高等几何试题
高等几何试题及答案
高等几何试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个选项是欧几里得几何的公理？A. 两点之间线段最短B. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行C. 任意两条直线都相交D. 圆的周长与直径的比值是一个常数答案：B2. 球面上的最短路径是：A. 直线B. 曲线C. 大圆D. 任意路径答案：C3. 以下哪个定理是球面几何中的定理？A. 勾股定理B. 泰勒斯定理C. 球面三角形的内角和大于180度D. 三角形内角和等于180度答案：C4. 以下哪个选项是双曲几何的特征？A. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行B. 过直线外一点有无数条直线与已知直线平行C. 过直线外一点没有直线与已知直线平行D. 过直线外一点有一条直线与已知直线平行答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 在欧几里得几何中，一个平面上任意两个点确定一条________。
答案：直线2. 球面几何中，球面上的两点之间的最短路径称为________。
答案：大圆3. 在双曲几何中，过直线外一点可以画出________条直线与已知直线平行。
答案：无数4. 根据球面几何的性质，球面上的三角形内角和________180度。
答案：大于三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：在球面几何中，任意两个大圆的交点最多有两个。
证明：假设球面上有两个大圆A和B，它们相交于点P和Q。
如果存在第三个交点R，则R必须位于大圆A和B上。
由于大圆A和B是球面上的最短路径，它们在球面上的交点必须是球面上的最短路径的端点，因此R不可能存在。
因此，任意两个大圆的交点最多有两个。
答案：证明完毕。
2. 已知球面上的三角形ABC，其内角分别为α、β、γ，且α+β+γ=180°+ε，其中ε为正数。
求证：三角形ABC的边长之和小于球面上的任意其他三角形的边长之和。
证明：设球面上的任意其他三角形为DEF，其内角分别为α'、β'、γ'。
高等几何试卷及答案
《高等几何》考试试题A 卷(120分钟)一、填空题(2分⨯12=24分)1平行四边形 ;2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为: (5,-1,0)3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -24、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为: 0231=-x x5、方程065222121=+-u u u u 表示的图形坐标 (1,2,0) (1,3,0) 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-=x x x ,则原点的对应点 -317、求点)0,1,1(-关于二阶曲线054753323121232221=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x8、ABCD 为平行四边形,过A 引AE 与对角线BD 平行,则),(DE BC A = -19、一点列到自身的两射影变换a):21→,32→,43→; b):10→,32→,01→ 其中为对合的就是: b10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件就是 底的交点自对应12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ,)1,5,2(B ,)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程,它就是由下列两个射影线束所决定的:130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。
解:射影对应式为'2'10λλλλ-++=。
由两线束的方程有:1233,'x xx x λλ==。
将它们代入射影对应式并化简得,2122313320x x x x x x x +-+=此即为所求二阶曲线的方程。
三、证明:如果两个三点形内接于同一条二次曲线,则它们也同时外切于一条二次曲线。
(10分)证明:三点形ABC 与三点形C B A '''内接于二次曲线(C),设 AB I C B ''=D AB I C A ''=E B A ''I BC=D ' B A ''I AC=E ',则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所以,),E ,D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,,E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B这两个点列对应点的连线AC,B C '',A C '',BC 连同这两个点列的底AB,B A ''属于同一条二级曲线(C '),亦即三点形ABC 与三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。
高等考试数学立体几何大题30题
立体几何大题1．如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4cm ，CD 是斜边上的高沿CD 把△ABC 折成直二面角．（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A ，B 的位置，使二面角A －CD －B 是直二面角？证明你的结论．（2）试在平面ABC 上确定一个P ，使DP 与平面ABC 内任意一条直线都垂直，证明你的结论．（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值．解：（1）用直尺度量折后的AB 长，若AB ＝4cm ，则二面角A －CD －B 为直二面角．∵ △ABC 是等腰直角三角形，(),cm 22DB AD ==∴又∵ AD ⊥DC ，BD ⊥DC ．∴ ∠ADC 是二面角A －CD －B 的平面角．ABC第1题图ABCD第1题图有时当,cm 4AB ,22DB AD === Θ.90ADB .AB DB AD 222︒=∠∴=+（2）取△ABC 的中心P ，连DP ，则DP 满足条件 ∵ △ABC 为正三角形，且 AD ＝BD ＝CD ．∴ 三棱锥D －ABC 是正三棱锥，由P 为△ABC 的中心，知DP ⊥平面ABC ， ∴ DP 与平面内任意一条直线都垂直．（3）当小球半径最大时，此小球与三棱锥的4个面都相切，设小球球心为0，半径为r ，连结OA ，OB ，OC ，OD ，三棱锥被分为4个小三棱锥，且每个小三棱锥中有一个面上的高都为r ，故有ABC O ABD O ADC O BCD O BCD A V V V V V -----+++=代入得3623r -=，即半径最大的小球半径为3623-．2．如图，已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A 1B ，过A 作AF ⊥A 1B 垂足为F ，且AF 的延长线交B 1B 于E 。
