五猴分桃类型题简易通解公式及推导

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五个猴子吃桃子的奥数题

五个猴子吃桃子的奥数题
五个猴子吃桃子的奥数题：
有5只猴子分桃子,第一只猴子把全部桃子分成5份,多出一个,吃掉,拿走一份.第二只猴子把全部桃子分成5份,多出一个,吃掉,拿走一份.第三只猴子把全部桃子分成5份,多出一个,吃掉,拿走一份.第四只猴子把全部桃子分成5份,多出一个,吃掉,拿走一份.第五只猴子把全部桃子分成5份,多出一个,吃掉,拿走一份.剩下的桃子是5的倍数.问原有多少只桃子?
解：
设原有数量为5a+1，
可列出式子，原有：5a+1
1、(5a+1)−1−5a5=4a，
2、4a−1−4a−15=4b，
3、4b−1−4b−15=4c，
4、4c−1−4c−15=4d，
5、4d−1−4d−15=4e，
就是e=4d−15，
d=4c−15，
c=4b−15，
b=4a−15，
整理得：256a−625e=369
可列出式子：
a=99999−625t，
e=40959−256t，
可看出，当t=159时，a有最小值624，e为255，
原有桃子总量：5×624+1=3121个，
以上是一般计算法，此类题还可用一种简捷法算出：
设有a个猴子，共有b个桃子，有关系式：
∴aa−(a−1)=b，
此例a=5,所以b=55−(5−1)=3121，
故答案为：3121.。

敬献给李政道博士——五猴分桃类型题简易通解公式上传.doc2

敬献给若贝尔奖获得者李政道博士——五猴分桃类型题简易通解公式（完善版）序：“五猴分桃问题”的前身是国外著名的“水手分椰子问题”,剧说，最早是由伟大物理学家狄拉克于1926年提出来的, 随后, 在经过美国数学科普大师马丁* 加德纳的介绍、推广后,该题得到了更为广泛的流传。

1979年,“诺贝尔奖”获得者李政道博士, 序：“五猴分桃问题”的前身是国外著名的“水手分椰子问题”,剧说，在“中国科技大学少班”讲学时，特意提到此题。

此后, 研究该题的简易计算方法，迅速风靡国内曾对“水手分椰子”的广泛流传起过重要作用的, 著名现代数理逻辑学家怀德海, 对此题给出过一个答案为(-4)巧妙的特解。

在后来者的不断努力下,一些比较简便的方法也逐步出现。

但严格的来说：目前所取得的成果，基本上还是局限于“五猴分桃”这一个具体题目上,离全面而又简捷地求解所有这种类型的题目，还存在着较大的距离。

1979年，本人有幸在月刊《中国青年》看到了“五猴分桃”一题，并用不定方程求得其解。

随后演算推导出能解决所有这种类题型目的简易通解公式:y=a n -db/c 。

但直到前段时期才惊呀发现: 寻找“五猴分桃”类型题的简易计算方法，竟是一个国内、外已研讨了数十年的热门话题,而且至今仍未找到较好解决办法。

于是本人通过继续对该问题的分析研究，进一步完善了该简易通解公式的求解体系，现发表与大家共同分享：一，五猴分桃类型题简易通解公式及特殊形式:1.五猴分桃问题的简易通解公式 y=a(a/m)n-1－db/c其中:y ── 被分的桃子的总个数n ── 总共分的次数（可为任意数）a ── 每次分的份数, （可为任意数）b ── 每次分a 份后的余数.c ──每次分a份后拿走的份数,d ──每次分a份后拿走c份后,剩下再分的份数.m —— (a/d)的最大公约数注：（1）在上试公式中，按照这种类型题题意的要求；y、a、b、c、d、n、m都为正整数，（2）当b/c不为正整数时，题目本身无解；若b/c为正整数时，则题目必定有解（后面会有论述）。

猴子分桃子的数学问题

《数学文化》（公选课）论文考察学院：材料与化学化工学院专业：化工与制药姓名：王林学号：201202020402选课班号：RX041-2日期：2013/11/14数学文化（关于化归与映像反演法）题目是这样的：5只猴子一起摘了一堆桃子，因为太累了，他们商量先睡一觉再分。

过了不知多久，来了1只猴子，他见别的猴子没来，便将这一堆桃子平均分成了5份，结果多了一个，就将多的这一个吃了，并拿走其中的一堆。

又过了不知多久，第二只猴子来了，他不知道有一个同伴已经来过了，还以为自己是第一个到呢，于是将地上的桃子堆起来，平均分成5份，发现也多了一个，同样吃了这一个，也拿走了其中的一堆。

第三只、第四只、第五只猴子都是这样……问题：这五只猴子至少摘了多少个桃子？第五只猴子走后还剩多少个桃子？题目起源：此题据说是有物理学家狄拉克提出，许多人尝试着去做过，包括狄拉克本人在内都没有找到很简便的方法。

著名物理学家李政道教授访问中国科技大学时，曾用此题考过中国科技大学少年班的学生，无人能答。

下面就是一个十分有趣的解答。

其中数学文化思想：化归法与映射---反演原则。

题目难点：难在每次分都多了一个桃子。

思路和解法：第一个猴子来时先借给他四个再分，分完之后再还回去，这样第二只猴子来的时候，此问题自由变成第一个猴子来时的分法即照样先借个他四个桃子再分，分完之后再还回去，依此法一直到第五只猴子。

