“球类”运动中二次函数

“球类”运动中的二次函数

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“新课程标准”要求学生初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，解决日常生活中与其他学科中遇到的数学问题，增强数学的应用意识.体育运动工程中的篮球、铅球、羽毛球、足球等是学生特别熟悉而又喜爱的运动方式，球类运动的曲线与我们学过的抛物线很投缘，其中涉及到不少的二次函数的相关知识，二次函数是刻画现实世界变量之间关系的一种常见的数学模型，许多实际问题，可以通过分析题目中变量之间的关系，建立二次函数模型，从而利用二次函数的图像和性质加以解决．下面根据背景不同分情况探究如下.

一、跳绳运动中的二次函数

例1你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图1所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m ，距地面均为1m ，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m 、2.5m 处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1.5m ，则学生丁的身高为（建立的平面直角坐标系如图所示）（） A ．1.5mB ．1.625mC ．1.66mD ．1.67m

y

分析：本题考查阅读理解、数据处理及建立二次函数模型的能力．由于绳子甩到最高处时的形状可近似地看为抛物线，因此，根据条件中的数据得到抛物线上3个点的坐标后，再利用一般式即可求出函数表达式；而求丁的身高，转化为数学问题就是求抛物线上横坐标为1.5时对应点的纵坐标．

解：设函数表达式为y =Ax 2

+Bx +C ，易知图像经过点（—1，1），（0，1.5），（3，1），可得

A —

B +

C =1，A = —1/6， C =1.5，解得B =1/3， 9A +3B +C =1．C =1.5． 所以函数表达式为y = —61x 2+31x +2

3

．当x =1.5时，y =1.625． 答案：B ．

二、以投掷“铅球”为背景渗透的二次函数问题

例2、(济南)小明代表班级参加校运动会的铅球工程，他想：“怎样才能将铅球推得更

远呢？”于是找来小刚作了如下探索：小明手持铅球在控制每次推出时用力相同的条件下，分别沿与水平线成30°，45°，60°方向推了三次.铅球推出后沿抛物线形运动，如图，小明推铅球时的出手点距离地面2m，以铅球出手点所在竖直方向为y轴，以地平线为x

上；

(2)请根据以上数据，对如何将铅球推得更远提出你的建议.

分析：本题以“体育活动中铅球投掷的远近”为课题，为学生设置了一个探究的数学广场.试卷设计起点较低，题目已将实际问题（建立了平面直角坐标系）抽象成了二次函数的数学模型，而且已有二次函数的解读式的雏形，只要用待定系数法且发现出手点（0，2）在抛物线上，问题便迎刃而解.至于求铅球落点到小明站立处的水平距离只需令所求抛物线的解读式中的y2=0，求得到抛物线与x

轴交点的横坐标即可.

（1）观察表格提供的信息有与水平成30°、60°的方向

投掷铅球轨迹（抛物线）的解读式及铅球投掷的最高点和最远

点的距离，让考生探究沿45°方向投掷时行走的轨迹（抛物线）的解读式及铅球投掷的最大水平距离.我们可设“推铅球的方向与水平线成45°”时形成的抛物线的解读式为

y2=a(x-4)2+3.6又出手点（0，2）在抛物线上，故有16a+3.6=2，解之，得a=－0.1，欲求铅球落点到小明站立处的水平距离，即求当y2=0时与x轴交点的横坐标.因而有-0.1(x-

4)2+3.6=0，解之得x1=-2，（舍去）x2=10，所以铅球落点到小明站立处的水平距离为10M.

例3一男生在校运会的比赛中推铅球，铅球的行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系用如图2所示的二次函数图象表示．（铅球从A点被推出，实线部分表示铅球所经过的路线）

⑴由已知图象上的三点，求y与x之间的函数关系式．

⑵求出铅球被推出的距离．

⑶若铅球到达的最大高度的位置为点B，落地点为C，求四边形OABC的面积．

分析：本题考查从图象中获取信息能力．观察图象可得到抛物线上的三个点的坐标，从而求出函数表达式；在此基础上，利用二次函数与一元二次方程的关系可求出抛物线与x轴的交点坐标，得铅球被推出的距离；最后通过配方法将函数式化成顶点式，得到顶点坐标，用分割法求得四边形的面积．

解：⑴设y =Ax 2

+Bx +C ，已知图象经过（—2，0），（0，35），（2，3

8

）三点，由此可求得A = —

121，B =32，C =35，所以y = —121x 2+32x +3

5

． ⑵令y =0，即—121x 2+32x +3

5

=0，解得x 1=10，x 2= —2（不合题意，舍去）．所以铅球被推

出的距离是10M ．

⑶作BD ⊥OC ，D 为垂足．因为y = —

121（x 2—8x —20）= —12

1（x —4）2

+3，所以B （4，3）；由⑵得C （10，0）．所以S 四边形OABC = S 梯形OABD +S △BDC =21×（3

5

+3）

×4+21×6×3=183

1．

三、篮球比赛中的二次函数

例4某学校初三年级的一场篮球比赛中，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高

9

20

M ，与篮圈中心的水平距离为7M ，当球出手后水平距离为4M 时到达最大高度4M ，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3M ．

⑴建立如图2的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？

⑵此时，若对方队员乙在甲面前1M 处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1M ，那么他能否获得成功？

（3）若该队员身高 1.7M ，球出手时距头顶0.3M ，那么他需要跳起多高才能投中？（结果保留一位有效数字）

分析

点）、和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x =1时函数y 的值与最大摸高3.1M 的大小．

解：⑴由条件可得到球出手点、最高点、和篮圈的坐标分别为A （0，

9

20

），B （4，4），C （7，3），其中B 是抛物线的顶点．

设二次函数解读式为y =A （x —h ）2

+k ，将点A 、B 的坐标代入，可得y = —

9

1

（x —4）2

+4．