（Ⅰ）求证：D 1B ⊥平面AEC ； （Ⅱ）求三棱锥B —AEC 的体积； （Ⅲ）求二面角B —AE —C 的大小. 证（Ⅰ）∵ABCD —A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，∴D 1D ⊥ABCD .连AC ，又底面ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD ，.由三垂线定理知 D 1B ⊥AC . 同理，D 1B ⊥AE ，AE ∩AC = A ， ∴D 1B ⊥平面AEC .解（Ⅱ）V B －AEC = V E －ABC . ∵EB ⊥平面ABC ，∴EB 的长为E 点到平面ABC 的距离. ∵Rt △ABE ~ Rt △A 1AB ，∴EB =.4912=A A AB∴V B －AEC = V E －ABC =31S △ABC ·EB =31×21×3×3×49=.827 （10分）解（Ⅲ）连CF ，∵CB ⊥平面A 1B 1BA ，又BF ⊥AE ，由三垂线定理知，CF ⊥AE .于是，∠BFC 为二面角B —AE —C 的平面角， 在Rt △ABE 中，BF =59=⋅AE BE BA ， 在Rt △CBF 中，tg ∠BFC =35， ∴∠BFC = arctg 35..即二面角B —AE —C 的大小为arctg 35.3．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为1，点 M 在BC 上，△AMC 1是以M 为直角顶点的等腰直角三角形.（I ）求证：点M 为BC 的中点； （Ⅱ）求点B 到平面AMC 1的距离；（Ⅲ）求二面角M —AC 1—B 的正切值.答案：（I ）证明：∵△AMC 1是以点M 为直角 顶点的等腰直角三角形， ∴AM ⊥MC 1且AM=MC 1 ∵在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， 有CC 1⊥底面ABC.∴C 1M 在底面内的射影为CM ， 由三垂线逆定理，得AM ⊥CM. ∵底面ABC 是边长为1的正三角形，∴点M 为BC 中点. （II ）解法（一）过点B 作BH ⊥C 1M 交其延长线于H. 由（I ）知AM ⊥C 1M ，AM ⊥CB ， ∴AM ⊥平面C 1CBB 1.∴AM ⊥BH. ∴BH ⊥平面AMC 1. ∴BH 为点B 到平面AMC 1的距离. ∵△BHM ∽△C 1CM.ABCA 1B 1C 1M第3题图AM=C 1M=,23 在Rt △CC 1M 中，可求出CC 1.22 .6623212211=⇒=⇒=∴BH BH M C BM CC BH 解法（二）设点B 到平面AMC 1的距离为h. 则11BMC A AMC B V V --=由（I ）知 AM ⊥C 1M ，AM ⊥CB ， ∴AM ⊥平面C 1CBB 1 ∵AB=1，BM=.22,23,2111===CC MC AM 可求出 AM S h S MB C AMC ⋅=⋅∆∆113131 232221213123232131⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯h 66=h （III ）过点B 作BI ⊥AC 1于I ，连结HI.∵BH ⊥平面C 1AM ，HI 为BI 在平面C 1AM 内的射影. ∴HI ⊥AC 1，∠BIH 为二面角M —AC 1—B 的平面角. 在Rt △BHM 中，,21,66==BM BH ∵△AMC 1为等腰直角三角形，∠AC 1M=45°. ∴△C 1IH 也是等腰直角三角形.由C 1M=.332,63,23122==-=H C BH BM HM 有 ∴.36=HI .21==∠∴HI BH BIH tg 4．如图，已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，三角形ACD 是正三角形，且AD=DE=2，AB=1，F 是CD 的中点．（Ⅰ）求证：AF ∥平面BCE ； （Ⅱ）求多面体ABCDE 的体积； （Ⅲ）求二面角C-BE-D 的正切值．证：（Ⅰ）取CE 中点M ，连结FM ，BM ，则有AB DE FM //21//．∴四边形AFMB 是平行四边形． ∴AF//BM ， ∵⊂BM 平面BCE ，⊄AF 平面BCE ，∴AF//平面BCE ．（Ⅱ）由于DE ⊥平面ACD ， 则DE ⊥AF ．又△ACD 是等边三角形，则AF ⊥CD ．而CD ∩DE=D ，因此AF ⊥平面CDE ．又BM//AF ，则BM ⊥平面CDE ．BM AB V V V CDE B ACD B ABCDE ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅=+=--22213124331232233233=⋅⋅+=． （Ⅲ）设G 为AD 中点，连结CG ，则CG ⊥AD ． 由DE ⊥平面ACD ，⊂CG 平面ACD ， 则DE ⊥CG ，又AD ∩DE=D ， ∴CG ⊥平面ADEB ．作GH ⊥BE 于H ，连结CH ，则CH ⊥BE ． ∴∠CHG 为二面角C-BE-D 的平面角． 由已知AB=1，DE=AD=2，则3=CG ，∴23122111212)21(21=⨯⨯-⨯⨯-⋅+=∆GBE S ．不难算出5=BE ．∴23521=⋅⋅=∆GH S GBE ，∴53=GH ． ∴315==∠GH CG CHG tg ． 5．已知：ABCD 是矩形，设PA=a ，PA ⊥平面ABCD.M 、N 分别是AB 、PC 的中点.（Ⅰ）求证：MN ⊥AB ；（Ⅱ）若PD=AB ，且平面MND ⊥平面PCD ，求二面角P —CD —A 的大小； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥D —AMN 的体积. （Ⅰ）连结AC ，AN. 由BC ⊥AB ，AB 是PB 在底面ABCD 上的射影. 则有BC ⊥PB. 又BN 是Rt △PBC 斜边PC 的中线， 即PC BN 21=. 由PA ⊥底面ABCD ，有PA ⊥AC ，则AN 是Rt △PAC 斜边PC 的中线，即PC AN 21=BN AN =∴又∵M 是AB 的中点，AB MN ⊥∴（也可由三垂线定理证明）（Ⅱ）由PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥DC ，有PD ⊥DC.则∠PDA 为平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的平面角由PA=a ，设AD=BC=b ，CD=AB=c ， 又由AB=PD=DC ，N 是PC 中点，则有DN ⊥PC又∵平面MND ⊥平面PCD 于ND ， ∴PC ⊥平面MND ∴PC ⊥MN ，而N 是PC 中点，则必有PM=MC.b ac b c a =∴+=+∴.41412222 此时4,1π=∠=∠PDA PDA tg .即二面角P —CD —A 的大小为4π（Ⅲ）AMD N AMN D V V --=，连结BD 交AC 于O ，连结NO ，则NO 21PA. 且NO ⊥平面AMD ，由PA=a324231a NO S V AMD AMD N =⋅=∴∆-. 6．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 、M 、N 分别为棱DD 1、AB 、BC 的中点。
高等几何试题及答案
高等几何试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知直线l的方程为Ax+By+C=0，直线m的方程为Dx+Ey+F=0，若l与m平行，则以下哪个条件成立？A. A/D = B/E ≠ C/FB. A/D = B/E = C/FC. A/D = B/E ≠ C/FD. A/D ≠ B/E = C/F答案：A2. 已知平面α的方程为Ax+By+Cz+D=0，平面β的方程为Ex+Fy+Gz+H=0，若α与β垂直，则以下哪个条件成立？A. AE + BF + CG = 0B. AE + BF + CG ≠ 0C. AE + BF + CG = D + HD. AE + BF + CG = D - H答案：A3. 已知点P(x1, y1, z1)在平面α：Ax+By+Cz+D=0上，则以下哪个条件成立？A. Ax1+By1+Cz1+D=0B. Ax1+By1+Cz1+D≠0C. Ax1+By1+Cz1+D>0D. Ax1+By1+Cz1+D<0答案：A4. 已知直线l的参数方程为x=x0+at，y=y0+bt，z=z0+ct，其中a、b、c为直线的方向向量，若直线l与平面α：Ax+By+Cz+D=0平行，则以下哪个条件成立？A. Aa+Bb+Cc=0B. Aa+Bb+Cc≠0C. Aa+Bb+Cc=DD. Aa+Bb+Cc=-D答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知直线l的方程为Ax+By+Cz+D=0，直线m的方程为Ex+Fy+Gz+H=0，若l与m相交，则它们的交点坐标为__________。
答案：（(BF-CE)/(AF-CD), (AG-CF)/(AF-CD), (AE-BF)/(AF-CD)）6. 已知平面α的方程为Ax+By+Cz+D=0，平面β的方程为Ex+Fy+Gz+H=0，若α与β相交，则它们的交线方程为__________。
答案：(Ax+By+Cz+D)(EF-GH) - (Ex+Fy+Gz+H)(AF-CD) = 07. 已知点P(x1, y1, z1)到平面α：Ax+By+Cz+D=0的距离为d，则d=__________。
高等几何试题.