因此，我们可以设这堆桃子至少有x 个，借给他们4个，成为x+4个，并设5只猴子分别拿了a 、b 、c 、d 、e 、个桃子a=（x+4）/5，b=4（x+4）/25. C=16（x+4）/125d=64（x+4）/625e=256（x+4）整数个，所以e=256（x+4）/3125中x+4=3125才能使e 为整数。

方可解得x=3121。

所以最终答案为这堆桃子至少3121个，最后还剩1021个桃子。

方法总结：先借给他们四个桃子再分。

其中有趣的是：桃子尽管多了4个，但每个猴子分得的桃子并不会增多也不会减少。

对五猴分桃问题叫绝解法之质疑

对五猴分桃问题叫绝解法之质疑—请不要误导千百万读者和学子“五猴分桃问题”是非常著名的“水手分椰子问题”的简单变形。

剧说,最早是由大物理学家狄拉克提出来的,由美国作家威廉姆斯于1926年首先发表在“星期六晚邮报上”。

随后, 在经过美国数学科普大师马丁* 加德纳和英国著名现代数理逻辑学家怀德海的介召推广后,该题得到了更为广泛的流传。

1979年,“诺贝尔奖”获得者李政道博士, 在“中国科技大学少班”讲学时，特意提到此题。

此后, 研究该题的简易计算方法，迅速风靡国内。

在近十多年里，针对这个具体题目的一些比较简便的方法也逐步涌现, 丰富了广大数学爱好者解题思路; 但是，本人对其中有一种很有代表性的所谓：借来4个桃子的“叫绝解法”却不敢苟同，该种解题方法先后被:《奥数网》《中学生数学》《中学数学》《中学生理科月刊》《中国知网》等多家权威谋体刊登和转载;并被误传为:这是中国科学院某院士提出的巧妙解题方法; 因而流传广泛，影响很大。

但对其仔细分析后，则发现这种“叫绝解法”是一种牵强附会的巧合，对广大读者和学子有误导之嫌，现对其中的错误分析如下：一，原题及解题方法：5猴摘了一堆桃子, 决定睡后再分。

过了一段时间，来了一只猴，把桃子平均分5份，结果多出了1个，就把多出的1个吃了，拿走其中的一份；又过了一会，来了第二只猴，将桃子重新堆起，平均分成5份，发现也多一个，同样吃了1个，拿走了其中的1份，第3，4，5只都是这样，......请问5只猴至少摘了多少桃子？第5只猴子走后还剩多少个桃子？每次分多一个桃子, 就相当于少了4个桃子。

设桃子共有X个，借4个桃子来分, 就成为X+4个,5个猴子分别拿了A, B, C ,D, E个桃子。

因此有:A=(X+4)/5B=4(X+4)/25C=16(X+4)/125D=64(X+4)/625E=256(X+4)/3125E为整数，所以X+4=3125K当K=1时，X=3121因此最少摘了3121个桃子。

“五猴分桃问题”的线性方程组新解法

＋ａ２ｚ２＋
＋ａｎ＝ｎＸ
则线性方程组（）解的充分必要条件为它的１有著名数理逻辑学家和哲学家怀德海曾用高阶差分方系数矩阵程理论的通解和特解的关系，出一个巧妙的解给法［． ¨ 在文［］，景中院士也介绍了一种简单且１中张巧妙的算术的解法；文［］在２中使用不定方程及其辗
李政道先生的这个问题通常被称作或 ‘ 分５猴桃问题，这是一个非常有趣的问题，说是大物理，据
＋ａ２２＋２ｚ
走其中的１． …・如此下去，份．，．直到第５只猴子来分
＋ａｎｎ＝ｂ２ｘｚ
（１）
学家狄拉克提出的，许多人尝试着做过，包括狄拉克本人在内都没有找到很简便的方法．李政道教授说，
１００００
一
ｏｏ一 ÷ ｝５）５十ｚ了１（ ‘ｓ５十１｝十ｓ５５＋５）５＋１ ÷ （ ‘ ３５＋｝＋２５
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Ａ：
Ｏ１ＯＯＯ
， ●● ， ● ● ●，、 ●● ●● ● ●● 【
李政道先生回中国大陆，中国科技大学少年而这里根据问题本身的特点，在没有这样做，事实上这
班讲学时提出一个著名而有趣的问题：群猴子共５一样的思想对于解决本题是非常有效的．
Ａ：：
与增广矩阵
转相除的方法；在文［３３中使用关于模ｎ同余类的性

五猴分桃类型题简易通解公式及推导

五猴分桃类型题简易通解公式及推导第一篇：五猴分桃类型题简易通解公式及推导“五猴分桃”类型题简易通解公式及推导“五猴分桃”的前身是“水手分椰子”。

这是一个非常有名的趣味数学难题,于1926年首先刊登在美国的邮报上。

剧说，最早是由伟大物理学家狄拉克提出来的, 这一貌似简单的问题曾困扰住了他，为了获得简便的计算方法，他把问题提供给当时的一些数学家,但没有得到满意的结果。

1979年，“诺贝尔"物理学奖获得者李政道博士在“中国科技大学少年班”讲学时，特意提到此题；此后，研究该题的简易计算方法，迅速风靡国内。

曾对“五水手分椰子”的广泛流传, 起过重要作用的, 著名现代数理逻辑学家怀德海, 曾用高阶差分方程理论的通解和特解的关系，对“水手分椰子”一题, 给出过一个答案为(-4)的巧妙特解。

