与球类有关的二次函数问题.例1 如图1，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起.据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半.（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式. 图1（2）足球第一次落地点C 距守门员多少米（取43=7）（3）运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑多少米（取26=5）. 分析：本题是一道设计比较新颖的试题，要求足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式，则需要根据已知条件确定点A 和顶点M 的坐标，因为OA=1，OB=6，BM=4，所以点A 的坐标为（0,1）,顶点M 的坐标是（6,4）.根据顶点式可求到抛物线关系式.因为点C 在x 轴上,所以要求OC 的长,只要把点C 的纵坐标y=0,代入函数关系式,通过解方程求到OC 的长.要计算运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑多少米,实际就是求DB 的长.求解的方法有多种.解：（1）设第一次落地时，抛物线的表达式为y=a （x-6）2+4,由已知：当x=0时y=1,即1=36a+4,所以a =-121 所以函数表达式为y=-121（x-6）2+4或y=-121x 2+x+1. （2）令y=0,,则-121（x-6）2+4=0, 所以（x-6）2=48,所以x 1=43+6≈13,x 2=-43+6<0（舍去）.所以足球第一次落地距守门员约13米.（3）如图4，第二次足球弹出后的距离为CD,根据题意：CD=EF （即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位）所以2=-121（x-6）2+4,解得x 1=6-26,x 2=6+26,所以CD=|x1-x2|=46≈10.所以BD=13-6+10=17（米）.例2 小明代表班级参加了校运动会的铅球项目.他想：“怎样才能将铅球推得更远呢”于是找来了小刚做了如下的探索：小明手挚铅球在控制每次推出时用力相同的条件下，分析沿与水平线成30°、45°、60°方向推了三次，铅球推出后沿抛物线运动.如图2，小明推铅球时的出手点距地面2m，以铅球出手点所在的竖直方向为y轴，地平线为x轴建立坐标系，分别得到的有关的数据如下表30°45°60°推铅球的方向与水平线的夹角y1=（x-3）2+ y2=___（x-4）2+ y3=（x-3）2+4 铅球运动所得到的抛物线的关系式P1（3,）P2（4,）P3（3,4）估测铅球在最高点的坐标9.5m _____m 7.3m铅球落地到小明站立的水平距离（1）请你求出表格中两横线上的数据,写出计算过程,并将结果填入表格中横线上;（2）请根据以上数据,对如何将铅球推得更远些提出你的建议.图2分析：本题是一道涉及实际生活问题的一道和二次函数有关的中考试题,以掷铅球为实际问题模型,将抛物线的有关知识连接起来,充分体现了数学知识与生活密切相关.通过本题也提示我们,数学就在我们身边,要关注身边的数学.解：（1）根据已知条件,当推铅球的方向与水平线的夹角45°时,设铅球形成的抛物线为y2=a（x-4）2+,因为抛物线经过点（0,2）,所以将x=0,y=2代入y2=a（x-4）2+,得2=a（0-4）2+,解得a=,所以y2=（x-4）2+.所以第一空填.设铅球落地时,交x轴于点（m,0）,将x=m,y=0,代入y2=（x-4）2+,得0=（m-4）2+,所以（m-4）2=36,所以m-4=±6,解得m1=10,m2=-2（舍去）.所以第二空填10.（2）比较三种情况:可知当推铅球的方向与水平线的夹角45°时,掷出的水平距离最远,所以在推铅球时,应注意掌握推铅球的方向与水平线的夹角45°.。

初中数学拓展延伸：体育运动中的二次函数

体育运动中的二次函数体育运动是学生熟悉而又喜爱的，因此，以体育为载体的中考数学试题应运而生，成为数学中考的亮点，这类问题集知识性与趣味性于一体，使学生了解到数学是有用的，数学就在我们身边，数学只有在应用时才能体现它的魅力与活力，现选取近两年中考试题与大家共欣赏．一、数学与羽毛球【例1】甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为P ，羽毛球飞出的水平距离s （米）与其距地面高度h （米）之间的关系式为 .如图1，已知球网AB 距原点5米，乙（用线段CD 表示）扣球的最大高度为米，设乙的起跳点C 的横坐标为m ，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m 的取值范围．【解析】此题是以羽毛球为背景的二次函数的应用问题，解此题的关键是根据“球的高于乙扣球的最大高度”列不等式，即21231232m m -++＞94化简得: 配方得解得:同时要考虑到乙必须在球网AB 的右侧，所以所以m 的取值范围为:本题还可以列方程，利用二次函数的性质来求解，先求出刚好接到球的m 的值.列方程21231232m m -++=94 解得: 因为所以在二次函数 21231232h m m =-++的对称轴m=4的右侧，h 随m 的增大而减小，所以m 的取值范围为二、二次函数与篮球【例2】小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=的一部分(如图2)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离 l 是( )A ．3.5mB ．4mC ．4.5mD ．4.6m【解析】根据图中的坐标系，可知篮圈中心的坐标为( ，，由于球命中篮圈中心，所以抛物线y= 过点( ，，所以= ，∴= ∴ ∴ ∴∴ ， ∵ l ＞， ∴ l =4，故选B ．三、二次函数与跳绳【例3】你知道吗？平时我们在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图3所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m ，手距地面均为lm ，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离lm 、2.5m 处．绳子在甩到最高处时刚好通过丙、丁的头顶．已知学生丙的身高是1.5m ，则学生丁的身高为（建立的平面直角坐标系如图3所示）( )A.1.5mB.1.625mC.1.66mD.1.67m【解析】由图中的坐标系可知，甲拿绳的手处点的坐标为（-1，1），乙拿绳的手处点的坐标为（3，1），丙头顶处点的坐标为（0，）.设抛物线解析式为: ，把（-1，1），（3，1），（0，）三点代入得19311.5a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得: ，所以当x==时，所以学生丁的身高为1.625 m，故选B．四、二次函数与足球【例4】2006年世界杯足球赛在德国举行．你知道吗？一个足球被从地面向上踢出，它距地面高度可以用二次函数刻画，其中表示足球被踢出后经过的时间．（1）方程的根的实际意义是____ ；（2）求经过多长时间，足球到达它的最高点？最高点的高度是多少？【分析】(1)中方程根的实际意义要结合二次函数的图象来理解，其两根为抛物线与x 轴的两个交点坐标，也就是足球起落的时间.(2)求最值时可以用配方法，也可以用公式法．【解】（1）足球离开地面的时间，足球落地的时间．（2）所以当时，最大值.经过，足球到达它的最高点，最高点的高度是【点拨】二次函数常与一元二次方程、一元二次不等式结合起来考查，而方程的根从函数图象上就是二次函数图象与x轴交点的横坐标，从实际意义角度来看，就是当y为0时所对应的问题的实际意义，如本题的实际意义就是足球起落的时间．。