高等几何试题一、填空题（每题 3 分，共 27分）1、两个三角形面积之比是（）。
2、相交于影消线的二直线必射影成（）。
3、如果两个三点形的对应顶点连线共点，则这个点叫做（）。
4 、一点x （x1,x2,x3）在一直线u u1,u2,u3 上的充要条件是（）。
5、已知（p1p2, p3p4） 3,则（p4p3,p2 p1）=（），（p1p3,p2 p4）=（）。
6、如果四直线p1, p2 , p3 , p4满足（ p1 p2 , p3 p4 ） 1 ，则称线偶p3,p4和p1,p2（）。
7、两个点列间的一一对应是射线对应的充要条件是（）。
8、不在二阶曲线上的两个点 P（p1p2p3），Q（q1q2q3）关于二阶曲线S aij xixj0 成共轭点的充要条件是（）。
9、仿射变换成为相似变换的充要条件是（）。
二、计算题（每题 8 分，共 56分）221、计算椭圆的面积（椭圆方程：x2 y2 1 a,b 0 ）ab2、求共点四线l1:y k1x，l2: y k2x，l3:y k3x，l4: y k4x的交比。
x1 x13、求射影变换x2x2 的不变元素。
x3 x34、求二阶曲线6x12x22 24x32 11x2x3 0经过点P (1,2,1)的切线方程。
5、求双曲线x2 2xy 3y2 2x 4y 0 的渐近线方程。
6、求抛物线2x2 4xy 2y2 4x 1 0 的主轴和顶点。
7、求使三点O(0, )，E(1,1)，P(1, 1)顺次变到点O (2,3) ，E(2,5) ，P(3, 7) 的仿射变换。
三、已知A(1,2,3) ，B(5, 1,2) ， C (11,0,7) ，D(6,1,5) ，验证它们共线并求(AB,CD) 的值。
(8 分)四、求证：两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条二阶曲线。
(9 分)答案1、仿射不变量2、平行直线3、透视中心4、u1x1 u2x2 u3x3 05、3 26、调和分离7、任何四个对应点的交比相等8、S pq 0221、解：设在笛氏直角坐标系下椭圆的方程为x2y21 abxx经过仿射变换其对应图形为2 2 2 xya在仿射变换①之下， A A ， B B ，O O ，所以VAOB对应VAOB ，其中 A A ，根据定理 3.6 推论 2，有椭圆面积圆面积S V AOB S V AOB所以椭圆面积1ab12 a 2因此所给椭圆的面积为ab 。
高中几何试题及答案
高中几何试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 已知圆的半径为5，点P到圆心的距离为8，则点P与圆的位置关系是：A. 点P在圆内B. 点P在圆上B. 点P在圆外D. 不能确定2. 三角形ABC中，若∠A=60°，AB=AC=6，求BC的长度：A. 4√3B. 6C. 8D. 103. 已知直线l的斜率为2，且经过点(1,3)，求直线l的方程：A. y = 2x - 1B. y = 2x + 1C. y = -2x + 3D. y = -2x - 14. 一个正方体的体积为27，求其表面积：A. 54B. 27C. 9D. 365. 已知椭圆的长轴为2a，短轴为2b，且a=6，b=4，求椭圆的焦点坐标：A. (±2,0)B. (0,±2)C. (±3,0)D. (0,±3)二、填空题（每题2分，共10分）6. 已知三角形ABC的三边分别为a, b, c，且a² + b² = c²，根据勾股定理，三角形ABC是_________三角形。
7. 已知点A(-3,4)和点B(0,-1)，线段AB的中点坐标为_________。
8. 已知圆锥的底面半径为r，高为h，圆锥的体积公式为V =1/3πr²h，若r=3，h=4，则圆锥的体积为_________。
9. 已知平面直角坐标系中，点P(x,y)到原点O(0,0)的距离公式为d = √(x² + y²)，若P(3,4)，则d =_________。
10. 已知圆的标准方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，若圆心在(2,-3)，半径为5，则圆的方程为_________。
三、解答题（共75分）11. 已知圆的方程为(x-3)² + (y+2)² = 25，求圆上任意一点到直线4x - 3y + 6 = 0的距离的最大值和最小值。
《高等几何》考试练习题及参考答案
《高等几何》考试练习题及参考答案一、单选题1. 菱形的仿射对应图形是()A 、菱形B 、平行四边形C 、正方形D 、不等边四边形答案：B2. 圆经过中心射影之后的对应图形是()A 、圆B 、椭圆C 、二次曲线D 、二共点直线答案：C3. 射影平面上所有射影变换的集合构成群，称为射影变换群，它是()A 、8维群B 、6维群C 、4维群D 、3维群答案：A4. 正六边形经过中心射影后的对应图形是()A 、正六边形B 、二次曲线C 、二平行直线D 、内接于二次曲线的六边形答案：D5. 在射影平面上，两条相交直线可以把平面分成几个区域？()A 、1B 、2C 、3D 、4答案：B6. 欧式平面内所有正交变换的集合构成群，称为正交变换群，它是()A 、3维群B 、4维群C 、6维群D 、8维群答案：A7. 双曲型曲线与无穷远直线的关系是()A 、相交B 、相切C 、相离D 、相割答案：A8. 下面属于欧式几何学的是()A 、梯形B 、离心率C 、重心D 、塞瓦定理和麦尼劳斯定理答案：B9. 直角三角形经过中心射影后的对应图形是()A 、三角形B 、等腰三角形C 、直角三角形D 、四边形答案：A10. 共点的直线经过中心射影之后的对应图形是()A 、二直线B 、二垂直直线C 、共点的直线D 、二平行直线答案：C11. 在射影平面上二阶曲线可共分为（）类.A 、2B 、3C 、4D 、5答案：D12. 双曲线有几条主轴？()A 、1B 、2C 、3D 、4答案：B13. 已知两点A(2,-1,1),B(3,1,-2),下列哪一个点与它们共线？()A 、(7 ，-1 ，0)B 、（7 ，-1 ，1)C 、（5 ，0 ，2)D 、（0 ，0 ，1）答案：A14. 等腰梯形的仿射对应图形是：()A 、等腰梯形B 、梯形C 、四边形D 、平行四边形答案：B15. 对于非恒等二维射影变换下列说法错误的是()A 、是非奇线性对应B 、保持共线四点的交比不变C 、不变直线不能超过三条D 、不共线的不变点至多有三个答案：C16. 下列哪些图形具有射影性质？()A 、平行直线B 、三点共线C 、两点间的距离D 、两直线的夹角答案：B17. 圆的仿射对应图形是：()A 、梯形B 、四边形C 、椭圆D 、平行四边形答案：C18. 矩形的仿射对应图形是：()A 、四边形B 、平行四边形C 、梯形D 、圆答案：B19. 下列名称或者定理不属于仿射几何学的是A 、三角形的垂心B 、梯形C 、在平面内无三线共点的四条直线有六个交点D 、椭圆答案：A二、判断题1. 一维基本形间的射影对应不保持对应四元素的交比. ()A 、正确B 、错误答案：错误2. 两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形()A 、正确B 、错误答案：错误3. 射影平面的不共点三直线将平面分成四部分.()A 、正确B 、错误答案：正确4. 