近十多年来，在后来者的不断努力下，一些比较简便的方法也逐步涌现。

但严格的来说：目前所取得的成果,其本上还是仅限于“五猴分桃”这样一个具体的题目上，离全面彻底而又简捷地求解所有这种类型的题目，还存在着一定的距离。

本人曾于1979年, 在月刊《中国青年》看到(五猴分桃)一题, 并用不定方程求得其解。

当时,本人觉得就题论题意义己不大。

于是通过五、六天的努力, 终于演算出，能求解所有这种类题型的完整、简捷的“通解公式”(影响答案的各困素可以任意取值, 并可非常简易的求解，详见下面的计算公式和例题)：但是，由于当时自己在乡下, 信息闭塞,不知道这个“通解公式”有何意义。

一幌三十多年又过去了，前段时间, 因经常上上网,于是惊呀发现:寻找“五猴分桃”类型题的简易计算方法，竟是一个具有深刻背景的，已研论了二、三十年的热门数学话题；而且至今仍未找到完美解决方法。

于是自己边回想、边演算，终于又重新推导出了“五猴分桃”类型题的简易“通解公式”。

现将其发表如下，与大家共同分享。

“水手分椰子”类型题完整而又简易的通解公式：y－被分的某东西的总个数，n a－每次分的总份数(一般情况下，是总人数)，n－总共分的次数，c－分a份后拿走的份数，b－每次分a 份后的余数，d－每次分a份拿走c份后剩下再分的份数，注；当b/c 不为自然数时，则此时该题无解, 也即y无解。

五个猴子吃桃子的奥数题

五个猴子吃桃子的奥数题五个猴子在森林里发现了一堆桃子，他们决定公平地分食这些可口的水果。

猴子们按照一定规则依次拿起桃子，而且每次只能拿走一定数量的桃子。

我们来看看这个奥数题的具体情况：第一个猴子拿走了一半的桃子，然后再多拿一个；第二个猴子拿走了剩余桃子的一半，然后再多拿一个；第三个猴子又拿走了剩下桃子的一半，并多拿一个；第四个猴子以同样的方式取走剩下的一半和一个桃子；最后一个猴子以相同的方式操作了一次。

我们的任务是找出最初这堆桃子的最少数量。

思路分析：解答这道奥数题，我们需要进行逆向推导。

从第五个猴子的操作开始，每次逆向求出上一个猴子拿走桃子的情况，最终得到第一个猴子所拿走的桃子数量。

解题过程如下：第五个猴子拿走了一半的桃子，并多拿了一个，即剩余桃子的数量为：X = （X / 2 - 1）* 2，其中X为剩余桃子的数量。

同理，第四个猴子取走剩下的桃子的一半，并多拿了一个，即剩余桃子的数量为：X = （X / 2 - 1）* 2，其中X为剩余桃子的数量。

依此类推，我们得到递推公式：X = （X / 2 - 1）* 2，其中X为剩余桃子的数量。

我们通过迭代计算求解这个递推公式，直到得到第一个猴子拿走的桃子数量。

可以使用编程语言来实现。

具体代码如下：```int main(){int x = 2;for (int i = 5; i > 0; i--){x = (x / 2 - 1) * 2;}printf("桃子的最少数量为：%d\n", x);return 0;}```计算结果为：桃子的最少数量为：3121。

结论：根据以上的计算，我们得到了这个奥数题的解答。

最初这堆桃子的最少数量为3121个。

通过这道奥数题，我们锻炼了逆向思维的能力，以及运用数学公式和编程进行问题求解的方法。

同时，这道题也展示了推理和逻辑推导在解决复杂问题中的重要性。

智力测试题猴子分桃问题(3篇)

第1篇一、背景介绍猴子分桃问题，又称“猴子摘桃问题”，是中国古代著名的数学智力题之一。

这个问题最早出现在《孙子算经》中，后来在民间广为流传，成为了一个脍炙人口的数学游戏。

故事讲述了一只猴子在树上摘了许多桃子，每天都要分给其他猴子，最后只剩下几个桃子。

这个问题不仅考验了数学能力，还考验了逻辑思维和策略规划。

二、故事梗概从前，有一只猴子在树上摘了许多桃子。

它每天都要分给其他猴子一些桃子，自己留一些。

第一天，它分给了其他猴子桃子总数的1/2还多一个；第二天，它分给了其他猴子桃子总数的1/3还多一个；第三天，它分给了其他猴子桃子总数的1/4还多一个；第四天，它分给了其他猴子桃子总数的1/5还多一个；第五天，它分给了其他猴子桃子总数的1/6还多一个。

最后，猴子发现自己只剩下了几个桃子。

请问，猴子最初摘了多少个桃子？三、解题思路1. 假设猴子最初摘了x个桃子。

2. 根据题目描述，我们可以列出以下方程：第一天：x - (1/2)x - 1 = 0第二天：(1/2)x - (1/3)x - 1 = 0第三天：(1/3)x - (1/4)x - 1 = 0第四天：(1/4)x - (1/5)x - 1 = 0第五天：(1/5)x - (1/6)x - 1 = 03. 将方程简化，得到：第一天：x/2 - 1 = 0第二天：x/6 - 1 = 0第三天：x/12 - 1 = 0第四天：x/20 - 1 = 0第五天：x/30 - 1 = 04. 解方程，得到x的值。