一个角的内外角平分线调和分离角的两边()A 、正确B 、错误答案：正确5. 共线三点的单比经中心射影后不变. ()A 、正确B 、错误答案：错误6. 二直线所成角度是相似群的不变量.()A 、正确B 、错误答案：正确7. 射影平面上的一直线能将射影平面剖分成两部分. ()A 、正确B 、错误答案：错误8. 三点形经中心射影之后还是三点形.()A 、正确B 、错误答案：正确9. 在一维射影变换中，若已知一对对应元素（非自对应元素）符合对合条件，则此射影变换一定是对合. ()A 、正确B 、错误答案：正确10. 在仿射变换下，等腰三角形的对应图形是三角形. ()A 、正确B 、错误答案：正确11. 仿射变换的基本不变量是单比. ()A 、正确B 、错误答案：正确12. 抛物线有一对主轴. ()A 、正确B 、错误答案：错误13. 三角形的垂心属于仿射几何学的范畴()A 、正确B 、错误答案：错误14. 在仿射变换下，正方形的对应图形是正方形.()A 、正确B 、错误答案：错误15. 共线点的极线必共点，共点线的极点必共线()A 、正确B 、错误答案：正确16. 椭圆和双曲线的四个焦点中有二实点二虚点.()A 、正确B 、错误答案：正确17. 配极变换是一种非奇线性对应，()A 、正确B 、错误答案：正确18. 两个三角形的面积之比是仿射不变量. ()A 、正确B 、错误19. 德萨格定理属于射影几何学的范畴. ()A 、正确B 、错误答案：正确20. 二阶曲线上任一点向曲线上四定点作直线，四直线的交比为常数. ()A 、正确B 、错误答案：正确21. 菱形的仿射对应图形是四边形. ()A 、正确B 、错误答案：错误22. 两点列的底只要相交构成的射影对应就是透视对应. ()A 、正确B 、错误答案：错误23.A 、正确B 、错误答案：正确24. 两个不同的无穷远点所决定的直线上可以含有有穷远点.()A 、正确B 、错误答案：错误三、名词解释1. 图形的仿射性质答案：图形经过任何仿射变换后都不变的性质称为图形的仿射性质.2. 二次曲线的直径答案：无穷远点关于二次曲线的有穷极线称为此二次曲线的直径.3. 二次曲线的中心答案：无穷远直线关于二次曲线的极点称为此二次曲线的中心.4. 配极原则答案：如果P点的极线通过Q点，则Q点的极线也通过P点.5. 二阶曲线答案：在射影平面上，成射影对应的两个线束对应直线的交点的集合称为二阶曲线.6. 二次曲线的渐近线答案：二次曲线上的无穷远点的切线，如果不是无穷远直线，则称为二次曲线的渐近线.7. 对偶原则答案：在射影平面里，如果一个命题成立，则它的对偶命题也成立.8. 完全四点形答案：由四个点（其中无三点共线）以及连结其中任意两点的六条直线所组成的图形称为完全四点形.四、问答题1. 下列图形的仿射对应图形是什么？（1）圆；（2）等腰三角形；（3）三角形的内心；（4）两个合同的矩阵；（5）三角形的重心；（6）相似三角形；（7）三角形的垂心；（8）矩形。
高等几何练习题(附参考答案)
1.求一个二维射影变换，它使点（1,0,1）,（0,1,1）,（1,1,1）,（0,0,1）分别变为（1,0,0）,（0,1,0）,（0,0,1）,（1,1,1）。
2. 求通过点（1,0,1），（0,1,1），（0,-1,0）且以031=-x x ，032=-x x 为切线的二次曲线的方程。
3.已知一个一维射影变换的三对对应点的参数为：0→1/2，2→5/8，1→3/5，求出此射影变换的参数对应方程和自对应点的参数。
4.给定二次曲线C: 02223222121=++-x x x x x ， (1)求点P(1,1)关于二次曲线(C)的极线以及x 轴关于的二次曲线(C)极点。
(2) 判断二阶曲线(C)的类型，并求二阶曲线(C)的过点(1,0,0)的直径及其共轭直径。
5.设四直线4321,,,l l l l 的方程分别为,023,02321321=-+=+-x x x x x x,0721=-x x ,0531=-x x ，求),(4321l l l l 的值。
6. 一个一维射影对应，它使直线l 上的点)1(1P ，)2(2P，)3(3P 顺次对应直线l '上的点)1(1-'P ，)2(2-'P ，)3(3-'P，请写出该一维射影对应的非齐次表达式与齐次表达式。
7.求由两个射影线束031=-x x λ，032='-x x λ，12='+λλ所构成的二次曲线的方程。
8.已知二阶曲线c ：04228233231212221=+-++-x x x x x x x x x ， （1） 此二阶曲线什么类型的？其中心是什么？（2）试求此二阶曲线的渐近线。
9.求一仿射变换，使直线x+2y-1=0上的每一个点都不变，且使点（1,－1）变为点（－1,2）。
1．（15分）解：所求变换式为：3132121111x a x a x a x ++='ρ 3232221212x a x a x a x ++='ρ 3332321313x a x a x a x ++='ρ （3分） 将（1,0,1）→（1,0,0）,（0,1,1）→（0,1,0）,（1,1,1）→（0,0,1）,（0,0,1）→（1,1,1）代入上式可解得：1:1:1:1:0:1:1:1:0::::::::333231232221131211----=a a a a a a a a a （6分）∴所求变换式为：321x x x +-='ρ 312x x x +-='ρ 3213x x x x +--='ρ （6分）2.（15分）0222233332233113222221122111=+++++x a x x a x x a x a x x a x a过点（1,0,1） 02331311=++a a a过点（0,1,1） 02332322=++a a a过点（0,-1,0） 022=a （6分）02331311=++a a a ，023323=+a a ，022=a ， ∴02312=+a a ，)(33131311a a a a +-=+ （0,1,1）在曲线上，切线032=-x x ，0)()()(333232232211312=+++++x a a x a a x a a∴01312=+a a ，)(33232322a a a a +-=+∴曲线方程为023323121=+--x x x x x x x 。
大学几何学考试题及答案
大学几何学考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个选项不是欧几里得几何的公理？A. 两点之间可以画一条直线B. 所有直角都相等C. 两点确定一条直线D. 直线外一点与直线上各点连接的线段中，垂线段最短答案：C2. 在平面几何中，一个三角形的内角和是多少？A. 180度B. 360度C. 90度D. 270度答案：A3. 以下哪个几何图形是中心对称图形？A. 正方形B. 矩形C. 等腰三角形D. 等边三角形答案：A4. 一个圆的面积公式是？A. A = πr²B. A = 2πrC. A = πrD. A = 4πr²答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个圆的周长公式是______。
答案：C = 2πr2. 如果一个矩形的长是10cm，宽是5cm，那么它的面积是______平方厘米。
答案：503. 在直角坐标系中，点(3,4)关于x轴的对称点的坐标是______。
答案：(3,-4)4. 一个正方体的体积公式是______。
答案：V = a³三、简答题（每题10分，共30分）1. 什么是勾股定理？请给出其公式并解释其意义。
答案：勾股定理是直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
公式为a² + b² = c²，其中a和b是直角边，c是斜边。
这个定理说明了在直角三角形中，边长之间的关系。
2. 描述一下什么是相似三角形，并给出相似三角形的性质。
答案：相似三角形是指两个三角形的对应角相等，对应边的比例相等的三角形。
相似三角形的性质包括：对应角相等，对应边成比例，以及面积比等于对应边长比的平方。
3. 解释一下什么是圆的切线，并给出切线的性质。
答案：圆的切线是指在圆上某一点处与圆相切的直线。
切线的性质包括：切线与过该点的半径垂直，且在切点处只有一个切线。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定一个半径为5cm的圆，求其周长和面积。
高等几何试题及参考答案
6. (8分)试求二次曲线Γ： +2x1x3-4x2x3=0的中心与渐近线。
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉
填空题（每小题4分，共20分）
1（4分）
如果两个三线形对应边的交点在一条直线上，则对应顶点的连线交于一点。（4分）
2（4分）
射影群包含仿射群，仿射群包含相似群，相似群包含正交群（4分）
（4分）
选择题（每小题2分，共10分）
1.( D),2.( C),3.(B),4.( A),5.( B)
判断题（每小题2分，共10分）
1.(×),2.(√),3.(×),4.(√),5.(√)
作图题（8分）
第
1
页
共
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页
作法过程：
1、设a,b,c交于点A，在c上任取一点C,（2分）
四、作图题（8分）
已知线束中三直线a,b,c，求作直线d，使(ab,cd)=-1。（画图，写出作法过程和根据）
五、证明题（10分）
如图，设FGH是完全四点形ABCD对边三点形，过F的两直线TQ与SP分别交AB，BC，CD，DA于T，S，Q，P.试利用德萨格定理（或逆定理）证明：TS与QP的交点M在直线GH上。
（3） （2分）
(8分)
解：笛氏坐标0 2 3 x
射影坐标：P*P0Eλ
（i）由定义λ=（P*P0，EP）=（2 0，3x）=
（4分）
(ii)若有一点它的两种坐标相等，即x=λ则有 ，即3x2－7x=0，
∴当x=0及x= 时两种坐标相等。（4分）
（8分）
设射影变换的方程为： （2分）
高等几何测试题及答案
高等几何测试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在三维空间中，以下哪个几何体的体积是最小的？A. 正方体B. 球体C. 圆柱体D. 圆锥体答案：D2. 以下哪个定理是关于直线与平面关系的？A. 勾股定理B. 泰勒斯定理C. 毕达哥拉斯定理D. 欧拉定理答案：B3. 在欧几里得几何中，以下哪个图形是不可测量的？A. 线段B. 角度C. 面积D. 体积答案：B4. 以下哪个几何概念与曲面的曲率有关？A. 向量B. 张量C. 标量D. 矢量答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个球体的表面积公式是_______。
答案：4πr²2. 一个圆柱体的体积公式是_______。
答案：πr²h3. 欧拉特征数对于一个球体的值是_______。
答案：24. 一个圆锥体的侧面积公式是_______。
答案：πrl三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：在三维空间中，任何两个不同平面的交线都是一条直线。
答案：略2. 解释并证明高斯-博内定理在曲面上的适用性。
答案：略四、计算题（每题15分，共30分）1. 计算半径为3的球体的体积。
答案：4/3π(3)³ = 36π2. 计算底面半径为4，高为5的圆柱体的表面积。
答案：2π(4)² + 2π(4)(5) = 32π + 40π = 72π结束语：以上为高等几何测试题及答案，希望同学们通过这些题目能够更好地理解和掌握高等几何的基本概念和定理。
高等几何_习题集(含答案)
《高等几何》课程习题集一、计算题11. 设点A （3，1，2），B （3，-1，0）的联线与圆x 2+y 2－5x －7y ＋6=0相交于两点C 和D ，求交点C ，D 及交比（AB ，CD ）。
2. 将一维笛氏坐标与射影坐标的关系：,0(1)x x αβλαδγβγδ+=-≠+以齐次坐标表达。
3. 求射影变换11221231234,63,(1)x x x x x x x x x x ρρρ'=-⎧⎪'=-⎨⎪'=--⎩的二重元素。
4. 试求四直线2x －y+1=0,3x+y －2=0, 7x －y=0,5x －1=0顺这次序的交比。
5. 已知线束中的三直线a ，b ，c 求作直线d 使（ab ，cd ）=－1。
6. （i ）求变换：x'=21x x -，y'=21yx -的二重点。
（ii ）设O 为原点，P 为直线x=1上任一点，m'为直线OP 上一点M 的对应点， 求交比（OP ，MM'）；（iii ）从这个交比得出什么结论？解出逆变换式以验证这结论。
7. 设P 1，P 2，P 4三点的坐标为（1，1，1）,（1，－1，1）,（1，0，1）且（P 1P 2, P 3P 4）=2，求点P 3的坐标。
8. 在直线上取笛氏坐标为 2，0，1的三点作为射影坐标系的A 1,A 2, E (i)求此直线上任一点P 的笛氏坐标x 与射影坐标λ的关系；（ii ）问有没有一点，它的两种坐标相等？9. 直线上顺序四点A 、B 、C 、D 相邻两点距离相等，计算这四点形成的六个交比的值。
10. 设点列上以数x 为笛氏坐标的点叫做x ，试求一射影对应，使点列上的三点1,2,3对应于点列上三点0,3,2；11. 从变换式112321233123,,(1)x x x x x x x x x x x x ρρρ'=-++⎧⎪'=-+⎨⎪'=+-⎩求出每一坐标三角形的三边在另一坐标系下的方程 12. 求四点(2，1，－1),(1，－1，1),(1，0，0),(1，5，－5)顺这次序的交比。
高等几何试题