四、解题步骤1. 第一天：x/2 - 1 = 0x = 22. 第二天：x/6 - 1 = 0x = 63. 第三天：x/12 - 1 = 0x = 124. 第四天：x/20 - 1 = 0x = 205. 第五天：x/30 - 1 = 0x = 30五、答案猴子最初摘了30个桃子。

六、拓展猴子分桃问题是一个经典的数学智力题，我们可以通过以下方式对其进行拓展：1. 变化桃子数量：假设猴子最初摘了n个桃子，n为任意正整数，求解n的值。

五只猴子采得一堆桃子等比数列解法

解题思路：1. 确定题目要求，理解题目中的等比数列概念和相关解题思路。

2. 基本思路，根据题目中给出的信息，确定等比数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式解题。

引入在数学中，等比数列是指一个数列中任意相邻两项的比值相等的数列。

等比数列在数学中有着重要的地位，解决问题的方法和应用非常广泛。

今天我们来讨论一个经典的等比数列问题——五只猴子采得一堆桃子。

问题描述有一堆桃子，五只猴子来分。

第一只猴子把这堆桃子平均分成五份，多出一颗，吃掉了其中的一份；第二只猴子把剩下的桃子也平均分成五份，又多出一颗，也吃掉了其中的一份；第三、第四、第五只猴子都是这样做的。

问这堆桃子最少有多少个？解题1. 设这堆桃子有x个，根据题意得出方程式：（1） x = 5a + 1（2） x = 4b + 1（3） x = 4c + 1（4） x = 4d + 1（5） x = 4e + 1其中a、b、c、d、e分别表示第一只、第二只、第三只、第四只、第五只猴子吃掉的桃子数量，x表示最初的桃子数量。

2. 观察可得到等比数列的思路：（1） a = (4/5)x - 1/5（2） b = (4/5)((4/5)x - 1/5) - 1/5 = (4/5)^2x - (4/5)^2 - 1/5 （3） c = (4/5)((4/5)^2x - (4/5)^2 - 1/5) - 1/5 = (4/5)^3x - (4/5)^3 - (4/5)^2 - 1/5（4） d = (4/5)((4/5)^3x - (4/5)^3 - (4/5)^2 - 1/5) - 1/5 = (4/5)^4x - (4/5)^4 - (4/5)^3 - (4/5)^2 - 1/5（5） e = (4/5)((4/5)^4x - (4/5)^4 - (4/5)^3 - (4/5)^2 - 1/5) - 1/5 = (4/5)^5x - (4/5)^5 - (4/5)^4 - (4/5)^3 - (4/5)^2 - 1/53. 由此可得到等比数列的求和公式：S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ... + ar^n其中S表示等比数列前n项的和，a表示首项，r表示公比。

五猴分桃_故事真相

五猴分桃话说5个猴子采了一堆桃，太累了就在桃旁边睡着了。

第一个猴子醒来后，把桃子分成5份，但多了一个，它就把这个吃了，然后拿走一份，把剩下4份又合在一起走了。

第二个猴子醒来后，把剩下这堆桃又分成5份，还是多了一个它先吃了，拿走一份把剩下4份合拢。

以下三个猴子都是这样。

请问，原来至少有多少个桃？最后至少剩下多少个桃？A、解法一，从第一个猴子开始。

假设原有桃个数为X，则第一个猴子走后，还剩下4/5 x (X – 1)这个式子很重要，以后每个猴子走后留下的桃都是这样的式子。

但是为了书写方便，以后我们把式子中的乘号省掉，写成：4/5(X – 1)第二个猴子走后，还剩下：4/5[4/5(X – 1) - 1]第三个猴子走后，剩下：4/5{4/5[4/5(X – 1) - 1] - 1}第四个猴子走后，剩下：4/5<4/5{4/5[4/5(X – 1) - 1] - 1} – 1>第五个猴子走后，剩下：4/5<4/5<4/5{4/5[4/5(X – 1) - 1] - 1} – 1> - 1>这式子真是眼花缭乱，刚括弧就用了5层，现在把括弧从里向外一层层打开：4/5x4/5<4/5{4/5[4/5(X – 1) - 1] - 1} – 1> - 4/5 =4/5x4/5x4/5{4/5[4/5(X – 1) - 1] - 1} – 4/5x4/5 - 4/5 =4/5x4/5x4/5x4/5[4/5(X – 1) - 1] – 4/5x4/5x4/5 - 4/5x4/5 - 4/5 =4/5x4/5x4/5x4/5x4/5(X – 1) – 4/5x4/5x4/5x4/5 – 4/5x4/5x4/5 - 4/5x4/5 - 4/5 =4/5x4/5x4/5x4/5x4/5X –4/5x4/5x4/5x4/5x4/5 –4/5x4/5x4/5x4/5 –4/5x4/5x4/5 - 4/5x4/5 - 4/5这个式子用简单的数学符号表示，就是：45/55X – 45/55– 44/54– 43/53– 42/52– 4/5让我们把它再做一些变换，目的是把式子中的所有分数都变成整数：45/55X – 45/55– 44/54– 43/53– 42/52– 4/5 =45/55X + 4x45/55– 4x45/55– 45/55– 44/54– 43/53– 42/52– 4/5 =45/55(X+4) – (4x45/55 + 45/55 + 44/54 + 43/53 + 42/52 + 4/5) =这里先看下4x45/55 + 45/55的计算结果是什么，这么看有点儿眼花，我们用M来代替45/55：则4x45/55 + 45/55 = 4M + M = 5M所以：4x45/55 + 45/55 = 5x45/55 = 5x4/5x44/54 = 4x 44/54相当于分子分母同时约去一个5这样45/55(X+4) – (4x45/55 + 45/55 + 44/54 + 43/53 + 42/52 + 4/5) =45/55(X+4) – (4x 44/54 + 44/54 + 43/53 + 42/52 + 4/5) =45/55(X+4) – (4x43/53 + 43/53 + 42/52 + 4/5) =45/55(X+4) – (4x 42/52 + 42/52 + 4/5) =45/55(X+4) – (4x 42/52 + 42/52 + 4/5) =45/55(X+4) – (4x 4/5 + 4/5) =45/55(X+4) – 4第五个猴子走后剩下的桃子从眼花缭乱的式子简化成了45/55(X+4) – 4从这个式子可以看出，如果让整个式子是整数（当然是整数，没说哪只猴子吃了半个桃），则：X+4至少等于55即5x5x5x5x5 = 3125至此真相大白，原来桃至少为：X = 3125 -4 = 3121个最后剩下的桃至少为：45/55(X+4) – 4 = 45– 4 = 1020个B、解法二，从最后一个猴子算起。

猴子分桃子的数学问题

过了不知多久，来了1只猴子，他见别的猴子没来，便将这一堆桃子平均分成了5份，结果多了一个，就将多的这一个吃了，并拿走其中的一堆。

著名物理学家李政道教授访问中国科技大学时，曾用此题考过中国科技大学少年班的学生，无人能答。

下面就是一个十分有趣的解答。

其中数学文化思想：化归法与映射---反演原则。

题目难点：难在每次分都多了一个桃子。

方可解得x=3121。

所以最终答案为这堆桃子至少3121个，最后还剩1021个桃子。

方法总结：先借给他们四个桃子再分。

其中有趣的是：桃子尽管多了4个，但每个猴子分得的桃子并不会增多也不会减少。

C语言实现的猴子分桃问题算法解决方案

C语⾔实现的猴⼦分桃问题算法解决⽅案
本⽂实例讲述了C语⾔实现的猴⼦分桃问题算法。

分享给⼤家供⼤家参考，具体如下：
问题:
海滩上有⼀堆桃⼦，五只猴⼦来分。

第⼀只猴⼦把这堆桃⼦凭据分为五份，多了⼀个，这只猴⼦把多的⼀个扔⼊海中，拿⾛了⼀份。

第⼆只猴⼦把剩下的桃⼦⼜平均分成五份，⼜多了⼀个，它同样把多的⼀个扔⼊海中，拿⾛了⼀份，第三、第四、第五只猴⼦都是这样做的，问海滩上原来最少有多少个桃⼦？
程序：
#include<stdio.h>
int divided(int n, int m) //注意该递归函数的定义
{
if(n/5==0 || n%5!=1)return 0;
if(m==1) return 1;
return divided(n-n/5-1, m-1);
}
int main(int argc, char *argv[])
{
int n;
int m = 5;
for(n = 1; ; n++)
if(divided(n,m))
{printf("%d\n", n);
break;
}
}
程序运⾏结果为：3121
希望本⽂所述对⼤家C语⾔程序设计有所帮助。

关于猴子分桃的算法讲解

关于猴子分桃的算法讲解猴子分桃递归算法分析。

/*X个桃子有5只猴子第一只猴子把x个桃子分了5分还多出一个他把多了那个扔进大海拿走了一份第二只猴子也是如此等到第五只猴子海滩至少能分到1个桃子。

问海滩上原来x是多少个桃子。

非递归算法描述：数学抽象：假设海滩上现在有x个桃子，那么x向下再分一次，也就是n-1只猴子有桃可分的条件必须满足（x-1）是5的倍数。

下一只猴子再分桃，就是x的5分之4. N-1只猴子再分桃的条件就必须满足（x-1）*4/5 依次类推算法设计：一个数x去判断x-1是否能被5整除。

如果可以，则把自己的五分之四拿出来作为下一次分桃的基数，再进行下一轮判断。

总共判断5轮，每一轮满足条件记为真，不满足记为假。

只要5轮都为真则找到x 否则 x继续++ 。

实现下一次5轮判断。

*/namespace递归法_猴子分桃子{class Program{static int fen()//返回海滩上原来最少多少桃子{int m;bool check =false; //用于判断是否执行了五次，亦可用j==5作为判 //断条件int i =0;while (true){i++;m = i;for (int j =0; j <5; j++){if ((m -1) %5!=0)//判断m-1是否被 //整除，亦可用(m-1)%5!=0代替{check =false;break;}else{m = (m -1) *4/5;check =true;}}if (check ==true){return i;}}}//递归算法/*递归算法数学抽象，与非递归刚好相反，递归是倒退，从最后一只猴子向上推理。