高等几何试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.菱形的仿射对应图形是( ) A.菱形 B.平行四边形 C.矩形 D.正方形 2.在拓广平面上，直线2x -y +1=0上的无穷远点的齐次坐标为( )A.(1,2,0)B.(2,1,0)C.(1,-2,0)D.(2,-1,0)3.仿射几何的基本不变量是( ) A.简比 B.交比 C.距离 D.角度4.两个一维基本形F 与F ′的任意四对对应元素的交比相等是F ∧F ′的( )A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.二次曲线按射影分类总共可分为( )A.4类B.5类C.6类D.7类 二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.仿射变换将正方形变为____________.7.经过A(-3，2，2)，B(3，1，-1)两点的直线方程是____________. 8.两射影点列成透视的充要条件是____________.9.在仿射平面上，若无穷远直线关于二次曲线Г的极点为有限点，则此点叫做Г的____________.10.常态无心二次曲线是____________.三、计算题(本大题共6小题，每小题6分，共36分) 11.求仿射变换⎩⎨⎧-=+-=y x y y x x 24'43'的自对应点和自对应直线.12.求直线(1-i ,2+i ,3i )上的实点.13.求对合方程,两对对应点的参数各为2与2,1与4,并确定该对合所属类型. 14.求一射影变换,它使点(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1)分别变为(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1),使直线(1,1,1)变为直线(0,0,1).15.求点(1,-1,0)关于二阶曲线054753323121232221=+++++x x x x x x x x x 的极线.16.求二次曲线xy +x +y =0的渐近线方程.四、作图题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)（写出作法）17.给定共线四点A ，B ，C ，D,共线三点A ′,B ′,D ′求作点C ′,使得(A,B,C,D)∧ (A ′,B ′,C ′,D ′).题17图18.已知椭圆及其外一点P,求作它的两条切线.题18图五、证明题(本大题共3小题，第19小题和第20小题各10分，第21小题8分，共28分)19.设三角形ABC 的顶点A,B,C 分别在共点的三直线α,β,γ上移动,且直线AB 和BC 分别通过定点P 和Q,求证CA 也通过PQ 上的一个定点.20.证明巴卜斯定理：设A 1,B 1,C 1三点在一直线上,A 2,B 2,C 2三点在另一直线上,B 1C 2与B 2C 1的交点为L,C 1A 2与C 2A 1的交点为M,A 1B 2与A 2B 1的交点为N,证明:L,M,N 三点共线.21.设三点形ABC 三边BC,CA,AB 分别与二阶曲线切于P,Q,R ，QR 与BC 交于点X ，求证(BC,XP)=-1.题21图。
高中几何体试题及答案大全
高中几何体试题及答案大全试题一：直线与平面的关系题目：在空间直角坐标系中，直线l过点A(1, 2, 3)且与向量(2, -1, 0)平行。
求证：直线l与平面x - 2y + z = 6平行。
答案：首先，直线l的参数方程可以表示为：\[ x = 1 + 2t, \quad y = 2 - t, \quad z = 3 \]其中\( t \)为参数。
接下来，将直线l的参数方程代入平面方程x - 2y + z = 6，得到：\[ (1 + 2t) - 2(2 - t) + 3 = 6 \]\[ 1 + 2t - 4 + 2t + 3 = 6 \]\[ 4t = 6 \]\[ t = \frac{3}{2} \]由于直线l的参数方程中，参数\( t \)可以取任意实数，而代入平面方程后，\( t \)有唯一解，这表明直线l与平面x - 2y + z = 6平行。
试题二：立体几何体积计算题目：一个正方体的边长为a，求其外接球的体积。
答案：正方体的外接球的直径等于正方体的对角线长度，即：\[ 2R = a\sqrt{3} \]其中\( R \)为外接球的半径。
由此可得外接球的半径为：\[ R = \frac{a\sqrt{3}}{2} \]球的体积公式为：\[ V = \frac{4}{3}\pi R^3 \]代入\( R \)的值，得到正方体外接球的体积为：\[ V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^3 =\frac{\pi a^3\sqrt{3}}{2} \]试题三：圆锥曲线问题题目：已知椭圆的方程为\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1 \)，其中a > b > 0。
求椭圆的焦点坐标。
答案：椭圆的焦点位于主轴上，根据椭圆的性质，焦点到椭圆中心的距离为c，满足以下关系：\[ c^2 = a^2 - b^2 \]假设焦点位于x轴上，焦点的坐标为\( (c, 0) \)和\( (-c, 0) \)。
高等几何试卷及答案
【高等几何】考试试题A 卷〔120分钟〕一、填空题〔2分⨯12=24分〕1、平行四边形的仿射对应图形为： 平行四边形 ；2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为： 〔5，-1，0〕3、3),(4321=l l l l ,那么=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -24、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为： 0231=-x x5、方程065222121=+-u u u u 表示的图形坐标 〔1,2,0〕 〔1,3,0〕 6、OX 轴上的射影变换式为312'+-=x x x ，那么原点的对应点 -317、求点)0,1,1(-关于二阶曲线054753323121232221=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x8、ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行，那么),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a 〕：21→，32→，43→； b 〕：10→，32→，01→ 其中为对合的是： b10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ，)1,5,2(B ，)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1二、求二阶曲线的方程，它是由以下两个射影线束所决定的：130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。
解：射影对应式为'2'10λλλλ-++=。
由两线束的方程有：1233,'x x x x λλ==。
将它们代入射影对应式并化简得，2122313320x x x x x x x +-+=此即为所求二阶曲线的方程。
三、证明：如果两个三点形内接于同一条二次曲线，那么它们也同时外切于一条二次曲线。
高等几何试卷及答案
《高等几何》考试试题A 卷（120分钟）一、填空题（2分⨯12=24分）1、平行四边形的仿射对应图形为： 平行四边形 ；2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为： （5，-1，0）3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -24、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为： 0231=-x x5、方程065222121=+-u u u u 表示的图形坐标 （1,2,0） （1,3,0） 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-=x x x ，则原点的对应点 -317、求点)0,1,1(-关于二阶曲线054753323121232221=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x8、ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行，则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a ）：21→，32→，43→； b ）：10→，32→，01→ 其中为对合的是： b10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ，)1,5,2(B ，)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的：130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。
解：射影对应式为'2'10λλλλ-++=。
由两线束的方程有：1233,'x x x x λλ==。
将它们代入射影对应式并化简得，2122313320x x x x x x x +-+=此即为所求二阶曲线的方程。
三、证明：如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二次曲线。
高联难度几何题100道
高联难度几何题100道1. 在直角三角形ABC中，已知∠B=90°，AB=3，BC=4，则AC=？2. 已知等边三角形ABC中，AB=AC=BC=6，则∠A=？3. 在平行四边形ABCD中，已知∠A=110°，求∠C的度数。
4. 在梯形ABCD中，已知AB//CD，AD=3，BC=6，求AB的长度。
5. 在正方形ABCD中，已知AB=6，求对角线AC的长度。
6. 在菱形ABCD中，已知AC=8，求DB的长度。
7. 已知直角梯形ABCD中，AB//CD，AD=6，BC=10，求BC的长度。
8. 在梯形ABCD中，已知AB//CD，AD=8，BC=4，求∠A的度数。
9. 在梯形ABCD中，已知AB//CD，AD=5，BC=7，求角∠A的度数。
10. 已知长方形ABCD中，AB=6，BC=8，求对角线AC的长度。
11. 在梯形ABCD中，已知AB//CD，AD=9，BC=3，求CD的长度。
12. 在平行四边形ABCD中，已知∠A=120°，求∠C的度数。
13. 已知等边三角形ABC中，AB=AC=BC=9，则∠A=？14. 在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD=5，BC=7，求AB的长度。
15. 已知直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=12，则AC=？16. 在正方形ABCD中，已知对角线AC=10，求AB的长度。
17. 在长方形ABCD中，已知AB=7，BC=10，求对角线AC的长度。
18. 在正三角形ABC中，已知AB=10，求∠A的度数。
19. 在梯形ABCD中，已知AB//CD，AD=4，BC=8，求∠A的度数。
20. 已知正方形ABCD中，AB=11，求对角线AC的长度。
21. 在菱形ABCD中，已知AC=12，求DB的长度。
22. 在平行四边形ABCD中，已知∠A=130°，求∠C的度数。
23. 在梯形ABCD中，已知AB//CD，AD=10，BC=5，求BC的长度。
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（0464）《高等几何》复习大纲仿射坐标与仿射变换一、要求 1.掌握透视仿射对应概念和性质，以及仿射坐标的定义和性质。
熟练掌握单比的定义和坐标表示。
2.掌握仿射变换的两种等价定义；熟练掌握仿射变换的代数表示，以及几种特殊的仿射变换的代数表示。
3.掌握图形的仿射性质和仿射不变量。
二、考试内容 1.单比的定义和求法。
2.仿射变换的代数表示式，以及图形的仿射性质和仿射不变量。
3.仿射变换的不变点和不变直线的求法。
射影平面一、要求 1.掌握中心射影与无穷远元素的基本概念，理解无穷远元素的引入。
2.熟练掌握笛萨格（Desargues）定理及其逆定理的应用。
3.熟练掌握齐次点坐标的概念及其有关性质。
4.理解线坐标、点方程的概念和有关性质。
5.掌握对偶命题、对偶原则的理论。
二、考核内容 1.中心投影与无穷远元素：中心投影，无穷远元素，图形的射影性质。
2.笛萨格（Desargues）定理：应用笛萨格（Desargues）定理及其逆定理证明有关结论。
3.齐次点坐标：齐次点坐标的计算及其应用。
4.线坐标：线坐标的计算及其应用。
5.对偶原则：作对偶图形，写对偶命题，对偶原则和代数对偶的应用。
射影变换与射影坐标一、要求1.熟练掌握共线四点与共点四线的交比与调和比的基本概念、性质和应用。
2.掌握完全四点形与完全四线形的调和性及其应用。
3.掌握一维射影变换的概念、性质，代数表示式和参数表示式。
4.掌握二维射影变换的概念、性质以及代数表示式。
5.理解一维、二维射影坐标的概念以及它们与仿射坐标、笛氏坐标的关系。
二、考试内容1.交比与调和比：交比的定义、基本性质及其计算方法，调和比的概念及其性质。
2.完全四点形与完全四线形：完全四点形与完全四线形的概念及其调和性。
3.一维基本形的射影对应：一维射影对应的性质，与透视对应的关系，以及代数表示式。
4.二维射影变换5.二维射影对应（变换）与非奇线性对应的关系。
6.射影坐标：一维射影坐标、二维射影坐标。
7.一维、二维射影变换的不变元素：求一维射影变换的不变点，二维射影变换的不变点和不变直线。
变换群与几何学一、要求 1.了解变换群的概念。
2.理解几何学的群论观点。
3.弄清欧氏几何、仿射几何、射影几何之间的关系及其各自的研究对象。
二、考试内容 1.变换群与几何学的关系。
2仿射几何、射影几何学相应的变换群、研究对象基本不变量和基本不变性。
二次曲线的射影理论一、要求 1.掌握二队（级）曲线的射影定义、二阶曲线与直线的相关位置，二阶曲线的切线，二阶曲线与二级曲线的关系。
2.掌握巴斯加定理、布利安桑定理以及巴斯加定理特殊情形。
3.掌握极点，极线的概念和计算方法，熟练掌握配极原则。
4.了解二阶曲线的射影分类。
二、考试内容 1.二阶（级）曲线的概念，性质和互化，求二阶曲线的主程和切线方程。
2.应用巴劳动保护加定理和布利安桑定理及其特殊情形证明有关问题，解决相在的作图问题。
3.二阶曲线的射影分类。
二次曲线的仿射性质和度量性质一、要求和考试内容 1.掌握二次曲线的中心、直径、共轭直径、渐近线等概念和性质。
（0464）《高等几何》样题及答案一、填空题（每题2分，共10分）1、平行四边形的仿射对应图形为： ；2、线坐标（1，2，1）的直线的齐次方程为： ；3、直线02321=+x x 上的无穷远点坐标为： ；4、设(AB,CD)= 2，则点偶 调和分割点偶 ；5、两个射影点列成透视的充要条件是 ；二、作图题（每题6分，共6分）1、叙述下列图形中的点线结合关系及其对偶命题，并画出对偶图形。