假设当前猴子有x个桃子，那么它对于下一轮的猴子来说，x-1要能分5份，而对上一轮的猴子还说，它是上一轮的5分之一。

算法设计：一个变量记录当前是第几只猴子。

一个变量记录当前猴子面前有原来桃子的总数。

如果当前就剩1只猴子则返回所有的桃子总数，否则判断当前的桃子-1 时候够下一轮猴子平分5分，而且对于上一轮的猴子我是不是上面的4/5 求上一轮 x*5%4==0 如果是则上一轮的桃子是自己的5倍多1个而且都在总数-- 否则不满足条件则当前猴子总数不变，桃子总数++。

五猴分桃的解法

五猴分桃的解法解法一：设这一堆桃子至少有x个，由于每次平均分成五堆后都多一个，因此借给它们4个，于是连同这4个桃子，一共有(x+4)个桃子．假定这五子猴子分别拿走了（包括它们各自所吃掉的1个）a、b、c、d、e个桃子．于是，a=45x+；b=4(4)25x+；c=16(4)125x+;d=64(4)625x+；e＝256(4)3125x+．而e为整数，且256与3125互质，因此x+4应是3125的倍数，于是x+4=3125k，其中k为自然数．显然，当k=1时，x=3121．即这五只猴子至少摘了3121个桃子．解法二：设第五只猴子拿走了x只桃子,那么第五只猴子取桃子前的桃子数是（5x+1）；第四只猴子取桃子前还有的桃子数是[5(51)14x++]；第三只猴子取桃子前还有{54[5(51)14x++]+1}个桃子；第二只猴子取桃子前还有5 4{54[5(51)14x++]+1}＋1个桃子；第一只猴子取桃子前一共有5 4{54{54[5(51)14x++]+1}＋1}+1＝12 x＋8＋53(1)256x+个桃子．设x＋1＝256k，则x＝256k－1,于是这堆桃子一共有12（256k－1）＋8＋53k＝3125k－4．显然，当k=1时，桃子数最少，因此，这五只猴子至少摘了3121个桃子．。

五猴分桃

五猴分桃著名美籍华人科学家李政道在一次回国讲学期间，曾给中国科技大学少年班的同学出了这样一道古时的趣题：五只猴子采得一堆桃，它们约定次日早起来分。

半夜里，一只猴子偷偷起来，把桃均分成五堆后，发现还多一个，它吃了这桃子，拿走了其中一堆。

第二只猴子醒来，又把桃子均分成五堆后，还是多了一个，它也吃了这个桃子，拿走了其中一堆。

第三只，第四只，第五只猴子都依次如此做了。

问桃子数最少有多少个？我们试列方程来求解：设原有桃子x个，第一只猴吃掉1个再拿走余下桃子的五分之一，解这个多重括号的方程要特别小心。

经过化简、整理，得256x－3125y=2101．(1)这里只有一个方程，但有x，y两个变量，用什么方法来解这个方程呢？回溯《五猴分桃》的源头，最巧妙精采、最古老的方法当首推“辗转相除法”，这是约在距今2200年前古希腊学者欧几里得创立的。

对于五猴分桃所得的方程(1)，我们先考虑：256x＋3125y=1．3125÷256商等于12，余53；256÷53商等于4，余44……故有：3125=12×256＋53， 256=4×53＋44，53=1×44＋9， 44=4×9＋8，9＝1×8＋1，因而得：1=9－8=9－(44－4×9)=5×9－44＝5×(53－44)－ 44＝ 5×53－6×44＝5×53－ 6×(256－4×53)＝29×53－6×256＝29×(3125－12 ×256)－6 ×256＝256×(-354)＋3125×29．这样，方程256x＋3125y=1便有一组解：x=-354，y=29．接着，用c=2101遍乘256x＋3125y=1各项便有：256(-743754)-3125(-60929)=2101，由此可知方程256x－3125y=2101有一组解：x=-743754，y=-60929．因为方程ax＋by=c只要有一组整数解x=x0，y=y0，则一切整数解可表示成：x＝x0－bt，y＝y0－at．故得x的解为：x=3125t－743754．故当x为最小正整数时，t=239．于是满足题意的解为：x=3125×239－743754＝3121．这就是《五猴分桃》题中的总桃数。

五猴分桃问题的两种解法

五猴分桃问题的两种解法
“五猴分桃”这个问题，据说是由大物理学家狄拉克提出的，许多人尝试着做过，包括狄拉克本人在内都没有找到很简便的解法。

一堆毛桃五猴分，分来分去分不均；于是约定先睡觉，醒来以后再讨论。

大猴乖巧施心计，不占便宜不甘心，跑来偷偷吃一个，剩余刚能五等份，拿走自己应得数，走时喜得走不稳。

二猴醒后也跑来，先吃一个过过瘾，剩余也能被五除，堂而皇之拿一份。

其余几猴均如此，个个猴儿都不蠢。

问：毛桃最少是多少？
【解法一】设有n个桃子，列下表：
即：256n-2101能整除3125。

设256n-2101是3125的k倍，则：256n=3125k+2101，构造变形得：
n=12k+8+53*(k+1)/256
当k取255时，n的值最小。

n=12*255+8+53*1=3121
【解法二】设这一堆桃子至少有x个，先借给它们4个，5个猴子分别拿了 a、b、c、d 、e个桃子(其中包括吃掉的一个)，则可得：
e应为整数，而4的4次方不能被5的5次方整除，只有(x＋4)应是5的5次方的倍数，所以
(x＋4)＝3125k(k取自然数)
当k＝1时，x＝3121
如有好的解法请在评论中给出，在此感谢！。