三、计算题（每题10分，共30分）1、 求仿射变换式使直线x ＋2y －1＝0上的每个点都不变，且使点（1，-1）变为（-1，2）2、 求射影变换⎪⎩⎪⎨⎧='='-='332211x x x x x x ρρρ的固定元素。
3、叙述二次曲线的中心、直径，共轭直径渐近线等概念，并举例说明。
四、证明题（每题12分，共24分）1、叙述并证明布利安桑定理。
2、设（AB 、CD ）=-1，O 为CD 的中点，则OC 2=OA ·OB （此题为有向线段） 参考答案一、填空题1、平行四边形2、02321=++x x x3、（2，-3，0）4、 AC , BD5、保持公共元素不变 二、作图题1、每三点不共线的五个点，两两连线。
对偶：没三线不共点的五条线，两两相交。
对偶图形 就是自己三、计算题1解 设所求仿射变换为⎩⎨⎧++='++='222111c y b x y c y b x x αα在已知直线x+2y-1=0上任取两点，例如取（1，0）、（3，-1），在仿射变换下，此二点不变。
而点（1，-1）变为（-1，2），把它们分别代入所设仿射变换式，得⎩⎨⎧=+=+012211c c αα ，⎩⎨⎧-=+-=+-1333222111c b c b αα ⎩⎨⎧=+--=+-21222111c b c b αα 由以上方程联立解得：1α＝2 ，1b =2 ,1c=-1 ,2α=-23 ,2b =-2 ,2c =23故所求的仿射变换为：⎪⎩⎪⎨⎧+--='-+='23223122y x y y x x 解 由题设的射影变换式，得1,0,0,0,1,0,0,0,1333231232221131211========-=ααααααααα 把它们代入射影变换的固定方程组6.5公式(2), 即⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=++-0)(0)(0)(333232131323222121313212111x x x x x x x x x υααααυααααυα得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=--0)1(0)1(0)1(321x x x υυυ 由此得特征方程为:υυυ----100..............0..................0.........1.................0.............0..........1=0, 即(1+u)(1-u)2=0解得u=1（二重根） ,u=—1将u=—1代入固定点方程组，即得固定点为（1，0，0）将u=1代入固定点方程组，得x1=0这是一固定点列即直线A 2A 3上的每一点都是固定点。
把ij α的值代入射影变换的固定直线方程组6。
5公式（5），即⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=++-0)(0)(0)(333223113332222112331221111υναυαυαυαυναυαυαυαυνα得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=--0)1(0)1(0)1(321υνυνυν则特征方程为ννν----100..........0................0........1.............0..........0........1=0 即（1+v ）(1-v)2=0,解得v=-1 v=1(二重根)。
将v=-1代入固定直线方程组，即得固定直线为（1，0，0）。
将v=1代入固定直线方程组，得u 1=0,即通过点（1，0，0）四、证明题 1、见课本2、证明 这里所用的都是有向线段，利用O 为CD 中点这一假设，便有OD=-OC 来论证的，由（AB ，CD ）=-1，得BCAD BD AC ∙∙=-1 即 AC ·BD+AD ·BC=0 （1）把所有线段都以O 点做原点来表达，由（1）得（OC-OA ）（OD-OB ）+（OD-OA ）（OC-OB ）=0 （2） 由（2）去括号，移项，分解因子，得2（OA ·OB+OC ·OD ）=（OA+OB ） （OC+OD ） 2（OA ·OB- OC 2）=（OA+OB ）·0 ∴ OA ·OB-OC 2=0即 OC 2=OA ·OB高等几何试题一、填空题（每题3分，共27分）1、 两个三角形面积之比是（ ）。
2、 相交于影消线的二直线必射影成（ ）。
3、 如果两个三点形的对应顶点连线共点，则这个点叫做（ ）。
4、一点123(,,)x x x x =在一直线[]123,,u u u u =上的充要条件是（ ）。
5、 已知1234(,)3p p p p =,则4321(,)p p p p =（ ），1324(,)pp pp =（ ）。
6、 如果四直线1234,,,p p p p 满足1234(,)1p p p p =-，则称线偶34,p p 和12,p p （ ）。
7、两个点列间的一一对应是射线对应的充要条件是（ ）。
8、 不在二阶曲线上的两个点P 123()p p p ，Q 123()q q q 关于二阶曲线0ij i j S a x x ≡=∑成共轭点的充要条件是（ ）。
9、 仿射变换成为相似变换的充要条件是（ ）。
二、计算题（每题8分，共56分） 1、 计算椭圆的面积（椭圆方程：22221x y a b+= ,0a b >） 2、 求共点四线11:l y k x =，22:l y k x =，33:l y k x =，44:l y k x =的交比。
3、 求射影变换112233x x x x x x ρρρ⎧'=-⎪⎪'=⎨⎪'=⎪⎩的不变元素。
4、 求二阶曲线22212323624110x x x x x --+=经过点(1,2,1)P 的切线方程。
5、 求双曲线2223240x xy y x y +-+-=的渐近线方程。
6、 求抛物线22242410x xy y x ++-+=的主轴和顶点。
7、 求使三点(0,)O ∞，(1,1)E ，(1,1)P -顺次变到点(2,3)O '，(2,5)E '，(3,7)P '- 的仿射变换。
三、已知(1,2,3)A ，(5,1,2)B -，(11,0,7)C ，(6,1,5)D ，验证它们共线并求(,)AB CD 的值。
（8分）四、 求证：两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条二阶曲线。
（9分）答案一、 1、仿射不变量 2、平行直线 3、透视中心 4、1122330u x u x u x ++= 5、3 2 6、调和分离 7、任何四个对应点的交比相等 8、0pq S =9、这个变换使圆点保持不变二、1、解：设在笛氏直角坐标系下椭圆的方程为22221x y a b+= 经过仿射变换 x x a y y b '=⎧⎪⎨'=⎪⎩① 其对应图形为圆。
222x y a ''+=在仿射变换①之下，A A '→，B B '→，O O '→，所以AOB 对应A OB ''，其中A A '≡，根据定理3.6推论2，有AOB A OB S S ''=椭圆面积圆面积 所以 221122a ab a π=椭圆面积 因此所给椭圆的面积为ab π。