五猴分桃问题

1979年,诺贝尔奖获得者李政道教授到中国科技大学讲学,他给少年班的同学出了这样一道算术题:有5只猴子在海边发现一堆桃子,决定第二天来平分.第二天清晨,第一只猴子最早来到,它左分右分分不开,就朝海里扔了一只,恰好可以分成5份,它拿上自己的一份走了.第2,3,4,5只猴子也遇到同样的问题,采用了同样的方法,都是扔掉一只后,恰好可以分成5份.问这堆桃子至少有多少只.据说没有一个同学能当场做出答案.怎么解？我在小学学竞赛的时候曾遇到了这个题，当时百思不得其解。

后来上高中后用递推数列解决了此题自以为很有成就感，后在一本书上看到的解法既揭示了问题的本质又异常简单。

突然想起这道趣题不敢独享特与大家分享。

如果借4个挑子的话。

恰好每次都能平分成5份。

就是说每次拿的桃子和扔了的加拿了的是一样多。

设开始有x 个桃子借了4个后就是（x+4）个桃子。

每次就余下前次对应的4/5,借了4个桃子后等第五只猴子来过后应该余下的桃子是54()(4)5x 个 x+4必须是5的5次方的倍数所以x 至少是3121，此时余下的桃子是1024个但借了的4个要还回去，实际余下的是1020个。

一道经典难题就轻松解决了，我们学习数学就是去享受思考的过程。

C++ 五猴分桃5只猴子一起摘了一大堆桃子，晚上有一只猴子醒来发现其他猴子都睡着了，就起来吃了一个桃子，然后将剩余的桃子恰好平均分成５份，自己拿了其中的一份藏起来，然后去睡觉．第二只猴子醒来发现其他猴子都睡着了，就像第一只猴一样先吃了一个桃子，然后将其它的桃子又恰好平均分成５份，自已也拿了其中的一份藏起来，接着又去睡觉．第三只，第四只，第五只猴都像第一第二只猴一样做了，现问：这５只猴至少摘了多少个桃子？3121个*/#include "iostream.h"void main(){long k,houzi=1,i=4,m_find=0;float n;while(i<50000){n=(float)i*5/4+1;if(n==(int)n){houzi=1;while(houzi<6){k=(long)n;n=(float)k*5/4+1;if(n==(int)n)houzi++;elsebreak;if(houzi==5){m_find++;cout<<"第"<<m_find<<"次找到"<<endl;cout<<"总的桃子有"<<n<<"个"<<endl;}}i++;}elsei++;}}5个猴子摘了一堆桃子，约好第二天早上来分。

算法设计的基本方法(实例)

递推——猴子分食桃子五只猴子採得一堆桃子，猴子彼此約定隔天早起後再分食。

不過，就在半夜裏，一隻猴子偷偷起來，把桃子均分成五堆後，發現還多一個，它吃掉這桃子，並拿走了其中一堆。

第二隻猴子醒來，又把桃子均分成五堆後，還是多了一個，它也吃掉這個桃子，並拿走了其中一堆。

第三隻，第四隻，第五隻猴子都依次如此分食桃子。

那麼桃子數最少應該有几個呢？我們列方程求解：設原有桃子x個，第一隻猴子吃掉1個桃子，再拿走餘下桃子的五分之一，剩下桃子数：第二隻猴子吃掉1個桃子，再拿走餘下桃子的五分之一，剩下桃子数：第三隻猴子吃掉1個桃子，再拿走餘下桃子的五分之一，剩下桃子数：第三隻猴子吃掉1個桃子，再拿走餘下桃子的五分之一，剩下桃子数：第四隻猴子吃掉1個桃子，再拿走餘下桃子的五分之一，剩下桃子数：最後一隻猴子也吃掉1個桃子，再拿走餘下桃子的五分之一﹔假設第五隻猴子拿走的桃子數是y個，則按題意可以列式得經過化簡、整理，得256x－3125y=2101 ，其中12y+8 是整數，所以是整數。

因為53與256互質，因此y=255 時可滿足要求。

這時x = 3121。

原來問題有無窮多解，上面求出的只是滿足條件的最小正整數解，也就是說最少有桃子3121個。

以上是解不定元，此外，有一個巧思妙想的解法，：假若我們借來4個桃子，這樣桃子數就可以連續5次平均分成5堆了，所以桃子數最少應該是55－4=3121(個)。

列举法——百钱买百鸡列举是针对问题所有的可能一一查看是不是符合条件，有些“宁肯错杀一千，不可放过一个”的作风。

下面的老题最能说明这种情况。

示例：百钱买百鸡公鸡3元每只，母鸡5元每只，小鸡1元3只，一百元钱买一百只鸡。

请求出公鸡，母鸡和小鸡的数目。

编程简析我们做最极端的假设，公鸡可能是0-100，母鸡也可能是0-100，小鸡还可能是0-100，将这三种情况用循环套起来，那就是1000000种情况。

这就是列举法。

为了将题目再简化一下，我们还可以对上述题目进行一下优化处理：假设公鸡数为x,母鸡数为y，则小鸡数是100-x-y，也就有了下面的方程式：3*x+5*y+(100-x-y)/3=100从这个方程式中，我们不难看出大体的情况：公鸡最多有33只，最少是没有，即x的范围是0-33；母鸡最多20只，最少0只，即母鸡的范围是0-20；有了公鸡母鸡，小鸡数自然就是100-x-y只。

五年级奥数讲义：倒推法解题

五年级奥数讲义：倒推法解题在我们生活中经常会遇到“还原问题”,如把一盒包装精美的玩具打开,再把它重新包装好,重新包装的步骤与打开的步骤正好相反.其实在数学中,也有许多类似的还原问题.解决这类问题最常用的方法就是倒推法,即从结果入手,逐步向前逆推,最终找到原问题的答案.例题选讲例1:有一群猴子分吃桃子,第一只拿走—半,第二只拿走余下的一半多3个,第三只拿走第二只取剩的一半少3个,第四只拿走第三只取剩的一半多3个,第五只拿走第四只取剩的一半,最后还剩3个,这堆桃原来有多少个?【分析与艉答】l|这道题条件比较多,顺向思考很困难,如果根据最后的结果倒推还原,解决起来就轻松了.曲于第五只猴子拿走余下的一半,还剩3个,所以第五只猴子拿之前应该有桃子：3×2=6(个),同理,第四只猴子拿之前应该有桃子：(6+3)×2=18(个),第三只猴子拿之前应该有桃子：(18—3)×2=30(个),第二只猴子拿之前应该有桃子：(30+3)×2=66(个),第一只猴子拿之前应该有桃子：66×2=132(个),即这堆桃有132个.例2:甲、乙、丙三人各有若干元钱,甲拿出与乙相同多的钱给乙,也拿出与丙相同多的钱给丙；然后乙也按甲和雨手中的钱分别给甲、丙相同的钱；最后丙也按甲和乙手中的钱分别给甲、乙相同的钱,此时三人都有48元钱.问：开始时三人各有多少元钱?【分析与解答】从第三次丙给甲、乙钱逐步向前推算,根据三人最后都有48元,那么在丙给甲、乙添钱之前：甲：48÷2：24(元),乙：48÷2—24(元),丙：48+24+24—96(元)；第二次在乙给甲、丙添钱之前：甲：24÷2—12(元),乙：24+12+48===84(元),丙：96÷2=48(元)；第一次在甲给乙、丙添钱之前：甲：12+42+24—78(元),乙：84÷2=42(元),丙：48÷2=24(元). 所以开始时甲有78元,乙有42元,丙有24元.例3:甲、乙、丙三人共有48张邮票,第一次甲先拿出与乙的邮票数相等的张数给乙；第三次乙拿出与丙的邮票数相等的张数给丙；第三次丙又拿出与这时的甲的邮票数相等的张数给甲,最后三人的邮票数相等,三人原来各有多少张邮票?【分析与解答】此题条件复杂,因此我们可以用列表的方法,从最后的果一步步按每次的变化倒推,这样就容易看清题中的数量关系了.列表如下：练习与思考1.张强去银行取款,第一次取了存款的一半多100元,第二次取了余下的一半少50元,第三次取了余下的一半多50元,这时他的存折上还剩下575元.问：张强原来有存款多少元?2.书架上有上、中、下三层书,共2400本一先从上层拿出与中层同样多的书放进中层,再从中层拿出与下层同样多的书放进下层,最后从下层拿出与上层现在同样多的书放进上层,这时三层书同样多.问：开始时,上、中、下三层各有多少本书?3.做一道整数加一个学生把个位上的7看作5,把十位上的5看作7,把百位上的9看作6,结果得出和为775.问：正确的答案应该是多少?4.有26块砖,兄弟两人争着去挑,弟弟走在前面,刚摆好砖哥哥赶来了.哥哥见弟弟挑得太多,就拿来一半给自己.弟弟觉得自己能行,又从哥哥那里拿来一半.哥哥不让,弟弟只好给哥哥5块,这样哥哥比弟弟多挑2块.问：开始时,弟弟准备挑多少块?5.甲、乙、丙三个瓶子共装了24升水,现在把甲瓶的水分别倒给乙、丙两瓶,使乙、丙两瓶的水比原来增加1倍；之后,又将乙瓶的水按上面的要求倒给甲、丙；最后,再按上面的要求将丙瓶的水倒一部分给甲、乙两瓶,这样倒了三次后,三个瓶中的水一样多.问：开始时甲、乙、丙三瓶各装水多少升?6.世纪商场里有一批儿童玩具,第一天运出总数的一半少4 个,第二天运出剩下的一半多2个,第三天又运进25个,这时库存儿童玩具45个,世纪商场原来有多少个儿童玩具?7.有一堆书,第一次搬一半,第二次般走剩下的一半多3本,第三次搬走剩下的一半少3本,第四次搬走剩下的一半多3本,第五次搬走剩下的一半,最后剩3本.问：原来有多少本书?8.甲、乙、丙各有若干个橘子.第一次甲给乙、丙橘子,各给与他们原有橘子数量相等的个数；同样,第二次乙给甲、丙橘子,各给与他们现有橘子数量相等的个数；第三次丙给甲、乙橘子,同样各给与他们现有数量相等的个数.最后三人都各有48个橘子,那么开始时三人各有多少个橘子?9.一种有益的菌种每小时可增长.l倍,现有一批这样的细菌：10小时后达到100万个,当它们达到25万个时,经历了多少长时间?。